圆锥曲线中的焦点三角形

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圆锥曲线焦点三角形的三大问题(解析版)

圆锥曲线焦点三角形的三大问题一、焦点三角形定义：椭圆与双曲线有对称中心，称为有心圆锥曲线.有心圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形叫做有心圆锥曲线的焦点三角形.其中我们把椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的等腰三角形称之为椭圆的特征焦点三角形1.焦点三角形的角度与离心率问题离心率是椭圆的一个非常重要的定型的量，椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系：图1图2图3图4结论1：如图1，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的角平分线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率2211PF MF PF MF e ==证明：由角平分线定理及和比定理得==2211PF MF PF MF e ac PF PF MF MF ==++222121结论2：如图2，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，I 为21F PF ∆的内心，PI 的延长线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率IPIM e =证明：在M PF 1∆和M PF 2∆中由角平分线定理的2211,PF MF IPIM PF MF IPIM ==所以e acPF PF MF MF PF MF PF MF IPIM ==++===2221212211结论3：如图3，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121++=+==PF PF F F a c e 结论4：如图4，设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则双曲线的离心率βαβαsin sin )sin(-+=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121-+=-==PF PF F F a c e 结论5：如图5，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的外角平分线交x 轴于点M ，α=∠2MPF ，β=∠2PMF ，则椭圆的离心率βαcos cos =e 证明：由正弦定理得βαβαααβαβααcos cos cos sin 2cos sin 2)sin()sin(2sin 222121==-++=+==PF PF F F a c e 结论6：圆锥曲线中，过焦点F 且不垂直于坐标轴的弦为AB ，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R ，则ABFR e 2=证明：设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，则02122)(2ex a x x e a AB +=++=由点差法（过程略）得02022200y a x b k a b x y k k k AB AB OMAB -=⇒-=⋅=所以AB 的中垂线：)(002020x x x b y a y y -=-，令0=y 得022020x e ax b x x R =-=，所以c x e c x FR R +=+=02，所以222002eex a c x e AB FR=++=，所以ABFR e 2=典例分析例1.设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，以21F F 为直径的圆与椭圆交于点P ，且=∠12F PF 215F PF ∠，则椭圆的离心率为（）A.22B.23 C.32 D.36解析：由题意01202102175,15,90=∠=∠=∠F PF F PF PF F 所以3662426426175sin 15sin 90sin 000==++-=+=e ，故选D 例2.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，若椭圆上存在点P 使21PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.)1,55[B.)1,22[C.]55,0( D.]22,0(解析：要使存在点P 使得21PF PF ⊥，只需当点P 在短轴端点时021902≥=∠θPF F 所以22sin ≥=θe ，所以122<≤e ，故选B 例3.已知椭圆192522=+y x 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有共同焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，则双曲线的离心率为解法1：由题意知椭圆的离心率541=e ，又1434116cos 6sin 2221222212=+⇒=+e e e e ππ所以131341436425222=⇒=+e e 解法2：由题意知4=c ，由330cot 30tan 92221=⇒==b b S F PF ，所以13222=-=b c a所以13134134===a c e 例4.（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的B A ,两点反射后，分别经过点C 和D ，且53cos -=∠BAC ，BD AB ⊥，则E 的离心率为（）A.25 B.317 C.210 D.5解析：由题意知53cos 1=∠BAF ，AB B F ⊥1，可设4,3,511===BF AB AF ，由双曲线定义知3264434511=⇒=⇒=-+=-+a a a AB BF AF 所以1,222==BF AF ，由勾股定理得172=c ，所以==a c e 22317，故选B 例5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则离心率的取值范围为（）A.)12,0(-B.)1,12(- C.)12,1(+ D.),12(+∞+解析：由正弦定理及1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠得a c a PF a a c PF c PF a -=⇒-==221222又a c PF ->2，所以a c ac a ->-221221+<<-⇒e ，又1>e ，所以121+<<r 故选C例6.（2022·河南开封·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分21MF F ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.)1,21( B.)21,0( C.)1,31( D.)31,0(解析：由角平分线定理得321232121===c c MF MF PF PF ，又a PF PF 221=+，所以a PF 212=又c a PF c a +<<-2，所以2121>⇒+<<-e c a a c a ，又1<e ，所以121<<e ，选A二、焦点三角形面积公式及其应用有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点与有心圆锥曲线的两个焦点构成的三角形，称为有心圆锥曲线的焦点三角形．接下来利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式，并举例说明其应用结论7：椭圆的焦点三角形面积公式：设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为r c a b y c PF PF S F PF )(2tan sin 21202121+====∆θθ（其中r 为21F PF ∆的内切圆半径）证明：略结论8：双曲线焦点三角形面积公式：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为双曲线上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2cot sin 21202121θθb y c PF PF S F PF ===∆证明：略典型例题例1.设P 为椭圆16410022=+y x 上一点，21,F F 是其左右焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为解析：33646tan6421==∆πF PF S 例2.已知双曲线116922=-y x 的左、右集点分别为21,F F ，若双曲线上点P 使02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积是（）A.12B.16C.24D.32解析：1645cot 16021==∆F PF S ，故选B例3.（2020新课标Ⅰ）设21,F F 是双曲线C ：1322=-y x 的两个焦点，O 坐标原点，点P在C 上且2=OP ，则21F PF ∆的面积为（）A.27 B.3C.25 D.2解析：由题意知221===OP OF OF ，所以02190=∠PF F ，所以345cot 3021==∆F PF S 故选B例4.（2022城厢区校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，若321π=∠PF F ，且21F PF ∆的面积为33，则=b （）A.2B.3C.6D.9解析：9336tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例5.（2022连城县校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，3221π=∠PF F ，若21F PF ∆的面积为39，则=b （）A.9B.3C.4D.8解析：9393tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例6.（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为5，P 是C 上的一点，且21PF PF ⊥，若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A.1B.2C.4D.8解析：由2445cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又1541)(122=⇒=+=+=a a ab e ，故选A 例7.