减法博弈
博弈论题目总结（三）——组合游戏进阶
博弈论题⽬总结（三）——组合游戏进阶第⼆波题⽬⼤多都是sg组合游戏的基本变形，是对游戏规则的⼩改动。
容易提取出SG函数的模型，且SG函数的规律也⽐较简单⽽本⽂的题⽬需要较多的模型转化思想但博弈论的精髓还是打表翻硬币游戏⼀条直线上有很多硬币，有的正⾯朝上，有的反⾯朝上，每次可以翻⼀些硬币，但最右边的硬币必须由正变反，不能操作者输翻硬币可能会有奇奇怪怪的要求，⼀次翻好⼏个，⼀次翻连续的⼏个结论：正⾯朝上的⽯⼦之间互不影响，设正⾯朝上是1，反⾯朝上是0，那么SG(0101001)=SG(01)^SG(0001)^SG(0000001)证明见论⽂树形删边游戏SG(u)=xor{SG(v)+1}证明见jzh神犇的论⽂POJ 3710 Christmas Game环怎么处理啊？⼀个奇环可以分成等长的两条链，SG函数值为0，其他后继状态的SG函数值均>1，故奇环的SG函数值为1⼀个偶环只能分成异奇偶的两条链，SG函数值均>0，故奇环的SG函数值为0tarjan边双缩点搞⼀下就⾏了1 #include <cmath>2 #include <cstdio>3 #include <cstring>4 #include <algorithm>5#define N1 1056#define M1 5057#define ll long long8#define dd double9using namespace std;10const dd eps=1e-7;1112 template <typename _T> void read(_T &ret)13 {14 ret=0; _T fh=1; char c=getchar();15while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') fh=-1; c=getchar(); }16while(c>='0'&&c<='9'){ ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); }17 ret=ret*fh;18 }19struct Edge{20int to[M1*2],nxt[M1*2],val[M1*2],head[N1],cte;21void ae(int u,int v,int w)22 {23 cte++; to[cte]=v; nxt[cte]=head[u];24 head[u]=cte; val[cte]=w;25 }26 }e,E;2728int T,n,m;29int low[N1],dfn[N1],use[N1],stk[N1],dad[N1],sum[N1],tim,num,tp;30void tarjan(int x,int fa)31 {32int j,v;33 low[x]=dfn[x]=++tim; stk[++tp]=x; use[x]=1;34for(j=e.head[x];j;j=e.nxt[j])35 {36 v=e.to[j]; if(e.val[j]==fa) continue;37if(!dfn[v]){38 tarjan(v,e.val[j]);39 low[x]=min(low[x],low[v]);40 }else if(use[x]){41 low[x]=min(low[x],dfn[v]);42 }43 }44if(low[x]==dfn[x])45 {46 num++;47while(stk[tp]!=x){ use[stk[tp]]=0; dad[stk[tp]]=num; sum[num]++; tp--; }48 use[x]=0; dad[x]=num; sum[num]++; tp--;49 }50 }5152void rebuild()53 {54int i,j,v;55for(i=1;i<=n;i++)56 {57for(j=e.head[i];j;j=e.nxt[j])58 {59 v=e.to[j];60if(dad[i]!