【整理】数学物理方程谷超豪版第二章课后答案
数学物理方程_谷超豪_第二章答案
数学物理方程谷超豪第二章答案
1. 引言
本文档是《数学物理方程》一书中第二章的答案。该章节主要涵盖了偏微分方程的分类和解法。在本文中，我们将解答课后习题和深入讨论相关概念，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
2. 偏微分方程的分类
在第二章中，我们学习了偏微分方程的分类方法。根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数，偏微分方程可以分为以下几类：
1.一阶偏微分方程：只涉及一阶导数的方程，如线性
一阶波动方程和拟线性一阶方程等。
2.二阶偏微分方程：涉及二阶导数的方程，如线性二
阶波动方程和拉普拉斯方程等。
3.高阶偏微分方程：涉及高阶导数的方程，如线性高
阶波动方程和椭圆方程等。
根据自变量的个数，偏微分方程还可以分为以下两类：
1.单自变量偏微分方程：只含有一个自变量的方程，
如一维波动方程和一维热传导方程。
2.多自变量偏微分方程：含有多个自变量的方程，如
二维波动方程和三维热传导方程。
3. 课后习题答案
3.1 第一题
题目：求解一维波动方程 $\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} = c^2 \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$，其中c为常数。
解答：我们可以使用分离变量法求解这个一维波动方程。首先，假设c=c(c)c(c)，代入原方程得到：
$$\\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \\frac{X''(x)}{X(x)}$$
两边同时等于一个常数 $-\\lambda^2$，即：
$$\\begin{cases} T''(t) + \\lambda^2 c^2 T(t) = 0 \\\\ X''(x) + \\lambda^2 X(x) = 0 \\end{cases}$$
数学物理方程第三版(谷超豪)答案
uxx CLutt CR LGut GRu
C, L, R,G为常数具体形如
ux,t t f x at
的解（称为阻碍尼波），问此时 C, L, R,G 之间应成立什么关系？
解 ux,t t f x at
uxx t f x at ut t f x at at f x at
于任何 x, t 有 G(x+at) 常数.
即对任何 x, G(x) C 0
又
G（x）= 1 (x) 1
x
()d
C
2
2a x0
2a
所以(x), (x) 应满足
(x)
Fra Baidu bibliotek
1 a
x
()d
x0
C1
（常数）
或
' (x)+ 1 (x) =0
a
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
其中 为杆的密度， E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 x x 。现在计算这段杆 在时刻 t 的相对伸长。在时刻 t 这段杆两端的坐标分别为：
x u(x,t); x x u(x x,t)
其相对伸长等于
[x
x
u(x
x,t)] [x x
u(x,t)]
u(x,t)= 1 [(x at) (x at)] 1
数学物理方程 答案 谷超豪
(2).区间[ ]的决定区域为
在其中任给（x,t）,则
故区间[x-at,x+at]完全落在区间[ ]中。因此[ ]上所给的初绐
条件 代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。
5.若电报方程
具体形如
的解（称为阻碍尼波），问此时 之间应成立什么关系？
解
代入方程，得
1.用分离变量法求下列问题的解：
(1)
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
得固有函数 ，且
，
于是
今由始值确定常数 及 ，由始值得
所以 当
因此所求解为
(2)
解：边界条件齐次的，令
得： (1)
及 。
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。
时，方程的通解为
由 得
由 得
解以上方程组，得 ， ，故 时得不到非零解。
]的影响区域以外不发生变化；
（2）在x轴区间[ ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ ]的决定区
域中解的数值。
证：（1）非齐次方程初值问题的解为
u(x,t)=
+
当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐
次方程初值的解。
当 在[ ]上发生变化，若对任何t>0,有x+at<x 或x-at>x ,则区间[x-at,x+at]整个落在区间[ ]之外，由解的表达式知u(x,t)不发生变化，即对t>0,当x<x -at或x>x +at,也就是（x,t）落在区间[ ]的影响域
数学物理方程 谷超豪 课后答案
第一章．波动方程
§1方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程
),(t x u ()⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。
ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。现在计算这段杆在时
x +x x ∆刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为：
t t )
,();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于)
,()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令
，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于
0→∆x x x u ),(t x ),(t x T )
,()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。
)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为
),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).
,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得
x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx
∂∂
=
x ESu ()若常量，则得
数学物理方程答案谷超豪
数学物理方程答案谷超豪
【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程
1 方程的导出。定解条件
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，
此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为
t(x)??g(l?x)
且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上
各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端
张力在u轴方向的投影分别为
?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)
其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角
又sin??tg??于是得运动方程
?u ?x.
?u?2u?u
??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g
?xx?x?t
利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得
?2u??u
?g[(l?x)]。
?x?x?t2
5. 验证u(x,y,t)?