（2022·安徽省亳州市第一中学高月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过原点的直线与双曲线交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5解析：连接11,BF AF ，易知BF AF 1为平行四边形，又090=∠AFB ，所以0190=∠AF F 所以2245cot 22221=⇒==∆ab a b S FAF ，所以5)(12=+=a b e ，故选D例8.（2022·吉林吉林·高三期末）已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一动点，21,F F 是椭圆的左、右焦点，当321π=∠PF F 时，3421=∆F PF S ，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，34tan 21=∠PF F ，则点P 运动过程中，2111PF PF +的取值范围是（）A.]32,21[ B.]32,158(C.158,21[ D.)32,21[解析：由12346tan2221=⇒==∆b b S F PF π，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，x PF ⊥2轴，所以a b PF 22=，所以342tan 222121===∠b ac PF F F PF F 8=⇒ac ，又2212c a +=所以162=a ，所以21212121811PF PF PF PF PF PF PF PF =+=+，而]6,2[1∈PF ，所以]16,12[16)4()8(211121∈+--=-=PF PF PF PF PF ，所以∈=+2121811PF PF PF PF 32,21[，故选A例9.已知点F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，P 为C 右支上一点.以C 的实轴为直径的圆与线段PF 交于B A ,两点，且B A ,是线段PF 的三等分点，则C 的渐近线方程为（）A.x y 31±= B.x y 526±= C.x y 1225±= D.x y 597±=解析：设AB 的中点为M ，t BM AM ==，则t PB A F 21==，22t a OM -=所以2222t a PF -=，21PF PF ⊥，所以a t a t PF PF 2262221=--=-a t 53=⇒由勾股定理得2597257292222222212=⇒+=-+=+=e a a t a t OM M F c 又5262597)(122=⇒=+=a b abe ，故选B 三、焦点三角形内切圆的性质在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．接下来归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：如图1，设21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21F PF ∆的内切圆圆心为),(I I y x I ，且圆I 与21F PF ∆三边相切于点H E D ,,，设),(00y x P ，则有如下性质：性质1：ca PE PD -==证明：由切线长定理得PE PD =，H F D F 11=，EF PE 2=ca H F H F E F PE D F PD c a F F PF PF 222221212121-=--+++⇒-=-+所以ca PE PD -==性质2：0ex x I =，eey y I +=10，其中e 的椭圆的离心率证法1：⇒-=+-+⇒-==-c a c x ex a c a PD H F PF I )(0110ex x I =eeyc a cy y y c a y c S I I F PF +=+=⇒+==∆1)(00021证法2：设),(00y x P ，则0101,ex a PF ex a PF -=+=由内心的坐标公式得000022)()()(2ex c a c ex a c ex a cx x I =+-⨯-+⨯++=，eeyc a cy y I +=+=122200性质3：椭圆焦点三角形21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点（当点P 点位于y 轴左侧时，切于左顶点，当点P 点位于y 轴右侧时，切于右顶点）证明：设旁切圆与x 轴切于点T ，则由切线长定理得PN PM =，T F N F 22=，TF M F 11=所以TF F F PM PF T F M F 221111+=+⇒=TF c PN PF a 2222+=+-⇒=-⇒N F a 22T F c 22+c a N F T F -==⇒22，所以点T 的横坐标为a ，所以T 为右顶点，即21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点双曲线焦点三角形内切圆的重要性质性质1：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，则21F PF ∆的内切圆与x 轴切于双曲线的顶点（当点P 在双曲线的右支上时，切点为右顶点，当点P 在双曲线的左支上时，切点为左顶点）证明：由切线长定理得C F A F B F A F PC PB 2211,,===所以a A F A F B F PB C F PC PF PF 2211221=-=--+=-又cA F A F 221=+两式相加得c a A F +=2，所以c a OA O F +=+2，所以a OA =，所以点A 是双曲线的右顶点性质2：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点),(00y x P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，),(I I y x I 是21F PF ∆的内切圆圆心为，且圆I 与21F PF ∆的三边切于点H E D ,,，则c a H F D F +==11，a x I =证明：由性质1可知内切圆与x 轴切于右顶点，所以a x I =由切线长定理得ca H F D F +==11性质3：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过右焦点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线于B A ,两点，若2121,F BF F AF ∆∆的内切圆圆心为21,I I ，半径分别为21,r r ，则（1）21,I I 在直线a x =上；（2）221)(a c r r -=；（3）2cot 221θ=r r 证明：由性质1可知21,I I 在直线a x =上因为21,I I 分别为2121,F BF F AF ∆∆的内心，所以2212,I F I F 分别平分1212,F BF F AF ∠∠，所以022190=∠I F I 所以2122θ=∠F F I ，221θ=∠F HI ，又a c H F -=2所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2cot )(2tan )(2cot )(22122121θθθr r a c r r a c r a c r 从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查学生对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点典型例题（一）定值问题例1.已知椭圆1162522=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，21F PF ∆的内心为I =PF PI 解析：设21F PF ∆内切圆切2PF 于M ，则=PF PI 235=-=-=c a PM 例2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点任意一点，点G I ,分别为21F PF ∆的内心、重心．当IG 恒与x 轴垂直时，椭圆的离心率是解析：设点),(00y x P ，则)3,3(00y x G ，)1,(00e ey ex I +，因为当IG 恒与x 轴垂直，所以300xex =解得31=e 注：若IG 恒与y 轴垂直，则3100y e ey =+，解得21=e 例3.已知椭圆1162522=+y x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上一点，21F PF ∆的内心为I ，若内切圆半径为1，则=PI 解析：由题知53=e ，设),(00y x P ，则381831000=⇒==+y y e ey ，代入椭圆方程得3550=x 即点)38,355(P ，所以50==ex x I ，即)1,5(I ，所以=PI 22)138()5355(-+-5=（二）轨迹问题例4.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点的动点，21F PF ∆的内心为I ，则点I 的轨迹方程为解析：设点),(),,(00y x P y x I ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==y c c a y x ca x e ey y ex x 00001，因为点P 在椭圆上，所以1)(1)(22222222222222=++⇒=++bc y c a c x b c y c a a c x a ，所以点I 的轨迹方程为1)(222222=++b c y c a c x )0(≠y 例5.双曲线191622=-y x 的左、右焦点分别21,F F ，P 为双曲线右支上的点，21F PF ∆内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：因为4==a x I ，所以圆心I 到y 轴的距离为4，故选D例6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则点B 的轨迹是（）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PI 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，所以点B 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，故选B 例7.