高考数学难点突破 难点41 应用问题
高考理科数学基础知识巩固强化练习试题41版含解析
5．[2019 ·大连调研 ]某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到
第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为 ( )
A ．21 B．34 C．52 D．55 答案： D 解析： 由 2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3 知，从第三项起，每一项都 等于前两项的和，则第 6 年为 8，第 7 年为 13，第 8 年为 21，第 9 年为 34，第 10 年为 55.故选 D. 6．[2019 ·安徽联考 ]某参观团根据下列约束条件从 A，B，C，D， E 五个镇选择参观地点：①若去 A 镇，也必须去 B 镇；② D，E 两镇 至少去一镇；③ B，C 两镇只去一镇；④ C，D 两镇都去或者都不去； ⑤若去 E 镇，则 A，D 两镇也必须去．则该参观团至多去了 ( )
D．自然数 a，b，c，d 中至少有两个偶数或都是奇数
答案： D
解析：反证法证明命题时应假设所要证明的结论的反面成立， 本
题需反设为自然数 a，b，c，d 中至少有两个偶数或都是奇数．
2．要证明 3＋ 7<2 5可选择的方法有以下几种， 其中最合理的 是( )
A ．综合法 B．分析法
C．反证法 答案： B
② ∴ 从 n＝k 到 n＝k＋1 的证明，左边需增加的代数式是由 ①得到
2k＋1 2k＋2
k＋ 1
＝2(2k＋ 1)．
10．[2019 ·吉林长春质检 ]有甲、乙二人去看望高中数学张老师，
期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 m 月 n 日，张老师把 m 告
诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出来如下 10 个日期供选择： 2
左边应增加的代数式为 ________．
答案： 2(2k＋1)
高考数学难点突破_难点41__应用性问题
难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求.●难点磁场1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？●案例探究［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立 将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由2a +4b +2ab =60,得aa b +-=230,记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值.由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0, ∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3.从而当且仅当a =6，b =3时,y =abk取最小值. ［例2］某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,… 所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1)=b 1×0.94n+nnx x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-.当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x.因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x≤60，所以x ≤3.6 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆. ●锦囊妙计1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c 元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）6.（★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的函数，记作y =f (t )，下表是某日各时的浪高数据（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.7.（★★★★★）某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？8.（★★★★★）某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个.已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元.参 考 答 案●难点磁场1.解析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，（如图），则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ，设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ⊂β得AQ ∥l ,又AQ ⊥PQ ，得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB ，及l ∩PB =P 得PQ ⊥α.作AC ∥PQ ，则AC ⊥α.连CB ，则AC ⊥CB ，进而AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ，∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t –2)2+9］,t =2时AB 最短，最短距离为30 m.答案：30 m2.解析：按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟.答案：153.解：依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ),则 ⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)5( 2.8)50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f(1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有–0.4x 2+3.2x –2.8>0,得1<x <7,∴1<x ≤5. 当x >5时，有8.2–x >0,得x <8.2,∴5<x <8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内. （2）0≤x ≤5时，f (x )=–0.4(x –4)2+3.6 故当x =4时，f (x )有最大值3.6. 而当x >5时f (x )<8.2–5=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4)4(R =2.4（万元/百台）=240（元/台）. ●歼灭难点训练一、1.解析：此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96.5=546.6元.答案：C2.解析：从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元.答案：C二、3.解析：小球经过的路程为：30020021121100100)21(21004121002121003=⨯-+=++⨯+⨯⨯+⨯⨯+= s m.答案：300 4.提示：sin2°=90π答案：86 m三、5.解：设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元).则由题意，,)2(.)(21S v m b y S vm a m vS aS y +=+=+=S vm b a y y S vm c y ]2)[(.)10(213+-=-+=,由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1.