高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.5 最值位置不迷惑 单调区间始与末()
高考数学压轴题的答题技巧参考
高考数学压轴题的答题技巧参考高考数学压轴题的答题技巧参考普通高等学校招生全国统一考试，是为普通高等学校招生设置的全国性统一考试，每年6月7日－10日实施。
参加考试的对象是全日制普通高中毕业生和具有同等学历的中华人民共和国公民，招生分理工农医（含体育）、文史（含外语和艺术）两大类。
普通高等学校根据考生成绩，按照招生章程和计划，德智体美劳全面衡量，择优录取。
以下是店铺为大家整理高考数学压轴题的答题技巧参考的相关内容，仅供参考，希望能够帮助大家！高考数学压轴题怎么答1、如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”。
2、解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的.．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答。
3、对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。
4、“以退求进”是一个重要的解题策略．对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论．总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。
高考数学最后一题怎么做首先同学们要正确认识压轴题。
压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。
记住：第一小题是容易题!争取做对!第二小题是中难题，争取拿分!第三小题是整张试卷中最难的题目!也争取拿分!其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态!信心很重要，勇气不可少。
高考导数压轴题型归类总结
导数压轴题型归类总结目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 （51）（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1xx<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得33±=x .)(x g '(2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--.令0=y ，得12122x ax x +=，∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴02121<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x ax x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222所以a x x >>21.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
高三数学压轴题知识点
高三数学压轴题知识点在高三数学中，压轴题常常是一个重要的评估方式，旨在考查学生对于各个知识点的掌握程度。
下面将介绍一些高三数学压轴题中常见的知识点。
一、函数与导数1. 函数与导数的概念函数是一种映射关系，将自变量的取值通过规定的方式映射到因变量上。
导数是函数在某一点处的变化率，用于描述函数在该点附近的变化趋势。
2. 导数的计算常见函数的导数计算规则包括常函数的导数、幂函数的导数、指数函数与对数函数的导数、三角函数的导数等等。
3. 图像的变化与导数导数可以描述函数图像的切线斜率，通过判断导数的正负可以确定函数在某一点的增减性及极值情况。
二、平面几何1. 三角形与三角函数三角函数包括正弦、余弦和正切函数等，用于描述三角形内角与边之间的关系。
2. 圆的性质与圆心角圆是由一个固定点到平面上任意一点距离相等的点的集合，圆心角是由圆心所对应的圆弧所夹的角。
3. 向量的运算与应用向量是具有大小和方向的量，常用于描述平面上的位移、速度和力等物理量。
三、解析几何1. 平面直角坐标系与函数图像平面直角坐标系是由横纵坐标轴组成的平面，用于描述二维空间中的点的位置。
函数图像是在坐标系上绘制的函数的曲线。
2. 直线与曲线的方程通过给定的条件或已知的一点和斜率，可以确定直线的方程。
曲线的方程可以用于描述平面上的曲线形状。
3. 二次函数与常见函数图像二次函数是一个含有二次项的函数，常见的二次函数图像包括抛物线、开口向上或向下的情况。
四、概率与统计1. 古典概型与条件概率古典概型是指所有可能结果的个数相等的概率问题。
条件概率是指在已知一些相关信息的前提下，某一事件发生的概率。
2. 随机变量与概率分布随机变量是一个随机事件的结果，概率分布则是用于描述随机变量取值的可能性分布情况。
3. 统计分析与统计推断统计分析用于对数据进行整理和分析，统计推断则是通过样本数据推断总体特征。
以上是一些高三数学压轴题中常见的知识点。
通过对这些知识点的学习和理解，可以更好地应对压轴题，提高数学成绩。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.12 交点零点有没有极最符号异与否【题型综述】导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ；③研究函数)(x h 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数)(x h 的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解.探讨函数)(x f y =的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.【典例指引】例1，a R ∈． （I ）若曲线()y f x =在点（1，()1f ）处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（II ）当1a =时，试问曲线()y f x =与直线23y x =-是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由． 【思路引导】（1）根据导数的几何意义得到()'112f a =+=，即1a =；（2这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到()g x 在（0，1）⋃（1,+∞）恒负， ()10g =，故只有一个公共点．当1x >时，()'0g x <，()g x 在（1,+∞）单调递减； 当01x <<时，()'0g x >，()g x 在（0，1）单调递增． 又()10g =，所以()g x 在（0，1）⋃（1,+∞）恒负因此，曲线()y f x =与直线23y x =-仅有一个公共点，公共点为（1，-1）． 例2．已知函数f(x)=lnx ，h(x)=ax(a 为实数)（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ，下方？若存在，请求出整数m 【思路引导】（Ⅰ）函数()f x 与()h x 无公共点转化为方程在()0,+∞无解，令，得出x e =是唯一的极大值点，进而得到max t ，即可求解实数a 取值范围；ln xm e x x <- 令()ln x r x e x x =-，则()'ln 1x r x e x =--，再令()ln 1x x e x ϕ=--，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.故实数a 的取值范围为，使得()0φ'x 0=，即，则00x lnx =-，………9分()φx 单调递减；当()0x x ,∞∈+时， ()φx 单调递增， 则()φx 取到最小值∴()r'x 0>，即()r x 在区间∴存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1.例3．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}． (1)求函数f (x )的解析式； (2)【思路引导】（1）根据()f x 是二次函数，且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}|13,x x x R -≤≤∈，设出函数解析式，利用函数()f x 的最小值为4-，可求函数()f x 的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当03x <≤时， ()()140g x g ≤=-<，结合单调性由此可得结论．，令()0g x '=，得11x =， 23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下：当03x <≤时， ()()140g x g ≤=-<，又因为()g x在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点，故()g x 在()3,+∞上仅有1个零点．点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数． 例4，()()ln 1g x x tx =--．（Ⅰ）求证：当0x >时，()0f x <；（Ⅱ）若函数()g x 在（1，+∞）上有唯一零点，求实数t 的取值范围． 【思路引导】（Ⅰ）求导，得4x =，分析单调性得当0x >时，t 进行讨论①0t ≤，()g x 在[1，+∞)上是增函数，所以当1x >时， ()()10gx g >=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，②若1t ≥， ()g x 在[1，+∞)上是减函数，所以当1x >时， ()()10g x g <=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，③若0<t <1时分析单调性借助于第一问，找则当1x x >，即，则当2x x >时，，即()0g x <，说明存在，使得()00g x <，即存在唯一零点．①若0t ≤，则当1x >时，，所以()g x 在[1，+∞)上是增函数， 所以当1x >时，()()10g x g >=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，所以0t ≤不满足条件． ②若1t ≥，则当1x >时，，所以()g x 在[1，+∞)上是减函数， 所以当1x >时，()()10g x g <=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，所以1t ≥不满足条件．点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理0<t <1时，注意前后问，使得()00g x <，根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在；【同步训练】1 （Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，求证：0 1.x > 【思路引导】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用．（Ⅰ）根据函数在2x =处取极值可得7a =，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可． ()0x >，令()322g x x ax =--，可得()g x 在和函数值可得()g x 在()1,+∞上有唯一零点，设为1x ，证明10x x =即可得结论．()0x >，令()322g x x ax =--，则()26g x x a ='-由()0,0a g x '>=，可得()g x ∴在 又()020g =-<，故当 ()0g x <； 又()10g a =-<，故()g x 在()1,+∞上有唯一零点，设为1x ， 从而可知()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增， 因为()f x 有唯一零点0x ，故10x x =且01x >2．