第二轮专题训练(3)函数的单调性与奇偶性

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函数的奇偶性和单调性综合训练

判断函数的单调性
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单调性的判断方法：任取$x_1 < x_2$，比较$f(x_1)$和$f(x_2)$的大小，如果$f(x_1) < f(x_2)$，则函数在区间内单调递增；如果$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在区间内单调递减。
对于复合函数$f(g(x))$，需要先判断$g(x)$的单调性，再根据$f(x)$的性质判断复合函数的单调性。
要点一
要点二
偶函数的图像关于y轴对称
偶函数的图像关于y轴对称，即如果$f(-x) = f(x)$，则函数$f(x)$的图像关于y轴对称。
奇偶性与单调性在解题中的应用
VS
根据奇偶函数的性质，可以通过判断函数的奇偶性来判断其在某一区间的单调性。
利用单调性判断奇偶性
根据函数的单调性，可以判断函数的奇偶性。例如，如果一个函数在区间$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上分别单调递增和递减，且满足$f(-x) = -f(x)$，则该函数为奇函数。
奇函数在原点对称
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(-x) = -f(x)$，则函数$f(x)$的图像关于原点对称。
偶函数和单调性
偶函数在对称区间内单调性相反
如果函数$f(x)$在区间$(-infty, +infty)$上为偶函数，且在区间$(-infty, a)$上单调递增（或递减），则函数$f(x)$在区间$(a, +infty)$上单调递减（或递增）。
利用奇偶性判断单调性
综合训练题
第四章
判断函数的奇偶性
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判断函数$f(x)$是否为奇函数，需要满足条件$f(-x) = -f(x)$；判断是否为偶函数，需要满足条件$f(-x) = f(x)$。

函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题

函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=－fx,则称fx 为奇函数；如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=fx,则称fx 为偶函数;如果函数fx 不具有上述性质,则fx 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx 既是奇函数,又是偶函数;注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x 也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称; 2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f －x 与fx 的关系；3 作出相应结论：若f －x = fx 或 f －x －fx = 0,则fx 是偶函数；若f －x =－fx 或 f －x ＋fx = 0,)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则fx 是奇函数; 3．简单性质：1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；2设fx,gx 的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇3任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 和的形式,则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-==;4．奇偶函数图象的对称性1若)(x a f y +=是偶函数,则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；2若)(x b f y +=是奇函数,则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：1 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数,函数()x x f x a a -=- 是奇函数；2函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数； 3函数1()log 1axf x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数； 4函数()log (a f x x =+ (0a > 且1)a ≠是奇函数;二、函数的单调性1．定义：一般地,设函数y =fx 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2fx 1>fx 2,那么就说fx 在区间D 上是增函数减函数；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2 3函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()f x f x f x x x >><⇔-在给定区间上单调递增递减；[]1212()()()0(0)()x x f x f x f x ->><⇔在给定区间上单调递增递减;2．如果函数y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,区间D 叫做y=fx 的单调区间;3．设复合函数y= fgx,其中u=gx , A 是y= fgx 定义域的某个区间,B 是映射g : x→u=gx 的象集：①若u=gx 在 A 上是增或减函数,y= fu 在B 上也是增或减函数,则函数y= fgx 在A 上是增函数；②若u=gx 在A 上是增或减函数,而y= fu 在B 上是减或增函数,则函数y= fgx 在A 上是减函数,简称“同增异减”; 4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1 任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方； 4定号即判断差fx1－fx2的正负；5 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性; 5．简单性质1奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2偶函数在其对称区间上的单调性相反；3在公共定义域内：增函数fx+增函数gx 是增函数；减函数fx+减函数gx 是减函数；增函数fx-减函数gx 是增函数；减函数fx-增函数gx 是减函数; 三、函数的最值1．定义：最大值：一般地,设函数y=fx 的定义域为I,如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I,都有fx≤M ；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最大值;最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有fx≥M；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最小值;注意：1函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0 = M；2函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的x∈I,都有fx≤Mfx≥M;2．利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法：1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值；2利用图象求函数的最大小值；3 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb; 如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx 在x=b处有最小值fb；函数的单调性A组1．下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,＋∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是________．①fx＝错误!②fx＝x－12③fx＝e x④fx＝ln x＋12．函数fxx∈R的图象如右图所示,则函数gx＝f log a x0<a<1的单调减区间是________．3．函数y＝错误!＋错误!的值域是________．4．已知函数fx＝|e x＋错误!|a∈R在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数fx定义域内任意的x,都有fx≥MM为常数,称M为fx的下界,下界M中的最大值叫做fx的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①fx＝sin x；②fx＝lg x；③fx＝e x；④fx＝错误!6．已知函数fx＝x2,gx＝x－1.1若存在x∈R使fx<b·gx,求实数b的取值范围；2设Fx＝fx－mgx＋1－m－m2,且|Fx|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.B组1．下列函数中,单调增区间是－∞,0的是________．①y＝－错误!②y＝－x－1③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数fx＝log2x2－ax＋3a在区间2,＋∞上是增函数,则实数a的取值范围是________．3．若函数fx＝x＋错误!a>0在错误!,＋∞上是单调增函数,则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈0,＋∞x1≠x2,有错误!<0,则下列结论正确的是________．①f3<f－2<f1②f1<f－2<f3 ③f－2<f1<f3④f3<f1<f－25．已知函数fx＝错误!满足对任意x1≠x2,都有错误!<0成立,则a的取值范围是________．6．函数fx的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为1,2,点B的坐标为3,0,定义函数gx＝fx·x－1,则函数gx的最大值为________．7．已知定义域在－1,1上的函数y＝fx的值域为－2,0,则函数y＝f cos错误!的值域是________．8．已知fx＝log3x＋2,x∈1,9,则函数y＝fx2＋fx2的最大值是________．9．若函数fx＝log a2x2＋xa>0,a≠1在区间0,错误!内恒有fx>0,则fx的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2log错误!x2－2log错误!x＋1的单调性．11．已知定义在区间0,＋∞上的函数fx满足f错误!＝fx1－fx2,且当x>1时,fx<0.1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1,解不等式f|x|<－2.12．已知：fx＝log3错误!,x∈0,＋∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件：1在0,1上是减函数,2在1,＋∞上是增函数,3fx的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．函数的性质A组1．设偶函数fx＝log a|x－b|在－∞,0上单调递增,则fa＋1与fb＋2的大小关系为________．2．定义在R上的函数fx既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f1＋f4＋f7等于________．3．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数,则f－25、f11、f80的大小关系为________．4．已知偶函数fx在区间0,＋∞上单调增加,则满足f2x－1<f错误!的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数fx是偶函数,对x∈R,f2＋x＝f2－x,当f－3＝－2时,f2011的值为________．6．已知函数y＝fx是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝fx－1≤x≤1是奇函数,又知y＝fx在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5.1证明：f1＋f4＝0；2求y＝fx,x∈1,4的解析式；3求y＝fx在4,9上的解析式．B组1．函数fx的定义域为R,若fx＋1与fx－1都是奇函数,则下列结论正确的是________．①fx是偶函数②fx是奇函数③fx＝fx＋2 ④fx＋3是奇函数2．已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋错误!,且f－2＝f－1＝－1,f0＝2,f1＋f2＋…＋f2009＋f2010＝________.3．已知fx是定义在R上的奇函数,且f1＝1,若将fx的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f1＋f2＋f3＋…＋f2010＝________.4．已知函数fx是R上的偶函数,且在0,＋∞上有f′x>0,若f－1＝0,那么关于x的不等式xfx<0的解集是________．5．已知函数fx是－∞,＋∞上的偶函数,若对于x≥0,都有fx＋2＝fx,且当x∈0,2时,fx＝log2x＋1,则f－2009＋f2010的值为________．6．已知函数fx是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足fx＋2＝－错误!,若当2<x<3时,fx＝x,则f＝________.7．定义在R上的函数fx在－∞,a上是增函数,函数y＝fx＋a是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f2a －x1与fx2的大小关系为________．8．已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx＝xx＋1．若fa＝－2,则实数a＝________.9．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数．若方程fx＝mm＞0在区间－8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________.10．已知fx是R上的奇函数,且当x∈－∞,0时,fx＝－x lg2－x,求fx的解析式．11．已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx＋y＝fx＋fy．1求证：fx是奇函数；2如果x∈R＋,fx<0,并且f1＝－错误!,试求fx在区间－2,6上的最值．12．已知函数fx 的定义域为R,且满足fx ＋2＝－fx ．1求证：fx 是周期函数；2若fx 为奇函数,且当0≤x ≤1时,fx ＝错误!x ,求使fx ＝－错误!在0,2010上的所有x 的个数．例题1、函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是______________．例题2、1函数()142-+=x x x x f 是A 、是偶函数但不是奇函数B 、是奇函数但不是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数2.设(32()log f x x x =+,则对任意实数,a b ,0a b +≥是()()0f a f b +≥的A 、充分必要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件3已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩,则x y +=_____．4已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-x ∈R,且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有A 、2个B 、3个C 、4个D 、无数个例题3、2004复旦若存在M,使任意t D ∈D 为函数()f x 的定义域,都有()f x M ≤,则称函数()f x 有界.问函数11()sin f x x x=在1(0,)2x ∈上是否有界例题4、设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围．课后精练1．已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数,x x ba x g 22)(++=为奇函数,其中b a ,为复数, 则∑=+10001)(k k k b a 的值是______1-________.2．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+;解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ,从而当4π=x 时取最大值21e +,当4π-=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于21e +3．函数[)。