由y 3–y 2=［(c –b )–vm 52］S .令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +vm 52.所以，当c >b +vm 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，当b <a <c <b +vm 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小.6.解：（1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T.由t =0,y =1.5得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =21，∴y =16cos21+t π(2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16cos21+t π>1, t 6cosπ>0.∴2k π–2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3.由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.7.解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n +2)1(-n n ×4］–72=–2n 2+40n –72(1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利.（2）①年平均利润=nn f )(=40–2(n +n 36)≤16.当且仅当n =6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128.当n =10时，f (n )|max =128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.8.解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤≤≤≤60004700032120008214000641200025000y x y x y x y x y x 则有依题意有 设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y )要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值. x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n ) ∴⎩⎨⎧=+=+24312n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5152n m 有x +2y =52(2x +3y )+51(x +4y )≤52×7000+51×6000.当且仅当⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x 时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y )=4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.。
2011年高考数学难点、重点突破精讲精练专题四-数列中的应用问题(学生版)
专题04数列中的应用问题【名师导航】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.数列在实际问题中也有广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题，其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体和有着高等数学背景的数列解答题是未来高考的一个新的亮点。
【考纲知识梳理】数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和，属于等差模型；复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和，属于等比模型。
（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是与的递推关系，还是前n项和与之间的递推关系。
【热点难点精析】以等差数列为模型的实际应用※相关※1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。
然后用等差数列知识求解。
这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：※例题解析※〖例〗气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天?以等比数列为模型的实际应用※相关※1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。
高考数学总复习 高效课时作业41 文 试题
2021年高考数学总复习 高效课时作业4-1 文 新人教版一、选择题1．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，那么|AM →|＝( )A ． 8B ．4C ．2D ．1解析：如图，以AB ，AC 为邻边构造平行四边形ABDC ，AD 、BC 交于一点M ， 由BC →2＝16，得|BC →|＝4，又由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得 |AD →|＝|BC →|，∴四边形ABDC 为矩形， ∴|AM →|＝12|BC →|＝2.答案：C 2．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，那么以下结论中正确的选项是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直解析：由题知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．答案：D3．(2021)向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．假设λ为实数，(a ＋λb )∥c ，那么λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：∵a ＋λb ＝(λ＋1，2)，c ＝(3，4)，又(a ＋λb )∥c ， ∴λ＋13＝24， ∴λ＝12.答案：B4．设O 在△ABC 的内部，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，那么△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由OC →＝－12(OA →＋OB →)，设D 为AB 的中点， 那么OD →＝12(OA →＋OB →)，∴OD →＝－OC →， ∴O 为CD 的中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，∴S △ABCS △AOC＝4.答案：B5．(2021年模拟)两点A (1，0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →，(λ∈R)，那么λ等于( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－2解析：OC →＝－2OA →＋λOB →＝(－2，0)＋(λ，3λ) ＝(λ－2，3λ) ∵∠AOC ＝120°， ∴tan ∠AOC ＝3λλ－2＝－3 ∴λ＝1. 答案：C 二、填空题6．平面上不一共线的四点O 、A 、B 、C .假设OA →－3OB →＋2OC →＝0，那么|AB →||BC →|等于________．解析：由得，OB →－OA →＝2(OC →－OB →)， ∴AB →＝2BC →， ∴|AB →||BC →|＝2. 答案：27．