已知)5,22(P 在双曲线14222=-by x 上，其左、右焦点分别为21,F F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，则2MF MP ⋅的值为（）A.122- B.122+ C.222- D.222+解析：将)5,22(P 代入双曲线方程得5=b ，所以3=c ，)0,3(2F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，所以M 为双曲线的右顶点，所以)0,2(M ，所以)5,222(-=MP ，)0,1(2=MF ，所以=⋅2MF MP 222-，故选C例8.点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为左、右焦点，21F PF ∆的内切圆与x 轴相切于点N ，若点N 为线段2OF 中点，则双曲线离心率为（）A.12+ B.2C.2D.3解析：易知点N 为右顶点，又点N 为线段2OF 中点，所以22=⇒=e a c ，故选B 提升训练1.已知21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，P 是以21F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，则这个椭圆的离心率为（）A.13- B.13+ C.213- D.213+解析：易知02190=∠PF F ，又12212F PF F PF ∠=∠，所以01202130,60=∠=∠F PF F PF 所以1330sin 60sin 90sin 000-=+=e ，故选A2.（2022·重庆一中高一期末）已知B A ,为椭圆E 的左，右焦点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E 的离心率为（）A.23 B.36 C.23或36 D.23或313-解析：若0120=∠AMB ，则2360sin 0==e 若0120=∠ABM ，则c MA c MB 32,2==，所以213322222-=+==c c c a c e 故选D3.（2022·贵州遵义·高二期末）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 左右焦点分别为21,F F ，P为C 上除左右端点外一点，若21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF ，则椭圆C 的离心率为A.634- B.7325- C.5337- D.5627-解析：由21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF 得23sin 21=∠F PF ，322sin 12=∠F PF 所以6223322213123)sin(sin 122121+=⨯+⨯=∠+∠=∠F PF F PF PF F 所以5627322236223sin sin sin 122121-=++=∠+∠∠=F PF F PF PF F e ，故选D4.（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为A.34 B.334 C.4D.364解析：因为130cos 30sin 22022102=+e e 即4312221=+e e ，所以由柯西不等式得31643431311()33111(11(2221221221=⨯=++≤⋅+⋅=+e e e e e e ⇒3341121≤+e e ，故选B 5.（2022·四川成都·模拟预测）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，右顶点为B ，点A 在椭圆上，满足022160=∠=∠ABF AF F ，则椭圆的离心率为（）A.23 B.313- C.332- D.13-解析：因为221ABF AF F ∠=∠，所以21AF F ∆∽BA F 1∆，所以=⇒=2112111AF AF F F BF AF )(2121c a c BF F F +=⋅，所以)(21c a c AF +=，所以)(222c a c a AF +-=所以02030tan 60sin ))(22()(22121b c a c a c a c S F PF =⨯+-⨯+⨯=∆)1(4))1(2)1(22(3)(33))(2)(22(43222e e e e e c a c a c c a c a -=+-+⇒-=+-+⇒0410523=+-+⇒e e e 0)46)(1(2=-+-⇒e e e =⇒e 313-，故选B6.（2022·江西上饶·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为C 上一点，且02160=∠PF F ，213PF PF =，则C 的离心率为（）A.22 B.621 C.47 D.32解析：因为213PF PF =，又a PF PF 221=+，所以2,2321a PF a PF ==所以16930tan 60sin 223212202021=⇒=⨯⨯⨯=∆a b b a a S F PF ，所以47)(12=-=a b e ，故选C 7.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，Q F BQ 1=，则C 的离心率=e （）A.21 B.32 C.22 D.33解析：不妨设221===a BF BF ，t QF =2，θ221=∠BF F ，则t QF -=41，又Q F BQ 1=，所以12242=⇒=-=t t BF ，所以31==QF BQ ，所以312cos =θ所以33sin 31sin 212=⇒=-θθ，所以==θsin e 33，故选D 8.已知椭圆1422=+y x 上一动点P 到两个焦点21,F F 的距离之积取最大值时，21F PF ∆的面积为（）A.1B.3C.2D.32解析：4)2(22121=+≤⋅PF PF PF PF ，当且仅当21PF PF =即点P 为短轴端点时等号成立，此时321==∆bc S F PF ，故选B9.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则=21PF PF （）A.2B.4C.6D.8解法1：434330cot 60sin 2121210202121=⋅⇒=⋅⇒=⋅=∆PF PF PF PF b PF PF S F PF ，选B 解法2：4211260cos 120221=-=-=b PF PF ，故选B 10.（2019·新课标Ⅲ）已知F 是双曲线C ：15422=-y x 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OF OP =，则OPF ∆的面积为（）A.23B.25 C.27 D.29解析：OF OP =，所以02190=∠PF F ，所以2545cot 52121021=⨯⨯==∆∆F PF OPF S S ，选B 11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.5B.2C.25 D.1解析：145cot 0221==∆b S F PF ，故选D12.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则P 到x 轴的距离为（）A.23 B.26 C.3 D.6解析：26230cot 100021=⇒⨯=⨯=∆y y S F PF ，故选B13.（2022攀枝花市第十五中学校高二期中（理））设21,F F 为椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在此椭圆上，且221-=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.1B.2C.3D.2解析：设θ=∠21PF F ，则21cos 2cos cos 12cos 221-=⇒-=+==⋅θθθθb PF PF 0120=⇒θ，所以36tan 12tan0221=⨯==∆θb S F PF ，故选C 14.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解析：516545cot 0221=⇒⨯==∆P P F PF y y b S ，所以点P 到x 轴的距离为51615.如图，21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2OPF ∆是面积为3的正三角形，则=2b 解析：由题意知02190=∠PF F 且3221=∆F PF S ，所以323245tan 22=⇒=b b 16.已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，21,F F 为椭圆的左、右焦点，若21PF F ∠060=，且21F PF ∆的面积为243a ，则椭圆的离心率是解析：434330tan 2220221=⇒==∆a b a b S F PF ，所以21)(12=-=a b e 17.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，21F PF ∆内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是（）A.OBOA > B.OBOA < C.OBOA = D.OB OA ,大小关系不确定解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PQ 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，而A 为双曲线的顶点，所以a OA =，所以OB OA =，故选C 18.已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上除顶点外的一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，,,1221βα=∠=∠F PF F PF ，双曲线离心率为e ，则=2tan2tanβα（）A.11+-e e B.11-+e e C.1122-+e e D.1122+-e e 解法1：2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 2sin2sin sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+-=-+=-+++=-+=e 2tan 2tan 2tan 2tan βαβα+-=⇒=2tan2tanβα11-+e e ，故选B 解法2：易知21F PF ∆的内切圆切x 轴于点)0,(a A -，设内切圆半径为r ，则ac r-=2tan αa c r +=2tan β，所以=2tan 2tanβα11-+=-+e e a c a c ，故选B 18.