已知函数()ln bf x a x x =+ ()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意成立，求实数b 的取值范围． 【思路引导】（1）讨论0a >、0a <两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数()f x 恰有一个零点时实数a 的取值范围；（2）成立，等价于()()max min 2f x f x e ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果．②当0a <时，令()0f x '=，解得()0f x '<，所以()f x 在时，()0f x '>，所以()f x 在要使函数()f x 有一个零点，则即2a e =-．综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2a e =-或a 0>．（2所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以 从而()max f x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e bf b =-+．所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤， 设()=e e 1bb b ϕ--+ ()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时， ()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1． 3．已知函数()()0.xf x e ax a a R a =+-∈≠且(I)若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值； (Ⅱ)若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围； 【思路引导】（1）根据函数的极值的概念得到()000f e a '=+=， 1a ∴=-，根据函数的单调性得到函数的最值．（2）研究函数的单调性，找函数和轴的交点，使得函数和轴没有交点即可；分0a >和0a <，两种情况进行讨论．（2）()xf x e a '=+，由于0xe >．①当0a >时，()()0,f x f x '>是增函数， 且当1x >时，()()10xf x e a x =+->．当0x <时，()()()1110xf x e a x a x =+-<+-<， ，所以函数()f x 存在零点． ②当0a <时， ()()0,ln xf x e a x a =+==-'．在()(),ln a -∞-上()()0,f x f x '<单调递减，在()()ln ,a -+∞上()()0,f x f x '>单调递增，所以()ln x a =-时()f x 取最小值．函数()f x 不存在零点，等价于()()()()()ln ln ln 2ln 0a f a e a a a a a a --=+--=-+->， 解得20e a -<<．综上所述：所求的实数a 的取值范围是20e a -<<．点睛：这个题目考查的是另用导数研究函数的极值和最值问题，函数的零点问题；对于函数有解求参的问题，常用的方法是，转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化为方程的根的问题．4．已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然数的底数， a R ∈．（Ⅰ）求实数()f x 的单调区间．（Ⅱ）当1a <时，试确定函数()()2g x f x a x =--的零点个数，并说明理由．【思路引导】（Ⅰ）()()2x f x e x a ='+， 令()0f x '>，解出2x a >-， ()'0f x <令，解出2x a <-， 即可得()f x 的单调区间（Ⅱ）()()2e e x a x ag x x x x x --=-=-，当0x =时， ()00g =，现考虑函数ex ay x -=-的零点，令x a t -=，则x a t =+，令()()e t h t t a =-+，考虑函数e t y =与y t a =+的交点，两者相切e 1t =，解得0t =，此时1a =，所以1a <，故函数e t y =与y t a =+无交点，即可得结果．点睛：本题考查了利用导数研究函数单调区间，研究函数零点问题，第二问中对()()2e e x a x a g x x x x x --=-=-进行这样处理，很容易确定一个零点0，考虑函数e x a y x -=-的零点时使用换元法，简化函数式，很容易利用初等函数即可解决．5 （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（Ⅲ）设()()()()1h x af x a g x =++，其中01a <≤，证明：函数()h x 仅有一个零点． 【思路引导】可得()f x 在1x =处的切线方程（Ⅱ）令()0f x '>，解出01x <<，令()0f x '<，解出1x >，可得()f x 的单调区间．（Ⅲ）()h x 在()0,a 单调递增在(),1a 单调递减，在()1,+∞单调递增，且()h x 极大值，()h x 极小值可得()h x 在()0,1无零点，在()1,+∞有一个零点，所以()h x 有且仅有一个零点．点睛：本题考查了利用导数求函数在某点处的切线，考查了函数的单调区间，考查了利用导数研究零点问题，注意()h x '处理时采用因式分解很容易得出()0h x '=的根，考查了学生推理运算的能力，属于中档题．6（Ⅰ）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； 存在唯一零点，求m 的取值范围． 【思路引导】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极值（2）先化简()g x ，再利一零点时m 的取值范围 试题解析：（1）由题设，当m e =时，，由()0f x '=，得x e =． ∴当()0,x e ∈，()0f x '<，()f x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),e +∞上单调递增，又()00ϕ=，结合()y x ϕ=的图象（如图），可知时，函数()g x 有且只有一个零点； 当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点． 或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．7 （1）若a e =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【思路引导】（1）函数求导得()()()()()'111xxf x x e e x x e e =+-+=+-，讨论导数的单调性即可得极值；（2）函数求导得()()()()()'111xxf x x e a x x e a =+-+=+-，讨论0a =， 0a <，时函数的单调性及最值即可下结论．（2）()()()()()'111xxf x x e a x x e a =+-+=+-，当0a =时，易知函数()f x 只有一个零点，不符合题意； 当0a <时，在(),1-∞-上， ()'0f x <， ()f x 单调递减； 在()1,-+∞上， ()'0f x >， ()f x 单调递增；，且()120f e a =->， x →-∞， ()f x →+∞，所以函数()f x 有两个零点． 时，在(),ln a -∞和()1,-+∞上， ()'0f x >， ()f x 单调递增；在()ln ,1a -上()'0f x <， ()f x 单调递减；，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意．()f x 单调递增；在()1,ln a -上()'0f x <， ()f x 单调递减；，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意．综上：实数a 的取值范围是0a <．点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．8 a R ∈． （1）求函数()f x 的增区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由； （3）设正实数1λ，2λ满足当0a >时，求证：对任意的两个正实数1x ，2x 总有()()()11221122f x x f x f x λλλλ+≤+．(参考求导公式： ()()'[]f ax b af ax b +=+')【思路引导】 (1)，对a 进行分类讨论，可得函数()f x 的增区间； （2）由（1）知：若0,a ≤函数在()0,+∞的上为增函数，函数()f x 有至多有一个零点，不合题意． 要使得函数()f x 有两个零点，则函数()f x 有两个零点即可（3）证明：不妨设()120,x x ≤∈+∞，以1x 为变量，令()()()()122122F x f x x f x f x λλλλ=+--，则可以证明()0F x '≥ ，所以()F x 在(]20,x 单调递增；因为(]120,x x ∈所以()()120F x F x ≤=，这样就证明了()()()11221122fx x f x f x λλλλ+≤+,1a e >∴，所以()f x 在令()12ln h a ea aa e =--> 所以()h x 在(),e +∞上递增， 所以的()h a > ()230h e e =->所以()f x 在综上： a e >函数()f x 有两个零点,a e a >∴综上： a e >，函数()f x 有两个零点．（3）证明：不妨设()120,x x ≤∈+∞，以1x 为变量 令()()()()122122F x fx x f x f x λλλλ=+--，则()()()()()112211122F x f x x f x f x x f x λλλλλλλ⎡⎤=+-=+-''''⎣'⎦因为0a >，所以()0g x '≥；即()f x '在定义域内递增．又因为()1221222221x x x x x x x λλλλλλ+-=-+=-+且2x x ≤所以1220x x x λλ+-≥即122x x x λλ+≥，所以()()1220f x x f x λλ''+-≥；又因为10λ>，所以()0F x '≥所以()F x 在(]20,x 单调递增；因为(]120,x x ∈所以()()120F x F x ≤= 即()()()11221122fx x f x f x λλλλ+≤+【点睛】本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等． 9，1a <． （1）当0a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）令()()()1g x f x ax =--，讨论函数()g x 的零点的个数；（3）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明【思路引导】（1）求出()f x 的解析式，求出切点坐标，再求出()'f x ，由出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式求出切线方程即可；（2）求导数，分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，分别结合函数单调性判断出函数()g x 的零点的个数；（3）()()12120f x f x x x ++=，化为()()212121212ln x x x x x x x x +-+=- ，设12x x t = ，构造函数()ln t t t ϕ=- ，然后结合函数单调性得到()()212121x x x x +-+≥，解不等式可得结论．