=dad[v])61 E.ae(dad[i],dad[v],0);62 }63 }64 }6566int sg[N1],de;67void dfs(int x,int fa)68 {69int j,v;70for(j=E.head[x];j;j=E.nxt[j])71 {72 v=E.to[j]; if(v==fa) continue;73 dfs(v,x); sg[x]^=sg[v]+1;74 }75if(sum[x]>1 && (sum[x]&1)) sg[x]^=1;76 }7778void init()79 {80 memset(sg,0,sizeof(sg)); memset(low,0,sizeof(low));81 memset(sum,0,sizeof(sum)); memset(dfn,0,sizeof(dfn));82 memset(dad,0,sizeof(dad)); memset(use,0,sizeof(use));83 memset(&e,0,sizeof(e)); memset(&E,0,sizeof(E));84 tim=0; tp=0; num=0;85 }8687int N;88int main()89 {90int i,j,x,y;91while(scanf("%d",&N)!=EOF) {9293int ans=0;94while(N--)95 {96 init(); read(n); read(m);97for(i=1;i<=m;i++)98 {99 read(x); read(y); e.ae(x,y,i); e.ae(y,x,i);100 }101for(i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,-1);102 rebuild();103 dfs(dad[1],-1);104 ans^=sg[dad[1]];105 }106if(ans) puts("Sally"); else puts("Harry");107108 }109return0;110 }View CodeK倍动态减法游戏现在有⼀堆⽯⼦，两个⼈轮流取，后⼿取的⽯⼦数不能超过先⼿取的K倍，第⼀个⼈不能⼀下⼦把⽯⼦都取完，取最后⼀个⽯⼦的⼈赢，问谁能赢在探究“K倍动态减法游戏前”，先研究⼀下2倍动态减法游戏，即fibonacci博弈2倍动态减法游戏结论：当剩余⽯⼦数是斐波那契数时，先⼿必败简单证明如下⽯⼦数为2,3时，显然先⼿必败。
博弈的基本分析方法
三、一个例子：警察与小偷
收益均等化方法：在纳什均衡状态，每个参与人使用某一种策略得到 的收益必须与他使用另一种策略得到的收益相同。
以“警察与小偷”为例，如果小偷使用混合策略，他去银行的收益高
于他去酒馆的收益，那他就会增加去银行的概率，直到去银行和去酒 馆收益相等。
警察 酒馆 小 偷 酒馆 银行 0， 3 2， 1 银行 1， 2 0， 3
时装
夫 妻 妻 时装 之 子 足球 争 2， 1 0， 0 丈夫
足球
0， 0 1， 3
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
3 划线法（自己练习）
D 囚 徒 困 境 猜 硬 币 夫 妻 之 争 D C -5， -5 -8， 0 C 0， -8 -1， -1 囚 徒 困 境 猜 硬 币 夫 妻 之 争 D C D -5， -5 -8， 0 C 0， -8 -1， -1
* ( si* , sn ) 一定是该博弈的唯一的纳什均衡
命题2：在n个博弈方的博弈中 G {S1 ,Sn ; u1 ,un } 中，如果
* ( si* , sn ) 是 G 的一个纳什均衡，那么严格下策反复消去法一定
不会将它消去
上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严格下策
反复消去法简化博弈是可行的
0， 2
0， 1
2， 0 1， 0 0， 4 1， 3 0， 2 0， 1 2， 0
4 箭头法
其它例子
