【期末试卷】龙岩市长汀县2015-2016学年八年级上期末数学试卷

福建省龙岩市长汀县2015～2016学年度八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项的代号填入下面的空格中．1．计算：3x2•5x3的结果为（）A．8x6B．15x6C．8x5D．15x52．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm4．下列计算正确的是（）A．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 B．a3•a4=a12C．（x3）3=x6D．3a+2a=5a25．如图，已知∠ADB=∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．∠A=∠C B．AD=BC C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．5 B．4 C．7 D．67．若（x+y）2=9，（x﹣y）2=5，则xy的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．48．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠DBC=（）A．22.5° B．30°C．32°D．15°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）与点B（3，2）关于对称．10．当m=时，分式的值为零．11．计算：（﹣）﹣2+（3﹣π）0=．12．如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=EC，AE=10，AC=6，则CD 的长为．13．已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=．14．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=．15．当x=时，多项式x2+4x+6取得最小值．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．17．如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是cm．18．观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015=．三、简答题（共8小题，共56分）19．计算：（﹣2x3y2﹣3x2y2+2xy）÷2xy．20．给出三个多项式：①2x2+4x﹣4；②2x2+12x+4；③2x2﹣4x请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．21．先将分式进行化简，然后请你给x选择一个你认为合适的数值代入，求原式的值．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（6，1）关于y轴对称的点分别是点C，点D．（1）请写出点C，点D的坐标；（2）在x轴上求作一点P，使PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不要求写作法）并直接写出点P 的坐标．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．24．【问题情境】：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．【探究展示】：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）【反思交流】：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过．25．长汀的动车时代来了！据报道，2015年11月26日，赣（州）瑞（金）龙（岩）铁路进入试运行阶段．赣州到龙岩，乘快速列车的行程约为290km，动车开通后，动车的行程约为250km，运行时间比快速列车所用的时间减少了2.375h．若动车的平均速度是快速列车平均速度的2.5倍，求动车的平均速度．26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？福建省龙岩市长汀县2015～2016学年度八年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项的代号填入下面的空格中．1．计算：3x2•5x3的结果为（）A．8x6B．15x6C．8x5D．15x5【考点】单项式乘单项式．【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．【解答】解：3x2•5x3=15x5．故选：D．【点评】此题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．4．下列计算正确的是（）A．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 B．a3•a4=a12C．（x3）3=x6D．3a+2a=5a2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法与幂的乘方等知识点进行作答．【解答】解：A、（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2，故本选项正确；B、a3•a4=a7，故本选项错误；C、（x3）3=x9，故本选项错误；D、3a+2a=5a，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，负整数指数幂，积的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．5．如图，已知∠ADB=∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．∠A=∠C B．AD=BC C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD【考点】全等三角形的判定．【分析】由全等三角形的判定方法AAS、SAS、ASA得出选项A、B、C能证明，D不能证明；即可得出结论．【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法AAS、SAS、ASA是解决问题的关键．6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．5 B．4 C．7 D．6【考点】含30度角的直角三角形；垂线段最短．【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此题可解．【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选C．【点评】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6．7．若（x+y）2=9，（x﹣y）2=5，则xy的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【考点】完全平方公式．【分析】（x+y）2=9减去（x﹣y）2=5，然后用平方差公式计算即可．【解答】解：（x+y）2﹣（x﹣y）2=4，∴[（x+y）+（x﹣y）][（x+y）﹣（x﹣y）]=4．∴2x•2y=4．∴4xy=4．∴xy=1．故选：B．【点评】本题主要考查的是完全平方公式或平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．8．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠DBC=（）A．22.5° B．30°C．32°D．15°【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．【分析】根据翻折的性质可得∠DBC=∠EBD，∠E=∠C=90°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠ADB，从而得到∠EBD=∠ADB，然后判断出△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠DFE=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EBD，从而得解．【解答】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD，∵矩形的对边AD∥BC，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB，∴∠EBD=∠ADB，∵△EDF是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE，∴∠EBD=×45°=22.5°，∴∠DBC=22.5°．故选A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）与点B（3，2）关于y轴对称．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：点A（﹣3，2）与点B（3，2）关于y轴对称，故答案为：y轴．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．10．当m=﹣2时，分式的值为零．【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得|m|﹣2=0，且m﹣2≠0，解得，m=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．11．计算：（﹣）﹣2+（3﹣π）0=5．【考点】负整数指数幂；零指数幂．【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=4+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．12．如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=EC，AE=10，AC=6，则CD 的长为2．