函数的奇偶性和单调性综合训练及答案

一、选择题1．下列判断正确的是（）A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B．函数()(1f x x =-C．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞3．函数y =）A ．(]2,∞- B ．(]2,0C ．[)+∞,2 D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）二、填空题1．函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。

2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = .3．若函数2()1x af x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。

函数的单调性与奇偶性综合题精选

函数的单调性与奇偶性【知识梳理】1、函数单调性的定义、图象特征及应用2、函数奇偶性的定义、图象特征及应用。

3、单调性与奇偶性的联系：奇函数在对称区间上的单调性________________偶函数在对称区间上的单调性________________【题型探究】题型一、利用定义证明或判断函数的单调性与奇偶性例1、已知函数9()f x x x=+ （1）证明函数在(0,3]上单调递减。

（2）求函数在[]1,2上的值域。

例2、判断函数22,0()0,0,0x x x f x x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-+>⎩的奇偶性题型二、单调性与奇偶性的综合应用例3、奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，且最小值为17，则()f x 在区间[7,3]--上的最大值为________例4、若()f x 是定义在(),0(0,)-∞+∞ 上的偶函数,当0x <时,()()1f x x x =-,求()f x 的解析式。

例5、设定义在[]2,2-上的奇函数()f x 在区间[]2,2-上单调递减,若(1)()0f m f m -+-<,求实数m 的取值范围.变式：设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减,若(1)()0f m f m -+-<,求实数m 的取值范围.题型三、抽象函数的单调性与奇偶性例 6.已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数,x y 满足()()()f x f y f x y +=+,并且当0x >时,()0f x <，又2(1)3f =- (1)求(0)f 的值（2）判断()f x 的奇偶性；（3）证明()f x 在R 上是减函数并求()f x 在[]3,6-上的最大值与最小值。

跟踪练习】1.（C 级）若函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()2,4上是增函数，那么a 的取值范围是（）A 1a <-B 1a ≥-C 3-≥aD 3a ≤-2. （B 级）已知函数()f x = ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3. （B 级）函数[)226,1,4y x x x =-+∈-的值域为( )A []5,14B [)5,14C []5,9D [)9,144. （C 级）函数()()1y x x a =+-为偶函数,则a 等于( )A 2-B 1-C 1D 26. （C 级）已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是( )A ．)2()2()(f f f >->-ππB ．)()2()2(ππ->->f f f C ．)2()2()(ππ->>-f f f D ．)()2()2(ππ->>-f f f 7．（C 级）若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是A ． (())a f a ，- B ． (())--a f a ， C ． (())---a f a ， D ．(())a f a ，-8．（B 级）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )9．（A 级）函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___．10. （B 级）已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为________ 11．（B 级）已知)(x f是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x )的值域是 . 12、（B 级）已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且在公共定义域{}1,|±≠∈x R x x 上有11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 的解析式.。

专题函数的单调性、奇偶性(教案)高考数学二轮重难点复习专题

函数的单调性1.增函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D ⊆ I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。

特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。

2.减函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。

特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。

3.函数单调性性质增函数+增函数=增函数增函数-减函数=增函数减函数+减函数=减函数减函数-增函数=减函数注：当一个函数有多个单调区间时，不能用∪符号，应该用“和”或“，”连接。

