【高考模拟】江苏省连云港市、徐州市、宿迁市2017届高三第三次模拟考试数学试题含答案

苏北三市高三年级第三次模拟考试 2017届高三年级第三次模拟考试(三)数学参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n∑n i ＝1x i . 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{0，1，2，7}，则集合A∪B 中元素的个数为________．2. 设a ，b ∈R ，1＋i 1－i＝a ＋b i(i 为虚数单位)，则b 的值为________．(第5题)3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y23＝1的离心率是________．4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5. 如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．6. 已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是________．7. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3x ＋y≥2，则yx的取值范围是________．8. 若函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )在上的单调减区间是________．9. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1＝1q 2，且S 5＝S 2＋2，则q 的值为________．10. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥PABA 1的体积为________．(第10题)(第11题)11. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a>1)的图象上，则实数a 的值为________．12. 已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a>0，则实数a 的取值范围是________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是________．14. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB→取得最大值时，ba的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1) 求cos B 的值； (2) 求CD 的长．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于点P ，C)，平面ABE 与棱PD 交于点F.(1) 求证：AB∥EF；(2) 若平面PAD⊥平面ABCD ，求证：AF⊥EF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1) 若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2) 设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分16分)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆D 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且AB AD ≥12.设∠EOF＝θ，透光区域的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域．(2) 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．19. (本小题满分16分)已知两个无穷数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，a 1＝1，S 2＝4，对任意的n∈N *，都有3S n ＋1＝2S n ＋S n ＋2＋a n .(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若{b n }为等差数列，对任意的n ∈N *，都有S n >T n .证明：a n >b n ； (3) 若{b n }为等比数列，b 1＝a 1，b 2＝a 2，求满足a n ＋2T n b n ＋2S n＝a k (k ∈N *)的n 值．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝m x＋x ln x (m >0)，g (x )＝ln x －2. (1) 当m ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2) 设函数h (x )＝f (x )－xg (x )－2，x >0.若函数y ＝h (h (x ))的最小值是322，求m的值；(3) 若函数f (x )，g (x )的定义域都是，对于函数f (x )的图象上的任意一点A ，在函数g (x )的图象上都存在一点B ，使得OA ⊥OB ，其中e 是自然对数的底数，0为坐标原点．求m的取值范围．(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第三次模拟考试(三)数学附加题21. 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，．并作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . (本小题满分10分)如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上．若∠ACN＝3∠ADB ，求∠ADB 的度数．B . (本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值．C. (本小题满分10分)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ≤2π)上．当线段AB最短时，求点B的极坐标．D. (本小题满分10分)已知a，b，c为正实数，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求证：a＋b＋c≥333.【必做题】第22题、第23题．每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，点F(1，0)，直线x＝－1与动直线y＝n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y＝n的交点为P.(1) 求动点P的轨迹E的方程；(2) 过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．23. (本小题满分10分)已知集合U＝{1，2，…，n}{n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B ＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)．(1) 写出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 求f(n).