高考数学难点突破_难点41__应用问题
高中数学难点突破策略及答案
高中数学难点突破策略及答案高中数学作为一门基础科目和必修课程，在学生中的重要性不言而喻。
然而，很多学生面对数学题目时却感到头疼和无从下手。
这主要是因为高中数学难点比较多，需要掌握大量的知识和技巧。
为了帮助大家更好地解决高中数学难点，下面给出几个突破的策略及答案。
一、题目深层理解要突破高中数学的难点，首先需要对题目进行深层次的理解。
因为数学问题本身是一个个独立的系统，需要从整体和细节两方面入手，了解每个知识点所存在的联系与区别，在理解后再去进行操作分析以及答案求解。
例如，对于一道具体的代数题目：已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$以及$\frac{a+b}{b}=n$，求$\frac{c+d}{d}$我们可以先确定方程式，再从代数式子出发进行思考。
代数思想推理：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$\frac{a}{c}+1=\frac{b}{d}+1$$\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}$$\frac{a+b+c}{c}=\frac{b+d}{d}$$\frac{a+b+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$\frac{a+c}{c}=\frac{1}{n}$$\frac{a+b}{b}=n$$\frac{a}{c}=\frac{1}{n}-1=-\frac{1}{n-1}$$\frac{c}{a}=\frac{n-1}{n}$$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+1=\frac{a}{b}+1=\frac{a+b}{b}=\fra c{1}{n-1}+n$所以答案为$\frac{1}{n-1}+n$对于这种题目，我们需要对数学概念进行充分的理解，确定方程组，并深入去理解整个问题，分析题目中的复杂信息，一步步推演得出答案。
二、分类讨论高中数学题目通常根据题目的基础知识和细节分类，可以分为多个子分类进行讨论，从而帮助解答。
高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享与典型题型解析与解题思路探讨
高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享与典型题型解析与解题思路探讨数学作为高中阶段的重要学科之一，对于学生来说往往是最具挑战性的一门学科之一。
特别是在高考阶段，数学的难度系数也随之提升，考生们必须要有足够的准备和解题技巧才能更好地应对。
本文将分享一些高考数学的难点攻克方法和解题技巧，同时结合典型题型进行解析，以期能帮助广大考生在高考数学中取得更好的成绩。
一、高考数学的难点分析在高考数学中，有一些知识点和题型往往是考生们最头疼的难点。
下面我们就来分析一下这些难点并给出解题技巧。
1. 集合与函数集合与函数作为高考数学必学的知识点，常常出现在选择题和解答题中。
在解答集合与函数的问题时，考生需要注意以下几个方面：首先，对于集合的表示和操作要熟练掌握。
这包括交集、并集、差集等基本操作，以及集合的表示方法和判定集合之间的关系。
其次，对于函数的应用要灵活运用。
函数的定义域、值域、反函数等概念需要理解清楚，并能够熟练应用到各类问题中。
最后，要注意对于集合与函数的混合应用。
有些题目可能会结合集合和函数的性质进行综合求解，考生需要能够看清题目要求，灵活应用所学知识。
2. 三角函数三角函数是高考数学中的重点和难点之一。
学生在解三角函数相关的问题时，常常容易陷入一些常见的误区。
下面列举一些容易出错的地方：首先，角度的转化需要熟练。
弧度与角度之间的转化是解答三角函数问题的基础，考生需要通过练习熟练掌握。
其次，角度的定义域要注意。
例如，反三角函数的定义域需要符合对应三角函数值的范围，考生需要在解答问题时注意角度的合法性。
最后，要掌握三角函数的性质和常见的等式变形方法。
这样在解答复杂的三角函数问题时能够通过运用性质和等式来简化问题。
3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的基础和重点内容，也是许多考生容易被绕晕的地方。
在解答函数与导数相关的问题时，考生需要注意以下几个难点：首先，对于函数的图像和性质要熟悉掌握。
通过观察函数的图像，可以大致了解函数的增减性、极值点等重要特征，从而更好地解答问题。
高考数学技巧如何灵活运用数学方法解决复杂问题
高考数学技巧如何灵活运用数学方法解决复杂问题数学是学生们高考中最重要的一门科目之一，因此，熟练掌握数学技巧，善于运用数学方法解决复杂问题，对于取得好成绩至关重要。
本文将介绍一些高考数学技巧，以及如何灵活运用这些技巧，解决复杂的数学问题。
一、整数运算技巧在整数的加减运算中，对于十位上的数可以进行适当的变换，以便更加简化计算。
比如，对于两个整数相加，可以将个位数相加，再将十位数相加，最后将个位数和十位数的和相加即可。
这样做可以减少加法的次数，提高计算效率。
二、方程求解技巧方程求解是高考数学中的一个重要内容。
对于一元一次方程，可以通过列方程的方式来进行求解。
首先，根据题目中的条件列出方程，然后通过移项、合并同类项等简单的运算，将方程化简为形如x=常数的形式，从而得出方程的解。
对于一元二次方程，可以通过配方法、因式分解法、求根公式等方法进行求解。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法。
三、几何解题技巧在几何解题中，应注意图形的特点和性质。
根据题目给出的条件，找出与之相关的定理或性质，并灵活运用这些定理或性质来解题。
比如，当解决三角形相关的问题时，可以利用三角形的相似性质、角平分线定理等。
在解决圆相关的问题时，可以利用圆心角和弧的关系、切线与半径的垂直性质等。
四、概率统计技巧在概率统计中，要善于分析题目给出的条件，确定事件的可能性和概率。
有时可以通过列举样本空间的方法来解决问题，有时可以通过计算相对频率的方法来估计概率。
在统计中，要注意对数据的整理和分析。
可以通过绘制统计图表、计算平均值和标准差等方式，对数据进行量化分析，以便更好地理解数据的特点和规律。
五、解析几何技巧解析几何是数学中的一门重要学科，对于解决平面和空间几何问题非常有用。
在解析几何中，要善于利用坐标和方程之间的关系。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更加清晰地描述几何对象的性质和关系，并通过代数方法来解决几何问题。
