初等几何研究综合测试题(二)

《初等几何研究》综合测试题（二）
适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD ，证明 AB D ≌ EBC 时，应用的方法是_______。

A. AAS ；
B.SAS ；
C.SSS ；
D.定义。

2.已知：三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么 这个三角形的周长是__________。

A.14；B.15；C.16；D.17.
3.判定四边形是正方形的条件是________-。

A.对角线相等；
B.对角线相等且互相垂直；
C.对角线互相垂直平分； D ．对角线相等且互相垂直平分。

4.有一个多边形的内角和是外角和的1
2
2
倍，则边数是__________。

A.14；B.7；C.21；D.10.
5.在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。

A.1种；
B.2种；
C.3种；
D.4种。

6.圆的弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是__________。

A.30°；B.60°；C.150°；D.30°或150°.
7.在平移过程中，对应线段
A.互相平行且相等；
B.互相垂直且相等；
C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；
D.以上都不对。

8.下列关于平移的说法中正确的是___________。

A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；
B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。

二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1.互补两角有一条公共边，则这两个角的平分线所组成的角一定是直角。

（ ）
2.有一边对应相等的两个等腰直角三角形全等。

（ ）
3.任意两个等腰三角形都相似。

（ ）
4.同角的余角都相等。

（）
5.一个角的补角减去这个角余角的2倍，大小仍等于原角。

（）
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1．如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60°，则这个角的余角的度数是_______.
第1题图
E
2.P 为⊿ABC 内任一点，三边a ，b ，c 的高分别为a h 、b h 、c h ，且P 到a ，b ，c ，的距离分别为a t 、b t 、c t 。

则
a b c
a b c
t t t h h h ++= ______. 3.如图，⊿AOC ≌⊿BOD ，∠A 和∠B ，∠C 和∠D 是对应角， 对应边是CO 与DO ；AO 与BO ；另一组对应角是_____________。

4．如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm ，那么
斜边长等于________________.
四计算题（本题共8分）
设∆ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE =12，CF =5，求：线段EF 的长？
五、证明题（本题3小题，每小题9分，共27分）
1. 如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ， 过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD ∥EC;
（2）若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD
2. 已知：AB //CD ，AM 平分∠BAC ，MC 平分∠ACD ，求证：AM MC ⊥
3. 已知：如图在∆ABC 中，AB =AC 。

延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连结CD 和CE
求证：CD =2CE
第3题图
六．探究题（本题15分）
现有四块直角边为a，b，斜边为c的直角三角形的纸板，请从中取出若干块拼图（需画出所拼的图形）证明勾股定理。

附：参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1A ；2C ；3D ；4B ；5B ；6D ；7C ；8A.
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1 ×；2 √ ；3×；4 √；5 √.
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1. 30°; 2.
1 3. ∠AOC 与∠BOD 。

4.41)cm （.
四、计算题（8分）
设∆ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE =12，CF =5，求：线段EF 的长？
分析：这是一道几何中的计算题要求EF 的长，首先发现它在Rt 它
在Rt ∆EAF 中，这时利用勾股定理可求出，连结AD 后可证∆ADE ≅∆CDF 解； 连结AD ，则在∆ADE 和∆CDF 中，
∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∠=∠=︒
ADE ADF CDF ADF ADE CDF DAE DCF 909045，，又
AD =CD ，∴≅∴==∆∆ADE CDF AE CF 5 又AF +FC =AC =AB =AE +BE =5+12=17
∴=-=-==
+=AF AC FC EAF EF AE AF 1751213
2
2
在中Rt ∆,
即EF 的长为13
五、证明题（27分）
１．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ， 过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD ∥EC;
（2）若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD 的长;
（1）证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ，
又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E 。

∴AD ∥EC （4分） （2）设BP=x ，PE=y ，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①
∵AD ∥EC ，∴
26
9=+⇒=y x PC AP PE DP ②，
由①②可得，⎩⎨⎧==43y x 或⎩
⎨⎧-=-=112
y x （舍去）∴DE=9+x+y=16，
∵AD 是⊙O 2的切线，
∴AD 2=DB ∙DE=9×16， ∴AD=12。

（6分）
2. 已知：AB //CD ，AM 平分∠BAC ，MC 平分∠ACD ，求证：AM MC ⊥
分析：证明两条直线互相垂直，基本方法是用垂直定义，证明两直线夹角等于90︒，若证明三角形两边垂直，可以证明另外二个内角互余，该题要证AM MC ⊥，只需证∠=︒AMC 90，而∆AMC 的内角和为180︒，只须证∠+∠=︒1290即可，由已知AB //CD ，可知，同旁内角互补，再由角平分线定义可得结论。

证明：
AB CD BAC ACD //,∴∠+∠=︒180
即
∠+∠+∠+∠=︒∠∠1324180,,,
AM BAC MC ACD 平分平分 ∴∠=∠∠=∠∠=∠=︒132********,
∴∠+∠=︒∠+∠+∠=︒129012180,
又 M
∴∠=︒
∴⊥M AM MC 90
3. 已知：如图在∆ABC 中，AB =AC 。

延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连结CD 和CE
求证：CD =2CE 分析：（1）要证长线段CD 是某小量的2倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证CD =2CE ，可考虑在CD 上截取一半，再证明CE 等于CD 的一半即可。

证明： 过B 点作BF //AC 交CD 于F ， AB =BD ∴=DF CF ,且BF AC =
1
2
AB AC ACB //,∴∠=∠2
BF AC ACB //,,∴∠=∠∴∠=∠112
又 BE AB BF AC BE BF ==∴=121
2
.,
在∆∆CEB CFB 和中
BE BF
BC BC =∠=∠=⎧⎨⎪
⎩
⎪12
∴≅∴==
∆∆CEB CFB EC CF CD ,12
即CE =2EC
六、探究题（15分）
现有四块直角边为a ，b ，斜边为c 的直角三角形的纸板，请从中取出若干块拼图（需画出所拼的图形）证明勾股定理。

c
c
c
(3)
(4)
(1)
证明：拼成的图形如图所示。

图中空白处正方形边长为（a-b ）,每个三角形的面积为12
ab. ∴
221
4().2
ab a b c ⨯+-= 即 2
2
2
a b c +=。

如用下列方法拼成图形参照上面的步骤也可证明。

a
b
a
a
第六题图（4）
第六题图（3）
第六题图（2）。