机械优化设计阻尼牛顿法
大学期末考试机械优化设计复习题
一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法.6。
随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7。
最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法.10改变复合形形状的搜索方法主要有反射,扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数,它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 目标函数等值面 的方法。
14。
数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 . 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16。
机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提. 1. 优化设计问题的基本解法有 解析法 法和 数值法2. 无约束优化问题取得极值的充分必要条件是 一阶导数等于零 和 二阶导数大于零。
大学期末考试机械优化设计复习题复习课程
一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k XX d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
1. 优化设计问题的基本解法有 解析法 法和 数值法2. 无约束优化问题取得极值的充分必要条件是 一阶导数等于零 和 二阶导数大于零。
阻尼高斯牛顿法
阻尼高斯牛顿法阻尼高斯牛顿法，是一种用于非线性最小二乘问题的数值优化方法。
这种方法在科学、工程、经济等领域都有着广泛的应用。
首先，我们需要了解什么是最小二乘问题。
在数学中，最小二乘问题是指寻找一个函数，使得这个函数的拟合值与实际值之间的平均平方误差最小。
这个问题可以表达为一个数学公式：minimize || f(x) – y ||^2其中，f(x)是我们拟合函数，y是实际值的向量。
通过求解这个问题，可以得到最适合实际值的拟合函数。
一般来说，最小二乘问题可以通过牛顿法来解决。
牛顿法本质上是一种迭代方法，每次迭代时，我们都会用当前点的局部二次近似来更新下一个点，直到达到一个有限的精度为止。
但是，如果我们使用一般的牛顿法来解决非线性最小二乘问题，它可能会收敛得很慢，或者会陷入局部最小值。
为了解决这个问题，我们可以使用阻尼牛顿法。
阻尼牛顿法的基本思想是，在每个迭代步骤中，我们会采用正则化策略来使函数具有更好的全局收敛性。
这种策略由一个参数λ控制，当λ趋近于0时，阻尼牛顿法就变成了一般的牛顿法。
λ的值通常是在每个迭代步骤中动态调整的，以确保算法能够快速收敛。
阻尼牛顿法的另一个问题是，它可能会遇到不可接受的步长。
这意味着，在某些情况下，我们可能需要采取更加保守的步骤，以避免算法出现失败。
为了解决这个问题，阻尼牛顿法引入了一个衰减因子α，它可以使步长逐渐减小，直到我们找到一个可接受的步长或者算法停止。
在阻尼牛顿法中，我们还需要对函数的梯度进行计算。
这个计算通常使用数值方法来完成，但如果函数具有解析式，我们也可以通过解析式来计算。
综上所述，阻尼牛顿法是一种用于解决非线性最小二乘问题的有效数值优化方法。
它独特的正则化策略和衰减因子，在解决最小二乘问题时，能够收敛得更快且更加可靠。
阻尼牛顿算法在优化问题中的应用
阻尼牛顿算法在优化问题中的应用随着现代科技的不断发展，优化问题的研究成为了数学领域中的热门话题之一。
在这一领域中，阻尼牛顿算法是一种广泛应用的迭代算法，它不仅适用于优化问题的求解，还可以在许多科学和工程领域中发挥出色的作用。
本文将介绍阻尼牛顿算法在优化问题中的应用，着重探讨其优点和局限性。
一、阻尼牛顿算法的基本原理阻尼牛顿算法是一种基于牛顿迭代法的优化方法，又称为牛顿-拉弗森方法。
其基本思想是利用函数的二阶导数信息，以得到更快的收敛速度。
在求解最小化目标函数的优化问题时，该算法通过迭代寻找梯度为零的点来实现。
阻尼牛顿算法的基本迭代公式为：$ x_{k+1} = x_k - \alpha_k H_k ^{-1} \nabla f(x_k) $其中，$ x_k $ 表示迭代至第 $ k $ 步的近似解，$ \alpha_k $ 是迭代步长，$ H_k $ 是目标函数 $ f(x_k) $ 的海森矩阵，$ \nabla f(x_k) $ 表示目标函数在 $ x_k $ 处的梯度。
在实际应用中，为了防止步长过大导致算法的失效，还需要引入阻尼系数 $ \gamma_k $，将公式修改为：$ x_{k+1} = x_k - \gamma_k H_k ^{-1} \nabla f(x_k) $其中，$ \gamma_k = \min \{1, \frac{1}{2} \frac{\nabla f(x_k)^T H_k ^{-1} \nabla f(x_k)}{\| \nabla f(x_k)\| ^2}\} $这个公式表示，阻尼牛顿算法在每一步都会寻找目标函数的极小值点，从而实现快速收敛。
二、阻尼牛顿算法的优点1.快速收敛相比于其他常见的优化算法，如梯度下降和共轭梯度算法，阻尼牛顿算法通常具有更快的收敛速度。
这是因为它不仅仅使用了梯度信息，还利用了目标函数的二阶导数信息，从而更快地找到极小值点。
2.适用于大规模问题阻尼牛顿算法在处理大规模优化问题时非常有效。
机械优化设计方法简介
机械优化设计方法简介一.引言“设计”作为人们综合运用科学技术原理和知识并有目的地创造产品的一项技术，已经发展为现代社会工业文明的重要支柱。
今天，设计水平已是一个国家的工业创新能力和市场竞争能力的重要标志。
许多的设计实践经验告诉我们，设计质量的高低，是决定产品的一系列技术和经济指标的重要因素。
因此，在产品生产技术的第一道工序—设计上，考虑越周全和越符合客观，则效果就会越好。
在产品设计中，追求设计结果的最优化，一直是我们工作努力的目标。
现代设计理论、方法和技术中的优化设计，为工程设计人员提供了一种易于实施且可使设计结果达到最优化的重要方法和技术，以便在解决一些复杂问题时，能从众多设计的方案中找出尽可能完善的或是最好的方案。
这对于提高产品性能、改进产品质量、提高设计效率，都是具有重要意义的。
