(三维设计2014年第二轮复习)第二讲 数学的高级统帅——数学思想
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第3讲分类与整合思想课件
【分析】 利用体积相等求出点A到平面A1BD的距离即可判断选项 A和B；求A点到C1的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长 方体剪开再展开，把A到C1的最短距离转化为求三角形的边长问题，根 据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中 AC1的长度，比较三个值的大小后即可得到结论，进而判断C和D.
典例1 (1) (2023·河南校联考模拟预测)已知 a＝ln 1.1，b＝ln 1112，
c＝111，则下列判断正确的是( D )
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【分析】 结合对数函数、导数的知识确定正确答案．
【解析】 ①比较 a，b 的大小：因为 1.1>1112，所以 ln 1.1>ln 1112， 所以 a>b.②比较 b，c 的大小：令 f(x)＝ln x－(x－1)，则 f′(x)＝1x－1＝1－x x. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0，所以当 x>0 时，f(x)≤f(1) ＝0，即 ln x≤x－1，所以 ln 1112<111，即 b<c.③比较 a，c 大小：因为 ln x≤x －1，所以 ln 1x≤1x－1，即 ln x≥1－1x，所以 ln 1.1＝ln 1110>1－1110＝111， 即 a>cБайду номын сангаас综上，a>c>b.故选 D.
【分析】 对于①，根据点P到平面C1D1M的距离即为点P到平面 A1B1C1D1的距离为2即可判断；对于②，异面直线AP与A1D所成角即为直 线AP与B1C所成角，转化为在△AB1C中，AP与B1C所成角即可判断；对于 ③ ， 根 据 N 为 底 面 ABCD 的 中 心 和 正 方 体 的 性 质 ， 证 明 得 AN ⊥ 平 面
借“三维设计”培养学生数学思维——以“三角形全等的判定(3)”为例
罗增儒教授指出，数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质与关键能力.郑毓信教授指出，数学素养的真正核心是通过数学教学帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理.可见，可以通过培养学生的数学思维，发展数学学科核心素养.笔者通过“三维设计”的方法引导教师进行教材的解读与演绎，较好地促进不同学生不同思维层次的发展.本文所说的“三维设计”是指教师在进行教材的解读与演绎中，充分运用师生行为的展示方式、知识的呈现梯度、知识与思想方法的归纳三个因素.当然，还有其他方面的考虑.但“三维设计”是教材解读与演绎的核心要素，运用这一方法，有利于教师把握教材的核心问题，培养学生的数学思维.一、案例呈现案例素材源自浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“1.5三角形全等的判定（3）”，其教学目标是探索三角形全等的判定3，即会运用“SAS ”判定两个三角形全等.1.知识引入（1）数学实验室：图1是两块破碎的纸片，拿哪一块能还原三角形？所选的纸片保留着几个完整的条件？图1（2）把含有两个角和这两个角的公共边的三角形画下来（已知BC =3cm ，∠B =30°，∠C =60°，试用量角器和刻度尺画△ABC ），与同桌比较所画的三角形，你会发现什么？由此你能得出满足怎样条件的两个三角形是全等三角形？【设计意图】从生活实际和作图中凸显三角形全等的三要素（两角及这两个角的夹边），为后续得出三角形全等的判定3埋下伏笔.2.判定初形成问题1：观察图2，你认为下列哪些选项能得出△ABC ≌△DEF ？FAB CDE图2（A ）∠A =∠D ，AB =DE ，∠B =∠E （B ）∠A =∠D ，AC =DF ，∠C =∠F （C ）∠C =∠F ，BC =EF ，∠B =∠E问题2：你能用文字描述出符合什么条件的两个三角形是全等三角形吗？借“三维设计”培养学生数学思维——以“三角形全等的判定（3）”为例郑海山收稿日期：2020-10-08作者简介：郑海山（1976—），男，高级教师，主要从事几何画板学科整合和课堂教学研究.摘要：“三维设计”是从学生思维发展的路径入手，运用师生行为的展示方式、知识的呈现梯度、知识与思想方法的归纳这三个外显的设计，引导教师进行教材的解读与演绎，促进不同学生不同思维层次的发展.运用“三维设计”，教师便于把握教材的核心问题，培养学生的数学核心思维.关键词：三维设计；数学思维；初中数学教师引导学生归纳全等三角形的判定3：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等.简写为“角边角”或“ASA ”.【设计意图】从图形语言的描述到文字语言的表达，体现从直观到抽象的过程，让学生充分感受文字语言表达的概括性、准确性，学会用恰当的数学表达方式描述数学内容，培养学生的数学语言表达能力.3.典型学习例1如图3，已知∠CAE =∠DAB ，∠C =∠1，AC =AE ，求证：△ABC ≌△ADE ．EABCD1图3教学行为展示方式：提出问题—个体回答—师生再解—师生归纳.变式1：若将图3中的△ADE 绕点A 逆时针旋转任意角，∠CAE=∠DAB ，∠C=∠1，AC=AE ，求证：△ABC ≌△ADE.变式2：若将图3中的△ADE 绕点A 顺时针旋转任意角，∠CAE=∠DAB ，∠C=∠1，AC=AE ，求证：△ABC ≌△ADE.对于变式1和变式2，教师先让学生画出旋转后的图形，如图4和图5所示，再进行教学行为.EABCD图5E AB CD1图4问题3：对于例1及其两道变式的解决，我们运用了哪些知识与方法？巩固练习：（1）如图6，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC =AD.F ABCDE图74AB CD123图6（2）如图7，已知点B ，F ，E ，C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB =CD ，∠A =∠D ．求证：AE =DF ．（3）如图8，已知∠ABC =∠BCD ，要使△ABC 和△DCB 全等，你添加的条件是，你的理由是.OABC D图8问题4：从以上三道练习题的解决中，大家有哪些感悟？【设计意图】及时用符号语言巩固全等三角形的判定3，通过一组变式和巩固练习，不仅让学生经历了图形语言的形成过程，而且让学生感受到了变化中的不变，总结归纳解题的一般思维路径，多角度、多层次地巩固判定3.及时总结学习方法，落实“四基”，是培养学生数学思维的前提.例2如图9，已知点D ，E 分别在AC ，AB 上，∠B =∠C ，AB =AC.求证：（1）AE =AD ；（2）BM =CM.MABCD E图9教学行为展示方式：提出问题—个体回答—师生再解—师生归纳.【设计意图】设计图形较为复杂的例题，有利于培养学生在复杂图形中找到关键点的能力，直击解题的本质，从而能使学生熟练掌握全等三角形的判定，进而拓展学生思维的宽度和深度，为深度学习和数学思维的落地提供载体.4.小组合作，问题解决例3如图10，已知AB ∥CD ，AD ∥CB ，求证：AB =CD ．ABC D图10例4阅读下面一段文字：泰勒斯是古希腊哲学家.相传，“两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等”就是泰勒斯首先提出的.泰勒斯利用这个判定三角形全等的依据求出了岸上一点到海中一艘船的距离.如图11，点A是观察点，船P在点A的正前方，过点A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点.观测者从点B沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在同一条直线上时停止，则BK的距离即为船到岸边的距离.试给出证明.一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一图11教学行为展示方式：提出问题—小组合作—小组汇报—师生再解—师生归纳.【设计意图】例3和例4都是对全等三角形判定的深层次运用，通过构造和建构三角形，让学生理解全等三角形判定的运用方法及思维方式.例题设计基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能，凸显数学本质与数学思想方法，帮助学生在学习过程中构建整体性观念，进而达到对全等三角形本质上的理解.同时，借助具体的情境，让学生学会发现问题、提出问题和解决问题的方法，这是培养学生数学思维的有效载体之一.二、案例解析1.师生行为的展示方式促进学生数学表达能力的提升上述例题的教学行为展示方式的实质是遵循以问题为主线，以个体或小组合作的形式为互动平台，全过程、全方位提升学生独立解决问题的能力，并择机采取全员再解答的形式进行补偿教学，师生及时对所学知识与方法进行归纳，提升思维的深度.师生行为展示的目的是促进学生数学表达能力的提高.数学表达能力作为一种重要的数学学科思维能力，其内涵包括合理运用数学语言（文字语言、图形语言和符号语言）表达、分析数学对象并解决数学问题，能在交流中阐明自身数学观点或见解等.该案例中的知识引入、判定初体验等环节都是从学生的最近发展区和知识的最近生成区这两个视角来设计问题，遵循思维由浅入深、由易到难、由形象到抽象，逐步逼近数学本质的原则.这样的问题具有思考价值和明确的指向性，能够启发学生的思维活动.叶澜教授提出：人类的教育活动起源于交往，教育是人类一种特殊的交往活动.本案例中，教师采取师生互动、小组合作和集体解答等形式展开教学活动，关注课堂对话，尤其是对学生数学表达能力和数学理解更为重视，较好地体现了数学学科的育人功能.“师生再解—师生归纳”的过程是本案例中始终采取的方法，对于刚接触几何的初中学生而言，用符号语言描述解答过程具有一定的难度，前面的互动环节解决了学生逻辑思维上的困惑，而后者不仅能解决学生语言描述上的障碍，还能进一步帮助学生理清思路并将其内化为自己的理解.紧接着，教师与学生一起归纳题目中蕴涵的知识和思想方法.这个环节更进一步促进了学生构建知识的方法体系，使得学生更加深入地理解了数学知识的本质与核心.2.运用知识的呈现梯度培养学生解决问题的能力教材知识体系呈现梯度发展，而一节课的知识呈现顺序也有梯度，好的梯度设计有利于培养学生的高阶思维能力.上述案例中的教学思维正是教师对三角形全等判定3的内涵与外延的考量，使得学生对于新接触的知识，经历了从简单到复杂、从直观到抽象、从低阶思维逐步到高阶思维的发展过程.（1）在简单的三角形全等问题中落实低阶思维.该案例中，通过简单的三角形全等问题及一系列变式型题组和开放型问题对三角形全等的判定3进行凸显，不仅能够揭示知识的本质，还能拓宽学生的知识面.例如，例1—变式—巩固练习，无不指向知识的核心本质，落实低阶思维，提高基础知识和基本技能达成率.在设计时要考虑两个三角形全等在“形”上的特征，从例1到变式题组的设计线索为“共角”的旋转变换，巩固型题组的设计线索是两个三角形全等在“共边”上的变化，并设计条件开放的题目，这些都能帮助学生从多角度、多方位理解知识的本源.（2）在复杂三角形全等的问题中提升中阶思维.当学生从简单的图形中认识到知识的本源后，就要把知识的本源隐藏起来，让条件弱化或是让图形更加复杂化，这些设计都能帮助学生更好地认识事物外在与内在的关联，使之形成事物的闭环系统.如案例中的例2，明显比例1在图形上具有复杂性和干扰性，出现了多个三角形全等的可能性，且使全等具有一定的隐藏性，但是问题的核心仍然不变，考查的还是全等三角形的判定3的运用.问题4具有一定的深度，隐藏着对学生几何推理一般思维路径的培养，有利于提高学生的中阶思维能力，进一步落实核心知识.（3）在构造三角形全等的问题中培养高阶思维.当中阶思维得到提升时，教师要做的是如何使学生的思维向更高层次推演.根据本节内容的实际，教师从两个方面培养学生的高阶思维：①例3虽然图形简单，但三角形全等的“形”被隐藏了起来，学生需要通过添加辅助线，构造出三角形来解决问题，能够有效培养学生的创造性思维；②例4结合数学文化和实际问题，通过合理建模，构造两个三角形全等来解决实际问题，有利于培养学生的建模思维和问题解决能力，提升学生的数学思维.对于例4，可以进行如下改编.阅读下面一段文字：泰勒斯是古希腊哲学家.相传，“两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等”就是泰勒斯首先提出的.泰勒斯利用这个判定三角形全等的依据求出了岸上一点到海中一艘船的距离.如图12，点A是观察点，船P在点A的正前方，试结合上述原理，设计能测量PA长度的合理方案，并证明.一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一图12这样设计的较好地吻合了PISA试题理念，相比原设计，该改编保留知识背景，去掉具体操作，使得试题更具有真实情境性且更加开放.学生需要运用知识搭建合理构图去解决问题，在这个过程中能够有效培养学生理解知识、运用知识、反思评价的能力，更能发展学生积极合作的学习态度，从而培养学生终身学习的动机和能力.3.善用知识与思想方法的归纳成就学生建构知识体系的方法在教学实践中，不可避免地要进行知识与思想方法的归纳，何时进行归纳？仁者见仁，智者见智.一节紧凑的课中每个环节的设计都具有一定的教育意图，体现了教师对学生和教材的理解与解读.教师应该适时地进行归纳和升华，使之切合整节课的核心知识和思维能力的达成.如上述案例中的每个环节中，教师都会与学生一起经历师生归纳.“例1—变式—巩固”环节归纳如下：①求证角相等的策略有公共角、角的和差关系、互补（余）角的关系、三角形的外角推论、平行线的性质等；②求证边相等的策略有：公共边、线段的和差关系.例2环节归纳为：求证角相等的策略为全等三角形的对应角相等.例3环节归纳为：常用辅助线的添加方法，构造三角形全等的方法.通过上述的师生活动，逐步显现在学生眼前的是一张完整的推理思维导图（如图13），结合学生的实践和总结，教师有意识地渗透推理思维导图，这些必将改变学生的学习方法和思维方式，逐步使学生掌握建构知识体系的方法，确保培养学生的数学思维.边公共角角的和差（旋转）互余（补）角公共边角…………图13长期的教学实践经验表明，教师的备课思考与课堂教学若能在师生行为的展示方式、知识的呈现梯度、知识与思想方法的归纳等方面有所考虑，就一定能落实好“四基”，有效培养学生的数学核心思维.参考文献：［1］施红卫.浅议初中数学三维目标教学中的“五大关”［J］.理科考试研究，2012（20）：18-19.［2］高欣，赵连顺.初中数学课堂三维目标实践的三重反思［J］.中学数学教学参考（中旬），2012（5）：17-19.［3］谭铁强.对初中数学教学设计标准的认识［J］.西藏教育，2012（5）：27-28.。
数学三维设计答案及解析
第一部分 专题复习 培植新的增分点专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲 集合与常用逻辑用语基础·单纯考点[例1] 解析：(1)∵A ＝{x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}， ∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}， A ∪B ＝R .(2)依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围为(6，9]．答案：(1)B (2)D[预测押题1] (1)选A 本题逆向运用元素与集合的关系求参数的取值范围，抓住1∉A作为解题的突破口，1∉A 即1不满足集合A 中不等式，所以12－2×1＋a ≤0⇒a ≤1.(2)选B 对于2x (x －2)<1，等价于x (x －2)<0，解得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}；集合B 表示函数y ＝ln(1－x )的定义域，由1－x >0，得x <1，故B ＝{x |x <1}，∁R B ＝{x |x ≥1}，则阴影部分表示A ∩(∁R B )＝{x|1≤x<2}．[例2] 解析：(1)命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ， 则┐p 是特称命题：∃x ∈A ，2x ∉B .(2)①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一为假，④不正确．答案：(1)D (2)A[预测押题2] (1)选A 因为x 2－3x ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋154>0，所以①为假命题；若ab ＝0，则a 、b 中至少一个为零即可，②为假命题；x ＝k π＋π4(k ∈R )是tan x ＝1的充要条件，③为假命题．(2)解析：“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22][例3] 解析：(1)当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0，1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．(2)因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，所以－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.答案：(1)A (2)B[预测押题3] (1)选B 由10a >10b 得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a >10b”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件．(2)解析：由|x －m |<2，得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2，m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1，4)．答案：(1，4)交汇·创新考点 [例1] 选A 在同一坐标系下画出椭圆x 2＋y 24＝1及函数y ＝2x的图象，结合图形不难得知它们的图像有两个公共点，因此A ∩B 中的元素有2个，其子集共有22＝4个．[预测押题1] 选B A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤09－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43，选B.[例2] 解析：对①：取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以B ＝N *，A ＝N 是“保序同构”；对②：取f (x )＝92x －72(－1≤x ≤3)，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}是“保序同构”；对③：取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”，故应填①②③.答案：①②③[预测押题2] 解析：∵A ⊆M ，且集合M 的子集有24＝16个，其中“累计值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个，故“累积值”为奇数的集合有3个．答案：3[例3] 解析：对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；对于②当b ＝a ＝0时，l 1⊥l 2，故②不正确，易知③正确．所以正确结论的序号为①③.