2010年高考数学试题——(四川卷理科)

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2010年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(四川卷)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(四川卷)第Ⅰ卷本卷共21小题，每小题6分，共126分。

可能用到的相对原子质量：C 12 H 1 Cu 64 N 14 O 16Fe 56 S 32一、选择题(本题包括13小题。

每小题只有一个选项符合题意)1．与酵母菌相比，硝化细菌具有的特点是()A．无线粒体，只能通过无氧呼吸获得能量B．无固氮酶，只能以含氮有机物作为氮源C．无细胞核，只能通过出芽生殖方式繁殖后代D．无染色体，只能在DNA水平产生可遗传变异答案：1．D硝化细菌是原核生物，虽无线粒体，但仍可进行有氧呼吸；硝化细菌无固氮酶，但可以将氨气氧化为亚硝酸根离子和硝酸根离子，并从该过程中获得能量，这里的氨气是硝化细菌的无机氮源；硝化细菌无细胞核，其增殖方式是二分裂；硝化细菌无染色体，不可能产生染色体变异，只能在DNA水平产生可遗传变异。

2．下列对实验的相关叙述，正确的是()A．探索淀粉酶对淀粉和蔗糖的专一性作用时，可用碘液替代斐林试剂进行鉴定B．纸层析法分离叶绿体色素的实验结果表明，叶绿素b在层析液中溶解度最低C．调查人群中某种遗传病的发病率时，应选择有遗传病史的家系进行调查统计D．鉴定蛋白质时，应将双缩脲试剂A液和B液混合以后再加入待检组织样液中答案：2．B本实验欲证明淀粉酶能专一水解淀粉，但对蔗糖来说，加碘液后，若其不水解，溶液为棕黄色，若水解，其仍为棕黄色，不能证明淀粉酶对蔗糖无分解作用；分离叶绿体中色素时，叶绿素b色素带最靠下，说明在层析液中溶解度最低；调查遗传病的发病率时应在人群中随机进行；鉴定蛋白质时应先加双缩脲试剂A液，再加双缩脲试剂B液。

3．有人对不同光照强度下两种果树的光合特性进行研究，结果如下表(净光合速率以B．光强小于0.5 mmol光子/m2·s，限制净光合速率的主要因素是叶绿素含量C．光强大于0.7 mmol光子/m2·s，限制净光合速率的主要生态因素是CO2浓度D．龙眼的最大光能利用率大于芒果，但龙眼的最大总光合速率反而小于芒果答案：3．B表格数据显示(表中第二行和第四行)，光强大于0.1 mmol/m2·s时，光照增强两种果树的光能利用率逐渐减少；对龙眼来说，光强从0.1 mmol/m2·s到0.7 mmol/m2·s 净光合速率一直在增加，因此光强为0.5 mmol/m2·s时，限制净光合速率的因素是光强，而不是叶绿素含量，同理可以判断芒果也是如此；光强大于0.7 mmol/m2·s时，龙眼、芒果的净光合速率都不再增加，限制因素是二氧化碳浓度；龙眼的最大光能利用率(2.30)大于芒果(1.20)，但龙眼的最大总光合速率(8.50＋0.6＝9.1)反而小于芒果(7.6＋2.1＝9.7)。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）语文青峰弦月根据网络图片资料精心校对整理而成本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第4页，第Ⅱ卷第5页至第11页。

全卷满分150分，考试时间150分钟。

考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷考生注意事项：1．答第Ⅰ卷，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答题标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

3．本卷共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目本意。

一、（12分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，每对的读音完全相同的一组是（）A．皱．纹/骤．然杀戮．/山麓．琼．楼玉宇/群．龙无首B．挟．持/偕．同竹笋．/损．失柳．暗花明/扭．转乾坤C．肋．骨/擂．台嗟．叹/街．道追根溯．源/素．昧平生D．游泳．/踊．跃祝贺．/豁．达倾．家荡产/轻．装简从2．下列词语中没有错别字的一组是（）A．驰援万户侯明察秋毫急风劲草B．规矩流线形歪风邪气通宵达旦C．催眠及时雨寸草春辉防患未然D．签订护身符屈指可数语无伦次3．下列各句中，加点词语使用恰当的一句是A．传统的“严父慈母”在一些三口之家中逐渐演变为“慈父严母”，以前严厉的父亲如今在这些家庭中扮演着唱红脸．．．的角色。

B．该县有关部门在今后两年内斥资对这位名人的故里．．进行修复，把它打造成精品，以吸引外地游客。

使当地旅游人气更旺。

C．经过多年的深入研究，该课题组撰写了专题报告，对我国票据法的特色及其．．立法决策中的几个问题进行了分析论述。

D．他准备出售自己珍藏多年的字画，并把出售所得捐赠给西南干旱地区，但后来字画不慎遗失使他的计划成了纸上谈兵．．．．。

4．下列各句中，没有语病的一句是A．曹操的性格具有双重性，他的雄才大略与奸诈凶狠对于任何一个扮演他的演员来说都具有挑战性，也是个难得的表演机会。

普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)解析之欧阳物创编

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）解析本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．3。

本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B ) =P (A )+P (B ) 24s R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题：（1）i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 解析：由复数性质知：i 2＝－1 故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1 答案：A（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是（A ）（B ）（C ）（D ）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案：D（3）2log510＋log50.25＝（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2答案：C（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）2m=m=-（D）1m=（C）1m=-（B）2m解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－2m＝1m＝－2于是－2答案：A（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2∣∣==∣+∣=∣-∣,则AM16,BC AB AC AB AC（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1解析：由2BC ＝16，得|BC|＝4∣+∣=∣-∣=||＝4AB AC AB AC BC而AB AC AM∣+∣=2∣∣故AM∣∣=2答案：Cπ个单（6）将函数sin=的图像上所有的点向右平行移动y x10位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －10π)再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210y x π=-.答案：C（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱则70106480,x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩目标函数z ＝280x ＋300y结合图象可得：当x ＝15,y ＝55时z 最大本题也可以将答案逐项代入检验. 答案：B（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+作差得a n ＋2＝2a n ＋1又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1a 2＝2a 故{a n }是公比为2的等比数列S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==-答案：B（9）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A ）20,⎛ ⎝⎦（B ）10,2⎛⎤⎥⎝⎦（C ） )21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A点的距离相等而|FA |＝22a b c c c-=|PF |∈[a －c ,a ＋c ]BCD AN M Oα于是2b c∈[a －c ,a ＋c ]即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2∴222222ac c a c a c ac c ⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩ 1112c ac c aa ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又e ∈(0,1)故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C（11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（A ）17arccos 25R （B ）18arccos 25R（C ）13R π （D ）415R π解析：由已知，AB ＝2R ,BC ＝R ,故tan ∠BAC ＝12cos ∠BAC ＝255连结OM ，则△OAM 为等腰三角形AM ＝2AOcos ∠BAC ＝45R ，同理AN ＝45R ，且MN ∥CD而AC ＝5R ,CD ＝R故MN ：CD ＝AN :ACMN ＝45R ，连结OM 、ON ，有OM ＝ON ＝R 于是cos ∠MON ＝22217225OM ON MN OM ON +-=所以M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R 答案：A（12）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2 （B ）4 （C ） 25（D ）5 解析：221121025()a ac c ab a a b ++-+- ＝2211(5)()a c a ab ab ab a a b -+-+++-＝211(5)()()a c ab a a b ab a a b -+++-+-≥0＋2＋2＝4当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立如取a 2b 2,c 2满足条件.答案：B第Ⅱ卷α•AB•β二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）6(2的展开式中的第四项是.解析：T 4＝33361602(C x=-答案：－160x（14）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣=.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为圆心到直线250x y -+=的距离为d ＝=故|AB |222()+=2得|AB |＝23答案：23（15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈， AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.解析：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D连结AD ，有三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60° 又由已知，∠ABD ＝30°连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角设AD ＝2，则AC CD ＝1AB ＝sin 30AD＝4α•AB•βC D∴sin ∠ABC ＝3AC AB =答案：3 （16）设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