（3）证明：当所以即为：所以令所以所以所以因为【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-． 10（a R ∈）． （1）判断函数()f x 在区间)2,e -⎡+∞⎣上零点的个数；（2）当1a =-时，若在[]1,e （ 2.71828e =⋯）上存在一点0x ，使得成立，求实数m 的取值范围． 【思路引导】()1令 )2,x e -⎡∈+∞⎣，得a xlnx -=，记()H x xlnx =， )2,x e -⎡∈+∞⎣，求得导数，利用函数单调性可以求得函数极值点以此判断函数()f x 在)2,e -⎡+∞⎣上的零点个数；()2本题不宜分离，，所以讨论1m +与1e ，的大小，分三种情况，当1m e +≥，()h x 的最小值为()h e ，11m +≤，()h x 的最小值为()1h ，当11m e <+<， ()h x 的最小值为()1h m +，解对应不等式即可．②当11m +≤，即0m ≤时， ()h x 在区间[]1,e 上单调递增，所以()h x 的最小值为()1h ， 由()1110h m =++<，可得2m <-．③当11m e <+<，即01m e <<-时，可得()h x 的最小值为()1h m +，∵()0ln 11m <+<，∴()0ln 1m m m <+<， ()()12ln 12h m m m m +=+-+>， 此时()10h m +<不成立．综上所述，实数m 的取值范围是 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．11 （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）试判断()f x 在区间()1,e 上有没有零点？若有则判断零点的个数． 【思路引导】（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与0的关系明确零点个数． 试题解析：12．已知函数()ln ,x af x x ea R +=-∈，其中 2.718,e e =为自然对数的底数．（1）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（2）当2a ≥-时，讨论函数()f x 的定义域内的零点个数． 【思路引导】（1）求出()'f x ， ()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数())0f x <恒成立，即证明()f x 在定义域内无零点． 试题解析：，则()f x 单调增， ，则()f x 单调减， 所以1x =是()f x 的极大值点，极大值是()11f =-．（2）由已知()0,x ∈+∞，当2a ≥-时， 2x ax ee +-≥，所以()2ln ln x a xf x x e x e +-=-≤-，【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题．求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值． 13．已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【思路引导】利用导数求函数的单调区间，先求导，在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围． 试题解析：【点睛】求函数的单调区间，先求出函数的定义域，在对函数求导，在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围．14 （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数． 【思路引导】（1，又1a >，所以，由此可得函数()f x 的单调性，进而可求得极值；（2）由01a <<，得理判断函数零点的个数． 试题解析： （1因为1a >，所以 当x 变化时， ()(),f x f x '的变化情况如下表：()f x 有极大值，且极大值为 当1x =时， ()f x 有极小值，且极小值为()f x 在[]0,2上有且只有一个零点． 点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．15 （1）求函数()f x 的极值；（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程()()21f x x m x =-+的解的个数，并说明理由．【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，从而写出函数的极值；（2）令，0x >，问题等价于求()F x 函数的零点个数，通过讨论m 的范围，判断即可．（2，0x >，问题等价于求()F x 函数的零点个数．当1m =时， ()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，因为 ()4ln40F =-<，所以()F x 有。
数学高考压轴题中高频出现的高等数学知识点及解题方法
数学高考压轴题中高频出现的高等数学知识点及解题方法数学作为高考的一门重要科目，对考生来说带有相当的挑战性。
而在高等数学这一部分，一些特定的知识点和解题方法常常会成为高考压轴题中的热门题目。
本文将对这些高频出现的高等数学知识点以及解题方法进行梳理和总结。
一、极限与连续极限与连续是高等数学中的基础知识点，也是考查频率极高的内容。
在解题时，需要掌握极限的定义和性质，理解函数的连续性以及中值定理等概念。
对于极限的计算，可以根据函数的性质和极限的性质运用相关的定理进行判断。
而对于连续性的考查，重点在于掌握中间值定理、拉格朗日中值定理等。
二、导数与微分导数与微分是高等数学中的难点之一，但也是高考中经常出现的题型。
掌握导数的定义和性质，以及基本的求导公式非常重要。
在解题时，需要熟练运用求导法则和基本函数的导数，结合高等数学中的其他知识点，例如函数的极值点、拐点、最值等来解决问题。
三、积分与定积分积分与定积分是高等数学中必不可少的知识点。
在解题中，我们需要掌握积分的基本定义和运算法则。
对于含参变量的积分题目，需要注意积分区间的确定和参数取值范围的考虑。
此外，还需要熟练掌握换元积分法、分部积分法和定积分的性质等方法来求解积分题。
四、向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中一些难度较大的知识点。
在解题时，需要熟练掌握向量的定义和性质，理解向量的运算法则和内积外积的概念。
对于空间解析几何，需要掌握平面方程和直线方程的求解方法，并结合向量知识来解决空间中的几何问题。
五、微分方程微分方程是高等数学中的综合应用题，也是高考压轴题中常见的题型。
在解题时，需要首先确定微分方程的类型和求解方法，例如一阶线性微分方程、二阶齐次线性微分方程等。
然后运用变量分离、常数变异法、齐次方程法等解题思路，结合初值条件进行求解。
总之，在高等数学中，有些特定的知识点和解题方法经常成为高考压轴题的热门考点。
通过对极限与连续、导数与微分、积分与定积分、向量与空间解析几何以及微分方程等知识点的理解和掌握，我们能更好地应对高考压轴题，并提高解题的准确性和速度。
高考数学压轴题解题技巧
高考数学压轴题解题技巧高考数学压轴题通常是整套试卷中难度最大、综合性最强的题目，对于考生的数学素养、思维能力和解题技巧都有很高的要求。
很多同学在面对压轴题时会感到无从下手，或者在解题过程中出现失误。
其实，只要掌握了正确的解题技巧和方法，并且经过适当的训练，我们是完全有可能在压轴题上取得较好的成绩的。
下面我将为大家介绍一些高考数学压轴题的解题技巧。
一、扎实的基础知识是关键要想攻克高考数学压轴题，首先必须具备扎实的基础知识。
这包括对数学概念、定理、公式的深刻理解和熟练掌握。
只有在基础知识牢固的前提下，我们才能够在解题时灵活运用各种知识和方法。
例如，函数是高考数学中的重点内容，对于函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质，我们必须要清楚地知道它们的定义和判定方法。
在解决函数相关的压轴题时，这些基础知识往往是解题的关键。
再比如，数列也是高考常考的内容之一。
等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的递推关系等，都是我们必须熟练掌握的。
二、认真审题，理解题意在做压轴题时，认真审题是至关重要的。
很多同学往往因为急于解题，没有仔细阅读题目，导致对题目的理解出现偏差，从而影响解题的思路和结果。
在审题时，我们要逐字逐句地阅读题目，理解题目中所给出的条件和要求。
特别要注意题目中的关键词、限制条件和隐含条件。
对于一些复杂的题目，可以通过画图、列表等方式来帮助我们理解题意。
例如，有一道压轴题是关于立体几何的，题目中给出了一个多面体的顶点、棱和面的数量关系。
我们在审题时就要仔细分析这些数量之间的关系，并且画出相应的图形，以便更直观地理解题目。
三、善于转化和化归高考数学压轴题往往比较复杂，直接求解可能会很困难。
这时，我们要善于将问题进行转化和化归，将复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题。
比如，对于一些不等式的证明问题，我们可以通过构造函数，利用函数的单调性来证明。
再比如，对于一些几何问题，我们可以通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解。
历年高考数学导数压轴题型归类总结与解析
a
a
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a ≤ 0 时， f (x) 在(0,+∞)上单调递增，由 f (0) = 0，知不合题意.
当 时， 在 的最大值是 ， 0 < a < 1 f (x) (0,+∞)
f ( 1 −1)
a
由 f (1 −1) > f (0) = 0 ，知不合题意. a
当 a ≥ 1时， f (x) 在(0,+∞)单调递减， 可得 f (x) 在[0,+ ∞) 上的最大值是 f (0) = 0 ，符合题意. 所以， f (x) 在[0,+ ∞)上的最大值是0 时， a 的取值范围是[1,+∞) .
（切线）设函数 1.
f (x) = x2 − a .
（1）当 a =1时，求函数 g(x) = xf (x) 在区间[0,1]上的最小值；
（ ）当 时，曲线 在点 处的切线为 ， 与 轴交于点 2 a > 0
y = f (x)
P(x1, f (x1 ))(x1 > a )
ll x
A(x2 ,0)
求证： x1 > x2 > a .
+
0
—
0
+
↗
极大 值
↘
极小 值
↗
所以f ( 在 ， x) (−∞ − ， 2a) (a − 2，+ ∞)内是增函数，在(−2a，a − 2)内是减函数.
函数 在 处取得极大值 ，且 f (x) x = −2a
f (−2a) f (−2a) = 3ae−2a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴ ＝ ＝－ ＝ ，∴ ＝－ 舍去 3
3
f(x)min f(1)
高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解15---最值位置不迷惑 单调区间始与末
令
h
(1)
，从而得到实数
m
的值；（2）研究函数
h
(
x)
在区间
k ,
3 2
上的单调性，明确函
数的最大值，建立关于实数 k 的方程，解之即可.
试题解析：（1）由 h( x) = 2x3 + 3x2 −12x + m(m ∈ R) ，得 h '( x) = 6x2 + 6x −12 = 6( x + 2)( x −1) ， 令 h '( x) = 0 ，得 x = −2或 x = 1 ；令 h '( x) < 0 ，得 −2 < x < 1； 令 h '( x) > 0 ，得 x < −2 或 x > 1 .所以函数 h( x) 有两个极值为 h(−2) 和令 h(1) . 若 h(−2) = −2 ，得 2 × (−2)3 + 3× (−2)2 −12 × (−2) + m = −2 ，解得 m = −22 ； 若 h (1) = −2 ，得 2 ×13 + 3×12 −12 ×1+ m = −2 ，解得 m = 5 ；
综上，实数 m 的值为 −22 或 5.
