河南省郑州市第一中学网校2017-2018学年高三入学测试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{}2|ln 1,|sin tan ,0,4P x x Q y y x x x π⎧⎫⎛⎤=≤==+∈⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，则P Q ⋃为（ ）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎦ C．⎛ ⎝⎦ D．(2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（ ） A ．13i B ．13i - C ．1312i + D ．1213i +3.已知向量,a b 满足()2,1,0a b a b b ==+=，那么向量,a b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．35.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.46.过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为右焦点，若01260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．2C ．13D ．37.函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A ．24π B ．12π C ．8π D ．1124π 8.按下图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =（ ）A ．45B ．47C ．49D ．519.已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞ D ．(),0-∞10.已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,1- B ．[]1,3- C ．[]1,2- D ．[]2,311.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．1912.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e <的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．(),2-∞C ．()0,+∞D ．()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,3,cosC 3a b ===，则sin A = ____________．14. 12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()()1211,22OB OA OF OC OA OF =+=+，则OB OC +=__________． 15.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB AC AD 、、，且两两夹角都为60°，若球半径为R ，求弦AB 的长度___________． 16.已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是___________．三、解答题 （本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分） 已知()2cos cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求222a b cab++的取值范围． 18.（本题满分12分）三棱锥D ABC -中，08,120,,AB BC CD DA ADC ABC M O ====∠=∠=分别为棱,BC AC 的中点，DM =（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （2）求点M 到平面ABD 的距离． 19.（本小题满分12分）郑州一中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS ）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．20.（本题满分12分）已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,,F H O 是坐标原点，且3445OF OH ≤≤时，求k 的取值范围． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()221ln ,x f x a x x a R x -=-+∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明()()32f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分12分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ．（1）求证：AC BC AD AE =；（2）若2,AF CF ==AE 的长．23. （本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）判断直线l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B 两点，且AB =l 的斜率． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()()2,2,f x x g x m x m R =-=-∈． （1）解关于x 的不等式()3f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题 BADCB DADAC BC 二、填空题13.9 14. 6 15. a R =16. ()3,+∞ 三、解答题17.解：（1）()2cos cos f x x x x =+，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222262Q k x k πππππ-≤+≤+，∴36k x k ππππ-≤≤+，∴函数()f x 的单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）()1Q f C =，∴()2sin 216f C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴52222,6666C k C k k Z ππππππ+=++=+∈或， ∴3C π=，由余弦定理得：222c a b ab =+-，∴()222222121a b a b c b a ab ab a b +++⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭， Q ABC ∆为锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62A ππ<<，由正弦定理得：2sin sin 113,2sin sin 22A b B a A A π⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭===+∈ ⎪⎝⎭， ∴[)2223,4a b c ab++∈． 18.解：（1）由题意：4OM OD ==，∵DM =090DOM ∠=，即OD OM ⊥．