(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第三次模拟考试(三)(苏北三市)数学参考答案一、填空题1. 52. 13.72 4. 16 5. 6 6. 265(或 5.2) 7. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23⎝⎛⎭⎪⎫或－13≤y x ≤23 8. (π12，7π12)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 9. 5－12 10. 94 3 11. 2 12. (1，5](或1<a≤5) 13. (或－2≤m ≤2) 14. 2＋ 3二、 解答题15. (1) 在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.(2分) 同理可得，sin ∠ACB ＝1213. (4分)所以cos B ＝cos ＝－cos (A ＋∠A CB)＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB (6分) ＝35×1213－45×513＝1665.(8分) (2) 在△ABC 中，由正弦定理得，AB ＝BCsin Asin ∠ACB ＝1335×1213＝20.(10分)又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5. (12分)在△BCD 中，由余弦定理得， CD ＝BD 2＋BC 2－2BD·BC cos B ＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2. (14分)16. (1) 因为ABCD 是矩形，所以AB∥CD.(2分) 又因为AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB∥平面PDC.(4分) 又因为AB ⊂平面ABEF ， 平面ABEF∩平面PDC ＝EF ， 所以AB∥EF.(6分)(2) 因为ABCD 是矩形，所以AB⊥AD. (8分)又因为平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， AB ⊂平面ABCD ，所以AB⊥平面PAD. (10分)又AF ⊂平面PAD ，所以AB⊥AF. (12分) 又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.(14分)17. (1) 因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1， 所以F 的坐标为(1，0)，(1分)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2， y 2＝－3m －61＋m 24＋3m2. (4分) 若QF ＝2PF ，则－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(6分)(2) 由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2)，(8分)所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1（my 2－1）y 2（my 1＋3） (12分)＝32（y 1＋y 2）－y 132（y 1＋y 2）＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.(14分)18. (1) 过点O 作OH⊥FG 于点H ，则∠OFH＝∠EOF＝θ， 所以OH ＝OF sin θ＝sin θ， FH ＝OF cos θ＝cos θ.(2分) 所以S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF＝2sin θcos θ＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＝sin 2θ＋2θ，(6分) 因为AB AD ≥12，所以sin θ≥12，所以定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2.(8分)(2) 矩形窗面的面积为S 矩形＝AD·AB＝2×2sin θ＝4sin θ.则透光区域与矩形窗面的面积比值为 2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ2sin θ.(10分)设f(θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，π6≤θ<π2. 则f′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ2sin 2θ＝sin θ－θcos θ－sin 3θ2sin 2θ＝sin θcos 2θ－θcos θ2sin 2θ＝cos θ⎝⎛⎭⎪⎫12sin 2θ－θ2sin θ，(12分)因为π6≤θ<π2，所以12sin 2θ≤12，所以12sin 2θ－θ<0，故f′(θ)<0，所以函数f(θ)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2上单调减． 所以当θ＝π6时，f(θ)有最大值π6＋34，此时AB ＝2sin θ＝1(m )．(14分)答：(1) S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2；(2) 透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB 的长度为1m .(16分) 19. (1) 由3S n ＋1＝2S n ＋S n ＋2＋a n ，得2(S n ＋1－S n )＝S n ＋2－S n ＋1＋a n ， 即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . (2分) 由a 1＝1，S 2＝4，可知a 2＝3.所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． 故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(4分)(2) 证法一：设数列{b n }的公差为d ，则T n ＝nb 1＋n （n －1）2d ，由(1)知，S n ＝n 2.因为S n >T n ，所以n 2>nb 1＋n （n －1）2d ，即(2－d)n ＋d －2b 1>0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－d≥0，d －2b 1>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧d≤2，2b 1<d.(6分)又由S 1>T 1，得b 1<1，所以a n －b n ＝2n －1－b 1－(n －1)d ＝(2－d)n ＋d －1－b 1 ≥(2－d)＋d －1－b 1＝1－b 1>0.所以a n >b n ，得证. (8分)证法二：设{b n }的公差为d ，假设存在自然数n 0≥2，使得an 0≤bn 0， 则a 1＋(n 0－1)×2≤b 1＋(n 0－1)d ，即a 1－b 1≤(n 0－1)(d －2)， 因为a 1>b 1，所以d>2.