答案：①③[预测押题3] 选D 由y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，知A 正确；由回归直线方程知B 正确；在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ，C 正确．第二讲 函数的图像与性质基础·单纯考点[例1] 解析：(1)由题意，自变量x应满足{x ＋3>0，1－2x≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)设t ＝1＋sin x ，易知t ∈[0，2]，所求问题等价于求g (t )在区间[0，2]上的值域．由g (t )＝13t 3－52t 2＋4t ，得g ′(t )＝t 2－5t ＋4＝(t －1)(t －4)．由g ′(t )＝0，可得t＝1或t ＝4.又因为t ∈[0，2]，所以t ＝1是g (t )的极大值点．由g (0)＝0，g (1)＝13－52＋4＝116，g (2)＝13×23－52×22＋4×2＝23，得当t ∈[0，2]时，g (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，116，即g (1＋sin x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，116.答案：(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，116[预测押题1] (1)解析：∵f (π4)＝－tan π4＝－1，∴f (f (π4))＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.答案：－2(2)由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：－2x 2＋2[例2] 解析：(1)曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.(2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ；而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，故g (x )＝2x 2∈[0，2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0. 综上所述，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94. 答案：(1)D (2)B[预测押题2] (1)选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错．(2)选B 因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数．因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，再结合选项中的图像得出正确选项为B.[例3] 解析：(1)函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A ，D 是奇函数，不符合；选项B 是偶函数但单调性不符合；只有选项C 符合要求．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4， ①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4， ② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8. ③又∵lg(log 210)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f (lg(lg 210))＝f (－lg(lg 2))＝5.又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8， ∴f (lg(lg 2))＝3. 答案：(1)C (2)C[预测押题3] (1)选A 依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝f (|x |)，不等式f (1－2x )<f (3)⇔f (|1－2x |)<f (3)⇔|1－2x |<3⇔－3<1－2x <3⇔－1<x <2.(2)解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x ＋3)＝－f (x )， ∴f (x )＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3. 答案：3(3)解析：因为函数f (x )的图像关于y 轴对称，所以该函数是偶函数，又f (1)＝0，所以f (－1)＝0.又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数.f （－x ）＋f （x ）x<0，可化为xf (x )<0，所以当x >0时，解集为{x |x >1}；当x <0时，解集为{x |－1<x <0}．综上可知，不等式的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)交汇·创新考点[例1] 解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )．∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5.∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3.∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}[预测押题1] 解析：根据已知条件画出f (x )图像如图所示．因为对称轴为x ＝－1，所以(0，1)关于x ＝－1的对称点为(－2，1)．因f (m )<1，所以应有－2<m <0，m ＋2>0.因f (x )在(－1，＋∞)上递增，所以f (m ＋2)>f (0)＝1.答案：>[例2] 解析：因为A ，B 是R 的两个非空真子集，且A ∩B ＝∅，画出韦恩图如图所示，则实数x 与集合A ，B 的关系可分为x ∈A ，x ∈B ，x ∉A 且x ∉B 三种．(1)当x ∈A 时，根据定义，得f A (x )＝1.因为A ∩B ＝∅，所以x ∉B ，故f B (x )＝0.又因为A ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ，所以f A ∪B (x )＝1.所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝1＋11＋0＋1＝1.(2)当x ∈B 时，根据定义，得f B (x )＝1.因为A ∩B ＝∅，所以x ∉A ，故f A (x )＝0.又因为B ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ，所以f A ∪B (x )＝1.所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝1＋11＋0＋1＝1.(3)当x ∉A 且x ∉B ，根据定义，得f A (x )＝0，f B (x )＝0.由图可知，显然x ∉(A ∪B )，故f A ∪B (x )＝0，所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝0＋10＋0＋1＝1.综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}． 答案：{1}[预测押题2] 解：当x ∈A ∩B 时，因为(A ∩B )⊆(A ∪B )，所以必有x ∈A ∪B .由定义，可知f A (x )＝1，f B (x )＝1，f A ∪B (x )＝1，所以F (x )＝f A ∪B （x ）＋1f A （x ）＋f B （x ）＋1＝1＋11＋1＋1＝23. 故函数F (x )的值域为{23}．第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用基础·单纯考点[例1] 解析：(1)当x ＝－1，y ＝1a －1a ＝0，所以函数y ＝a x－1a的图像必过定点(－1，0)，结合选项可知选D.(2)a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52，c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c .答案：(1)D (2)D[预测押题1] (1)选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A.(2)选B 依题意的a ＝ln x ∈(－1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈(1，2)，c ＝e ln x ∈(e －1，1)，因此b >c >a .[例2] 解析：(1)由f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0及零点定理，知f (x )的零点在区间(－1，0)上．(2)当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．答案：(1)B (2)C[预测押题2] 解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.答案：(0，1][例3] 解：(1)由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A ，B 两产品的年利润y 1，y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(x ∈n ，0≤x ≤200)，y ＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40(x ∈n ，0≤x ≤120)．(2)因为6≤m ≤8，所以10－m >0，函数y 1＝(10－m )x －20在[0，200]上是增函数，所以当x ＝200时，生产A 产品有最大利润，且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1980－200m (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460(x ∈N ，0≤x ≤120)，所以当x ＝100时，生产B 产品有最大利润，且y 2max ＝460(万美元)．因为y 1max －y 2max ＝1980－200m －460＝1520－200m ⎩⎪⎨⎪⎧>0，6≤m <7.6，＝0，m ＝7.6，<0，7.6<m ≤8.所以当6≤m <7.6时，可投资生产A 产品200件；当m ＝7.6时，生产A 产品或生产B 产品均可(投资生产A 产品200件或生产B 产品100件)；当7.6<m ≤8时，可投资生产B 产品100件．[预测押题3] 解：(1)设投入广告费t (百万元)后由此增加的收益为f (t )(百万元)，则f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)．所以当t ＝2时，f (t )max ＝4，即当集团投入两百万广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告费的费用为(3－x )(百万元)，则由此两项所增加的收益为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)．对g (x )求导，得g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝－x 2＋4＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)．当0≤x <2时，g ′(x )>0，即g (x )在[0，2)上单调递增；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，即g (x )在(2，3]上单调递减．∴当x ＝2时，g (x )max ＝g (2)＝253.故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的受益最大，最大收益为253百万元．交汇·创新考点[例1] 选B ∵⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，x ∈(0，π)且x ≠π2，∴当0<x <π2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，π2)上单调递减．当π2<x <π时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增． ∵当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1.∴当x ∈[π，2π]，则0≤2π－x ≤π.又f (x )是以2π为最小正周期的偶函数，知f (2π－x )＝f (x )．∴x ∈[π，2π]时，仍有0<f (x )<1.依题意及y ＝f (x )与y ＝sin x 的性质，在同一坐标系内作y ＝f (x )与y ＝sin x 的简图．则y ＝f (x )与y ＝sin x 在x ∈[－2π，2π]有4个交点． 故函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上有4个零点．[预测押题] 选D 根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1，4]时，f (x )＝x 2－2x，在[－1，0]内有一个零点，在(0，4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2012＝402×5＋2，故函数在区间[0，2010]内有402×3＝1206个零点，在区间(2010，2012]内的零点个数与在区间(0，2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0，2012]上零点的个数为1207.第四讲 不等式基础·单纯考点[例1] 解析：(1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. (2)由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12.而f (10x )>0，∴－1<10x <12，解得x <lg 12，即x <－lg 2.答案：(1)A (2)D[预测押题1] (1)选B 当x >0时，f (x )＝－2x ＋1x2>－1，∴－2x ＋1>－x 2，即x 2－2x＋1>0，解得x >0且x ≠1.当x <0时，f (x )＝1x>－1，即－x >1，解得x <－1.故x ∈(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)．(2)解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x2＋ax ＋14a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m （m ＋6）＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9[例2] 解析：(1)曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y )的值在逐渐变小，当l 通过点A (－2，2)时，(2x －y )min ＝－6.(2)设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1600x ＋2400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈n ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36800(元)．答案：(1)A (2)C[预测押题2] (1)选C 题中的不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线x －y ＝0，当平移经过该平面区域内的点(0，1)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时x －y 取得最小值，最小值是x －y ＝0－1＝－1；当平移到经过该平面内区域内的点(2，0)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时x －y 取得最大值，最大值是x －y ＝2－0＝2.因此x －y 的取值范围是[－1，2]．(2)解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2×2＝3，解得a＝2.答案：2[例3] 解析：(1)因－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，∴（3－a ）（a ＋6）≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．(2)f (x )＝4x ＋a x≥24x ·ax ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36.答案：(1)B (2)36[预测押题3] (1)选D 依题意，点A (－2，－1)，则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1(m >0，n >0)，∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ≥4＋2n m ×4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n，即n ＝2m＝12时取等号，即1m ＋2n的最小值是8. (2)选A 由已知得a ＋2b ＝2.又∵a >0，b >0，∴2＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤12，当且仅当a ＝2b ＝1时取等号．交汇·创新考点[例1] 选C 作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心(0，1)的距离分别是1，1，2，由A ⊆B 得三角形所有点都在圆的内部，故m ≥2，解得：m ≥2.[预测押题1] 选C 如图，若使以(4，1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，当圆的半径增大到恰好过点A (2，2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a ＝5，故a 的取值范围是12<a ≤5，故选C.[例2] 选 C z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx－3≥2x y ·4y x －3＝1.当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2.∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取得最大值2.[预测押题2] 解析：4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＋1，∴(2x ＋y )2≤85，∴(2x ＋y )max ＝2105.