GeoGebra在高职微积分概念教学中的应用举例
GeoGebra软件在高中数学教学中的应用举例
GeoGebra软件在高中数学教学中的应用举例作者：张志勇来源：《福建中学数学》2014年第04期科学技术的迅猛发展，正对我们的社会交往、沟通交流、信息获取等产生着重大而深远的影响，也为现代教育注入了新的生机和活力，深刻影响着现代教育的方式、理念等等.自然地，顺应时代潮流，应用技术推动学生的数学学习，正成为每一个数学教育工作者的重要课题.“工欲善其事，必先利其器”，GeoGebra作为一款融几何、代数和微积分等于一体的动态数学学科软件，能够深入数学学科内部，展现数学对象间严格的数量关系和几何关系、运动与变化中的数学规律，帮助学生认识数学的本质、推动学生的数学思维往更高层次发展.1 GeoGebra特性简介GeoGebra是由美国佛罗里达州亚特兰大大学数学系教授 Markus Hohenwarter设计的动态数学教育软件，其名称由“Geo”+“Gebra”而来，这就暗示它同时兼具几何（Geometry）与代数（Algebra，也包括微积分）两大功能.实际上Geogebra是一个结合了几何、代数、微积分、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件，GeoGebra 5.0的工作界面如下图所示，包括菜单栏、工具栏、代数区（类似于超级画板）、主绘图区（类似于几何画板）和输入框，此外还有运算区、3D绘图区、工作表（类似于Excel）、副绘图区等.GeoGebra的界面可以定制，点击菜单栏【查看】可以选择不同的工作表，并可以任意拖动位置；点击【选项】则可以进行字号、语言选择.GeoGebra 是一个动态几何软件，可以实现几何画板的一切功能，点、线、多边形、圆锥曲线和函数图形在绘图区利用菜单命令即可轻松实现，相比较几何画板而言，GeoGebra 提供有作切线、极线（或径线）、回归直线等命令，为解析几何的研究带来了极大的便利；与此同时GeoGebra 具有强大的代数功能，在其左边的代数区显示有每一个图元的具体信息（坐标、方程等），当在右侧的作图区拖动某个点或图形时，可以实时地看到左边的坐标或方程的变化，反之改变坐标或方程则点或图形也会同步变化，这使得GeoGebra对图形的研究更加精细和科学化.更为重要的是， GeoGebra 支持命令输入，我们可以直接在命令框里输入方程式、点坐标或其它命令来实现图形的更改与计算功能，进行各种代数运算，如向量的运算、求函数的微分积分、计算图形的面积周长、求方程的根、计算函数的极大极小值，等等.所以说，GeoGebra的基本优势是兼具几何与代数两大功能，将数形结合的要求体现的淋漓尽致.下面我们将通过具体案例来感受GeoGebra的优势和特性.2 基于GeoGebra的数学应用案例案例1 绘制分段函数的图象案例2 创设导数应用的学习情境我们知道，导数的应用中最重要的是利用导数判断原函数的单调性，因此技术支持学习的重点不在简单地绘制应导函数的图象，而在于创设学习情境帮助学生建立原函数极值点与导函数零点的对应关系.在GeoGebra中，我们只需要在命令输入框输入两次命令“Roots[g，x （Corner[1]），x（Corner[2]）]”、“Extremum[f，x（Corner[1]），x（Corner[2]）]”便可实现（如图2）.当然要记住GeoGebra所提供的丰富的命令并非易事，但GeoGebra软件有自动补齐功能，在命令框中只要输入命令的前两个字符，GeoGebra 会显示最相近的命令（类似于输入法的联想功），这样即使忘记相关命令也不影响我们的使用，何况还可通过指令说明进行查询.点评 Geogebra处理解析几何问题非常方便，绘制椭圆只需直接在命令输入区输入方程便可绘制出相应图象，而且提供有功能强大的计算工具，如本例中的数量积计算便是一例.实验探究以上三个案例仅是GeoGebra强大功能的“冰山一角”，更多的应用则需我们不断地探索和琢磨.3 GeoGebra的教育价值认识3.1 多元表征，推进数形结合数形结合是中学重要的思想方法和解题利器，正如华罗庚所说，“数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.”通常所见的数学软件仅有形的动态变化，而无对应方程与坐标的变化显示，这对于数学探究过程中培养学生的思维能力和智力品质显然是不够的.GeoGebra做到了图形与代数方程的同步变化，真正的动态演示可以帮助学生认识和把握数学问题的实质及其相互关系，从而真正领会数学的精神、思想方法，即有效促进学生的数学理解.3.2 多域联动，实现课程融合文[3]指出，教育技术研究要深入学科，只有应用为特定的学科量身定做的学科教学软件才能真正展现信息技术的效果，而一个优秀的数学教学软件首先应该功能齐全实现交叉集成.GeoGebra功能强大，集几何作图、代数运算和数据处理于一体，其代数区、绘图区、电子表格、第二绘图区、CAS区等区域相互关联，可避免往常出现的多个软件相互切换的不便，其应用覆盖了整个数学教学领域.3.3 操作简易，生成无限精彩3.4 开源合作，支持个性学习GeoGebra进课堂，可以使数学的推理演绎过程可视化，保证了学生可以“看他们以往只能‘想象’的数学，‘做’他们以往不能做的数学”.更为重要的是，GeoGebra不只是教师演示软件，更是学生的学习软件；一方面GeoGebra作为免费软件可以资源共享，另一方面基于Java程序研发方便远程交流和网上学习，而未来触控版GeoGebra在平板电脑、智能手机等其他手持终端上的应用，将开启数学移动学习的新篇章.总而言之，GeoGebra的应用让技术推动学习从应然走向必然，但是有了现代教学手段并不等于就拥有了现代化教育，发挥教育技术在数学教学中的优势，构建交互式、多样化的学习环境，需要我们不断地挖掘和开发课程资源，用“火热的思考”融化“冰冷的美丽”，因为教育技术本身只是工具，好的教学设想才是灵魂.参考文献[1]曹一鸣，郭衍.数学教学新帮手——动态数学软件GeoGebra.中学数学教学参考.2011（12）：5-7[2]杨一奋.例析几何画板支持下数学命题的研究及推广.中国数学教育，2011（6）：45-47[3]张景中，葛强，彭翕成.教育技术研究要深入学科.电化教育研究，2010（2）：8-13[4]左晓明，田艳丽，贠超.基于GeoGebra的数学教学全过程优化研究.数学教育学报，2010（2）：99-102。
GeoGebra 在高中数学教学中的应用举例
GeoGebra 在高中数学教学中的应用举例
刘杰
【期刊名称】《中学数学研究(华南师范大学):下半月》
【年(卷),期】2022()5
【摘要】GeoGebra作为一种动态的教学软件,可以将数学中教师难以口头表达或者板书不易展现的抽象的知识动态展现给学生,通过高中数学教学中一些应用举例,展现GeoGebra在教学中的应用优势,并以此培养学生的直观想象能力,提高课堂教学的效率和质量.