2010年四川省数学高考压轴题巧解

ｎ
又孝虑到ｌ＜ｌ１≤ ３．旱干
＜
）＜１）＋ｎ＋１＜ｎ＋４
ｋ）一凡Ｉ＜４．
１
综上所述，总有Ｉ
∑ｇ）＞（
＝２
说明考生很难想到命题组给出的上述解
（）当０＜。≤ 了时３１
，
试比 ∑ ）ｎ较ｌ一ｌ
１解答
行了不容易想到的放缩，缩之后再累加，放累加中抵消大部分项，显然在放缩时就已经考虑到了之后的 “ 消 ” 至此才基本证明完毕．抵，笔者查过很多解
答，几乎全部提供这种解法，至有些粗糙的答案甚
凡＋一
凡＋ｌ
＜ｎ“
是．）厂的反函数．（（设关于的方程ｌｎ）ｏｇｇ）（在区间［，］有实数解，ｔ２６上求的取值范围；（）ａ＝ｅｅ自然对数的底数），明：２当（为时证
Ｌ２
一
２＋］１ … ）１ ≤ ≤ ＋
∑ ∑㈦ ” ２、：， ¨ 一０由于，≤
，，
，＝ｌ２ … ，，，，孔因此
）１－÷ ｌ＋＋・＋＇．＋
即（ ≤１＋＋１ｎ＋１ … 寻＋＝）寺＋＝
１
一
∑㈦Ｌ一
与的大小
了不同的做法．解法２是利用
第（）题考查了反函数、程、数及其应１小方导用等基础知识，度不大，大部分学生都能顺利难绝

四川2010年高考数学(理)模拟试题及答案(一)

四川2010级数学（理科）高考模拟试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）组成，共2页；答题卷即第Ⅱ卷（非选择题）共6页.满分150分.考试结束后将答题卡和答题卷一并交回. 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上.1.设集合A=R ，集合B=+R ，下列对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的是A.xy x =→ B.2)1(1-=→x y xC.x y x -=→2D.)1(log 22x y x +=→ 2.ABC ∆中，90C ∠=︒，(,1)AB k = ，(2,3)AC =，则k 的值是A.5B.－5C.32D.32-3.复数z a bi =+（,a b R ∈）是方程234z i =--的一个根，则z 等于A.12i +B.12i -+C.12i --D.2i +4.函数()sin cos f x x x =+，则函数()y f x '=的图象的一条对称轴为A.4x π=B.2x π=C.x π=D.34x π=5.已知{}n a 为等比数列，公比为q （q R ∈），其前n 项的和为n S ，且396,,S S S 成等差数列，则3q 等于A.1B.－12C.－1或12D.1或－126.奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式为2()f x x x =-，则不等式()0f x >的解集A.(1,0)(1,)-+∞B.(,1)(0,1)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞D.(1,0)(0,1)-7.若(16)n x +展开式中n x 的系数为n a ，3(75)nx +展开式中各项系数的和为n b ，则2lim 34nnn n n a b a b →∞-+ 的值为A.－1B.1C.－12D.128.三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC两两互相垂直，且2,PA PB PC ===则空间一点O 到点P 、A 、B 、C 等距离的值是9.已知23,x ≤≤212x y x -≤≤，则yx 的最小值为A.12 B.1 C.32 D.210.已知01x <<，,a b 为常数且0ab <，则221a b y x x =+-的最小值是 A.2()a b + B.2()a b -C.22a b + D.22a b -11.双曲线22221x y b a -=（0,0a b >>）的一个焦点为1F ，顶点为1A 、2A ，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ,12A A 为直径的两圆一定A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能12.已知函数32()f x ax bx =+的图象在点(1,2)-处的切线恰好与30x y -=垂直，又()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是A.3m ≤-B.0m ≥C.3m <-或0m >D. 3m ≤-或0m ≥高2010级数学（理科）高考模拟试题答题卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上.2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚.二．填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上 .13.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。

2010年高考理科数学试题及答案(全国一卷)

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一．选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2）记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2008-2010三年高考四川卷理科数学试题合集(附答案)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医科）第Ⅰ卷说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．一、选择题：（5'1260'⨯=）1．若集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =2,，{234}B =，，，则()U C AB =（）A ．{2,3}B ．{1,4,5}C ．{4,5}D ．{1,5} 解析：选B.2．复数22(1)i i +=（）A ．-4B ．4C ．-4iD ．4i 解析：选A ．3．2(tan cot )cos x x x +=（）A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x 解析：原式32sin cos cos ()cos sin cos cos sin sin x x x x x x x x x =+=+ 23sin cos cos sin x x x x +=22cos (sin cos )sin x x x x+=cos sin xx=cot x =，选D ．4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．5．若02απ≤<，sin αα>，则α的取值范围是（）A ．(,)32ππB ．(,)3ππC ．4(,)33ππD ．3(,)32ππ解析：sin αα>，即sin 0αα>，即2sin()03πα->，即sin()03πα->；又由02απ≤<，得5333πππα-≤-<；综上，03παπ≤-<，即433ππα≤<．选C ．本题考到了正弦函数的正负区间．除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（）A ．70B ．112C ．140D ．168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．4410821070140C C -=-=．选C ．本题应注意解题策略．7．已知等比数列{}n a 中，21a =，则该数列前三项和3S 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞ 解析：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x+≥或12x x+≤-，故本题选D ．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．8．设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）A ．3：5：6B ．3：6：8C ．5：7：9D ．5：8：9解析：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：2228()39R R R -=，22225()39R R R -=，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99R R R ，故本题选D ．本题着意考查空间想象能力．9．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30︒角的直线有且只有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B ．本题考查空间角的概念和空间想象能力．10．设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ϕ>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（）A ．(0)0f =B ．(0)1f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0f =解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()f x 是偶函数，则2k πϕπ=+，(0)1f =±，故排除A ，B ．又'()cos()f x x ωωϕ=+，2k πϕπ=+，'(0)0f =．选D ．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取1ω=，2πϕ=±验证．11．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(99)f =（）A ．13B ．2C ．132D ．213解析：由()(2)13f x f x ⋅+=，知(2)(4)13f x f x +⋅+=，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+⨯===．选C ．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由AK AF =，得=2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，选B ．2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅱ卷二、填空题：（4'416'⨯=）13．34(12)(1)x x +-的展开式中2x 项的系数是答案：6-．解析：二项式定理再现，难度高于文科．341221223344(12)(1)(124)(1)x x C x C x C x C x +-=+⋅+⋅+-++2x 项的系数是2112434324624126C C C C -+=-+=-．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是答案：解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离d === 15，且与底面所成的角的余弦值为3，则该正四棱柱的体积是．答案：2．解析：由题意，2226cos a a h θ⎧++=⎪⎨==⎪⎩，12a h =⎧⇒⎨=⎩，22V a h ⇒== 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是 . 答案：4．解析：由题意，11434102545152a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由121221323λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得1213λλ=-⎧⎨=⎩，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++，由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩11(23)53(2)9a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'+++++=）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值和最小值．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2484sin cos 14cos 4cos x x x x =--+- 2284sin cos (12cos )x x x =---282sin 2cos 2x x =-- 282sin 2(1sin 2)x x =---272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+-max 10y =，min 6y =．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2272sin 24cos (1cos )x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+26(1sin 2)x =+-max 10y =，min 6y =．点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望．解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．（Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =⨯-+-⨯0.20.30.5=+= （Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．033(0)(10.8)0.008P C ξ==⨯-=123(1)(10.8)0.80.096P C ξ==⨯-⨯=223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==⨯-⨯= 333(3)0.80.512P C ξ==⨯=ξ的分布列为ξ30.8 2.4E ξ=⨯=．点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．19．如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD BAF ∠=∠=︒，BC //=12AD ，BE //=12AF ．（Ⅰ）求证：C 、D 、E 、F 四点共面；（Ⅱ）若BA BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．（Ⅰ）∵面ABEF ⊥面ABCD ，90AF AB ⊥=︒ ∴AF ⊥面ABCD ．∴以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．不妨设AB a =，2AD b =，2AF c =，则(0,0A ，(,0,0)B a ，(,,0)C a b ，(0,2,0)D b ，(,0,)E a c ，(0,0,2)F c ． ∴(0,2,2)DF b c =-，(0,,)CE b c =-，∴2DF CE =，∴//DF CE ，∵E DF ∉，∴//DF CE ， ∴C 、D 、E 、F 四点共面．（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(1,0,1)E ．设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =，由110n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111020x z y +=⎧⎨=⎩，1(1,0,1)n =-设平面BED 的法向量为2222(,,)n x y z =由210n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222020z x y =⎧⎨-+=⎩，2(2,1,0)n =12cos ,n n <>1212n n n n ⋅=⋅==B ACDEF由图知，二面角A ED B --为锐角，∴其大小为arccos5．点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18题用时之和．20．设数列{}n a 满足：2(1)n n n ba b S -=-．（Ⅰ）当2b =时，求证：1{2}n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求n a 通项公式．解析：由题意，在2(1)n n n ba b S -=-中，令1n =，得112(1)ba b a -=-，12a =．由2(1)n n n ba b S -=-得1112(1)n n n ba b S ----=-(2,*)n n N ≥∈ 两式相减得：11()2(1)n n n n b a a b a ----=- 即112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈ …………① （Ⅰ）当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+ 于是11122(1)2n n n n a n a n ----⋅=--⋅212[(1)2]n n a n --=--⋅(2,*)n n N ≥∈又1111210a --⋅=≠，所以1{2}n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅰ）变：当2b =时，求n a 的通项公式．解法如下：解：当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+ 两边同时除以2n 得111222n n n n a a --=+(2,*)n n N ≥∈ 111222n n n n a a ---=(2,*)n n N ≥∈ ∴{}2n na 是等差数列，公差为12，首项为112a =∴111(1)(1)222n n a n n =+-=+ ∴1(1)2n n a n -=+（∴1122n n n a n ---⋅=，∴1{2}n n a n --⋅是等比数列，首项为1，公比为2）（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---⋅=，即1(1)2n n a n -=+⋅当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+ 两边同时除以2n 得1112222n n n n a a b --=⋅+ 可设11()222n n n n a a b λλ--+=⋅+ …………② 展开②得1122222n n n n a a b b λ---=⋅+⋅，与1112222n n nn a a b --=⋅+比较，得2122b λ-⋅=，∴12b λ=-． ∴1111()22222n n n n a a b b b --+=⋅+-- ∴1{}22n n a b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11122b b b -+=-- ∴111()2222n n n a b b b b --+=⋅-- ∴111()2222n n na b b b b --=⋅--- ∴11112(1)22()2222n n nn n b b b b a b b b -----⎡⎤=⋅-=⎢⎥---⎣⎦ 点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．21．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F，离心率2e =，右准线l 上的两动点M 、N ，且120F M F N ⋅=．（Ⅰ）若1225F M F N ==a 、b 的值；（Ⅱ）当MN 最小时，求证12FM F N +与12F F 共线．解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．（Ⅰ）由已知，1(,0)F c-，2(,0)F c ．由2e =，2212c a =，∴222a c =．又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．∴l ：2222a c x c c c===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ．延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ．∵120F M F N ⋅=，∴12F M F N ⊥．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ∆≌2Rt F QN ∆ ∴13QN FQ c ==，2QM F Q c == 即1y c =，23y c =． ∵1225F M F N ==∴22920c c +=，22c =，22b =，24a =． ∴2a =，b =．（Ⅰ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<．又1225F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c cc --=，整理得：4292094000c c -+=，22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ⋅=⋅=，∴21230y y c =-<． 22222121212121212222412MN yy y y y y y y y y y y c =-=+-≥--=-=．当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，取等号．此时MN 取最小值．此时1212(3,3)(,3)(4,0)2FM F N c c c c c F F +=±+==．∴12FM F N +与12F F 共线．（Ⅱ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c =-．设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-．由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y kk x c⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213MN y y c k k =-=⋅+≥．当且仅当13k k =即213k =，k =时取等号．即当MN 最小时，3k =±，此时1212(3,3)(,)(3,3)(,3)(4,0)2cF M F N c kc c c c c c c F F k+=+-=±+==．∴12FM F N +与12F F 共线．点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．22．已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．（Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-'()2101af x x x=+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．'(3)404af =-= 16a =（Ⅱ）由（Ⅰ）2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞．2162862(1)(3)'()210111x x x x f x x xx x -+--=+-==+++令'()0f x =，得1x =，3x =．'()f x 和()f x 随x 的变化情况如下：()f x 的增区间是(1,1)-，(3,)+∞；减区间是(1,3)．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减．∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小．又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞；可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--．点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医科）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。