答案：2105第五讲 导数及其应用基础·单纯考点[例1] 解析：(1)∵点(1，1)在曲线y ＝x 2x －1上，y ′＝－1（2x －1）2，∴在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝－1（2－1）2＝－1，所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.答案：(1)x ＋y －2＝0 (2)12[预测押题1] 选D 由f (x ＋2)＝f (x －2)，得f (x ＋4)＝f (x )，可知函数为周期函数，且周期为4.又函数f (x )为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (x －2)＝f (2－x )，即函数的对称轴是x ＝2，所以f ′(－5)＝f ′(3)＝－f ′(1)，所以函数在x ＝－5处的切线的斜率k ＝f ′(－5)＝－f ′(1)＝－1.[例2] 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．[预测押题2] 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1，又f ′(x )＝x 2＋2x －3，所以f ′(2)＝5.又f (2)＝53，所以所求切线方程为y －53＝5(x －2)，即15x －3y －25＝0.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为15x －3y －25＝0.(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx －3m 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－3m 或x ＝m .当m ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，不符合题意；当m >0时，f (x )的单调递减区间是(－3m ，m )，若f (x )在区间(－2，3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≤－2，m ≥3，解得m ≥3；当m <0时，f (x )的单调递减区间是(m ，－3m )，若f (x )在区间(－2，3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，－3m ≥3，解得m ≤－2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[例3] 解：(1)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得最小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于关于x 的方程kx －1＝x －1＋1e x 在R 上没有实数解，即关于x 的方程：(k －1)x ＝1ex (*)在R 上没有实数解．①当k ＝1时，方程(*)可化为1e x ＝0，在R 上没有实数解．②当k ≠1时，方程(*)可化为1k －1＝x e x.令g (x )＝x e x ，则有g ′(x )＝(1＋x )e x.令g ′(x当x ＝－1时，g (x )min ＝－e，同时当x 趋于＋∞时，g (x )趋于＋∞，从而g (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞.所以当1k ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，方程(*)无实数解，解得k 的取值范围是(1－e ，1)．综合①②，得k 的最大值为1.[预测押题3] 解：(1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ，由题意可知f ′(23)＝1，解得a ＝1.故f (x )＝x －2x －3ln x ，∴f ′(x )＝（x －1）（x －2）x2，由f ′(x )＝0，得x ＝2.∴f min (2)f ′(x )＝a ＋2x －3x ＝ax 2－3x ＋2x(x >0)，由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0.也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h （0）>0.解得0<a <98.交汇·创新考点[例1] 解：(1)证明：设φ(x )＝f (x )－1－a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＝a ln x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (x >0)，则φ′(x )＝a x －ax2.令φ′(x )＝0，则x ＝1，易知φ(x )在x ＝1处取到最小值，故φ(x )≥φ(1)＝0，即f (x )－1≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .(2)由f (x )>x 得a ln x ＋1>x ，即a >x －1ln x .令g (x )＝x －1ln x (1<x <e)，则g ′(x )＝ln x －x －1x （ln x ）2.令h (x )＝ln x －x －1x (1<x <e)，则h ′(x )＝1x －1x2>0，故h (x )在定义域上单调递增，所以h (x )>h (1)＝0.因为h (x )>0，所以g ′(x )>0，即g (x )在定义域上单调递增，则g (x )<g (e)＝e －1，即x －1ln x<e －1，所以a 的取值范围为[e －1，＋∞)．[预测押题1] 解：(1)由f (x )＝e x (x 2＋ax －a )可得，f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]．当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e.(2)令f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a ＋2)>0，即a <－2时，f ′(x )，f (x )随由上表可知函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－(a ＋2))＝ea ＋2.因为函数f (x )在(0，－(a ＋2))上是减函数，在(－(a ＋2)，＋∞)上是增函数，且当x ≥－a 时，有f (x )≥f (－a )＝e －a(－a )>－a ，又f (0)＝－a ，所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a .[例2] 选C 法一：曲线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的曲边图形的面积S ＝⎠⎛01xd x ＝⎪⎪⎪23x 3210＝23，又∵S △AOB ＝12，∴阴影部分的面积为S ′＝23－12＝16，由几何概型可知，点P 取自阴影部分的概率为P ＝16.法二：S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝16，S 正方形OABC ＝1，∴点P 取自阴影部分的概率为P ＝16.[预测押题2] 解析：画出草图，可知所求概率P ＝S 阴影S △AOB ＝⎠⎛04x d x18＝⎪⎪⎪23x 324018＝16318＝827.答案：827[例3] 解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 1＋a 2，故I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a 1＋a 2，则d ′(a )＝1－a2（1＋a 2）2(a >0)．令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d （1－k ）d （1＋k ）＝1－k1＋（1－k ）21＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k3<1，故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k ，1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k2.[预测押题3] 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2.当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a <b 时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)① 计算得f (1)＝a ＋b 2>0，f (b a )＝2ab a ＋b >0，f (b a )＝ab >0.因为f (1)f (ba)＝a ＋b2·2ab a ＋b ＝ab ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （b a ）2，即f (1)f (b a )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （b a ）2. (*)所以f (1)，f (b a)，f (b a )成等比数列．因为a ＋b 2≥ab ，所以f (1)≥f (b a )．由(*)得f (b a )≤f (b a)． ②由①知f (b a )＝H ，f (b a )＝G .故由H ≤f (x )≤G ，得f (b a )≤f (x )≤f (ba )． (**)当a ＝b 时，(b a )＝f (x )＝f (b a )＝a .这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b 时，0<ba<1，从而b a <b a ，由f (x )在(0，＋∞)上单调递增(**)式，得b a ≤x ≤b a，即x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ba ，b a ；当a <b 时，b a >1，从而b a >b a ，由f (x )在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，得b a≤x ≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ，b a .综上，当a ＝b 时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a >b时，x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ，b a ；当a <b 时，x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ，b a .专题二 三角函数、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图像与性质基础·单纯考点 [例1] 解析：(1)1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，故原式＝sin θ－cos θ.(2)由已知得|OP |＝2，由三角函数定义可知sin α＝12，cos α＝32，即α＝2k π＋π6(k ∈Z )．所以2sin2α－3tan α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π6＝2sin π3－3tan π6＝2×32－3×33＝0. 答案：(1)A (2)D[预测押题1] (1)选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.(2)解析：由A 点的纵坐标为35及点A 在第二象限，得点A 的横坐标为－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.故tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 答案：35 －247[例2] 解析：(1)∵34T ＝512π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝34π，∴T ＝π，∴2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.由图像知当x ＝512π时，2×512π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k∈Z )．∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.(2)y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ的图像，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．∵其图像与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像重合，∴φ－π＝π3－π2＋2k π，∴φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又∵－π≤φ<π∴φ＝5π6.答案：(1)A (2)5π6[预测押题2] (1)选C 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＋2的图像，其对称中心的横坐标满足2x ＋3π4＝k π，即x ＝k π2－3π8，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝π8. (2)选C 根据已知可得，f (x )＝2sin π4x ，若f (x )在[m ，n ]上单调，则n －m 取最小值．又当x ＝2时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝－2，故(n －m )min ＝2－(－1)＝3.[例3] 解：(1)f (x )4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ·cos2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而由2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π5，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减；综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．[预测押题3] 解：(1)因为f (x )＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，所以T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x≤2π3＋k π，k∈Z .故函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32，所以a ＝0.交汇·创新考点[例1] 解：(1)f (x )＝1＋cos （2ωx －π3）2－1－cos2ωx 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos2ωx ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2ωx ＋32sin2ωx ＋cos2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2ωx ＋32cos2ωx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2ωx ＋32cos2ωx ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω|＝π.又∵ω>0，∴ω＝1，∴f (π12)＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32.(2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1.∵对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1.∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤32，∴－32≤32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤34，即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32，∴－14≤m ≤1－32.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1－32.[预测押题1] 解：(1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.(2)f (x )＝cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋ 32sin x ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos2x )＋34sin2x ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14.f (x )<14等价于12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14<14，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .[例2] 解析：因为圆心由(0，1)平移到了(2，1，)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切与点B ，过C 作PA 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，|CD |＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，所以P 点坐标为(2－sin2，1－cos2)，即OP →的坐标为(2－sin2，1－cos2)．答案：(2－sin2，1－cos2)[预测押题2] 选A 画出草图，可知点Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ；代入A ，cos∠QOP ＝6×（－72）＋8×（－2）62＋82＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π4.代入C ，cos ∠QOP ＝6×（－46）＋8×（－2）62＋82＝－246－16100≠－22.第二讲 三角恒等变换与解三角形基础·单纯考点[例1] 解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以f (－π6)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝2×22＝1. (2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－275，sin 2θ＝2sin θcos θ ＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425.