高中数学人教B版选修2-1第三章3 .1.3 两个向量的数量积 课件PPT
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人教B版 选修2-1 高中数学 第三章 3.1.3两个向量的数量积 教学课件
这时候我们发现平面向量的数量积运算 已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题 了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解 空间中的夹角和长度.
教学目标
知识目标
（1）掌握空间向量的数量积公式及 向量的夹角公式;
（2）运用公式解决立体几何中的有 关问题.
能力目标
（1） 比较平面、空间向量，培养学 生观察、分析、类比转化的能力;
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
继续
∵ l·m=0, l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内 的任一条直线，所以l⊥ .
例题2
已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、
CD的中点.
求证：MN⊥AB，MN⊥CD .
反向时,
r
a·b=-|a|·|b|;特别地，a
r a
=
r a
2
或
r a
=
rr a a
用于计算向量的r 模r ;
（3）cosθ =
a b
rr
用于计算向量的夹角.
a b
3.平面向量数量积满足的运算律
rr rr （1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律:
ur r (λa)·b
=
λ(
rr a·b
A
M
D B
N C
证明
因为
uuuur uuur uuur uuur MN = MA+ AD + DN
所以
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur AB·MN = AB·( MA + AD + DN )
教学目标
知识目标
（1）掌握空间向量的数量积公式及 向量的夹角公式;
（2）运用公式解决立体几何中的有 关问题.
能力目标
（1） 比较平面、空间向量，培养学 生观察、分析、类比转化的能力;
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
继续
∵ l·m=0, l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内 的任一条直线，所以l⊥ .
例题2
已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、
CD的中点.
求证：MN⊥AB，MN⊥CD .
反向时,
r
a·b=-|a|·|b|;特别地，a
r a
=
r a
2
或
r a
=
rr a a
用于计算向量的r 模r ;
（3）cosθ =
a b
rr
用于计算向量的夹角.
a b
3.平面向量数量积满足的运算律
rr rr （1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律:
ur r (λa)·b
=
λ(
rr a·b
A
M
D B
N C
证明
因为
uuuur uuur uuur uuur MN = MA+ AD + DN
所以
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur AB·MN = AB·( MA + AD + DN )
高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.3 两个向量的数量积
高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 3.1 空间向量及其运算
3.1.3 两个向量的数量积
∴(3 2)2＋42λ＋(1＋λ)×(－12)＝0，解得 λ＝－32.
第三章 3.1 3.1.3
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三、应用空间向量数量积求距离、夹角问题 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多 立体几何中的问题，如距离、夹角等的求解，都可借助向量的 数量积加以解决． 1．求距离 空间中两点间的距离或空间中一条线段的长度可以理解为 两点所对应的向量的模，因此两点间的距离和线段的长度，可 以通过求向量的模得到，即用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|.
注意：(1)向量的夹角与直线夹角、异面直线所成角的范围 的区别；
向量夹角 0≤<a，b>≤π，两直线夹角范围为[0，π2]，异面 直线所成角范围为(0，π2]．
(2)规定：0≤<a，b>≤π，两个向量的夹角是唯一确定的， <a，b>＝<b，a>.
(3)当<a，b>＝0 时，a 与 b 同向；<a，b>＝π 时，a 与 b 反 向；<a，b>＝π2时，a 与 b 垂直．
我们知道两条不同线路的高压输电线间的位置关系是异面 直线，因此在架设不同的高压输电线路时，工程师要计算这些 异面直线的夹角，而计算异面直线的夹角的方法之一便是用空 间向量的数量积，也就是今天我们要学习的内容.
高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 3.1 空间向量及其运算
3.1.3 两个向量的数量积
∴(3 2)2＋42λ＋(1＋λ)×(－12)＝0，解得 λ＝－32.
第三章 3.1 3.1.3
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三、应用空间向量数量积求距离、夹角问题 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多 立体几何中的问题，如距离、夹角等的求解，都可借助向量的 数量积加以解决． 1．求距离 空间中两点间的距离或空间中一条线段的长度可以理解为 两点所对应的向量的模，因此两点间的距离和线段的长度，可 以通过求向量的模得到，即用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|.
注意：(1)向量的夹角与直线夹角、异面直线所成角的范围 的区别；
向量夹角 0≤<a，b>≤π，两直线夹角范围为[0，π2]，异面 直线所成角范围为(0，π2]．
(2)规定：0≤<a，b>≤π，两个向量的夹角是唯一确定的， <a，b>＝<b，a>.