函数的奇偶性判断奇偶性前提：“定义域关于原点对称”偶函数奇函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。

一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = -f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数。

定义域关于原点对称图象特征关于y轴轴对称函数奇偶性判断方法：1.判断定义域是否关于原点对称2.已知)(xf，计算)(xf-、)(xf-3.判断)(xf与)(xf-是否相等、)(xf与)(xf-是否相等4.若)()(xfxf-=，则)(xf为偶函数若)()(xfxf-=-，则)(xf为奇函数若)()(xfxf-≠，)()(xfxf-≠-，则)(xf为非奇非偶函数若)()(xfxf-=，)()(xfxf-=-，则)(xf为即奇又偶函数函数奇偶性性质奇函数性质：)()(x f x f -=-，)()(x f x f --=，若定义域内包括0，则0)0(=f ，奇函数图像关于原点对称。

奇函数在定义域内单调性相同。

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。

证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。

因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。

因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。

因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。

高三寒假数学二轮专题01单调性与奇偶性

单调性与奇偶性微专题一. 设计目标.本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知，函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专题课达到两方面目标：1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通过题目强化认知，数形结合，提高认知能力.2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培优的效果.二．知识回顾 1.函数的单调性定义2.判断或证明函数单调性的常见方法3.单调性的常见应用4. 函数奇偶性定义5.判断或证明函数奇偶性的常见方法6. 奇偶性常见应用三．微专题探究2.1.奇偶性与单调性综合问题.例1. 已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 取值范围为（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭例2．已知函数5()10f x x x =+，若()()130f t f t +-<，则实数t 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭例1.解析∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）＝f （|x |）.则f （|2x －1|）<13f ⎛⎫⎪⎝⎭，又∵f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，∴1213x -<，解得1233x <<.故选：A.例2解析：由题得55()10(10)()f x x x x x f x -=--=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，因为4()=5100f x x '+>，所以()f x 是R 上的增函数，所以()()13(31)f t f t f t <--=-，所以131,2t t t <-∴>.故选：A 练习1.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（）A ．()()()202120202019f f f <-<B ．()()()201920202021f f f <-<C ．()()()202020192021f f f -<<D ．()()()202020212019f f f -<<-故选：A.2.2函数的对称性.函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于x 轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点))(,()),(,2211x f x x f x （到直线a x =的距离相等且函数值)()(21x f x f =时. 我们就称函数)(x f y =关于a x =对称. 代数表示: (1). )()(x a f x a f -=+ (2). )2()(x a f x f -=即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线a x =对称.一般地，若函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 特别地，偶函数(关于y 轴对称)，)()(x f x f -=，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.2.中心对称：函数)(x f y =上任意一点（)(,11x f x ）关于点),(b a 对称的点（)(,22x f x ）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点(b a ,)对称的中心对称图像，点(b a ,)为对称中心.用代数式表示：(1). b x a f x a f 2)()(=-++ (2). b x a f x f 2)2()(=-+一般地,若函数)(x f y =满足c x b f x a f =-++)()(,则函数的图象关于点)2,2(cb a +对称. 特别地，奇函数(关于原点对称)，)()(x f x f --=，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质. (1).利用对称性求得函数在某点的函数值.(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同. 2.3.对称性的应用 2.3.1对称性与单调性例3.在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()()2f x f x =-．若()f x 在区间[]1,2上是减函数，则()f x （）A ．在区间[]2,1--上是增函数，在区间[]3,4上是减函数B ．在区间[]2,1--上是增函数，在区间[]3,4上是增函数C ．在区间[]2,1--上是减函数，在区间[]3,4上是增函数D ．在区间[]2,1--上是减函数，在区间[]3,4上是减函数例3解析：由()()2f x f x =-可得()()11f x f x +=-，所以()f x 的对称轴为1x =，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，由()()2f x f x =-可得：()()2f x f x -=+，所以()()2f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，若()f x 在区间[]1,2上是减函数，根据对称性可知()f x 在[]0,1上是增函数，根据周期为2可知：()f x 在区间[]2,1--上是增函数，在区间[]3,4上是减函数，故选：A.2.3.2 已知对称性求解析式例4.已知函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()2f x x x =--，则1()2f x =的所有根之和等于A ．4B ．5C ．6D ．12例4解析：因为(1)f x +为奇函数，所以图像关于()0,0对称，所以函数()y f x =的图像关于()1,0对称，即()()20f x f x +-= 当1x <时，2()2f x x x =--，所以当1x >时，2()68f x x x =-+ 当2122x x --=时，可得122x x +=- 当21682x x -+=时，可得346x x += 所以1()2f x =的所有根之和为624-= 故选A2.3.3 对称函数的图象性质例5.已知函数))((R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数|32|2--=x x y 的图象与函数)(x f y =的图象的交点为),),...(,(),,(2211m m y x y x y x ,则=∑=mi i x 1( )A. 0B.mC.m 2D.m 4结论 1.若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称.设个不同的实数根，则有n x f 0)(=na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(22221121 .),212(111a x x a x k n =⇒-=+=时，必有当例8.已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为)(1,1y x ,),(22y x ，（m m y x ,），则=+∑=mi i i y x 1)(A. 0B.mC.m 2D.m 4结论2.若k y y h x x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称，则关于点（, 即k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+. 一般地，对于nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-练习2.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦ 恒成立，设1 2a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<练习3．已知函数)(x f y =在区间]2,0[上单调递增，且函数)2(+x f 为偶函数，则下列结论成立的是（）A ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习2【详解】当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >，所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数，由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-， 1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<. 故选：A. 练习3【详解】因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0，2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2，4]上单调递减. 因为()()13f f =，75322>>，所以()75322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.一、单选题1．已知函数()()y f x x R =∈满足()6(2)f x f x -=-+，若函数321x y x -=-与()()y f x x R =∈图象的交点为1122(,),(,)(,)m m x y x y x y ，则 1()miii x y =+∑的值为（）A ．4mB ．3mC ．2mD ．m2．已知函数()f x ()x ∈R 满足()()6f x f x -=-，函数33y x =+的图象与()y f x =的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()1111,x y ，则()11111i x y =+=∑（）A ．40B ．50C ．33D ．703．已知函数(1)f x +是偶函数，当211x x >>时，()()()21210f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，设1,(1),(2)2a f b f c f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．已知定义在R 上的函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数，且函数(1)f x -为偶函数，则11,(4),(3)2f f f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的大小关系为（） A ．11(4)(3)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．11(4)(3)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．11(3)(4)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．11(4)(3)2f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭5．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()2=-+f x f x ，当()0,2x ∈时，()22f x x x =-，则()()1,,2f f f ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．()()12f f f ππ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭B ．()()12f f f ππ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．()()12f f f ππ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()12f f f ππ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭二、填空题6．若函数()()()3f x x ax b =-⋅-为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则()20f x ->的解集为___________．7．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，且()12f =，则()()102103f f +的值为___________.8．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2f x x =-，那么不等式()210f x +<的解集是 ________．三．直击高考1．(2021年高考全国甲卷理科)设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．94- B ．32- C ．74D ．522．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有8()9f x -≥，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50参考答案一．练习题1．A解：由()6(2)f x f x -=-+，得(2)()6f x f x ++-=，所以函数()()y f x x R =∈的图像关于点(1,3)对称，因为323(1)113111x x y x x x --+===+---，所以321x y x -=-的图像可以看成是由1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，所以函数321x y x -=-的图像关于点(1,3)对称，所以函数321x y x -=-与()()y f x x R =∈的图像交点关于点(1,3)对称，所以121322m m m x x x x x x --+=+=+=⋅⋅⋅=，121326m m m y y y y y y --+=+=+=⋅⋅⋅=，设123m M x x x x =+++⋅⋅⋅+，则121m m m M x x x x --=+++⋅⋅⋅+，所以12112()()()2m m m M x x x x x x m -=++++⋅⋅⋅++=，所以M m =，设123m N y y y y =+++⋅⋅⋅+，则121m m m N y y y y --=+++⋅⋅⋅+，所以 12112()()()6m m m N y y y y y y m -=++++⋅⋅⋅++=，所以3N m =，所以，1()4mi i i x y M N m =+=+=∑故选：A2．C 由()()6f x f x =--可知()y f x =的图象关于点()0,3对称，又因为33y x =+的图象也关于点()0,3对称，所以两个函数的图象的交点关于点()0,3对称，即12110x x x ++⋅⋅⋅+=，121133y y y ++⋅⋅⋅+=，所以()11133i i i x y =+=∑，故选：C ．3．D. 由题设知：(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递增， ∵(1)f x +是偶函数，∴()f x 关于1x =对称，即(,1)x ∈-∞上()f x 单调递减，由对称性可知：(2)(0)c f f ==，而1102-<-<，∴1(1)()(0)2f f f ->->，即b a c >>.故选：D.4．D. 因为函数(1)f x -为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称，又因为函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数，所以函数()f x 在(,1)-∞-上为减函数，又因为11|(4)(1)|3(1)(1)2⎛⎫---<--<--- ⎪⎝⎭，所以11(4)(3)2f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭故选：D5．C.由于()f x 是R 上的奇函数，且()()2=-+f x f x ，所以()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数.当()0,2x ∈时，()2222f x x x x x =-=-+.()()()111210f f -=-=--+=-<.()224402244f πππππππ--⎛⎫⎛⎫=-+==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()()()244424f f f πππππ⎡⎤=-=--=---+-⎣⎦()()268240.98041ππππ=-+=--≈->-.所以()()12f f f ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭.故选：C. 6．()(),15,-∞-+∞∵()()()()2333f x x ax b ax a b x b =-⋅-=-++为偶函数，∴()()()223333f x ax a b x b ax a b x b -=+++=-++，∴30a b +=，即3b a =-，∴()()2299f x ax a a x =-=-，∵()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0a >， ∵()()()2150f x a x x -=--->， ∴()()150x x +->，解得1x <-或5x >，∴不等式的解集为()(),15,-∞-+∞．故答案为：()(),15,-∞-+∞.7．2-对任意R x ∈，由()f x 是奇函数得()()f x f x -=-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以4为周期的函数. 由()f x 是R 上的奇函数得(0)0f =，所以(102)(2)(0)0f f f ===，(103)(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故(102)(103)2f f +=-.故答案为：2-.8．33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；因为当0x ≥时，()2f x x =-，所以3312222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()210f x +<可得：()12f x <-，即()32f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，所以()()()f x f x f x =-=，所以()32f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为0x ≥时，()2f x x =-，可知()y f x =在()0,∞+单调递增，所以32x <，解得3322x -<<，所以不等式()210f x +<的解集是33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故答案为：33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 二．直击高考1．D 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．2．B 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．3．C 【详解】详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.。