六、数列与数列极限技巧数列和数列极限是高考数学中的一个重要概念。
高中数学化解难题方法
高中数学化解难题方法一、数学难题的解题思路在高中数学学习中，遇到难题是很常见的事情。
但是，只要我们掌握一些解题方法，就能够轻松应对各种数学难题。
下面就给大家介绍一些化解数学难题的方法。
首先，遇到数学难题时，我们要冷静下来，不要慌张。
可以先阅读题目，理清题意，明确问题所在。
如果题目比较复杂，可以尝试将题目分解成小问题，逐步解决。
其次，要善于运用数学知识，灵活运用各种定理和公式。
有时候，数学难题并不是因为题目本身太难，而是我们没有正确运用所学知识。
因此，要多多练习，熟练掌握各种数学知识点，才能更好地解决难题。
另外，可以尝试与同学、老师或家长讨论。
有时候，别人的思路可能会给我们启发，帮助我们找到解题的突破口。
在讨论中，我们也可以学习到不同的解题方法，拓宽自己的思维。
最后，要保持耐心和毅力。
解决数学难题需要一定的时间和精力，不能急于求成。
遇到困难时，不要轻易放弃，要坚持下去，相信自己一定能够克服难题。
二、数学难题的解题技巧除了以上提到的解题思路外，还有一些解题技巧可以帮助我们更好地化解数学难题。
首先，要注意审题。
有时候，数学难题的关键信息可能隐藏在题目中，我们需要仔细阅读题目，找出关键信息，理清思路。
其次，要注意画图。
对于一些几何难题或函数图像题，画图是很有帮助的。
通过画图，我们可以直观地看出问题所在，更容易找到解题方法。
另外，要注意反证法。
有时候，我们可以通过反证法来证明一个结论，从而解决数学难题。
这种方法在解决一些证明题或逻辑题时特别有用。
最后，要注意总结归纳。
在解题过程中，我们可以总结一些解题技巧和方法，形成自己的解题思维体系。
这样，遇到类似的数学难题时，就能够更快地找到解题方法。
通过以上的解题思路和技巧，相信大家在面对数学难题时会更加游刃有余，轻松应对各种挑战。
希望大家都能在数学学习中取得好成绩，享受数学的乐趣！。
高考数学技巧如何利用数学定理解决难题
高考数学技巧如何利用数学定理解决难题随着高考的临近，对于考生来说，高考数学是最重要也是最棘手的科目之一。
在数学的学习过程中，遇到难题是难以避免的。
然而，利用数学定理可以帮助我们解决这些难题。
本文将介绍几个常用的高考数学技巧，探讨如何应用数学定理来解决难题。
一、利用三角函数的性质解决几何难题在几何题中，利用三角函数的性质可以帮助我们解决许多难题。
例如，在计算三角形面积时，我们可以利用正弦定理或余弦定理来求解。
在解决三角形边长或角度关系时，我们可以利用正弦定理、余弦定理或正切定理来解题。
这些数学定理可以准确地帮助我们得出问题的答案。
二、利用排列组合和概率解决数学难题在概率与统计中，涉及到排列组合和概率的难题也不少。
为了解决这些问题，我们可以利用排列组合的公式，如阶乘公式、组合公式等来计算可能性的个数。
利用概率的知识，我们可以根据事件发生的可能性来解决一些实际问题。
三、利用微积分的知识解决变化率难题在微积分中，涉及到变化率的难题较多。
我们可以利用导数的定义和性质来解决这些问题。
例如，在最优化问题中，我们可以通过求导和找极值来解答。
此外，利用微分中的近似计算，我们可以解决函数在某一点处的变化率问题。
四、利用数列和数列的性质解决数列难题在数学中，数列是一个常见的概念。
利用数列的递推关系和性质，我们可以解决一些数列的难题。
例如，对于等差数列，我们可以利用等差数列的通项公式来求解。
对于等比数列，我们可以利用等比数列的通项公式来计算。
这些数列的性质可以帮助我们简化计算，更快地解决问题。
总之，利用数学定理是解决高考数学难题的重要技巧。
在学习数学的过程中，我们要熟练掌握各种数学定理，并学会灵活应用于解决难题。
通过合理地利用数学定理，我们可以更加准确地解决高考数学难题，提高解题效率。
希望本文提供的一些技巧和思路对广大考生有所帮助。
祝愿大家在高考数学中取得优异的成绩！。
高考数学解题技巧如何灵活运用知识与解决难题
高考数学解题技巧如何灵活运用知识与解决难题高考数学对于许多考生来说是一大挑战，他们需要在有限的时间内解决各种各样的难题。
然而，通过灵活运用数学知识和解题技巧，考生可以更加高效地解决难题。
本文将重点探讨高考数学解题技巧，包括问题分析、常用方法和注意事项等内容，帮助考生在高考数学中取得好成绩。
一、问题分析在解决高考数学难题之前，考生首先需要对问题进行充分的分析。
问题分析的目的是理清思路，确定解题的方向和方法。
考生可以通过以下几个方面进行问题分析：1. 阅读理解题目：在解题过程中，考生要仔细阅读题目，理解题目的含义和要求。
如果题目涉及多个条件或多个数据，考生需要明确它们之间的关系。
2. 分析已知信息：考生需要将已知信息逐一列举出来，并分析它们之间的联系和作用。
通过对已知信息的充分理解，考生可以找到解题的关键点。
3. 弄清问题类型：高考数学题目包括选择题、填空题、计算题等多种类型。
考生需要根据题目要求，明确问题的类型，从而确定解题的方法。
二、常用解题方法灵活运用数学知识和解题技巧是解决高考数学难题的关键。
考生可以通过掌握以下常用解题方法，提高解题效率：1. 建立数学模型：对于一些复杂的实际问题，考生可以通过建立适当的数学模型来求解。
这样可以将实际问题转化为数学问题，更容易找到解题的路径。
2. 利用已知条件：已知条件是解题过程中的重要线索，考生需要将已知条件运用到解题过程中。
可以通过设立方程、三角函数性质等方式，将已知条件转化为计算的依据。
3. 探索特殊情况：对于一些复杂的问题，考生可以通过探索特殊情况来简化解题过程。
通过假设某些特殊情况，考生可以找到解题的思路或者验证解题的正确性。
4. 参考类似题目：高考数学题目中存在一些类似的问题，考生可以通过参考类似题目的解法，借鉴解题思路和方法。
这样可以节省解题时间，提高解题效率。
三、注意事项在解决高考数学难题之前，考生还需要注意以下几个方面：1. 注意审题：认真审题是解决数学难题的关键。
数学高考备考：难题攻克技巧
数学高考备考：难题攻克技巧高考数学作为高考中的重要科目，其难度和竞争程度不言而喻。
在备考过程中，如何攻克数学难题，提高解题能力，成为许多考生关注的焦点。
本文将从以下几个方面，为您详细解析数学高考备考中的难题攻克技巧。
二、难题攻克策略1.掌握基本公式和定理在解决数学难题时，熟练掌握基本公式和定理是至关重要的。
考生需要对高中数学范围内的公式和定理进行系统梳理，形成体系，以便在解题过程中能够迅速运用。
2.培养逻辑思维能力数学难题往往涉及到复杂的逻辑关系，考生需要具备较强的逻辑思维能力，才能在解题过程中找到关键点。
平时可以多进行逻辑思维训练，如参加辩论、思维导图绘制等活动，提高自己的逻辑分析能力。
3.学会转换和化归在遇到难题时，考生需要学会将问题转换和化归，将其转化为已知知识范围内的题目。
这需要考生具备较强的数学素养和转化能力。