二．优化设计的概念优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。
机械优化设计最优化（Optimization)通常是指解决设计问题时，使其结果达到某种意义上的无可争议的完善化。
最优化“OPT”在科学和技术领域内如同使用最大“MAX”和最小“MIN”一样具有普遍性。
把机械设计和现代设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
三．优化设计的一般实施步骤(1）根据设计要求和目的定义优化设计问题；(2）建立优化设计问题的数学模型；(3）选用合适的优化计算方法；(4）确定必要的数据和设计初始点；(5）编写包括数学模型和优化算法的计算机程序，通过计算机的求解计算获取最优结构参数；(6）对结果数据和设计方案进行合理性和适用性分析。
其中，最关键的是两个方面的工作：首先将优化设计问题抽象和表述为计算机可以接受与处理的优化设计数学模型，通常简称它为优化建模；然后选用优化计算方法及其程序在计算机上求出这个模型的的最优解，通常简称它为优化计算。
机械优化设计方法
f x0
f
x (0) 1
x1,
x20
x2
f
x10 , x20
lim
d
0
lim x1 0 x2 0
f
x (0) 1
x1,
x20
x2
f
x10 , x20 x2
x1
x1
f
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2
TDh
8 B2 h2
人字架的总质量
1
mD, h 2 AL 2TD B2 h2 2
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
h2 ) 2
f x0 T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
cos1
沿d方向的方向向量
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
机械优化设计复习总结
机械优化设计复习总结1. 优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。
解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述，用数学解析方法的求解方法。
解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。
数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。
数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题。
但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。
数值解法的基本思路：先确定极小点所在的搜索区间，然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。
2. 优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。
3. 机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。
优化准则法：1k k k x c x +=（为一对角矩阵）数学规划法：1k k k k x x d α+=+（\k k d α分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4. 机械优化设计问题一般是非线性规划问题，实质上是多元非线性函数的极小化问题。
重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件。
5. 对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。
001||cos n x x i i if f d x θ=∂∂=∂∂∑ 函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。
梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。
6. 多元函数的泰勒展开。
()()()()()[]00002221112101222221221221212T T x f x f x f x x x G x x f f x x x x x f f f x x x x x x x f f x x x =+∇∆+∆∆⎡⎤∂∂⎢⎥∆∂∂∂∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂⎢⎥=++∆∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 海赛矩阵：()0G x =222112222122f f x x x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦（对称方阵） 7. 极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件。
机械优化设计实验报告
《机械优化设计》实验报告目录1.进退法确定初始区间......................................................................................................................1.1 进退法基本思路 ..................................................................................................................1.2 进退法程序框图 ..................................................................................................................1.3 题目 ......................................................................................................................................1.4 源程序代码及运行结果 ......................................................................................................2.