4 / 22
（2）由（1）得，
h '( x) ，
h
(
x
)
在区间
−∞,
3 2
上的变化情况如下表所示：
【同步训练】
1．已知函数 f ( x) = ax − e ( x +1) lna − 1 （ a > 0 且 a ≠ 1）， e 为自然对数的底数．
a
（Ⅰ）当 a = e 时，求函数 y = f ( x) 在区间 x ∈[0, 2] 上的最大值； （Ⅱ）若函数 f ( x) 只有一个零点，求 a 的值．
高考数学不等式压轴问题归纳总结
高考数学不等式压轴问题归纳总结一、不等式恒成立1．已知函数()()2ln R 1mf x x m m x =+-∈+． （1）试讨论函数()f x 的极值点情况；（2）当m 为何值时，不等式()()21ln 101x x m x x+--<-（0x >且1x ≠）恒成立？2．已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若函数()f x 有两个极值点,m n ，其中m n <且2m >，是否存在整数k 使得不等式 ()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ln20.7,ln3 1.1≈≈） 2．设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当0a =， 1b =-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）令()()212a F x f x ax bx x =+++ (03)x <≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 3．已知函数()ex x af x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时， ()f x 的最大值为()g a ． （1）求函数()g a 的解析式； （2）若对任意的R a ∈，1e ek <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值． 4．已知函数()()()2ln 1f x x a x a R =--∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围． 5．已知函数()ln x mf x ex +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求证： ln xe e x e -≥；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．（其中正 6．已知函数()()ln 1f x x x k x =--， k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()1,+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．7．已知函数()2ln f x ax bx x =-+，（ a ， b R ∈）．（1）若1a =， 3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =， 92b >时，记函数()f x 的导函数()'f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证： ()()12633ln216f x f x ->-． 8．已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++<． ()1 讨论()f x 的单调性；()2 若对任意的()[]123213a x x ∈--∈，，，，，恒有()()()12ln32ln3m a f x f x +->- 成立，求实数m 的取值范围．9．已知()()ln xf x e a x a R =-∈．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =-时，若不等式()()1f x e m x >+-对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围． 10．已知函数()1ex f x x +=， ()()ln 1g x k x k x =++．（1）求()f x 的单调区间．（2）证明：当0k >时，方程()f x k =在区间()0,+∞上只有一个零点． （3）设()()()h x f x g x =-，其中0k >若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围． 11．已知0a ≥，函数()()22x f x x ax e =-+．（1）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论； （2） 设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（3）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数()32xf x xe ax bx c =+++（其中e 为自然对数的底， ,,a b c R ∈）的导函数为()'y f x =．（1）当0a c ==时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数；（2）设点()()0,0A f ， ()(),B m f m 是函数()f x 图象上两点，若对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．． 13．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若()()33f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围． 14．设函数．若曲线()y f x =在点()(),P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围．15．已知函数()ln b f x a x b x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(其中a ， b R ∈)． （1）当4b =-时，若()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，是否存在实数b ，使得当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()0f x >恒成立，如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由． 16．已知函数()()21ln 12f x x x =+-． （1）判断()f x 的零点个数；（2）若函数()g x ax a =-，当1x >时， ()g x 的图象总在()f x 的图象的下方，求a 的取值范围． 17．设函数()ln mf x x x=+， m R ∈．（1）当m e =时，求函数()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数； （3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．18．已知函数()f x 是偶函数，且满足()()220f x f x +--=，当(]0,2x ∈时， ()(1)x f x e ax a =+>，当(]4,2x ∈--时， ()f x 的最大值为2416e +． （1）求实数a 的值； （2）函数()()344203g x bx bx b =-+≠，若对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使不等式()()12f x g x <恒成立，求实数b 的取值范围．19．已知函数()()1xf x e ax a R =--∈．(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)试探究函数()()F ln x f x x x =-在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；(3)若()()ln 1ln x g x e x =--，且()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 20．()()12ln f x x mx m R x=+-∈． （1）当1m =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程． （2）若()f x 在()0,+∞上为单调递减，求m 的取值范围． （3）设0a b <<，求证：ln ln b ab a -<-21．已知函数()()()2ln ,.2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线()()(0),,x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围．22．已知函数()1,xf x e x x R =--∈（1）求函数()f x 的极值； （2）求证： *21111112,333n n N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）()()()112(0)a F x a f x x a x+=+-+->，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0F x ≥成立，求a 的取值范围．23．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ， 212n n n S a a =+， *n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；设数列{}n b 满足： 11b =， ()122n n n b b a n --=≥，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（2）若()4n T n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 24．设()2-1f x x a x =-+．（1）当a=2时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）若a>0，b>0，c>0且ab+bc+ac=1，求证：当x ∈R 时，f(x) 222b 2c a ≤++二、不等式能成立1．设f （x ）=2x 2+bx+c ，已知不等式f （x ）<0的解集是（1，5）． （1）求f （x ）的解析式；（2）若对于任意x ∈ []1,3，不等式f （x ）≦2+t 有解，求实数t 的取值范围。
高考压轴知识点归纳总结
高考压轴知识点归纳总结随着高考的临近，高中生们面临着急需掌握和复习的大量知识点。
为了帮助同学们高效备考，我在这里将对高考的压轴知识点进行归纳总结。
一、语文语文作为高考的核心科目之一，其压轴知识点主要包括阅读理解和作文。
在阅读理解方面，要重点关注题干信息和文章细节的匹配，掌握常见题型的解题思路。
在作文方面，要注重提升写作水平，合理安排篇章结构，运用修辞手法，表达个人观点。
二、数学数学作为高考的重要科目，其压轴知识点主要包括函数与导数、几何与向量、概率与统计等。
在函数与导数部分，要重点掌握函数的性质和分类，导数的定义和计算法则。
在几何与向量部分，要注重几何图形的性质和变换，向量的运算和应用。
在概率与统计部分，要重点掌握事件的概率计算和统计分析等。
三、英语英语作为高考的必考科目，其压轴知识点主要包括阅读理解、词汇与语法和写作。
在阅读理解方面，要提升阅读速度和理解能力，掌握常见题型的解题技巧。
在词汇与语法方面，要注重积累词汇量，掌握语法知识点，准确运用。
在写作方面，要注重提升写作表达能力，同时要注意合理运用所学语法知识。
四、物理物理作为理科生的重要科目，其压轴知识点主要包括力学、光学、电磁学等。
在力学部分，要重点掌握牛顿定律、机械能守恒定律、动量守恒定律等。
在光学部分，要注重光的反射、折射和光的衍射等。
在电磁学部分，要重点掌握电场、磁场和电磁感应等。
五、化学化学作为理科生的重要科目，其压轴知识点主要包括有机化学、无机化学、化学反应和化学计算等。
在有机化学部分，要重点掌握有机物的命名和结构，化学键的分类和性质等。
在无机化学部分，要注重元素周期表的应用，无机物的性质和反应等。
在化学反应和化学计算部分，要重点掌握化学方程式的平衡，化学反应速率和化学计算方法等。
六、生物生物作为理科生的重要科目，其压轴知识点主要包括细胞与遗传、生物进化和生态学等。
在细胞与遗传部分，要注重细胞结构和功能，基因的遗传规律等。
在生物进化部分，要重点掌握进化的证据和机制，物种形成和适应等。
高考压轴题知识点汇总
高考压轴题知识点汇总在人生的道路上，高考无疑是一个重要的节点。
对于大多数学生而言，高考是他们追求人生理想的关键一步。
为了应对这个重要的考试，学生们通常会通过背诵书本知识来备战。
然而，高考的压轴题往往会超出课本范围，要求学生在较短时间内掌握并灵活运用更深入的知识。
下面将为大家汇总一些高考压轴题的知识点，帮助大家更好地备战高考。
1. 数学在数学科目中，常见的高考压轴题知识点包括概率统计、向量和三角函数应用等。
概率统计：概率统计是高考数学中的重要内容，其中涉及到的知识点包括条件概率、事件概率、样本空间等。
掌握这些知识点可以帮助学生解决概率统计题目。
向量：向量是几何学中的重要内容，而在高考中的应用也相当广泛。
在解决向量问题时，学生需要掌握向量的加减法、数量积和向量积等基本概念，同时还需要学习如何运用向量解决几何问题。
三角函数应用：三角函数是数学课程中的重点内容，而在高考中的应用也较为常见。
学生需要掌握三角函数的基本概念和性质，同时还需要学会如何运用三角函数求解实际问题，如航空、测量等方面的应用。
2. 物理物理是理科生必考的科目之一，而在高考压轴题中，常见的知识点包括光学、电磁感应和力学应用等。
光学：光学是物理学中的一门重要分支，而在高考中的考察也较为深入。
学生需要掌握光的反射、折射和干涉等基本概念，同时还需要了解光学仪器的原理和使用方法。
电磁感应：电磁感应是物理中的重要知识点之一，也是高考压轴题中的常见内容。
学生需要了解电场和磁场的基本概念，同时还需要学习电磁感应现象的产生和应用。
力学应用：力学是物理中的基础学科，也是高考中的重点内容之一。
在高考压轴题中，常见的力学应用包括平衡条件、作用力和摩擦力等。
学生需要掌握这些知识点，以便解决与力学相关的问题。