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】首先利用SAS即可证得△ABC≌△EFD，则AC=ED=6，然后根据CD=AC+ED﹣AE即可求解．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，∵AD=EC，∴AD+DC=EC+DC，即AC=ED，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（SAS），∴AC=ED=6，∴CD=AC+ED﹣AE=6+6﹣10=2，故答案为2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是解决问题的关键．13．已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=5．【考点】全等三角形的性质．【分析】全等三角形，对应边相等，周长也相等．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=4，在△ABC中，△ABC的周长为12，AB=3，∴AC=12﹣AB﹣BC=12﹣4﹣3=5，故填5【点评】本题考查了全等三角形的性质；要熟练掌握全等三角形的性质，本题比较简单．14．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=±8．【考点】完全平方式．【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍．【解答】解：∵x2﹣ax+16是一个完全平方式，∴ax=±2•x×4=±8x，∴a=±8．【点评】本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用．本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．15．当x=﹣2时，多项式x2+4x+6取得最小值．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】将x2+4x+6利用配方法转化为（x+2）2+2，然后根据（x+2）2≥0可得多项式x2+4x+6的最小值．【解答】解：设x2+4x+6=（x+2）2+2；∴当x=﹣2时，多项式x2+4x+6取得最小值2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查了配方法的应用．解答该题时，利用了配方法求多项式或二次函数的最值是常用方法．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有8个．【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．【解答】解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．故答案为：8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．17．如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是15cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．【解答】解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，∴BD=AD，AB=2AE=6cm，∵△ADC的周长为9cm，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=9cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=15cm．故答案为：15．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用．18．观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015=1016064．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值是多少即可．【解答】解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008﹣1）=10082=1016064故答案为：1016064．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．三、简答题（共8小题，共56分）19．计算：（﹣2x3y2﹣3x2y2+2xy）÷2xy．【考点】整式的除法．【专题】计算题；整式．【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣x2y﹣xy+1．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．给出三个多项式：①2x2+4x﹣4；②2x2+12x+4；③2x2﹣4x请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．【考点】提公因式法与公式法的综合运用；整式的加减．【专题】开放型．【分析】求①+②的和，可得4x2+16x，利用提公因式法，即可求得答案；求①+③的和，可得4x2﹣4，先提取公因式4，再根据完全平方差进行二次分解；求②+③的和，可得4x2+8x+4，先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解．【解答】解：①+②得：2x2+4x﹣4+2x2+12x+4=4x2+16x=4x（x+4）；①+③得：2x2+4x﹣4+2x2﹣4x=4x2﹣4=4（x+1）（x﹣1）；②+③得：2x2+12x+4+2x2﹣4x=4x2+8x+4=4（x2+2x+1）=4（x+1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤，先提公因式，再利用公式法分解．注意分解要彻底．21．先将分式进行化简，然后请你给x选择一个你认为合适的数值代入，求原式的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=x+1，当x=0时，原式=1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（6，1）关于y轴对称的点分别是点C，点D．（1）请写出点C，点D的坐标；（2）在x轴上求作一点P，使PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不要求写作法）并直接写出点P 的坐标．【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．【分析】（1）关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；（2）首先求得点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．【解答】解：（1）点C的坐标为（﹣2，3），点D的坐标为（﹣6，1）；（2）如图所示：根据图形可知点P的坐标为（5，0）．【点评】本题主要考查的是轴对称图形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．24．【问题情境】：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．【探究展示】：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）【反思交流】：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：三线合一；依据2：角平分线定理．你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】计算题．【分析】（1）上述证明过程依据1是根据三线合一；依据2是根据角平分线定理，（2）可利用AAS得到三角形AMO与三角形BNO全等，即可得到OM=ON．【解答】解：（1）OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线（三线合一），∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON（角平分线定理）；故答案为：三线合一；角平分线定理；（2）∵OF⊥AC，OE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°，∵O为AB的中点，∴AO=BO，在Rt△AMO和Rt△BNO中，，∴Rt△AMO≌Rt△BNO（AAS），∴OM=ON．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．25．长汀的动车时代来了！据报道，2015年11月26日，赣（州）瑞（金）龙（岩）铁路进入试运行阶段．赣州到龙岩，乘快速列车的行程约为290km，动车开通后，动车的行程约为250km，运行时间比快速列车所用的时间减少了2.375h．若动车的平均速度是快速列车平均速度的2.5倍，求动车的平均速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设快速列车的平均速度为xkm/h，根据动车开通后，动车的行程约为250km，运行时间比快速列车所用的时间减少了2.375h列出分式方程解答即可．【解答】解：设快速列车的平均速度为xkm/h，由题意，得：+2.375，解得：x=80，经检验：x=80是分式方程的解，2.5x=200，答：动车的平均速度是200km/h．【点评】此题考查分式方程的应用，关键是根据动车开通后，动车的行程约为250km，运行时间比快速列车所用的时间减少了2.375h列出方程．26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．【专题】探究型．【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，在△BOC与△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠CAO=50°，①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．。