又∵在ACD ∆中，,AD CD O =为AC 的中点，∴OD AC ⊥． ∵OM AC O ⋂=，∴OD ⊥平面ABC ，又∵OD ⊂平面MDO ，∴平面ABC ⊥平面MDO ．∴12ABD S ∆=⨯=．∵M ABD D MAB V V --=，即1133ABD MAB S h S OD ∆=， ∴4217MAB ABD S OD h S ∆∆==，∴点M 到平面ABD ． 19.【试题解析】（1）设初赛成绩的中位数为x ，则()()0.0010.0040.009200.02700.5x ++⨯+⨯-=，解得81x =，所初赛成绩的中位数为81；（2）该校学生的初赛分数在[)110,130有4人，分别记为,,,A B C D ，分数在[)130,150有2人，分别记为,a b ，在则6人中随机选取2人，总的事件有()()()()()()()()()()()()()()(,,,,,,,,,,,,,,,a ,,,,,,,,,,a ,,,,A B A C A D A a A b B C B D B B b C D C a C b D D b a b共15个基本事件上，其中符合题设条件的基本事件有8个．故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为815p =． 20.解：（1）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=，所以点Q 的轨迹是以点,C A 为焦点，焦距为2，长轴为221,12x b y ==+=；（2）设直线()()1122:,,,,l y kx b F x y H x y =+， 直线l 与圆221x y +=相切2211b k =⇒=+，()2222211242202x y k x kbx b y kx b ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， ()()()22222221641221821800k b k b k b k k ∆=-+-=-+=>⇒≠，2121222422,1212kb b x x x x k k-+=-=++，()()()()()()()221212121222222222222222112212414111212121212OF OH x x y y k x x kb x x b k b k k k k kb k kb b k k k k k k =+=+++++-++-+=++=-++=+++++所以22231411412532k k k +≤≤⇔≤≤+k k k ⇒≤≤⇒≤≤≤≤为所求． 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞；()()()22332122ax x a f x a x x x x --'=--+= ， 当()0,0,1a x ≤∈时，()()0,f x f x '>单调递增；()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当0a >时，()()31a x f x x x x ⎛-'=⎝． （1）01a <<>， 当()0,1x ∈或x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()()0,f x f x '>单调递增；当x ⎛∈ ⎝时，()()0,f x f x '<单调递减； （2）2a =1=，在()0,x ∈+∞内，()()0,f x f x '≥单调递增； （3）2a >时，01<<，当x ⎛∈ ⎝或()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；当x ⎫∈⎪⎪⎭时，()()0,f x f x '<单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减；当02a <<时，()f x 在()0,1内单调递增，在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增；当2a =时，()f x 在()0,+∞内单调递增；当()2,a f x >在⎛⎝内单调递增，在⎫⎪⎪⎭内单调递减，在()1,+∞内单调递增． （2）由（1）知，1a =时，()()2232321122312ln 1ln 1x f x f x x x x x x x x x x x x -⎛⎫'-=-+---+=-++-- ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈，令()()[]23312ln ,1,1,2g x x x h x x x x x=-=+--∈，则()()()()f x f x g x h x '-=+， 由()10x g x x-'=≥可得()()11g x g ≥=，当且仅当1x =时取得等号． 又()24326x x h x x --+'=，设()2326x x x ϕ=--+，则()x ϕ在[]1,2x ∈单调递减，因为()()11,210ϕϕ==-，所以在[]1,2上存在0x 使得()01,x x ∈时，()()00,,2x x x ϕ>∈时，()0x ϕ<， 所以函数()h x 在()01,x 上单调递增；在()0,2x 上单调递减，由于()()111,22h h ==，因此()()122h x h ≥=，当且仅当2x =取得等号， 所以()()()()3122f x f xgh '->+=，即()()32f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈恒成立．22.（1）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形， 因为090,,ABE ADC AEB ACB ABE ADC ∠=∠=∠=∠∆∆，所以AB AEAD AC=，即AB AC AD AE =．又AB BC =，所以AC BC AD AE =．（2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =，又2,AF CF == 所以4,2BF AB BF AF ==-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFCCFB ∆∆． 所以AF AC FC BC =，得2,cos 4AF BC AC ACD CF ==∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以sin 7AB AE AEB ==∠． 23．（1）∵2cos 4sin ρθθ=-，∴22cos 4sin ρρθρθ=-，∴曲线C 的直角坐标方程为2224x y x y +=-，即()()22125x y -++=，直线l 过点()1,1-，且该点到圆心的距离，直线l 与曲线C 相交．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l过圆心，AB =≠l 必有斜率，设其方程为()11y k x +=-，即10kx y k ---=，圆心到直线l 的距离2d ===， 解得1k =±，∴直线l 的斜率为1±． 24．（1）由()3f x >，得23x ->，即2323x x -<-->或，∴15x x <->或故原不等式的解集为{}|15x x x <->或；（2）由()()f x g x ≥，得22x m x -≥-对任意x R ∈恒成立，当0x =时，不等式22x m x -≥-成立当0x ≠时，问题等价于22x m x -+≤对任意非零实数恒成立，∵22221x x x x -+-+≥=，∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞．。