3. 化学化学是理科生必考的科目之一，而在高考压轴题中，常见的知识点包括化学反应、离子反应和化学平衡等。
化学反应：化学反应是化学中的基本概念，而在高考中的应用也相当广泛。
数学压轴题知识点总结
数学压轴题知识点总结数学压轴题在学生的学习中扮演着至关重要的角色，它是学生学习成果的反映，是学生取得优异成绩的必备条件之一。
因此，解题技巧和知识点掌握必须得到充分的关注和培养。
下面将从数学分析、代数、几何、概率与统计等几个方面总结数学压轴题的知识点和解题技巧。
一、数学分析数学分析是数学中非常重要的一个分支，它涉及到微积分、级数、微分方程等多个领域，具有非常广泛的应用。
在数学分析的学习中，学生需要掌握微分法、积分法、微分方程和级数等知识点。
1.微分法微分是微积分的基础，它是一种测量函数值随自变量变化而变化的速率的方法。
微分的定义是函数在某点处的导数，它的计算需要掌握一些基本的导数公式和求导的方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式，以及求导的基本法则，如和差法、积率法、商率法、复合函数的导数法则等。
2.积分法积分是微积分的另一个重要内容，它是对函数在一定区间上的变化求和的过程。
积分的计算需要掌握一些基本的积分公式和积分计算的方法，如换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分、反常积分等。
3.微分方程微分方程是微积分与方程相统一的产物，它描述了自变量与函数及其导数之间的关系。
微分方程的解法主要有分离变量法、线性微分方程的求解、恰当微分方程、非齐次线性微分方程、常系数线性微分方程等。
4.级数级数是一种特殊的数列，它是无穷多项之和的一种形式。
级数的收敛性和求和技巧是10压轴题中常见的考点，学生需要了解级数的收敛与发散的概念，并掌握级数的求和方法，如伯努利、不等式、定积分法等。
5.解题技巧在数学分析的学习中，学生需要培养一些解题的技巧，如运用微积分运算符号解题、掌握微积分中各种运算法则、熟悉微分方程的基本解法、掌握级数的收敛性和求和方法等。
二、代数代数是数学中重要的一个分支，它研究在一定范围内的数字、函数和代数结构的性质。
在代数的学习中，学生需要掌握方程、不等式、函数、数列、矩阵等知识点。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题312 综合求证多变换几何结合代数算
【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一 证明分点问题例1 【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点..直线ON 的方程为22y y x x，点B 的坐标为2112(,)y y x x .故A 为线段BM 的中点. 类型二 几何证明问题例2. 【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形（ii ）由24x y =得'y =2x，∴1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即，令0=y ，得，∴1(,x FM =，而11(,1)FA x y =-，于是FA ⋅21x FM =-，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形. 类型三 等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明 （2）设1l 与2l 的斜率之积为，求面积S 的值. 类型四 长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆EE 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D【扩展链接】1.圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．2.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;【同步训练】1．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【思路点拨】（1）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（2）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB 与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（2）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．记动点p的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，求证：直线DB平行于x轴．【思路点拨】（1）利用动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．列出关系式，即可求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，设A的坐标为（），求出OM的方程为y=x（y0≠0），推出点D的纵坐标然后求出直线AF的方程，求出点B 的纵坐标，判断直线DB平行于x轴．即可得到结果．4.在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD 的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【思路点拨】（1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x1+x2=y1+y2，利用点差法求得直线l的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1•k2为定值．设直线l的方程y=﹣x+t，，整理得：3x2﹣4tx+4t2﹣12=0，则x1+x2=，x1x2=，则k1•k2==，===，∴k1•k2为定值．5.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【思路点拨】（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．（2）设Q（x1，y1），则，从而y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．6.已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（﹣1，0）．（1）证明线段AB的中点M在定直线上；（2）求线段AB长度的最大值．【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（﹣2，0），在直线y=0，当AB与x轴不垂直时，利用平方差法推出，说明M在直线x=﹣2上．（2）当AB与x轴垂直时，，当AB与x轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．，∴x1+x2=﹣4，，…（8分）∴=（11分）∴．…（12分）7.已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2，离心率为；抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）证明：存在实数λ，使得+为常数，并求λ的值．【思路点拨】（1）由2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得椭圆方程，由=c，求得c的值，求得抛物线方程；（2）设直线l的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨AB丨及丨CD丨，由+=为常数，则须有20+λ=4，即可求得λ的值．8.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M．（1）当P点在圆周上运动时，求点M （x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．【思路点拨】（1）求出圆N的圆心坐标为N（，0），半径为，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程．（2）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，得消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可．由韦达定理得：．…（8分）∴．∵，∴x1x2+y1y2=0，即，…（9分）整理得m2=2k2+2满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，∴直线l与圆x2+y2=2相切．…（10分）当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为A（m，），B（m，）∵，∴．此时直线为x=，显然也与圆x2+y2=2相切．…（11分）综上，直线l与定圆E：x2+y2=2相切．…（12分）9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．【思路点拨】（1）由题意可知：a=2c，=3，且a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TR+k TS=0，即可证明直线TS与TR的斜率之和为定值．由R，S两点的直线y=k（x﹣1），故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），则=，由2x1x2﹣5（x1+x2）+8=2×﹣5×+8=0，∴k TR+k TS=0，∴直线TS与TR的斜率之和为0，综上所述，直线TS与TR的斜率之和为为定值，定值为0．10.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【思路点拨】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1．联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．11.椭圆C：过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ， B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【思路点拨】(1)由题意可得21a b ==，，则椭圆C (2)由题意可得()35S k ，，则以线段ST12.已知点()11,A x y ， ()22,(D x y 其中12)x x <是曲线()240y x y =≥上的两点， A ， D 两点在x 轴上的射影分别为点B ， C ，且（1）当点B 的坐标为()1,0时，求直线AD 的斜率；（2）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：【思路点拨】(1)； (2) 设直线AD 的方程为y kx m =+.联立直线与抛物线的方程，可，。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.4 极值计算先判断 单调原则不能撼()
【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．【典例指引】例1．已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.②a 若＜32，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： x ()2-∞-a ， 2-a()a a 22--，a 2-()∞+-，a 2+ 0 — 0 +↗极大值↘极小值↗内是减函数。
，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数例2．已知函数()22ln ax bf x x x-=-的图象在1x =处的切线过点()0,22a -，,R a b ∈. （1）若85a b +=，求函数()f x 的极值点； （2）设()1212,x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若111ex <<，证明：()()211f x f x -<.（提示2e 7.40≈）【思路引导】（1）求导()222ax x bf x x-+'=，则()12f a b '=+-.又()1f a b =-，曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,22a -利用斜率相等()22210a b a a b ---=+--，可得a b =.，又85a b +=，可得45a b ==，则()22520f x x x =-+='，可得函数()f x 的极值点.（2）由题12,x x 是方程()2220ax x a f x x '-+==的两个根，则121x x =， 12121221x a x x x ==++，由111ex <<，可得2111x x =>， 0a >，∴()1f x 是函数()f x 的极大值， ()2f x 是函数()f x 的极小值，∴要证()()211f x f x -<，只需()()121f x f x -<，计算整理可得()()12f x f x -=221121114ln 12x x x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，令21t x =，则211e t <<，设()11ln 12t h t t t -=-+，利用导数讨论函数()h t 的性质即可得证.（2）∵12,x x 是方程()2220ax x a f x x '-+==的两个根，∴121x x =， 12121221x a x x x ==++，∵111ex <<，∴2111x x =>， 0a >，∴()1f x 是函数()f x 的极大值，()2f x 是函数()f x 的极小值，∴要证()()211f x f x -<，只需()()121f x f x -<，()()121112ln af x f x ax x x -=---2222ln a ax x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭11122ln a ax x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2112114ln 1x x x ⎛⎫-=-= ⎪+⎝⎭221121114ln 12x x x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，令21t x =，则211e t <<，设()11ln 12t h t t t -=-=+ 211ln 12t t --+，则()()()221021t h t t t '-=-<+，函数()h t 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴()2212e e 1h t h ⎛⎫<=⎪+⎝⎭，∴()()12214e f x f x h ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭281e 1<+ 例3．