40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)

3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
)
(x
x
1 0 )f
(x
0
)
.
4.
设由参数方程 yx
arctan t ln(1 t2) 确定 y 是 x 的函数,
求 dy , d2y dx dx 2
.
5. 设函数 f (x) x 2 ln(1 x 2) , 求当 n 2 时, f (n)(0) 的值.
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
)
(x
x
1 0 )f
(x
0
)
.
解(1) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
f (x)
f (x0)
f (x0)(x
x0)
f (x0)(x 2
x0)2
o((x
x0)2) (x
b2
(*)
(1 a2) 3 2ab 2 b2
lim
x
x2
x x 2 3x 2 ax b
x2
x2
0
因为
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x
lim
x2
3x x2
2
ax x2
b
0
x
lim
(1
a
2
)
3 2ab x
2
b2 x2
1 a2
0
a
1.
其中已用到a 0 . 将a 1 代入式(*), 得:
x0)
1
f (x) f (x0) (x
1 x0)f (x0)
f (x0)(x 2
(f (x0))2(x
x0)2 x0)2
o((x o((x
x0)2) x0)2)
f (x0) 2
(f (x0))2
o(1) (x
o(1)
x0)
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lim
x x0
1 f (x)
1
21! x
1 x3 3!
o(x 3)2
1 (x 4!
o(x))4
o(x 4 )
1 1x2 2
1 6
1 4!
x
4
o(x 4 ) (x
0)
故
lim cos(sin x) cos x
1x4 lim 6
o(x 4 )
1.
x 0
x4
x 0
x4
6
解(2) 由题意得:
lim
cos(sin x) cos x
一、(本题 36 分, 每小题 6 分) 计算题(给出必要的计算步骤)
1.
设数列 {an } 为正的有界数列,
求 lim n a1
an a2 an
.
提示 考虑如下几个数列:
(1) an
1;
(2) an
10,,
n n
2k 2k
; 1
(3) an
1; n
(4) an
1; n(n 1)
(5) an
2. 设 f (x) 在[0,) 上二阶可导, f (0) 1, f (0) 1, f (x) f (x) , 证明: 当 x 0 时, f (x) ex .
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中国科学技术大学 2019~2020 学年第一学期
数学分析(B1) 期中考试 参考答案
2019 年 11 月 16 日
解 由题意得,
df (x 2) 2xf (x 2), d2f (x 2) 2f (x 2) 4x 2f (x 2) d2f (x 2)
2f (0) 2
dx
dx 2
dx 2 x 0
由于 g(x) 是 f (x) 的反函数,
g(0) 0, g(0)
f
1 (0)
1,
故
d2g(x 2) 2g(x 2) 4x 2g(x 2) d2g(x 2)
中国科学技术大学 2019~2020 学年第一学期
数学分析(B1) 期中考试
2019 年 11 月 16 日
一、(本题 36 分, 每小题 6 分) 计算题(给出必要的计算步骤)
1.
设数列 {an } 为正的有界数列,
求 lim n a1
an a2 an
.
2. 若 lim x 2 3x 2 ax b 0 , 求a,b 的值. x
(*) lim
x
(3 2b) 2 b2 x
3 2b 0 3 2b 0 b 3 .
x 2 3x 2 x b
2
2
x
x
经检验, a 1, b 3 时, 原式成立, 故a 1, b 3 .
2
2
解(2)
lim
x
x 2 3x 2 ax b
x
lim
x2
f (x0)
(x
1 x 0 )f
(x0)
f (x0) 2(f (x0))2
.
解(2) 由 L’Hospital 法则,
lim
x x0
1
f (x)
f (x0)
(x
1
x0)f (x0)
lim (x x0)f (x0) (f (x) f (x0)) x x0 (f (x ) f (x0))(x x0)f (x0)
2g(0) 2
dx 2
dx 2 x 0
说明 注意反函数的求导法则: df 1(x)
1
而不是 1 .
dx
f (f 1(x))
f (x)
三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
4.
设由参数方程 yx
arctan t ln(1 t2) 确定 y 是 x 的函数,
求 dy , d2y dx dx 2
.
解 由题意得,
dx 1 , dy 2t dt 1 t2 dt 1 t2
故
dy dy dt 2t (1 t2) 2t dx dt dx 1 t2
d2y dx 2
②若 {Sn } 有界, 则 {Sn } 收敛, 记为 Sn S (n ) . 则
综上,
lim
n
an
nlim(Sn
Sn1)
S
S
0.
lim
an
0.
n a1 a2 an
错解 直接用夹逼定理, 写出诸如 inf an 0 的式子, 这显然是错误的( inf an 0 ).
2. 若 lim x 2 3x 2 ax b 0 , 求a,b 的值. x
2 sin sin x x
lim
2
sin sin x x 2
x 0
x4
x 0
x4
lim
2
sin x 2
x
sin
x 2
x
x 0
x4
lim (sin2 x x 2)
x 0
2x 4
lim
x
1 x3 3!
o(x 3)2
x2
x 0
2x 4
lim x 4 1 . x 0 6x 4 6
说明 (1)运用四次 L’Hospital 法则, 其中 75%的同学算错了, 25%的同学得到了正确的答案;
(2)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 但导函数 f (x) 在 x 0 处不连续(需说明理由)?