黄金分割法......................................................................................................................................2.2黄金分割法流程图 ...............................................................................................................2.3 题目 ......................................................................................................................................2.4 源程序代码及结果 ..............................................................................................................3.牛顿型法..........................................................................................................................................3.1牛顿型法基本思路 ...............................................................................................................3.2 阻尼牛顿法的流程图 ..........................................................................................................3.3 题目 ......................................................................................................................................3.4 源程序代码及结果 ..............................................................................................................4.鲍威尔法..........................................................................................................................................4.1 鲍威尔法基本思路 ..............................................................................................................4.2 鲍威尔法流程图 ..................................................................................................................4．3 题目 ...................................................................................................................................4.4 源程序代码及结果 ..............................................................................................................5. 复合形法........................................................................................................................................5.1 复合行法基本思想 ..............................................................................................................5.3 源程序代码及结果 ..............................................................................................................6. 外点惩罚函数法............................................................................................................................6.1解题思路： ...........................................................................................................................6.2 流程框图 ..............................................................................................................................6.3 题目 ......................................................................................................................................6.4 源程序代码及结果 ..............................................................................................................7.机械设计实际问题分析..................................................................................................................7.2计算过程如下 .......................................................................................................................7.3 源程序编写 ..........................................................................................................................8.报告总结..........................................................................................................................................1.进退法确定初始区间1.1 进退法基本思路：按照一定的规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直至找到函数值按“高-低-高”变化的单峰区间。
北航机械优化大作业
现代机械优化设计授课老师：王春洁2014-12-17目录第一部分一、一维优化方法 (2)1. 进退法 (2)2. 格点法 (2)3. 牛顿法 (2)4. 二次插值 (3)应用原则： (4)二、多维无约束优化 (4)1. 梯度法 (4)2. 二阶牛顿法与阻尼牛顿法 (5)3. DFP变尺度法 (6)4. 单纯形法 (6)三、多维约束优化 (6)1. 随机方向搜索法 (8)2. 可行方向法 (8)3. 惩罚函数法 (8)第二部分一、采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题 (10)问题的描述 (11)多维约束优化 (14)总结与致谢 (18)参考文献 (19)第一部分本部分为简述学过的优化算法（一维，多维无约束，多维有约束）的选择方法及应用原则。
一、 一维优化方法1. 进退法由单峰函数的性质可知，在极小点m x 左边函数值应严格下降，而在极小值右边函数值应严格上升。
因此，可从某一个给定的初始点0x 出发，以初始步长0h 沿着函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到相继的3个试点的函数值按“高---低---高”变化为止。
2. 格点法格点法是一种计算极其方便的方法，其迭代步骤可简要概括为把搜索区间等分成n 个点12,,n x x x …,，计算各个点对应的数值，取出函数值最小的点的横坐标m x ，之后，在m x 两侧取临点11,m m x x -+，作为新的区间并判断11m m x x eps +--<是否成立，倘若成立，则m x 就是最优解，对应的函数值m y 即为最优值；若不成立则以11[]m m x x -+为新区间重复以上过程直到满足条件为止。
3. 牛顿法牛顿法是用切线代替弧，逐渐逼近函数根值的方法。
当目标函数()f x 有一阶连续导数并且二阶导数大于零时，在曲线'()y f x =上作一系列切线，使之与x 轴的脚垫(0)(1)(2)(3),,,......x x x x 逐渐趋于'()0f x =的根*x 。
阻尼牛顿法的特点
阻尼牛顿法的特点
嘿，你知道阻尼牛顿法吗？这玩意儿可有意思啦！它就像是一个在复杂数学世界里的智慧小精灵。
阻尼牛顿法啊，它的特点之一就是具有很强的适应性。
就好比你去爬山，遇到不同的路况，你得灵活调整自己的步伐和路线吧，阻尼牛顿法也是这样，能根据不同的情况来调整自己。
比如说，在处理一些复杂函数的时候，它不会死板地按照一种方式去做，而是聪明地找到最合适的路径。
它还有个特点，就是特别注重精度。
这就像一个挑剔的艺术家，对每一个细节都力求完美。
它会不断地优化计算结果，力求达到最精确的答案。
比如在解决一些工程问题时，哪怕是一点点的误差都可能导致大问题，这时候阻尼牛顿法就会发挥它追求高精度的优势啦。
还有啊，它的稳定性也很不错。
就像一艘在大海中航行的船，不管遇到多大的风浪，都能稳稳地向前。
不会因为一点小波动就迷失方向或者翻船。
“哎呀，那阻尼牛顿法这么厉害，是不是什么问题都能轻松搞定呀？”你可能会这么问。
嘿嘿，当然不是啦！它也有它的局限性呢。
在实际应用中，有时候它可能会遇到一些特别复杂的情况，就好像遇到了一座很难翻越的高山，也会有些力不从心。
但是，这并不影响它的重要性和独特魅力呀！
总的来说，阻尼牛顿法是数学世界里一个非常独特且重要的存在。
它有着自己的优势和特点，虽然不是万能的，但在很多领域都能发挥巨大的作用，给我们带来很多惊喜和帮助呢！。
机械优化设计讲义第4讲
实验2：编写二次插值法计算程序，并计算书上例3-3。
令
c1
y3
3
y1
1
c2
y2
2
y1
1
c1
2 3
则： p
1 2
(1
3
c1 c2
)
还有两种情况需要考虑：
（1）c2
y2
2
y1
1
c1
2 3
0
时
即 y3 y1 ＝ y2 y1 ， 3 1 2 1
说明三个插值点共线，该直线与α轴平行，取α*=α2。
（2）若αp落在[α1,α3]之外，取α*=αp。
3.4 一维搜索的插值方法 利用插值方法建立函数的某种近似表达式，进而求出
函数的极小点，并用它作为原来函数极小点的近似值。这 种方法称作插值方法，又称作函数逼近法。
1.牛顿法：利用一个点的函数值、一阶导数值、二阶导数值来 构造二次函数。
2.二次插值法：利用三个点的函数值形成抛物线来构造二次函数。
一、牛顿法
f ( ) ( )
f
( )
f (0 )(
0)
1 2
f (0 )(
