2018届浙江省杭州市命题比赛高考选考科目模拟测试(二)数学试题

2018届浙江省杭州市命题比赛高考选考科目模拟测试（二）数学试题本试卷分为选择题和非选择题两部分。

考试时间120分种。

请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。

选择题部分（共40分）一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. (原创)已知集合}065{2<+-=x x x A ，}044{2>+-=y y y B ，则=B A C U )(( ) A.),3[]2,(+∞-∞ B.),3[)2,(+∞-∞ C.φ D.),3()2,(+∞-∞（命题意图：考查集合的基本运算）2. （原创）已知直线02:1=-+y ax l 与02)2(:2=-+-ay x a l 垂直，则=a （ ） A.1 B.0 C.1或0 D.-1或0（命题意图：考察两直线的位置关系）3.（原创）已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥01x y x xy ，则12++=y x z 的最小值为 （ ）A.21 B.53 C.1 D.35（命题意图：考察线性规划）4.(原创)已知)(x f 的导函数)('x f 的图像如图所示，则有（ ） A.)(x f 有最小值，无最大值 B.)(x f 有1个极大值，2个极小值 C.)(x f 无极值 D.)(x f 无最值（命题意图：考察导数与函数的关系）5.(根据17年浙江高考第5题改编)若函数,sin cos)(2b x a x x f ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为M,最小值为m,则M-m 的值（ ）A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，但与b 有关D.与a 无关，且与b 无关 （命题意图：考察二次函数的最值）6.（原创）下列命题中真命题的个数为（ ）xy（1）若点b 为)(x f 的极值点，则必有)('b f =0的逆命题（2）若0122>++ax ax的解为R ，则10<<a（3）过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面 （4）平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（命题意图：考查命题、极值点的概念、空间直线平面的位置关系）7.（原创）)ln()(2c bx axx f ++=的部分图像如图所示，则=+-c b a （ ）A.-1B.1C.-5D.5（命题意图：考察对数的运算及性质）8.（原创）已知抛物线)0(22>=p px y与双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 有相同的焦点2F ,点P 是两曲线的一个交点，且5721=PF PF ,其中21,F F 分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.x y 3±=B.x y 42±=C.x y 3±=或者x y 22±=D.x y 33±=或者x y 42±=（命题意图：考察双曲线、抛物线的定义及双曲线的渐近线方程）9.（根据18年浙江省普通高校招生考试模拟卷五第15题改编）已知单位向量→1e 、→2e 满足2121=⋅→→e e ，若→→-p e 1与→→-p e 212的夹角为3π，则→p 的取值范围为（ ）A. [)+∞,0B.)13,13(+-C.[)13,0+D.[)13,0- （命题意图：考察平面向量的运算）10. (根据18年浙江省普通高校招生考试模拟卷二第10题改编)如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，将AD C ∆沿对角线AC 翻折至C AD '∆，使顶点'D 在平面ABC 的投影O 恰好落在边BC 上，连结'BD ，设二面角C ABD --',B AC D --',C ADB --'的大小分别为γβα,,，则有（ ）A.γβα=+B.γβα>+C.γβα<+D.βγα<+ （命题意图：考察空间几何二面角的计算）非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17题每小题4分，共36分）11.（原创）已知复数i z i -=+3)1(，则=z ，→z 的虚部为（命题意图：考查复数概念及其基本运算）12.（原创）已知某个三棱锥的三视图如右图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的表面积为 ，体积为 ．（命题意图：考查三视图、几何体表面积和体积的计算）13（原创）已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若43=S ,126=S ,则=q ，=12S（命题意图：等比数列的性质） 14.（原创）已知32)1()11(x xa ++的各项系数之和为64，则=a ，2x 的系数为（命题意图：考查二项式定理及二项式系数的性质）15.（原创）四个不同球放入四个不同的盒子中，每个盒子中都允许不放球.若记ξ为有球的盒子数，则=ξE .（命题意图：考查概率及期望）16.（17年天津高考卷改编）已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，且)(x f 在R 上单调递增，)()(x xf x g =，则不等式)43()2(2-<-x g x x g 的解集为 （命题意图：考察求导、函数单调性、解不等式）17.（根据自三维设计不等式中练习题改编）已知R c b a ∈,,，若1cos si n 2≤++c x b x a 对R x ∈恒成立，则b x a +cos 的最大值为正视俯视（命题意图：考察绝对值不等式）三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18.（原创）（本题满分14分）已知)s i nc o s ,s i n 32(x x x a -=→，)sin cos ,(cos x x x b +=→,→→⋅=b a x f )((1) 求()x f 的最小正周期和单调递增区间(2) 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，)(x f 在角2A 处取到最大值，其中7=a ，14313sin sin =+C B ，求c b -的值（命题意图：考查向量的坐标运算、三角函数的性质、正弦定理、余弦定理）19. （2018年浙江教育绿色评价联盟第19题）（15分）在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 边的中点，现将AED ∆、BEF ∆分别沿DE 、EF 折起，使A 、B 两点重合与点P ，连接PC,已知2=AB ,BC=2(1)证：DF ⊥平面PEF(2)求直线PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值（命题意图：考查空间几何中的线、面关系、空间角）20.(2017·全国卷Ⅰ)（15分）已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． （命题意图：函数、导数、零点及分类讨论问题）21.(2017·嘉兴模拟)（15分）设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．（命题意图：考查求椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系）22. （2018年浙江教育绿色评价联盟第19题）（15分）已知正项等比数列{}n a 满足101<<a ，)(1sin 1*+∈+=N n a a a n n n（1）求证：11<<+n n a a（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：12-<n S n（命题意图：考察数列不等式）2018年高考模拟试卷 参考答案及评分标准数学卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17题每小题4分，共36分）11. 5 ; 2 12. 74434++;33813. 312 ; 60 14. 2 ; 10 15.64175 16. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4,2117 17. 2 三、解答题，本大题共5小题，共74分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18．