(3)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 且导函数 f (x) 在 x 0 处连续(需说明理由)?
解(1) 显然a 0 , 否则 lim x 2 3x 2 ax b lim x 2 3x 2 .
x
x
lim
x
x 2 3x 2 ax b lim (x 2 3x 2) (ax b)2 x x 2 3x 2 (ax b)
lim (1
x
a2)x 2 (3 2ab)x 2 x 2 3x 2 (ax b)
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f (n)(0) x 2(ln(1 x 2))(n)
n 1
2x(ln(1 x 2))(n1)
n 2
2(ln(1 x 2))(n2)
x 0
n(n 1)(n 3)!((1)n3 1)
2n
2 0,
! n
,
n n
2k 2k
2 (k 1
*
)
注意 运用 Leibniz 公式时, 不要遗漏二项式系数.
d dt
dy dx
dt dx
ห้องสมุดไป่ตู้
2(1 t2)
5. 设函数 f (x) x 2 ln(1 x 2) , 求当 n 2 时, f (n)(0) 的值.
提示 运用 Leibniz 公式.
解 由 Leibniz 公式,
n
(fg)(n)
n k
f (k )g(nk )
k 0
(ln(1 x 2))(n) (ln(1 x) ln(1 x))(n) (1)n1(n 1)!(1 x)n (n 1)!(1 x)n
3x
2
x
3 2
(a
1)x
b
3 2
0
注意到,
x
lim
x2
3x
2
x
3 2
lim
x
1
4
0
x 2 3x 2 x 3
2
从而,
x
lim
(a
1)x
b
3 2
0
ab
1 3 2
0 0
ab
1 3
2
故a 1, b 3 . 2
解(3) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
x 2 3x 2 x
三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
(2)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 但导函数 f (x) 在 x 0 处不连续(需说明理由)?
lim
f (x0) f (x)
(1)
xx0 f (x0)(f (x) f (x0)) (x x0)f (x0))
f (x) f (x0)
lim
x x0
f
(x 0 )
f (x) x
x
x0 f (x0) x0
f
(x 0 )
f (x0) (2) 2(f (x0))2
说明 上式(1)用到 L’Hospital 法则, (2)运用的是导数的定义. 错解 (1)运用带 Lagrange 余项的 Taylor 定理; (2)直接运用两次 L’Hospital 法则. 出现上述错误的原因是, f (x) 在 x0 处二阶可导只能说明 f (x) 在 x0 附近存在一阶导数, 但在 x0 附近不 一定存在二阶导数.
五、(本题 12 分, 每小题 6 分) 设函数 f (x) 在区间[a,) (a 0)上有有界的导函数, 证明:
(1)函数 f (x) 在[a,) 上一致连续. (2)函数 f (x) 在[a,) 上一致连续.
x 六、(本题 12 分, 每小题 6 分)
1. 设 f (x) 在[0,) 上一阶可导, f (0) 1, f (x) f (x) , 证明: 当 x 0 时, f (x) ex .
1 n2
.
解 记 Sn a1 a2 an , 则 {Sn } 单调递增.
①若 {Sn } 无界, 则 Sn (n ) , 又 M 0, an M , 故
0
an
M
a1 a2 an Sn
由 lim M 0 及两边夹法则知, n Sn
lim
an
0.
n a1 a2 an
(2)运用 Taylor 定理, 其中 50%的同学在展开时错了, 一部分同学算得 1 后算错了. 3!
第 5 页, 共 9 页
二、(本题 12 分) 设函数 f (x) 在 x 0 处二阶可导, 满足 f (0) 0, f (0) 1 , 并且 f (x) 有反函数 g(x), 求
f (x 2)和 g(x 2) 在 x 0 处的关于 x 的二阶导数的值.
6. 求极限 lim cos(sin x) cos x .
x 0
x4
解(1) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
sin x x 1 x 3 o(x 3) (x 0) 3!
cos x 1 1 x 2 1 x 4 o(x 4 ) (x 0) 2! 4!
cos(sin x)
(3)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 且导函数 f (x) 在 x 0 处连续(需说明理由)?
四、(本题
10
分)
设函数 f (x) 在 [a,b]上连续,
{xn } 是区间 [a,b]上的点列,
且 lim
n
f (xn )
A,
证明:
存在
x0 [a,b] , 使得 f (x0) A .
6. 求极限 lim cos(sin x) cos x .
x 0
x4
二、(本题 12 分) 设函数 f (x) 在 x 0 处二阶可导, 满足 f (0) 0, f (0) 1 , 并且 f (x) 有反函数 g(x), 求
f (x 2)和 g(x 2) 在 x 0 处的关于 x 的二阶导数的值.
1 3 2 x x2
x
1
1 2
3 x
2 x2
o
3 x
2 x2
x
3 o(1) (x 2
)
lim x
x 2 3x 2 ax b
x
lim
x
3 2
ax
b
0
ab
1 3
2
说明 进行分子有理化后, 应当对分母进行讨论, 这是非常重要的.
另, 式(*)分母趋于无穷, 无法直接推出分子趋于 0 , 例如, lim x 0 , 但分子趋于无穷. x x 2