0 )2
根据极值必要条件:
( ) 0 即：f ( 0) f ( 0)(1 0) 0
得：1
0
f (0 ) f (0 )
依此类推，可得牛顿法迭代公式
k 1
k
f (k ) f (k )
k 1, 2,
牛顿法几何解释：
计算步骤：
给定α0,ε
1
0
f (0 ) f (0 )
F
T
α0=α1
|α1-α0|≤ε
优点：收敛速度快。
机械优化设计阻尼牛顿法
机械优化设计阻尼牛顿法引言（Introduction）机械工程中的优化设计是提高机械系统性能和效率的重要手段。
阻尼牛顿法是一种常用的数值优化方法，广泛应用于机械系统的设计和优化。
本文将介绍阻尼牛顿法在机械优化设计中的应用及其优势。
一、阻尼牛顿法的原理（Principle of Damped Newton method）阻尼牛顿法是一种迭代算法，通过不断迭代来使目标函数达到最小值或最大值。
其基本原理是在每一步迭代中，利用函数的一阶导数（即梯度）和二阶导数（即海森矩阵）来更新解向量，并引入一个阻尼系数来控制迭代的幅度，从而避免陷入局部极小值。
具体而言，阻尼牛顿法的迭代公式为：X_new = X_old - alpha * (H + lambda * I)^(-1) * G其中，X_new是更新后的解向量，X_old是上一步迭代的解向量，alpha是迭代步长，H是海森矩阵，G是梯度向量，lambda是阻尼系数，I是单位矩阵。
二、阻尼牛顿法在机械优化设计中的应用（Application in mechanical optimization design）1.机构优化设计：机构设计是机械工程中的重要内容之一、通过阻尼牛顿法可以优化机构的结构参数，使机构的运动轨迹更加稳定和精确。
例如，可以通过优化连杆长度和角度来最小化运动中的振动和摆动。
2.结构优化设计：机械结构设计是机械工程中的重要环节，通过阻尼牛顿法可以优化结构的刚度和强度。
例如，在飞机机翼设计中，可以通过优化梁的截面积和弯曲刚度分布来提高机翼的稳定性和承载能力。
3.材料优化设计：材料选择是机械工程中一个关键问题。
通过阻尼牛顿法可以在给定约束条件下，优化材料的特性，例如弹性模量、屈服强度等。
例如，在汽车车身设计中，可以通过优化材料的厚度和强度来提高车身的抗撞击能力。
三、阻尼牛顿法的优势（Advantages of Damped Newton method）1.收敛速度快：相比于其他优化算法，阻尼牛顿法具有较快的收敛速度。
机械设计中的阻尼分析与优化方法研究
机械设计中的阻尼分析与优化方法研究引言：在机械设计中，阻尼是一个重要的设计参数。
准确分析和优化阻尼对于确保机械系统的稳定性、可靠性和性能至关重要。
本文将探讨机械设计中的阻尼分析方法以及优化策略。
一、阻尼的定义和作用阻尼是指由于摩擦、粘滞、流体阻力等因素导致的能量损耗，从而减缓或抑制机械系统的振动。
阻尼的作用主要有两个方面：一是减小机械系统的振动幅值，降低共振峰值；二是消耗振动能量，提高系统的稳定性和控制性能。
二、阻尼的分类根据不同的物理特性和结构形式，可以将阻尼分为四类：干摩擦阻尼、液体摩擦阻尼、固体材料内耗阻尼和结构材料内部不完全接触产生的相对运动形成的阻尼。
不同类型的阻尼对机械系统的振动特性和稳定性具有不同的影响。
三、阻尼分析的方法1. 实验测试法：通过实际测量机械系统振动的相关参数，比如振动幅值、频率等，来分析阻尼效果。
2. 数值模拟法：利用计算机建立机械系统的数学模型，并基于物理原理和数学方法进行计算和仿真，从而评估阻尼对系统振动的作用。
3. 模态分析法：通过分析机械系统的固有频率、阻尼比等模态参数，结合振动实验数据，可以间接推测阻尼对振动的抑制效果。
四、阻尼优化的策略1. 材料选择：选择具有良好阻尼性能的材料，如聚合物材料、复合材料等。
这些材料具有较高的内耗能力，可以有效地消耗振动能量。
2. 结构设计：通过合理的结构设计，可增加机械系统的阻尼。
例如，在关键位置添加阻尼弹簧、阻尼器等装置，增加机械系统的能量耗散路径，从而抑制振动。
3. 控制策略：采用主动或被动控制策略来实现阻尼优化。
主动控制采用传感器、执行器等主动控制器来实时调节系统阻尼；被动控制则通过调节材料、结构参数等来实现阻尼的优化。
五、阻尼优化实例分析以汽车悬挂系统为例，通过分析阻尼对悬挂系统的影响，可以对系统的设计和优化提供参考。
通过调节悬挂系统的阻尼参数，可以改变汽车行驶时的悬挂刚度和振动特性，提高乘坐舒适性和行驶稳定性。
六、结论机械设计中的阻尼分析和优化是确保系统振动稳定性和性能的重要环节。
阻尼牛顿法例题讲解
阻尼牛顿法例题讲解阻尼牛顿法（Damped Newton's Method）是一种用于求解非线性方程组的迭代方法。
它是牛顿法的一种改进，通过引入阻尼因子来增加算法的稳定性和收敛性。
假设我们要求解一个非线性方程组 F(x) = 0，其中 x 是一个n 维向量，F 是一个从 n 维向量到 n 维向量的函数。
阻尼牛顿法的迭代公式如下：x_{k+1} = x_k (J(x_k) + \lambda_k I)^{-1} F(x_k)。
其中，x_k 是第 k 次迭代的近似解，J(x_k) 是 F 在 x_k 处的雅可比矩阵，\lambda_k 是阻尼因子，I 是单位矩阵。
阻尼牛顿法的步骤如下：1. 初始化，选择初始点 x_0，设置迭代次数 k = 0。
2. 计算函数值和雅可比矩阵，计算 F(x_k) 和 J(x_k)。
3. 计算步长，计算步长 \Delta x_k = (J(x_k) + \lambda_kI)^{-1} F(x_k)。
4. 更新近似解，更新近似解 x_{k+1} = x_k \Delta x_k。
5. 判断终止条件，如果满足终止条件（如 \|\Delta x_k\| <\epsilon），则停止迭代；否则，令 k = k + 1，返回步骤 2。
阻尼因子 \lambda_k 的选择对算法的收敛性和稳定性有重要影响。
一般来说，\lambda_k 的取值范围在 0 到 1 之间，可以根据具体问题进行调整。
当 \lambda_k = 0 时，阻尼牛顿法退化为牛顿法；当 \lambda_k = 1 时，阻尼牛顿法退化为简化的牛顿法（也称为 Gauss-Newton 方法）。
阻尼牛顿法的优点是收敛速度快，通常比牛顿法更稳定。
然而，它也有一些缺点。
首先，计算雅可比矩阵和求解线性方程组的代价较大。
其次，阻尼因子的选择需要一定的经验和调试。
总结起来，阻尼牛顿法是一种求解非线性方程组的迭代方法，通过引入阻尼因子来提高算法的稳定性和收敛性。
阻尼牛顿法