所以f (2θ＋π3)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos2θ－22sin2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.[预测押题1] 解：(1)由已知可得f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.所以函数f (x )的值域为[－23，23]．又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，解得ω＝π4.(2)因为f (x 0)＝835，由(1)得f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23得πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.[例2] 解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74.故PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin150°＝sin αsin （30°－α），化简得3sin α＝4sin α.则tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.[预测押题2] 解：(1)由正弦定理得2sin B cos C ＝2sin A －sin C .∵在△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，∴sin C (2cos B －1)＝0.又0<C <π，sin C >0，∴cos B ＝12，注意到0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴ac ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥ac ＝4，当且仅当a ＝c ＝2时，等号成立，∴b 的取值范围为[2，＋∞)．交汇·创新考点[例1] 解：(1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＋2cos 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，∴f (x )的最大值为2.f (x )取最大值时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，2x ＋π3＝2k π(k ∈Z )，故x 的集合为{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }．(2)由f (B ＋C )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（B ＋C ）＋π3＋1＝32，可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3＝12，由A ∈(0，π)，可得A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当b ＝c ＝1时，bc 取最大值，此时a 取最小值1.[预测押题1] 解：(1)由已知得AB →·AC →＝bc cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，故b 2＋c 2＝32.又b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤16，(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，即bc 的最大值为16.即8cos θ≤16，所以cos θ≥12.又0<θ<π，所以0<θ≤π3，即θ的取值范围是(0，π3]．(2)f (θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＋1.因为0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.[例2] 解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040m. (2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋5t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需要走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125043，62514(单位：m/min)范围内．[预测押题2] 解：(1)因为点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，根据三角函数的定义，得sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35.因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°.所以cos ∠BOC ＝cos (∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos60°－sin ∠COA sin60°＝35×12－45×32＝3－4310.(2)因为∠AOC ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，所以∠BOC ＝π3＋θ.在△BOC 中，|OB |＝|OC |＝1，由余弦定理，可得f (θ)＝|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |·cos ∠COB ＝12＋12－2×1×1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝2－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.因为0<θ<π2，所以π3<θ＋π3<5π6.所以－32<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3<12.所以1<2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3<2＋ 3.所以函数f (θ)的值域为(1，2＋3)．第三讲 平面向量基础·单纯考点[例1] 解析：以向量：a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.答案：4[预测押题1] (1)选A 由已知，得AB →＝(3，－4)，所以|AB →|＝5，因此与AB →同方向的单位向量是15AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)选C 如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →，① AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →，②①＋②，得2AP →＝a ＋b －RB →.③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →，④将④代入③，得2AP →＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎪⎫a －12AP →，解得AP →＝27a ＋47b .[例2] 解析：(1)由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.(2)设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB→＋AD →)·(AD →－12AB →)＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，∴a ＝12，即AB 的长为12.答案：(1)A (2)12[预测押题2] (1)选D a ⊥(a ＋b)⇒a ·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos<a ，b >＝0，故cos<a ，b >＝－963＝－32，故所求夹角为5π6.(2)选C 设BC 的中点为M ，则AG →＝23AM →.又M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AG →＝23AM →＝13(AB →＋AC →)，∴|AG →|＝13AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝13AB →2＋AC →2－4.又∵AB →·AC →＝－2，∠A ＝120°，∴|AB →||AC →|＝4.∵|AG →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|AB →||AC →|－4＝23，当且仅当|AB →|＝|AC→|时取等号，∴|AG →|的最小值为23.交汇·创新考点[例1] 解析：设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．由AP →＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2，1)＋μ(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4，2)，N (6，3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0，x －2y －3＝0之间的距离d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×25＝3.答案：3[预测押题1] 选D 如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0，1)处z max ＝2.故选D.[例2] 解：(1)∵g (x )＝sin(π2＋x )＋2cos(π2－x )＝2sin x ＋cos x ，∴OM →＝(2，1)，∴|OM →|＝22＋12＝ 5.(2)由已知可得h (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴h (x )∈[1，2]．∵当x ＋π3∈[π3，π2]时，即x ∈[0，π6]时，函数h (x )单调递增，且h (x )∈[3，2]；当x ＋π3∈(π2，5π6]时，即x ∈(π6，π2]时，函数h (x )单调递减，且h (x )∈[1，2)．∴使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在[0，π2]内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为[3，2)．[预测押题2] 解：(1)由题设，可得(a ＋b )·(a －b )＝0，即|a |2－|b |2＝0.代入a ，b的坐标，可得cos 2α＋(λ－1)2sin 2α－cos 2β－sin 2β＝0，所以(λ－1)2sin 2α－sin 2α＝0.因为0<α<π2，故sin 2α≠0，所以(λ－1)2－1＝0，解得λ＝2或λ＝0(舍去，因为λ>0)．故λ＝2.(2)由(1)及题设条件，知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝45.因为0<α<β<π2，所以－π2<α<β<0.所以sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－34.所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝－34＋431－（－34）×43＝724.所以tan α＝724.[例3] 选D a ∘b ＝a·b b 2＝|a||b||b|2cos θ＝|a||b|cos θ，b ∘a ＝|a||b|cos θ，因为|a |>0，|b |>0，0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，所以|a||b|cos θ＝n 2，|a||b|cos θ＝m 2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ·n 2＝cos 2θ.因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得0<m ·n <2，故m＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[预测押题3] 选D 依题意，MF 1→＝(－1－x ，－y )＝(－1－x )e 1－y e 2，MF 2→＝(1－x ，－y )＝(1－x )e 1－y e 2，由|MF 1→|＝|MF 2→|，得MF 1→2＝MF 2→2，∴[(－1－x )e 1－y e 2]2＝[(1－x )e 1－y e 2]2，∴4x ＋4y e 1·e 2＝0.∵∠xOy ＝45°，∴e 1·e 2＝22，故2x ＋2y ＝0，即2x ＋y ＝0.专题三 数列第一讲 等差数列、等比数列基础·单纯考点[例1] 解析：(1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0，∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m （a 1＋a m ）2＝m （a 1＋2）2＝0，∴a 1＝－2，∴a m＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.(2)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20，①，由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.②由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案：(1)C (2)2 2n ＋1－2[预测押题1] 解：(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，故a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n)＝(2＋4＋6＋...＋2n )＋(22＋24＋ (22))＝（2＋2n ）·n 2＋4·（1－4n ）1－4＝n 2＋n ＋4n ＋1－43.[例2] 解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第1讲函数与方程思想课件
前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*都
有Sn≤Sk成立，则k的值是( B )
A．10
B．20
C．30
D．40
【 解 析 】 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 由
aa12＋ ＋aa45＋ ＋aa78＝ ＝33aa11＋ ＋91d2＝ d＝999， 3，
－y)关于 x 轴对称，所以卵圆 C 关于 x 轴对称，故①正确；对于②，设(x0， y0)在卵圆 C 上，(x0，y0)关于直线 x＝12对称的点(1－x0，y0)也在卵圆 C 上，
则x10－1x＋－20x20x＋＋022y420＋＝y4120＝，1，
解得xy00＝ ＝－ 0 1， 或xy00＝ ＝20， ， 所以卵圆上存在
解 得 ad1＝＝－392，，
∴
Sn
＝
na1
＋
nn－1d 2
＝
39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当 n＝20 时，Sn 取得最大
值．∵对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立，∴Sk 为数列{Sn}的最大值，∴k＝
20.故选 B.
(2) (2023·河南校联考模拟预测)记正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 满足a21－1 1＋a22－1 1＋a23－1 1＋…＋a2n－1 1＝4nn＋1.若不等式 λSn≥an＋1 恒 成立，则实数 λ 的取值范围是_____43_，__＋__∞_____.
应用3 函数与方程思想在解析几何中的应用
核 心 知 识·精 归 纳 1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经 常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过 转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值 问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答． 2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的 关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题 的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方 程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
2014年数学中考二轮专题复习课件：数学思想方法
时,以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.
考点二、数型结合思想
例 2、(2013·杭州)如图给出下列命题及函数 y＝x，y＝x2 1 和 y＝ .
x
①如果 ＞a＞a2，那么 0＜a＜1；
1
a
1 ②如果 a ＞a＞ ，那么 a＞1；
2
a
③如果 ＞a2＞a，那么－1＜a＜0；
＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即
S＝－8t＋32(2＜t≤4).
(3)如图甲，当点F在矩形的边BC上移动时,0≤t≤2,在△EBF和 △FCG中,∠B＝∠C＝90°,①若 EB BF ，即 12 2t 4t ，解得
FC CG 8 4t 2t 2 ，又 t＝ 2 满足0≤t≤2，所以当 t＝ 2 时，△EBF∽△FCG; 3 3 3 ②若 EB BF ，即 12 2t 4t ，解得 t＝ 3 ，又 t＝ 3 满足 2t 8 4t 2 2 GC CF 0≤t≤2，所以当 t＝ 3 时△EBF∽△GCF，综上知，当 t＝ 2 或 3 2 3 2 t＝
AC 和BF 分别是正方形的对角线，
∴∠CAB＝∠FBG＝45°.∴AC∥BF. ∴△ACF 和△ACB 是同底等高的三角形．
∴S△ACF＝S△ACB. 90π×42 ∴S 阴＝S 弓形＋S△ACF＝S 弓形＋S△ACB＝S 扇形 ABC＝ ＝4π. 360
同学们再见！
解：由题意，当△ODP 是腰长为5 的等腰三角形时，有 三种情况． (1)如图，PD＝OD＝5，点 P 在点 D 的左侧．
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE＝4.