-5， -5 -8， 0 0， -8 -1， -1 夫 妻 之 争 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3
囚 徒 困 境
猜 硬 币
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
混合策略博弈的纳什均衡
从博弈论的角度看“教育减负”
从博弈论的角度看“教育减负”随着社会的发展和人们对教育的高度重视，教育减负成为了一个热门话题。
教育减负涉及到政府、学校、家长和学生等多个利益相关方，因此，从博弈论的角度探讨教育减负有利于更好地理解这一话题。
教育减负的起源可以追溯到20世纪90年代，当时的教育负担过重问题主要表现在学生课业负担沉重，为了减轻学生的课业负担，教育部门开始推行一系列教育改革措施，其中包括减少学生的作业量和考试次数等。
随着时间的推移，教育减负逐渐成为社会的热点，并成为了博弈论中的一个重要主题。
在以“教育减负”为主题的博弈模型中，我们可以将政府、学校、家长和学生视为四个主要的利益相关方。
政府希望通过教育减负来减轻学生的课业负担，提高学生的综合素质，以达到长远的社会和经济发展目标。
学校则需要在减轻学生课业负担的同时，保证教学质量和学校的竞争力。
家长和学生则希望在减轻课业负担的同时，能够获得更好的教育资源和更高的教育质量。
根据博弈模型的推导过程，我们可以得出以下政府应该采取积极措施来减轻学生课业负担，例如减少学生的作业量和考试次数等。
学校应该适当调整教学方式和教学内容，避免过度依赖教材和应试教育，同时加强对学生综合素质的培养。
家长应该理性看待孩子的教育问题，避免过度焦虑和过度追求分数，同时鼓励孩子积极参与各种有意义的活动。
为了达到教育减负的目标，政府、学校和家长应该相互配合，制定合理的教育政策和措施。
政府可以加大对学校和家长的教育宣传力度，引导学校和家长正确看待孩子的教育问题。
学校可以通过改变教学方式、调整教学内容和增加学生自我发展的时间来实现教育减负。
家长则可以从自身做起，减少对孩子的过度期望和压力，鼓励孩子发展多元化的兴趣爱好，同时积极参与学校和社区的各类活动。
博弈论在教育减负问题上的应用，为我们提供了一种理解该问题的新思路。
通过建立博弈模型并分析其结果，我们可以更好地理解各利益相关方的立场和需求。
然而，教育减负并非简单的利益之争，它牵涉到社会的方方面面，需要我们综合考虑各种因素。
减肥博弈
博弈论与减肥组员：091584117张连霞 091584122杨旭姝 091584124钟丽君091584131陈锦标 091584150邓竞翔博弈论的出现只有几十年的历史，以诺伊曼和摩根斯滕1943年的巨著《博弈论与经济行为》出版为标志，博弈论“正式”成为一门学科，开始了系统的研究。
近几年，这一理论逐渐成熟，并已经成为一种范式，一种研究理性的行动者相互作用的理论框架，其应用范围已经超越了纯经济范畴，深入影响着政治学，社会学等社会学科的理论研究，本文试图对减肥现象进行博弈论解释，换个视角来看待问题，希望能引发一些启示。
肥胖目前已成为全球负担。
据统计，中国有约1/3的人超重和肥胖，大约为3亿人。
儿童超重和肥胖占17.5%，成人则达到32.5%。
博弈论可以用于减肥吗？在别人眼里看来这应该是风马牛不相及的两件事。
可是热衷减肥的你有想过运用博弈策略思维来帮助自己成功减肥吗？减肥就是一场数字游戏！开密密麻麻的减肥计划与冠冕堂皇的减肥理论，说穿了就是一场数字博弈！没有一个女性不在意自己的身材，没有一个时尚女性不热衷减肥这件事。
我想大多数减肥的人都知道，减肥的最原始原则：少吃，多运动。
也非常了解食物金字塔，也很清楚各种饮料中所含的卡路里。
可是这一切都没有用，没有对自己的减肥大计产生任何效果。
当稍微放开肚皮吃的时候，可怕那体重已经增加了二，三公斤了，就算在很严格的节食计划里体重一直都没有下降的趋势。
下面来看一个例子：曾经有两位博弈论专家就参与过一个减肥节目的策划，运用博弈策略思维帮助节目参与者成功减肥。
一位名叫辛迪•纳克森•斯切克特的人想要减肥，她的第二个孩子出生后，她的体重已经增加了40磅，而且一直都没有瘦下来过。