(2021)假设平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，那么α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：法一：如图，向量α与β在单位圆O 内，因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上(α∥AB 且圆心O 到AB 的间隔 为12)，因此夹角θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.法二：由，得12＝S ▱＝|α||β|·sin θ≤sin θ，∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π 8．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，那么mn＝____．解析：如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， 而AD →＝mAB →＋nAC →， ∴m ＝13，n ＝23，m n ＝12.答案：129．向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，假设(a －c )∥b ，那么k ＝________．解析：依题意得a －c ＝(3－k ，－6)， 由(a －c )∥b 得－6＝3(3－k )，k ＝5. 答案：5 三、解答题10．过△ABC 的重心G 任作直线分别交AB 、AC 于D 、E ，假设AD →＝xAB →，AE →＝yAC →，且xy 1x ＋1y的值．解析：如下图，设AB →＝a ，AC →＝b ， 那么AG →＝13(a ＋b )．∴GD →＝AD →－AG →＝x ·a －13(a ＋b )＝(x －13)a －13b .又∵ED →＝AD →－AE →＝xa －yb ∵GD →∥ED →，∴x －13x ＝－13－y ，即1x ＋1y＝3.11．如图，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN →＝13AC →，在AB 上取点M ，使得AM →＝13AB →，在BN的延长线上取点P ，使得NP →＝12BN →，在CM 的延长线上取一点Q ，使MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →.试确定λ的值．解析：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →) ＝12(BN →＋NC →)＝12BC →； 又∵QA →＝MA →－MQ →＝12BM →－λCM →＝12BM →＋λMC →，且AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， ∴λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC →，∴λ＝12.12．设a 、b 是不一共线的两个非零向量，(1)假设OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ， 求证：A 、B 、C 三点一共线；(2)假设8a ＋kb 与ka ＋2b 一共线，务实数k 的值；(3)设OM →＝ma ，ON →＝nb ，OP →＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，假设M 、P 、N 三点一共线，求证： αm ＋βn＝1. 解析：(1)证明：∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ， 而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →， ∴AB →与BC →一共线，又有公一共端点B ， ∴A 、B 、C 三点一共线． (2)∵8a ＋kb 与ka ＋2b 一共线， ∴存在实数λ，使得(8a ＋kb )＝λ(ka ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0， ∵a 与b 不一共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，得8＝2λ2，∴λ＝±2.∴k ＝2λ＝±4. (3)证明：∵M 、P 、N 三点一共线，∴存在实数λ，使得MP →＝λPN →， ∴OP →＝OM →＋λON →1＋λ＝m 1＋λ a ＋λn1＋λb .∵a 、b 不一共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝m1＋λ，β＝λn1＋λ，∴αm ＋βn ＝11＋λ＋λ1＋λ＝1.四季寄语情感寄语在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷. 落红不是无情物,化作春泥更护花. 愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好 挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗 对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地 燕子声声里,相思又一年 朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界 愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊 没有你在身边,我的生活永远是冬天! 让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
高三理科数学小题狂做41
高三理科数学小题狂做（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}22x x M =-≤≤，{}230x x x N =-=，则MN =（ ）A ．{}3B ．{}0C ．{}0,2D ．{}0,32、若复数()()12bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2-B ．12-C ．2D ．123、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出的S 的值是（ ） A ．64B ．73C ．512D ．5854、棱长为2的正方体挖去一个几何体后的三视图如图所示，则剩余部分的体积是（ ）A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 5、已知4sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值等于（ ）A ．825B ．725C ．825-D ．725-6、已知实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y a =++的最小值是2，则实数a 的值是（ ）A ．0B ．32C ．2D ．1-7、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ）A ．12B ．13C ．25D ．498、已知a 、b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//αβ，//a α，//b β，则//a bB ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则//a bD ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥ 9、曲线sin y x x =在点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线与x 轴、直线x π=所围成的三角形的面积是（ ）A ．22πB ．2πC ．22πD ．()2122π+10、已知正方形的四个顶点分别为()0,0O ，()1,0A ，()1,1B ，()C 0,1，点D ，E 分别在线段C O ，AB 上运动，且D O =BE ，设D A 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是（ ）A ．2y x =（01x ≤≤） B ．()1x y y =-（01y ≤≤） C ．()1y x x =-（01x ≤≤） D ．21y x =-（01x ≤≤）11、设()f x 是R 上以2为周期的奇函数，已知当(]0,1x ∈时，()21log 1f x x=-，则()f x 在区间()1,2上是（ ）A ．