在 Rt△PDE 中，DE＝ PD2－PE2＝ 52－42＝3. ∴OE＝OD－DE＝5－3＝2. ∴此时点 P 坐标为(2,4)．
(三维设计2014年第二轮复习)第一讲 数学解题的金钥匙——审题
第一讲数学解题的金钥匙——审题审题是解题的基础和关键，一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题就是弄清问题，是解题者对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息作有序提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．能否迅速准确地理解题意，在很大程度上影响和决定了数学成绩的好坏．从这个意义上讲，数学成绩的高低“功在审题”的说法一点都不过分．下面从审条件和审结论两个方面谈一下如何审题．条件是题目的重要组成部分，解题时，充分利用和挖掘条件间的内在联系是解题的必经之路，审条件一般包括“审视隐含、审视结构、审视图表和数据、审视图形(图像)”等几方面.入挖掘这些隐含条件和信息，解题时，可避免因忽视隐含条件而出现的错误.[例1] (2013·天津高考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0，＋∞)上单调递增. 若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2][审题指导] 由log 12a ＝－log 2a ――→偶函数f (log 2a )≤f (1)―――――→单调递增|log 2a |≤1――――→隐含a >0a 的范围．[解析] 因为log 12a ＝－log 2a 且f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.[答案] C [即时应用]1．(2013·武汉调研)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，则C 等于( )A.π6或5π6B.π6 C.π3或2π3D.π3解析：选B cos(A －C )＋cos B ＝1， 故cos (A －C )－cos(A ＋C )＝1,2sin A sin C ＝1. 又由已知a ＝2c ，根据正弦定理，得sin A ＝2sin C . ∴sin C ＝12.∴C ＝π6或5π6.∵a >c ，∴A >C ，∴C ＝π6.数学问题中的条件和结论，在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．[例2] (2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．[审题指导] (1)条件――――――――――――――――→数式中边角同存，应统一sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ――――――――――――――→把A 换成B ＋C 可减少角sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ――――――→用公式展开sin B ＝cos B ―→B ＝π4. (2)三角形面积公式―→S ＝24ac ―――――――――→由定理建立a 、c 的关系式4＝a 2＋c 2－2ac ――――――――――――――――――――→用基本不等式构造关于ac 的不等关系4＋2ac ≥2ac ――――――→得出ac 范围ac ≤42－2.[解] (1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1. [即时应用]2．(2013·大连模拟)设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 B.53 C ．2D.32解析：选A 设AC 、BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA ＋OC )＋2(OB ＋OC )＝0，即OM ＋2ON ＝0，所以OM ＝－2ON ，说明M ，O ，N 共线，即O 为中位线MN 上靠近N 的三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3..在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题解决提供有效的途径.[例3] (2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[审题指导] (1)审视图形―→内部3株、边界12株―→所有不同结果共有36种――→图形两株相近作物有8种―→概率．(2)求P (Y ＝51)――→数表 P (X ＝1)＝P (Y ＝51)――→图形P (X ＝1)的值―→分布列―→期望． [解] (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P (X ＝k )＝n k N ，得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.[即时应用]3．为了解学生的身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样调查，测得男、女身高情况的频率分布直方图如下：已知样本中身高在150～155 cm 之间的女生有1人．(1)求出样本中该校男生的人数和女生的人数； (2)估计该校学生身高在170～190 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在185～190 cm 之间的男生和样本中身高在170～180 cm 之间的女生中随机抽取3人，记被抽取的3人中的女生人数为X .求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )．解：(1)设女生的人数为n ，则1n ＝1150×5，∴n ＝30.∵抽取的样本人数为700×10%＝70， ∴样本中该校有男生40人和女生30人．(2)由频率分布直方图可得出样本中身高在170～190 cm 之间的学生有37人， ∵样本容量为70，∴样本中学生身高在170～190 cm 之间的频率等于3770，∴估计该校学生身高在170～190 cm 之间的概率等于3770.(3)由频率分布直方图可得出样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，样本中身高在170～180 cm 之间的女生有4人，∴X 的可能取值为1,2,3，∵P (X ＝1)＝C 14·C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24·C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34·C 02C 36＝15.∴X 的分布列为∴数学期望E (X )＝15×1＋35×2＋15×3＝2.在一些高考数学试题中，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供的信息来解决问题.[例4] (2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π[审题指导] 条件―――――――→分析三视图一组合体―→长方体和半个圆柱―――――――→分析图形数据圆柱高为4，直径为4；长方体长、宽、高为4、2、2―→组合体的体积．[解析] 该几何体是个组合体，其下面是半个圆柱，上面是个长方体．该几何体的体积为V ＝12×π×22×4＋4×2×2＝16＋8π.[答案] A [即时应用]4.(2013·浙江嘉兴二模)函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A.π2B.π4C.π3D ．π解析：选A 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠C ＝90°，∴12|AB |＝y max －y min ＝1－(－1)＝2，即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4，解得ω＝π2，故选A.结论是解题的最终目标，解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，可以从结论中捕捉解题信息，确定解题方向.而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.有些问题的结论看似不明确或不利于解决，可以转换角度，达到解决问题的目的.[例5] (2013·陕西高考节选)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R . (1)求f (x )的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．[审题指导] (1)f (x )―→f (x )的反函数――→求导切线斜率―→切线方程．(2)思路一：证明两曲线有唯一公共点―――――→结论转化 函数φ(x )＝e x－12x 2－x －1有一个零点――→求导 φ′(x )＝e x－x －1――――――――→利用导数判断φ′(x )性质结论． 思路二：证明两曲线有唯一公共点―――――→结论转化函数φ(x )＝12x 2＋x ＋1e x与y ＝1有一个公共点――→求导φ′(x )―――――――→利用φ′(x )的符号φ′(x )在R 上递减―→结论． [解] (1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x (x >0)，设所求切线的斜率为k ， ∵g ′(x )＝1x ，∴k ＝g ′(1)＝1，于是在点(1,0)处切线方程为x －y －1＝0.(2)证明：法一：曲线y ＝e x 与曲线y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0， ∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1， 则h ′(x )＝e x －1.当x ＜0时，h ′(x )＜0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减； 当x ＞0时，h ′(x )＞0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x )在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的， ∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．法二：∵e x ＞0，12x 2＋x ＋1＞0，∴曲线y ＝e x与曲线y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x与y ＝1公共点的个数，设φ(x )＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x )＝(x ＋1)e x －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋1e x e 2x＝－12x 2ex ≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上单调递减， ∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．[即时应用]5．(2013·北京高考)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－ln xx ，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，且x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－⎝⎛⎭⎫ln x x ′ ＝x 2－1＋ln x x 2.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减； 当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0且x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．即从要证明的结论出发，逐步寻求使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止.[例6] (2013·湖南高考节选)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2. [审题指导] 已知―→l 1的方程―――――――――→联立方程组关于x 的一元二次方程――――――――→根与系数关系 x 1＋x 1＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ―→FM 坐标――→同理 FN 的坐标――→计算FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)―→要证FM ·FN <2p 2――→只需证k 1k 2＋k 21k 22<2再证－2<k 1k <1――→k 1>0，k 2>00<k 1k 2<1――→k 1＋k 2＝2k 1k 2<1成立． [解] 由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)，于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)． 法一：要证FM ·FN <2p 2， 只要证k 1k 2＋k 21k 22<2，再证－2<k 1k 2<1. 由k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 即证0<k 1k 2<1.因k 1＋k 2＝2>2k 1k 2，即0<k 1k 2<1成立．故FM ·FN <2p 2成立． 法二：因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2. [即时应用]6．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：选C 可以根据图像直观观察；对于C 证明如下： 欲证f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2， 即证⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222，即证(x1＋x2)2<2x21＋2x22，即证(x1－x2)2>0.显然成立．故原不等式得证．在练审题的同时，自检一轮复习成果，为二轮复习查找薄弱环节.1．(2013·安徽“江南十校”模拟)若a＋b i＝51＋2i(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1 C．1 D．2解析：选A因为a＋b i＝51＋2i＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.2．(2013·郑州质检)在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)，前n项和为S n＝3n＋k，则实数k的值为()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选A依题意得，数列{a n}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A.3．(2013·山东高考)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q 的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A q⇒綈p等价于p⇒綈q，綈p ⇒/q等价于綈q ⇒/p，故p是綈q的充分而不必要条件．4．(2013·重庆高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．2,5 B．5,5C ．5,8D ．8,8解析：选C 由于甲组的中位数是15，可得x ＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y ＝8.5．(2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.6．(2013·重庆高考)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.2⎛⎤⎥ ⎝⎦ B.2⎫⎪⎪⎣⎭C.⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭解析：选A 设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k (k >0)必须满足33<k ≤3，易知k ＝b a ，所以13<⎝⎛⎭⎫b a 2≤3，43<1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤4，即有233< 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤2.又双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以233<e ≤2. 7．(2013·北京高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________． 解析：分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：129．(2013·东北三校模拟)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b1－b ＝1， 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14. 又0<a <b <1，故0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14 10．(2013·河北质检)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A ；(2)若a ＝1，且3c －2b ＝1，求角B . 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B ， 而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 则可得32sin C ＝cos A sin C ．又sin C >0， 则cos A ＝32，即A ＝π6. (2)由3c －2b ＝1，得3c －2b ＝a ， 即3sin C －2sin B ＝sin A .又∵A ＝π6，∴C ＝5π6－B ，∴3sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B －2sin B ＝12， 整理得cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝12. ∵0<B <5π6，∴π6<B ＋π6<π.∴B ＋π6＝π3，即B ＝π6.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3. 12．已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14.即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减； 当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e ，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .。
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 数学思想专项训练(含解析)
数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选 B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2252－4×109⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，g ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2＞0，x －＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48＋k 2x A＝169＋25k 2＋k 2＝1659＋25k 2＋k 22，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ， 所以2t ＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1， 所以f (x )＝2x＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝2a －a 2＝1a ，f b ＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52.由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝2a ＋a 2＝1a，fb ＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52.答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －2＋b －2＋c －2＋d －2＋e －25＝4.设a－7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－x 2－2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋y －2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1； 若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量解析：选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．已知点P在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．2 2 C.322D. 2解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋x －x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3等价于f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞34，即f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)， 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上． 则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点， 则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.(]－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ，x ＞，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x ＞当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x ，2x ＋－1≤x讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3， 所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2，n 为奇数，－n ＋2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ⊆P ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 对a 进行分类讨论，当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜－1时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)．对于log 2(x 2－1)≤1，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤2，x 2－1＞0解得⎩⎨⎧－3≤x ≤3，x ＜－1或x ＞1，所以Q ＝[－3，－1)∪(1，3]．因为Q ⊆P ，所以P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，从而－1≤a ≤1.6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cosx ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________． 解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．定义运算：a b ＝a2－b ，若关于x 的不等式xx ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由xx ＋1－m )＞0知，x 2－x ＋1－m＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1；④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n＋11－n2＝n－n2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×－2－n－n 2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1； (2)当x ＞0时，f (x )＞1ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝ex－e xx e x ＋2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x＞1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A．5 B．4C．2 D．1解析：选A 由于f(x＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x2＋x3＝6，易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P是函数y＝－4－x－2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2解析：选C 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ， 即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ， 所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大， 且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1]C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt△ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF |＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________． 解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________． 解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高； (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25. (2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012. (3)将[80,90)之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90,100]之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一) 配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5为( ) A ．5 B ．25 C ．15D ．10解析：选A ∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP中，PA ＝AM 2＋MP 2＝13＋－x2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋－x 2－－x ＝x 2－x ＋1，∴y ＝PA ＋PB ＝13＋x －2＋x 2－x ＋1＝13＋x －2＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，－14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 22x ，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1qn －1＝29·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)12n n (-)·2192n n(-)，因为－n n2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，－n n2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)12n n (-)＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝kx ＋得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝k ＋2－－2k ＋24k ＋2－－4k ＋＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·b －2－b 2－2b＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－b －2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ， 又|m |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B2.而|n |＝2， ∴cos θ＝m·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4， 得f (x )＝3e x＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]， 则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x－2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( ) A ．－8 B ．8 C ．－10D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45.因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8. 5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x－m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t 2＋t 2＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]．选A.二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝2×22a b +，即2a ＋b≥2×22a b +，所以2a ＋b≥4.令t ＝2a ＋b，由2a ＋2b ＝2a ＋b，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c可得，2a ＋b＋2c＝2a ＋b 2c，所以2c＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是R 上的奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点． 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3。
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 数学思想专项训练(含解析) (2)
数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选 B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2252－4×109⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，g ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2＞0，x －＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48＋k 2x A＝169＋25k 2＋k 2＝1659＋25k 2＋k 22，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ， 所以2t ＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1， 所以f (x )＝2x＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝2a －a 2＝1a ，f b ＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52.由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝2a ＋a 2＝1a，fb ＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52.答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －2＋b －2＋c －2＋d －2＋e －25＝4.设a－7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－x 2－2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋y －2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1； 若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量解析：选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．已知点P在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．2 2 C.322D. 2解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋x －x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3等价于f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞34，即f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)， 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上． 则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点， 则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.(]－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ，x ＞，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x ＞当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x ，2x ＋－1≤x讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3， 所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2，n 为奇数，－n ＋2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ⊆P ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 对a 进行分类讨论，当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜－1时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)．对于log 2(x 2－1)≤1，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤2，x 2－1＞0解得⎩⎨⎧－3≤x ≤3，x ＜－1或x ＞1，所以Q ＝[－3，－1)∪(1，3]．因为Q ⊆P ，所以P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，从而－1≤a ≤1.6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cosx ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________． 解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．定义运算：a b ＝a2－b ，若关于x 的不等式xx ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由xx ＋1－m )＞0知，x 2－x ＋1－m＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1；④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n＋11－n2＝n－n2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×－2－n－n 2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1； (2)当x ＞0时，f (x )＞1ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝ex－e xx e x ＋2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x＞1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A．5 B．4C．2 D．1解析：选A 由于f(x＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x2＋x3＝6，易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P是函数y＝－4－x－2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2解析：选C 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ， 即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ， 所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大， 且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1]C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt△ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF |＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________． 解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________． 解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高； (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25. (2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012. (3)将[80,90)之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90,100]之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一) 配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5为( ) A ．5 B ．25 C ．15D ．10解析：选A ∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP中，PA ＝AM 2＋MP 2＝13＋－x2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋－x 2－－x ＝x 2－x ＋1，∴y ＝PA ＋PB ＝13＋x －2＋x 2－x ＋1＝13＋x －2＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，－14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 22x ，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1qn －1＝29·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)12n n (-)·2192n n(-)，因为－n n2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，－n n2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)12n n (-)＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝kx ＋得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝k ＋2－－2k ＋24k ＋2－－4k ＋＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·b －2－b 2－2b＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－b －2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ， 又|m |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B2.而|n |＝2， ∴cos θ＝m·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4， 得f (x )＝3e x＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]， 则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x－2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( ) A ．－8 B ．8 C ．－10D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45.因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8. 5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x－m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t 2＋t 2＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]．选A.二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝2×22a b +，即2a ＋b≥2×22a b +，所以2a ＋b≥4.令t ＝2a ＋b，由2a ＋2b ＝2a ＋b，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c可得，2a ＋b＋2c＝2a ＋b 2c，所以2c＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是R 上的奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点． 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3。
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 数学思想专项训练(含解析)
9．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a＜b＜c＜d＜e.由平均数及方差的公式得 ＝7， ＝4.设a－7，b－7，c－7，d－7，e－7分别为p，q，r，s，t，则p，q，r，s，t均为整数，且 设f(x)＝(x－p)2＋(x－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20－t2，由(x－p)2，(x－q)2，(x－r)2，(x－s)2不能完全相同知f(x)＞0，则判别式Δ＜0，即4t2－4×4×(20－t2)＜0，解得－4＜t＜4，所以－3≤t≤3，故e的最大值为10.