这就是为什么她接受了ABC(美国广播公司)为她提供的减肥帮助的原因。
2005年12月9日，她来到了曼哈顿西部的一个摄影工作室，在那里她换上了一件比基尼。
要知道从9岁起，辛迪就再没有穿过比基尼。
她和ABC《黄金时段》节目组定了一份协议，如果她能在接下来的两个月内减掉15磅，他们就会销毁这些照片。
博弈树计算以及剪枝例题
博弈树计算以及剪枝例题博弈树是一种用于解决博弈问题的数学模型，它可以帮助我们分析博弈的各种可能走法以及对应的结果。
在计算博弈树时，我们需要考虑以下几个步骤：1. 确定博弈的参与者和规则，首先确定参与博弈的玩家以及博弈的规则，包括每个玩家的可行行动和胜利条件。
2. 构建博弈树的根节点，根节点表示博弈的初始状态，通常是一个空棋盘或者初始的游戏状态。
3. 生成博弈树的分支节点，从根节点开始，根据规则和玩家的行动选择生成各个可能的子节点，每个子节点代表一个可能的下一步行动。
4. 递归生成博弈树，对于每个子节点，重复步骤3，直到达到博弈的终止状态，例如达到胜利条件或者无法再进行下一步行动。
5. 评估叶子节点的结果，对于博弈树的叶子节点，根据游戏规则和胜利条件评估其结果，可以使用得分、胜利或失败等方式表示。
6. 向上回溯更新节点值，从叶子节点开始，通过向上回溯更新每个节点的值，例如选择最大值或最小值作为节点的值，以便在博弈过程中做出最优决策。
剪枝是一种优化博弈树计算的技术，它可以减少计算量，提高搜索效率。
常用的剪枝技术有Alpha-Beta剪枝和极小化极大剪枝。
以下是一个简单的例子来说明博弈树计算和剪枝的应用：假设我们玩一个简单的棋类游戏，如井字棋。
我们用X和O分别代表两个玩家。
我们的目标是找到最佳的下一步行动。
1. 首先，我们构建博弈树的根节点，表示当前的游戏状态，例如一个空棋盘。
2. 然后，我们生成所有可能的子节点，代表X玩家的所有可能行动。
3. 对于每个子节点，我们再生成对应O玩家的所有可能行动的子节点。
4. 重复步骤3，直到达到博弈的终止状态，例如棋盘上已经有了胜利的一方或者无法再进行下一步行动。
5. 对于博弈树的叶子节点，根据游戏规则评估其结果，例如胜利的一方得分为1，失败的一方得分为-1，平局得分为0。
6. 向上回溯更新每个节点的值，例如对于X玩家的节点，选择最大值作为节点的值；对于O玩家的节点，选择最小值作为节点的值。
博弈论视角下“双减”政策执行的阻滞与疏解
博弈论视角下“双减”政策执行的阻滞与疏解博弈论视角下“双减”政策执行的阻滞与疏解近年来，我国环境保护的重要任务之一是减少污染物排放和能源消耗，促进可持续发展。
为了实现这一目标，在政府的推动下，实施了一系列的“双减”政策。
但是，在政策的执行过程中，往往会遇到一些困难和阻滞。
本文将从博弈论的视角探讨“双减”政策执行过程中的阻滞与疏解。
博弈论是一种研究决策者行为和决策结果的理论模型。
在实施“双减”政策时，涉及到多个利益相关方。
政府需要制定具体的减排和节能目标，并对企业进行监管；企业则需要采取相应的措施来减少排放和节能。
在这个过程中，政府和企业之间存在一种多方参与的博弈关系。
首先，政府和企业之间存在信息不对称。
政府通过政策文件发布减排和节能目标，但是由于信息传递的滞后性和不完整性，政府对企业实际情况的了解不够充分。
同时，企业也可能对自身情况进行信息的隐藏，以获取更多的利益。
这种信息不对称会导致政府在制定具体政策和实施过程中出现困难，从而阻碍政策的正常执行。
其次，政府制定的“双减”政策需要考虑多个因素之间的平衡。
政府往往需要考虑经济增长、环境保护、民生福祉等多个因素的权衡，因此在制定政策时需要考虑各方面的利益。
而利益相关方之间往往存在着矛盾和冲突，这就需要政府在政策制定过程中进行博弈和妥协。
第三，企业之间存在竞争关系。
在实施“双减”政策时，企业需要根据政府的政策目标进行投资和调整。
然而，对于企业而言，在减排和节能方面的投资和调整是一项成本较高且需要时间和资源的任务。
企业之间存在一种竞争关系，希望通过减少投资和调整的成本来获取更大的竞争优势。