2018版高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理

专题03直击函数压轴题中零点问题、解答题21•已知函数 f x = Inx a x - i a 0 . （1）讨论f x 的单调性；3（2）若f （x ）在区间（0,1 ）内有唯一的零点x 0，证明：e 2 ＜x 0 ＜e ，. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1 ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2 ）依题可知f 1=0，若f （x ）在区间（0,1 ）内有唯一的零点x 0,由（1）可知a a 2，且 x ° =为 0,-，于是：lnx 0 a x 0 -1 i =0 ①，2ax 02-2ax 0 1=0 ②2由①②得lnx 0 -生=0,设g （x ）= Inx -口 , （x € （0,1）），求出函数的导数，根据函数的单调性证明 2x ° 2x即可.试题解析:① 当0 5兰2时，y = f[x ）^ （A g ）上单调递増② 当GA2时』设2a^-2ax+\=Q 的两个根为耳花（0＜码C* ＜花“且a — ^a 1 —2a a + —2a 西= > ^3 =lalay = /（x ）在（Q 西）丄冷+«＞）单调递増,在（坷也）单调递减.（2）依题可知f 1 =0，若f X 在区间0,1内有唯一的零点x 0，由（1）可知a 2,⑴ r （x ）=—2ax+lx冃-'1 ;且X。

= Xi 0, .2十□ 2于疋：lnx0 a x0 -1 0 ①22ax o - 2ax o 1=0 ②x —1 X —1由①②得inx0- 0,设g x =1 nx , [0,1 ,2 x° 2 x2x ,，因此g x在i。