已知函数()322234f x x mx nx m =--+在1x =处有极值10. （1）求实数,m n 的值；（2）设a R ∈，讨论函数()f x 在区间[],1a a +上的单调性. 【思路引导】（1）根据题意得到关于m 的方程组()()213430{1123410f m n f m n m =--==--+='，解方程组求得,m n 即可；（2）先判断函数()2241116f x x x x =+-+的单调性，然后根据a 的取值情况分类讨论判断函数()f x 在区间[],1a a +上的单调性．（2）由（1）可知()3241116f x x x x =+-+，∴()()()238111311f x x x x x =+-=-+'当x 变化时， ()(),f x f x '的变化情况如下表：x11,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭113-11,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '+-+()f x增 极大 减 极小 增⑤当1a >时，()f x 在区间[],1a a +上单调递增. 综上所述： 当143a ≤-或1a >时， ()f x 在区间[],1a a +上单调递增； 当141133a -<≤-时， ()f x 在区间上11,3a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在11,13a ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦上单调递减；当1103a -<≤时， ()f x 在区间[],1a a +上单调递减； 当01a <≤时， ()f x 在区间[),1a 上单调递减，在(]1,1a +上单调递增.点评：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对,m n 值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误．（2）第二问中不能熟练地通过对a 进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况．【同步训练】1．设()()2ln 21f x x x ax a x =-+-， a R ∈.（1）令()()'g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围. 【思路引导】（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由()1122axg x a x x='-=-，根据a 的不同取值讨论即可得出单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，故()10f '=.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a 的取值范围（2）由（1）知， ()10f '=. ①当a 0≤时， ()f x '单调递增.所以当()0,1x ∈时， ()'0f x <， ()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 单调递增. 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时， 112a >，由（1）知()f x '在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当()0,1x ∈时， ()0f x '<， 11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>， 所以()f x 在()0,1内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时， ()'f x 在()0,1内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减，2．已知函数()()21ln 2f x x x x ax a R =--∈，在定义域内有两个不同的极值点1212,().x x x x < （I ）求a 的取值范围； （II ）求证：122.x x e +> 【思路引导】(1) 函数()()21ln 2f x x x x ax a R =--∈，在定义域内有两个不同的极值点1212,()x x x x <, 令()()ln ,g x f x x ax '==-即()()12g x 00,x ,x ,∞=+在上有两个不同根对()g x 求导,按照a 0≤和a 0>分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a 的范围；(2)证明122x x e +>, 即证122x x a+>,()1121212121222121x x 2x x lnx lnx {a x x (x x 0)x x x x lnx lnx ln a ln a =--∴=∴+>>>=--即证,()212121212x x lnx lnx (x x 0)x x -->>>+即证,构造函数()()2x 1h x lnx (x 1),x 1-=->+求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.试题解析:（I ）令()()ln ,g x f x x ax '==-由题意可知,()()1212g x 00,x ,x ,x x ,∞=+<在上有两个不同根且()()()()11axg x a a 0g x 0,y g x 0,,x x∞-=-=∴≤'=+'≥当时，在上单增，不合题意当()()111a 0g x 0x y g x 0,,,,a a a ∞⎛⎫⎛⎫>=⇒=∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭'⎝⎭时，令在上单增单减()()x 110,,,,()100,a e 10,.e x g x x g x g g lna a a ⎛⎫→→-∞→+∞→-∞∴==-->⇒<< ⎪⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭时时的取值范围为（II ）由题意及（I ）可知，即证122x x ,a+>()()112121212122212121212121x x 2x x lnx lnx {x x (x x 0),x x x x lnx lnx 2x x x x (x x 0)x x ln a a ln a ln ln =--∴=∴+>>>=---->>>+即证即证()()()()()()()()()()()()2222x 1x 114(1),h 0,x 1x x 1x x 12x 12x 11,10,(1),x 1x 1h x lnx x x h x lnx h x h lnx x --=->=-=>+++--∴=-+∞∴>=∴>>++'设则在上单增21x x 1,.x =>令则原不等式成立 3．已知函数()3223f x x ax bx a =+++．（Ⅰ）若函数()y f x =在1x =-时有极值0，求常数a ,b 的值；（Ⅱ）若函数()()sin2g x f x x =+在点()()0,0g 处的切线平行于x 轴，求实数b 的值． 【思路引导】（1）根据函数的极值点的概念得到()()2'1360{1130f a b f a b a -=-+=-=-+-+=，极值点既在切线上又在曲线上，得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到()00g '=，从而得到参数值.4．已知函数()ln f x x x =-，()22g x ax x =+ ()0a <.（1）求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的极值点. 【思路引导】（1）对函数()f x 进行求导可得()11f x x'=-，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对()h x 进行求导可得()h x '= 221ax x x++，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值. 试题解析：（1）依题意， ()11f x x '=-,令110x-=，解得1x =.因为()11f =-， 111e e f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()e 1e f =-，且11e 11e -<--<-，故函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1-，最小值为1e -.（2）依题意， ()()()h x f x g x =+= 2ln x ax x ++， ()121h x ax x=++'= 221ax x x ++，当0a <时，令()0h x '=，则2210ax x ++=.因为180a ∆=->，所以()221ax x h x x '++== ()()122a x x x x x--，其中1118a x --=， 2118ax +-=因为0a <，所以10x <， 20x >，所以当20x x <<时，()0h x '>，当2x x >时， ()0h x '<，所以函数()h x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数，故2118ax +-=-为函数()h x 的极大值点，函数()h x 无极小值点.5．设函数f （x ）=lnx+ax 2+x+1． （I ）a=﹣2时，求函数f （x ）的极值点；（Ⅱ）当a=0时，证明xe x ≥f（x ）在（0，+∞）上恒成立． 【思路引导】（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F （x ）=xe x﹣f （x ）=xe x﹣lnx ﹣x ﹣1，（x ＞0），只要证明F （x ）≥=0即可．（Ⅱ）证明：当a=0时，f （x ）=lnx+x+1令F （x ）=xe x ﹣f （x ）=xe x ﹣lnx ﹣x ﹣1，（x ＞0）， 则F′（x ）=•（xe x ﹣1），令G （x ）=xe x ﹣1，则G′（x ）=（x+1）e x＞0，（x ＞0）， ∴函数G （x ）在（0，+∞）递增， 又G （0）=﹣1＜0，G （1）=e ﹣1＞0， ∴存在唯一c∈（0，1）使得G （c ）=0，且F （x ）在（0，c ）上单调递减，在（c ，+∞）上单调递增， 故F （x ）≥F（c ）=c•e c ﹣lnc ﹣c ﹣1， 由G （c ）=0，得c•e c ﹣1=0，得lnc+c=0，∴F（c ）=0， ∴F（x ）≥F（c ）=0， 从而证得xe x≥f（x ）．点评：在本题（Ⅱ）的解答中，为了求F （x ）的 最小值，通过求导得到F′（x ）=•（xe x ﹣1），不容易判断F （x ）的单调性，故构造G （x ）=xe x﹣1，采用二次求导的方法，在求G （x ）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G （x ）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F （x ）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法． 6．已知函数()xf x e =，()22a g x x x =--，（其中a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828e =……）. （1）令()()h x f x ='，求()h x 的单调区间；（2）已知()f x 在0x =处取得极小值，求实数a 的取值范围. 【思路引导】（1）求导函数的导数得()e xh x a '=-，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当0a ≤时，导函数不变号，为单调递增；当0a >时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增；（2）由题意得()00f '=，结合（1）根据导函数()h x 单调性分类讨论在0x =处是否为极小值：当0a ≤时，()f x 在0x =附近先减后增，为极小值；当0a >时，按ln a 与零大小关系进行二次讨论：ln 0a <，()()ln ,f x a ∞'+在 单调递增；()f x 在0x =附近先减后增，为极小值；当1a =时，()0f x '≥，无极值； ln 0a >时，()(),ln f x a -∞'在单调递减；()f x 在0x =附近先增后减，为极大值；综上可得实数a 的取值范围.（3）当1a =时，由（Ⅰ）知()f x '在区间(),ln a -∞单调递减， ()f x '在区间()ln ,a +∞单调递增， 所以()f x '在ln x a =处取得最小值，即()()()ln 00f x f a f '=''≥=， 所以函数()f x 在R 上单调递增， 所以()f x 在0x =处无极值，不符合题意.（4）当1a >时， ln 0a >，由（Ⅰ）知()f x '的减区间为(),ln a -∞，所以当(),0x ∈-∞时， ()()00f x f ''>=，当()0,ln x a ∈时， ()()00f x f ''<=，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意， 综上可知，实数a 的取值范围为(),1-∞. 7．已知函数（）.（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点， （），求的取值范围.【思路引导】函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分离参数m,利用极值原理求出参数m 的取值范围；当时有两个极值点为方程的两个根，根据根与系数关系找出与系数的关系，根据m 的范围解出的范围，表示出，根据减元，利用构造函数法求出其取值范围.8．