例如，将立体几何问题转化为平面几何问题，或将复杂函数问题转化为简单函数问题。
4.掌握解题方法高考数学难题往往涉及到多种解题方法，如数形结合、分类讨论、归纳总结等。
考生需要掌握这些解题方法，并在实际解题过程中灵活运用。
5.培养直觉思维能力直觉思维能力是指在没有任何提示和已知条件的情况下，能够迅速判断出答案的能力。
这种能力在解决高考数学难题时具有重要作用。
考生可以通过大量练习，培养自己的直觉思维能力。
6.注重知识拓展高考数学难题往往涉及到学科内的交叉和拓展知识。
考生在备考过程中，需要关注数学与其他学科的联系，拓宽知识面，提高自己的综合素质。
三、复习建议1.制定合理的复习计划考生需要制定合理的复习计划，将时间分配给各个知识点，确保全面覆盖。
同时，要合理安排练习时间，确保充足的实战训练。
2.做好笔记和总结在复习过程中，考生要做好笔记和总结，将所学知识点和方法进行梳理，形成体系。
这有助于在解题过程中迅速找到解题思路。
3.注重实战训练考生需要进行大量的实战训练，以提高解题能力。
在训练过程中，要关注难题的攻克，分析解题思路，总结解题方法。
高考数学综合性大题解题技巧——数学应用性问题
数学应用性问题怎么解数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。
据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则150=+n n b a .3010730107)150(102109102109111111+=+=-+=+=∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即. )100(1071001-=-∴-n n a a ，于是11)107)(100(100--=-n n a a 即 )100()107(10011-⋅+=-a a n n .100lim =∴∞→n n a .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.上述解法中提炼的模型301071+=-n n a a , 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题）已知数列{}n a 的项满足 ⎩⎨⎧+==+dca a b a n n 11,其中1,0≠≠c c ，证明这个数列的通项公式是.1)(1---+=-c d c b d bc a n n n有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V Vy 同理及又149≤+≤y x .23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令则z 最大时P 最小.作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38， ∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30. 视y x z 23+=这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧施工的遂道工程。
人教版高三数学突破应用题的难点
人教版高三数学突破应用题的难点数学是一门系统性较强的学科，对于高中生来说，数学的学习也相对较为复杂和困难。
在高三阶段，学生们开始接触到更加深入和复杂的应用题，而人教版的高三数学教材也是以应用题为重点。
然而，应用题往往会给学生带来困惑和挫败感。
本文将重点讨论人教版高三数学教材中应用题的难点，并提供一些应对之策。
一、难点一：问题理解在面对应用题时，学生首先需要了解问题的背景和要求，对问题进行准确的理解。
然而，有些应用题的问题陈述可能较为复杂，或者叙述方式不够清晰，容易引起学生的困惑。
同时，应用题通常需要学生根据实际情境进行建模，将问题转化为数学语言，这对于学生来说也是一项难度较大的任务。
应对之策：学生在做应用题时，应该耐心仔细地阅读问题，理解问题的背景和要求。
如果问题存在难以理解的地方，可以多花些时间思考，甚至可以画图或列举具体实例来帮助理解。
在建模时，学生可以参考类似题目的解题思路，积累一些模型和方法，逐渐培养出应用数学的思维能力。
二、难点二：问题分析与解决面对应用题，学生需要具备良好的问题分析和解决能力。
有些应用题给出的信息较多，学生需要筛选出关键信息，建立数学关系，进而求解问题。
此外，问题的解决往往需要学生综合考虑多个数学知识点和方法，需要灵活运用所学的数学知识。
应对之策：在解决应用题时，学生可以先仔细读题，分析问题要求，理清思路。
不断培养自己的数学思维，养成严谨的数学习惯。
遇到复杂的问题，可以采用分步解决的方法，逐步推进求解过程。
同时，学生还可以结合实际情境进行思考，运用所学数学知识解决实际问题，并及时反思思考过程中的错误和不足，从中吸取教训，提高自己的应用能力。
三、难点三：题目综合能力人教版的高三数学教材注重培养学生的综合运用能力，涉及到不同知识点的综合运用。
这对学生来说可能是最大的挑战之一。
许多高难度的应用题可能需要学生综合考虑数学知识的逻辑关系，灵活运用不同的思维方式和方法。
应对之策：学生在学习数学知识时，应该注重知识的整合与运用。
数学高考备考：常见难题攻克方法
数学高考备考：常见难题攻克方法数学高考备考过程中，同学们往往遇到一些难题，这些难题成为备考路上的瓶颈。
为了帮助大家更好地攻克这些难题，本文整理了数学高考备考中常见难题的攻克方法，希望对大家有所帮助。
1. 函数与导数（1）导数的计算解决导数计算问题，关键在于熟练掌握基本导数公式，以及常见函数的导数。
此外，要注意导数的运算法则，包括和、差、积、商的导数计算。
（2）函数单调性及极值分析函数的单调性及极值，首先要确定函数的定义域。
然后，通过导数判断函数的单调性，求出函数的极值点。
最后，结合函数的图像，分析函数的单调性和极值。
（3）函数图像的变换函数图像的变换包括平移、缩放、翻折等。
解决这类问题，要熟悉函数图像的基本性质，掌握图像变换的规律。
2. 立体几何（1）空间向量空间向量是解决立体几何问题的有力工具。
要熟练掌握空间向量的基本运算，包括向量的加减、数乘、点乘、叉乘等。
此外，还要掌握向量垂直、平行的判断方法。
（2）几何体的性质熟悉各种几何体的性质，如球的直径、表面积、体积；棱柱、棱锥的侧面积、底面积、体积等。
解决立体几何问题，要灵活运用几何体的性质。
（3）空间角和距离空间角包括线线角、线面角、面面角。
解决空间角问题，要熟练运用向量工具，求出角的大小。
空间距离问题，可通过建立坐标系，利用距离公式求解。
3. 解析几何（1）直线与圆的位置关系分析直线与圆的位置关系，可利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系。