,1上单调递减，则g x二2x I 2丿3f 3、勺」p ~2' e —4 j A e —3 _又g e 2 = --------- >0, g (e )=-------------------- <0l丿2 23根据零点存在定理，故e 2：：： x0：：： e」.点睛：本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法22.设函数f(x) = x + bx—1(b€ R).(1)当b= 1时证明：函数f (x)在区间(2)若当x€ [1,2]，不等式f(x)<1有解.求实数b的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) -：：,1【解析】试题分析：(1 )先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间-,1单调性，再根据区12丿间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数(2)先分离变量化为对应函数最值问题：b：：：^-X ,x再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b的取值范围.试题解析：（1）由得・丁£］二份+扌一1=-*0, /ti ）=i ;+i-i=i>0j *Jti ）<Oj 所以函数心）在区间（右D 內存在零点.又由二次函数的團象，可知少）二r+x —i 在（右D 上单调遥魯从而函数心）在区间（占D 内存在唯一零点.⑵ 由题意可知x 2+ bx — 1<1在区间［1,2］上有解，所以 b 厶-？ x 在区间［1,2］上有解.XX令g （x ） = — x ，可得g （x ）在区间［1,2］上递减，X所以b <g （X ）max = g （1） = 2— 1= 1 ,从而实数b 的取值范围为（一8, 1）.方法2.由题意可知分+址一25在区间［1,2］±有解.令g （X ）=J^ + bx-2?则等价于gh ）在区间丄2］上的最小值小于0. 当-茹2即底-4时，訴）在丄刃上递獄=2b+2<Q,即 0<-「所以冥一4』当1< —*2即— 46—2时，咖在山-刽上递氟在| 二訓）丽=g （-》=（护一耳_2= _”2<0恒成立.所汉_4<风_ 2; 当-冷即於一2时“曲）在12］上递増，二宮⑴=心一 1<0即Ml,所以一20<1・综上可得 &W — 4 或一4<ft<—2 或一 2^b<l ｝所b<l ? 从而实数A 的取值范围为（一8, 1）,点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间［a , b ］上是连续不断的曲线，且 f （a ） • f （b ）<0,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点增应『二-± ■2b-2f_ 23•已知函数 f x 二 ax mx m 「1 a = 0 • (1 )若f -1 =0，判断函数f x 的零点个数；(2)若对任意实数 m ，函数f x 恒有两个相异的零点，求实数 a 的取值范围;(3)已知 X iX • RR 且％：：： X 2， f X i= f X 2 ，求证：方程在区间X i ,X 2上有实数根•【答案】⑴见解析；⑵0 :: a < 1;⑶见解析.⑴：f -1 =0, a-m m-1 =0, a =12f x 二 x mx m T2 2:二m -4 m-1 二 m-2 ,当m=2时，厶=0，函数f x 有一个零点; 当m=2时，二0，函数f x 有两个零点⑵已知则A = m 1 —4a\ m — l}>Q 对于冊e R t 旦成立,即訝『一4o 初+4” 恒成立$所以川=16/-1&1<0, 从而解得O< a<l.⑶设 g X = f X || f X 1 f X 2，1 - _ 1 _ 则 g X1 ;= f x l --||fX ! • f X 2 || f X ! - f X 2f x=2L f x if x2【解析】试题分析：(1)利用判别式定二次函数的零点个数：(2)零点个数问题转化为图象交点个数问题,即试题解析：1 - _ 1 _ g X2 = f X- -- f X1 f X- = - ||f X- -f x1:f X1 = f X1 - ¥ g X1 g X^ - - 4 || f X1 - f X-..O'-g X =0在区间X1, X-上有实数根，1 _ 即方程f X f X1f X2计在区间X1'X2上有实数根•点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.24•已知函数f x]=a Inx-bx图象上一点P 2, f 2处的切线方程为y - -3x • 2ln2 - 2 .(1)求a, b的值；⑵若方程f xi亠m=0在1,e内有两个不等实根，求m的取值范围(其中_ee =2.71828| ||为自然对数的底).1 【答案】(1)a=2, b=1.(2) 「：：m 22.e【解析】试题分析：本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用. (1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解. 先利用导数研究函数h(x)=f (x)+ m=2lnx - x2+ m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解.试题解析:(1)',' f I A ) = -olnx — Eu 1 jt\ f r (x} = — -2bx 9xf (2) = aln2r4b =~6 + 2In2+ 2ci =2解得J i - D = 1(2)由(1 )得 f (x )=2l nx - x 2, 令 h ( x )=f ( x )+ m =2lnx - x +m ,222(1—x )则 h x = — - 2x =xx令 h '( x )=0，得 x =1(x =- 1 舍去)•故当x € 1,1时，h '( x ) > 0, h (x )单调递增；H e当 x € (1 , e ］时，h '( x ) v 0, h (x )单调递减. •••方程h (x )=0在丄，e 内有两个不等实根，IL e『1 ) 1 h _ = —2 —右+m 兰0 2丿 ej1••• { h 1 = -1 m 0 ，解得 1 ：： me h e = 2「e m 空0(11•实数m 的取值范围为11,-2 2 .\ e」点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 (1 )利用零点存在的判定定理构建不等式求解；(2 )分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；(3 )利用方程根的分布求解，转化为不等式问题.由题意得｛(4 )转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解5•已知函数f x二e x-ax-1，其中e为自然对数的底数， a R(I )若a = e，函数g x = 2 - e x①求函数h x = f x -g x的单调区间f f x x 兰m②若函数F x；={ 的值域为R,求实数m的取值范围g(x ),x>m(II )若存在实数X i,X2 w 0,2】，使得f (X i )= f (刈)，且X i -X2 31，求证：e—1兰a兰e2—e【答案】(1)①详见解析②实数m的取值范围是0,丄 ;(2) e-仁a^e2-e；IL e-2【解析】试題分析：⑴①求出函数的导数，解关干导函数的不等式，求出函数的单调区间即可, ②求岀函数的导数」通过讨论桝的范围得到函数的值域，从而确定加的具体范围即可,(R求出函数/■(刘的导数，得到a>0 在(加］道减在)递増，设O< Jq <X| <2 ,则有0<^<^<^<2,根1®函数的单调性得到关于滞的不等式组，解出即可.试题解析：(1 )当a=e时，f x 二e X-ex-1.①h x = f x -g x =e X-2x-1,h'x =e X-2.由h' x 0得x ln2，由h' x 0 得x ： ln2 .所以函数h x的单调增区间为In2, •::，单调减区间为-二，1 n2 .②f ' x = e x _ e当x <1时，f' x ：：：0,所以f x在区间」：，1上单调递减；当x 1时，f' x 0，所以f x在区间1,匸：上单调递增.g x = 2 -e x在m, 上单调递减，值域为-::,2 - e m ,因为F x的值域为R，所以e m-em-仁2 _e）m ,即e m-2m <0.（*）由①可知当m<Q时》h（m）-e n-2m-l>h（O）=Q f故0不成立-因为*（用）在（0>2）上单调递冰在（加2：1）上单调递聲且应（0）= 0旳（1）="3<0 所以当0兰用51时，A（m）<0恒成立，因此0<m<l.2°当初Al时，/（刘在（Y M）上单调递减,在（I曲上单调递増，所叹函数f（x） = ^-^c-l在｛toe）上的值域为|>（1丄如），即[7他）・^（x） = （2-e）jc在（观+x）上单调递减，值域为（Y\（2-总）酬）. 因为F（刃的值域为左，所以一丄（2-町乩即兰丄.总一2综合T,2°可知，实数用的取值范围是k-!-・_ 左一2.（2）f' x 二e x-a •若a岂0时，f' x • 0 ,此时f x在R上单调递增•由f（X i ）= f（X2 ）可得人=X2，与X i —X2色1相矛盾，同样不能有x1,x2 !jna, •：：.不妨设0三为：：：x2込2，则有0込捲：:：Ina ：：：x2込2.因为f x在X i,lna上单调递减，在Ina,X2上单调递增，且f为=f X2 ，所以当x^i^x三x2时，f x - f捲=f x2.由0兰为v x2兰2，且捲一x2岸1，可得1e Ix1, x2 ]故f 1 岂f % A f X2 .又f x在」：,ln a 1单调递减，且0 一X, ：：：Ina，所以f %乞f 0，所以f 1岂f 0，同理f 1乞f 2 •e - a -1 — 0, 2即｛2解得e -1乞a乞e2「e「1 ,e -a -仁e -2a -2,所以e —1乞a乞e2-e.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.x6 .已知函数f x X _ ax 1.e(1 )当a =1时，求y = f x在x 1-1,1吐的值域；(2)试求f x的零点个数，并证明你的结论.【答案】(1) l2-e,11 (2)当a乞0时，f x只有一个零点；当a 0时，f x有两个零点.【解析】试题分析:⑴当4=1时，»)二电-Q+1,则门©二今一1二£(町，而丈(力=需小e e e在卜1」]上恒成立，所以g(x)=/(x)®[-l1l]±递减，由f⑼",可得当xe(-lO)时，,才㈤递增*当就时/(刈递;咸,所以=/(<>)= ^ ttK/f-lJ./fl)的大小可得f(x)^f(-l) = 2-^进而可得结果；1 1(2)原方程等价于e x…一…a=0实根的个数，原命题也等价于h x i = e x…一…a在x「「「0)-(0,=x x上的零点个数，讨论a = 0, a ：：：0, a 0，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果•x 1 — x试题解析：(1)当a=1 时，fx x _ax 1，则f x x 1二gx ,e e而g x = J2：：：0在1-1,11上恒成立，所以g x二「x在〔-1,11上递减，ef X max 二f -1 =2e—1 0, f X min 二f 1」X0，所以「x在〔-1,11上存在唯一的X。

