2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(北京.文)含详解

绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} ⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 （A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是 （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为：(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ （7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+ （8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2， 动点E 、F 在棱11A B 上。

点Q 是CD 的中点，动点 P 在棱AD 上，若EF=1，DP=x ，1A E=y(x,y 大于零)，则三棱锥P-EFQ 的体积：（A ）与x ，y 都有关； （B ）与x ，y 都无关；（C ）与x 有关，与y 无关； （D ）与y 有关，与x 无关；第Ⅱ卷（共110分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）已知函数2log ,2,2, 2.{x x x x y ≥-= 右图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图，①处应填写 ；②处应填写 。

（10）在ABC ∆中。

若1b =，c =23c π∠=，则a= 。

（11）若点p （m ，3）到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式2x y +＜3表示的平面区域内，则m= 。

（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a= 。

若要从身高在 [120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的 学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动 ，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数 应为 。

（13）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y -=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

（14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点p （x ，y ）的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ； ()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动。

三、 解答：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数2()2cos2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 （16）（本小题共13分）已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式 （17）（本小题共13分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，（Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;(18) （本小题共14分） 设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++ ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

（19）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，，直线椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标； （Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当变化时，求y 的最大值。

（20）（本小题共13分） 已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为111(,)||i d A B a b -=-∑（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）⑴ B ⑵ C ⑶ D ⑷ A ⑸ C ⑹ B ⑺ A ⑻ C二、提空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）⑼ 2x < 2log y x = ⑽ 1 ⑾ -3 ⑿ 0.030 3 ⒀ (4,0±) 0y += ⒁ 4 1π+ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）⒂（共13分）解：（Ⅰ）22()2cossin 333f πππ=+=31144-+=- （Ⅱ）22()2(2cos 1)(1cos )f x x x =-+- 23cos 1,x x R =-∈因为[]cos 1,1x ∈-,所以，当cos 1x =±时()f x 取最大值2；当cos 0x =时，()f x 去最小值-1。

⒃（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-= 所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-所以824q -=- 即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--⒄（共13分）证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。

因为EF ∥AG,且EF=1，AG=12AG=1 所以四边形AGEF 为平行四边形 所以AF ∥EG因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE（Ⅱ）连接FG 。

因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG 为菱形。

所以CF ⊥EG.因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE. (18)(共14分) 解：由32()3a f x x bx cx d =+++ 得 2()2f x ax bx c '=++ 因为2()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1,4，所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩（*）（Ⅰ）当3a =时，又由（*）式得2608120b c b c +-=⎧⎨++=⎩解得3,12b c =-=又因为曲线()y f x =过原点，所以0d = 故32()312f x x x x =-+ （Ⅱ）由于a>0,所以“32()3a f x x bx cx d =+++在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“2()20f x ax bx c '=++≥在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得295,4b a c a =-=。

又2(2)49(1)(9)b ac a a ∆=-=--解09(1)(9)0a a a >⎧⎨∆=--≤⎩ 得[]1,9a ∈即a 的取值范围[]1,9 （19）（共14分） 解：（Ⅰ）因为c a =，且c =1a b === 所以椭圆C 的方程为2213x y += （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<由2213y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =所以圆P解得2t =±所以点P 的坐标是（0，2± （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程222()3(1)x y t t +-=-。

因为点(,)Q x y 在圆P上。

所以y t t =±设cos ,(0,)t θθπ=∈，则cos 2sin()6t πθθθ+=+=+当3πθ=，即12t =，且0x =，y 取最大值2. (20)(共13分)（Ⅰ）解：(01,11,01,00,10)A B -=-----=（1,0,1,0,1） (,)0111010010d A B =-+-+-+-+-=3(Ⅱ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈ 因为11,{0,1}a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=⋅⋅⋅ 从而1122(,,)n n n A B a b a b a b S -=--⋅⋅⋅-∈ 由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)(,)ni ii d A C B C a bd A B =--=-=∑(Ⅲ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h ===记0(0,0,0)n S =⋅⋅⋅∈由（Ⅱ）可知(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l d B C d B A C A h=--=-==--=-==--= 所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。