要熟悉直线与圆相交、相切、相离的判断方法。
（2）圆锥曲线解决圆锥曲线问题，要熟悉椭圆、双曲线、抛物线的性质。
主要包括焦点、准线、顶点、弦长、通径等。
（3）参数方程和极坐标方程掌握参数方程和极坐标方程的互化方法，以及它们在解决实际问题中的应用。
4. 概率与统计（1）概率计算熟悉概率的基本计算公式，包括古典概率、条件概率、独立事件的概率等。
解决概率问题，要分析事件的性质，选择合适的概率公式。
（2）统计量计算掌握均值、方差、标准差、中位数、众数等统计量的计算方法。
高考数学难点41讲难点39 化归思想
难点39 化归思想化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.●难点磁场1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .2.（★★★★★）已知平面向量a =(3–1),b =(23,21). （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3)b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况. ●案例探究［例1］对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.解：（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2).［例2］设椭圆C 1的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x 1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P .（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域； （3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个.设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式.命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系.第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a ).技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.解：（1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+x b a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去） 故P 的坐标为(a a 2,2).(2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a ≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46. 故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a ●锦囊妙计转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A.（0，1）B.（33，3） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）2.（★★★★）等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n nT S n n ，则nnn b a ∞→lim的值为( )A.34 B.1 C.36D.94 二、填空题3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示即可）4.（★★★★★）函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 . 三、解答题5.（★★★★）已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）. (1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6.（★★★★★）已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2.（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1. 7.（★★★★★）设A 、B 是双曲线x 2–22y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点.（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8.（★★★★★）直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围.参 考 答 案●难点磁场1.解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程 故有C 35=10种答案：102.(1)证明：∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解：∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3)b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0,a 2=4,b 2=1∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3). (3)解：讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1). 令f ′(t )=0,解得t当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=–21.而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–3,0,3.所以f (t )的图象大致如右： 于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解 ●歼灭难点训练一、1.