【总页数】3页(PF0002)
【作者】刘杰
【作者单位】江苏省扬州市扬州大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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geogebra软件在高中数学教学中的应用
一、概述近年来，随着数学教学方法的不断创新和信息化技术的快速发展，越来越多的教师开始尝试利用各种软件工具来辅助教学。
其中，geogebra软件作为一款集几何、代数、统计和微积分于一体的数学工具，受到了广大教师和学生的青睐。
本文将探讨geogebra软件在高中数学教学中的应用，旨在探讨如何利用这一工具提升数学教学的效果。
二、geogebra软件简介1. geogebra软件是一款免费的数学软件，由奥地利数学教育家Markus Hohenwarter于2001年开发，旨在帮助用户更好地理解数学概念。
2. geogebra软件集合了几何、代数、统计和微积分等多个数学学科的功能，用户可以利用它进行几何构图、方程式探究、数据分析等操作。
3. geogebra软件具有直观的界面和丰富的功能，使其在教学中得到了广泛的应用。
三、geogebra软件在高中数学教学中的应用1. 几何教学在高中数学课程中，几何教学是一个重要的环节。
传统的几何教学往往以板书和讲解的形式进行，学生难以直观地理解几何概念。
而利用geogebra软件，教师可以通过构建几何图形、展示性质和定理等方式，让学生在电脑屏幕上直观地观察和探索几何知识，从而提升他们的学习兴趣和学习效果。
2. 代数教学在代数教学中，geogebra软件也能发挥重要作用。
教师可以利用geogebra软件来演示方程式的图像、变化规律和代数关系，让学生通过观察和实践来理解代数概念。
软件还可以辅助教师进行方程式的解题演示，帮助学生更好地掌握代数解题方法。
3. 统计和概率教学geogebra软件在统计和概率教学中也有着独特的应用。
教师可以利用软件进行数据的可视化展示，让学生通过直观的图表和统计分析来理解概率和统计知识，提升他们的数学思维能力和数据分析能力。
4. 微积分教学在高中数学的高级阶段，微积分教学是一个较为复杂和抽象的内容。
geogebra软件可以帮助教师进行函数图像的绘制、不同微积分概念的可视化展示，使学生更好地理解微积分知识，提高他们解决实际问题的能力。
GeoGebra软件在高中数学教学中的应用
Geogebra可以将函数图像动态展示出来，方便学生观察函数的变 化过程和交点等特征。
自定义函数图像
学生还可以通过自定义函数表达式，在Geogebra中绘制自己设计的 函ogebra可以方便地展示三 维图形，帮助学生更好地理解
立体几何的概念和性质。
学生可以通过geogebra的即时反馈功能，了解自己的学习进度 和不足之处，及时进行调整和改进。
提升学生数学素养和创新意识
01
培养数学思维
02
激发创新意识
通过使用geogebra，学生可以更好 地掌握数学思维和方法，提高解决问 题的能力。
geogebra的动态演示和实时计算功 能可以激发学生的创新意识，引导学 生探索新的数学问题和方法。
随着技术的发展和教育的需求变化，Geogebra软件的功 能需要不断拓展和优化，以满足高中数学教学的多样化需 求。
结合人工智能技术
未来可以将Geogebra软件与人工智能技术相结合，实现 智能辅助教学和学习分析，进一步提高数学教学效率和质 量。
跨学科应用
除了在高中数学教学中应用，Geogebra软件也可以拓展 到其他学科领域，如物理、化学等，为多学科的实验教学 提供支持。
• geogebra软件在高中数学教学中的应用 经验和建议
01
geogebra软件简介
geogebra软件背景与功能
Geometer's Sketchpad（GSP），即geogebra，是一款动态几何软件，由美国加州大学欧文分校的数学教授威廉·汉纳（ William H.）于1996年开发。它能够创建、编辑、分析、处理和绘制几何图形，并支持动态演示和实时交互。
geogebra软件在高中数学教学中的适用性
geogebra数学案例
geogebra数学案例在现代数学教学中，利用计算机软件辅助教学变得越来越常见。
其中一款备受推崇的软件是Geogebra，它集合了几何、代数和计算机绘图功能，能够帮助学生更好地理解数学知识。
本文将为大家介绍几个Geogebra数学案例，展示其在教学中的应用和效果。
案例一：图形变换在几何学中，图形的变换是一个重要概念。
通过Geogebra，我们可以直观地展示图形平移、旋转、反射和缩放等变换过程。
以平移为例，我们可以通过鼠标拖动图形或者输入变换参数，实时观察到图形的移动。
这种交互式的学习方式能够让学生更好地理解和掌握图形变换的特点和规律。
案例二：函数图像绘制函数图像绘制是数学学习中的另一个难点。
通过Geogebra，我们可以输入函数表达式，并且生成对应的图像。
学生可以通过调整函数中的参数，观察图像的变化，进而深入理解函数的性质。
同时，Geogebra还能够帮助学生绘制多个函数的图像，并进行比较和分析，从而加深对函数之间关系的理解。
案例三：几何形体建模Geogebra不仅支持几何图形的绘制，还能够实现立体几何形体的建模。
通过给定几何条件，我们可以快速生成各种复杂的几何形体，如立方体、圆柱体、锥体等。
这种立体几何建模的功能，对于学生掌握几何形体的性质和相互关系十分有帮助。
同时，学生也可以通过Geogebra进行相关公式的推导和验证，提升数学思维能力。
案例四：数据分析与统计除了几何和代数，Geogebra还支持数据分析和统计功能。
学生可以通过输入一组数据，生成对应的统计图表，如折线图、柱状图、饼图等。
通过观察图表，学生可以分析数据的规律和趋势，培养数据分析的能力。
同时，Geogebra还提供了常见的统计分析工具，如平均值、中位数、方差等，便于学生进行更深入的数据统计和比较。
综上所述，Geogebra作为一款功能强大的数学软件，在数学教学中有着广泛的应用价值。
通过各种案例的介绍，我们可以看到Geogebra在图形变换、函数图像绘制、几何形体建模和数据分析等方面的优势和效果。
浅谈GeoGebra在高中函数教学中的应用-教育文档
浅谈GeoGebra在高中函数教学中的应用-教育文档浅谈GeoGebra在高中函数教学中的应用GeoGebra是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的一款结合几何、代数、微积分及统计的免费动态数学软件，同时具有处理代数与几何的功能.一方面，它是一个动态的几何软件，可以绘制并修改点、直线、线段、多边形、向量、圆锥曲线及函数;另一方面，它也有处理代数的能力，可以实现对函数作微分与积分、求方程的解和数据统计等功能.它能做到图形与代数方程的同步变化，实现了真正的动态演示.GeoGebra软件以直线、向量、曲线、函数等为基本元素，提供了方便的动态演示，显示和探索轨迹的生成过程，以“动态”为特色，展示代数与几何图形内在关系的环境，使原本抽象、枯燥的内容变得具体、生动、形象，充分展示了数学教学的美.利用GeoGebra软件制作直观鲜明的图像和动态画面，可把不常见的、难以理解的内容变为直观的、浅显的动态感性材料，使学生既可以看到图形产生的过程，又真实地感受数学美的过程.这样有利于激发学生的学习兴趣，引导学生主动观察、思考，从而提高课堂教学的效率和质量.下面我结合自己对GeoGebra软件的研究，重点谈谈 GeoGebra软件在高中函数教学中的应用.一、GeoGebra软件在对数函数及指数函数图形对称性教学中的应用GeoGebra的对数函数符号和国内目前所使用的有所差异，如下表：在GeoGebra中，若输入y=log（x）代表的是自然对数，而常用对数是输入y=lg（x）;若底数，为其他正数，则要用换底公式logab= logcca ，如输入y= log（x）log（2）来表示y=log2x.