函数单调性及奇偶性练习(含答案)(精品文档)_共4页

1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝031=a 2、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2）　D ．y ＝x （｜x ｜－2）3、函数是（）1111)(22+++-++=x x x x x f A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数4、若，g （x ）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，)(x ϕ2)()(++=x bg a x f ϕ则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－35、已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且()f x x R ∈0x >()f x 120,0x x <>，12||||x x <则（）. .A 12()()f x f x ->-B 12()()f x f x -<- . . C 12()()f x f x ->-D 12()()f x f x -<-6、定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围.　（）　Ａ．（０，１）Ｂ．（－２，１）Ｃ．［０，１］Ｄ．［－２，１］7、已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（）Ａ．Ｂ．［１，２］Ｃ．［－１，０］Ｄ．（）1[1,2-11,2-8、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是( ) A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞9、已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________10、已知偶函数y ＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________11、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列说法一定正确的序号是__________．①f(x)为奇函数；②f(x)为偶函数；③f(x)＋1为奇函数；④f(x)＋1为偶函数12、若是奇函数，则___(1)()()x x a f x x++=a =13、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x R 且x 0},又f(x)在（0，+）上是增函数，且∈≠∞f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是.________14、已知是偶函数,当时,;若当时,)(x f y =0>x 2)1()(-=x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 恒成立,则的最小值为m x f n ≤≤)(n m -15、设函数y ＝f （x ）（x R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足∈f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．16、设函数f(x)=是定义在（－1，1）上的奇函数，且f()=，（1）确定函数f(x)21x b ax ++2152的解析式；（2）用定义证明f(x)在（－1，1）上是增函数；（3）解不等式f ( t －1)+ f (t) < 0。

高考数学二轮复习专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(精讲精练)(解析版)