已知点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于左、右顶点的任意一点，21,F F 是左、右焦点，连接21,PF PF ，作21F PF ∆的旁切圆（与线段P F PF 12,延长线及21F F 延长线均相切），其圆心为'O ，则动圆圆心'O 的轨迹所在曲线是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析：因为21F PF ∆的旁切圆与x 轴切于椭圆的右顶点，即圆心'O 在x 轴上射影为椭圆的右顶点，所以圆心'O 的轨迹为直线a x =，故选B19.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，经过1F 的直线交椭圆于B A ,，2ABF ∆的内切圆的圆心为I ，若05432=++IF IA IB ，则该椭圆的离心率是（）A.55 B.32 C.43 D.21解析：由05432=++IF IA IB 及奔驰定理可知，不妨设5,4,322===AB BF AF ，则3125434=⇒=++=a a ，所以点A 为椭圆的短轴的端点，设θ221=∠AF F ，则=⇒=-⇒=θθθsin 53sin 21532cos 255，所以=e =θsin 55，故选A 20.（2022·江苏苏州·模拟预测）已知21,F F 是椭圆)1(1122>=-+m m y m x 的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若21F AF ∆的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为A.12- B.21 C.22 D.13-解析：设),(00y x A ，则ey e r +=10，可知当点A 在短轴端点时21F AF ∆的内切圆半径最大，此时433113311=⇒=+-⇒=+-⨯m m m e m e ，所以21=e ，故选B21.（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是双曲线上一点，且0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），若21F PF ∆内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（）A.13+ B.213+ C.216+ D.16+解析：由0)(22=⋅+P F OF OP 可知21PF PF ⊥，又21F PF ∆内切圆的半径为2a，所以2321a c a a c PF +=++=，222ac a a c PF -=+-=，由勾股定理得=⇒=--⇒-++=e e e ac a c c 0544)2()23(42222216+，故选C 22.（2022·江西·上高二中模拟预测）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上的一点，I 为21F PF ∆的内心，且PI IF IF 2221=+，则双曲线的离心率为（）A.31B.52 C.33 D.2解析：022222121=++⇒=+IP IF IF PI IF IF ，结合奔驰定理不妨设12=PF ，21=PF ，221=F F ，所以212222=-==a c e ，故选D 23.（2022·湖北·高二月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A.2B.3C.35 D.47解析：由题意知21F AF ∆的内切圆圆心)4,(b a I ，设渐近线的倾斜角为θ2，则ab =θ2tan 且)(4tan a c b -=θ，所以350583))(4(1)(4222=⇒=+-⇒=---e e e a b a c b a c b，故选C 24.椭圆1C ：)0(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，曲线1C ,2C 在第一象限交于点P ,I 是21F PF ∆内切圆圆心，O 为坐标原点，H F 2垂直射线PI 于H 点，2=OH ，则I 点坐标是解析：由题意知2==m OH ，所以3=c ，2=a ，点I 的横坐标为2，设θ=∠21PF F由0902cot 12tan121=⇒⨯=⨯=∆θθθF PF S ，所以3232(45tan 1021-=⇒+=⨯=∆r r S F PF 所以I 点坐标是)32,2(-25.已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，满足2tan22tan1221F PF F PF ∠=∠，该双曲线的离心率为解析：设21F PF ∆内切圆半径为r ，易知内切圆与x 轴切于点)0,(a -，所以32tan 2tan 2tan 22tan12211221=⇒+⨯=-⇒∠=∠⇒∠=∠e ac ra c r F IF F IF F PF F PF 26.（2022·四川达州·高二期末）已知点)0,3(),0,3(21F F -分别是双曲线C ：12222=-b y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=PQ ，则C 的离心率为解析：设2MPF ∆的内切圆分别与21,MF MF 切于点B A ,，则由切线长定理得MBMA =Q F B F 22=，PQ P A =，所以P A MA MF PF MP MF MF a +=-+=-=2221224222=⇒==--++a PQ Q F MB Q F PQ ，又3=c ，所以23=e 27.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左､右焦点，P 为曲线上一点，02160=∠PF F ，21F PF ∆的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e ，则=2e 解析：设21F PF ∆的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则3260sin 220cR c R ===，所以32c r =，设βα=∠=∠1221,F IF F IF ，则0601806022=+⇒=++βαβα所以)(32)(321)(32)(32tan tan 1tan tan )tan(3a c c a c c a c ca c c -⋅+--++=-+=+=βαβαβα7122=⇒e 28.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）已知双曲线C ：)0,0(18222>>=-b a y a x 的左､右焦点为21,F F ，若点P 在双曲线的右支上，且21F PF ∆的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为解析：易知1=a ，所以3=e 综合训练1.（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若61=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.8B.28 C.16D.216解析：由题知42=PF ，621=F F ，所以211F F PF =，所以2843642121=-⨯⨯=∆F PF S 故选B2.（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，动点P 在椭圆上，若21F PF ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有（）A.0个B.1个C.2个D.4个解析：由题意知3412=>=⇒=c b bc ，所以当点P 在短轴端点处时0245<∠OPF ，所以02190<∠PF F ，所以椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有0个，故选A3.（2022·江西鹰潭·高二期末）椭圆C ：1244922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若81=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.48B.40C.28D.24解析：由题知62=PF ，1021=F F ，所以21PF PF ⊥，所以24862121=⨯⨯=∆F PF S ，选D 4.（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设21,F F 是椭圆1241222=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且31cos 21=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.6B.26 C.8D.28解析：设θ221=∠PF F ，则22tan 36cos 311cos 2cos 221=⇒=⇒=-=∠θθθPF F 所以26tan 1221==∆θF PF S ，故选B5.（2022北京市第五十七中学高月考）已知椭圆C ：192522=+y x 的左右焦点为21,F F ，BA ,分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A.离心率54=e B.若02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为8C.21F PF ∆的周长为18D.直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值259-解析：4,3,5===c b a ，离心率54=e ，A 正确；若02190=∠PF F ，则945tan 9021==∆F PF S B 错；21F PF ∆的周长为1822=+c a ，C 正确；由第三定义知259-=⋅PB P A k k ，D 正确，选B6.（2022黑龙江·大庆中学高二期末）已知21,F F 分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得212F F OP =，设21F PF ∆的面积为S ，若221)(PF PF S -=，则该椭圆的离心率为（）A.31 B.21 C.23 D.35解析：由212F F OP =知21PF PF ⊥，所以2121PF PF S =，所以221)(PF PF S -=9445tan 94844)(22022221221=⇒==⇒-=-+a b b a S S a PF PF PF PF 所以=-=2)(1abe 35，故选D 7.