(3)当<a，b>＝0 时，a 与 b 同向；<a，b>＝π 时，a 与 b 反 向；<a，b>＝π2时，a 与 b 垂直．
我们知道两条不同线路的高压输电线间的位置关系是异面 直线，因此在架设不同的高压输电线路时，工程师要计算这些 异面直线的夹角，而计算异面直线的夹角的方法之一便是用空 间向量的数量积，也就是今天我们要学习的内容.
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.3 两个向量的数量积
第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积高中数学选修2-1·精品课件引入课题空间中任意两个向量均为共面向量，平面向量的概念及运算在空间中仍然成立，将平面向量的数量积推广到空间向量.基础梳理1.两个向量的夹角AOB BB①定义：∠AOB 有共同起点②表示：< a ,b >ab ③范围：[0，π]2.数量积的定义 a ∙b =| a||b|cos< a ,b >3.数量积的几何意义θab b 在 a 方向上的投影| a |与b 在 a 方向上的投影的积4.数量积的运算律(1)(λa )·b ＝____________；(2)a ·b ＝____________；(3)a ·(b ＋ c )=_____________.λ(a ·b )b ·a a ·b ＋a · c 5.一个非常重要的性质|a |2=a 2=a ·a求模即为求数量积解：例1 已知正四面体P ABC 的棱长为2，E 、F 分别为AB 和PC 的中点，求PE 与BF 夹角的余弦值.CPABEF 设PA = a ，PB =b ，PC = c ，则 a ，b ， c 长度都为2，两两夹角为60°，∴ a ∙b =b ∙ c = c ∙ a =2，又PE =12(a +b)，BF =12c −b ，四个面均为全等的正三角形∴PE∙BF=12a+b∙12c−b=1 2(12a∙c+12b∙c−a∙b−b2)=12(1+1-2-4)=-2，又|PE|=|BF|=3，∴cos<PE,BF>=−23×3=−23.跟踪训练1.在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．【答案】3−225C OABC OAB几何条件向量化例2 在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.C D ABMN|MN |设AB = a ，AC =b ，AD = c ，则 a ，b ， c 长度都为a ，两两夹角为60°，∴ a ∙b = b ∙ c = c ∙ a =a 22，MN =MB +BC +CN=23AB +(AC -AB )+13(AD -AC )=−13AB +23AC +13AD = −13a+23b +13c .解：∴|MN|2=MN2=(−13a+23b+13c)2=1 9a2+49b2+19c2-49a∙b+49b∙c-29a∙c=1 9a2+49a2+19a2-19a2=59a2，∴|MN|= |MN|=53a.且BE 与FD 的夹角为120°，∴BD 2=(BE +EF +FD )2=BE 2+EF 2+FD 2+2BE ·EF +2EF ·FD +2BE ·FD=3+3+4-3=7，∴|BD |=7.跟踪训练2.把长AB 和宽AD 分别为23和2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，求B 、D 间的距离．DABCEF解：在△ABC 内作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE =3，在△ACD 内作DF ⊥AC ，垂足为F ，则DF =3，则BD =BE +EF +FD ，由条件可知|EF |=2,典例分析例3 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，OA＝OB＝OC=a，OA＝a, OB＝b, OC=c，则OG=12(OM+ON)=12[12a+12(b+c)]=1 4(a+b+c)，abc解：几何条件向量化典例分析BC=c−b，(a+b+c)·( c−b)∴OG·BC=14=a·c-a·b+b·c-b2+ c2-c·b=0，∴OG⊥BC，即OG⊥BC.跟踪训练3.已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.证明:∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cos∠AOC－|OA||OB|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.归纳小结1．注意向量乘法的结合律是不成立的，即a·(b·c)＝(a·b)·c不成立．事实上a·(b·c)表示与a平行的向量，而(a·b)·c表示与c平行的向量．2．两个非零向量共线时，如果同向，夹角为0，如果异向，夹角为π，特别的<a，a>＝0，<a，－a>＝π.3．注意二个向量夹角的范围：[0，π]，当夹角为锐角时其余弦值为正，当夹角为钝角时其余弦值为负．反之当两向量不共线时亦成立.当堂训练1．下列式子正确的是()A ．a ·|a |＝aB ．(a ·b )2＝a ·bC ．(a ·b ) c ＝a ·(b · c )D ．|a ·b |≤|a ||b |2．若向量m 同时垂直两个向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，λ，μ≠0)则()A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 与n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况均有可能D B再见。
高中数学人教B版选修2-1配套课件：：3.1.3两个向量的数量积
【思路探究】 题中所涉及到的向量的模是多少？每小题 中两个向量的夹角怎么求？
【自主解答】 → → (1)在空间四边形ABCD中，|AB|＝|AC|＝a，
→ → 且〈AB，AC〉＝60° ， 1 2 → → ∴AB· AC＝a· acos 60 ° ＝2a ； → → → → (2)|AD|＝a，|BD|＝a，〈AD，BD〉＝60° ， 1 2 → → 2 ∴AD· BD＝a cos 60° ＝2a ；
非零向量
0 =
π
异面直线 不同在任何一个平面
平移到同一个平面
（锐角或直角）
垂直
两个向量的数量积
【问题导思】 1．平面向量的数量积a· b的结果怎样？这一结果是向量还 是数量？
【提示】 a· b＝|a|· |b|· cos〈a，b〉，结果为一数量． 2．平面向量的数量积满足怎样的运算律？ 【提示】 交换律与分配律．
→ → ＝|b| ＝4 ＝16，即BC· ED1＝16.