重教材显能力,寓意深导向明——2010年四川高考理科数学两道试题的评析

中有变，中求新” 但无论怎么进、、，稳，变新高考命题都会坚持 “ 依纲靠本 ” 的原则，高考命题最根本的依据就是《考试大纲》和《教材》教材是高考中、，低档试题的直接来源，题人都不会命刻意去回避它，一套高考试题及其蕴涵的数学思想方法都能在
（）知 △ＡＣ的面积Ｓ＝，曰・ｃ＝３且ｃｓ＝２已Ｂ ÷ ＡＡｏＢ了求ｃ８．３。Ｃ
，
最终实现了稳中有变、中出新的目的．稳
亮点３重视基础．凸显能力，渗透新课程理念
评析
本文根据分析此两题体现的亮点，２１对０１级高
２１秋季四川省已全面实行新课程，课程理念中００年新
要求学生的数学学习不应只限于接收、忆、仿和练习，记模
三复习提出点建议供参考．
亮点１体现了高考试题源于教材，高于教材，拘又不
ｓｎｃｃｉｔｏ十ｃｓｔｉ．ｏｃｓＩ
或许是因为题目２第（）是教材上的公式证明，大多数１问绝
老师和学生都只在高一学习新课时关注过，高三复习时在基本都对它无人问津，题人也预感到该题会难倒很多考命生，出于关注考生心理因素和减轻考生心理压力等种种因素考虑，故将该题后移到第三大题，见命题人之用心良可苦；论是出于何种情由，００年试卷在编排体系上的变化无２１

2010年四川高考(理)20(2)别解及推广

2010年四川高考(理)20(2)别解及推广
涂海
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2010(000)011
【摘要】2010年全国高考四川卷数学理（20）题为：已知定点A（-1，0），F （2，0），定直线l：x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC 分别交l于点M、N．
【总页数】3页(P40-42)
【作者】涂海
【作者单位】四川省泸县二中 646106
【正文语种】中文
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2010年普通高等学校招生全国统一考试四川卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科综合能力测试第I 卷二、选择题（本题包括8小题，每小题给出的四个选项中，有的只有一个是正确的，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选的得0分）14，下列现象中不能说明分子间存在分子力的是A ．两铅块能被压合在一起B ．钢绳不易被拉断C ．水不容易被压缩D ．空气容易被压缩15.下列说法正确的是A ．α粒子大角度散射表明α粒子很难进入原子内部B ．氨原子跃迁发出的光从空气射入水时可能发生全反射C ．裂变反应有质量亏损，质量数不守恒D ．γ射线是一种波长很短的电磁波16.一列间谐横波沿直线由A 向B 传播，A 、Ｂ相距０.45m ，右图是A处质点的震动图像。

当A 处质点运动到波峰位置时，B 处质点刚好到达平衡位置且向γ轴正方向运动，这列波的波速可能是A ．4.5/sB . 3.0m/sC . 1.5m/sD .0.7m/s17.a 是地球赤道上一栋建筑，b 是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.6⨯610m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方（如图甲所示），经48h ，a 、b 、c 的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.4⨯610m ，地球表面重力加速度g=10m/2s ，π18.用波长为72.010m -⨯的紫外线照射钨的表面，释放出来的光电子中最大的动能是4.71910J -⨯。

由此可知，钨的极限频率是（普朗克常量h=6.633410J -⨯·s ），光速c=3.0810m ⨯/s ，结果取两位有效数字）A ．5.51410⨯Hz Ｂ .７.９1410⨯Hz C . 9.81410⨯Hz D .1.21510⨯Hz19.图甲所示电路中，123A A A 、、为相同的电流表，C 为电容器，电阻123R R R 、、的阻值相同，线圈L 的电阻不计。

在某段时间内理想变压器原线圈内磁场的变化如图乙所示，则在22t ~t 时间内A ．电流表1A 的示数比2A 的小B ．电流表2A 的示数比1A 的小C ．电流表1A 和2A 的示数相同D ．电流表的示数都不为零20.如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a 、b 垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。