把y=logax，y=log1ax，y=ax，y=（1a）x 四个函数图像画在一起，前两个图像对称于x轴，后两个图像对称于y轴，第一个与第三个函数以及第二个与第四个函数有反函数关系，其图像对称于直线y=x.步骤：（1）设定数值滑杆a最小：0.01，最大：10，增量：0.01;（2）输入y= log（x） log（a）;（3）输入y= log（x）log（1a） ;（4）输入y=ax;（5）输入y=（1a）x; （6）利用在y= log（x）log（a）上画出一点A，再用对称钮找出在另三个图形上的点A′，A1′，B，拉动滑杆看看图形的变化.如图1.图1通过这一片段教学，让学生形象直观地体验y=ax与y=（1a）x 图像关于y轴对称，体验y=ax与y=logax图像关于y=x对称，体验y=logax与y=log1ax图像关于y轴对称这三种对称，深刻理解指数函数与对数函数的依赖有对立统一的关系，从而更加深刻体会指数函数与对数函数内在的对称美.二、GeoGebra软件在幂函数概念教学中的应用幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，是对基本初等函数知识的更加详细的总结概括，研究幂函数扩充和完善了学生在函数方面的知识结构.教材把幂函数安排在指数函数和对数函数之后，在学习与探究过程中可体现类比的学习方法，使学生进一步体会并理解研究基本初等函数的一般思路.例如，《幂函数图像和性质》的教学.步骤：（1）输入f（x）=x;（2）输入g（x）=x2;（3）输入h（x）=x3;（4）输入s（x）=x12;（5）输入t（x）= 1x ;（6）利用工具栏中的复选框，设置函数图像的隐藏按钮;（7）设置滑杆α，使α的值从-10逐渐增大至10;（8）输入f（x）=xα，拖动滑杆，观察幂函数的图像变化. 如图2.图2通过这一片段教学，我们引导学生主动参与作图，观察图像形成的过程，分析和总结图像的性质，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的思想观点.三、GeoGebra软件在函数零点教学中的应用方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容.从表面上看，这一部分内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题.例如，求函数h（x）=x2-2x 零点个数，一般人很容易以纸笔手动方式画出此两函数图像交于两点的图形，但要画出交于三点的情形则远超出学生手工描绘的能力.步骤：（1）设定数值滑杆a，最小：-5，最大：5，增量：0.1，输入直线型x=a;（2）输入f（x）=x2;（3）输入g（x）=2x;（4）另外输入h（x）=f（x）-g（x）.观察当h（x）和x 轴有3个交点时，即此两函数图形交于3点.图3通过这一片段教学，我们可以利用GeoGebra软件中数值滑杆轻松地得到函数h（x）=x2-2x的零点a、方程x2-2x=0的根和函数f （x）=x2和g（x）=2x两个图像的交点三者之间的内在联系，让学生深刻体会函数零点的问题，方程根的问题与两个函数图像交点问题之间的互相转化，从而加深对函数零点概念的理解和掌握.四、GeoGebra软件在三角函数y=Asin（ωx+φ）+b图像与性质教学中的应用函数y=Asin（ωx+φ）+b的图像是在学习了正、余弦函数的图像和性质之后的一节内容，具有较强的综合性.由y=sinx 到y=Asin （ωx+φ）+b的图像变换过程中，ω、φ、A、b四个量的不同变化对图像的影响是教学的重点. 例如，《函数y=Asin（ωx+φ）+b图像和性质》的教学.步骤：（1）设置横向滑杆ω、φ，纵向滑杆A、b;（2）在输入框在输入y=A*sin （ωx+φ）+b，即可得到函数y=Asin （ωx+φ）+b的图像;（3）同理，在输入框中输入y=sinx，同时得到函数y=sinx的图像.如图4.图4通过这一片段教学，我引导学生参与参数ω，φ，A，b对函数y=Asin（ωx+φ）+b图像影响问题进行分解的研究，同时结合具体函数图像的变化，让学生领会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想，并动态直观地把图像变换的本质展示给学生.五、GeoGebra软件在导数定义教学中的应用函数y=f（x）在点x0处的导数的定义为：设y=f（x）在点x0的邻域附近有定义，且当自变量在点x0有一增量t（x0+t仍在该邻域附近）时，若增量比极限：limΔx→0f（x0+t）-f（x0）t 存在，就称其值为y=f（x）在x=x0处的导数.由于高中课本并未涉及过多的极限知识，因此通过理论讲授导数的概念很多学生是无法接受的.但中学课本关于直线斜率问题及切线问题都有详细的阐述，因此我们可以利用GeoGebra软件通过切线斜率问题来解释导数的定义.例如，计算函数f（x）=2x3-32x2 在点x=1处的切线斜率.步骤：（1）在命令区输入f（x）=2x3- 32x2，即可作函数图像;（2）定义变量x0=1;（3）定义点A=（x0，f（x0））;（4）设置滑杆，定义函数在x=1处的增量0≤t≤2;（5）定义点B=（x0+t，f（x0+t））;（6）连接点A、B的割线AB;（7）在命令框中输入m=f（x0+t）-f（x0）t ，即得割线AB的斜率;（8）通过拖动滑杆即可直观看出割线AB渐变为切线的过程;（9）通过观测代数区变量m的值即可得到点B向点A靠近，m值向3靠近，即点A处切线的斜率为3.如图5.图5 通过这一片段教学，我们可以让学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，体会逼近思想在导数概念教学中的作用，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法，进而加深对导数概念的理解和掌握.六、GeoGebra软件在定积分概念教学中的应用函数f（x）在区间[a，b]上的定积分就是把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形采用“以直代曲”的思想，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，再对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值.可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越大.在近似过程中，通过使用GeoGebra软件计算darboux upper sum及darboux lower sum，不论采用哪种方式给学生演示，只要划分足够细，其结果最终一定收敛于一个常数，此值就是函数f （x）在区间[a，b]上的定积分.例如，计算∫10x2dx，步骤：（1）在命令区输入：f（x）=x2，即可得到函数图像;（2）设置滑杆，使n的值从0逐渐增大至100;（3）在命令区输入：L=LowerSum[f，0，1，n]，计算darboux lower sum;（4）在命令区输入：U=LowerSum[f，0，1，n]，计算darboux upper sum;（5）拖动滑杆，代数区L及U的值将逐渐变化，两者的差距逐渐越来越小，最终都趋于0.33，即13.如图6.图6通过这一片段教学，我们可以主动引导学生对曲边梯形的面积进行探求，进一步理解求曲边梯形面积的四个步骤――分割、近似代替、求和和取极限，从而感受有限与无限的联系和极限的思想在数学和实践中的应用.GeoGebra软件在许多方面有着粉笔与黑板难以替代的独特功能和无可比拟的优越性，我们制作GeoGebra课件的目的在于让课堂变得生动、让教学变得直观，从而轻松、有效地提高课堂教学效率.在知识探索阶段，学生思考解答的同时，教师可以利用GeoGebra软件的交互功能，现场操作或演示数据与图像之间的关系，及时给予点评，扩大学生的认知结构，体现知识的形成过程.在利用GeoGebra探索数学知识的过程中，学生已经不再是知识的被动接受者，而是知识的主动探索者，问题的行动者.在教学中，GeoGebra软件的数形结合功能使人耳目一新，极大地调动了学生的学习积极性，优化了高中数学的教学环境，让学生由枯燥、乏味地学数学变成轻松、快乐地学数学，从而使学生掌握数学知识，提高学生的数学思维能力.。