2 2
→ → → (2)∵AB1＝AB＋AA1＝a＋c， → → → → → → 1→ BF＝BA＋AA1＋A1F＝－AB＋AA1＋2AD 1 ＝－a＋c＋2b， 1 → → ∴BF· AB1＝－a＋c＋2b· (a＋c)
→ → ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0，即BF· AB1＝0.
用向量法证明垂直问题的一般思路 用向量证明立体几何中的垂直问题，最主要的是将几何问 题转化为向量问题．直线与直线垂直可转化为向量垂直；线面 垂直可直接转化为线线垂直，进而转化为向量垂直，其解答步 骤一般为：
课标解读
1.掌握空间向量夹角和模的概念及表 示方法． 2．掌握空间向量数量积及运算律． (重点) 3．能用空间向量的数量积解决一些 简单的问题．(难点)
高中数学人教B版选修2-1第三章3 .1.3 两个向量的数量积 课件(共20张PPT)
(3 )a r2a ra r 或|ar|
rr aa
r rrrr r
4 a b a b a , b 共 线 时 取 等 号
五、空间两个向量的数量积运算律
（1） a b a b
（2） abba （交换律）
（3） ab cacbc （分配律）
六：空间向量的投影：
ababcoa s ,b
平行四边形
D
AD 1
45o
A AB 2
ABCD
C B
中，
ABAD AB AD
AB AD
正方 AB 体 C A 'B D 'C 'D '中 ,
AB A D ? AB 'DC ?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
一、空间两个向量的夹角的定义
r
a
r
A
a
r
O
r
B
b
rr b
已 知 两 个 非 零 向 量 a ,b ,在 空 间 任 取 一 点 O ,作
A'
F
D’ A'
B’
C’ r
E
c
A B
D rA
r
D
a
b
CB
巩固提高： AB 正C方 D A'B体 'C'D'中,
AB 'DC ?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
课堂小结：
1.本节课你学到了哪些知识？ 2.学到了哪些方法？ 3.用到了哪些数学思想？
高中数学人教B版选修2-1配套课件：3.1.3两个向量的数量积
0≤<a，b>≤π ，显然有<a，b>＝<b，a>； 规定_______________ a⊥b ． 如果<a，b>＝90° ，则称 a 与 b 互相垂直，记作________
名师点拨：两个向量同向时，其夹角为0；反向时，其夹 角为π.
2．异面直线 任何一个 平面内的两条直线； (1)定义：不同在___________ 平移到 一个平 (2) 两条异面直线所成的角：把异面直线 ________ 锐角或直角 叫做两条异面直线 面内，这时两条直线的夹角 _____________ 直角 ，则称两条异面直线互 所成的角；如果所成的角是 ________ 相垂直．
确的给出理由．
(1)a·b＝0，则a＝0或b＝0； (2)p2·q2＝(p·q)2； (3)|p＋q||p－q|＝|p2－q2|； (4)若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．
[思路分析] 只需考虑数量积的概念与性质．
[解析] (1)此命题不正确．
∵a·b＝0有两种情况： ①当a，b均不为零向量时，则a与b垂直， 此时a·b＝0； ②当a与b至少有一个为0向量时，
[分析] 结合图形，利用空间向量的夹角定义求．
[ 解析]
→ → → → (1)∵CC′＝AA′，∴<AB，CC′>＝90° .