10年高考试题精选2010年高考试题理(四川卷)

10年高考试题精选2010年高考试题理（四川卷）测试题 2019.91,如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B-DEF 的体积；_ 2,设函数，，求函数的单调区间与极值。

__3,设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列； A BCD E FH()sin cos 1f x x x x =-++02x π<<()fx 12,,,,n C C Cx y x =n n C 1n C +n r n C {}n r {}n r（Ⅱ）设，求数列的前项和._4,命题“存在，使得”的否定是____5,抛物线的焦点坐标是_6,如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=_7,某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 ._8,若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①；； ③；④； ⑤_9,i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（A ）－1 （B ）1 （C ）（D ）10,下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是11r ={}n n r n x R ∈2250x x ++=28y x =0,0,2a b a b >>+=,a b 1ab ≤≤222a b +≥333a b +≥112a b +≥i -i 0x =（A ）（B ）（C ）（D ）测试题答案1, （1）设底面对角线交点为G ，则可以通过证明EG ∥FH ，得∥平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH ⊥平面ABCD ，得FH ⊥BC ，FH ⊥AC ，进而得EG ⊥AC ，平面；（3）证明BF ⊥平面CDEF ，得BF 为四面体B-DEF 的高，进而求体积.FH EDB AC ⊥EDB (1),1//,21//,2////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB ∴∴⊂∴证：设与交于点，则为的中点，连，由于为的中点，故又四边形为平行四边形，而平面，平面C2, （1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.CC3, （1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的0,.,..//,,90,.FB BFG FHFH BF FG H BC FH BC FH ABCD FH AC FH EG AC EG AC BD EG BD GAC EDBFB BFC BF CDEF BF B DEF BC A ∏⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥=∴⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥⋂=∴⊥⊥∠=∴⊥∴-=（）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB BC 。

2010年全国高考理科数学试题及答案-全国课标

2010年普通高等学校招生全国统一考试课标卷理科数学参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{||2,R}A x x =≤∈},{|4,Z}B x x x =≤∈,则A B ⋂=( ).A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2} 2.已知复数23(13)z +=-ii ，z 是z 的共轭复数，则z z ∙=( ). A.14 B.12C.1D.2 3.曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为( ).A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-24.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( ). 5.已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q :12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是( ). A.1q ，3q B.2q ，3q C.）1q ，4q D.2q ，4q6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ).A.100B.200C.300D.400 7.如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于( ). A.54 B.45C.65D.568.设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=( ).A.{|24}x x x <->或B. {|04}x x x <>或C. {|06}x x x <>或D.{|22}x x x <->或9.若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-( ). A.12- B. 12 C. 2 D. -210.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ).A.2πaB.27π3aC. 211π3a D.25πa11.已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是( ). A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D.(20,24)12.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( ). A.22136x y -= B.22145x y -= C. 22163x y -= D. 22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …,和12,,N y y y …,，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 .14.正视图为一个三角形的几何体可以是______.（写出三种） 15.过点A (4,1)的圆C 与直线x -y =0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____. 16.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD =12DC ，∠ADB =120°，AD =2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC =_______. 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=,（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S . 18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点.（1）证明：PE ⊥BC,（2）若∠APB =∠ADB =60°，求直线PA 与平面PEH所成角的正弦值.19.(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由. 附： )(2k K P ≥ 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8282K =))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2）设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程. 21.（本小题满分12分）设函数2()1xf x x ax =---e . （1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）∠ACE =∠BCD ；（Ⅱ）BC 2=BF ×CD .23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线C 11cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（Ⅰ）当α=π3时，求C 1与C 2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.24.（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲设函数()241f x x =-+. （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像，（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试(课标卷)理科数学试题参考答案一、选择题1.D2.A3.A4.C5.C6.B7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题 13.1N N14.三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） 15.22(3)2x y -+= 16.60° 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，2(1)12n +-=.而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=. （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ . ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅. ②①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ .即211[(31)22]9n n S n +=-+.18.解：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)A B（Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n mn ,则 1(0,,0),(,,0).22mD mE 可得 1(,,),(,1,0).22mPE n BC m =-=-因为0022m mPE BC ⋅=-+=,所以 PE BC ⊥.（Ⅱ）由已知条件可得 33,1,33m n C =-=-故 (,0,0)，313(0,,0),(,,0),(0,0,1)326D E P --. 设 (,,)x y x =n 为平面PEH 的法向量则 0,0,HE HP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即130,260.x y z -=⎧⎪⎨⎪=⎩因此可以取(1,3,0)n =，由(1,0,1)PA =-，可得 2cos ,4PA n =. 所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 19.解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=, （2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20.解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43AB a =.l 的方程为y x c =+，其中22c a b =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组化简的()()222222220a b x a cx a c b +++-=.则()2222121222222,a c b a cx x x x a b a b --+==++. 因为直线AB 斜率为1，所以AB =()2211212224x x x x x x ⎡⎤-=+-⎣⎦,得22244,3ab a a b=+故222a b =. 所以E 的离心率2222c a b e a a -===. （II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=. 由PA PB =，得1PN k =-，即0011y x +=-. 得3c =，从而32,3a b ==/故椭圆E 的方程为221189x y +=. 21.解：（1）0a =时，()1xf x e x =--，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加.（II ）'()12xf x e ax =--,由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(x e x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1x x xxx f x e a e e ee a--<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值范围为1(,]2-∞. 22.解：（I ）因为AC BC =, 所以BCD ABC ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠，所以ACE BCD ∠=∠.（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以BDC ∆∽ECB ∆，故BC CDBE BC=，即2BC BE CD =⨯.23.解：（Ⅰ）当3πα=时，1C 的普通方程为3(1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，. （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=. A 点坐标为()2sin cos sin ααα-. 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：P 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 故P 点轨迹是圆心为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为14的圆. 24. 解：（Ⅰ）由于252()23x x f x x -+<⎧=⎨-≥⎩，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示. （Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点.故不等式()f x ax≤的解集非空时，a 的取值范围为()122⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，.。

2010年高考全国数学卷(全国Ⅰ.理)(含详解答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【解析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.kB. -kC.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】sin 80=== ,所以tan100tan80︒=-sin80cos80=-=【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--k=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.【解析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--= （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =x +20y -=(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a === 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a ===== 【解析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a a a a ⇒==⇒==(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.【解析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为AB C DA 1B1C 1D1 OA3B 3C 23D 37.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.与【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯= ,21122ACDS AD CD a ∆== . 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆== ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos 3θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠=== （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e>>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e, 3221log log 2e <<< ，32211112log log e <<<； c=12152-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)(C)(D) 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y = 【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 22222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y=+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】法一：设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x --∙==+-≥ 或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)(D) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年高考数学四川卷理科第12题赏析