Geogebra在高三数学教学中的简单应用
Geogebra在高三数学教学中的简单应用各位老师，大家下午好，非常荣幸第一次工作室活动就能来和大家进行交流。
我今天想和大家聊的是一款软件，名叫Geogebra。
我相信在座的大家肯定都对这个名字不陌生，也有老师对Geogebra使用得非常熟练，我只能说来班门弄斧一下。
我今天想和大家交流的主题就是《Geogebra在高三数学教学中的简单应用》。
这个主题的选择，其实源于我近几年的教学困扰。
在高三的教学中，我发现高三复习中对于“函数的零点问题”、“函数图像的交点问题”、向量问题等一系列涉及到数形结合、需要分析动态图像求参数的问题，对我校学生而言，可以说一是座难以翻越的大山。
无论在课堂上讲过多少遍，在黑板上画多少遍图，总是有一部分学生理解困难、掌握艰难。
我相信在座的老师肯定也碰到过我这样的情况。
排除学生方面的客观因素，我认为，这样的教学窘境，在现如今是可以打破的。
碰到这类问题不能再像以前一样，一块黑板、一根粉笔，以及不停挥舞的手势了。
可以用科技手段帮助学生理解知识的地方，我们作为教师也应该学习新工具，发挥工具在教学中的作用。
而且“技术改善教学”也是市教研室认可的教研思路。
当然，除了Geogebra以外，曾经很多老师都是使用几何画板的，包括我在内。
那为什么我这次推荐Geogebra而不是几何画板呢？几何画板，顾名思义，它更注重的是尺规作图，讲究的是图形，有“形”的动态变化，而无对应“数”的变化，并且其上手难度更是远比Geogebra要难得多，也没有Geogebra来得方便、实用、有效。
希望我今天的这一点点介绍，能够让对这款软件还不了解的老师们，对这款软件的使用有一个基本的了解，并将其使用在自己的课堂中。
下面我主要介绍三部分内容：1. Geogebra实例展示2. Geogebra使用心得3. Geogebra学习资料一、Geogebra实例展示例题1：9（2019松江一模）. 若|lg(1)|0()sin0x xf xx x->⎧=⎨≤⎩，则()y f x=图像上关于原点O对称的点共有对.例题2：已知函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上为增函数，求实数a 的取值范围.今天我就是抛砖引玉，提起大家对Geogebra 的兴趣。
geogebra在高中数学教学中的应用
geogebra在高中数学教学中的应用随着科技的不断发展，越来越多的教育工作者开始将计算机软件应用于教学中，其中geogebra是一款非常优秀的数学教学软件。
它可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学学习的效率。
下面我们来看看geogebra在高中数学教学中的应用。
geogebra可以帮助学生更好地理解几何概念。
在几何学习中，学生需要掌握各种几何图形的性质和变换规律。
通过geogebra，学生可以直观地观察几何图形的变化，更好地理解几何概念。
例如，在学习平移、旋转、对称等变换时，学生可以通过geogebra进行模拟操作，观察图形的变化，从而更好地理解变换的规律。
geogebra可以帮助学生更好地掌握函数概念。
在高中数学中，函数是一个非常重要的概念，学生需要掌握函数的定义、性质、图像等方面的知识。
通过geogebra，学生可以绘制各种函数的图像，观察函数的性质，更好地理解函数的概念。
例如，在学习一次函数、二次函数等时，学生可以通过geogebra绘制函数图像，观察函数的斜率、零点、顶点等特征，从而更好地掌握函数的性质。
geogebra可以帮助学生更好地解决数学问题。
在数学学习中，学生需要解决各种数学问题，例如求解方程、证明定理等。
通过geogebra，学生可以进行模拟操作，观察图形的变化，从而更好地解决数学问题。
例如，在学习勾股定理时，学生可以通过geogebra 绘制直角三角形，观察三边关系，从而更好地理解勾股定理的证明过程。
geogebra在高中数学教学中具有非常重要的应用价值。
它可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学学习的效率，同时也可以帮助教师更好地进行教学。
因此，在高中数学教学中，我们应该积极地推广geogebra的应用，让更多的学生受益。
GeoGebra 在数学教学中的应用
GeoGebra 在教学中的应用
最好的介
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教学目标展示
软件操作及范例讲解 兴趣提升
学习GeoGebra
软件概述
GeoGebra是一套结合几何、代数、数据表、图形、统计和计算的动态数 学软件，同时具有处理代数与几何的功能。一方面，GeoGebra 是一个动态 的几何软件。可以在上面画点、线段、直线、向量、多边形、圆锥曲线，甚 至是函数，并且可以改变它们的属性。 另一方面，可以直接输入函数和点坐 标，也就是说，GeoGebra 也有处理变量的能力（这些变量可以是一个数字 、角度、向量或点坐标），它也可以对函数作微分与积分，找出方程式的根 或计算函数的极大极小值等。这些特性，解决了传统教学的难点，可以充分 发挥教师的教学思想。GeoGebra几乎可以完成从启蒙教育到大学教育中的所 有的数学教学。 此外，GeoGebra 是一个在Java虚拟机环境上执行的解析几何作图程序 ，可以说是一个基于Java的数字平面直角坐标系统。所以用 GeoGebra 做出 来的动态图文件，可以轻易的在不同操作系统，如 Windows、Linux、 FreeBSD、Mac 等不同的操作系统上执行。或可以在不同执行平台，如 Microsoft IE、Mozilla Firefox 等不同的网络浏览器上完整而无碍的执行。 目前GeoGebra是由Markus Hohenwarter及一个国际性的软件开发团队共 同开发目的是设计一个易学易用的数学教学工具。已经获得了多项欧洲和美 国的大奖。
为什么选择 GeoGebra ?
几何画板 GeoGebra
英任画板
玲珑画板
超级画板
cabri 3D
软件界面介绍
代 数 显 示 区
几 何 显 示 、 作 图 区
Geogebra在高职数学教学中的应用探讨
Geogebra在高职数学教学中的应用探讨作者：许小丽来源：《现代职业教育》2021年第48期[摘要] 利用Geogebra在高职数学教学中进行辅助教学，将几何与代数相结合，可以有效地创设具有启发性的教学情境，动态演示可以使学生直观地看到平面图形到立体图形的转变，从而提高课堂教学质量。
[关键词] Geogebra;高职;数学教学[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）48-0140-02近年高职数学教学情况不容乐观，学生的学习兴趣及积极性不高，“定积分的应用——计算旋转体的体积”在生活中有很多应用，从生活中的旋转体入手，通过Geogebra软件的动态演示，学生可以直观体会平面到立体的转换，体会数学思想和数学方法的精妙，进而培养空间想象能力。
分组讨论培养学生探究、勇于创新和团队协作的精神。
最后从生活出发，计算冰激凌的体积，再由理论回归实际、指导实际。