（2022·山西运城·高二期末）已知点21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则A.1PF 与双曲线的实轴长相等 B.21F PF ∆的面积为223a C.双曲线的离心率为23D.直线023=+y x 是双曲线的一条渐近线解析：由题意21PF PF ⊥，又213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，所以A 错；23321221a a a S F PF =⨯=∆，B 正确；由勾股定理得21094222=⇒+=e a a c ，所以C 错；2612=-=e a b ，所以渐近线方程为x y 26±=即026=±y x ，D 错；故选B 8.（2022·内蒙古赤峰·高三期末）已知双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，211F F PF ⊥，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，则=PI （）A.3342 B.334 C.3343 D.234解析：设内切圆切1PF 于点M ，则31621==a b PF ，334612=+=PF PF ，所以内切圆半径222211=-+=PF F F PF r ，所以3101=-=r PF PM ，所以在PMI ∆中由勾股定理得=+=+=4910022r PM PI 33429.（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 的离心率为3，21,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若21F PF ∆的面积为2，则双曲线C 的实轴长为A.1B.2C.3D.4解析：因为213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，又a c ace 33=⇒==所以3132129cos 22221-=⨯⨯-+=∠a a a a a PF F 322sin 21=∠⇒PF F ，所以1232232121=⇒=⨯⨯⨯=∆a a a S F PF ，所以双曲线C 的实轴长为2，故选B 10.（2022·广西玉林·模拟预测）已知双曲线C ：1222=-y x 的左、右焦点为21,F F ，P为双曲线右支上的一点，02130=∠F PF ，I 是21F PF ∆的内心，则下列结论错误的是A.21F PF ∆是直角三角形B.点I 的横坐标为1C.232-=PI D.21F PF ∆的内切圆的面积为π解析：设t PF =2，则t PF +=21，由余弦定理得2)2(32212)2(30cos 220=⇒+⨯⨯-++=t t t t 所以22=PF ，41=PF ，3221=F F ，所以02290=∠F PF ，A 正确；P 在右支上，所以点I 的横坐标为1=a ，B 正确；内切圆半径1321212-=-+=PF F F PF r ，D 错；所以232)13())13(2(22-=-+--=PI ，C 正确；故选D11.（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线M ：15422=-y x 右支上的一点，21,F F 是左、右焦点，42=PF ，则21F PF ∆的内切圆半径为（）A.9154 B.3152 C.9152 D.315解析：42=PF ，81=PF ，621=F F ，所以1611842366416cos 21=⨯⨯-+=∠PF F ，所以16153sin 21=∠PF F ，所以=⇒⨯⨯⨯=++=∆r r S F PF 161538421)684(2121315，故选D 12.设P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的点，21,F F 是焦点，双曲线的离心率是34，且02190=∠PF F ，21F PF ∆的面积是7，则=+b a （）A.73+ B.79+ C.10D.16解析：7745cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又33471)(122=⇒=+=+=a a a b e 所以=+b a 73+，故选A13.在直角坐标系xOy 中，)0,(),0,(21c F c F -分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，位于第一象限上的点),(00y x P 是双曲线C 上的一点，21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，21F PF ∆的面积为232a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.xy ±= B.x y 22±= C.x y 21±= D.xy 2±=解析：21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，所以33tan tan 1221=∠=∠F MF F MF 0122130=∠=∠⇒F MF F MF ，所以021********1,120=∠=∠=∠MF F PF F MF F 所以23230cot 2221=⇒==∆aba b S F PF ，所以渐近线方程为x y 2±=，故选D 二、多选题14.已知P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 是21F PF ∆的内心，双曲线的离心率为e ，2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积分别为,,21S S 3S ，且321kS S S +=，下列结论正确的为（）A.ek = B.ek 1=C.I 在定直线a x =上D.若m PF =1，则a m PF 22-=或am PF 22+=解析：321kS S S +=ke kc a r c k r PF r PF 1221212121=⇒=⇒⋅⋅⋅+=⇒，A 错；B 正确；点P 在右支上，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点)0,(a A ，所以I 在定直线a x =上，C 正确；因为点P 在右支上，所以a m a PF PF 2212-=-=，D 错；故选BC15.（2022福建福州·高三）已知P 是双曲线E ：15422=-y x 在第一象限上一点，21,F F 分别是E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为215．则以下结论正确的是（）A.点P 的横坐标为25B.2321ππ<∠<PF F C.21F PF ∆的内切圆半径为1 D.21PF F ∠平分线所在的直线方程为0423=--y x 解析：设),(00y x P ，3,5,2===c b a ，2521530021=⇒=⨯=∆y y S F PF ，代入双曲线方程得30=x ，A 错；232tan 2152cot 5212121=∠⇒=∠=∆PF F PF F S F PF =∠⇒21tan PF F35122tan 12tan221221>=∠-∠=PF F PF F ，所以2321ππ<∠<PF F ，B 正确；13225200=+⨯=+=x a ay y I 所以21F PF ∆的内切圆半径为1，C 正确；内心)1,2(I ，)25,3(P ，所以21PF F ∠平分线所在的直线方程为)2(231-=-x y ，即0423=--y x ，D 正确；故选BCD16.（2022江苏省天一中学高三）已知点P 是双曲线E ：191622=-y x 的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是（）A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.21PF F ∠大于3πD.21F PF ∆的内切圆半径为23解析：42050021=⇒==∆y y S F PF ，代入双曲线方程得3200=x ，A 正确；21F PF ∆的周长为38052320452200=⨯+⨯⨯=+-++c a ex a ex ，B 正确；202cot 92121=∠=∆PF F S F PF 2092tan 21=∠⇒PF F 3319360)209(12092tan 221<=-⨯=∠⇒PF F ，所以321π<∠PF F ，C 错；23203802121=⇒=⨯⨯=∆r r S F PF ，D 正确；故选ABD三、填空题17.设21,F F 是椭圆C ：)20(14222<<=+m m y x 的两个焦点，),(00y x P 是C 上一点，且满足21F PF ∆的面积为3，则0x 的取值范围是解析：由340221=-=∆y m S F PF 22043m y -=⇒，所以1)4(342220=-+m m x )4(1242220m m x --=⇒，又20<<m ，所以]4,0()4(22∈-m m ，所以]1,0[]1,0[020∈⇒∈⇒x x 18.设21,F F 为椭圆C ：1422=+y x 的两个焦点．M 为C 上点，21F MF ∆的内心I 的纵坐标为32-，则21PF F ∠的余弦值为解析：02121902tan132)(32(21=∠⇒∠⨯=-+=∆PF F PF F S F PF ，所以0cos 21=∠PF F 19.双曲线C ：1322=-y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在C 上且34tan 21=∠PF F ，O 为坐标原点，则=OP 解析：71cos 34tan 2121=∠⇒=∠PF F PF F ，所以771132cos 1221221=-⨯=∠-=PF F b PF PF 又2221==-a PF PF ，所以182221=+PF PF，由平行四边形的性质得536164)(2)2(222212212=⇒=+⇒+=+OP OP PF PF F F OP 20.已知椭圆C 的焦点为)0,(),0,(21c F c F -，过点2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且01120=∠B AF ，3321=∆AB F S ，则此椭圆的标准方程为解析：由题意知四边形21BF AF 为平行四边形，且02130=∠F AF ，02160=∠AF F ，所以233230tan 202211=⇒===∆∆b b S S F AF AB F ，133232211=⇒=⨯==∆∆c c c S S F AF AB F 所以32=a ，所以椭圆的方程为12322=+y x。