1t2?x2?y2
在锥t?x?y0中都满足波动方程
222
?2u?2u?2u1222
证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?y
x,y,t有
二阶连续偏导数。且
2
3
2
?u
??(t2?x2?y2)?t
?
?t
35
??u
(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22
?t
?(t
2
?x2?y2)
?
32
?(2t2?x2?y2)
?u
?(t2?x2?y2)?x
?
32
?x
?2u?x
2
?t?x
?
22
352?2222?22?y?3t?x?yx
数学物理方程第三版答案谷超豪
数学物理方程第三版答案谷超豪【篇一：数学物理方程_答案_谷超豪】
/p> 1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程
???u????u?
???x????e? ?t??t??x??x?
其中?为杆的密度，e为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。现在计算这段杆
在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：
x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)
其相对伸长等于令
?x?
[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x
?x
?ux(x???x,t)
，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力t(x,t)等于
t(x,t)?e(x)ux(x,t)
其中e(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为
e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).
于是得运动方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esu利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得
?
?(x)s(x)u?(esux)
?x若s(x)?常量，则得
?u?t
22
x
(x??x)|x??x?esux(x)|x
?(x)
即得所证。
=
(e(x)
?u?x
)
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
【整理】数学物理方程谷超豪版第二章课后答案
u k n |s
[ u 4 |s f 4 |s]
对应Ｔ为 因此得 由初始值得
Tn (t )Biblioteka Baidu
a2 ( 2n 1)2
t
Cne
4
u( x, t)
n
Cne
0
a2 (2n 4
1)2 t
2n
sin
2
1x
2n 1
f (x)
Cn sin
n0
2
x
2
2n 1
因此
Cn
f ( x) sin
xdx
0
2
故解为
2
2n 1
u( x,t )
v( x, t )
Ane
(
n l
)2 t
n
sin
x
n1
l
再由始值得 故
f (x) u0
n
An sin
n1
l
x
2l
n
An
[ f ( x) l0
u0 ] sin
xdx l
因此
u( x, t) u0 v(x, t )e t
u0
2l [ f( ) n 1l 0
u0
]
sin
n l
[( n ) 2
de l
]t sin n x l
t2
u
数学物理方程谷超豪版第二章课后规范标准答案
,.
第 二 章 热 传 导 方 程
§1 热传导方程及其定解问题的提
1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
dsdt u u k dQ )(11-=
又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4
2
l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为
t x s x
u k
t
s x
u k t s x
u
k
dQ x
x x
x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为
x 到x x ∆+一小段中产生的热量为
()()t x s u u l
k
t x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π
又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为
()()[]t x s t
u
c x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3
由热量守恒原理得：
()t x s u u l
k t x s x u
k t x s t u c x t ∆∆--
∆∆∂∂=∆∆∂∂11
2
2
4ρ
消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：
()11
224u u l k x
u k t u c --
∂∂=∂∂ρ 或 ()()11
数学物理方程第三版答案谷超豪
数学物理方程第三版答案谷超豪【篇一：数学物理方程_答案_谷超豪】
/p> 1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程
???u????u?
???x????e? ?t??t??x??x?
其中?为杆的密度，e为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。现在计算这段杆
在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：
x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)
其相对伸长等于令
?x?
[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x
?x
?ux(x???x,t)
，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力t(x,t)等于
t(x,t)?e(x)ux(x,t)
其中e(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为
e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).
于是得运动方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esu利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得
?