因此，企业往往会采取拖延策略，等待其他企业先行投资，以便减少自身的成本。
针对上述问题，为了疏解阻滞，政府可以采取以下措施。
首先，政府需要加强与企业的沟通和信息共享。
政府可以建立更加完善的信息平台，及时了解企业的实际情况，并在政策制定过程中更加准确地考虑到企业的利益。
同时，政府也需要引入第三方机构，对企业的减排和节能情况进行监测和核实，以防止企业的信息隐藏和欺诈行为。
《博弈论》课程课件
破釜沉舟这种策略实际上有很多的变种。
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3、企业应该在什么时候诚实 这里我们考虑一个所谓的诚信企业的动态博 弈，
占便宜 到诚信公司 顾客 不到诚信公司 诚信公司赚1000元 顾客损失2000元
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这个模型是这样的：
第一个模型 假设：地球是圆的 已知：光线是按直线行走的（现实中观 察到的事实） 那么：在港口的人，首先看到远方驶来 船只的船桅，并逐渐看到船的下部（与现实 中观察到的事实相符）
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第二个模型
假设：地球是平的 已知：光线是按直线行走的（现实中观 察到的事实） 那么：在港口的人，首先看到的是整个 船身（与现实中观察到的事实相悖）
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博弈论在研究的过程中有两个基本前提假设 一是，理性人假设。 二是，博弈结构对参与者是公共知识。特别
是，参与者满足完美回忆。
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例6 旅行者困境 两个旅行者在旅游圣地买了两个花瓶，但在 回程途中被航空公司打碎。航空公司知道花 瓶大约值100元，但并不清楚花瓶的确切价 格。于是，航空公司要求两位旅客各自写下 花瓶的价格，并按照两个旅客中所写的最低 价格进行赔偿（航空公司认为写最低价格的 旅客讲的是真话），为了鼓励旅客讲真话， 规定对讲真话的旅客奖励2元，对讲假话的旅 客罚款2元。容易证明，在理性人的假设下， 这个游戏唯一的结果是两人都写0。
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表 1 博弈的分类和均衡概念
完全信息 静态 非完全信息
完全信息静态博弈 非完全信息静态博弈 （纳什均衡） （贝叶斯均衡）
完全信息动态博弈 非完全信息动态博弈 动态 （子博弈精炼均衡） （序列均衡）
博弈论公式纳什均衡博弈树博弈矩阵
博弈论公式纳什均衡博弈树博弈矩阵博弈论：公式、纳什均衡与博弈树、博弈矩阵博弈论是一门研究决策制定的数学理论。
在博弈论中，存在多个参与者（称为玩家），他们通过制定策略并参与互动，在特定的规则下寻求最佳的决策结果。
本文将介绍博弈论中的一些基本概念，包括公式、纳什均衡、博弈树以及博弈矩阵。
一、公式公式在博弈论中起到了重要的作用。
公式是对博弈过程中的选项和结果进行模型化表示的数学表达式。
通过建立公式，可以更好地理解玩家之间的关系以及可能的结果。
例如，对于两名玩家参与的零和博弈（zero-sum game），其最基本的公式可以表示为：v = max(min(U1(x), U2(y))), ∀x ∈ X, y ∈ Y其中，v表示最终结果的价值，U1(x)和U2(y)分别表示玩家1和玩家2在选择策略x和y时的收益。
通过解析公式，可以确定最优的策略选择，以达到最大化自身的收益。
二、纳什均衡纳什均衡是博弈论中的一个核心概念，指的是在一个博弈中，每个玩家都选取了最优策略后的状态，无法通过改变个体策略来获得更好的结果。
换句话说，纳什均衡是一个稳定状态，每个玩家都做出了最佳的决策，不愿意单方面改变策略。
在一个简单的二人博弈中，假设两名玩家的策略集分别为X和Y，玩家1和玩家2的收益函数分别为U1(x, y)和U2(x, y)。