专题13 焦点三角形的面积公式

专题13 焦点三角形的面积公式一、结论1、椭圆中焦点三角形面积公式在椭圆22221x y a b +=(0a b >>)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,12F PF θ∠=,12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ∆== ②12121|||||sin 2PF F S PF PF θ∆=③122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠.2、双曲线中焦点三角形面积公式在双曲线22221x y a b −=(0a >,0b >)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,12F PF θ∠=，12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ∆== ②12121|||||sin 2PF F S PF PF θ∆=③122tan2PF F b S θ∆=注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.二、典型例题1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知1F 、2F 是椭22:143x yC +=圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，则12PF F ∆的面积是（）A ．3B ．2C D 【答案】D 【详解】由椭圆22:143x y C +=的方程可得24a =，23b =，1c =，则1224PF PF a +==，因为1260F PF ︒∠=，则2221212122cos60PF PF PF PF F F +−⋅=，即()221212123PF PF PF PF F F +−⋅=，即121634PF PF −⋅=，解得124PF PF ⋅=，因此，121211sin60422PF F SPF PF =⋅=⨯故选：D.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠，由题意知23b =，6πθ=，代入122tan3tan26PF F S b θπ∆==⋅=【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，122tan2PF F S b θ∆=要特别注意记忆12F PF θ=∠表示的是哪个角.2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上一动点，1F，2F 是椭圆的左、右焦点，当123F PF π∠=时，12F PF S =△1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，则点P 运动过程中，1211PF PF +的取值范围是（）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．82,153⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,215⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【详解】设12,PF m PF n ==. 在12F PF △中，当123F PF π∠=时，由椭圆的定义，余弦定理得：()22222cos 23m n a m n mn c π+=⎧⎪⎨+−=⎪⎩整理得：243b mn =由三角形的面积公式得：121sin 23F PF S mn π==△，解得：212b =. 因为线段1PF 的中点落到y 轴上，又O 为12FF 的中点，所以2//PF y 轴，即2PF x ⊥.由124tan 3F PF ∠=，得12243F F PF =，解得：232c PF =，所以3,2c P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆标准方程得：2222914c c a b+=.又有22212b a c =−=，解得：2216,4a c ==，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=.所以8m n +=.因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤.所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =−=−+=−−+，当26m ≤≤时，1216mn ≤≤，所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠，由题意知3πθ=，代入公式12222tantan1226PF F S b b b θπ∆=⇒=⇒=，又当线段1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，可知122F F P π∠=，从而有32n c =，52m c =，且212b n a a ==，进一步有：24431222a ca c c a =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩所以椭圆标准方程为：2211612x y +=. 所以8m n +=.因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤.所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =−=−+=−−+，当26m ≤≤时，1216mn ≤≤，所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D【答案】B 【详解】解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ，所以AF BF ⊥，圆心为()0,0O ，半径为c ，根据双曲线的对称性可得四边形AFBF '是矩形，设||AF m =，||BF n =，则222224122n m a n m c mn a ⎧⎪−=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，由()2222n m m n mn −=+−可得222484c a a −=，所以223c a =，所以2223c e a==，所以e 故选：B.另解：解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ，所以22AF F S a '∆=，且2F AF π'∠=,根据双曲线焦点三角形面积公式：122tan2PF F b S θ∆=得：222a b =，结合222c a b =+，得222222233a c a c a e e =−⇒=⇒=⇒=【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即||||||2AF AF a '−=,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S θ∆=.4．(多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线C ：2214y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 双曲线C 右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（）A ．若60θ=︒，则S＝B ．若4S =，则2PF =C ．若12PF F △为锐角三角形，则S ∈D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x ⎛⎫−=> ⎪⎝⎭ 【答案】ACD 【详解】由2214y x −=，得221,4a b ==，则1,2,a b c ==焦点三角形12PF F 的面积公式24tantan22b S θθ==，将60θ=代入可知S =，故A 正确．当S ＝4时，90θ=，由1222212122PF PF PF PF F F ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，可得22PF =，故 B 错误．当1290F PF ∠=时，S ＝4，当2190PF F ∠=时，S =，因为12PF F △为锐角三角形，所以S ∈，故C 正确．设()()000(,),,1G x y P x y x >，则()2200114y x x −=>，由题设知12(F F ，则0033x x y y=⎧⎨=⎩，所以22919143y x x ⎛⎫−=> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即12||||||2AF AF a −=,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S θ∆=.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F ∆的面积为（） A ．8B．C ．16D．2．（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F −，动点P 在椭圆上，若12PF F ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F ∆的面积为（） A ．48B ．40C ．28D ．244．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设12,F F 是椭圆2211224x y+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F ∆的面积为（）A ．6B．C ．8D．5．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））椭圆2214x y +=的左右焦点为1F ､2F ，P 为椭圆上的一点，123F PF π∠=，则12PF F ∆的面积为（）A ．1BCD ．26．（2021·北京市第五十七中学高二阶段练习）已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（） A ．离心率45e =B ．12F PF ∆的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925−D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF ∆的面积为8 7．（2021·黑龙江·大庆中学高二期末）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得122OP F F =，设12F PF ∆的面积为S ，若()212S PF PF =−，则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．12C D 8．（2022·山西运城·高二期末）已知点12F F ､是双曲线22221(0,0)x y a b ab−=>>的左､右焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则（） A ．1PF 与双曲线的实轴长相等B ．12PF F ∆的面积为232aC ．双曲线的离心率为52D ．直线320x y +=是双曲线的一条渐近线9．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））已知双曲线221916x y −=的两个焦点为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，212PF F F ⊥，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，则PI =（）A B C D10．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 12,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若12PF F ∆C 的实轴长为（） A ．1 B ．2C ．3D ．411．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知双曲线22:12y C x −=的左，右焦点为12,F F ，P为双曲线右支上的一点，1230PF F ∠=︒，I 是12PF F ∆的内心，则下列结论错误的是（）A ．12PF F ∆是直角三角形B ．点I 的横坐标为1C ．||2PI =D ．12PF F ∆的内切圆的面积为π12．（2022·天津和平·高二期末）双曲线221169x y −=的两个焦点分别是12,F F ，点P 是双曲线上一点且满足1260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积为（）A ．B ．C ．D ．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线22:145x y M −=右支上的一点，1F ，2F 是左，右焦点，24PF =，则12PF F ∆的内切圆半径为（）A BC D。

盘点圆锥曲线中的焦点三角形

盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线中的焦点三角形是指在椭圆、双曲线和抛物线上取三个焦点，并以这三个焦
点为顶点构成的三角形。

下面将分别盘点这三个圆锥曲线中的焦点三角形。

1.椭圆的焦点三角形：
椭圆是一个闭合的曲线，它的焦点三角形有一些特点。

椭圆的焦点在椭圆的中心处，即三个焦点共线且在一条直线上。

椭圆的焦点三角形是等腰三角形，即三条边的长度相等，这是因为椭圆的定义就是到
焦点的距离之和等于常数。

3.抛物线的焦点三角形：
抛物线是一个开放的曲线，它的焦点三角形也有一些特点。

抛物线只有一个焦点，因此抛物线的焦点三角形只有两个顶点是焦点。

抛物线的焦点三角形的底边是抛物线的准线，即与焦点垂直的直线。

抛物线的焦点三角形的底边长度是常数，而顶点到底边的距离相等，这是因为抛物线
的定义就是焦点到顶点的距离等于准线的长度。

总结：
圆锥曲线中的焦点三角形在椭圆和双曲线中具有相同的特点，即焦点共线、等腰三角形，而在抛物线中有一些特殊的特点，即只有两个顶点是焦点，并且底边是抛物线的准线。

在数学研究和应用中，焦点三角形广泛应用于几何学和物理学等领域。

最全圆锥曲线知识点总结

最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。

这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。

注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。

2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。

如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。

3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。

5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。

如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。

如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。

6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。

1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。

焦点三角形问题(解析版)