2010年高考数学四川卷理科第12题赏析摘要：2010年高考数学四川卷理科第12题是一道立意较高、能够有效地考查学生思维品质的试题．本文通过运用消元思想、均值不等式、换元法和求导法，给出了本题的九种解答思路，展示了本题多维度的教学价值．关键词：高考数学；思路；赏析2010年高考数学四川卷理科第12题：设a>b>c>0，则2a2++－10ac+25c2的最小值是（）A． 2 B．4 C． 2 D． 5从高考中本题得分率偏低的角度来看，本题是一个难度较高的试题．在高考评卷时，有的阅卷教师惊呼它是一道“错题”，理由是“等号不能成立”．实际上，本题是一道立意较高、能够有效地考查学生思维品质的试题．同时，这也是一道具有方法论价值的试题，在这道题的解答中蕴涵着丰富的数学思想方法，可以从多种维度，运用多种思想方法进行解答．消元的思想方法“消元”本是解方程中常用的思想方法，现在要迁移到不等式问题的解答当中，确有一定的困难，但如果利用不等式证明当中的放缩法，就可以达到消元的目的．根据本题所提供的代数式的特点，比较容易激活学生“长时记忆”中的完全平方公式以及“配方法”，然后利用平方数非负的性质，运用放缩的策略，便可以逐次消去变量a，b，c．思路1：注意到a>b>c>0，则围绕配方有如下变形2a2++－10ac+25c2=a2++（a－5c）2≥a2+=a2+≥a2+=a-2+4≥4．等号成立的条件：a=5c，b=，a=，即a=，b=，c=．均值不等式的运用完成了关于c的消元之后，下面的两种思路是考生容易想到的．思路2：通过添项，配凑出利用均值不等式求最小值的条件：“积一定”．2a2++－10ac+25c2≥a2++=（a2－ab）++ab+≥4．等号成立的条件是：a=5c，a2－ab=，ab=，解之得a=，b=，c=．思路3：注意到ab+a（a－b）=a2，利用调和平均值不等式，有≤=，即+≥，从而有a2++≥a2+≥4．如果将+化简为，则有可能把解题引上“黑道”，得出“等号不能成立”的结论．下面的两种思路就是这样的“黑道”．思路4*：利用配方法与均值不等式有a2++=a2+=a2－ab+b2+（ab－b2）+=a－2++（ab －b2）+≥2．上式中的等号显然是不能成立．思路5*：利用三元均值不等式有a2+=（a2－a）+b+（a－b）+≥a－2－+3≥，此式中的两个等号不能同时成立．对于思路4*，等号不能成立的原因是由于出现了项（显然不能为零），为了消除这样的项，可以做如下的修正：思路4：a2+=a2－4ab+4b2+4（ab－b2）+≥（a－2b）2+4≥4，显然，等号是成立的．?摇?摇关于思路5*，为使两个等号同时成立，需设法找到一个“平衡点”，这可以借助待定系数法来完成．思路5：a2+=（a2－la）+lb+l（a－b）+≥a－2－+3≥3－，等号成立的条件是：a=，lb=l（a－b）=，由可解得l=2，a=，b=．此时，a2+≥3－=4．整合思路1与思路5中的配方，可以得到只需利用配方法就能得到答案的思路．思路6：2a2++－10ac+25c2=（a2－4ab+4b2）+4b（a－b）++（a2－10ac+c2）=（a－2b）2+2－2+（a－5c）2+4≥4．从思路6可以看出，单从“配方”的角度讲，初中的学生也可以解答本题．换元法为了达到“化繁为简”的目的，可采用换元的方法．通过换元可使那些隐含的特征与结构显现出来，为此又有两种方法．思路7：令=t（t>0），则a=b+，从而有a2+=b+2+t=b2+++t≥+t≥4．思路8：令a－b=t（t>0），则a=b+t，这样有a2+=（b+t）2+=（b－t）2+4bt+≥4．逐次求导法前述各种方法均是建立在“消元”与“配方”基础上的，特别是关于变量c的消元，由于受定式思维的影响（学生习惯于将“消元”与方程联系在一起），并且缺乏利用不等式的放缩来进行消元的经验，学生很难想到相应的思路．如果利用学生比较熟悉的“用导数求极值”的方法，则可以降低思维和技巧上的要求．较为棘手的是题目中含有三个变量，但只要依次把其中的一个看成主变量（其他的看成系数），通过求导的方法，逐次求其最小值，便可以较为明确的程序获得答案．思路9：令f（c）=2a2++－10ac+25c2，则f′（c）=－10a+50c，令f′（c）=0，可得函数f（c）的唯一的一个极值点c=，容易判定这是一个极小值点（也是最小值点），从而有f（c）≥f（）=a2++．再令g（b）=a2++，通过求导可得函数g（b）的最小值点为b=，因此，g（b）≥g=a2+．最后另h（a）=a2+，同样通过求导可得函数h（a）的最小值点为a=，这样就有h（a）≥f（）=4．综上所述，f（c）≥g（b）≥h（a）≥4．在上述解答过程中，对三个变量逐次求导的顺序没有特别的要求，如本题中也可以先对变量b求导，再对c求导，最后对a求导．这种逐次求导求最值的方法是一个具有普遍性的方法，它可以较为简单地、程式化地处理那些含有多个变量的最值问题（多元函数的最值问题）．从以上讨论可以看出，作为考题，本题涉及的知识面较广，思路开阔，方法多样，注重了对“通性通法”以及学生的思维品质和能力水平的考查，既可以检验考生对“双基”的理解、熟练水平，也可以考量他们对“基本数学思想与基本数学活动经验”的掌握、运用程度．从教学的角度，通过本题的学习和探讨，可以完善学生的认知结构，修正和优化思维方式，培养他们的创新意识和创新能力．造成本题难度较高的主要原因不在试题自身，而在于教学中运用了不利于学生思维发展的教学方式．对那些以重复记忆的学习方法为主、靠“题型+方法”与“题海战术”训练出来的考生而言，面对本题自然会一筹莫展．因此，本题对消除数学教学中的弊端、促进数学教学改革有较好的导向作用．。