解析：分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案：C2.解析：化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=---. ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案：A二、3.解析：转化为先求对立事件的概率 即四人生日各不相同的概率答案：441212A 1-4.解析：转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0. 答案：0<b <1三、5.解：(1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45}. (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立.∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立.即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t xt x 恒成立 即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］. ∴2x +1+x =–2(μ–41)2+817. 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范围是t ≥1.6.(1)解：{a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1.故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明：∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得：32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1–n n 31+.∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<1 7.解：(1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1.整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2kk k --.又N 为AB 中点， 有21（x 1+x 2）=1.∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1.故AB ∶y =x +1. (2)解出A （–1，0）、B （3，4） 得CD 的方程为y =3–x .与双曲线方程联立.消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6.∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210. 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x .即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆.8.提示：f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值.当–2<a <2时有三个相异交点.。
高考数学难点突破_难点41__应用问题
难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.●案例探究命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到.技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a +4b +2ab =60,得a a b +-=230, 记a a a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值. 由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0,∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3. 从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab k 取最小值.命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,…所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1)=b 1×0.94n+n n x x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-. 当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→ 并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x . 因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3.6 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.●锦囊妙计1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c 元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）6.（★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的函数，记作y =f (t )，下表是某日各时的浪高数据t （时） 0 36 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 经长期观测y =f (t )的曲线可近似地看成函数y =A cos t +b .（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.7.（★★★★★）某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.参 考 答 案●难点磁场1.