A．是变量且有最大值
B．是变量且有最小值
C．是变量有最大值和最小值
D．是常量
解析：选D 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数．于是四面体PQEF的体积为常数．
4．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值为( )
4．已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为( )
A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D∵x∈[2,16]，∴f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立，设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以 即 解得x＜－2或x＞2.
【三维设计】高考数学二轮专题复习 第二部分 专题2 数形结合思想课件 新人教(江苏专)
2．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心均为坐标原点，它 们的焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第 一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角 形．若PF1＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则椭 圆的离心率的取值范围是________． 解析：如图，由题意知PF1＝10， PF2＝2c，且PF1>PF2.
圆锥曲线中与焦点有关的最值问题，求解时可作出图形， 借助定义数Q(2，－1)的距离与 点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 ________．
解析：点 Q(2，－1)在抛物线 y2＝4x 的内部， 要使点 P 到点 Q(2，－1)的距离与点 P 到抛物线 焦点的距离之和取得最小值，根据抛物线的定义知， 需使点 P 到点 Q(2，－1)的距离与点 P 到抛物线准线 距离之和取得最小，即 PQ⊥准线 l 时最小．则 P14，－1. 答案：14，－1
双曲线的离心率e双＝22ac双
3.设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它 在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB， 则在区间[1,2]上，f(x)＝________. 解析：法一：由y＝f(x)是最小正周期为2的函数， 得到函数y＝f(x)在区间[1,2]上的图象为如图所示 的线段BD.函数y＝f(x)在区间[1,2]上的图象是经过B(1,1)， D(2,2)的线段，由待定系数法，求得f(x)＝x(x∈[1,2])． 法二：当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋2；当x∈ [－1,0]时，f(x)＝f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2 (0≤－x≤1)，由最小正周期为2，得当x∈ [1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)＋2＝x. 答案：x
【问题】高考数学二轮专题复习与策略第2部分专题讲座1四大数学思想教师用书理
【关键字】问题专题讲座1 四大数学思想思想1 函数与方程思想函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则(ln 2)与(ln 3)的大小关系为________．(2)直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，直线l过点P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．(1)(ln 2)＞(ln 3) (2) [(1)令F(x)＝，则F′(x)＝.因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0，即F(x)在R上单调递减．又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)，即＞，所以＞，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l与x轴的交点为N(a,0)．由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.因为直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，所以解得k＞.又M为线段AB的中点，所以由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，所以＝，所以－＝2k＋.又因为k＞，所以2k＋≥2，当且仅当k＝时等号成立，所以－≥2，则－≤a≤0.]函数与方程思想在解题中的应用1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．[变式训练1] 将函数y＝sin的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．【导学号：】[把y＝sin的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝sin＝sin的图象，而此图象关于y轴对称，则4m－＝kπ＋(k∈Z)，解得m＝kπ＋(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为.]思想2 数形结合思想数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质．(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．(2016·山东高考)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是_____．(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋＝(x－m)2＋－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则－m2<m，即m2－>0.又m>0，解得m>3.]数形结合思想在解题中的应用1．建立函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．2．建立函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．3．建立解析几何模型求最值或范围．4．建立函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．[变式训练2] (1)若方程x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是________．(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．(1) (2)(0,1)∪(1，＋∞) [(1)由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一根大于1.设f(x)＝x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b，则即作出可行域如图阴影部分所示．可以看作可行域内的点(a，b)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知kOA＝－，∴－2＜＜－.(2)设y ＝g(x)＝(x ≠0)，则g ′(x)＝，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0， ∴g ′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图象的示意图如图所示． 当x >0，g (x )>0时，f (x )>0,0<x <1， 当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．]思想3 分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________． (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ (2)2或72 [(1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.(2)若∠PF 2F 1＝90°， 则PF 21＝PF 22＋F 1F 22.∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°， 则F 1F 22＝PF 21＋PF 22 ＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72.] 分类讨论思想在解题中的应用1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．[变式训练3] (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于________．(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.(1)－3或38 (2)32或6 [(1)当a ＞0时，f (x )在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上单调递增，故当x ＝2时，f (x )取得最大值，即8a ＋1＝4，解得a ＝38.当a ＜0时，易知f (x )在x ＝－1处取得最大，即－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上可知，a ＝38或－3.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 11－q 31－q ＝S 3＝92.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 11＋q ＋q 2＝92，②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.]思想4 转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．(1)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则PFPA的最小值是________．(2)已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，则m 的最大值为________．【导学号：】[解题指导] (1)利用抛物线的定义把PFPA的最值问题等价转化成直线PA 的斜率问题． (2)f (x ＋t )≤3e x ――→x ＋t ≥0e x ＋t≤e x ――→两边取对数t ≤1＋ln x －x――→令hx ＝1＋ln x －xh (x )min ≥－1.(1)22 (2)3 [(1)如图，作PH ⊥l 于H ，由抛物线的定义可知，PH ＝PF ，从而PFPA的最小值等价于PH PA的最小值，等价于∠PAH 最小，等价于∠PAF 最大，即直线PA 的斜率最大．此时直线PA 与抛物线y 2＝4x 相切，由直线与抛物线的关系可知∠PAF ＝45°，所以PF PA ＝PHPA＝sin 45°＝22. (2)因为当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， 所以f (x ＋t )≤3e x ⇔ex ＋t≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .所以原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立．令h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)． 因为h ′(x )＝1x－1≤0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数． 又x ∈[1，m ]，所以h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . 所以要使得对x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.因为h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e＝－1，且函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数m 的值为3.]转化与化归思想在解题中的应用1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程．[变式训练4] (1)(2016·杭州二模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体B －EB 1D 1的体积为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．(1)105 16 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 [(1)连结BD ，DE (图略)，因为BD ∥B 1D 1，所以∠EBD 就是异面直线BE 与B 1D 1所成的角，设A 1A ＝1，则DE ＝BE ＝52，BD ＝2，cos ∠EBD ＝54＋2－542×52×2＝105，由V 三棱锥B －EB 1D 1＝V 三棱锥D 1－BEB 1得V 三棱锥B －EB 1D 1＝13×12×1×1＝16. (2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以若函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数，则m 的取值范围为－373＜m ＜－5.]此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
【三维设计】高考数学二轮专题复习 第二部分 专题1 分类讨论思想课件 新人教(江苏专)
预测在2013的高考题中： (1)继续与函数综合考查. (2)结合函数与方程思想以及等价转化思想考查学生分析问 题、解决问题的能力.