2010年四川高考数学理科卷带详解

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）一、选择题：1.i 是虚数单位，计算 i＋ i 2＋i 3＝（）A.－ 1B.1C. iD. i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用复数代数形式的四则运算求值.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】由复数性质知：i 2＝－ 1,故 i ＋ i 2＋ i3＝ i＋ (－ 1)＋ (－ i) ＝－ 1.2.下列四个图像所表示的函数，在点x 0处连续的是A B C D【测量目标】函数图象的判断 .【考查方式】直接根据连续条件判断图象.【难易程度】容易【参考答案】 D【试题解析】由图象及函数连续的性质知，D正确.3． 2log 510＋ log50.25＝( ) ()A.0B.1C. 2D.4 w_w w. k #s5_u.c o*m【测量目标】对数的化简与求值.【考查方式】直接给出两对数，求其和.【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】 2log 5 10＋ log50.25＝log 5100＋ log 50.25＝log 525＝224．函数 f( x)＝ x ＋ mx＋ 1 的图像关于直线A. m2 B. m2x＝ 1 对称的充要条件是C. m1（）D. m1【测量目标】二次函数的图象与性质，充分、必要条件.【考查方式】直接给出二次函数解析式形式，判断图象关于直线对称的条件.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】函数f(x)＝ x 2＋ mx ＋1 的对称轴为 x ＝－m于是－m＝1m ＝－ 222216, AB AC AB AC5.设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， BC 则AM（）A ． 8B.4C. 2D.1 w【测量目标】向量加法、减法的运算，平面向量的数量积 .【考查方式】给出向量的位置关系，借助向量的四则线性求解 .【难易程度】中等【参考答案】 C216，得 BC 4【试题解析】由BCABAC ABACBC ＝4(步骤 1)而 ABACAM故AM 2m(步骤 2)6.将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平行移动π个单位长度，再把所得各点的横坐标10伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 ()A. ysin(2 x πB. ysin(2 x π)) wsin( 1x10sin( 1x5C. yπ)D. yπ)210220【测量目标】函数 y Asin x的图象及其变换 .【考查方式】已知正弦函数图象，判断它经过变换后的图象的函数解析式 .【难易程度】中等【参考答案】 C【试题解析】将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平行移动π个单位长度，所得函数图10象的解析式为 y ＝ sin(x －π) (步骤 1)10再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是y sin( 1 xπ) .( 步骤 2) 2 107.某加工厂用某原料由车间加工出A 产品 ,由乙车间加工出B 产品 .甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出 7 千克 A 产品 ,每千克 A 产品获利40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品 ,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 多箱原料的加工 ,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时 ,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为()A. 甲车间加工原料 10 箱 ,乙车间加工原料 60 箱 .B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55箱 .C.甲车间加工原料18 箱 ,乙车间加工原料 50箱.D. 甲车间加工原料 40 箱 ,乙车间加工原料 30 箱. 【测量目标】二元线性规划的实际应用.【考查方式】根据题目得出变量约束条件 ,画图求目标函数的最优解 .【难易程度】中等【参考答案】 B【试题解析】设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱x y , 70则 10x 6 y , 480 （步骤 1）x, y N +目标函数 z ＝ 280x ＋200y第 7 题图结合图象可得：当 x ＝ 15,y ＝ 55 时 z 最大（步骤 2）8.已知数列a n 的首项 a 10 ，其前 n 项的和为 S n ，且 S n 1 2S n a 1 ，则 lima n( )nS nA.0B.1C .1D.22【测量目标】等比数列的前 n 项和、通项，数列的通项公式a n 与前 n 项和 S n 的关系 .【考查方式】已知数列的前 n 和项与项的关系，根据等比数列的通项公式和前n 项和公式求解.【难易程度】中等【参考答案】 B【试题解析】由S2Sa ,且 S2Sa o*mn 1n1n 2n 11作差得 a n ＋ 2＝ 2a n ＋1 （步骤 1）又 S 2＝ 2S 1＋ a 1，即 a 2＋a 1＝ 2a 1＋ a 1 a 2＝ 2a 1w_w w. k s 5_u.c o*m故{ a n } 是公比为 2 的等比数列（步骤2）2 n －1a 1＝ (2 nS n ＝ a 1＋2a 1＋ 2 a 1＋ ⋯⋯ ＋2 － 1)a 1则 lim a nlim2n 1 a 1 1 （步骤 3）S n(2 n1)a 1 2nn9.y 21 a ＞ b ＞ 0的右焦点为F,x轴的交点为 A ．在椭圆上存在点 P椭圆x 2其右准线与a 2b 2满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( )， 21C.2 11 ，B. ，D.A. 0221 2【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质.【考查方式】已知椭圆的标准方程形式、椭圆中线段间的特殊关系，利用线段关系转化为离心率求解 .【难易程度】中等【参考答案】 D【试题解析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段 AP 的垂直平分线过点F即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而 |FA|＝a 2cb 2cc|PF|∈ [a － c,a ＋ c]（步骤 1）2于是b∈ [a － c,a ＋ c]c即 ac －c 2 , b 2 , ac ＋ c 2 .∴ acc 2 , a 2 c 2 a 2 c 2 , ac c 2c , 1a（步骤 2）c剠 1或 c1a a2又 e ∈ (0,1)故 e ∈ 1,1 （步骤 3）210.由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( ) A.72B.96C.108D.144【测量目标】排列组合及其应用 .【考查方式】根据题目所给条件分类讨论，得出满足条件的六位偶数个数.【参考答案】 C 【难易程度】中等【试题解析】先选一个偶数字排个位，有 3种选法.①若 5 在十位或十万位，则1、3 有两个位置可排， 2 A 32A 22 ＝24 个（步骤 1）②若 5 排在百位、千位或万位，则 1、 3 只有三个位置可排，共 3 A 22A 22 ＝ 12 个（步骤 2）算上个位偶数字的排法，共计3(24＋ 12)＝ 108 个（步骤 3）11.半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ,垂足为 B , △ BCD 是平面内边长为 R 的正三角形 ,线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M 、 N , 那么 M 、 N 两点间的球面距离是( )A . R arccos17B . R arccos1825251 π4C.RD.Rπ315第 11 题图【测量目标】余弦定理、三角形中两直线平行的条件.【考查方式】作辅助线求出相关量，借助余弦定理求解 .【难易程度】中等【参考答案】 A【试题解析】由已知,AB ＝ 2R,BC ＝ R,故 tan ∠ BAC ＝122 5 （步骤 1）cos ∠ BAC ＝w5连结 OM ,则 △ OAM 为等腰三角形AM ＝ 2AO cos ∠ BAC ＝4 5R ,同理 AN ＝4 5R ,且 MN ∥CD55而 AC ＝ 5 R,CD ＝ R故 MN :CD AN:ACMN ＝ 4R ,(步骤 2)5连结 OM 、ON,有 OM ＝ON ＝R于是 cos ∠MON ＝OM2ON 2 MN 2 172OM ON25所以 M 、N 两点间的球面距离是R arccos17.（步骤 3）2512.设 abc 0，则 2a 21 1 10 ac 25c2 的最小值是()aba(a b)A.2B.4C. 25D.5【测量目标】基本不等式求最值 .【考查方式】通过添项，化为基本不等式形式求最值.【难易程度】较难【参考答案】 B【试题解析】 2a 21 110ac 25c 2ab a(a b)＝(a 5c) 2 a 2abab11 b)aba( a＝ (a5c) 2 ab1 a(a b)1 b)aba(a⋯ 0＋ 2＋ 2＝ 4（步骤 1）当且仅当 a － 5c ＝ 0,ab ＝ 1,a(a － b)＝1 时等号成立如取 a ＝2 ,b ＝2 ,c ＝ 2满足条件 . （步骤 2）25第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 .13. (21)6 的展开式中的第四项是3x【测量目标】二项式定理 .【考查方式】由二项式展开式，求其中一项.【难易程度】容易【参考答案】－160x【试题解析】 T 4＝ C 36 23 (1 )31603xx14. 直线 x 2y 5 0 与圆x 2y 28 相交于A 、B 两点则AB.,【测量目标】圆的标准方程、点线间距离公式.【考查方式】直接给出圆和直线的方程，借助直角三角形求两交点距离.【参考答案】 2 3【难易程度】容易【试题解析】圆心为(0,0),半径为 2 2 w_圆心到直线 x 2 y 50 的距离为d＝| 00 5 |5（步骤 1）12( 2)2故 |AB|2得|AB|＝2 3（步骤 2）15.如图 ,二面角l的大小是60 ,线段AB. B l ,AB 与l所成的角为30 .则AB与平面所成的角的正弦值是.第15题图【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念.【考查方式】作辅助线将线面角转化为三角形的内角求解.【难易程度】容易3【参考答案】4【试题解析】过点 A 作平面β的垂线 ,垂足为 C,在β内过 C 作 l 的垂线 .垂足为 D,连结 AD, 有三垂线定理可知 AD ⊥l ,故∠ ADC 为二面角l的平面角为60 （步骤 1）又由已知 ,∠ ABD ＝ 30连结 CB,则∠ ABC 为AB与平面所成的角第15题图设 AD＝ 2,则 AC＝3,CD＝ 1w_w w.#AD＝ 4（步骤 2）AB＝sin 30∴sin ∠ ABC ＝AC3 .（步骤 3）AB416．设 S 为复数集 C 的非空子集 .若对任意 x, y S ,都有 x y,x y,xy S ,则称 S 为封闭集.下列命题：w_w w. k #s5_u.c o*m①集合 S a bi （ a,b 为整数 , i 为虚数单位）为封闭集；②若 S 为封闭集 ,则一定有 0 S ；③封闭集一定是无限集；④若 S 为封闭集 ,则满足 ST C 的任意集合 T 也是封闭集 .其中真命题是（写出所有真命题的序号）【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四则运算 .【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件 .【难易程度】中等 .【参考答案】①②w_w【试题解析】直接验证可知①正确 .当 S 为封闭集时 ,因为 x － y ∈ S ,取 x ＝ y,得 0∈ S ,②正确对于集合 S ＝ {0}, 显然所有素有条件 ,但 S 是有限集 ,③错误取 S ＝ {0}, T ＝ {0,1}, 满足S T C ,但由于 0－ 1＝－ 1 T ,故 T 不是封闭集 ,④错误w. k#三三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有 “奖励一瓶 ”或 “谢谢购买 ”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶 ”字样即为中奖，中奖概率为1.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.6 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数的分布列及数学期望 E .【测量目标】相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列、期望，独立重复试验.【考查方式】给出三人中奖的概率（ 1）直接利用相互独立事件的概率公式求解.（ 2）利用独立重复试验概率公式求解，得分布列，再求数学期望.【难易程度】容易 .【试题解析】（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P( A) P(B) P(C)1 ,6P( A B C) P(A)P( B)P(C)1 5 225( ).6 6216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25（步骤 1）216（Ⅱ）的可能取值为 0， 1，2， 3.P(k )C34 (1)k (5)3 k , k 0,1,2,3. （步骤2）66所以中奖人数的分布列为：0123P 1252551 2167272216E01251 2525311（步骤 3）2167272216 2.18.