浙江省高三“五校联考”考试参考答案

2020学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案
1-10.CBCADCDBBA
11.{|1}x x ≠，{|12}x x << 12.
43π，1
2
13.2y x =±，83
14.54e -，(27,12]
(11,)---+∞ 15.
43 16.1
2
17.335
[,]412
18.解：1cos 2()sin (sin )22-=+
=x f x x x x x 1sin(2)62π=-+x (3)
分
由
32222
6
2
π
π
π
ππ+≤-
≤
+k x k ，∈k Z 得
53
6
π
π
ππ+≤≤
+k x k ，∈k Z ∴()f x 的单调递减区间为5[
,
]3
6
k k k Z π
π
ππ++∈ ……………6分 （2）∵13()sin(2)6
22π
=-
+
=f A A ，则sin(2)16π
-=A ， ∵0π<<A ，∴1126
6
6π
π
π-<-
<
A ， 262ππ-=A ，解得3
π
=A . ……………8分 法一： ∵2=a ，3
π
=
A ，
由余弦定理得，
2222cos
3
a b c bc π
=+-，即224b c bc +-= ……10分
∴2
()43b c bc +-=，则2
2
()43(
)2
b c b c ++-≤ …………12分 又∵2b c +>，∴24b c <+≤ …………13分 ∴△ABC 周长的范围是(6,8] …………14分
法二：
由正弦定理得2sin sin sin a b c
R A B C
=
===
∴sin )b c B C +=
+ …………10分
∵23sin sin sin sin(
)sin )3226
B C B B B B B ππ+=+-=+=+ ………12分 又∵2(0,
)3
B π∈，∴1
sin()(,1]62B π+∈，∴(4,6]b c +∈ …………13分
∴△ABC 周长的范围是(6,8] …………14分 19．（1）
BC AB
AM PB PA ABCD BC PA BC PAB AM BC AM PBC BC ABCD AB PA A PB BC B AM PAB PC PBC ⊥⊥⎫⎫⎫
⎫⊥⎫⎪⎪⎪⎪
⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⎬⎬
⊂⎭⎪⎪⎪⎪==⊂⊂⎭⎭⎭⎭面面面面面面 =PC AM
PC AN PC AMN AM AN A ⇒⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⎭
面 ………7分
（2）方法一：作DE AC E ⊥于，EF PC F ⊥于，连DF ，
PA ABCD ⊥面，
PAC ABCD ∴⊥面面，DE PAC ∴⊥面，
D
DE PC ∴⊥，EF PC ⊥，EF DE E =，PC DEF ∴⊥面，DF PC ∴⊥，
DFE ∴∠是二面角D PC A --的平面角，………11分
2PA AD ==
，AB =
AC ∴=，
30PCA ∴∠=
︒DE ∴=
，CE =，
EF =
tan DE DFE EF ∴∠== DFE ∴∠是二面角D PC A --
. ………15分
方法二：建立坐标系（以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴）
.
(0,0,0),(0,(2,(2,0,0),(0,0,2)A B C D P (0,22,0),(2,22,2),(0,0,2)DC PC AP ==-=
平面DPC 的法向量1(1,0,1)n =，平面APC 的法向量2(2,1,0)n =-
设二面角D PC A --的平面角为α，
12cos |
cos ,|n n α=<>=
tan α= 20. （1）证明：
1222a a +-＝，23210a a +＝，两式作差得112c =…………3分
对任意*n N ∈，21
21223
1n n n a a ---++＝①，
2221231n n n a a ++＝＋② …………2分
②－①，得21212134n n n a a -+-⨯-=，即21
34n n c -⨯=，
于是1
4n n
c c +=.所以{}n c 是等比数列． …………7分 （2）证明当*n N ∈且2n ≥时，
2113153752123()()()()n n n a a a a a a a a a a =+-+-+-+⋅⋅⋅-+－－－
22131
(19)9292
2129n n --=+++++⋅⋅⋅=⋅+ …………10分
由(1)得11
2339321922n n n a --⋅++=-⋅+，所以2194n n a -= …………12分
1
2123(19)4n n n a a --+=-，得2391()48
n n S n -=- …………15分
21.解：（1
）由已知c e a =
=
，2b =，222a b c =+
得2b a ==，故椭圆C 的22
142
x y +=；……………………5分
（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则
由2224x y y kx m
⎧+=⎨=+⎩得()222
214240k x mkx m +++-= 2121222424
,2121
mk m x x x x k k -⇒+=-=
++，点O 到直线l
的距离d =
1122S d AB =⋅⋅=
()2222422
21m k m k ++-=≤=
+S 22242m k m =+-即2221m k =+，① ……………10分
此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m
+==-=-=+=-+=+，
法一：即00001,22x m m k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102
x y y +=≠，
即点M 的轨迹为椭圆()2
21:102
x C y y +=≠ ………13分
且点N 恰为椭圆1C 的左焦点，则MN
的范围为)
1 ……………15分
法二：MN ==
由①得k
MN m
===- ………13分 设
k t m =代入2221m k =+得22221m m t =+，即22(12)1t m -=，22
1
012m t =>-
∴22t -
<<
，即22
k m -<<
∴)
1MN ∈
……………15分
22、解答：（Ⅰ）当2a =时，
()2sin sin 2f x x x =+，于是
()2cos 2cos22(1cos )(2cos 1)f x x x x x '=+=+- …………3分
于是
()0f x '>，解得(0,)3x π∈；()0f x '<，解得(,)3
x ππ∈
即(0,
)3x π
∈函数()f x 单调递增，(,)3
x π
π∈函数()f x 单调递减 …………6分
（Ⅱ）当1a =时，
()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意2(0,
)3
x π
∈恒成立
首先考察(0,
)2
x π
∈时，易得0b >
∵
()sin sin 2sin (12cos )cos f x x x x x bx x =+=+≥
∴2(
,)23
x ππ
∈时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立 …………9分
于是只考察
()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意(0,)2
x π
∈恒成立
由()14242
f b ππ=+≥⋅
，于是18b +≤
1
38
+>，所以3b ≤…11分 下证：
()sin sin 23cos f x x x x x =+≥对任意(0,)2
x π
∈恒成立
考察函数()tan 2sin 3g x x x x =+-，(0,
)2
x π
∈
322222
12cos 3cos 1(cos 1)(2cos 1)
()2cos 30cos cos cos x x x x g x x x x x
-+-+'=+-==> 于是()g x 在(0,
)2
x π
∈上单调递增，则()(0)0g x g >=
即tan 2sin 30x x x +->，则sin sin 23cos x x x x +≥ 综上可知，max 3b = ………15分。