已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时， ()2f x c >恒成立，求c 的取值范围． 【思路引导】（1）求出导函数()f x '，利用()10f '-=，且()2f '=0，解方程组可求得3{ 26a b =-=-；（2）利用导数研究函数()f x 的单调性，可得函数()f x 在[]2,3x ∈-时， ()f x 的最小值为10c -，只需102c c ->即可求c 的取值范围.（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+， ()2336f x x x '=--， 当x 变化时， ()(),f x f x '随x 的变化如下表：x-2()2,1---1()1,2-2()2,33()f x ' +0 -0 +()f x2c -增72c +减10c -增92c +∴当[]2,3x ∈-时， ()f x 的最小值为10c -， 要使()2f x c >恒成立，只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-．9．已知函数，其中为常数.（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； （2）若，对任意的正整数，当时，求证：.【思路引导】 （1）令 ，求出 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（Ⅱ） 时，求 的导数，通过讨论是奇数，偶数，结合函数的单调性证明结论即可．（2）证：因为，所以.当为偶数时，令，则∴所以当时，单调递增，的最小值为.因此所以成立.当为奇数时，要证，由于，所以只需证.令，则， 当时，单调递增，又，所以当时，恒有,命题成立.10．已知函数()xf x e tx =+. (1)求函数()f x 的极值点；(2)若f(x)≥x 2+1在(0,2)上恒成立,求实数t 的取值范围.【思路引导】(1)首先对函数()f x 求导，考虑到导函数含有参数t ，对参数t 大于等于0,和小于0两种情况进行讨论．(2)恒成立问题,首先利用参数分离，得到21x e x t x ---≤，再令()21x e x g x x--=，原问题转化为()min t g x -≤，从而求出参数t 的范围．。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题35 参数范围与最值不等建解不宜迟
【题型综述】 参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种： （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式， 通过解不等式解出参数的范围和最值. (2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确 定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等 式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.【典例指引】 类型一 参数范围问题例 1 【2016 高考江苏卷】（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M : x2 y2 12x 14 y 60 0 及其上一点 A(2, 4) .（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B, C 两点，且 BC OA ,求直线 l 的方程；（3）设点T (t, 0) 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ,使得TA TP TQ, ,求实数 t 的取值范围。
【解析】圆 M 的标准方程为 x 62 y 72 25 ，所以圆心 M(6，7)，半径为 5,.（1）由圆心在直线 x=6 上，可设 N 6, y0 .因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0 y0 7 ，于是圆 N 的半径为 y0 ，从而 7 y0 5 y0 ，解得 y0 1 .因此，圆 N 的标准方程为 x 62 y 12 1.(2)因为直线 l||OA，所以直线 l 的斜率为 4 0 2 . 20设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，则圆心 M 到直线 l 的距离267m m5d.55因为 BC OA 22 42 2 5,而MC 2d2 BC 22 ,所以 25 m 52 5 ，解得 m=5 或 m=-15.5故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.所以 5 5 t 4 62 3 72 5 5, 解得 2 2 21 t 2 2 21 .因此，实数 t 的取值范围是 2 2 21, 2 2 21 .类型二 方程中参数范围问题 例 2.【2016 高考江苏卷】（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l : x y 2 0 ，抛物线 C : y2 2 px( p 0) （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.①求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2 p, p). ； ②求 p 的取值范围.【解析】（1）抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 ( p ,0) 2由点 ( p ,0) 在直线 l : x y 2 0 上，得 p 0 2 0 ，即 p 4.22所以抛物线 C 的方程为 y2 8x.因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 y1 y2 , 从而 (2 p)2 4(2 pb) 0 ，化简得 p 2b 0 .方程（*）的两根为 y1,2 p p2 2 pb，从而y0y1 2y2 p.因为 M (x0 , y0 ) 在直线 l 上，所以 x0 2 p.因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2 p, p).②因为 M(2 p, p).在直线 y x b 上 所以 p (2 p) b ，即 b 2 2 p.由①知 p 2b 0 ，于是 p 2(2 2 p) 0 ，所以 p 4 . 3因此 p 的取值范围为 (0, 4). 3类型三 斜率范围问题例3【2016高考天津理数】（本小题满分14 分）设椭圆 x2 a2y2 31（a3 ）的右焦点为 F ，右顶点为A ，已知 1 1 3e ，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率. | OF | | OA | | FA |（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交 于点 H ，若 BF HF ，且 MOA MAO ，求直线的 l 斜率的取值范围.【 解 析 】（ 1 ） 设 F (c, 0) ， 由 1 1 3c ， 即 1 1 3c ， 可 得 a2 c2 3c2 ， 又 | OF | | OA | | FA | c a a(a c)a2 c2 b2 3 ，所以 c2 1，因此 a2 4 ，所以椭圆的方程为 x2 y2 1. 43由（Ⅰ）知，F (1,0)，设H (0,yH)，有FH(1,yH)，BF9 4k 2(,4k 2 312k )4k 2 3.由BFHF，得BF HF 0，所以9 4k 2 4k 2 312kyH 4k 2 30，解得9 4k 2 yH 12k.因此直线MH的方程为y 1 x 9 4k2 . k 12k设M (xM , yM )，由方程组 y1x94k2 k 12ky k(x 2)消去y，解得xM20k 12(k2 2 9 1).在MAO中，MOA MAO| MA || MO |，即 (xM2)2yM2xM2yM2，化简得xM1，即20k 12(k2 29 1) 1，解得k 6 或k 6 .44所以，直线 l 的斜率的取值范围为 (, 6 ] [ 6 ,) . 44类型四 离心率的范围问题例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆x2 a2y2 1 （a＞1）.（I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示）；（II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围. y kx 1【解析】（1）设直线ykx 1 被椭圆截得的线段为，由 x2 a2y2得1 1 a2k 2 x2 2a2kx 0 ，故x10，x212a2k a2k2．因此 1 k2x1 x22a2 k1 a2k21 k2 ．由于 k1 k2 ， k1 ， k2 0 得 1 k12 k22 a2 2 a2 k12k22 0 ， 因此 1 k12 1 1 k22 11a2a2 2，①因为①式关于 k1 ， k2 的方程有解的充要条件是 1 a2 a2 2 1，所以 a 2 ．因此，任意以点 0,1 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为1 a 2 ，由 e c a2 1 得，所求离心率的取值范围为 0 e 2 ．aa2【扩展链接】1.若椭圆方程为，半焦距为 c ，焦点 F1 c, 0, F2 c, 0 ，设过 F1 的直线 l 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有：①AF1b2 a c cos,BF1b2 a c cos；②AB２ab2 a２ c２cos２若椭圆方程为，半焦距为 c ，焦点 F1 c, 0, F2 c, 0 ，设过 F２的直线 l 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有：①AF２b2 a＋c cos,BF２b2 a－c cos；②AB2ab2 a２ c２cos２同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为AB2ab2 a２ c２sin２（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：AB a２2ab2 c２cos２焦点在x轴上 a２2ab2 c２sin２焦点在y轴上2.过椭圆左焦点的焦点弦为 ,则；过右焦点的弦.3. 抛物线 y2 2 px( p 0) 与直线 y kx b 相交于 A x1, y1 , B x2, y2 且该直线与 y 轴交于点C 0, y3 ，则有11 1.y1 y2 y34.设 AB 为过抛物线 y2 2 px( p 0) 焦点的弦， A(x1, y1) 、B(x2 , y2 ) ，直线 AB 的倾斜角为 ，则①. x1x2p2 4, y1 y2 p2;②.AF x1 p 2 p, 1 cosBF x2 p 2p 1 cos③.ABx1x2p2p sin2 ;④. 1 1 2 ； | FA | | FB | P⑤. OAOB 3 p2 ； 4⑥. SAOB1 2OAOBsin AOB1 2OF hFp2 2 sin ；【同步训练】1．已知椭圆的右焦点为，离心率为 .（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线 上，且与椭圆相交于 两点， 分别为线段 ，求 的取值范围.的中点，若坐标原点 在以 为直径的圆【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得， ，所以椭圆的方程为.(2) 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 ， 集 合 韦 达 定 理 和 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 法 则 可 得，结合离心率的范围可知则 的取值范围是.【详细解析】（1）由题意得又因为，∴ .，∴.所以椭圆的方程为.（2）由得.设.所以，2.在中，顶点所对三边分别是(1)求顶点 的轨迹方程；已知,且 成等差数列.(2) 设顶点 A 的轨迹与直线相交于不同的两点关于对称，求实数 的取值范围，如果存在过点的直线,使得点【思路点拨】(1 ) 由 轨迹方程为成等差数列，可得 ； (2) 将； 与椭圆方程结合椭圆的定义可求得 的 联立，判别式大于 得.根据点 出 的取值范围.关于直线对称，得.讨论， 两种情况即可求【详细解析】（1）由题知得，即（定值）．由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 ．∴ 顶点 的轨迹方程为．（2）由 消去整理得 ∴令，则, ，整理得：.…①.设的中点i)当时，由题知，ii)当时，直线方程为． ，，则 .3.已知 A，B，C 是椭圆 C：x2 a2y2 b2 1（a>b>0）上的三点，其中点 A 的坐标为(2，0)，BC 过椭圆的中心，且 · ＝0，| |＝2| |(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点(0，t)的直线 l(斜率存在)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，设 D 为椭圆 C 与 y 轴负半轴的交点，且| |＝ | |，求实数 t 的取值范围．【思路点拨】（1）根据点的坐标求出 a，然后根据 AB BC 0, BC 2 AC 求出 b,即可求出椭圆方程。
高考复习资料最新高考压轴题难题汇总
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}na 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21yx =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1120111111n n n a bb b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。
高三试卷压轴题知识点总结
高三试卷压轴题知识点总结高三，作为一个学生学习生涯中最为关键和紧张的阶段，对于每个学生而言都是至关重要的。
在高三备战期间，试卷压轴题是学生们备考的重要内容之一。