增函数，且()0f x <B ．增函数，且()0f x >C ．减函数，且()0f x <D ．减函数，且()0f x >12、已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12F F 3π∠P =，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） A ．3B ．433C ．2D ．233二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、若向量()1,1OA =，OA =OB ，0OA⋅OB =，则AB =．14、若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n 的值是．15、右面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩（所有成绩取整数）的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是． 16、以下命题，错误的有．①若()()32131f x x a x x =+-++没有极值点，则24a -<<；②()13mx f x x +=+在区间()3,-+∞上单调，则13m ≥； ③若函数()ln x f x m x =-有两个零点，则1m e<；④已知()log a f x x =（01a <<），k ，m ，R n +∈且不全等，则()()()222k m m n k n f f f f k f m f n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．高三理科数学小题狂做（4）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBADCBDACAD13、2 14、8 15、4516、①②③高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．当0＜k ＜12时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )A.85B.32 C ．4D ．84．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．x ＋3y －8＝0D ．x －3y －4＝07．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．10．(·舟山模拟)已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．233．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．[答 题 栏]A 级 1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)A 级1．C2.B3.B4.B5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3，即y ＝12x ＋32，其斜率是12， 由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12. 答案：－12 8．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0， 解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵|AB|＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k2－48k －7＝0，解得k1＝7或k2＝－17. 因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－y x ′－x ×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－4x ＋3y －95，③ y ′＝3x ＋4y ＋35.④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.B 级1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等，∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，则kBB ′·kl ＝－1，即3·b －4a＝－1. 则a ＋3b －12＝0.① 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.② 解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．。
高考数学难点突破_难点21__直线方程及其应用
高考数学难点突破_难点21__直线方程及其应用直线方程及其应用是高考数学中的一个难点，学生在解题时常常容易出错。
下面我将就直线方程及其应用中的难点进行详细解析，帮助学生突破这一难点。
直线方程的一般式为：Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A与B不同时为0，这是直线的一般表达式。
针对直线方程的难点，主要包括以下内容：1. 直线的一般方程与斜率截距方程之间的转换。
直线的一般方程通过整理可将其转换为斜率截距方程y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的交点，也称为直线的截距。
此时，直线方程中A、B、C的值与斜率k和截距b之间存在一定的关系，学生需要掌握它们之间的转换方法。
2.直线的斜率计算。
直线的斜率可以通过两个点的坐标计算得到，斜率的计算公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
在计算斜率时，学生常常会出现计算错误，需要仔细核对计算过程。
3. 直线与直线的关系。
直线与直线之间有三种相对关系：平行、重合和相交。
学生需要通过求解直线方程组来判断两条直线之间的关系。
在求解直线方程组时，常用的方法有代入法、消元法和Cramer法则等，学生需要掌握这些方法，并在解题过程中选择合适的方法。
4.直线与圆的关系。
直线与圆之间存在两种相对关系：相离和相切。
相离时，直线与圆没有交点；相切时，直线与圆有且只有一个交点。
学生在解题时需要掌握直线与圆的方程，如圆心半径方程、一般二次方程等，并通过解方程来求解直线与圆的交点。
在解题时，学生可以通过以下方法来突破难点：1.理解直线与斜率的关系。
学生需要理解直线的斜率是直线与x轴夹角的正切值，即斜率越大，直线越倾斜；斜率为正，直线向右上方倾斜；斜率为负，直线向右下方倾斜。
通过理解斜率的概念，可以更加灵活地应用直线方程及其应用。
2.多做习题，增加对知识点的熟练度。
学生在解题时应多做一些练习题，熟练掌握直线方程及其应用的解题方法和技巧，善于总结归纳。
3.注意题目中的条件和要求。
高考数学 6.41 不等式的应用课件 理
即2x2＋x－3>0，∴x>1或x<－32；
若x2－1<0，则
x －1 2
＋x2＋x>2，即1－x2＋x2＋
x>2，
∴x>1，无解.
综上所述：f(x)>2的解集为
xx>1或x<－32.
(2)因为0<a<4，所以f(x)＝
2x2＋kx－a，x∈（ a，2）， kx＋a，x∈（0， a]，
(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量 与变量的不等关系.
(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数 学模型转化为数学符号或图形符号.
(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.
1.(2015四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其
中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝
max
2a，a＋abb，
2b，求h的范围.
【解析】(1)M＝{x|0<x<1}，a，b∈M，
∴0<a<1，0<b<1，
所以ab＋1－a－b＝a－1b－1>0，
所以ab＋1>a＋b.