文章通过不同的微元的选取探讨旋转体体积的计算方法，并充分发挥动态Geogebra软件的优势，通过创设情境，用丰富的生活实例、数学史、丰富多彩的图片、逼真的几何动态模型刺激学生。
一、Geogebra软件的介绍Geogebra是由奥地利数学家Markus Hohenwarter及其国际开发团队设计的，将几何和代数相结合，本文运用Geogebra数学动态软件演示平面图形绕坐标轴旋转而形成的旋转体，将平面图形直观地转化为立体图形，将数学知识中“数”与“形”之间很好地联系起来，培养了学生的空间想象能力，同时用该软件对冰激凌问题进行验证。
二、课前准备超星平台发布预习任务，学生以小组为单位搜集生活中的旋转体，复习旋转体的定义和元素法。
设计意图：课前学生利用网络资源搜集生活中的旋转体，以小组为单位发布到超星平台。
学生搜集了灯笼、花瓶和陀螺等旋转体。
让学生感知传统节日的魅力，培养学生对传统文化的认同，弘扬以爱国主义为核心的伟大民族精神。
中职阶段数学中Geogebra应用的一些案例分析
中职阶段数学中Geogebra应用的一些案例分析随着信息技术的进步和教育改革的推行，Geogebra作为一种功能强大而又易于使用的数学动态几何软件，逐渐在中职阶段的数学教学中得到广泛应用。
本文将通过分析一些实际案例，探讨中职阶段数学教学中Geogebra应用的一些实际效果和方法。
起首，Geogebra是一种基于几何、代数和微积分的软件，可以有效地帮助同砚理解数学观点和解决问题。
在中级教育学校阶段，我们屡屡需要让同砚进修和精通图形的性质、变化规律等观点。
通过利用Geogebra绘制相关图形，同砚可以直观地看到图形的变化过程，更深度地理解数学观点。
例如，在进修三角形相似性质时，我们可以通过绘制不同外形的三角形，并利用Geogebra来进行放缩、旋转等变换，让同砚在观察和实践中发现相似三角形的性质。
其次，Geogebra还可以援助同砚进行数学实证探究和问题求解。
在中职阶段的数学教学中，我们屡屡要求同砚解决一些实际问题，通过分析数据、建立数学模型等方法来求解。
利用Geogebra软件，同砚可以很便利地绘制数据图表、制作数学模型，并通过图表和模型进行数据分析和问题求解。
比如，在进修函数的观点时，我们可以利用Geogebra绘制实际问题中的函数图像，并通过改变函数的系数来观察图像的变化趋势，从而探讨函数的性质。
此外，Geogebra还可以帮助老师进行教室教学和同砚作业批改。
传统的数学教学中，老师往往需要手工绘制图形、计算数值等，费时费劲。
而通过利用Geogebra软件，老师可以便利地筹办教室教学所需的图形展示和计算过程，提高教学效率。
另外，同砚作业的批改也可以通过Geogebra软件来实现，这样既减轻了老师的工作肩负，又能够让同砚更直观地理解自己作业的错误之处。
然而，Geogebra的应用也存在一些挑战和限制。
起首，老师和同砚需要具备一定的电脑操作和数学知识基础，才能够娴熟地使用Geogebra进行数学教学和进修。
GeoGebra软件在中职函数教学中的应用
GeoGebra软件在中职函数教学中的应用函数是中职数学中一个重要的观点和内容，也是同砚们屡屡感到狐疑和难以理解的部分。
然而，随着科技的进步和应用，许多优秀的数学软件进入了教学领域，为老师和同砚提供了全新的教学和进修平台。
GeoGebra软件就是其中一款在中职函数教学中非屡屡见和应用广泛的数学软件。
GeoGebra软件是一款结合了几何、代数和微积分的数学软件，它可以在教学中实现可视化和动态演示，可以应用于不同的数学领域，包括函数。
GeoGebra的优点在于它的简洁和易用性，即使是没有编程和数学软件使用阅历的老师和同砚也可以快速上手，利用该软件展示函数的性质和特点。
起首，GeoGebra软件可以援助老师解决函数教学中的理论和实际结合问题。
在传统的教学方法中，函数的观点往往是抽象和理论的，并且很难与实际问题相结合。
而GeoGebra软件可以通过可视化和实际应用的演示，将函数与实际问题相结合，让同砚更好地理解函数的含义和用途。
例如，在传授线性函数时，老师可以通过GeoGebra软件绘制x和y的干系图表，并实时演示如何通过函数计算和图形分析得出相关的实际应用问题的答案。
其次，GeoGebra软件可以提供丰富的函数图形绘制和变换功能。
在传统的黑板和白板上，老师只能手绘函数的图形，而且存在着绘制错误和不准确的问题。
而GeoGebra软件可以通过输入函数表达式，自动生成函数的图形，让同砚更明晰地看到函数的性质和特点。
此外，GeoGebra软件还可以通过平移、伸缩、翻转等功能进行函数图形的变换，让同砚更好地理解函数的平移和伸缩对函数图像的影响。
另外，GeoGebra软件还提供了一系列的函数分析和探究工具。
在函数教学中，同砚需要精通函数的性质和特点，包括函数的增减性、极值、曲线的凹凸性等。
而GeoGebra软件可以援助老师和同砚快速进行函数的分析和探究，而无需手算和猜想。
通过输入函数的表达式，GeoGebra软件可以自动计算函数的导数、极值点等，并用可视化的方式展示给同砚，让他们更好地理解函数的性质和计算方法。
geogebra与数学教学融合案例
geogebra与数学教学融合案例
1. 三角函数的教学：使用Geogebra可以帮助学生更直观地理解三角函数的概念和性质。
教师可以使用Geogebra创建一个三角函数的图形，让学生观察和分析。
通过调整角度和比例，学生可以观察到不同角度下正弦、余弦和正切的变化规律。
这样不仅可以帮助学生理解三角函数的定义，还可以帮助他们掌握三角函数的图像特征和性质。
2. 几何图形的教学：使用Geogebra可以帮助学生更好地理解和掌握几何图形的性质和变换。
教师可以使用Geogebra创建几何图形模型，学生可以通过拖动和变换来观察和探索几何图形的性质。
比如，教师可以创建一个正方形的模型，让学生观察当正方形的边长变化时，正方形的面积和周长的变化规律。
这样不仅可以帮助学生理解几何图形的定义和性质，还可以帮助他们通过实际操作来探索和发现几何问题。
3. 数据分析的教学：使用Geogebra可以帮助学生更好地分析和处理数据。
教师可以使用Geogebra创建一个统计图表，将一组数据可视化展示出来。
学生可以观察数据的分布和趋势，并进行相关的数据分析。
比如，教师可以创建一个柱状图，将学生们的身高数据展示出来，学生可以通过比较不同柱子的高度来观察学生们身高的分布情况。
这样不仅可以帮助学生理解统计学的基本概念，还可以帮助他们更好地分析和解读数据。
手机作图软件GeoGebra在高职数学教学中的运用——以第三章“函数”为例
㊀㊀㊀１４３㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ在高职数学教学中的运用手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ在高职数学教学中的运用㊀㊀㊀ 以第三章 函数 为例Һ车建霞㊀（江苏省南京工程高等职业学校，江苏㊀南京㊀２１１１３５）㊀㊀ʌ摘要ɔ在具体的课堂教学实践中，师生一起学习，运用手机作图软件作出函数图像，可使学生更加直观地分析函数图像，理解对称㊁函数的奇偶性和单调性的含义，根据函数的图像来判断函数的奇偶性和单调性．在整个教学过程中，教师启发引导，学生积极参与㊁独立思考作图，小组探究总结㊁在学习平台讨论区分享展示，这一系列的教学互动激发了学生的学习热情，丰富了学生的数学学习体验，提升了课堂教学效果．ʌ关键词ɔ手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ；函数的奇偶性；函数的单调性一㊁建构主义理论下的数学课堂教学建构主义理论讲的是知识不仅是通过教师传授得到的，还是学习者在一定的学习情境下，通过他人（教师或学习同伴）的帮助，利用身边已有的学习资源，通过意义建构的方式获得的．学习环境中的四大要素是： 情境 协作 会话 意义建构 ．