break; case 2: j=rccz(x,s,h,ebsin); break; } gread(x,d); fprintf(fp,"迭代轮数 f=xfout(x,k); t=0; for(i=0;i<N;i++) t+=d[i]*d[i]; t=sqrt(t); fprintf(fp," k++; }while(t>ebsin); fprintf(fp,"\n*********************\n"); fprintf(fp,"阻尼牛顿法法优化最优点及目标函数值为：\n"); f=xfout(x,-1); fprintf(fp," 迭代精度："); 迭代精度：%15.9lf\n",t); k=%3d \n",k);
return; }
/*计算 f(xk+as)*/ double xkadd(double x[],double d[],double a) { int i; double x1[N];
for(i=0;i<N;i++) x1[i]=x[i]+a*d[i]; return hanshu(x1); }
/*输出选定的一维迭代方法*/ void ywddf(int yw) { switch(yw) { case 1:
实 验 原 理 步 骤 、 实验原理： 实验步骤： 1，画流程图，编写程序； 2，将目标函数代入； 3，编译运行，将结果保存。
f ( X ) 4( x1 1) 2 2( x2 1) 2 x1 x2 10 初始点：X 0 [0，]T ，梯度精度 0.01 0
**********阻尼牛顿法计算结果********** ++++++一维搜索方法：黄金分割法++++++ 初始坐标： x( 0)=[ 0.0000000, 0.0000000], f( 0)= 16.0000000 迭代轮数 k= 1 x( 1)=[ -1.1233083, 0.7488722], f( 1)= 9.8125140 迭代精度：0.014265760 迭代轮数 k= 2 x( 2)=[ -1.1249975, 0.7499983], f( 2)= 9.8125000 迭代精度：0.000021452 ********************* 阻尼牛顿法法优化最优点及目标函数值为： x( * )=[ -1.1249975, 0.7499983], f( * )= 9.8125000 迭代精度：0.000021452 实 验
机械优化设计阻尼牛顿法
目录第1章选择方法及思路 (1)1.1 概述 (1)1.1.1 优化设计 (1)1.1.2 优化设计的思想 (1)1.1.3 优化设计的步骤 (1)1.2 优化设计的方法 (1)分类 (1)1.2.2 常用的优化方法 (2)第2章阻尼牛顿法计算应用 (4)阻尼牛顿法的计算步骤 (4)阻尼牛顿法的程序框图 (5)实例解析 (5)阻尼牛顿法的程序编程 (6)第3章总结 (9)第 1 章选择方法及思路概述优化设计优化设计是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择适宜的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。
优化设计的思想优化设计的指导思想源于它所倡导的开放型思维方式管理学中有一句俗语,“思路决定出路,心动决定行动〞.如此的思维方式有助于摆脱虚设的假象,这并非属于异想天开或者好高骛远的空想,而是强调一切从未来出发,然后再从现实着手。
优化设计的步骤一般来说，优化设计有以下几个步骤：1、建立数学模型2、选择最优化算法3、程序设计4、制定目标要求5、计算机自动筛选最优设计方案等优化设计的方法分类根据讨论问题的不同方面，有不同的分类方法：1、按设计变量数量来分〔1〕单变量〔一维〕优化〔2〕多变量优化2、按约束条件来分〔1〕无约束优化〔2〕有约束优化3、按目标函数来分〔1〕单目标优化〔2〕多目标优化4、按求解方法特点〔1〕准那么法（2）数学归纳法常用的优化方法：单变量〔一维〕优化，无约束优化，多目标函数优化，数学归纳法。
1、单变量〔一维〕优化〔1〕概述单变量〔一维〕优化方法是优化方法中最简单、最根本的方法。
（2）具体优化方法1〕黄金分割法〔0.618法〕黄金分割是指将一段线段分成两端的方法，使整段与较长段的比值等于较长段与较短段的比值，即2〕插值法插值法又称“内插法〞，是利用函数f (x)在某区间中假设干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。
阻尼牛顿法
阻尼牛顿法
一、前言
在上篇文章中，我介绍了无约束优化方法-牛顿法，见下：
最后我们说道了牛顿法的缺点，这里重新回顾一下，好引出阻尼牛顿法。
缺点：保证不了迭代方向是下降方向，这就是致命的！先看一个定理：
我们判断牛顿法的迭代方向是否朝着函数值下降的方向移动，也就是判断一下迭代方向和当前点的梯度值做内积，如果小于0就说明是下降方向，我们来计算一下：
迭代方向和当前点的梯度做内积为:
大于0，这恰好是海塞矩阵正定的条件，也就是需要满足当前点的海塞矩阵是正定的，这个要求是很强的，因此并不能保证牛顿法的迭代方向是一定沿着函数值下降的方向。
为了解决这个问题，我们引入了阻尼牛顿法。
二、阻尼牛顿法
在前面说到的牛顿法缺点中，确定了迭代方向之后，迭代步长默认为1，但是这个迭代方向并不一定是朝着函数值下降的方向。
所以阻尼牛顿法为了解决这个问题，采取的做法是确定了迭代方向（和牛顿法一样的迭代方向）之后，还需要在该方向做一维搜索，寻找使得在该迭代方向上最优的迭代步长。
公式如下：
阻尼牛顿法的算法步骤如下：。
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目录第1章选择方法及思路 (1)1.1 概述 (1)1.1.1 优化设计 (1)1.1.2 优化设计的思想 (1)1.1.3 优化设计的步骤 (1)1.2 优化设计的方法 (1)1.2.1 分类 (1)1.2.2 常用的优化方法 (2)第2章阻尼牛顿法计算应用 (4)2.1 阻尼牛顿法的计算步骤 (4)2.2 阻尼牛顿法的程序框图 (5)2.3 实例解析 (5)2.4 阻尼牛顿法的程序编程 (6)第3章总结 (9)第 1 章选择方法及思路1.1概述1.1.1优化设计优化设计是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。