(2)h≥
2a，h≥a＋abb，h≥
2， b
h3≥4（aa＋b b）>4（a2a＋b b2）≥4×ab2ab＝8，
3.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范 围是( D )
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
【解析】由x>0及2x(x－a)<1知，a>x－12x， 令f(x)＝x－12x， 由于y＝x，y＝－12x在定义域内均为增函数， 因此f(x)为增函数， 从而x>0时，f(x)>f(0)＝－1， 因此满足条件的a的取值范围为a>－1.故选D.
高考数学难点突破_难点36-41(完)
难点36 函数方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●难点磁场1.（★★★★★）关于x 的不等式2²32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 .2.（★★★★★）对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212+a 对称，求b 的最小值.●案例探究［例1］已知函数f (x )=log m33+-x x(1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3.∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数. （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f mmmm即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在.［例2］已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R ) (1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角.求证：m ≥5;(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m .命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属 ★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式. 错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A +B )＜0，第(2)问中如何保证f (x )在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏. （1）证明：f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0.依题意：⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角 ∴2π＜A +B ＜π∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m BA B A B A∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--031040101522m m m m m m ∴m ≥5 (2)证明：∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0 即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0 ∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解：∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 22+-++-m m m α且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8.即1+(m +1)+m =8，∴m =3 ●锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：（1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★★）已知函数f (x )=log a ［x –(2a )2］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A.(0,41] B.(0,41) C.［41,1) D.(41,21）2.（★★★★★）函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A.［45，+∞) B.(1,45] C.［47,+∞) D.(1,47］二、填空题 3.（★★★★）关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a 的取值范围是 . 4.（★★★★★）如果y =1–sin 2x –m cos x 的最小值为–4，则m 的值为 . 三、解答题5.（★★★★）设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R }. （1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2)恒成立，求x 的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b 为常数，且a ≠0)满足条件:f (x –1)=f (3–x )且方程f (x )=2x 有等根.（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ，n (m ＜n ＝，使f (x )定义域和值域分别为［m ,n ］和［4m ,4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f (x )=6x –6x 2，设函数g 1(x )=f (x ), g 2(x )=f ［g 1(x )］, g 3(x )=f ［g 2(x )］, …g n (x )=f ［g n –1(x )］,…（1）求证：如果存在一个实数x 0，满足g 1(x 0)=x 0，那么对一切n ∈N ，g n (x 0)=x 0都成立； （2）若实数x 0满足g n (x 0)=x 0，则称x 0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点； （3）设区间A =（–∞,0）,对于任意x ∈A ，有g 1(x )=f (x )=a ＜0, g 2(x )=f ［g 1(x )］=f (0)＜0， 且n ≥2时，g n (x )＜0.试问是否存在区间B （A ∩B ≠∅），对于区间内任意实数x ，只要n ≥2，都有g n (x )＜0.8.（★★★★）已知函数f (x )=xa11-(a ＞0,x ＞0).（1）求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数；（2）若f (x )≤2x 在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若f (x )在［m ,n ］上的值域是［m ,n ］(m ≠n )，求a 的取值范围.参 考 答 案●难点磁场1.解析：设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t ,t ∈［1,3］. 等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值. 答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3. 故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3.（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点， ∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立.于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1.（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +1212+a 对称.∴k =–1.设AB 的中点为M (x ′,y ′)∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根. ∴x ′=y ′=ab x x 2221-=+，又点M 在直线1212++-=a x y 上有121222++=-a ab ab ，即a a a a b 121122+-=+-=∵a ＞0，∴2a +a1≥22当且仅当2a =a1即a =22∈(0,1)时取等号，故b ≥–221，得b 的最小值–42.●歼灭难点训练一、1.解析：考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x的图象，显然有0＜2a ＜1.由题意21)2(21a =得a =41，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A2.解析：由题意可得f (–x +1)=–f (x +1).令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t )，即f (x )=–f (2–x ).当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –47)2–87，其递减区间为［47，+∞).答案：C3.解析：显然有x ＞3，原方程可化为1031=--x ax故有(10–a )²x =29,必有10–a ＞0得a ＜10 又x =a -1029＞3可得a ＞31.答案：31＜a ＜104.解析：原式化为4)2(cos 22m m x y --=.当2m ＜–1,y min =1+m =–4⇒m =–5.当–1≤2m ≤1,y min =42m -=–4⇒m =±4不符.当2m ＞1，y min =1–m =–4⇒m =5.答案：±5二、5.解：(1)令2x=t (t ＞0)，设f (t )=t 2–4t +a .由f (t )=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f (t )=0有两等根时，Δ=0⇒16–4a =0⇒a =4 验证：t 2–4t +4=0⇒t =2∈(0,+∞)，这时x =1②f (t )=0有一正根和一负根时,f (0)＜0⇒a ＜0③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4²2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g (a )=(x –2)a –(x 2–6x )＞0恒成立.只须175081020)4(022-⇒⎩⎨⎧<+-≤⇒⎩⎨⎧>≤-x x x g x ＜x ≤2 6.解：（1）∵方程ax 2+bx =2x 有等根，∴Δ=(b –2)2=0,得b =2. 由f (x –1)=f (3–x )知此函数图象的对称轴方程为x =–ab 2=1得a =–1，故f (x )=–x 2+2x .