本题是一个含参数a的不等式的求解问题，但不一定是二次 不等式，故首先对二次项系数a分类：(1)a＝0，(2)a≠0，对于 (1)，不等式易解；对于(2)又需再次分类：a>0或a<0，因为这两 种情形下，不等式解集形式是不同的；而a＞0时又遇到1与1a谁大 谁小的问题，因而又需作一次分类讨论，故需要作三级分类．
利用等比数列求和公式时要对q进行讨论，否则容易漏解． [演练3] 等差数列{an}中，a1＝2，且 a1，a3，a11 恰好是某等比数列的前 三项，那么该等比数列公比的值等于________． 解析：设{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，解得d＝0 或3，q＝1或4. 答案：1或4
第一问是二次不等式恒成立，直接用Δ控制；第二问是绝 对值函数的单调性问题，首先化成分段函数，然后寻找在闭区 间[0,1]上单调递增的条件求解，研究此类问题需要研究出分段 函数的各种分界点，如极值点、拐点等单调性分界点．
[演练2] (2012·苏中二模)已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝ln x. (1)当a＝1时，求f(x)的极小值； (2)若在区间[1,2]上函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方 (没有公共点)，求a的取值范围； (3)当a>0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的 解析式．点击上图进入配套专题检测
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
三维设计二轮复习资料数学
三维设计二轮复习资料数学数学是一门抽象而又实用的学科，它在三维设计中起着至关重要的作用。
在进行三维设计时，我们需要运用数学的知识来解决各种问题，例如计算物体的体积、表面积，确定物体的位置和方向等等。
因此，对于从事三维设计的人来说，掌握数学知识是非常重要的。
首先，我们来讨论一下在三维设计中常用的几何知识。
在三维设计中，我们经常需要计算物体的体积和表面积。
对于简单的几何体，如立方体、圆柱体和球体，我们可以使用相应的公式进行计算。
例如，对于一个边长为a的立方体，它的体积可以通过公式V=a³来计算。
而对于一个半径为r的球体，它的体积可以通过公式V=(4/3)πr³来计算。
掌握这些公式，可以帮助我们快速准确地计算物体的体积和表面积。
除了几何知识，代数知识在三维设计中也是非常重要的。
在三维设计中，我们经常需要解决线性方程组的问题。
例如，我们可能需要确定一条直线与一个平面的交点，或者确定两个平面的交线。
这些问题可以通过解线性方程组来解决。
掌握代数知识，特别是解线性方程组的方法，可以帮助我们解决这些问题。
此外，向量知识在三维设计中也是必不可少的。
在三维设计中，我们经常需要确定物体的位置和方向。
向量可以用来表示物体的位置和方向。
例如，我们可以使用一个位移向量来表示物体的位置变化，使用一个方向向量来表示物体的朝向。
掌握向量知识，可以帮助我们准确地描述和计算物体的位置和方向。
在三维设计中，还有一些高级的数学知识也是非常有用的。
例如，矩阵和行列式在三维设计中有广泛的应用。
矩阵可以用来表示物体的变换，例如平移、旋转和缩放。
行列式可以用来计算物体的体积和表面积。
掌握这些高级的数学知识，可以帮助我们更加灵活地进行三维设计。
除了上述的数学知识，还有一些其他的数学工具在三维设计中也是非常有用的。
例如，计算器和计算机软件可以帮助我们快速准确地进行计算。
图形计算器和三维建模软件可以帮助我们可视化地进行设计和计算。
【三维设计】高考数学二轮专题复习 第二部分 专题4 函数与方程思想课件 新人教(江苏专)
点击上图进入配套专题检测
3．若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是 ________． 解析：法一：∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝aa＋－31. 而a>0，aa＋－31>0，∴a>1. ∴ab＝a·aa＋－31＝a－12＋a－5a1－1＋4＝(a－1)＋a－4 1＋5≥9. 当且仅当a－1＝a－4 1，即a＝3时取等号．
所以数列{bn}是以12为首项，12为公比的等比数列． 所以bn＝b112n－1＝12n. 因为Tn(nbn＋n－2)≤kn对n∈N*恒成立， 所以Tnbn＋n－n 2≤k对n∈N*恒成立， 即n＋1 1·12n＋nnn－＋21≤k对n∈N*恒成立． 设f(n)＝n＋1 1·12n， 则f(n＋1)＝n＋1 2·12n＋1.
3．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切 的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成 是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果 这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，因 此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多 有关函数的问题则可以用方程的方法解决．
几何中的最值问题，其实质就是构造函数求函数的最值问 题．
[演练3] 设直线y＝a分别与曲线y2＝x和y＝ex交于点M、N，则当MN取
得最小值时，a的值为________．
解析：依题意得，a>0，点M(a2，a)，N(ln a，a)，易知a2>ln
a，MN＝a2－ln
a．记f(a)＝a2－ln
a，则有f′(a)＝2a－
函数、二次方程、二次不等式间的关系.
1．关于x的方程sin2x＋cos x＋a＝0有实根，则实数a的取值范
围是________．
数学浙江专三维二轮专题复习讲义：第二部分 专题一 善用数学思想
专题一善用数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识,重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时,它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结,逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．第一讲函数与方程思想__数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想的含义函数与方程思想在解题中的应用-—-————［典例示范]—————应用一解决数列、不等式问题［例1］已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．（1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n｝的通项公式a n；(2)在（1)的条件下,数列{a n}的前n项和为S n，设b n＝错误!＋错误!＋…＋错误!，若对任意的n∈N*，不等式b n≤k恒成立，求实数k的最小值．[解] （1）因为a1＝2，a23＝a2·（a4＋1），又因为｛a n}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d）2＝(2＋d）（3＋3d)，（列出方程）解得d＝2或d＝－1（舍去）,所以数列{a n｝的通项公式a n＝2n。
（2）因为S n＝n(n＋1)，所以b n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!＝错误!,令f(x)＝2x＋错误!(x≥1）,(构造函数)则f′（x)＝2－错误!，当x≥1时,f′(x)〉0恒成立,所以f(x)在[1,＋∞)上是增函数，故当x＝1时,f（x）min＝f（1)＝3，即当n＝1时，(b n）max＝错误!，要使对任意的正整数n，不等式b n≤k恒成立，则须使k≥（b n)max＝错误!，所以实数k的最小值为错误!.———［即时应用］————-—--—-1.（1）设a＞0，b＞0.（）A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b,则a＜b（2）f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈［－1,1］总有f（x）≥0成立，则a＝________。
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第二讲数学的高级统帅——数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．中学数学思想主要有数形结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想、化归和转化思想．一、函数与方程思想——————————[典例示范]———————————[例1](1)(2013·四川高考)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．(2)(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，当x∈[0,1]时，求证：1－x≤f(x)≤11＋x.[解] (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3(q ＝1舍去)，故首项a 1＝1，公比q ＝3. 所以，数列的前n 项和S n ＝3n －12.(2)证明：要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x≥1－x ，只需证明(1＋x )·e －x ≥(1－x )e x .记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )，当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x≤11＋x， 只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]．[反思·领悟] (1)本题利用方程思想，由已知条件列出关于a 1及q 的方程组，求出a 1和q (注意舍去q ＝1)．(2)本题求解的关键在于恰当构造函数，要证1－x ≤f (x )成立，即证(1＋x )e －x ≥(1－x )e x .可构造函数h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，只需证明h (x )min ≥0.————————[即时应用]——————————1.(1)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP ·FP 的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞(2)(2013·昆明调研)已知A ，B ，C ，D 四点在半径为292的球面上，且AC ＝BD ＝13，AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ，则三棱锥D -ABC 的体积是________．解析：(1)由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3.∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥ 3)， OP ·FP ＝(x ，y )·(x ＋2，y ) ＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥ 3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥ 3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增． g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3.∴OP ·FP 的取值范围为[3＋23，＋∞)．(2)依题意得，可将该三棱锥D -ABC 补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别是a ，b ，c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋c 2＝4×294＝29，a 2＋b 2＝13，b 2＋c 2＝25，由此解得a ＝2，b ＝3，c ＝4，结合图形可知，三棱锥D -ABC 的体积是13abc ＝8.答案：(1)B (2)8二、数形结合思想最值问题．7 构建方程模型，求根的个数． 8研究图形的形状、位置关系、性质等.——————————[典例示范]—————————[例2] (1)(2013·天津高考)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)(2013·江西高考)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3[解析] (1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·sin ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33. [答案] (1)B (2)B[反思·领悟] (1)本题是函数零点视为两个函数图像的交点，分别画出两个函数图像，利用数形结合方法即可求解．(2)对于解析几何中涉及圆的问题，一定要充分利用圆的几何性质及图形特点，本题中，由∠AOB ＝90°，知圆心到直线l 的距离为22，观察图形，可计算出∠OCB ＝30°，问题求解． ——————————[即时应用]——————————2.(1)(2013·广州调研)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n(2)(2013·深圳调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，2x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．解析：(1)构造长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.对于A ，A 1B 1∥AB ，A 1B 1∥平面ABCD ，但AB ⊂平面ABCD ，A 错；对于B ，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1∩平面BCC 1B 1＝BB 1，B 错；对于C ，A 1B 1∥平面ABCD ，A 1D 1∥平面ABCD ，但A 1B 1∩A 1D 1＝A 1，C 错．故选D.(2)如图，画出可行域，易得A (2,4)，B (1,6)，∴它们与原点连线的斜率分别为k 1＝2，k 2＝6.又y x ＝y －0x －0，∴k 1≤yx ≤k 2.即2≤y x ≤6.答案：(1)D (2)[2,6]三、分类讨论思想像、指数函数图像、对数函数图像等.5由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.——————————[典例示范]———————[例3] (1)(2013·江西高考)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4(2)(2013·辽宁高考)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 [解析] (1)当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A 为空集，不符合题意；当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.(2)若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意； 若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a＝－1， 所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． [答案] (1)A (2)C[反思·领悟] (1)本题是由于参数a 的变化而引起的分类讨论．(2)由于直角顶点不确定而引起的分类讨论，利用分类讨论解题时，要遵循分类讨论的原则：①不重不漏；②标准要统一，层次要分明；③能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．————————————[即时应用]——————————3.(1)(2013·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a－5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．1(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1与q .解析：(1)选C 分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤3，2a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.(2)解：当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎨⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1(1－q 3)1－q＝S 3＝92.∴⎩⎨⎧a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， ∴q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q2＝6.综上可知，当q ＝1时，a 1＝32；当q ＝－12时，a 1＝6.四、转化与化归思想——————————[典例示范]———————[例4] (1)(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)(2013·全国大纲卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ·MB ＝0，则k ＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2[解析] (1)∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a ＝a ＝a sin A ， ∴sin A ＝1.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．(2)抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA ·MB ＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2. [答案] (1)B (2)D[反思·领悟] (1)利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系．(2)设出A ，B 两点坐标，对MA ·MB ＝0用坐标进行运算．实现平面向量语言与代数语言的转化．————————————[即时应用]——————————4.(1)(2013·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.(2)(2013·辽宁五校联考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知AD ＝4，BD ＝43，AB ＝2CD ＝8.①设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ；②当M 点位于线段PC 什么位置时？P A ∥平面MBD . 解：①证明：在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝43，AB ＝8，∴AD 2＋BD 2＝AB 2. ∴AD ⊥BD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面P AD .又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面P AD .②当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时， P A ∥平面MBD .证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN . ∵AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是梯形． ∵AB ＝2CD ， ∴CN ∶NA ＝1∶2.又∵CM ∶MP ＝1∶2，∴CN ∶NA ＝CM ∶MP ， ∴P A ∥MN .∵MN ⊂平面MBD ，∴P A ∥平面MBD .在练数学思想的同时，自检一轮复习成果，为二轮复习查找薄弱环节.1．(2013·郑州质检)若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意，故选B.2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.293 D ．43或833解析：选D 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．3．(2013·南昌模拟)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(a >0，b >0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于( )A ．2 B.233C.322D. 3解析：选B 双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0,2)，由题意知点⎝⎛⎭⎫33，2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，13b 2－4a 2＝－1，得a 2＝3，故e ＝c a ＝233，选B. 4．(2013·浙江名校联考)如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2 013，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2 013为第51个数，故n ＝51，选B.5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D 项．法二：不等式2x (x －a )<1可变形为a >x －⎝⎛⎭⎫12x.记g (x )＝x －⎝⎛⎭⎫12x (x >0)，易知当x 增大时，y ＝x 与y ＝－⎝⎛⎭⎫12x的函数值都增大，故g (x )为增函数，又g (0)＝－1，所以g (x )∈(－1，＋∞)．由题意可知a >－1.6．(2013·南昌模拟)点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ·PN 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,3] C ．[0,4]D ．[－2,2]解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，则PM ·PN ＝(PO ＋OM )·(PO ＋ON )＝PO 2＋PO ·(OM ＋ON )＋OM ·ON ＝|PO |2－1，且1≤|OP |≤5，∴PM ·PN ∈[0,4]． 7．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解析：∵A ∩B ＝{3}，故a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 若a ＋2＝3，则a ＝1，检验知，满足题意． 若a 2＋4＝3，则a 2＝－1，不合题意，故a ＝1. 答案：18．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，所以|OM |min ＝|－2|2＝ 2. 答案： 29．(2013·郑州质检)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：1或210．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，求x 的取值范围．解：设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )>0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－4log 2x ＋3>0，(log 2x )2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3. ∴0<x <12或x >8，∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(8，＋∞)． 11．(2013·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 12．