1.1.2优化设计的思想优化设计的指导思想源于它所倡导的开放型思维方式,即在面对问题时,抛开现实的局限去想象一种最理想的境界,然后再返回到当前的现状中来寻找最佳的解决方案.在管理学中有一句俗语,“思路决定出路,心动决定行动”.如此的思维方式有助于摆脱虚设的假象,这并非属于异想天开或者好高骛远的空想,而是强调一切从未来出发,然后再从现实着手。
1.1.2优化设计的步骤一般来说，优化设计有以下几个步骤：1、建立数学模型2、选择最优化算法3、程序设计4、制定目标要求5、计算机自动筛选最优设计方案等1.2优化设计的方法1.2.1分类根据讨论问题的不同方面，有不同的分类方法：1、按设计变量数量来分（1）单变量（一维）优化（2）多变量优化2、按约束条件来分（1）无约束优化（2）有约束优化3、按目标函数来分（1）单目标优化（2）多目标优化4、按求解方法特点（1）准则法（2）数学归纳法1.2.2常用的优化方法常用的优化方法：单变量（一维）优化，无约束优化，多目标函数优化，数学归纳法。
1、单变量（一维）优化（1）概述单变量（一维）优化方法是优化方法中最简单、最基本的方法。
（2）具体优化方法1）黄金分割法（0.618法）黄金分割是指将一段线段分成两端的方法，使整段与较长段的比值等于较长段与较短段的比值，即2）插值法插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。
黄金分割法（0.618法）与插值法的比较相同点：两种方法都是利用区间消去法原理将初始搜索区间不断缩短，求得极小值的数值近似解。
不同点：表现在试验点（插入点）位置的确定方法不同。
黄金分割法：试验点是按照某种个特定的规律确定；不考虑函数值的分布；插值法：试验点是按照函数值近似分布的极小点确定；利用了函数值本身及其导数信息。
2、无约束优化（1）概述无约束最优化问题是：求n维设计变量X=[x1,x2,…,x n]T使目标函数为min f(X)，而对X没有任何限制；如果存在X*,使min f(X)=f(X*)分别称X*为最优点，f(X*)为最优值（2）具体优化方法无约束最优化方法归纳起来可分为两大类：直接法：变量（坐标）轮换法、共轭方向法、鲍威尔(Powell)法间接法：梯度法、共轭梯度法、牛顿法1)变量（坐标）轮换法它是把多变量的优化问题转化为一系列单变量的优化问题的一种方法。
原理：沿着坐标轴的方向轮流进行搜索，直至最优点。
又称坐标轮换法。
特点：变量轮换法的基本思想认为坐标轴方向为有利的搜索方向，因此，在搜索时总是沿着互相垂直的坐标轴方向，并变换多次，才能达到极值点。
搜索效率低，且越接近极值点，搜索速度越慢。
2）共轭方向法设A为n×n阶实对称正定矩阵，如果有两个n维向量S1和S2满足S 1T AS2=0则称向量S1与S2对于矩阵A共轭。
共轭向量的方向称为共轭方向，沿着共轭向量的方向进行搜索的方法称为共轭方向法。
3）鲍威尔(Powell)法鲍威尔(Powell)法又称鲍威尔共轭方向法，它是对原始共轭方向法的改进，与原始共轭法的区别在于它对于每一次的搜索结果进行判断，并选择最优方向继续搜索。
4）梯度法 基本原理：人们利用函数在其负梯度方向函数值下降最快这一局部性质，将n 维无约束极小化问题转化为一系列沿目标函数负梯度方向一维搜索寻优，这就成为梯度法的基本构想。
5）共轭梯度法 基本原理：在梯度法的基础上，利用目标函数的共轭方向和一阶导数推算和重置负方向梯度，从而得到最优的搜索结果。
6）牛顿法 ① 原始牛顿法 基本原理：原目标函数f (X )用在迭代点X (k )邻域展开的泰勒二次多项式ψ(X )去近似的代替，再以ψ(X )这个二次函数的极小点X ψ*作为原目标函数的下一个迭代点X (k +1)，这样重复迭代若干次后，使迭代点点列逐步逼近原目标函数的极小点。
②阻尼牛顿法 基本原理：在原始牛顿法的基础上，在搜索的的每一步选择最优因子进行下一步的搜索。
第 2 章 阻尼牛顿法计算应用2.1阻尼牛顿法的计算步骤1) 给定初始点0x ，收敛精度ε，置0k ←。
2) 计算()k f x ∇、 2()k f x ∇、21(())k f x -∇和21(())()k k k d f x f x -=-∇∇ 3) 求1k k k k x x d α+=+，其中k α为沿k d 进行一维搜索的最佳步长。
4) 检查收敛精度。
若1k k n x x ε+-<，则*1k x x +=，停机；否则置1k k ←+，返回步骤2，继续进行进行搜索。
2.2阻尼牛顿法的程序框图图2-1 阻尼牛顿法的程序框图2.3实例解析利用阻尼牛顿法求函数4212112(,)22f x x x x x =-+-（）（）的极小值点（迭代两次，一维搜索任选一种方法）。
解：取初始值0Tx =（3,0），则初始点初的函数梯度，海塞矩阵及其逆矩阵分别是03011221104(2)+2(2)()1284x x x x f x x x --⎛⎫⎛⎫∇== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭0220114144124850)()8484x x x f x ---+⎛⎫⎛⎫∇==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭201411148242412()772148482448f x ---⎛⎫⎛⎫∇==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10013113102431270112924488x ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∙= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭把1x 代入()0f x ∇=中得最佳步长03631α=，求出181318162x ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭13111221274364(2)+2(2)()29791840x x x x f x x x --⎛⎫⎛⎫∇== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1322111192814412(2)2)12()31628844x x x f x ⨯⎛⎫---+⎛⎫⎛⎫⨯+⎪∇==⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭- 21148()82389429791f x -⎛⎫∇=⎪⎝⎭12118142743647558312979182389 