（2）f (x )=–(x –1)2+1≤1，∴4n ≤1，即n ≤41而抛物线y =–x 2+2x 的对称轴为x =1 ∴n ≤41时，f (x )在［m ,n ］上为增函数.若满足题设条件的m ,n 存在，则⎩⎨⎧==nn f m m f 4)(4)(⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m nn n mm m 或或即 又m ＜n ≤41,∴m =–2,n =0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m 、n 存在，m =–2,n =0. 7.(1)证明：当n =1时，g 1(x 0)=x 0显然成立； 设n =k 时，有g k (x 0)=x 0(k ∈N )成立， 则g k +1(x 0)=f ［g k (x 0)］=f (x 0)=g 1(x 0)=x 0 即n =k +1时，命题成立.∴对一切n ∈N ,若g 1(x 0)=x 0，则g n (x 0)=x 0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x 0只需满足f (x 0)=x 0 由f (x 0)=x 0，得6x 0–6x 02=x 0,∴x 0=0或x 0=65∴稳定不动点为0和65.(3)解：∵f (x )＜0，得6x –6x 2＜0⇒x ＜0或x ＞1.∴g n (x )＜0⇔f ［g n –1(x )］＜0⇔g n –1(x )＜0或g n –1(x )＞1要使一切n ∈N ,n ≥2，都有g n (x )＜0，必须有g 1(x )＜0或g 1(x )＞1.由g 1(x )＜0⇔6x –6x 2＜0⇔x ＜0或x ＞1 由g 1(x )＞0⇔6x –6x 2＞1⇔633633+<<-x故对于区间(633,633+-)和(1,+∞)内的任意实数x ,只要n ≥2,n ∈N ，都有g n (x )＜0. 8.(1)证明：任取x 1＞x 2＞0,f (x 1)–f (x 2)=2121122111)11()11(x x x x x x x a x a -=-=---∵x 1＞x 2＞0,∴x 1x 2＞0，x 1–x 2＞0,∴f (x 1)–f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(0,+∞)上是增函数. （2）解：∵xa 11-≤2x 在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0,∴a ≥xx 121+在（0，+∞）上恒成立，令421221121)(=⋅≤+=xx xx x g （当且仅当2x =x1即x =22时取等号），要使a ≥xx 121+在(0,+∞)上恒成立，则a ≥42.故a 的取值范围是［42,+∞).(3)解：由（1）f (x )在定义域上是增函数. ∴m =f (m ),n =f (n )，即m 2–a1m +1=0，n 2–a1n +1=0故方程x 2–a1x +1=0有两个不相等的正根m ，n ，注意到m ²n =1，故只需要Δ=(a1)2–4＞0,由于a ＞0，则0＜a ＜21.难点37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●难点磁场1.曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围.2.设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围. ●案例探究［例1］设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目. 知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C .进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜z 2≤z ≤4} 要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾.②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知：必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需 ⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立. 综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］.［例2］已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π, k ∈Z )求证： 22222cosba c+=-βα.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目. 知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos β,sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图.从而：｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l 的距离22||ba c d +=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即ba cd+==---2224)cos(221βα∴22222cosba c+=-βα.●锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( )A.2B.3C.4D.以上均不对2.（★★★★★）已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A.α＜a ＜b ＜βB.α＜a ＜β＜bC.a ＜α＜b ＜βD.a ＜α＜β＜b二、填空题3.（★★★★★）(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当A B时，则a 的取值范围是 . 三、解答题5.（★★★★）设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β. （1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B ≠∅，求a 的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A （1，1）为椭圆5922yx+=1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点.求｜PF 1｜+｜PA ｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm 、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参 考 答 案●难点磁场1.解析：方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线.答案：（43,125］2.解法一：由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]，综上所述a ∈(–3,1). 解法二：由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象. 如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l 对应的a ∈(–3,1). ●歼灭难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图.答案：B2.解析：a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示：答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t ) 点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线. 考虑用点到直线的距离公式求解. 答案：2274.解析：解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得. 答案：a ＞3三、5.解：①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点，故a ∈(–2,–3)∪(–3,2).②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan 332=+βα，故tan(α+β)=3.6.解：∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆.如图所示∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点. 显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小 2a +a =｜OO ′｜=2,∴a min =22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大. 此时2a –a =｜OO ′｜=2,∴a max =22+2.7.解：由15922=+yx可知a =3,b =5,c =2，左焦点F 1(–2,0),右焦点F 2(2,0).由椭圆定义，｜PF 1｜=2a –｜PF 2｜=6–｜PF 2｜,∴｜PF 1｜+｜PA ｜=6–｜PF 2｜+｜PA ｜=6+｜P A ｜–｜PF 2｜如图：由｜｜PA ｜–｜PF 2｜｜≤｜AF 2｜=2)10()12(22=-+-知–2≤｜PA ｜–｜PF 2｜≤2.当P 在AF 2延长线上的P 2处时，取右“=”号； 当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，取左“=”号. 即｜PA ｜–｜PF 2｜的最大、最小值分别为2，–2. 于是｜PF 1｜+｜PA ｜的最大值是6+2,最小值是6–2.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值. 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小. 如图：设AE =x ,BE =y ,则有AE =AH =CF =CG =x ，BE =BF =DG =DH =y ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+225210520222222y x y y x x ∴2225225210=+=+=y x AB .难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”●难点磁场1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值. ●案例探究［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和.（1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n21），得221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *)（2）要使21>--+cS c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c因为4)211(4<-=kk S所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1.