解析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，（如图），则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ，设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ⊂β得AQ ∥l ,又AQ ⊥PQ ，得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB ，及l ∩PB =P 得PQ⊥α.作AC ∥PQ ，则AC ⊥α.连CB ，则AC ⊥CB ，进而AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ，∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t –2)2+9］,t =2时AB 最短，最短距离为30 m.答案：30 m2.解析：按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟.答案：153.解：依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ),则⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)5(2.8)50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f (1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有–0.4x 2+3.2x –2.8>0,得1<x <7,∴1<x ≤5.当x >5时，有8.2–x >0,得x <8.2,∴5<x <8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内.（2）0≤x ≤5时，f (x )=–0.4(x –4)2+3.6故当x =4时，f (x )有最大值3.6.而当x >5时f (x )<8.2–5=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4)4(R =2.4（万元/百台）=240（元/台）.●歼灭难点训练一、1.解析：此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96.5=546.6元.答案：C2.解析：从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元.答案：C二、3.解析：小球经过的路程为：30020021121100100)21(21004121002121003=⨯-+=++⨯+⨯⨯+⨯⨯+= s m. 答案：3004.提示：sin2°=90π 答案：86 m三、5.解：设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元).则由题意，,)2(.)(21S vm b y S v m a m v S aS y +=+=+= S vm b a y y S v m c y ]2)[(.)10(213+-=-+=,由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1.由y 3–y 2=［(c –b )–v m 52］S .令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +vm 52.所以，当c >b +v m 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，当b <a <c <b +vm 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小. 6.解：（1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T . 由t =0,y =1.5得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =21， ∴y =16cos 21+t π (2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16cos 21+t π>1, t 6cos π>0.∴2k π– 2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3.由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.7.解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n +2)1(-n n ×4］–72=–2n 2+40n –72(1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利.（2）①年平均利润=n n f )(=40–2(n +n36)≤16.当且仅当n =6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128.当n =10时，f (n )|max =128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.8.解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤≤≤≤60004700032120008214000641200025000y x y x y x y x y x 则有依题意有 设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y )要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值.x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n )∴⎩⎨⎧=+=+24312n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5152n m 有x +2y =52(2x +3y )+51(x +4y )≤52×7000+51×6000. 当且仅当⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x 时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y ) =4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.。
多角度破解高考数学压轴题