（本小题满分12 分）w_w w. k #s5 _u.c o*m已知正方体 ABCD － A'B'C'D '的棱长为1，点 M 是棱 AA '的中点，点 O 是对角线 BD'的中点 .（Ⅰ）求证： OM 为异面直线 AA '和 BD '的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－ BC'－ B'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M－OBC 的体积 .第18题图【测量目标】异面直线，直线与平面垂直，二面角的概念，三棱锥的体积.（空间直角坐标系，空间向量及其运算.）【考查方式】（1）通过作辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.(2) 借助作辅助线将二面角转化为三角形内角求解（. 3）利用三棱锥体积的等价求体积.做空间直角坐标系（ 1）写出各点坐标，通过坐标运算证明垂直（2）通过做平面法向量求两面的余弦，再求二面角（3）通过求平面法向量得点面距离，再求三棱锥体积.【难易程度】中等.【试题解析】解法一：第18 题图（Ⅰ）连结AC，取 AC 的中点 K，则 K 为 BD 的中点，连结OK ．因为点 M 是棱AA的中点，点O 是BD的中点，所以 AM 1DD OK ，2所以 MO AK ．（步骤1）由 AA AK ，得 MO AA因为 AK BD，AK BB ，所以 AK平面 BDD B ，（步骤2）所以 AK BD ．所以 MO BD ．（步骤3）又因为 OM 与异面直线AA和BD都相交，故 OM 为异面直线AA和BD的公垂线．（步骤4）（Ⅱ）取 BB 的中点N，连结MN，则 MN平面 BCCB ．过点N作 NH BC 于H，连结 MH ，则由三垂线定理得，BC MH ．从而，MHN 为二面角 M BC B 的平面角．MN 1，NH BN sin 45122．（步骤）2245在 Rt△ MNH 中， tan MHN MN12 2 ．NH24故二面角 M BC B 的大小为arctan2 2（步骤6）（Ⅲ）易知，△DBC △,且△OBC 和△ OA D 都在平面 BCD A 内，点O到平面S S OAD1MA D 的距离 h.21S△MA D 1.（步骤VM OBC VM OA DVO MAD h7）324解法二：以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,则 A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C(0,1,0) ，A1,0,1， C0,1,1， D 0,0,1 ，（步骤1）第18题图（Ⅰ）因为点 M 是棱 AA 的中点 ,点O 是 BD 的中点 ,所以 M (1,0, 1),O(1 , 1, 1,),22 2 2OM( 1,1,0), AA(0,0,1), BD( 1, 1,1)22（步骤 2）1 1OM AA0, OM BD0,2 02所以 OM AA ,OM BD ,又因为 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交故 OM 为异面直线AA 和 BD 的公垂线 . （步骤 3）（Ⅱ）设平面 BMC 的一个法向量为 n 1 ( x, y, z).BM(0, 1,1), BC( 1,0,1), （步骤 4）2n 1 BM0, y 1 z 0,5）即2（步骤n 1 BC0,x z 0.取 z 2, 则 x 2, y 1,从而 n 1 (2,1, 2).取平面 BC B 的一个法向量为 n 2 (0,1,0),cos( n 1 n 2n 1 n 21 1（步骤 6）n 1 n 29 1 .3由图可知 ,二面角 MBCB 的平面角为锐角 .故二面角 MBCB 的大小为 arccos 1.3（Ⅲ）易知， S △OBC1S △CDA1 1 22.（步骤 7）444设平面 OBC 的一个法向量为 n 1( x 1 , y 1 , z 1 ),BD( 1, 1,1), BC ( 1,0,0)n 1 BD 0, 即x 1 y 1 z 1 0,n 2 BC0.x 1 0.（步骤 8）取 z 11,则y 1 1,从而 n 3 (0,1,1).点 M 到平面 OBC 的距离BM n 11 1 d2 . （步骤 9）n2 2 2VM ABC1S △OBC d1 2 2 1 1. （步骤 10）334 22419.（本小题满分 12 分）w_w w. k #s 5 _u.c o*m○证明两角和的余弦公式C : cos() coscossin sin ；（Ⅰ） 1○由 C推导两角和的正弦公式S:sin () sin coscos sin2.（Ⅱ）已知△ ABC 的面积 S1AB AC3 ，且 cosB3 ，求 C .25cos【测量目标】两角和的正、余弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系 .【考查方式】（ ○○1）1 建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明. 2 借助诱导公式证明 .（2）同角三角函数的转换 ,诱导公式，同角三角函数的基本关系.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）第 19 题图○内作单位圆 O,并作出角, 与,使角的始边为 Ox,交圆 O 于点1 在直角坐标系 xOy P 1 ,终边交圆 O 于点 P2 ;角的始边为 OP 2 ,终边交圆 O 于点 P3 ,角的始边为 OP 1 ,终边交圆 O 于点 P 4.则 P 1,0 , Pcos ,sin ,12P3cos,sin, P4cos,sin.由PP P P,得1 32 4 及两点间的距离公式cos2sin2cos cos2sin21）1sin.（步骤展开并整理 ,得22cos22cos cos sin sin .cos cos cos sin sin.（步骤2）○2 由○1 易得 , cosπsin,sinπcos.（步骤 3）22sin cosπcosπ.22= cos πcosπsin 2sin2= sin cos cos sin .s i n s i n c o s c o s （s步in骤4.）(Ⅱ )由题意，设△ABC的角 B、C 的对边分别为b、c,则S 1bc sin A1.（步骤5）22AB AC bc cos A30,A(0,π3sin A.),cos A23 10（步骤 6）又 sin2A21,sin A 10cos A,cos A.1010由题意 cos B3,得 sin B4.55cos( A B)cos A cosB sin Asin B10. （步骤7）10故 cosC cos[ π ( A B)]cos(A B)10.（步骤8）1020.（本小题满分 12 分）w_w w. k #s5 _u.c o*m已知定点 A(－ 1,0),F(2,0), 定直线 l ：x＝1轴上的动点P与点 F的距离是它到直线l2 ,不在 x的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、 C 两点 ,直线 AB、 AC 分别交 l 于点M、 N（Ⅰ）求 E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由 .【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系 .【考查方式】（1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（ 2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设 P x, y ,则x 2 y 22 x 1 ,2化简得 x 2y 21 y0 . （步骤 1）3（Ⅱ）○当直线 BC 与 x 轴不垂直时 ,设 BC 的方程为 yk x 2 k 0 .（步骤 2）1与双曲线方程 x 2y 2 1联立消去 y 得33 k 2 x 2 4k 2 x 4k 23 0.由题意知 , 3k 2 0且0, （步骤 3）设 B x 1, y 1 , C x 2 , y 2 , 则 x 1 x 24k 2 , x 1x 2 4k 2 3 .k 2 3k 2 3y 1 y 2k 2 x 1 2 x 2 2k 2 x 1x 2 2 x 1 x 24= k 24k 2 3 8k 2 4 = 9k 2 （步骤 4）k 2 3 k 2 3 k 2 3.因为 x x2 1,1所以直线 AB 的方程为yy 1 x 1 ,因此 M 点的坐标为1 3 y 1 ,x 1 1 ,2 x 112FM3 ,2 3 y 1 .2 x 1 1同理可得 FN3 , 3 y 2 , （步骤 5）2 2 x 2 1因此 FM FN339 y 1 y 2224 x 1 1 x 2 1981k 2k 2 3=2244k 3 4k143k 23k 2=0. （步骤 6）○当直线 BC 与 x 轴垂直时 ,其方程为 x2,则B 2,3 ,C 2, 3.2 AB 的方程为 y x 1. 因此 M 点的坐标为同理可得 FN3 , 3 .（步骤 7）221 33 3 ,, FM2 , .2 223 3 3 3 因此 FM FN2 20.22综上,FM FN 0.即 FMFN .故以线段 MN 为直径的圆过点 F.（步骤 8）21．（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 满足 a 1＝ 0， a 2＝ 2，且对任意 m 、 n ∈ N *都有a 2m － 1＋ a 2 n － 1＝ 2a m ＋ n － 1＋ 2(m － n)2 （Ⅰ）求 a 3，a 5；（Ⅱ）设 b n ＝a 2n ＋1－ a 2n － 1(n ∈ N *)，证明： { b n } 是等差数列；（Ⅲ）设 c n ＝ (a n+1－ a n )q n－ 1(q ≠0， n ∈ N * )，求数列 { c n } 的前 n 项和 S n .【测量目标】等差数列的性质，错位相减法求和，等差数列的通项 .【考查方式】已知数列各项的关系（ 1）直接根据已知等式求解.（ 2）根据等差数列的性质证明（ 3）求出等差数列通项，再利用错位相减法求和.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意，令m 2, n 1可得 a 3 2a 2 a 12 6. （步骤 1）再令 m 3, n 1可得 a 5 2a 3a 18 20.（步骤 2）当 n N * 时,由已知 (以 n 2代替 m)可得（Ⅱ） a 2 n 1a2n 12a2 n 18（步骤 3）于是 [ a1) a1 ] (a2n1a ) 8即2( n 12( n 1)2 n 1b n 1 b n 8.所以，数列b n是公差为 8的等差数列 . （步骤4）（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知b n是首项 b1a3 a16, 公差为8的等差数列 .则b n 8n2.即 a2n1a2 n 18n2,（步骤 5）令由已知（令m=1 ）可得，a n a2n1a1n126）2, （步骤a2 n a2n 1那么 , a n 1a n 12n 1=8n 2222n 1 2n于是， c n2nq n 1（步骤7）当 q=1 时，2462 1 .（步骤8）S n n n n当 q 1时，S 2 q0 4 q1 6 q22n q n1 .（步骤 9）n两边同乘 q 可得qS n 2 q1 4 q2 6 q3 2 n 1 q n 12n q n（步骤10）上述两式相减即得(1 q) S n2(1q1q2q3q n 1 )2n q n1q n2nq n=1n 1 q n nq n 1= 221q 1q所以 S n2nq n1n 1 q n nq n 111）q2（步骤1n n1q1综上所述， S nq n 1n 1 q n nq n1（步骤 12）n2q1q1222．（本小题满分14 分）设 f ( x )1a x（ a0 且 a1），g(x)是f( x)的反函数.1 a x（Ⅰ）设关于x 的方程求log atg(x) 在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值(x21)(7x)范围；n 2 n n2（Ⅱ）当 a＝ e（ e 为自然对数的底数）时，证明：g (k)；2n( n1)k20＜ a ,1时，试比较n n与 4 的大小，并说明理由 .（Ⅲ）当 f ( k )2k 1【测量目标】利用导数求函数的最值，对数函数和指数函数互为反函数，利用导数判断函数的单调区间，不等式恒成立问题，二项式定理，利用导数解决不等式问题 .【考查方式】已知函数解析式（1）化函数为对数函数形式，利用导数求函数的最值，再求t 的范围（ 2）利用导数判断函数单调性，在利用导数证明不等式成立（ 3）借助分类讨论思想比较两式大小 .【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意，得a x y1 0,y1故 g (x)log a x1, x ( , 1)(1,). （步骤 1）x 1由 log a(x 2t7 x)log a x1 得1)(x 1t ( x1)2(7 x), x[ 2,6]（步骤 2）3x 2则 t18x 153( x 1)( x 5).列表如下：x 2(2,5) 5 (5,6) 6t+_t5极大值 3225所以 t 最小值5,t 最大值 32 ，所以 t 的取值范围为 [5 ，32] （步骤 3）n123n 1 （Ⅱ）g(k )lnln4 lnln1k235nln(12 3 n 1)34 5n 1（步骤 4）ln n(n 1)2令 u(z)ln z21 z 22ln z z1, z0,zz则 u ( z)2 1 1 (1 1 )2 ⋯0. （步骤 5）z z 2 z所以 u( z)在 (0, )上是增函数 .又因为n( n1)1n(n1)20, 所以 u() u(1) 0,2n(n1)即 ln2120,（步骤 6）n(nn(n 1)1)2n 2 n n2即g(k)2n(n1)k2设 a1,则 p 厔1,11a121pf (1)a3.1p当n时,2, 2 4.1 f (1) 1（Ⅲ）p当n ⋯ 2时,（步骤 7）设 k ⋯ 2, k N +时,则f ( k)(1 p) k1121(1p) k1(1 p)k12n . （步骤8）12P2kPC1P C1C1所以1 f (k ) , 1214144C k2k(k1)k k.C k11n444从而 n1 f (k ) ,n1n1n 1.（步骤 9）2n n1k21所以 n nf (k) f (1)n1,n4 k1n综上，总有 f (k)n 4.（步骤 10）k1。