又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立. 当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得23S k –2＜23S k +1–2故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立.当c =3时，因为S 1=2，S 2=3，所以当k =1，k =2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立 因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS c S k k 成立.［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等. 根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||bbx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x ab y -+-=由x –a ≠0，得ax y a b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为 )0(11)1()1(22222a x aay aa a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0 由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD ∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan =)1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a xa y xy x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a ) 以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x ab y -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk -=-=θθθ又tan2θ=–b ∴–b =212kk - ①∵C 点在AB 上 ∴)(1a x ab kx -+-= ②由①、②消去b ，得)(12)1(2a x kk kx a --=+ ③又xy k =，代入③，有)(12)1(22a x x yx yx xy a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---aay aa a a x当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a =1时，④表示抛物线弧段. ●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）已知122lim=+-∞→nn n nn aa 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ；（3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ； （3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解.当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =12.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数. 当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减.从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ).②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ；当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1；当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4³C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种. 答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0}, 由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2； 由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅. 答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根. 若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}.此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0. 将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得01)1()1(020=++x p x q .即01x 满足B 中的方程，故1x ∈B .∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）.若x 0=–21，则1x –2∈B ,与–2∉B 矛盾.又由A ∩B ≠∅,∴x 0=1x ，即x 0=±1.即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1 ∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x ,y )， 则2222)2(1yx y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程. （1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆.7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()(即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n bx x x f x f又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1 ∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,……由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b1.因b ≠1，得∑==nk n x 1(x k –x k –1)=1+b1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知 f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知 当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b );当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1 ∵bab a x b x f 4)2()(22+--=∴baba f 4)2(2=≤1∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性： 对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1) 即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1. 因为b ＞1，可以推出f (b1)≤1即a ²b1–1≤1，∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b 充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］.可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1 即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.难点39 化归思想化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.●难点磁场 1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .2.（★★★★★）已知平面向量a =(3–1),b =(23,21).（1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3)b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况.●案例探究［例1］对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义124)(+-=x x x f（1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.解：（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x（2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2). ［例2］设椭圆C 1的方程为12222=+by ax (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P .（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域； （3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个.设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式.命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系.第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a ).技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.解：（1）将y =x1代入椭圆方程，得112222=+xb ax化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去）故P 的坐标为(aa 2,2).(2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2,∴)41(22221)(422aab a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a2,即a ＞2,得0＜44a＜1于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a≥)41(24a-整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46. 故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a ●锦囊妙计转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A.（0，1）B.（33，3）C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）2.（★★★★）等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S nn ，则n n n b a ∞→lim的值为( )A.34 B.1 C.36 D.94二、填空题3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示即可）4.（★★★★★）函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 . 三、解答题5.（★★★★）已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）. (1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6.（★★★★★）已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2.（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n n n a a ；。