第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。

若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。

题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。

本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。

焦点三角形内心和旁心的若干性质

2014 年第 6 期定理 3 y1 ）是椭圆设 P （ x1 ，
河北理科教学研究 x2 y2 + = a2 b2
问题讨论
PA 交 x 轴证明：不妨设点 P 在右分支上， 0）， E （－ c， 0）， F （ c， 0），于 B （ x2 ，双曲线的离心率为 e．则由双曲线右分支的焦半径公式 | PE | = 及三角形内角平分线性质定理得 | PF |
2
求轨迹为椭圆
x y 2 + eb c （） 1 +e
2
y），对于椭圆和双曲线上的一点 P （ x，焦半径公式 R 椭圆 = a ± ex 和 R 双曲线 = | a ± ex | 是大家都知道的，若已知焦点三角形内心或旁心，则有如下新的表达形式．定理 7 P 是椭圆 x2 y2 = 1（ a ＞ b ＞ 2 + a b2
x1 y1 2 ．故外角平分线 PA 的方程为 y － 0 = x2 1 － a x1 y1 a2 ） x1 y1 x + （ a2 － x2 1） y = 2（ x － x1 x －a
2 1 2 2 y1 a2 b2 x1 y1 x + （ a2 b2 － b2 x2 1 ） y = y1 a b ．因
P （ x1 ， y1 ）是双曲线
x2 y2 － = 1 上的点，所以 a2 b2 x1 x － a2
2 2 2 a2 b2 － b2 x2 代入上式得 b x1 y1 x － 1 = － a y1 ， 2 2 2 a2 y2 b x1 x － a2 y1 y = a2 b2 1 y = y1 a b
e2 = 0 ．（ 2 ）由（ 1 ）的证明得 λ = BA = e，故由定 AP

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。

适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。

PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。

在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。

圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法

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焦点三角形中的中点问题
总结词
焦点三角形中的中点问题主要涉及到中点的性质和相关的计算公式。
详细描述
在焦点三角形中，中点问题主要涉及到中点的性质和相关的计算公式。例如，在椭圆中，如果一个三角形的一个顶点与两个焦点的中点相连，那么这个三角形必然是直角三角形。这是因为中位线的性质，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半。类似地，在双曲线中也有类似的结论。解决这类问题的关键在于理解中点的性质和相关的计算公式，以及如何应用这些性质和公式来解决问题。
对于双曲线，标准方程为`(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1`，其中`(a,b,c,d)`是双曲线的实半轴、虚半轴、焦点到中心的距离和准线到中心的距离。
圆锥曲线的性质和特点
• 圆锥曲线具有封闭性、对称性和渐近性等性质。封闭性是指椭圆和双曲线在坐标系中画出来是一个封闭的图形，而抛物线则无限延伸。对称性是指椭圆和双曲线关于坐标轴对称，而抛物线则关于准线对称。渐近性是指双曲线在远离中心的区域逐渐接近两条直线，而椭圆则逐渐接近一个圆。
椭圆上点的离心率性质
在椭圆上，随着点在曲线上的位置变化，离心率的变化规律是单调递增或递减的。具体来说，当点从椭圆的长轴向短轴移动时，离心率单调递增；当点从短轴向长轴移动时，离心率单调递减。
抛物线上点的离心率性质
在抛物线上，随着点在曲线上的位置变化，离心率的变化规律也是单调递增或递减的。但是，与椭圆不同，抛物线上的离心率变化规律取决于曲线的形状（开口方向）。对于开口向右的抛物线，离心率单调递增；对于开口向左的抛物线，离心率单调递减。
VS
焦点三角形的弦长随着圆锥曲线类型的变化而变化：在相同条件下，椭圆中的弦长比双曲线中的弦长短。

圆锥曲线中的焦点三角形问题

解得：ｌｅＶ，Ｉ．１Ｐｌ＝６４
＝
．．．
系定理，解题中，通过变形，使之出现Ｉｆ＋ｌｌ＝２ａ，或ＩＩ — ＩＰ｛＝ ± ２口，然后找到相关关系，进行解题。
一
圭 × ＩＰＦ２［ｓｉｎ６０￣＝圭 × ６４ × ２＿１６
（２）的面积的最大值；（３）的周长的最大值。分析：（１）令ｌｌ＝ｍ，ｆＩ＝，则有：
ｆ＋＝２ａ
二与焦点三角形有关的轨迹问题
例２：－￣Ｍ（Ｏ，一５）， Ⅳ （０，５），脚的周长为３６，则求△ ＭＮＰ的
圆
‘
． ’
］
］或
‘
．
．
ａ＝１３．又 ‘ ．Ｃ＝５
ＭＮＰ
轨迹方程为一ｙ２Ｐ１６９＋１４４＝ ≠叭的顶点的轨迹方程为。一～。三、面积问题
．・。
．
‘ Ｙ
ｆ，、Ｓ．ｅｅ￣ｅ，＝曩Ｆ２ｌ＿ｈ
．
２ｍｎ
又．。ｍ＋ｎ＝４口一２ｍｎ
４口一２ｍｎ一４ｃ
Ｃ０Ｓ廿＝
‘
２６．
一１
．
．
２ｍｎ
又・．・２ａ：＋ ≥ ２ √
・
．．
ｍｎ口（当且仅当ｍ＝ｎ时，取 “ ＝ ”）
・．．
。ａｒｃｃｏｓ０
顶点Ｐ的轨迹方程。

圆锥曲线焦点三角形面积公式

圆锥曲线焦点三角形面积公式：S=b²·tan（θ/2）。

圆锥曲线定理：
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面PI'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面PI'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。

又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面PI与PI'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d 为准线。

图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。

证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。

设平面PI′与PI的交角为a，圆锥的母线（如PQ）与平面PI的交角为b。

设P到平面PI 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=a。

又PE=PF，因为两者同为圆球之切线。

如此则PR sina=PH=PE sinb=PF sinb。

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。

下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。

一、定值问题例1. 椭圆上一点P ，两个焦点x a y ba b 222210+=>>()，的内切圆记为，求证：点P 到的切)0,()0,(21c F c F ，-12F PF ∆M e M e 线长为定值。

证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵|F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。

二、动点轨迹问题例2、已知椭圆上一动点P ，两个焦点， x a y ba b 222210+=>>())0,()0,(21c F c F ，-的内切圆记为，试求圆心M 的轨迹方程　。

12F PF ∆M e 解析：如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，又由合分比定理知1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c αβαβαβαβ+=⇒=++++。