专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知()f x =奇函数M +核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- ．因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-．因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ ．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnb x++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x是增函数，则()f x-为减函数；若()f x是减函数，则()f x-为增函数；②若()f x和()g x均为增（或减）函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x+为增（或减）函数；③若()0f x>且()f x为增函数，则函数为增函数，1()f x为减函数；④若()0f x>且()f x为减函数，则函数为减函数，1()f x为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()f x是偶函数⇔函数(f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数⇔函数()f x的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()y f x=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()y f x=必满足()(||)f x f x=．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x=+-，1()[()()]2h x f x f x=--，则()()()f xg xh x=+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg x f x g x f x g x f x g x+-⨯÷．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶．（7）复合函数[()]y f g x=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-．5、对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()224,1,1,1x ax x f x x x⎧-++⎪=⎨>⎪⎩ 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．(),1-∞-【答案】A【解析】显然当1x >时，()1f x x=为单调减函数，()()11f x f <=当1x时，()224f x x ax =-++，则对称轴为()221ax a =-=⨯-，()123f a =+若()f x 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上减函数，则12231a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选：A ．例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【解析】假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x xf x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<-所以322x x -<-，解得1x >，故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（）A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【解析】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-，∴b a =（舍去），或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<，∴1a <<，对于函数(11y x x x=+<<，则2221110x y x x-'=-=>，函数(11y x x x =+<<单调递增，∴1a b a a ⎛+=+∈ ⎝⎭，故D 错误；∵02b a b <<<，11a b<=<∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增，∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+，∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确；∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增，∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误．故选：B ．核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数，∴()()33f x f x -+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3-∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +-<-，整理得，23850x x -+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例5．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（）A ．()1,3-B ．()3,3-C ．()1,1-D ．(),3-∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +--===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a -<即为()()223f a a f -<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f -<等价于()()223f a a f -<，则223a a -<，所以，222323a a a a ⎧-<⎨->-⎩，解得13a -<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3-，故选：A ．例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又(2)2f -=-，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例8．（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（）A ．－1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则1111111222222f x fx f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++⇒-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x --+-，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫-++≥⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4-+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞【答案】A【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x ---=-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x -'=+-cos 11cos 0x x ≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于：22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-，故选：A ．核心考点三：已知()f x =奇函数+M 【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．【答案】-2014【解析】()()3lg log 10lg lg32022f f =-=，因为()()34g x f x ax =-=+所以()()lg lg3lg lg3g g -=-，其中()()lg lg3lg lg342018g f -=--=，所以()()lg lg34lg lg32018g f -=-=，解得：()lg lg32014f =-故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3【答案】D 【解析】设()2sin 44x x g x x -=+，因为()()()()()22sin 4sin 444x x x x g x g x x x -----==-=-+-+，所以()g x 为奇函数，因为()()14g a f a =-=，所以()()14g a f a -=--=-，则()3f a -=-．故选：D ．例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B 【解析】由题设，()(0)()()4f x x f f x f x -==+--且(0)()()(0)4f x f x f x f +==+-，∴(0)4f =，则()()8f x f x +-=，∴()()4m x f x =-为奇函数，令2sin ()cos 1()()4xm h x g x x x =-++=，∴2sin()2sin ()()()()cos()1cos 1x xh x m x m x h x x x --=+-=--=--++，即()h x 是奇函数，∴()h x 在[2021,2021]-上的最小、最大值的和为0，即max min ()4()40g x g x -+-=，∴max min ()()8g x g x +=．故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152xx -=，故有2225log x x -=故1x 和2x 是直线5y x =-和曲线2x y =、曲线2log y x =交点的横坐标．根据函数2x y =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故曲线2x y =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称．即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上，即12125522x x x x +-+-=，求得x 1+x 2=5，故选：D ．例14．（2021春·高一单元测试）设函数()21228log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（）A ．（0，2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2，＋∞）D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数()21228log (1)31f x x x =+++的定义域为R ，且()()2211222288log [()1]log (1)3()131f x x x f x x x -=-++=++=-++，所以函数()f x 为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递减函数，令2log t x =，可得12log x t =-，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥可化为()()2f t f t +-≥，即()22f t ≥，即()1f t ≥，又因为()1281log 2131f =+=+，且()f x 在[0,)+∞上单调递减，在R 为偶函数，所以11t -≤≤，即21log 1x -≤≤，解得122x ≤≤，所以不等式的解集为1[,2]2．故选：B ．例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（）A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log (log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log 2f f f ->>【答案】A【解析】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数；()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像，所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增．∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈，∴0.52314log 92log 0.512->>->>，∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭．故选：A核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】C【解析】()f x 图象关于点()1,0对称，()()2f x f x ∴=--，又()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()22f x f x f x ∴=--=--，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x \是周期为4的周期函数，()()()311220f f f ∴=-==-=，又()01f =，()()201f f =-=-，()()()()()()()()()012202250501232020f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2021202250510100121010f f f f f +=⨯+-++++=+-=．故选：C ．例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数()()()33sin cos tan 1221sin 2sin x x x f x x xππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-+，函数()1y g x =-为奇函数，若函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】因为()()()cos sin tan 111sin 1sin sin sin x x x f x x xx x-⋅-=++=++，函数()f x 的定义域为,Z 2k x x k π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，()()()11sin 1sin 1sin sin f x x x x x-=-++=--+-，所以，()()2f x f x +-=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，因为函数()1y g x =-为奇函数，则()()110g x g x --+-=，即()()2g x g x +-=，故函数()g x 的图象也关于点()0,1对称，函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，且这六个点也关于点()0,1对称，所以，()610236i i i x y =+=+⨯=∑．故选：B ．例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数()1f x -是奇函数，若函数11y x=+与()y f x =图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】由题可得()f x 关于点(0,1)对称，11y x=+的图象也关于点(0,1)对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点，同理若()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()112266x y x y x y ++++⋅⋅⋅++=()()()111122122x y x y x y ⎡++-+-++⎣()()()226666226x y x y x y ⎤+-+-+⋯+++-+-=⎦，故选：D ．例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，L ，2023x ，且122023x x x m +++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为（）A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,3C ．(),0∞-D ．∅【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，且函数()f x 的图象与x 轴交点关于原点对称，不妨设1232023x x x x <<<< ，则()202401,2,32023i i x x i -+== ，所以1220230m x x x =+++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤，所以不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数())()3sin lnf x x x x x R =++∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】函数()g x 满足()(2)0g x g x +-=，则函数()g x 的图象关于点(1,0)对称，且g （1）0=，函数())3sin lnf x x x x =+++，则))33()()sin()lnsin ln ()f x x x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+=-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，又函数(1)=-y f x 是由函数()y f x =向右平移一个单位得到的函数，故函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，令()(1)()0h x f x g x =--=，则(1)()f x g x -=，因为函数()g x 与(1)f x -的图象都关于点(1,0)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,0)对称，因为函数()(1)()h x f x g x =--恰有2021个零点，所以2021个零点除1x =之外的个零点关于(1,0)对称，则所有这些零点之和为20202120212⨯+=．故选：D ．核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12-D ．1-【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x -+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x -+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故()()31f x f x +=-+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=-+②，由①②得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =-，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，因为()()11f x f x -+=-+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x -+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫-⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x -+=-+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=--+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14xf x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a=--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a -=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈--时，()1()242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B核心考点七：类周期函数【典型例题】例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4【答案】B 【解析】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥-⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min 1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B ．例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 【答案】C 【解析】因为[]4,2x ∈--，所以[]40,2x +∈，因为[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，所以()()()22442468f x x x x x +=+-+=++，因为函数()f x 满足()() 23f x f x +=，所以()()()4329f x f x f x +=+=，所以()()()21146899f x f x x x =+=++，[]4,2x ∈--，又因为[]4,2x ∈--，()13t 18f x t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故()131t 189minf x t ⎛⎫-≤=- ⎪⎝⎭，解不等式可得t 3≥或1t 0-≤<．例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【答案】C 【解析】当[)0,2x ∈时，()min 0f x =，又()()22f x f x +=，因此当[)4,2x ∈--时，函数()min 0f x =，从而20220t t t ≥+⇒-≤≤，选C ．核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<，则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例33．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞--D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】由()()121221()[0f x f x x x x x --<，得()()11221212()[0x f x x f x x x x x --<，因为121200x x x x ->>，，所以()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x -<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)-∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=-，则210x -<+<，解得：31x -<<-；综上，原不等式的解集为(),111)3(,--- ．故选：B ．例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】C 【解析】。