（本题14分）(1)xx x x x f 22sincos cos sin 32)(-+=x x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x ......................................3分∴)(x f 的最小正周期π=T ...................................4分由)(226222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ知)(63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ所以)(x f 的单调递增区间为)(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ.........6分 （2）2)6sin(2)2(=+=πA A f)(26Z k k A ∈+=+∴πππ23sin ,3==∴A A π..............................8分Cc Bb Aa sin sin sin ==Ec C b B 143sin ,143sin ==∴∴根据,14313sin sin =+C B 知13=+c b ............................11分根据2122)(2cos 22222=--+=-+=bca bc cb bcacbA知40=bc94)()(22=-+=-∴bc c b c b3±=-∴c b ...............................................................................14分19．（本题15分）（Ⅰ）Q PF EP ⊥，PD EP ⊥，∴⊥EP 平面PFD ，∴FD EP ⊥. …………2分又由题意可知：26=EF ，3=DF ，223=DE ，则FD EF ⊥. ……………4分∴⊥DF 平面PEF . ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，面⊥PEF 底面CDEF ，EF 为交线，过P 作EF PG ⊥，则⊥PG 底面CDEF ，22=PE ，1=PF ，26=EF ，∴33=PG ，66=EG ，33=FG .法一：过C 作EF CH ⊥，交EF 延长线于H ， ……………8分⊥CH 面PEF ，则CPH ∠即为所求线面角. ……………10分2=PD ，2=CD ，33022=+=CGPGPC ，33==PG CH .……………12分s in 10C H P Cθ∴==……………15分法二：过C 作PG 的平行线CZ ，则⊥CZ 底面CDEF ，以C 为原点，CD ，CF ，CZ 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ………8分则)0,35,32(G ，)33,35,32(P ，)0,2,22(E ，)0,1,0(F ，)33,35,32(=CP . ……………10分取面PEF 法向量)0,1,2(-=n . ……………12分10103330|03532||,cos |sin =⋅+-=><=n CP θ . ……15分20．（本题15分）解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．..............................................2分 (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减．.............................................................4分 (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．........7分 (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．............................................8分(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0， 故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．...........................................................12分 设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1， 则f (n 0)＝en n 0(a en ＋a －2)－n 0>en －n 0>2n －n 0>0.由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)...........................................................................15分21．（本题15分）解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2................................................2分 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1.因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1..............................................................4分(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0...................................6分解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3........................................8分由(1)知F (1,0)，设H (0，y H )，有FH ―→＝(－1，y H )，BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF ―→·FH ―→＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M)，由方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k212k消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1)..........................................................12分在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简，得x M ≥1，即20k 2＋912(k 2＋1)≥1，解得k ≤－64或k ≥64....................................................15分 22．（本题15分）（1）方法一：令)0(-sin )(>=x x x x f ，0≤1-cos )(x x f =′，∴)(x f 在（0，+∞）单调递减， ∴x x f x f <∴=<sin ,0)0()(. 1sin -1+=+n n n n a a a a ………………2分∵}{n a 是正项数列，∴n n a a <sin ，∴111sin 1<+<+=+n n n n n a a a a a ，10∴1<<+n a . ………………4分0-1-1sin -∴1<+<+=+n n n n n n n n a a a a a a a a . ………………7分∴11<<+n n a a ，方法二：①当1=n 时，101<<a 成立.②假设)∈(*N k k n =时，10<<k a 成立， 那么n =k +1时，111sin 1<+<+=+k k k k k a a a a a ，10∴1<<+k a .由①和②可知，10<<n a 对所有正整数都成立. ………………4分 下同方法一. ………………7分 （2）1s in 11n nn n n a aa a a +=<++Q ，1111+>∴+nn a a . …………… 10分,11-1,2≥∴1->n na a n 时-1-22111111,,1n n a a a a ->->L ，累加得n a n a n a a nn>+>∴>1111-1,1-1-1，当n=1时，上式也成立. ………………12分)1--(21-221,2≥∴n n n n nn na n n =+<+=<时)2--1-(2∴1-n n a n < )1-2(22<a，又∵11<a ，累加得1-21)1---2-1(2n n n S n =+++< . ………………15分2018年高考模拟试卷答卷数学卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。