2.37781402979162x ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-∙=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭把2x 代入()0f x ∇=中得最佳步长10.4082α=，求出2 1.940.97x ⎛⎫= ⎪⎝⎭2.4阻尼牛顿法的程序编程程序如下：// 阻尼牛顿法 .cpp : Defines the entry point for the console application. #include<stdio.h> #include<math.h> #include<conio.h> #include <iostream>double fun1(double q1,double q2) {return(pow((q1-2),4)+pow((q1-2*q2),2)); //修改函数f(x1,x2)=(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)+(x1-2*x2)*(x1-2*x2) }double fun2(double g,double x,double y,double r1,double r2) {return (pow((x+g*y-2),4)+pow((x+g*y-2*(r1+g*r2)),2));//关于阻尼因子的函数 }{double A[2][1],B[2][2],C[2][1],D[2][1],X[2][1];double E[2][1]={4,3};//迭代的初始点x0int t=0,i=0,j=0;double E0,x1,x2,x3,h(0.1);double y1,y2,y3,m;double a,b,k=0.618,a1,a2,f1,f2;printf("输入收敛精度：");//输入标准收敛精度std::cin>>E0;do{D[0][0]=E[0][0];D[1][0]=E[1][0];A[0][0]=4*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)+2*D[0][0]-4*D[1][0];A[1][0]=-4*(D[0][0]-2*D[1][0]);//A[0][0],A[1][0]为原函数梯度的各项B[0][0]=1.0/(12.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2));B[0][1]=1.0/(24.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2));B[1][0]=1.0/(24.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2));B[1][1]=(6.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)+1)/(48.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2));//B[0][0],B [0][1],B[1][0],B[1][1]分别代表原函数的海赛矩阵的逆阵的各项C[0][0]=-(B[0][0]*A[0][0]+B[0][1]*A[1][0]);C[1][0]=-(B[1][0]*A[0][0]+B[1][1]*A[1][0]);//C[0][0],C[1][0]为搜索方向dk的各项//下面利用外推法寻找函数2的区间，找单谷区间x1=0;x2=x1+h;y1=fun2(x1,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);y2=fun2(x2,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);if(y2>y1){h=-h;x3=x1,y3=y1;x1=x2,y1=y2;x2=x3,y2=y3;}x3=x2+h;y3=fun2(x3,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);while(y3<y2){h=2*h;x1=x2,y1=y2;x2=x3,y2=y3;y3=fun2(x3,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);i++;}//下面利用黄金分割法寻找函数2极值a=x1;b=x3;a1=b-k*(b-a);a2=a+k*(b-a);f1=fun2(a1,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);f2=fun2(a2,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);do{if(f1>=f2){a=a1;a1=a2;f1=f2;a2=a+k*(b-a);f2=fun2(a2,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);}else{b=a2;a2=a1;f2=f1;a1=b-k*(b-a);f1=fun2(a1,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]);}j++;}while(fabs((b-a)/b)>=E0&&fabs((f2-f1)/f2)>=E0);m=0.5*(a+b);//m为阻尼因子E[0][0]=D[0][0]+m*C[0][0];E[1][0]=D[1][0]+m*C[1][0];printf("%d%15f10%15f10\n",t,E[0][0],E[1][0],fun1(E[0][0],E[1][0]));t++;}while(fabs(E[0][0]-D[0][0])>=E0&&fabs(E[1][0]-D[1][0])>=E0);X[0][0]=E[0][0];X[1][0]=E[1][0];printf("迭代了%d次\n",t);printf("极小点(x1,x2)=(%f10,%f10)\n",X[0][0],X[1][0]);printf("极小值f(x1,x2)=%f10\n",fun1(X[0][0],X[1][0]));}该程序的运行结果，要求迭代两次后函数的极小值点在（1.94，0.97）处。