函数的单调性和奇偶性-典型例题

函数的单调性和奇偶性例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）的定义域为R．因为f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）为奇函数．（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数．（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝-＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①又∵f（x）是奇函数，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②由①、②得f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f（x1）-f（x2）＝-＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））类似可以证明：函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f（x）＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝＝f（x）．且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．。

(完整)高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案),推荐文档

24高中数学必修 1第二章函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数 f (x )＝x －2 ， x ∈｛0，1，2，4｝的最大值为.3（2）函数 f (x )＝2x －1在区间[1，5]上的最大值为，最小值为.12、利用单调性的定义证明函数 f (x )＝ x 2 在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数 f (x )＝x ＋1在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明. 4、画出函数 y ＝－x 2＋2丨x 丨＋3的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数 y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝3 的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与 f(4)； (2)f(2)与f( 15)6、已知 y ＝f (x ) 在定义域（－1，1）上是减函数，且 f (1－a )＜f (3a －2) ，求实数 a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|x 2 - 2x(2) y＝1-|x - 1|(3)y ＝（4） y ＝- x 2 - 2x + 31x 2－x －208、函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．ax9、【例4】判断函数f(x)＝x 2 - 1(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性．10、求函数 f (x )＝x ＋ x在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1） f (x )＝(x －；（2） f (x )＝a（ x ∈ R ）；（3） f (x )＝3 (2x ＋5)2－3 (2x －5)212、若 y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 是偶函数，则 m ＝．13、已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c （ a ≠ 0 ）是偶函数，那么 g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14、已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[ a －1, 2a ]，则（）1A ． a = ，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0315、已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x )＝x 2－2x ，则 f (x ) 在 R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）16、函数 f (x ) =）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数17、若(x ) ， g (x ) 都是奇函数， f (x )＝a(x )＋bg (x )＋2 在（0，＋∞）上有最大值 5，则 f (x ) 在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－318、函数 f (x ) = 的奇偶性为（填奇函数或偶函数）．⎪ x 3－3x 2＋1， 19、判断函数 f (x )＝ ⎨⎩ x 3＋3x 2－1， x ＞0x ＜0的奇偶性. 20、f （x ）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断 f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．121、已知 f (x ) 是偶函数， g (x ) 是奇函数，若 f (x ) + g (x ) =g (x ) 的解析式为.x -1，则 f (x ) 的解析式为，22、已知函数 f （x ）满足 f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且 f （0）≠0.试证 f （x ）是偶函数．23、设函数 y ＝f （x ）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数 x 1、x 2 满足 f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）.求证 f （x ）是偶函数．1 + x2 + x -11 + x2 + x +1x - 2 - 21 - x 2高中数学必修 1第二章函数单调性和奇偶性专项练习答案11、【答案】（1）2 （2）3，32、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为x ≥ 0 和x＜0 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4) ；（2）∴f( 15)＞f(4)，即f( 15)＞f(2)．1 36、【答案】实数a 的取值范围是（，）3 47、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．1 1（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，）；减区间是[ ，5)和（5，＋∞）2 28、【答案】a 的取值范围是0≤a≤1．9、【答案】当a＞0 时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a＜0 时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得f (2) ＝4 是最小值，f (1) ＝5 是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）a＝0 ，f (x) 既是奇函数又是偶函数；a ≠ 0 ，f (x) 是偶函数；（3）f (x) 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】选C18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x＞0 和x＜0 两种情况，分别证明f (－x)＝－f (x) 即可.20、【答案】解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）⇒f（x1）＜－f（x2）⇒f（x1）＞f（x2），即单调减函数．21、【答案】 f (x) =1x 2 -1 ，g(x)＝xx 2－122、证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）⇒f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．23、证明：由x1，x2∈R 且不为 0 的任意性，令x1＝x2＝1 代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

函数的单调性和奇偶性的综合应用

精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点：对称有点对称和轴对称：O点对称：对称中心O轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。

1、函数的单调性：应用：若y f ( x) 是增函数， f ( x1 )应用：若y f ( x) 是减函数， f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习：若 y f (x) 是R上的减函数，则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习：若 f ( x) ax ，g ( x),0) 上都是减函数，则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称， f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称， f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好f ( x) f ( x) ，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（ 1）已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数，且 f (1) 5 ，求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是。

(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0)。

(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析：4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习：（ 1）根据函数的图像说明，若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数，则 f ( x) 在 (0,) 上是函数（增、减）(2)已知 f ( x) 为奇函数，当x0时， f ( x)(1x) x ，则当x0 时， f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数， f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在（(,) 上的偶函数，且 f (x) 在 [0,) 为增函数，则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是（）A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5，那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数，且最小值是－５那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C.减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数，那么当x10 ， x20 且x1x20 时，有（）A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数，而且在开区间( ,0) 上是增函数，又 f (2)0 ，那么 x f ( x) 0的解是（）A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f ( x)单调递增，对于x1，x2，有| x1|| x2|，则（）A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习： (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数，解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数，且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0)，求 a的取值范围。

高考数学二轮复习专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(文)(解析版)

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。

2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。

A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(+=x x h D 、12)(+=x x w【答案】B【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(+=x x h 在]1(--∞，上是减函数，在)1[∞+-，上是增函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 在区间)10(，上单调递减的函数，选B 。

(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。

函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。

但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于对称。

（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于对称。

（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。

二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞．考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。

函数的单调奇偶及周期性_附答案

三、函数的性质 1．函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．2．函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．例4．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<（2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例5．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2}【思路点拨】先求()f x 的解析式，即338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，然后再去解(2)0f x ->这个不等式。