→ → (2)在 BA 的延长线上作AE＝CD，易知∠EAC＝135° ， → → ∴<AC，CD>＝135° .
课堂典例讲练
求向量的数量积的概念与性质
下列命题是否正确？正确的给出证明，不正
2 2
2 4． 已知|a|＝2 2， |b|＝ 2 ， a· b＝－ 2， 则<a， b>＝________.
高中数学人选修2-1第三章3 .1.3 两个向量的数量积 课件
叫做两个空间向量 a , b的数量积（或内积）
练习2： 对 于 非 零 向 量 a , b 和 单 位 向 量 e
（1） a e
（2） ab ab0
（3） a a
（4）比较| ab|与| a||b|的大小关
四、空间两个向量的数量积性质
对 于 非 零 向 量 a , b 和 单 位 向 量 e
平行四边形
ABCD 中，
D
AD 1
45o
A AB 2
C B
ABAD
AB AD
AB AD
正方 A体 BC A D 'B'C'D'中 ,
AB AD ? AB'DC?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
两个向量的数量积
一、空间两个向量的夹角的定义
a
A
a
B
O
b
b
已 知 两 个 非 零 向 量 a,b,在 空 间 任 取 一 点 O,作
O Aa,O Bb.则 AO B叫 做 向 量 a与 b的 夹 角 ,
记 作a,b.
范 围 ： 0 a ,b
a,b＝ b,a
若 a ,b ,则 称 a 与 b 互 相 垂 直 ,并 记 作 a b . 2
例 1．如图表示一个正方体， 求下列各对向量的夹角：
（1） AB 与 A 'C '； （2） AB与C ' A ' ；
例 2：已知平面 平面 ， l , 点 A ， B 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 A '， B '；
点 C ， D 在 内，并且它们在 l上的正射影
练习2： 对 于 非 零 向 量 a , b 和 单 位 向 量 e
（1） a e
（2） ab ab0
（3） a a
（4）比较| ab|与| a||b|的大小关
四、空间两个向量的数量积性质
对 于 非 零 向 量 a , b 和 单 位 向 量 e
平行四边形
ABCD 中，
D
AD 1
45o
A AB 2
C B
ABAD
AB AD
AB AD
正方 A体 BC A D 'B'C'D'中 ,
AB AD ? AB'DC?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
两个向量的数量积
一、空间两个向量的夹角的定义
a
A
a
B
O
b
b
已 知 两 个 非 零 向 量 a,b,在 空 间 任 取 一 点 O,作
O Aa,O Bb.则 AO B叫 做 向 量 a与 b的 夹 角 ,
记 作a,b.
范 围 ： 0 a ,b
a,b＝ b,a
若 a ,b ,则 称 a 与 b 互 相 垂 直 ,并 记 作 a b . 2
例 1．如图表示一个正方体， 求下列各对向量的夹角：
（1） AB 与 A 'C '； （2） AB与C ' A ' ；
例 2：已知平面 平面 ， l , 点 A ， B 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 A '， B '；
点 C ， D 在 内，并且它们在 l上的正射影
2018年秋人教B版数学选修2-1课件：3.1.3 两个向量的数量积
(5)若 a· b=k,不能得出 a= ;
(6)a⊥b的充要条件是a· b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的 根本方法.
������ ������
题型一
题型二
题型三
求空间向量的夹角 【例1】 如图,在正方体ABCD - A'B'C'D'中,求下列各向量的夹角:
(1)������������ 与������������'; (2)������������ 与������������. 分析: 结合图形,利用空间向量的夹角的定义求解.
题型一
题型二
题型三
求空间向量的数量积
【例 2】 已知长方体 ABCD - A'B'C'D',AB=AA'=2,AD=4,E 为侧面 AB'的中心,F 为 A'D'的中点,计算下列数量积:(1)������������ ·������������'; (2)������������ · ������������'; (3)������������ ·������������'.