如何求解圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题

整体，用一个新元代替进行等量代换，从而求得问题的答案.解：由于S m,S2m-S m，S3m-S2m成等差数列，由等差数列的性质可知2(S2m-S m)=S m+(S3m-S2m)，因为S m=30，S2m=100，所以2(100-30)=30+(S3m-100)，解得S3m=210.我们仔细研究等差数列的前m项的和S m、前2m 项的和S2m、前3m项的和S3m，不难发现它们之间存在一定的规律：S m、S2m-S m、S3m-S2m成等差数列，即可将前m项的和S m、前2m项的和S2m、前3m项的和S3m看作一个整体，根据等差数列的性质建立关系式，通过整体代换求得问题的答案.三、特殊值法特殊值法是解答填空、选择题的重要方法.一般地，对于满足题意的任何一种特殊情况都可使命题成立，因此可根据题意选取一个合适的特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点，将其代入题目中进行运算，即可快速获得问题的答案.对于选择题，可根据题意将特殊值代入选项中进行计算，确定满足题意的那个选项即可.解：设m=1,因为S m=30，S2m=100，所以{S1=a1=30,S2=a1+a2=100,解得a2=70，可得a3=110.因此S3=a1+a2+a3=30+70+110=210.值得注意的是，特殊法的适用范围较窄，不能用于解答问答题.有些特殊值具有片面性，由特殊值求得问题的答案后，还需对所求的结果进行检验.无论是运用方程思想、整体代换法，还是运用特殊值法求解与数列各项和有关的问题，都需灵活运用数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式，将题目中的关系式进行适当的变形，以将问题转化为简单的运算问题，再通过建立方程（组）、赋值、整体代换来求得问题的答案.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）圆锥曲线中的焦点三角形比较特殊，其中一个或两个顶点为圆锥曲线的焦点，其他的顶点在该圆锥曲线上，那么根据圆锥曲线的方程可快速求得三角形三个顶点的坐标，并且焦点三角形的一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴或抛物线的焦点弦，这条边长可根据椭圆、双曲线的定义，以及弦长公式求得.圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题的难度往往不大，但具有较强的综合性，且解题时的计算量较大.下面结合实例，谈一谈如何求解圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题.一、焦点三角形的面积问题圆锥曲线中的焦点三角形面积问题，通常要求焦点三角形的面积及其取值范围.解答此类问题，往往需将数形结合起来，根据图形来确定三角形的位置和形状.然后将三角形进行适当的分割、填补，以运用正余弦定理、三角形的面积公式，快速求得问题的答案.例1.已知点P是椭圆x 25+y 24=1上的任意一点，F1和F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：由椭圆的方程x25+y24=1知，a=5，b=2，故c=a2-b2=1，又因为点P在椭圆上，所以||PF1+||PF2=2a=25①，由余弦定理可得：||PF12+||PF22-2||PF1||PF2cos60°=||F1F22=4②，将①平方得||PF12+||PF22+2||PF1||PF2=20，将③-②得||PF1||PF2=163，所以S△PF1F2=12||PF1||PF2sin60°=12×163×.本题中F1和F2是椭圆的两个焦点，所以△F1PF2为椭圆的焦点三角形，||PF1、||PF2为椭圆的焦半径，于是根据椭圆的定义以及余弦定理建立关于||PF1、||PF2的方程，求得||PF1||PF2的值，即可根据三角形的面积公式S=12ab sinθ求得焦点三角形的面积.二、焦点三角形的周长问题圆锥曲线中的焦点三角形周长问题比较常见.解吴德丽43作。

焦点三角形公式推导

焦点三角形公式推导在我们学习圆锥曲线的时候，焦点三角形可是个经常出现的“家伙”。

今天咱们就来好好推导一下焦点三角形的公式，瞧瞧它背后的小秘密。

先来说说啥是焦点三角形。

在圆锥曲线中，比如椭圆或者双曲线，以两个焦点和曲线上一点构成的三角形就叫焦点三角形。

咱以椭圆为例来推导这个公式。

假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），两个焦点分别是$F_1$，$F_2$，椭圆上一点是$P$。

在推导之前，咱们先回忆一下椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴$2a$。

那在焦点三角形$PF_1F_2$中，根据余弦定理可得：$|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$其中，$\theta$是$\angle F_1PF_2$。

因为$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，所以$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$将其变形可得：$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2|$把这个式子代入上面的余弦定理式子中：$4c^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2| - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$整理一下就得到：$|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 + \cos\theta}$这就是焦点三角形在椭圆中的一个重要公式啦。

那双曲线中的焦点三角形公式又是咋样的呢？其实推导过程和椭圆有点类似。

假设双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，两个焦点还是$F_1$，$F_2$，双曲线上一点是$P$。

同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于实轴$2a$，即$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。

高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点

高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
什么是焦点三角形？
定义：
椭圆（双曲线）上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫做焦点三角形，它是由焦距和焦半径构成的特别的三角形。

其中焦点三角形的面积也是一个非常重要的几何量。

怎么求焦点三角形的面积呢？先看一道例题
公式推导：
同样的方法可以也可以证明得到双曲线的焦点三角形面积公式。

公式如下：
接下来在给出关于焦点三角形顶角的一个结论：
这个结论可以借助焦点三角形面积公式的推导过程来继续说明：
实战演练：。

专题(20)圆锥曲线焦点三角形求解策略

高三第二轮专题复习专题（20）——圆锥曲线焦点三角形一、椭圆的焦点三角形1、椭圆焦点三角形的一般性质（1）判断椭圆焦点三角形的形状例1、椭圆1121622=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状. 解：由椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F ，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF∆为直角三角形. （2）椭圆焦点三角形的面积例2、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.解：θc os 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF ，θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF ， 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆. 变式：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 212121=，则12F PF ∆的面积为（）. A.33 B.32 C.3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ122tan9tan 302F PF S b θ∆∴==︒= A.（3）椭圆焦点三角形顶角的最大值.例3、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点.证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：222222212121212121212()2422cos 122r r F F r r rr c a c rr rr rr θ+-+---===-22222221222221112()2a c a c e r r a --≥-=-=-+（当且仅当12r r =时取“=”，此时点P 为短轴端点）. 变式：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析

圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧1.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点为F1和F2，点M为椭圆上一点。

如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求a^2的值。

解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=F1F2.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π。

根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=9a^2/4，p=3a，代入公式可得到a^2=16.2.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1，F1、F2为其左、右焦点。

如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求满足条件的点M的个数。

解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=10.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π=9/5.根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=27/5，p=15/2.代入公式可得到MF1+MF2=8或12，即点M恰好有2个。

3.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=√3/2，右焦点到右顶点的距离为3-2，求椭圆C的标准方程；设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆C于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值。

解析：由椭圆的性质，可得到椭圆的长轴为2a=2(3-2)=2，离心率为e=√3/2，所以短轴为b=a√3/2=√3.因此，椭圆C的标准方程为x^2+y^2/3=1.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则F2到直线PQ的距离为2b/3=2√3/3，即y1+y2=4√3/3.根据△PQF1的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△PQF1的面积，p为△PQF1的半周长，可得到r=2S/（2p-2a-b）。