高数课件chapter03微分中值定理与导数的应用

微分中值定理
罗尔中值定理
定理 1 (费马引理) 已知 f (x) 在 x0 处可导, 若在 x0 附近有 f (x) ≤ f (x0 ) (或f (x) ≥ f (x0 )), 则 f ′ (x0 ) = 0. 证明: 仅证明 f (x) ≤ f (x0 ) 的情形. 给 x0 以增量 ∆x, 则有 f (x0 + ∆x) ≤ f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≤ 0, ∆x f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≤ 0. ∆x f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≥ 0. ∆x
显然, F (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且 bf (a) − af (b) 1 f (a) f (a) − f (b) − = , b−a a a b−a f (a) − f (b) bf (a) − af (b) 1 f (b) − = . F (b) = b−a b b b−a F (a) = 因此, 由罗尔中值定理知, 至少存在一点 ξ ∈ (a, b), 使得
x=ξ
= e−ξ f ′ (ξ ) − 3ξ 2 f (ξ ) = 0.
3


6
未定式的极限, 洛比达法则
未定式极限的分类
1
在自变量 x 的同一变化过程中, 若 f (x) 和 g (x) 都是无穷小量或无穷大量, 则 0 (x) lim f 可能存在, 也可能不存在 (或者为无穷大). 这两种极限我们称之为 型和 g (x) 0 ∞ 型未定式的极限. 同样的情形, 也有 ∞ − ∞, 0 · ∞, 00 , 1∞ 和 ∞0 等共 7 种未定 ∞ 式的极限. 大致可以分为以下 3 类: 0 ∞ 1. , 型, 0 ∞ 2. ∞ − ∞, 0 · ∞ 型, 3. 00 , 1∞ , ∞0 型. 以下给出的求解方法洛比达法则, 只是针对第 1 类的情形, 所以对于第 2, 3 类 的未定式的极限, 必须先转换为第 1 类情形之后, 才可以利用洛比达法则.
证明: 构造函数 f (x) = ln(1 + x), 则有 1 1 f (ξ ) = . = 1 + x x=ξ 1 + ξ
′
所以, ln(1 + x) = ln(1 + x) − ln(1 + 0) =f (x) − f (0) =f ′ (ξ )(x − 0) = 其中 0 < ξ < x. 又注意到 1 1 < < 1, 1+x 1+ξ 所以 x < ln(1 + x) < x. 1+x 例 2 假设 a > b > 0, n > 1, 则 nbn−1 (a − b) < an − bn < nan−1 (a − b). 3 1 x, 1+ξ

f (a) − f (b) g ′ (ξ ) = g (a) − g (b) f ′ (ξ ),

即

f (a) − f (b) g (ξ ) − g (a) − g (b) f ′ (ξ ) = 0.
′
为此, 构造函数 F (x) = f (a) − f (b) g (x) − g (a) − g (b) f (x). 显然, F (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且 F (a) = f (a) − f (b) g (a) − g (a) − g (b) f (a) = f (a)g (b) − f (b)g (a), F (b) = f (a) − f (b) g (b) − g (a) − g (b) f (b) = f (a)g (b) − f (b)g (a). 因此, 由罗尔中值定理知, 至少存在一点 ξ, 使得 F ′ (ξ ) = f (a) − f (b) g ′ (ξ ) − g (a) − g (b) f ′ (ξ ) = 0. 结论成立. 4
ξ2
b
x
证明: 只需证明 f (a) − f (b) = f ′ (ξ )(a − b), 即 f (a) − f (b) − f ′ (ξ )(a − b) = 0. 构造函数 F (x) = f (a) − f (b) x − f (x)(a − b). 则显然, F (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且 F (a) = (f (a) − f (b))a − f (a)(a − b) = bf (a) − af (b), F (b) = (f (a) − f (b))b − f (b)(a − b) = bf (a) − af (b). 2
2
第 1 类未定式的极限
以下定理对于自变量的其他变化过程也同样成立. 定理 1 (洛比达法则 ( 0 型)) 设函数 f (x) 和 g (x) 满足以下条件: 0 (1) lim f (x) = lim g (x) = 0,
x →x 0 x→x0
(2)在x0 的某个去心邻域内, f ′ (x), g ′ (x)存在, 且g ′ (x) ̸= 0, (3) xlim →x 则
x→x0
0
f ′ (x) 存在(或者为无穷大). g ′ (x) f ′ (x) f (x) = lim ′ . g (x) x→x0 g (x) 与 f (x0 ), g (x0 ) 是否有定义无关, 所以我们可
lim
证明: 由于我们考察的 lim 以做如下定义:

因此, 由罗尔中值定理知, 至少存在点 ξ ∈ (a, b), 使得 F ′ (ξ ) = 0, 即 f (a) − f (b) − f ′ (ξ )(a − b) = 0. 结论成立. 推论 1 若 f (x) 在区间 I 上的导数恒为 0, 则 f (x) 在区间 I 上恒为常数. 证明: 任取 x1 , x2 ∈ I, 则由拉格朗日中值定理得 f (x1 ) − f (x2 ) = f ′ (ξ )(x1 − x2 ) = 0, 即 f (x1 ) = f (x2 ). 例 1 求证 x < ln(1 + x) < x, 1+x x > 0.

e−x f (x)
3
′
= e−x f ′ (x) + f (e 因此, 只需证明
−x3
f (x)
′
x=ξ
= e−ξ f ′ (ξ ) − 3ξ 2 f (ξ ) .
3



e 即可. 为此, 构造函数
−x3
f (x)
′
1
f (x0 ). 则当 ∆x > 0 时,
所以,
′ f+ (x0 ) = lim + ∆x→0
同理,
′ f− (x0 ) = lim − ∆x→0
因为
′ ′ f ′ (x0 ) = f− (x0 ) = f+ (x0 ),
所以,
f ′ (x0 ) = 0.
定义 1 若 f ′ (x0 ) = 0, 则称 x0 为 f (x) 的驻点. 定理 2 若 f (x) 满足: (1) f (x) 在 [a, b] 上连续, (2) f (x) 在 (a, b) 内可导, (3) f (a) = f (b). 则至少存在一点 ξ ∈ (a, b), 使得 f ′ (ξ ) = 0. 证明: 首先, 由闭区间上连续函数的性质 知, 函数 f (x) 在 [a, b] 上有最大值和 最小值. 不妨设最大值和最小值分别为 M, m.
O a ξ b x
2
拉格朗日中值定理
定理 3 (拉格朗日中值定理) 若 f (x) 满足: (1) f (x) 在 [a, b] 上
y
连续, (2) f (x) 在 (a, b) 内可导, 则至少 存在一点 ξ ∈ (a, b), 使得
f ′ (ξ ) =
f (a) − f (b) . a−b
O
a
ξ1

F ′ (ξ ) = 结论成立.
bf (a) − af (b) 1 f (x) − b−a x x
′
= 0.
x=ξ
5
例 6 已知 f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且 f (a) = f (b) = 0. 则至少 存在一点 ξ ∈ (a, b), 使得 f ′ (ξ ) = 3ξ 2 f (ξ ). 证明: 显然, 只需证明 f ′ (ξ ) − 3ξ 2 f (ξ ) = 0 即可. 注意到
1
(1) 若 M = m, 则函数 f (x) 在 [a, b] 上是常数, 则 f ′ (x) = 0, x ∈ (a, b). 结论成立.
使得 f (ξ ) = M (或者 f (ξ ) = m). 进而 由费马引理得 f ′ (ξ ) = 0.
y
(2) 若 M ̸= m, 则有 M ̸= f (a) = f (b) 和 m ̸= f (a) = f (b) 至少有一 个成立. 若 M ̸= f (a) = f (b)(或者 m ̸= f (a) = f (b) ) 成立, 则有 ξ ∈ (a, b), 注: 以上定理中的 3 个条件缺一不可.
其中 ξ ∈ (b, a). 进而结论成立.
3
柯西中值定理
定理 4 若 f (x), g (x) 满足: (1) f (x), g (x) 在 [a, b] 上连续, (2) f (x), g (x) 在
(a, b) 内可导, (3) g ′ (x) ̸= 0, ∀x ∈ (a, b). 则至少存在一点 ξ ∈ (a, b), 使得 f ′ (ξ ) f (b) − f (a) = ′ . g (b) − g (a) g (ξ ) 证明: 首先, 由 g (a) − g (b) = g ′ (ξ )(a − b) 知 g (a) ̸= g (b). 显然, 只需证明