5.两个空间向量的数量积满足的运算律 (1)(λa)· b=λ(a· b); (2)a· b=b· a(交换律); (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律). 【做一做4】下列各式不正确的是 .(填序号)
① ������· ������ = ������;
②a· b=0⇒a=0或b=0; ③|a· b|=|a||b|; ④a· (b+c)=(b+c)· a. 解析:①∵ ������· ������ = |������|, ∴ 命题错误; ②∵a· b=0⇒a⊥b,∴命题错误; ③∵|a· b|=|a||b||cos<a,b>|,∴命题错误; ④正确. 答案:①②③
高二数学选修课件：3-1-3两个向量的数量积
通常规定0°≤<a，b>≤180° 且<a，b>＝<b，a>
人 教 B 版 数 学
如 果 <a ， b> ＝ 90° ， 则 称 ________________ ， 记 作
________．
第三章
空间向量与立体几何
2．两个向量一定共面．但在作向量a，b时，它们的基
线可能不同在任一平面内，我们把不同在任一平面内的两 条直线叫做________．把异面直线平移到一个平面内，这 时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做________，如果所成 的角是直角，则称两条异面直线________．
(2)∵(3a － 2b)·(a ＋ 2b) ＝ 3|a|2 ＋ 4a·b － 4|b|2 ＝ 3|a|2 ＋ 4|a||b|cos120°－4|b|2，
1 ∴(3a－2b)· (a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－2)－4×16 ＝27－24－64＝－61.
第三章
空间向量与立体几何
向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·b， a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
空间两个向量的数量积的性质．
与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数 量积也具有如下性质． a．a·e＝|a|cos<a，e> b．a⊥b⇔a·b＝0
人 教 B 版 数 学
c．|a|2＝a·a
d．|a·b|≤|a||b|
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
3．把平面向量的数量积
a·b＝|a||b|cos<a，b> 也叫做两个空间向量a，b的________________．
人 教 B 版 数 学
如 果 <a ， b> ＝ 90° ， 则 称 ________________ ， 记 作
________．
第三章
空间向量与立体几何
2．两个向量一定共面．但在作向量a，b时，它们的基
线可能不同在任一平面内，我们把不同在任一平面内的两 条直线叫做________．把异面直线平移到一个平面内，这 时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做________，如果所成 的角是直角，则称两条异面直线________．
(2)∵(3a － 2b)·(a ＋ 2b) ＝ 3|a|2 ＋ 4a·b － 4|b|2 ＝ 3|a|2 ＋ 4|a||b|cos120°－4|b|2，
1 ∴(3a－2b)· (a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－2)－4×16 ＝27－24－64＝－61.
第三章
空间向量与立体几何
向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·b， a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
空间两个向量的数量积的性质．
与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数 量积也具有如下性质． a．a·e＝|a|cos<a，e> b．a⊥b⇔a·b＝0
人 教 B 版 数 学
c．|a|2＝a·a
d．|a·b|≤|a||b|
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
3．把平面向量的数量积
a·b＝|a||b|cos<a，b> 也叫做两个空间向量a，b的________________．
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.3 两个向量的数量积
()
A.1
B.2
C.4
D.8
2.已知正四面体O-ABC的棱长为1. 求:(1) OA OB. (2) (OA＋OB) (CA＋CB).
【解题探究】 1.典例1中向量 APi (i=1,2,…)在向量 AB 方向上的投 影是多少? 提示:向量 A(Pi=i 1,2,…)在向量 方A向B上的投影就 是AB的长,|AB|=1.
3.已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则<a,b>=
.
【解析】因为|a|=3,|b|=2,a·b=-3,
所以cos<a,b>= a b 3 1 ,
| a || b | 3 2 2
又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= 2 .
3的夹角为60°,那么|3a
(3)注意点:①数量积的符号由夹角的余弦值决定. ②当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0. ③空间向量没有除法运算:即若a·b=k,则没有a= k .
b
(4)a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 |b|cos θ的乘积.
4.对空间向量数量积性质的三点说明 (1)向量模的应用:式子|a|= a a 可以解决有关空间长 度问题. (2)向量夹角的应用:空间中两条直线(特别是两条异面 直线)的夹角,可以通过求出这两个向量的夹角而求得.
【思考】 判断: (1)对于非零向量a,b,<a,b>与<a,-b>相等. ( ) (2)对于任意向量a,b,c,,都有(a·b)c=a(b·c).
() (3)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( ) (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. ( )
A.1
B.2
C.4
D.8
2.已知正四面体O-ABC的棱长为1. 求:(1) OA OB. (2) (OA＋OB) (CA＋CB).
【解题探究】 1.典例1中向量 APi (i=1,2,…)在向量 AB 方向上的投 影是多少? 提示:向量 A(Pi=i 1,2,…)在向量 方A向B上的投影就 是AB的长,|AB|=1.
3.已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则<a,b>=
.