?(x)s(x)u?(esux)
?x若s(x)?常量，则得
?u?t
22
x
(x??x)|x??x?esux(x)|x
?(x)
即得所证。
=
(e(x)
?u?x
)
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
数学物理方程-谷超豪
2
∂u ∂x
=
1 x 1− 2 a h
2
∂2u , ∂t2
的通解可以写成
u(x, t) =
F (x − at) + G(x + at) h−x
其中h > 0为常数, F , G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题: ∂v t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), = (h − x)ψ (x) ∂t 解: (1) 令v (x, t) = (h − x)u(x, t),则 v (x, t) 满足方程 2 ∂2v 2∂ v = a ∂t2 ∂x2
-3-
1.2 习题选讲
因此, 根据达朗贝尔公式, v (x, t)的通解可写为 v (x, t) = F (x − at) + G(x + at),从而 F (x − at) + G(x + at) u(x, t) = h−x
(2) 根据上述变换, v (x, t)所满足的初始条件为 t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), ∂v = (h − x)ψ (x) ∂t
7. 验证u (x, y, t) = 1 t2 − x2 − y 2 ∂2u ∂2u ∂2u = + 2. ∂t2 ∂x2 ∂y
在锥t2 − x2 − y 2 > 0中满足波动方程
数学物理方程(谷超豪)课后习题完整解答
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d x 2 2a 0 2a
x 2 ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在 x 轴区间[ x1 , x 2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ x1 , x 2 ]的决定区 域中解的数值。 证： （1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
第一章．
波动方程
2．在杆纵向振动时，假设 (1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试分别 导出这三种情况下所对应的边界条件。
§1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时 刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 u ( x, t ) 满足方程
代入原方程，得
x s x
若 s ( x) 常数，则得
u u 2u . b x s x ES 2 t x x t
即
h x
2
v
x 2
1 2v h x t 2 a2
2v 1 2v x 2 a 2 t 2
若 s ( x) 常量，则得
( x)
即得所证。
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第二章
热传导方程
§ 1
热传导方程及其定解问题的提
1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热
交换，服从于规律
dQ k 1(u u 1 )dsdt
又假设杆的密度为
，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为
x 轴，此时杆为温度
u u( x,t) 。记杆的截面面积 l 2
为 S 。
t 到 t
t 内流入截面坐标为 x 到 x
x 一小段细杆的热量为 4
由假设，在任意时刻
dQ
u s t k u
2u s x t
k
x
s t k
1
x x x x
x 2 x
t 到 t
t 在截面为
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻
x 到 x
x 一小段中产生的热量为
4k 1
dQ
2
k 1 u u l x t
u u s x t
1
l
1
又在时刻 t 到 t
t 在截面为 x 到 x
x 这一小段内由于温度变化所需的热量为
dQ
c u x,t
t u x,t s x c u s x t
由热量守恒原理得：
3
t t
c
u s x t k
2u
s x t
4k 1
u u s x t
t t
x
2 x
l
1
消去 s
x t ，再令
x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系：
c
u
k 4k 1 u u
t x 2 l
1
u k 2u 4k
a 2
2 u
4k
或
t c
x
2
c 1
u u 1
x
2
c 1
u u 1
l
l
其中
a
2
k
c
2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面
s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dM
数学物理方程_答案_谷超豪
x + u ( x, t ); x + ∆x + u ( x + ∆x, t )
其相对伸长等于 令
[ x + ∆x + u ( x + ∆x, t )] − [ x + u ( x, t )] − ∆x = u x ( x + θ∆x, t ) ∆x
第一章．
波动方程
§1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点 在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 u ( x, t ) 满足 方程
∂⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ρ (x ) ⎟ = ⎜ E ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠
其中 σ =
其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
(
k E
特别地，若支承固定于一定点上，则 v(t ) = 0, 得边界条件
(Fra Baidu bibliotek
∂u + σu ) ∣ x = l = 0 。 ∂x
同理，若 x = 0 端固定在弹性支承上，则得边界条件
数学物理方程(谷超豪)课后答案
第一章．波动方程
§1方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程
),(t x u ()⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。
ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。现在计算这段杆在时
x +x x ∆刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为：
t t )
,();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于)
,()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令
，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于
0→∆x x x u ),(t x ),(t x T )
,()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。
)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为
),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).
,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得
x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx
∂∂
=
x ESu ()若常量，则得
数学物理方程(谷超豪)课后答案
由函数 v(t) 给出，则在 x = l 端支承的伸长为 u(l, t) − v(t) 。由虎克定律有
E
∂u ∂x
∣
x=l
=
−k[u (l , t )
−
v(t)]
其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
∂u
k
( ∂x
+ σu) ∣ x=l =
f (t)
其中σ = E
特别地，若支承固定于一定点上，则 v(t) = 0, 得边界条件
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时
刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 u(x, t) 满足方程
∂
⎛ ⎜
ρ
(x)
∂u
⎞ ⎟
=
∂
⎛ ⎜
E
∂u
⎞ ⎟
∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠
u(0,t) = 0,u(l,t) = 0.