在一般情况下，获得知识的多少取决于学习者根据自身的学习经验去建构相关知识的能力，而不是取决于学习者强行记忆和背诵教师所讲授内容的能力．针对高职学生的认知结构特点，教师要重点培养学生的动手实践能力㊁独立思考能力和分析总结能力，可以尝试引领学生体验新的学习手段，运用新的学习工具，充分调动课堂学习气氛．这样的思考给教师提出了新的问题：对新的教学内容该如何设计㊁如何充分发挥学生的主动性和探究性㊁如何激发学生学习数学的热情㊁如何提升学习效果．事实上，高职数学课堂的现状是教师照着书本讲，重点在于知识概念的传授，教学方法相对保守；学生靠课堂听讲㊁练习模仿来掌握知识，缺少主观能动性，探究学习和体验学习尝试很少．为改变这一现状，笔者尝试在高职数学课堂设计中引入手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ，将其运用于函数知识点的教学，让学生动手操作，主动思考，分析总结，让课堂不再死气沉沉，而是生动活泼起来．笔者尝试换一种新的教学方式，让学生在教学过程中主动体验这款手机作图软件，主动参与解决问题，整个教学流程会让学生有更好的听课感受和难忘的学习体验，课堂也显得更加生动有趣，从而激发学生的学习热情，提升课堂学习效果．二㊁手机作图软件 图形计算器ＧｅｏＧｅｂｒａ 的体验 图形计算器ＧｅｏＧｅｂｒａ 是一款方便快捷的手机作图软件，在第三章 函数 教学过程中，作用非常明显，简单易上手．学生在教师的指导下熟悉软件，按照教师的要求作出函数图像㊁观察图像㊁分析图像，以趣味的方式真正观察和体验数学，还可以把自己的学习成果截图实时分享到学习平台的讨论区中．整个过程是动态的㊁有趣的㊁高效的．三㊁手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ的教学尝试（一）信息化手段和移动学习传统的课堂都是教师讲㊁学生听，教室里安安静静，但是学生到底有没有真正地理解知识和掌握知识呢？教师要不要思考如何活跃课堂气氛，让学生主动参与并分享自己的学习成果呢？过去学生更多是被动接受新知识和新技能，如今互联网背景下移动技术的广泛运用，智能手机已经渗透到生活和学习的各个方面，移动学习的方式越来越普及．当教师布置一个新的学习任务时，对于在上课前的准备，包括手机软件的下载㊁课堂的师生互动㊁课后的复习巩固，学生都可以自由选择感兴趣的知识进行学习，手机软件为学生提供了灵活多样的学习方式．在学习第三章 函数 时，运用手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ，学生自己动手操作，理解并掌握知识点，获得了良好的学习体验感．（二）尝试运用软件ＧｅｏＧｅｂｒａ进行课堂教学数学是一门抽象性高㊁逻辑性强的基础学科，但在传统的教学过程中，单调的教学形式让数学课堂稍显沉闷，使学生不能感觉到学习数学的乐趣，融入课堂的自主性不够．对此 如何充分调动学生的主观能动性㊁把课堂还给学生，如何营造以教师为引领㊁学生为主体的课堂 成了教师要好好思考的问题．在教学第三章 函数 时，笔者尝试换一种方式来改变一下，做好教学设计和课前准备，利用手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ来学习这一章内容．动态演示功能可为学生创设易于认知的环境，将数学问题以动态的方式呈现在学生面前，使数学问题更具直观性和形象性，便于激发学生的学习兴趣，从而引导学生高效地提出问题和解决问题．在第三章 函数 的教学过程中，笔者引领学生运用手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ，学会自己独立作出函数图像，学会观察图像㊁分析图像㊁探索新知㊁小组研究㊁讨论总结．整个课堂是一个动态的过程，教师作为指导者和帮助者，学生作为自主学习的探究者，一个个问题层层推进㊁层层解决，极大地调动了学生的学习积极性．（三）丰富学生学习体验，提升课堂教学效果教师的教学方法和教学手段也需要改变和创新．现在是 知识大爆炸 的时代，教师作为课堂的引领者，更需要不断更新知识，为学生提供尽可能多的丰富体验．教师平时要多关注与学科知识相关的教学类软件，为学生准备最新的教学资源，了解学生的学习需求和学习动态，让课堂教学变得更加丰富多彩．四㊁教学实践案例 函数的奇偶性和单调性（一）对称点的坐标特征图形的基本元素是点，或者说图形是由点构成的，那么图形的对称是否可以看作是点与点的对称呢？㊀㊀㊀㊀㊀１４４数学学习与研究㊀２０２３ ０４１．教师活动：布置任务写出点Ａ的坐标，标出点Ａ㊁点Ａ关于ｘ轴的对称点Ｂ㊁点Ａ关于ｙ轴的对称点Ｃ㊁点Ａ关于坐标原点的对称点Ｄ．２．学生活动完成作图（如图１），写出点Ａ的坐标（２，１），点Ａ关于ｘ轴的对称点Ｂ的坐标是（２，－１），点Ａ关于ｙ轴的对称点Ｃ的坐标是（－２，１），点Ａ关于坐标原点的对称点Ｄ的坐标是（－２，－１）．图１３．师生总结对称点的坐标特征：关于ｘ轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于ｙ轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于坐标原点对称，横坐标和纵坐标均互为相反数．４．设计意图（１）引领学生积极参与㊁主动探究；（２）让学生更直观地理解对称的含义．（二）偶函数㊁奇函数的定义和图像特征１．教师活动布置任务 利用软件作出两个函数：ｙ＝ｘ２，ｙ＝３ｘ的图像．２．学生活动独立完成任务（如图２）．图２３．师生讨论（１）偶函数定义：定义域关于原点对称，ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），这样的函数称为偶函数；偶函数的图像关于ｙ轴对称．（２）奇函数定义：定义域关于原点对称，ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），这样的函数称为奇函数；奇函数的图像关于原点对称．（３）观察图像可知：ｙ＝ｘ２是偶函数，ｙ＝３ｘ是奇函数．（４）观察图像可知：第一个函数ｙ＝ｘ２在（－ɕ，０］上随着ｘ增大，函数值ｙ却减小，我们就说该函数在（－ɕ，０］上单调递减，函数是（－ɕ，０］上的减函数；函数ｙ＝ｘ２在［０，＋ɕ）上随着ｘ的增大，函数值ｙ也增大，那么我们就称该函数在［０，＋ɕ）上单调递增，函数是［０，＋ɕ）上的增函数．第二个函数ｙ＝３ｘ在（－ɕ，＋ɕ）上随着ｘ的增大，函数值ｙ也增大，那么我们就称该函数在（－ɕ，＋ɕ）上单调递增，函数是（－ɕ，＋ɕ）上的增函数．４．设计意图创设轻松愉快的探索情境，通过手机作图软件，让学生更加直观地了解函数图像，更深刻地理解知识点，利用定义和图像法判断一个函数是偶函数还是奇函数，并利用函数图像说出函数的单调性，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣．（三）运用图像法判断函数的奇偶性１．教师活动请学生打开手机作图软件ＧｅｏＧｅｂｒａ，分别作出下列４个函数的图像，并讨论函数的奇偶性和单调性．（１）ｙ＝ｘ３；（２）ｙ＝２ｘ２＋１；（３）ｙ＝ｘ；（４）ｙ＝３ｘ＋１．各小组成员提供图像截图，发到学习平台的讨论区里．２．学生活动（１）利用手机作图软件作出函数图像，截图（如图３，４，５，６）发到班级的学习平台讨论区里．（２）观察图像，根据奇偶函数的定义和图像的特征，说出函数图像的对称性．（３）判断函数的奇偶性，写在本子上，拍照上传到学习平台讨论区．第一步：首先作图图３㊀㊀㊀１４５㊀数学学习与研究㊀２０２３０４图４图５图６第二步：看图说话图３：因为图像关于原点对称，所以是奇函数，函数在（－ɕ，＋ɕ）上单调递增，为增函数．图４：因为图像关于ｙ轴对称，所以是偶函数；函数在（－ɕ，０］上单调递减，为减函数，函数在［０，＋ɕ）上单调递增，为增函数．图５：因为图像既不关于ｙ轴对称，也不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；函数在［０，＋ɕ）上单调递增，为增函数．