【解析】因为|a|=3,|b|=2,a·b=-3,
所以cos<a,b>= a b 3 1 ,
| a || b | 3 2 2
又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= 2 .
3的夹角为60°,那么|3a
(3)注意点:①数量积的符号由夹角的余弦值决定. ②当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0. ③空间向量没有除法运算:即若a·b=k,则没有a= k .
b
(4)a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 |b|cos θ的乘积.
4.对空间向量数量积性质的三点说明 (1)向量模的应用:式子|a|= a a 可以解决有关空间长 度问题. (2)向量夹角的应用:空间中两条直线(特别是两条异面 直线)的夹角,可以通过求出这两个向量的夹角而求得.
【思考】 判断: (1)对于非零向量a,b,<a,b>与<a,-b>相等. ( ) (2)对于任意向量a,b,c,,都有(a·b)c=a(b·c).
() (3)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( ) (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. ( )
2013版高二数学人教B版选修2-1课件3-1-3两个向量的数量积
A→D)＝A→D·A→B＋A→D2＋A→A1·A→B＋A→A1·A→D＝0＋A→D2＋0＋0＝
A→D2＝1，
又|B→C1|＝ 2，|A→C|＝ 2，
∴cos<B→C1，A→C>＝|BB→→CC11|·|AA→→CC|＝
1 2·
2＝12.
∵<B→C1，A→C>∈[0，π]，
∴<B→C1，A→C>＝60°，
• 2．两个向量一定共面．但在作向量a，b 时，它们的基线可能不同在任一平面内， 我们把不同在任一平面内的两条直线叫做 ________．把异面直线平移到一个平面内， 这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做 ________，如果所成的角是直角，则称两 条异面直线________．
• 3．把平面向量的数量积
• 由于空间任意两个向量都可转化为共面向 量，所以空间两个向量的夹角的定义和取 值范围、两个向量垂直的定义和表明符号 及向量的模的概念和表示的符号等，都与 平面向量相同．
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，经平行
移动后使它们的始点均为 O，并作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
称为向量 a 与 b 的夹角，并用<a，b>表示 a 与 b 之间的夹
[说明] 解答本题(2)中，易出现〈A→D，D→B〉＝60°的 错误，导致此种错误的原因是对向量夹角的概念不明确．
• 将本例中每条边和对角线长都等于a改为1， 去掉中点G，计算：
(1)E→F·B→A；
(2)E→F·B→D；
(3)E→F·D→C.
[解析] (1)E→F·B→A＝12B→D·B→A＝12|B→D|·|B→A|cos<B→D，B→A>＝
∴A→B·A→C＝a·acos60°＝12a2； (2)|A→D|＝a，|D→B|＝a，〈A→D，D→B〉＝120°，
高中数学 3.1.3两个向量的数量积配套课件 新人教B版选修21
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12
－2×1×1×cos 60°＝1.
第十页，共24页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更 高效
探究点二 利用数量积求夹角
问题 1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？
3.1.3
第十一页，共24页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课 堂更高效
3.1.3
小结 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两 点间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量 的模，其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
第十九页，共24页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α
＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0， ∴C→C1⊥B→D，即 CC1⊥BD.
3.1.3
第十六页，共24页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
3.1.3
探究点三 利用数量积求向量的模 问题 类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．
答案 利用数量积 a·b＝|a||b|cos θ 知 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
于 D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝ BD＝b，求 CD 的长．
3.1.3
解 由 AC⊥α，可知 AC⊥AB.
由∠DBD′＝30°，可知〈C→A，B→D〉＝60°，
∵|C→D|2＝C→D·C→D＝(C→A＋A→B＋B→D)2
＝
|C→A|2
＋
|A→B|2＋
|
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平行四边形
ABCD 中，
D
AD 1
45o
A AB 2
C B
ABAD
AB AD
AB AD
正方 A体 BC A D 'B'C'D'中 ,
AB AD ? AB'DC?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
两个向量的数量积
一、空间两个向量的夹角的定义
a
A
已 知 两 个 非 零 向 量 a,b,在 空 间 任 取 一 点 O,作
叫做两个空间向量 a , b的数量积（或内积）
练习2： 对 于 非 零 向 量 a ,b 和 单 位 向 量 e
（1） a e
（2） ab ab0
（3） a a
（4）比较| ab|与| a||b|的大小关
四、空间两个向量的数量积性质
对 于 非 零 向 量 a ,b 和 单 位 向 量 e
OAa,OBb.则 AOB叫 做 向 量 a与 b的 夹 角 ,
记 作a,b.