高考数学压轴题往往是难度最大的题目，需要学生具备扎实的数学基础和较高的思维水平。
以下是一些多角度破解高考数学压轴题的方法：
1. 掌握基础知识：压轴题往往涉及到多个知识点，因此学生需要熟练掌握基础知识，包括代数、几何、概率统计等方面的知识。
只有掌握了这些基础知识，才能更好地理解和解答压轴题。
2. 训练思维方法：压轴题往往需要运用多种思维方法，包括归纳、演绎、分析、综合等。
学生需要通过练习，掌握这些思维方法，提高自己的思维能力和解题能力。
3. 掌握解题技巧：压轴题往往需要运用一些特殊的解题技巧，如构造反例、数形结合、参数设定等。
学生需要认真学习和掌握这些技巧，并在实践中加以运用。
4. 多做模拟题：模拟题是接近高考的题目，学生可以通过多做模拟题来熟悉压轴题的出题方式和解题思路。
同时，也可以通过模拟题来检验自己的学习成果和发现自己的不足之处。
5. 善于总结经验：学生需要总结自己在解题过程中的经验和教训，发现自己的不足之处并加以改进。
同时，也需要总结不同类型压轴题的解题思路和技巧，形成自己的解题方法和策略。
总之，破解高考数学压轴题需要学生具备扎实的基础知识、灵活的思维方法和丰富的解题经验。
只有通过多角度的训练和实践，才能提高自己的数学水平和解题能力。
高考数学攻略：突破难题的小技巧
数学是高考中最具挑战性的科目之一，许多学生常常感到困惑和难以应对。
然而，通过一些简单的技巧和方法，我们可以更好地应对高考数学中的难题，取得更好的成绩。
本文将介绍一些突破难题的小技巧，帮助你在高考数学中取得成功。
首先，建立一个良好的基础非常重要。
数学是一个逐层递进的学科，前面的知识对于后面的学习至关重要。
因此，要确保自己对于基础概念和原理有着充分的理解和掌握。
如果你对某个知识点不够熟悉或者不理解，可以通过复习课本、做一些相关的习题或者请教老师来加深自己的理解。
其次，要注重分析问题的能力。
高考数学题目往往涉及到复杂的问题，需要我们具备良好的分析和推理能力。
当遇到一道难题时，不要急于求解，而是要先仔细阅读题目，明确问题的要求，理清思路。
可以将问题进行拆解，把复杂的大题目分解成若干个小问题，逐步解决，最后将结果进行合并。
这样做可以帮助我们更好地理解问题，找到解题的关键。
第三个技巧是要注重实际应用和建立数学模型的能力。
高考数学试题往往与实际问题紧密相关，需要我们能够将问题转化为数学表达式或者方程，建立起相应的数学模型。
当遇到一道实际问题时，要先思考如何将问题抽象成数学形式，设定变量，列出方程或者不等式，然后将其求解得到答案。
通过大量的练习和实践，我们可以培养出良好的实际应用和建模能力。
另外，要善于利用已有的数学工具和公式。
高考数学中有许多常用的数学工具和公式，比如三角函数、导数、积分等，这些工具和公式在解题过程中起到了极为重要的作用。
因此，在备考阶段，要充分掌握这些工具和公式的使用方法，并且能够熟练灵活地运用它们解决各类相关的数学问题。
最后，要保持良好的心态和时间管理能力。
高考数学试卷的时间通常是有限的，因此，我们要善于合理地安排时间，合理分配每道题目的所需时间，避免陷入某一道题目中无法自拔。
同时，要保持积极乐观的心态，相信自己的能力，不被难题所吓倒。
相信自己的实力和准备，相信自己可以解决任何难题，这样才能更好地应对高考数学的挑战。
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难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？●案例探究［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到.技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a +4b +2ab =60,得a a b +-=230, 记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值. 由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0, ∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3. 从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab k 取最小值. ［例2］某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,…所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1)=b 1×0.94n +n n x x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-. 当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→ 并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x . 因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3.6综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.●锦囊妙计1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v 千米/小时、2v 千米/小时、10v 千米/小时，每千米的运费分别为a 元、b 元、c 元.且b ＜a ＜c ,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）6.（★★★★）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的t （时） 0 36 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 （1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.7.（★★★★★）某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？8.（★★★★★）某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个.已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元.参 考 答 案●难点磁场1.