图６：因为图像既不关于ｙ轴对称，也不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；函数在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，为减函数．３．设计意图（１）营造积极向上的氛围，激发学生的学习热情．（２）让学生熟练运用手机作图软件，让学习变得更有趣，课堂变得更生动．（３）丰富评价方式，增加了课堂小组成员之间的互评，教师通过讨论区评价大家分享的学习成果，检查小组学习效果，在线评价，给出等级和评语．五㊁手机作图软件用于课堂教学的反馈学生很开心利用手机作图软件作出函数图像，他们接受新知识的能力强，喜欢探索研究，在整个学习过程中很投入，愿意借助平台和利用手机软件ＧｅｏＧｅｂｒａ学习．因此教师需要认真思考教学过程该如何设计㊁如何精心安排，另外，教师也需要与时俱进，借助新的教学手段开展课堂教学，让课堂生动起来，让学生获得更加深刻的学习体验．笔者在长期的一线教学中，有一个很深的感悟，就是要充分发挥学生的主观能动性，让学生的头脑动起来．教师的教学方式需要与时俱进，从过去的纯板书到多媒体，再到信息技术的平台教学，充分利用手机软件，才能让课堂教学效果得到很大的提升．现代的课堂是学生的课堂，让所有学生参与到课堂中㊁让他们主动探究才是未来发展的方向．对于教师来讲，如何创新思维㊁精心组织教学内容㊁选用合适的教学方式，如何开展教与学，都是需要深思的．总之，教师要让数学课堂动起来㊁活起来㊁热起来．ʌ参考文献ɔ［１］吴长兴．利用软件ＧｅｏＧｅｂｒａ助力数学核心素养的培育 以指数函数为例［Ｊ］．科技视界，２０２１（３１）：９４－９５．［２］陈强．ＧｅｏＧｅｂｒａ在中职数学教学中的有效运用研究［Ｊ］．现代职业教育，２０２１（４４）：１５６－１５７．［３］袁兰兰．基于Ｇｅｏｇｅｂｒａ的中职数学可视化教学实践［Ｊ］．职业，２０２１（１２）：８９－９０．［４］韦美成．基于ＧｅｏＧｅｂｒａ的中职数学探究教学的实践探索［Ｊ］．科技风，２０２１（９）：４４－４５．。
GeoGebra软件在中职数学课堂上的应用研究分析
GeoGebra软件在中职数学课堂上的应用研究分析罗静妮1，汤叶飞2，李真3（浙江信息工程学校，浙江湖州313000）［摘要］以往大多数教师都是使用几何画板在课堂上进行图像的绘制，而几何画板有很多的缺陷，比如在制作3D立体制图和计算方程不等式方面。
GeoGebra软件能够有效弥补传统几何画板的不足，GeoGebra拥有十分完善的指令输入功能，以及各种视图窗口，可以作为数学课堂设计的有效工具在一线教师中推广使用。
从课堂设计的各个环节进行研究，对GeoGebra在中职数学课堂的应用进行分析，希望能够将软件的真实作用在中职课堂中充分地发挥出来，进而提高中职数学课堂的教学质量和教学效率。
［关键词］GeoGebra软件；中职数学；课堂教学［中图分类号］G712［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2020）20-0员54-02学生在中职阶段学习数学的主要目的是培养自身的数学基础能力，为日后的数学学习打下牢固的基础，因此教师在进行数学教学时，要结合学生的真实学习水平来进行课堂教学，把控数学教学的重点难点，帮助学生掌握这些重点难点。
但就目前看来，大多数的中职数学教师对教学往往采取传统的教学模式，先让学生通过听讲、模仿，最后对知识进行记忆并运用，这样的教学模式让学生学习起来非常被动，不利于对知识的理解和记忆。
另外，由于这样的教学方法单一枯燥，导致学生对数学学习产生了厌恶感，学习数学的兴趣也逐渐消失。
针对这种情况可以在中职数学课堂中添加GeoGebra的应用，进而增强数学知识的直观效果，提高学生的学习兴趣和理解能力，从而有效地转变教学模式，使教学效率得到提高。
一、GeoGebra的特点GeoGebra是一款能用于数学教学的动态数学软件，而且是完全免费开放的，结合了几何、代数与微积分等多门学科，包含直线、向量、曲线以及函数等多种数学元素，能够让教师通过对知识的动态演示，使抽象的理论知识具体化，让学生能够直观认识。
geogebra与数学教学融合案例
geogebra与数学教学融合案例摘要：一、引言1.介绍GeoGebra 软件2.阐述GeoGebra 与数学教学融合的必要性和优势二、GeoGebra 的特点1.强大的数学功能2.丰富的图形库3.高度交互的用户界面三、GeoGebra 在数学教学中的应用1.几何学教学2.代数学教学3.数据与统计学教学四、具体案例分析1.GeoGebra 在平面几何中的应用2.GeoGebra 在立体几何中的应用3.GeoGebra 在函数图像分析中的应用五、GeoGebra 对数学教学的影响1.提高学生的学习兴趣2.培养学生的实际操作能力3.促进个性化教学六、结论1.总结GeoGebra 与数学教学融合的意义2.展望GeoGebra 在数学教育领域的未来发展正文：GeoGebra 是一款免费的数学软件，它集成了几何、代数、数据、统计等多种数学功能，可以广泛应用于数学教学的各个领域。
本文将详细介绍GeoGebra 的特点以及在数学教学中的应用和影响。
首先，GeoGebra 具有强大的数学功能。
它不仅可以进行基本的代数运算，还可以进行高级的微积分、线性代数等运算。
同时，GeoGebra 还具备丰富的图形库，可以绘制各种常见的几何图形和函数图像。
此外，GeoGebra 的用户界面高度交互，用户可以通过拖拽、点击等方式轻松地进行图形操作和参数设置。
在数学教学中，GeoGebra 可以发挥重要作用。
例如，在几何学教学中，GeoGebra 可以方便地绘制各种复杂的图形，帮助学生更好地理解几何概念；在代数学教学中，GeoGebra 可以用于解决线性方程组、二次方程等代数问题，同时可以直观地展示函数图像，帮助学生理解函数的性质；在数据与统计学教学中，GeoGebra 可以进行数据的可视化展示，让学生更直观地理解数据的分布和特征。
具体来说，GeoGebra 在数学教学中的应用案例有很多。
例如，在平面几何中，教师可以利用GeoGebra 向学生演示如何绘制一个正多边形，并探究正多边形的性质；在立体几何中，教师可以利用GeoGebra 让学生直观地观察三维图形，理解空间几何关系；在函数图像分析中，教师可以利用GeoGebra 展示函数的图像，让学生通过观察图像了解函数的性质。
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GeoGebra在高职微积分概念教学中的应用举例作者：陈婧张东海王晓锋来源：《中国教育技术装备》2017年第10期摘要在高职院校微积分教学中，概念的理解对后续学习影响较大，却正是学生的困难之处。
GeoGebra在微积分概念教学中优势明显，以极限、导数、定积分为例进行具体阐述。
关键词 GeoGebra；几何画板；高职院校；微积分中图分类号：G712 文献标识码：B文章编号：1671-489X（2017）10-0042-041 引言微积分是高职院校高等数学基础教学的核心内容，这门课程能够培养学生的逻辑思维、综合分析能力，也为其他后续课程的学习提供了有力的数学工具。
但这门课程对高职校学生尤其是文科生来说有一定难度，使得学生在学习过程中容易产生畏难情绪，而且有的学生即使在计算方面取得高分，也不能正确理解相关概念及其相互关系[1]。
“磨刀不误砍柴工”，正确理解概念对后续知识的融会贯通、知识的应用、能力的迁移帮助很大。
此外，对于高职院校文科学生，有的知识点根据教学大纲要求只需达到“了解”的认知要求。
GeoGebra是一个结合代数、几何、图形、概率统计、数据表和计算的免费动态数学软件，比几何画板操作更简单，同时具备几何画板没有的符号计算、微分、统计等功能。
在微积分的教学中利用GeoGebra，可以帮助学生更好地理解概念以及直观了解一些结论。