范 围 ： 0a ,b
a,b＝b,a
若 a ,b ,则 称 a 与 b 互 相 垂 直 ,并 记 作 a b . 2
例 1．如图表示一个正方体， 求下列各对向量的夹角：
（1） AB 与 A 'C '； （2） AB与C ' A ' ；
例 2：已知平面 平面 ， l , 点 A ， B 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 A'， B '；
点 C ， D 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 C '， D '，
求证：AB CD A ' B ' C ' D '
B
A
l
C’
D’
A’ B’
C
D
例3：已知长方A体BCDA'B'C'D', AB AA'2, AD 4, E为侧面AB'的中心, F为A' D'的中点， 计算下列数量积BC： ED ', BF AB ', EF FC '.
A'
F
D’ A'
B’
C’
c
E
A B
DA
D
a
b
CB
巩固提高： AB 正C方 D A'B体 'C'D'中,
AB'DC?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
课堂小结：
1.本节课你学到了哪些知识？ 2.学到了哪些方法？ 3.用到了哪些数学思想？
谢谢合作
欢迎指导 再见
88.有财富的人追求优裕的生活，有智慧的人追求优质的生活。 45.活在这世上，就会被人攻击。要谈恋爱，就会被感情伤。 82.想哭就哭，想笑就笑，不要因为世界虚伪，你也变得虚伪了。 89.如果圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。 21.屋子修得再大也是临时住所，只有那个小木匣才是永久的家，所以，屋宽不如心宽，身安不如心安! 76.命运，你残忍的诉说着我的悲痛。 75.江无回头浪，人无再少年。年华若虚度，老来恨不浅。时光容易逝，岁月莫消遣。碌碌而无为，生命不值钱。 74.彩云飘在空中，自然得意洋洋，但最多只能换取几声赞美；唯有化作甜雨并扎根于沃壤之中，才能给世界创造芳菲。 52.你要记住你不是为别人而活，你是为自己而活。 29.不比智力，比努力；不比起步，比进步。 53.任何业绩的质变都来自于量变的积累。 54.如果你盼望明天，那必须先脚踏现实;如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。 94.春天，不是季节，而是内心；云水，不是景色，而是襟怀。 54.从今开始，我要帮自己一个忙：卸下负担忘却疼痛抚平创伤。 93.挫折经历的太少，所以总是把一些琐碎的小事看得很重。 73.通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 87.如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼，烦恼都是自己内心制造的。 30.每个人都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过 悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是人生。
b cos a,b 叫做向量b在a方向上的投影的数量.
b
θ O
B
aA
B1
b cos a , b OB 1
平面向量的投影
B
b
bD
C
O
AO
aB1
C1
aA
D1
b (OB1B1B)
b a (O1BB1B)a OB1 a
空间向量的投影
AB b
OC a
A
Oa
B1 C
A1
b
B
b a ?A1B1 a
（3） AB与A ' D ' ；
（4） AB与B ' A ' 。
D'
C'
A'
B'
D A
C B
二、异面直线的有关概念
异面直线：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异
面直线。
l1
l3
l2
A
0 , 2
2
时
l1
l2
➢空间向量问题
a
推
广
a
b转 化
b
➢平面向量问题
三、空间两个向量的数量积的定义
平面向量的数量积 a b a b cos a, b
21.屋子修得再大也是临时住所，只有那个小木匣才是永久的家，所以，屋宽不如心宽，身安不如心安! 87.幽默胜过直白，话少胜过多言；坦率胜过伪装，自然胜过狡辩；心静何来多梦，苦索不如随缘。 69.不是每件事都注定会成功，但是每件事都值得一试。 53.沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。
(1)aeacosa,e (2)abab0
(3)
2
a aa
或|a|
aa
4 a b a b a ,b 共 线 时 取 等 号
五、空间两个向量的数量积运算律
（1） aba b
（2） abba （交换律）
（3） a b c ac bc （分配律）
六：空间向量的投影：
ababcos a,b
ABCD 中，
D
AD 1
45o
A AB 2
C B
ABAD
AB AD
AB AD
正方 A体 BC A D 'B'C'D'中 ,
AB AD ? AB'DC?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
两个向量的数量积
一、空间两个向量的夹角的定义
a
A
已 知 两 个 非 零 向 量 a,b,在 空 间 任 取 一 点 O,作
叫做两个空间向量 a , b的数量积（或内积）
练习2： 对 于 非 零 向 量 a ,b 和 单 位 向 量 e
（1） a e
（2） ab ab0
（3） a a
（4）比较| ab|与| a||b|的大小关
四、空间两个向量的数量积性质
对 于 非 零 向 量 a ,b 和 单 位 向 量 e
OAa,OBb.则 AOB叫 做 向 量 a与 b的 夹 角 ,
记 作a,b.