四川卷,高考数学理科卷

（1）求证：OM 为异面直线 AA′和 BD′的公垂线; （2）求二面角 M-BC′-B′的大小; （3）求三棱锥 M—OBC 的体积. 解法一：（1）连结 AC，取 AC 的中点 K，则 K 为 BD 的中点，连结 OK.
因为点 M 是棱 AA′的中点，点 O 是 BD′的中点，所以 AM
1 DD′ 2
1 2
C.1
D.2
x2 y 2 + =1（a>b>0）的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交 a 2 b2
点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 A.（0，
2 ］ 2
B. （0，
1 ］ 2
C. ［ 2 -1，1］
D.［
1 ，1） 2
答案：D 10.（2010 四川，理 10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 A.72 B.96 C.108 D.144 答案：C 11.（2010 四川，理 11）半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面α，垂足为 B，△BCD 是平面α内边长为 R 的正三角形，线段 AC、AD 分别与球面交于点 M、N，那么 M、N 两点间的球面距离是
MN=1，NH=BNsin45°=
1 2 2 × = . 2 2 4
在 Rt△MNH 中，tan∠MHN=
MN 1 = =2 2 . NH 2 4
故二面角 M-BC′-B′的大小为 arctan2 2 . （3）易知，S△OBC =S△OA′D′，且△OBC 和△OA′D′都在平面 BCD′A′内.
， BC =（-1，0，0）. DB′ =（-1，-1，1）
⎧ ⎪n3 ·BC ′ = 0, ⎧− x1 − y1 + z1 = 0, 即⎨ ⎨ ⎪ n · BC = 0 , ⎩− x1 = 0. ⎩ 3

2010四川高考数学(理科)试题及参考答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题：（1）i 是虚数单位，计算23i i i ++=（A ）－1 （B ）1（C ）i -（D ）i（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是（A ）（B ）（C ）（D ）（3）552log 10log 0.25+=（A ）0（B ）1 （C ） 2 （D ）4（4）函数2()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是（A ）2m =-（B ）2m =（C ）1m =-（D ）1m =（5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（A ）8（B ）4（C ） 2 （D ）1（6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(210y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 （9）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（A ）⎛⎝⎦（B ）10,2⎛⎤⎝⎦（C ） )1,1（D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72（B ）96 （C ） 108（D ）144（11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（A ）17arccos 25R（B ）18arccos 25R（C ）13R π（D ）4R πα∙AB∙β（12）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2（B ）4（C ）（D ）52010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）6(2-的展开式中的第四项是__________．（14）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣=________．（15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为30°．则AB 与平面β所成的角的正弦值是_________．（16）设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S为封闭集。

2010年高考数学四川卷理科第12题赏析

１Ｊ－一
—
≤ — ＋（－）ａａａｂｂ
—
１
２
２
０ａａ６６（一）即＋一 ≥ — ，而有从
曲口（＿０６）曲
以及 “ 方法 ”然后利用平方数非负的性质，用放缩的策略，配，运
便可以逐次消去变量ａｂＣ，，．思路１注意￣ａｂｃ０则围绕配方有如下变形：Ｊｌ＞＞＞．
试题研究＞题探究… 一 … 一 … 、一一数掣墩学通讯（蝴试， … … ～翱
）
投箱：ｊｖ３Ｏ稿酃ｓｋｉ１．ｒｘ＠ｐ６Ｃｎ
口嚣露摘
要
２１年高考数学四川卷理科第１题赏析００２
加通度高
用学学
关键词
ｍ过的考年运教数
２＋＿— 一１ｃ５≥ ＋＋一：（一＋－＋一０＋ｃ — 一Ｌｆ）ｌａ２
ａａｂ）（－口ａｂ）【（—
＋
理由是“ 号不能成立 ” 等．实际上，题是一一讲意较高、够本杳道立能学解有效地考查学生思维品质的试题．同时，生是一道具有方法这也答论价值的试题．在这道题的解答中蕴涵着丰富的数学思想方维路法．以从多种维度．用多种思想方法进行解答．可运
ｂ（— ）０６
＋（－ｃ ≥ｎ＋ａ５）２
“ 道 ” 得出“ 号不能成立 ” 结论．下面的两种思路就是这黑．等的样的“ 黑道 ” ．