解析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，（如图），则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ，设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ⊂β得AQ ∥l ,又AQ ⊥PQ ，得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB ，及l ∩PB =P 得PQ⊥α.作AC ∥PQ ，则AC ⊥α.连CB ，则AC ⊥CB ，进而AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ，∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t –2)2+9］,t =2时AB 最短，最短距离为30 m.答案：30 m2.解析：按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟.答案：153.解：依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ),则⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)5(2.8)50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f(1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有–0.4x 2+3.2x –2.8>0,得1<x <7,∴1<x ≤5.当x >5时，有8.2–x >0,得x <8.2,∴5<x <8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内.（2）0≤x ≤5时，f (x )=–0.4(x –4)2+3.6故当x =4时，f (x )有最大值3.6.而当x >5时f (x )<8.2–5=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4)4(R =2.4（万元/百台）=240（元/台）.●歼灭难点训练一、1.解析：此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96.5=546.6元.答案：C2.解析：从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元.答案：C二、3.解析：小球经过的路程为：30020021121100100)21(21004121002121003=⨯-+=++⨯+⨯⨯+⨯⨯+= s m. 答案：3004.提示：sin2°=90π答案：86 m三、5.解：设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元).则由题意，,)2(.)(21S vm b y S v m a m v S aS y +=+=+= S vm b a y y S v m c y ]2)[(.)10(213+-=-+=,由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1.由y 3–y 2=［(c –b )–v m 52］S .令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +vm 52.所以，当c >b +v m 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，当b <a <c <b +vm 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小. 6.解：（1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T . 由t =0,y =1.5得A +b =1.5.由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =21， ∴y =16cos 21+t π (2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16cos 21+t π>1, t 6cos π>0.∴2k π–2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3.由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.7.解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n +2)1(-n n ×4］–72=–2n 2+40n –72 (1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利.（2）①年平均利润=n n f )(=40–2(n +n36)≤16.当且仅当n =6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128.当n =10时，f (n )|max =128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.8.解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤≤≤≤60004700032120008214000641200025000y x y x y x y x y x 则有依题意有 设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y )要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值.x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n )∴⎩⎨⎧=+=+24312n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5152n m 有x +2y =52(2x +3y )+51(x +4y )≤52×7000+51×6000. 当且仅当⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x 时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y ) =4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.。