范 围 ： 0a ,b
a,b＝b,a
若 a ,b ,则 称 a 与 b 互 相 垂 直 ,并 记 作 a b . 2
例 1．如图表示一个正方体， 求下列各对向量的夹角：
（1） AB 与 A 'C '； （2） AB与C ' A ' ；
例 2：已知平面 平面 ， l , 点 A ， B 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 A'， B '；
点 C ， D 在 内，并且它们在 l上的正射影
分别为 C '， D '，
求证：AB CD A ' B ' C ' D '
B
A
l
C’
D’
A’ B’
C
D
例3：已知长方A体BCDA'B'C'D', AB AA'2, AD 4, E为侧面AB'的中心, F为A' D'的中点， 计算下列数量积BC： ED ', BF AB ', EF FC '.
A'
F
D’ A'
B’
C’
c
E
A B
DA
D
a
b
CB
巩固提高： AB 正C方 D A'B体 'C'D'中,
AB'DC?
D'
C'
A'
B'
D AD 1
A AB 1
C B
课堂小结：
1.本节课你学到了哪些知识？ 2.学到了哪些方法？ 3.用到了哪些数学思想？
谢谢合作
欢迎指导 再见
88.有财富的人追求优裕的生活，有智慧的人追求优质的生活。 45.活在这世上，就会被人攻击。要谈恋爱，就会被感情伤。 82.想哭就哭，想笑就笑，不要因为世界虚伪，你也变得虚伪了。 89.如果圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。 21.屋子修得再大也是临时住所，只有那个小木匣才是永久的家，所以，屋宽不如心宽，身安不如心安! 76.命运，你残忍的诉说着我的悲痛。 75.江无回头浪，人无再少年。年华若虚度，老来恨不浅。时光容易逝，岁月莫消遣。碌碌而无为，生命不值钱。 74.彩云飘在空中，自然得意洋洋，但最多只能换取几声赞美；唯有化作甜雨并扎根于沃壤之中，才能给世界创造芳菲。 52.你要记住你不是为别人而活，你是为自己而活。 29.不比智力，比努力；不比起步，比进步。 53.任何业绩的质变都来自于量变的积累。 54.如果你盼望明天，那必须先脚踏现实;如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。 94.春天，不是季节，而是内心；云水，不是景色，而是襟怀。 54.从今开始，我要帮自己一个忙：卸下负担忘却疼痛抚平创伤。 93.挫折经历的太少，所以总是把一些琐碎的小事看得很重。 73.通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 87.如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼，烦恼都是自己内心制造的。 30.每个人都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过 悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是人生。
b cos a,b 叫做向量b在a方向上的投影的数量.
b
θ O
B
aA
B1
b cos a , b OB 1
平面向量的投影
B
b
bD
C
O
AO
aB1
C1
aA
D1
b (OB1B1B)
b a (O1BB1B)a OB1 a
空间向量的投影
AB b
OC a
A
Oa
B1 C
A1
b
B
b a ?A1B1 a
（3） AB与A ' D ' ；
（4） AB与B ' A ' 。
D'
C'
A'
B'
D A
C B
二、异面直线的有关概念
异面直线：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异
面直线。
l1
l3
l2
A
0 , 2
2
时
l1
l2
➢空间向量问题
a
推
广
a
b转 化
b
➢平面向量问题
三、空间两个向量的数量积的定义
平面向量的数量积 a b a b cos a, b
21.屋子修得再大也是临时住所，只有那个小木匣才是永久的家，所以，屋宽不如心宽，身安不如心安! 87.幽默胜过直白，话少胜过多言；坦率胜过伪装，自然胜过狡辩；心静何来多梦，苦索不如随缘。 69.不是每件事都注定会成功，但是每件事都值得一试。 53.沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。
(1)aeacosa,e (2)abab0
(3)
2
a aa
或|a|
aa
4 a b a b a ,b 共 线 时 取 等 号
五、空间两个向量的数量积运算律
（1） aba b
（2） abba （交换律）
（3） a b c ac bc （分配律）
六：空间向量的投影：
ababcos a,b