2 概念教学的重要性美国科罗拉多州立大学Kelly K. Chappell[2-4]采用量化研究和质化研究结合的方法，探讨教育环境（基于概念教学的或者传统的）对学生概念理解、应用技能、迁移能力等方面的影响。
结论指出：概念性的理解有助于解题技巧的掌握；基于概念的教学方法在保证学生解题技巧的同时，加深了学生的理解；理解而掌握的知识与程序性知识更容易推广到陌生的领域[5]。
3 GeoGebra在概念教学中的应用GeoGebra在极限概念教学中的应用函数y=f（x），当x→x0时极限为A的定义为：任意给定的正数ε，总存在一个正数δ=δ（ε），使得当0函数极限的定义描述较为抽象，同时也是学生初次接触高等数学中类似概念，所以在理解过程中有一定难度。
利用GeoGebra制作课件，可以直观地帮助学生理解该定义。
课件完成步骤要点如下：1）在绘图区用“描点”工具找点A、B、C、D、E、F（用以确定所需图象的大致位置）；2）在命令框中输入多项式拟合[A，B，C，D，E，F，5]，产生函数f（x）的图象和函数式；3）在命令框中输入描点[{1，f（1）}]，在绘图区得到点M（1，2.77），过M分别作x、y轴的垂线段；4）创建滑动条，名称为δ，最小值0，最大值0.5，增量为0.01；5）在命令框中输入描点[{（1+δ），f（1+δ）}]，在绘图区得到点N，其横坐标为（1+δ），纵坐标为f（1+δ），过N分别作x、y轴的垂线段；6）在命令框中输入描点[{（1-δ），f（1-δ）}]，在绘图区得到点G，其横坐标为（1-δ），纵坐标为f（1-δ），过G分别作x、y轴的垂线段；7）隐藏点A、B、C、D、E、F，设置垂线段为虚线，用不同颜色区分；8）在命令框中输入公式文本[M]、公式文本[N]、公式文本[G]，在绘图区出现M、N、G 的坐标（如图1所示）；9）点击“文件→导出→动画GIF”，生成δ变化时，点N、G移动的GIF动画。
在课堂教学中，可以拖动滑动条或者右击滑动条，选择“启动动画”进行现场动态演示，也可以直接将GIF文件插入在PPT课件中自动演示。
学生可以从图象上直观地感受到δ趋于0，点N、G越接近，也可以从点M、N、G的坐标上看到这一变化。
此外，可以在命令框内输入“极限[f（x），1]”，在代数区产生数字2.77，恰好是点M的纵坐标，验证了。
GeoGebra在导数概念教学中的应用函数y=f（x）在点x0处的导数定义为：设y=f（x）在x0处的某邻域内有定义，且当自变量x0处有增量Δx时，若极限存在，就称其值为y=f（x）在x0处的导数。
这个定义的描述是比较抽象的，学生较难理解。
其实导数作为微分学中最主要的概念，是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学与几何学过程中建立的。
把这个定义回归到具体问题中更容易理解，常见的例子有物体作变速直线运动的速度（如自由落体运动）、切线问题。
可以利用GeoGebra制作有关切线斜率的课件，直观地帮助学生理解该定义，切线斜率也恰好是导数的几何意义。
课件完成步骤要点如下：1）在命令框中输入，在绘图区可得函数图象；2）在命令框中输入x0=2；3）在命令框中输入描点[{x0，f（x0）}]，在绘图区得A点，其横坐标为2，纵坐标为0.67；4）创建滑动条，名称为Δx，最小值-2，最大值2，增量为0.05；5）在命令框中输入描点[{x0+Δx，f（x0+Δx）}]，在绘图区得点B，其横坐标2+Δx，纵坐标f（2+Δx）；6）在命令框中输入“直线[A，B]”，在绘图区得直线AB；7）在命令框中输入，即为割线AB的斜率；8）在命令框中输入公式文本[k]，在绘图区得k的值（如图2所示）；9）点击“文件→导出→动画GIF”，生成Δx变化时，点B移动的GIF动画。
在课堂教学中，可以拖动滑动条或者右击滑动条，选择“启动动画”进行现场动态演示，也可以直接将GIF文件插入在PPT课件中自动演示。
从课件上可见，当Δx趋于0时，B趋于A，割线渐变为切线。
k的值趋于2，即在点A处的切线斜率为2。
让学生体会逼近思想在导数概念的教学中的作用，加深对概念的理解。
GeoGebra在定积分概念教学中的应用在讲解定积分概念时，是通过求曲边梯形面积等问题从而归纳出“和的极限”这个模式。
具体步骤是分割、近似求和、取极限。
这种和的模式比较抽象复杂，定义的叙述也比较长。
用传统教学手法，教师只能“言传”，学生只能“意会”，缺乏直观感受，学生在理解过程中有一定的困难。
而利用GeoGebra制作课件进行动态演示，直观生动，学生容易理解。
下面介绍课件完成步骤要点。
1）在命令框中输入f（x）=x2。
在绘图区可得函数图象。
2）创建滑动条，名称为n，最小值1，最大值100，增量为1。
3）在命令框中输入上和[f，0，2，n]。
在绘图区得到n个以分割区间右端点处的函数值为高，宽为的小矩形，显示a=3.08（当n=10时），即上和的值。
4）在命令框中输入下和[f，0，2，n]。
在绘图区得到n个以分割区间左端点处的函数值为高，宽为的小矩形，显示b=2.28（当n=10时），即下和的值。
5）在工具栏中选择“复选框按钮”，在绘图区单击弹出对话框中，输入标题“上和”。
在“从下列列表、代数区或绘图区中选择对象”下拉框中，选择“数值a：上和[f，0，2，n]”。
在工具栏中选择“文本”，在绘图区单击弹出对话框，输入“上和=”，再在对象下拉框中选择a。
同理制作下和复选框按钮（如图3所示）。
利用这个课件可以直观演示：当n越来越大时，小矩形面积之和越来越接近曲边梯形的实际面积，也可以从动态数据上验证该结论。
此外，教材中往往是以各小区间的左端点对应函数值作为小矩形的高，即对应“下和”命令，所求面积和比曲边梯形面积小。
而利用软件中的“上和”命令，可以以各小区间的右端点对应函数值作为小矩形的高，所求面积和比曲边梯形面积大。
但是这两种不同的取近似方式下，只要n越来越大时，都是越来越接近曲边梯形实际面积的，由此也验证了分点的任意性。
利用复选框按钮，可以根据需要分别显示上和和下和。
图4为n=20时只显示上和的情况，图5为n=30时只显示下和的情况。
4 GeoGebra在展示结论方面的应用对于高职院校文科学生，有的知识点根据教学大纲，只需达到“了解”的认知要求。
GeoGebra整合了代数、几何、微积分，代数区的代数对象和绘图区的几何对象是一一对应的，同步变化，操作方便。
借助于GeoGebra可以方便快捷地在课堂上现场演示，让学生直观了解相关结论。
同时，由于软件在这部分操作简单，学生自己也可以尝试进行相关结论的验证和探索，培养他们的自我学习能力。
如重要极限之一，可以弱化其推导过程，让学生掌握结论即可。
在命令框中输入，在绘图区得此函数图象。
在命令框中输入y=e，得到直线y=e的图象（图6）。
让学生观察x→∞时，此函数的变化趋势。
此外，在命令框中输入“极限[（1+（1/x））^x，∞]”，可在代数区直接计算出此函数的极限。
（注：不能得精确值e，只能得近似值2.72。
）再如函数，当x→0时是振荡无极限的，手工绘图很难实现，用软件作图一目了然（图7）。
在空间解析几何部分，二元函数所对应的图形通常是曲面，手工绘图烦琐且不精准；利用GeoGebra的3D功能，只需输入解析式，可直接得到对应的立体图形。
如在命令框中输入z=x2+y2，在3D绘图区得到对应的抛物面。
5 结语在微积分教学中，学生对概念的理解对后续学习有重要意义，却也是高职学生的困难所在。
GeoGebra可以弥补传统教学方式的不足之处，一方面让叙述晦涩、难以理解的概念变得直观、易理解，从而提高课堂教学效率，调动学生的学习积极性；另一方面，在重要极限、空间解析几何等方面其展示性能优越，且操作方便，可以让学生自行研究探索，对培养学生的探究创新能力有很大帮助。
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