纳什均衡的定义可以表示为：∀x ∈ X, y ∈ Y, U1(x*, y) ≥ U1(x, y*), U2(x, y*) ≥ U2(x*, y)其中，(x*, y*)表示纳什均衡点，满足这一条件时，博弈达到了稳定状态。
三、博弈树博弈树是用于描述博弈过程的一种图形表示方法。
博弈树可以将博弈的各个阶段以及玩家的决策路径清晰地展示出来，有利于分析和理解博弈的策略选择。
考虑一个简单的两人博弈，玩家1在第一轮有两个策略可选，分别为A和B；玩家2在第二轮有三个策略可选，分别为C、D和E。
通过构建博弈树，可以描述出博弈的整个过程。
二人减数博弈的取胜策略
二人减数博弈的取胜策略
《二人减数博弈的取胜策略》
减数博弈是一种经典的双人博弈游戏，两个玩家轮流从一堆物品中取走一个或多个，最后取光者胜出。
取胜策略是赢取游戏的关键，一般有以下几种：
第一种是“贪心策略”，即每次都取最多的物品，以尽快取光对手的物品，获得胜利。
第二种是“投机策略”，即观察对手的取法，及时把握机会，取出最佳的物品，从而获得胜利。
第三种是“静态策略”，即分析游戏的可能结果，取出最佳的物品，从而获得胜利。
上述三种策略都有可能获得胜利，但是要想获得成功，玩家必须根据游戏的实际情况，灵活运用这些策略，才能取得胜利。
博弈树计算以及剪枝例题
博弈树计算以及剪枝例题博弈树是博弈论中的一个重要概念，用于描述博弈过程中的决策和可能的结果。
在计算机科学中，博弈树常用于解决博弈问题，通过遍历博弈树可以找到最优的决策策略。
计算博弈树的过程通常分为两个步骤，构建博弈树和计算博弈树。
构建博弈树的过程是根据博弈规则和当前状态，生成所有可能的决策和对应的结果。
这个过程通常使用递归的方式进行，从初始状态开始，根据当前玩家的决策，生成下一步可能的状态，并继续递归下去，直到达到终止状态。
计算博弈树的过程是通过遍历博弈树，评估每个决策的价值，并选择最优的决策。
这个过程通常使用一些评估函数或者启发式算法来评估每个状态的价值，以便选择最优的决策。
在计算博弈树时，为了减少计算量，通常会使用剪枝技术。
剪枝是指在遍历博弈树时，根据一些条件判断，提前终止某些分支的遍历，从而减少计算量。
常用的剪枝技术有Alpha-Beta剪枝和极小化极大算法（Minimax algorithm）。
下面举一个剪枝的例题来说明：假设有一个博弈树，根节点是当前状态，有两个子节点A和B，分别表示两个玩家的决策。
A节点有两个子节点C和D，B节点有两个子节点E和F。
每个节点都有一个评估值，表示该状态的价值。
Root./ \。
A B./ \ / \。
C D E F.假设我们使用Alpha-Beta剪枝算法来计算博弈树。
首先，我们从根节点开始遍历，假设根节点的玩家是最大化玩家。
我们先遍历A节点，计算其子节点C和D的价值。
假设C节点的价值是3，D节点的价值是5。
接下来，我们遍历B节点，计算其子节点E和F的价值。
假设E节点的价值是4，F节点的价值是2。
在Alpha-Beta剪枝算法中，我们维护两个值，alpha和beta。
alpha表示最大化玩家已经找到的最好决策的价值，beta表示最小化玩家已经找到的最好决策的价值。
在遍历A节点的子节点时，我们更新alpha的值为3，因为C 节点的价值是3。
在遍历B节点的子节点时，我们更新beta的值为2，因为F节点的价值是2。
最优化原理与方法博弈的七个维度
最优化原理与方法博弈的七个维度
1. 目标函数：最优化原理和方法博弈都关注如何在一个预设的目标函数下寻求最好的结果。
2. 约束条件：优化问题和博弈问题都要考虑对预设条件的限制，比如时间、资源和技能等。
3. 参与者：博弈问题必须考虑在其中参与的人或团体，同时最优化问题也可能会受到参与者的影响。
4. 信息量：在博弈问题中，双方对对方的信息量会有很大的影响；在最优化问题中，需要从局部和全局两个层面收集和分析信息。
5. 多样性：在博弈问题中，参与者的多样性是一个重要因素；在最优化问题中，多样性的考虑可以帮助我们寻找最优解而不是受限于一个方面。