(2)若
x
=
l
为自由端，则杆在
x
=
l
的张力 T (l,t)
=
E(x)
∂u ∂x
|
x=l
等于零，因此相应的边
∂u 界条件为 ∂x | x=l =0
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dQ1 k x x x s t k x x s t k x 2 x s x t
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻
t到t
l2 为S。 4
t 在截面为
x 到 x x 一小段中产生的热量为
又在时刻 t 到 t
dQ2 k1 u t 在截面为 x 到 x
u1 l x t
4k1 u l
k1P u c
u0
0.24i 2 r c2
5*. 设 物 体 表 面 的 绝 对 温 度 为 u ， 此 时 它 向 外 界辐 射 出 去 的 热 量 依 斯 忒 --- 波 耳 兹 曼 (Stefan-Boltzman) 定律正比于 u 4 ，即
dQ u 4 dsdt
今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已
对应Ｔ为 因此得 由初始值得
Tn (t )
a2 ( 2n 1)2
t
Cne
4
u( x, t)
n
Cne
0
a2 (2n 4
1)2 t
2n
sin
2
1x
2n 1
f (x)
Cn sin
n0
2
x
2
2n 1
因此
Cn
f ( x) sin
xdx
0
2
故解为
2
2n 1
u( x,t )
f ( )si n
d
n0 0
2
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
dQ3 c u x, t
由热量守恒原理得：
u t u x,t s x c t t s x t
c
u t ts x t
2u k x2 x s x t
4k1 u l
u1 s x t
消去 s x t ，再令 x 0 ， t 0 得精确的关系：
c
u t
k 2u x2
4k1 u l
u1
或
u t
k c
2u x2
4k1 u cl
t
x2
)
u
u(0, t )
( ,t) 0 (t 0)
x
u( x,0) f ( x) (0 x )
X " X 0 X ( 0) X (1) 0
T' T 0
求非零解 X (x) 得 n n2 2 , X n sin n x
质，由 dM
D u dsdt ，其中 D 为扩散系数，得 n
t2
u
M
D dsdt
t1 s
n
解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原
71 页 (1.7) 及(1.8) 式知方程取形式为
u a 2 2 u f x,t
t
x2
其中 a 2 k , f x, t c
F x, t / c , F x, t 为单位体积单位时间所产生的热量。
由常电流 i 所产生的 F1 x, t 为 0.24i 2 r / 2 。因为单位长度的电阻为 r ，因此电流 i 作功为
i2 r
浓度由 u 变到 u2 所需之溶质为
乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i 2r / 其中 0.24 为功热当量。
26
因此单位体积时间所产生的热量为 0.24i 2 r / 2
知函数 f (x, y, z, t) ,问此 时该物体热传 §导问题的边界条件应如何叙述？
解： 由假设， 边界只有辐射的热量交换， 辐射出去的热量为 dQ1 u 4 |s dsdt, 辐射进来的
热量为 dQ2 f 4 |s dsdt, 因此由热量的传导定律得边界条件为：
u k n |s
[ u 4 |s f 4 |s]
k1 P u c
u0
0.24i 2 r c2
其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数， 表示横截面的周长， 表示横截面面积， 而 k 表
示导线对于介质的热交换系数。
其中
a2 k
c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解： 在扩散介质中任取一闭曲面 s，其包围的区域 为 ，则从时刻 t1到 t 2 流入此闭曲面的溶
u1 s x t
x 这一小段内由于温度变化所需的热量为
t2
M
t1
u D xx
u D yy
其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。一般情形
u
t2
D
dvdt M 1
zz
t1
u C dvdt
t
C 1。由于 , t1, t 2 的任意性即得方程：
Cu
Du
tx x
Du yy
Du zz
3. 砼 (混凝土 )内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的
水化热成正比。以 Q t 表示它在单位体积中所储的热量，
Q0 为初始时刻所储的热量，则
dQ
Q ，其中
dt
度 u 满足的方程。
为常数。又假设砼的比热为
c ，密度为
，热传导系数为 k ，求它在浇后温
解： 可将水化热视为一热源。由 dQ dt
热速度为
Q 及 Q t 0 Q0 得 Q t Q0e t 。由假设，放
又假设杆的密度为
dQ k1(u u1 )dsdt ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x,t) 。记杆的截面面积
由假设，在任意时刻 t 到 t t 内流入截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为
u
u
2u
由常温度的热交换所产生的 (视为“被动”的热源 )，从本节第一题看出为
其中 l 为细杆直径，故有
4k1 u l
u0
p
l2
l/
4
4 ，代入得 l
F2 x,t
k1 p u u0
因热源可迭加，故有 F x,t
F1 x, t
F2 x,t 。将所得代入
u t
a2
2u x2
f x, t 即得所求：
u t
k c
2u x2
a 2 ( 2n 1)2
e
4
t 2n 1 si n x
2
u 2u t x2
(t 0,0 x 1)
u( x,0)
1 x 0x
2
1
1x
x1
2
u( 0,t ) u(1,t ) 0
(t 0)
解：设 u X (x)T (t) 代入方程及边值得
§2 混合问题的分离变量法
1． 用分离变量法求下列定解问题的解：
u a2 2u (t 0,0 x
u1
a2 2u x2
4k1 u cl
u1
Q0 e t
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书
u t
a2
2u x2
71 页， (1.7) 式得
2u
2u
y2
z2
Q0 e t c
a2
k
c
4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0 的介质中，试证 :在常电流作用下导线的温度满
足微分方程
u t
k c
2u x
第二章 热传导方程
t2
u
t2
u
M1
C u x, y, z, t2 u x, y, z, t1 dxdydz
C dtdv
C dvdt
t1
t
t1
t
§ 1 热传导方程及其定解问题的提
两者应该相等，由奥、高公式得：
1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热
交换，服从于规律