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数，e 为自然对数的底数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值； (2)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解，并说明理由． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在区间(0,1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数． f (x )max ＝f (1)＝－1.(2)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1，∴|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减． ∴g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1，∴g (x )<1.∴|f (x )|>g (x )恒成立，即|f (x )|>ln x x ＋12恒成立． ∴方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数解．专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语(1)元素与集合的关系：集合元素具有确定性、互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用．(2)运算性质及重要结论：①A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . ③A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . ④A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B(2)(2013·江西省七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的a 的取值范围为( )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9][解析] (1)∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}， ∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R . (2)依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围为(6,9]． [答案] (1)B (2)D解答集合间的运算关系问题的思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．三、预测押题不能少1．(1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，1)解析：选A 本题逆向运用元素与集合的关系求参数的取值范围，抓住1∉A 作为解题的突破口，1∉A 即1不满足集合A 中不等式，所以12－2×1＋a ≤0⇒a ≤1.(2)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}解析：选B对于2x(x－2)<1，等价于x(x－2)<0，解得0<x<2，所以A＝{x|0<x<2}；集合B表示函数y＝ln(1－x)的定义域，由1－x>0，得x<1，故B＝{x|x<1}，∁R B＝{x|x≥1}，则阴影部分表示A∩(∁R B)＝{x|1≤x<2}.(1)四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价．(2)含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题p∨q，只要p，q至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题p∧q，只要p，q至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；綈p和p为一真一假两个互为对立的命题．(3)“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是綈p∧綈q；命题p∧q的否定是綈p∨綈q.二、经典例题领悟好[例2](1)(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A,2x∉BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈BD．綈p：∃x∈A,2x∉B(2)给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋log x2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则ca>cb”的逆否命题；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[解析] (1)命题p 是全称命题：∀x ∈A,2x ∈B ， 则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .(2)①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真； ④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．[答案] (1)D (2)A(1)对于含有“或、且、非”联结词的命题的真假判定，关键是命题p 与q 的真假判定． (2)含有量词的命题的否定，不仅要将结论否定，而且要把量词进行改换． 三、预测押题不能少 2．(1)下列命题：①存在一个实数x ，使不等式x 2－3x ＋6<0成立；②已知a ，b 是实数，若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0；③x ＝2k π＋π4(k ∈Z )是tan x ＝1的充要条件．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 因为x 2－3x ＋6＝⎝⎛⎭⎫x －322＋154>0，所以①为假命题；若ab ＝0，则a ，b 中至少一个为零即可，②为假命题；x ＝k π＋π4(k ∈Z )是tan x ＝1的充要条件，③为假命题．(2)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]对于p 和q 两个命题，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 和q 互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件为( )A ．m >1且n <1B ．mn <0C ．m >0且n <0D ．m <0且n <0[解析] (1)当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．(2)因为y ＝－m n x ＋1n经过第一、三、四象限，所以－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.[答案] (1)A (2)B判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明；(3)要注意转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，则p 是q 的充要条件．三、预测押题不能少3．(1)“10a >10b ”是“lg a >lg b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由10a >10b 得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a >10b ”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件．(2)若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2，m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)高考对集合的考查体现在其概念、运算及简单的运用上，由单一考查基础问题转化为与其他知识的交汇，多与不等式、函数、方程、解析几何等知识交汇命题．一、经典例题领悟好[例1] 设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 24＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 在同一坐标系下画出椭圆x 2＋y 24＝1及函数y ＝2x 的图象，结合图形不难得知它们的图像有两个公共点，因此A ∩B 中的元素有2个，其子集共有22＝4个．[答案] A本题把集合和解析几何、函数交汇，利用图形确定A ∩B 元素的个数，从而可知A ∩B 的子集数.二、预测押题不能少1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选B A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43，选B.以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题常以集合为依托，考查考生理解问题、解决问题的能力．一、经典例题领悟好[例2] (2013·福建高考)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(i)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ii)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)学审题——审条件之审视隐含“保序同构”的集合是指存在一函数f (x )满足：①S 是f (x )的定义域，T 是值域，②f (x )在S 上递增．[解析] 对①：取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以B ＝N *，A ＝N 是“保序同构”；对②：取f (x )＝92x －72(－1≤x ≤3)，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}是“保序同构”；对③：取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫πx －π2(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”，故应填①②③. [答案] ①②③求解此类新定义的存在性问题的关键是：首先，读懂新定义的含义；其次，会利用特取法来快速智取，如本题，通过取特殊函数(注意此特殊函数应满足题设中的两个条件)，就可轻松破解此类难题.二、预测押题不能少2．已知集合M ＝{1,2,3,4}，A ⊆M .集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.当集合A 的累积值是奇数时，这样的集合A 共有________个．解析：∵A ⊆M ，且集合M 的子集有24＝16个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，故“累积值”为奇数的集合有3个．答案：3对“命题”的考查，切入点很广泛，知识载体很新颖，年年都能考出新意，但无论试题载体如何变化、试题难度都不大，无非都是对学生易错易混的定义、性质、定理及结论的考查，只要学生扎牢基础知识，就能以不变应万变．一、经典例题领悟好 [例3] 给出下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0，则命题p ∧﹁ q 是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．[解析] 对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧﹁ q 为假命题，故①正确；对于②，当b ＝a ＝0时，l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.[答案] ①③解决此类问题关键要对每一命题作出正确判断，对于复合命题的判断，应充分利用真值表来判定.二、预测押题不能少3．下列说法中，不正确的是( )A ．点⎝⎛⎭⎫π8，0为函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心 B ．设回归直线方程为y ^＝2－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位 C ．命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题D ．对于命题p ：“x x －1≥0”，则綈p ：“xx －1<0”解析：选D 由y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，知A 正确；由回归直线方程知B 正确； 在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ，C 正确．A 组(全员必做)1．(2013·湖北八校联考)已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．2．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A ⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．3．(2013·湖北襄阳调研)如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为()A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}解析：选D因为A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，阴影部分为A∪B中除去A∩B 的部分，即为{x|0≤x≤1或x>2}．4．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．(p)∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析：选A綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．5．(2013·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x∈A)的值域为B，则(∁R A)∩B等于()A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x>1}解析：选A由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁R A＝{x|x<0或x>1}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}．6．如图所示的程序框图，已知集合A＝{x|x是程序框图中输出的x的值}，集合B＝{y|y 是程序框图中输出的y的值}，全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时，(∁U A)∩B等于()A．{－3，－1,5} B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7} D．{－3，－1,7,9}解析：选D根据程序框图所表示的算法，框图中输出的x值依次为0,1,2,3,4,5,6；y值依次为－3，－1,1,3,5,7,9.于是A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，因此(∁U A)∩B ＝{－3，－1,7,9}．7．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．因为x∈A∩B，所以x可取0,1；因为y∈A∪B，所以y可取－1,0,1,2,3.则(x，y)的可能取值如下表所示：8．设A：xx－1<0，B：0<x<m，若B是A成立的必要不充分条件，则m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：选Dxx－1<0⇔0<x<1.由已知，得(0,1)(0，m)，所以m>1.9．下列命题中的假命题是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题B．“两非零向量a，b的夹角为钝角”的充要条件是“a·b<0”C．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若x∈R，则x2＋x＋1<0”的否定解析：选B命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为：“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”，是真命题；若两非零向量a，b的夹角为钝角，则a·b<0；反之，若a·b<0，则两非零向量a，b的夹角为钝角或两向量方向反向，即得“两非零向量a，b的夹角为钝角”的必要不充分条件是“a·b<0”，即命题B是假命题；命题C显然正确；命题D为假命题，其否定为真命题．10．已知命题p：“∀x∈[1,3]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1}C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1}解析：选A若命题p成立，则a≤x2对x∈[1,3]恒成立．当x∈[1,3]时，1≤x2≤9，所以a≤1.命题q成立，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.所以当a＝1或a≤－2时，命题“p且q”是真命题．11．(2013·安徽望江中学模拟)设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝a x－x－a有零点，则綈p：______________.解析：全称命题的否定为特称命题，綈p：∃a>0，a≠1，函数f(x)＝a x－x－a没有零点．答案：∃a>0，a≠1，函数f(x)＝a x－x－a没有零点12．(2013·皖南八校联考)已知p和q都是命题，则“命题p∨q为真命题”是“命题p ∧q为真命题”的________________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”四者之一)．解析：命题p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真即可；而p∧q为真命题，则p，q 都为真，故“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的必要不充分条件．答案：必要不充分13．(2013·天津一中模拟)已知集合A＝{x，x＋y，xy}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x －y的值为________．解析：已知A＝B，即{x，x＋y，xy}＝{0，|x|，y}，根据集合中元素互异性可知x≠0且y ≠0，∴x ＋y ＝0，即y ＝－x .此时A ＝{x,0，－x 2}＝B ＝{0，|x |，－x }，即－x 2＝－x .又由x ≠0知x ＝1，则y ＝－1，∴x －y ＝2.答案：214．给出下列四个命题：①命题“∀x ∈R ，cos x >0”的否定是“∃x ∈R ，cos x ≤0”； ②若0<a <1，则函数f (x )＝x 2＋a x －3只有一个零点； ③函数y ＝22sin x cos x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调递减函数； ④若lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为4. 其中真命题的序号是________．解析：由全称命题的否定是特称命题知①为真命题．在同一直角坐标系内作出y 1＝3－x 2，y 2＝a x (0<a <1)的图像如图所示．由图知两函数图像有两个交点，故②为假命题．由y ＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故y ＝22sin x cos x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数，因此③为假命题． ④中由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )知，ab ＝a ＋b 且a >0，b >0. 又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以令a ＋b ＝t (t >0)，则4t ≤t 2，即t ≥4，因此④为真命题． 答案：①④B 组(强化选做)1．(2013·吉林白山二模)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：选D “若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．2．(2013·山东高考)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C．5 D．9解析：选C逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．3．(2013·河南洛阳模拟)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2>0矛盾；C项，当x＝110时，lg 110＝－1<1；D项，当x ∈R时，tan x∈R，∴∃x∈R，tan x＝2.4．(2013·湖北八校联考)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是()A．p或q B．綈p或qC．綈p且q D．p且q解析：选B命题q：若a>b，则ac>bc为假命题；命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有綈p或q为真命题．5．(2013·湖北八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个解析：选B|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)·(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±3(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个．6．(2013·陕西高考)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设α为向量a，b的夹角，则|a·b|＝|a||b|·|cos α|＝|a||b|⇔|cos α|＝1⇔cos α＝±1⇔向量a，b共线．7．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．②③解析：选B 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．8．已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c ，其中c >0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选D 因为A ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，A ∪B ＝B 得A ⊆B ，又B ＝{x |0<x <c ，其中c >0}，所以结合数轴得c ≥2.9．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是( )A ．若a ≠π6，则sin α≠12B ．若α＝π6，则sin α≠12C ．若sin α≠12，则α≠π6D ．若sin α≠12，则α＝π6解析：选C 以否定的条件作结论，否定的结论作条件得出的命题为逆否命题，即“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是“若sin α≠12，则α≠π6”． 10．(2013·长春调研)对于非空实数集A ，记A *＝{y |∀x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P 满足：M ⊆P ，且若x >1，则x ∉P .现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有P *⊆M *； ②对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有M *∩P ≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有M ∩P *＝∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必存在常数a ，使得对任意的b ∈M *，恒有a ＋b ∈P *，其中正确的命题是( )A ．①③B ．③④。