6. 主观性：博弈问题和最优化问题都能受到主观因素的影响，例如某些参与者可能会更偏向某个方案，或者某些因素可能会被高估或低估。
7. 时间尺度：博弈问题和最优化问题都能受到时间尺度的影响，比如在长期和短期内，某些方案可能更优。
剪枝策略求解博弈问题
近几十年来，剪枝策略在博弈问题研究中变得越来越重要，它可以使得深层搜索更有效。
剪枝就是在搜索树中削减支路，以减少时间和空间的消耗。
剪枝策略主要用于搜索树，减少未决节点的数量，可以减少时间和内存的使用，使搜索更有效。
具体来说，剪枝策略会使算法中搜索一个节点时搜索它的后裔，以了解它是否应该从搜索树中剪去。
深层搜索（ Deep Search）是博弈问题研究中最常用的一种技术，它通过构建搜索树，来尝试穷举所有可能的局面，以了解处于某一局面的最佳行动。
然而，剪枝策略可以有效地削减搜索树中的衍生分支（descendant branch），使搜索变得更有效率，也能更快速地找到最优解。
基于动态规划的剪枝，对于具体的博弈问题可能都有不同的技术，但通常大致可以分为两种：最小值剪枝和最大值剪枝。
最小值剪枝是指，我们在当前局面中，把搜索空间中收益最低的分支剪枝；最大值剪枝是指，我们在当前局面中，把搜索空间中收益最高的分支剪枝。
举个例子，解决TicTacToe（井字棋）问题。
在每一步TicTacToe游戏中，玩家都会分析自己下一步的最佳走法，以获得比对方更多的胜算。
然而，由于游戏完全由玩家本身控制，因此每一步的搜索空间都非常大，常常需要分析很多层次的衍生分支，以了解自己最佳的走法，这就是深层搜索的原理。
剪枝策略可以使搜索更有效，通过应用最小值剪枝和最大值剪枝，可以在决定每步时，很容易削减决策树，节省时间和空间。
总之，剪枝策略可以起到减少搜索空间，提高搜索效率的作用，是博弈问题研究的重要策略。
它在不同的深层搜索算法中，都得到广泛的使用，被广泛应用于许多问题中，如棋类游戏，搜索引擎等。
微观经济学博弈模型求解
微观经济学博弈模型求解在微观经济学中，博弈理论是一种研究决策者之间相互依赖的决策情况。
博弈模型是描述参与者策略和其结果的数学工具。
在这篇文章中，我们将讨论博弈模型的基本概念、求解方法以及其在现实生活中的应用，并给出一些建议和指导。
首先，让我们来了解博弈模型的基本概念。
博弈模型由博弈参与者、策略和支付函数组成。
博弈参与者是指参与博弈的个体或团体，他们根据自身的利益和目标来做出决策。
策略是参与者为实现目标而选择的行为方式，也是决策者做出决策的方式。
支付函数是衡量参与者在特定策略下所获得的利益或效用的函数。
博弈模型的求解方法主要有两种，即纳什均衡和博弈树。
纳什均衡是指在一个博弈中，每个参与者选择的策略都是最优的，而且其他参与者的策略选择对其最优选择没有影响。
博弈树则是通过建立一个决策树来表示博弈的过程，通过分析不同的决策路径来确定最优策略。
博弈模型在现实生活中有着广泛的应用。
在经济领域，博弈模型被用来分析市场竞争、价格战和企业行为等问题。
例如，在一场价格战中，每家企业必须根据其他企业的价格策略来决定自己的定价策略，从而争夺更多的市场份额。
博弈模型可以帮助企业找到最优的定价策略，以获得最大的利润。
在政治领域，博弈模型被用来分析候选人之间的策略选择。
在选举过程中，候选人需要考虑其他候选人的策略，以制定自己的竞选策略。
博弈模型可以帮助候选人找到获胜的最佳策略，例如确定何时攻击对手、何时采取守势等，以获得选民的支持。
此外，博弈模型还被广泛应用于国际关系和军事领域。
国家之间的博弈可以影响各方的决策，从而影响国际关系和军事行动。
博弈模型可以帮助政府决策者更好地了解其他国家的策略选择，从而制定自己的外交政策和军事战略。
总结起来，博弈模型在微观经济学中发挥着重要的作用。
通过分析博弈参与者的策略选择和支付函数，我们可以预测和解释一系列经济、政治和军事现象。
在实践中，博弈模型可以帮助我们做出更明智的决策，并通过制定最优策略来实现个人、企业和国家的最大利益。
减法培养孩子的逻辑思维
减法培养孩子的逻辑思维逻辑思维是指通过合理的推理和判断来解决问题的能力。