(6分)所以T n －S n ＝nb 1＋n （n －1）2d －n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2－1n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 2n ，因为d 2－1>0，所以存在N 0∈N *，当n >N 0时，T n －S n >0恒成立．这与“对任意的n ∈N *，都有S n >T n ”矛盾！ 所以a n >b n ，得证. (8分)(3) 由(1)知，S n ＝n 2.因为{b n }为等比数列，且b 1＝1，b 2＝3， 所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以b n ＝3n －1，T n ＝3n－12.(10分)则a n ＋2T n b n ＋2S n ＝2n －1＋3n －13＋2n ＝3n ＋2n －23＋2n ＝3－6n 2－2n ＋23＋2n， 因为n ∈N *，所以6n 2－2n ＋2>0，所以a n ＋2T nb n ＋2S n<3.(12分)而a k ＝2k －1，所以a n ＋2T nb n ＋2S n＝1，即3n －1－n 2＋n －1＝0(*)． 当n ＝1，2时，(*)式成立；(14分) 当n ≥2时，设f (n )＝3n －1－n 2＋n －1，则f (n ＋1)－f (n )＝3n－(n ＋1)2＋n －(3n －1－n 2＋n －1)＝2(3n －1－n )>0，所以0＝f (2)<f (3)<…<f (n )<…. 故满足条件的n 的值为1和2.(16分)20. (1) 当m ＝1时，f(x)＝1x ＋x ln x ，f ′(x)＝－1x2＋ln x ＋1.(2分)因为f′(x)在(0，＋∞)上单调增，且f′(1)＝0， 所以当x>1时，f ′(x)>0；当0<x<1时，f ′(x)<0. 所以函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．(4分)(2) h(x)＝m x ＋2x －2，则h′(x)＝2－m x 2＝2x 2－mx 2，令h′(x)＝0得x ＝m 2， 当0<x<m2时，h ′(x)<0，函数h(x)在(0，m2)上单调减；当x>m2时，h ′(x)>0，函数h(x)在(m2，＋∞)上单调增． 所以min ＝h(m2)＝22m － 2.(6分) ①当2(2m －1)≥m 2，即m≥49时， 函数y ＝h(h(x))的最小值h(22m －2)＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2（2m －1）＋2（2m －1）－1＝322，即17m －26m ＋9＝0，解得m ＝1或m ＝917(舍)，所以m ＝1；………8分)②当0<2(2m －1)<m 2，即14<m<49时， 函数y ＝h(h(x))的最小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝2(2m －1)＝322， 解得m ＝54(舍)．综上所述，m 的值为1.(10分)(3) 由题意知，k OA ＝m x 2＋ln x ，k OB ＝ln x －2x .考虑函数y ＝ln x －2x ，因为y′＝3－ln x x 2>0在上恒成立， 所以函数y ＝ln x －2x在上单调增，故k OB ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－1e .(12分)所以k OA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e ，即12≤m x 2＋ln x ≤e 在上恒成立，即x 22－x 2ln x ≤m ≤x 2(e －ln x)在上恒成立． 设p(x)＝x 22－x 2ln x ，则p′(x)＝－2x ln x ≤0在上恒成立，所以p(x)在上单调减，所以m≥p(1)＝12. (14分)设q(x)＝x 2(e －ln x)，则q′(x)＝x(2e －1－2ln x )≥x(2e －1－2lne )>0在上恒成立， 所以q(x)在上单调增，所以m≤q(1)＝e .综上所述，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e . (16分) 附加题21. A. 连结AN ，DN . 因为A 为弧MN 的中点， 所以∠ANM ＝∠ADN . 而∠NAB ＝∠NDB ，所以∠ANM ＋∠NAB ＝∠ADN ＋∠NDB ， 即∠BCN ＝∠ADB . (5分) 又因为∠ACN ＝3∠ADB ，所以∠ACN ＋∠BCN ＝3∠ADB ＋∠ADB ＝180°， 故∠ADB ＝45°.(10分)B. 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.(5分)所以矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4，令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.(10分) C. 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A (2，π2)的直角坐标为(0，2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.(4分)AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 所以点B 的直角坐标为(－1，1)．(8分) 所以点B 的极坐标为(2，34π)．(10分)D. 因为a 3＋b 3＋c 3＝a 2b 2c 2≥33a 3b 3c 3， 所以abc ≥3，(5分)所以a ＋b ＋c ≥33abc ≥333，当且仅当a ＝b ＝c ＝33时，取“＝”．(10分)22. (1) 因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直，所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离． 连结PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点，所以MP ＝PF. 所以点P 的轨迹是抛物线．(2分) 焦点为F(1，0)，准线为x ＝－1. 所以曲线E 的方程为y 2＝4x. (5分)(2) 由题意，过点M(－1，n)的切线斜率存在，设切线方程为y －n ＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0，所以Δ1＝16－4k(4k ＋4n)＝0，即k 2＋kn －1＝0(*)，(8分) 因为Δ2＝n 2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k 1k 2， 因为k 1·k 2＝－1，所以∠AMB＝90°，为定值. (10分) 23. (1) f(2)＝1，f(3)＝6，(2分) f(4)＝25. (4分)(2) 解法一：设集合A 中有k 个元素，k ＝1，2，3，…，n －1. 则与集合A 互斥的非空子集有2n －k－1个．(6分)于是f(n)＝12k ＝1n －1C k n (2n －k －1)＝12[错误!C 错误!－C 错误!－C 错误!＝2n－2，所以f(n)＝12＝12(3n －2n ＋1＋1)．(10分)解法二：任意一个元素只能在集合A ，B ，C ＝∁U (A∪B)之一中， 则这n 个元素在集合A ，B ，C 中，共有3n种；(6分) 其中A 为空集的种数为2n，B 为空集的种数为2n， 所以A ，B 均为非空子集的种数为3n－2×2n＋1，(8分) 又(A ，B)与(B ，A)为同一组“互斥子集”， 所以f(n)＝12(3n －2n ＋1＋1)．(10分)。