本文将对高三试卷压轴题的知识点进行总结，帮助学生们更好地备考。
第一部分：数学数学作为高中三大基础学科之一，在高三阶段需要掌握的知识点较多，以下总结了一些常见的数学试卷压轴题知识点。
1. 函数与方程这部分知识点在高三数学中占据重要地位，包括二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
在备考高三数学试卷压轴题时，理解这些函数的定义、性质以及它们之间的相互关系是非常重要的。
2. 解析几何解析几何也是高三数学中的重点内容，包括直线与圆的方程、平面几何等。
熟悉坐标系、直线斜率、圆的方程以及平面几何中的相关定理是备考压轴题的关键。
3. 排列组合与概率这部分内容在高三数学中常常出现，包括排列、组合、二项式定理、概率等。
要理解这些概念的定义、性质以及它们的应用，尤其是在计算题中，需要掌握各种排列组合公式和概率计算方法。
第二部分：物理物理作为高中三大基础学科之一，也是高三备考中的重点科目之一。
以下总结了一些常见的物理试卷压轴题知识点。
1. 力学力学是物理学中最为基础的分支，重点内容包括牛顿运动定律、平抛运动、圆周运动等。
在备考物理试卷压轴题时，学生需要熟练掌握这些定律和公式，并能够灵活运用于各种实际问题。
2. 电磁学电磁学也是高三物理中的重要内容，包括电场、磁场、电磁感应等。
在备考压轴题时，理解电场力、磁场力以及电磁感应原理是必须的。
3. 光学光学作为物理学中的重要分支，包括光的传播、反射、折射、光的波动性等。
理解这些光学现象的原理和公式，并能够应用于实际问题的计算是备考压轴题的关键。
第三部分：化学化学是一门高中必修的基础学科，也是高三备考中的重点科目之一。
以下总结了一些常见的化学试卷压轴题知识点。
1. 化学反应与化学方程式理解化学反应的类型、化学方程式的平衡以及计算反应物和生成物的摩尔比等是备考压轴题的重点。
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【题型综述】函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为： （1）求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【典例指引】例1．已知函数()cos xf x e x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【思路引导】（1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可，（2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定最值的取值地方从而计算得出最值点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可得到最值例2．设函数()()ln ,21xf x xg x xe x ==-- .(1)关于x 的方程()2103f x x m =-+在区间[]1,3上有解，求m 的取值范围； (2)当0x >时，()()g x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【思路引导】 （1）方程()2103f x x m =-+等价于()27ln 3h x x x x m =-+=，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得m 的取值范围；（2）()()g x a f x -≥恒成立等价于()()()ln 1xF x g x f x x e x x a =-=⋅---≥恒成立，两次求导，求得()F x 的最小值为零，从而可得实数a 的取值范围. 试题解析：（1）方程()2103f x x x m =-+即为27ln 3x x x m -+=，令()()27ln 03h x x x x x =-+>，则()()()312317'233x x h x x x x+-=-+=-， ∴当[]1,3x ∈时， ()()',h x h x 随x 变化情况如表：x131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 32 3,32⎛⎫⎪⎝⎭3 ()'h x+ 0-()h x 43 ↗极大值 ↘ln32-()()443351,3ln32,ln 33224h h h ⎛⎫==-<=+ ⎪⎝⎭Q ， ∴当[]1,3x ∈时， ()35ln32,ln 24h x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦， m ∴的取值范围是35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.例3．已知函数()()322312h x x x x m m R =+-+∈的一个极值为2-．（1）求实数m 的值；（2）若函数()h x 在区间3,2k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为18，求实数k 的值． 【思路引导】（1）由题意得()()()2'6612621h x x x x x =+-=+-，函数()h x 有两个极值为()2h -和令()1h ，从而得到实数m 的值；（2）研究函数()h x 在区间3,2k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数k 的方程，解之即可.试题解析：（1）由()()322312h x x x x m m R =+-+∈，得()()()2'6612621h x x x x x =+-=+-，令()'0h x =，得2x =-或1x =；令()'0h x <，得21x -<<；令()'0h x >，得2x <-或1x >.所以函数()h x 有两个极值为()2h -和令()1h . 若()22h -=-，得()()()3222321222m ⨯-+⨯--⨯-+=-，解得22m =-； 若()12h =-，得3221311212m ⨯+⨯-⨯+=-，解得5m =； 综上，实数m 的值为22-或5.（2）由（1）得， ()'h x ， ()h x 在区间3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上的变化情况如下表所示：【同步训练】1．已知函数()()11ln x f x a e x a a=-+-（0a >且1a ≠），e 为自然对数的底数． （Ⅰ）当a e =时，求函数()y f x =在区间[]0,2x ∈上的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 只有一个零点，求a 的值． 【思路引导】(1)由导函数的解析式可得()()(){}2max 1max 0,23f x f f e e e==--． (2)由()'0f x =，得log a x e =，分类讨论1a >和01a <<两种情况可得1a e=．（Ⅱ）()()11ln x f x a e x a a=-+-， ()()'ln ln ln x x f x a a e a a a e =-=-， 令()'0f x =，得log a x e =，则 ①当1a >时， ln 0a >，x(),log a e -∞log a e()log ,a e +∞()'f x -+()f x极小值所以当log a x e =时， ()f x 有最小值()()min log ln a f x f e e a a==--， 因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞，则()min 1ln 0f x e a a =--=，即1ln 0e a a+=， 因为当1a >时， ln 0a >，所以此方程无解． ②当01a <<时， ln 0a <，x(),log a e -∞log a e()log ,a e +∞()'f x -+()f x极小值点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．2．已知函数f(x)＝(x－k)e x，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．【思路引导】（1）f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的单调区间．（2）当k﹣1≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）min=f（0）=﹣k；当1＜k≤2时，函数f（x）在区间[0，k﹣1]上递减，（k﹣1，1]上递增，；当k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e．试题解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k . 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 3．已知函数的()cos24f x ax x b π=-+ 图象在点,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为54y x π=-.(1)求,a b 的值； (2)求函数()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦值域. 【思路引导】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得,a b 的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得()f x 的导数，利用导数研究函数()3cos24f x x x π=-+的单调性，利用单调性即可得到函数()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦值域.4．设函数()ln f x x x =-，()21xg x xe x =--.（1） 关于x 的方程()2103f x x x m =-+在区间[]1,3上有解，求m 的取值范围； （2） 当0x >时，()()g x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【思路引导】（1）方程在一个区间上有解，可以转化为27ln 3x x x m -+=有解，研究该函数的单调性和图像使得常函数和该函数有交点即可。
（2）该题可以转化为当0x >时， ()()g x f x a -≥恒成立，令()()()F x g x f x =-研究这个函数的单调性和最值即可。
∴当[]1,3x ∈时，()(),h x h x '随x 变化情况如下表：x131,2⎛⎫⎪⎝⎭323,32⎛⎫ ⎪⎝⎭3()h x '+-()h x43↗ 极大值 ↘ln32-∵()413h =， ()43ln323h =-<， 335224h ln ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当[]1,3x ∈时，()35ln32,ln24h x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦， ∴m 的取值范围为35ln32,ln24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（2）依题意，当0x >时， ()()g x f x a -≥恒成立 令()()()()ln 10xF x g x f x x e x x x =-=⋅--->，5．已知函数()1ln x f x x x-=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程.（Ⅱ）求()f x 的单调区间.（Ⅲ）求()f x 在1,e 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【思路引导】(Ⅰ)首先利用导函数求得切线的斜率为122f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，结合函数在可得切线过点1,1ln22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则切线方程为： 222y x ln =-+．(Ⅱ)结合函数的定义域求解不等式()'0f x >和()'0f x <可得()f x 单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞．(Ⅲ)结合(Ⅱ)的结论可得()f x 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减．则()()10max f x f ==，()1434min f x f ln ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（3）1,e 4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减． ∴()()10max f x f ==，1434f ln ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1e f e =-．∴143eln -<-， ∴()1434min f x f ln ⎛⎫==-⎪⎝⎭．6．已知函数．（I）讨论函数的单调区间；（II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．【思路引导】(Ⅰ)对函数求导可得，令得．分类讨论可得当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减；(Ⅱ)当时，函数的解析式，则，讨论函数的单调性可得，，且，则的取值范围是.（II）当时，，令，得．将，，变化情况列表如下：10 0↗极大↘极小↗由此表可得，．又，故区间内必须含有，即的取值范围是．7．已知函数()xf x e ax=-.（1）当2a=时，求函数()f x的单调区间；（2）若存在[],0,2m n∈，且1m n-≥，使得()()1f mf n=，求证：11aee≤≤-.【思路引导】（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对a进行分类讨论，当0a≤时显然不行，0a>时，不能有(),ln,m n a∈+∞，设02m n≤<≤，则由0ln2m a n≤<<≤即可，利用单调性即可证出.点评：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.8．已知函数()()32(1){1x x x f x alnx x -+<=≥. （1）求()f x 在区间(),1-∞上的极小值和极大值点。