2013四川高考数学(理科卷)含答案

OSN 教研特为广大考生奉上2013年四川考高数学理科卷试题。

祝广大考生金榜题名！
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

第I 卷1至2页，第II 卷2至5页考生作答是，须将答案答在答题卡上，在本试题作答，答题无效。

满分：150分，考试时间150分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合{}02|=+=x x A ，集合{}
04|2=-=x x B ，则B A =（ ） A 、{}2- B 、{}2 C 、{}2,2- D 、Φ
2、如图，在复平面内，点A 表示复数z 的共轭复数的点是（ ） A 、A B 、B C 、C D 、D
3、一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的直视图可以是（ ）
主视图 侧视图 俯视图
4、设Z x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题B x A x p ∈∈∀2,：，则（ ） A 、B x A x p ∉∈∀⌝2,： B 、B x A x p ∉∉∀⌝2,： C 、B x A x p ∈∉∃⌝2,： D 、B x A x p ∉∈∃⌝2,：
5、函数)2
2
,0)(sin(2)(π
ϕπ
ωϕω<
<-
>+=x x f 的部分图象如图所示，则ϕω,的值分别是（ ）
A 、3
2π
-、
B 、6
2π
-、
C 、64π
-、
D 、3
4π
、
6、抛物线x y 42
=的焦点到双曲线13
2
2
=-y x 的渐近线的距离是（ ） A 、
21 B 、2
3 C 、1 D 、3 7、函数1
33
-=x x y 的图象大致是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为b a ,，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是（ ）
A 、9
B 、10
C 、18
D 、20
9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A 、41
B 、21
C 、43
D 、87
10、设函数为自然对数的底数）e R a a x e x f x ,()(∈-+=若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是（ ）
Ａ、],1[e Ｂ、]1,1[1--e Ｃ、]1,1[+e Ｄ、]1,1[1+--e e
第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的大体区域内作答。

作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、二项式5)(y x +的展开式中，含32y x 的项的系数是__________（用数字作答）. 12、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+，则=λ______.
13、设),2
(,sin 2sin ππ
ααα∈-=，则α2tan 的值是_________.
14、已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，那么，不等式5)2(<+x f 的解集是_____.
15、设n P P P ,,21为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点n P P P ,,21的距离之和最小，则称点P 为n P P P ,,21的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点B A ,的中位点，现有下列命题： ①若三个点C B A 、、共线，C 在线段AB 上 ，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点D C B A 、、、共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。

其中的真命题是___________（写出所有真命题的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 16、（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项，公差及前n 项和。

17、（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别c b a 、、，且
5
3)cos(sin )sin(cos 2cos 22-=++---C A B B A B B A
（1）求A cos 的值；
（2）若5,24==b a ，求向量BA 在BC 方向上的投影。

18、（本小题满分12分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,...,24这24个整数中等可能随机产生 （I ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率)3,2,1(=i p i ；
（II ）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n 次后，统计记录输出y 的值为)3,2,1(=i i 的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据。

否
否 是
是
甲的频数统计图（部分） 乙的频数统计图（部分）
运行次数n
输出y 的值为1的频数
输出y 的值为2的频数
输出y 的值为3的频数 30 14 6 10 ... ... ... (2100)
1027
376
697
当2100=n 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为)3,2,1(=i i 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III ）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望。

运行次数n
输出y 的值为1的频数 输出y 的值为2的频数 输出y 的值为3的频数
30 12 11 7 ... ... ... ... 2100 1051
696
353
开始
输入x
x 为偶数
x 能被3整除
y=1
y=2
y=3
输出y 结束
19、（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱ABC AA 底面⊥1，12AA AC AB ==，
120=∠BAC ，1,D D 分别是线段11,C B BC 的中点，P 是线段AD 的中点。

（I ）在平面ABC 内，试做出过点P 与平面BC A 1平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11A ADD ；
（II ）设（I ）中的直线l 交AB 于点M ，叫AC 于点N ，求二面角N M A A --1的余弦值。

20、（本小题满分13分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x C ：的两个焦点分别为)0,1(),0,1(21F F -，且椭圆C 经过点)31,34(P 。

（I ）求椭圆C 的圆心率：
（II ）设过点)2,0(A 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，点Q 是线段MN 上的点，且
2
2
2
112AN
AM
AQ +
=
，求点Q 的轨迹方程。

21、（本小题满分14分）
已知函数⎩⎨⎧><++=0,ln 0
,2)(2x x x a x x x f ，其中a 是实数，设))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 为该函数图象
上的点，且21x x <.
（I ）指出函数)(x f 的单调区间；
（II ）若函数)(x f 的图象在点B A ,处的切线互相垂直，且02<x ，求12x x -的最小值； （III ）若函数)(x f 的图象在点B A ,处的切线重合，求a 的取值范围。

参考答案。