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难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求.●难点磁场1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？●案例探究［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到.技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a +4b +2ab =60,得a a b +-=230, 记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值. 由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0, ∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3. 从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab k 取最小值. ［例2］某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,…所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1)=b 1×0.94n +n n x x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-. 当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→ 并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x . 因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3.6综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.●锦囊妙计1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v 千米/小时、2v 千米/小时、10v 千米/小时，每千米的运费分别为a 元、b 元、c 元.且b ＜a ＜c ,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）6.（★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.7.（★★★★★）某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？8.（★★★★★）某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个.已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元.参 考 答 案●难点磁场1.解析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，（如图），则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ，设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ⊂β得AQ ∥l ,又AQ ⊥PQ ，得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB ，及l ∩PB =P 得PQ⊥α.作AC ∥PQ ，则AC ⊥α.连CB ，则AC ⊥CB ，进而AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ，∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t –2)2+9］,t =2时AB 最短，最短距离为30 m.答案：30 m2.解析：按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟.答案：153.解：依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ),则⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)5(2.8)50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f(1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有–0.4x 2+3.2x –2.8>0,得1<x <7,∴1<x ≤5.当x >5时，有8.2–x >0,得x <8.2,∴5<x <8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内.（2）0≤x ≤5时，f (x )=–0.4(x –4)2+3.6故当x =4时，f (x )有最大值3.6.而当x >5时f (x )<8.2–5=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4)4(R =2.4（万元/百台）=240（元/台）.●歼灭难点训练一、1.解析：此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96.5=546.6元.答案：C2.解析：从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元.答案：C二、3.解析：小球经过的路程为：30020021121100100)21(21004121002121003=⨯-+=++⨯+⨯⨯+⨯⨯+= s m. 答案：3004.提示：sin2°=90π 答案：86 m三、5.解：设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元).则由题意，,)2(.)(21S vm b y S v m a m v S aS y +=+=+= S vm b a y y S v m c y ]2)[(.)10(213+-=-+=,由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1.由y 3–y 2=［(c –b )–v m 52］S .令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +vm 52.所以，当c >b +v m 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，当b <a <c <b +vm 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小. 6.解：（1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T . 由t =0,y =1.5得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =21， ∴y =16cos 21+t π (2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16cos 21+t π>1, t 6cos π>0.∴2k π–2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3.由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.7.解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n +2)1(-n n ×4］–72=–2n 2+40n –72 (1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利.（2）①年平均利润=n n f )(=40–2(n +n36)≤16.当且仅当n =6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128.当n =10时，f (n )|max =128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.8.解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤≤≤≤60004700032120008214000641200025000y x y x y x y x y x 则有依题意有 设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y )要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值.x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n )∴⎩⎨⎧=+=+24312n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5152n m 有x +2y =52(2x +3y )+51(x +4y )≤52×7000+51×6000. 当且仅当⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x 时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y ) =4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.。