对于孩子来说，培养逻辑思维非常重要，因为它有助于发展他们的思维能力、解决问题的能力和创造力。
在孩子的学习过程中，有许多方法可以帮助他们培养逻辑思维，其中之一就是通过减法。
减法是数学中的一种基本运算，它涉及到从一个数中减去另一个数，得到差。
但是，减法不仅仅是一种数学计算方法，它还可以被用来培养孩子的逻辑思维。
通过教孩子掌握减法的方法和技巧，可以使他们在解决各种问题时更加熟练和灵活。
首先，减法可以帮助孩子培养逻辑思维能力的一种方法是通过数量关系的理解。
减法需要孩子理解数之间的差异和关系。
当他们从一个数中减去另一个数时，他们需要思考两个数之间的差异是多少，这需要他们进行逻辑思维的推理和判断。
通过解决减法问题，孩子可以锻炼他们的数量关系思维，并逐渐发展出更深入的逻辑思维能力。
其次，减法可以帮助孩子培养逻辑思维能力的另一种方法是通过问题解决的训练。
减法问题可以是各种各样的，孩子需要根据题目中给出的条件和要求来进行计算和推理，找到正确的解决方法。
在解决减法问题的过程中，孩子不仅需要运用基本的数学知识，还需要进行逻辑思维和推理。
通过不断解决减法问题，孩子的逻辑思维能力会得到锻炼和提升。
此外，减法还可以帮助孩子培养逻辑思维能力的另一个方面是通过抽象思维的发展。
减法涉及到对数字的加减运算，孩子需要从具体的数字中抽象出一般化的规律和思维方式。
通过解决减法问题，孩子可以培养他们的抽象思维能力，并将其应用到其他领域。
抽象思维是逻辑思维的重要组成部分，对于孩子的综合思维能力的发展至关重要。
总之，减法是培养孩子逻辑思维的一种重要方法。
通过教孩子掌握减法的方法和技巧，可以帮助他们培养逻辑思维能力，提高他们解决问题的能力和创造力。
在教育孩子时，我们应该充分利用减法这一工具，让孩子在学习中体验到逻辑思维的乐趣，让他们成为具有优秀逻辑思维能力的人。
“双减”政策下零和博弈——以幼儿园“去小学化”与“幼小衔接”为例
“双减”政策下零和博弈——以幼儿园“去小学化”与“幼小衔接”为例随着中国教育改革的推进，教育部发布了一系列的“减负”政策，其中包括幼儿园“去小学化”和“幼小衔接”政策。
这两项政策旨在减少学前教育阶段的学业压力，让孩子更好地享受幼儿园阶段的成长与发展。
然而，这两个政策在推行中面临着一系列的挑战，需要政府、幼教机构和家长共同努力解决。
幼儿园“去小学化”政策是指取消幼儿园的学年制度，取消小学化的教学内容和评价方式，让孩子在幼儿园期间能够更加自由地进行游戏、运动、艺术等活动，培养他们的兴趣和创造力。
这一政策的初衷是为了减少孩子们输在起跑线上的压力，给予他们更多的自由和发展空间。
然而，实际的推行过程中却出现了一些问题。
首先，很多幼儿园在推行“去小学化”政策时，由于缺乏相应的指导和培训，对于如何进行幼儿教育的转变不够明确。
一些幼儿园在取消学年制后，仍然把幼儿教育变成了“小小学堂”，加重了孩子们的学业负担。
这些幼儿园在教学内容和方法上没有与之相适应，仍然给孩子们大量的书面作业和考试压力，导致孩子们在幼儿园阶段就开始承受过重的学业压力。
其次，幼儿园“去小学化”政策也给幼师们带来了一定的困扰。
传统的教育理念中，幼师们往往会以传授知识为主要任务，而在“去小学化”后，他们面临着如何引导孩子们自主学习和发展的问题。
不少幼师缺乏相应的培训和指导，很难适应新的教育理念和方法。
在实际教学过程中，他们常常会依然把幼儿教育当作小学教育，过多地强调学习成果和结果，而忽视了孩子们的兴趣和创造力。
幼小衔接政策是在学前教育阶段与小学教育阶段之间建立良好衔接的政策。
其目的是让幼儿阶段的教育成果能够顺利过渡到小学阶段，避免学生由于教育内容和方式的改变而产生适应困难。
然而，幼小衔接政策在推行中也遇到了一些难题。
首先，幼小衔接政策在不同地区的推行存在差异。
由于地区差异和教育资源的不平衡，一些地区的幼小衔接工作并不完善，导致幼儿教育和小学教育之间的断层。
博弈论名词解释（修改）
博弈论名词解释（修改）1.有限博弈：一个博弈中每个博弈方的策略数都是有限的。
常见的是数种策略。
无限博弈：一个博弈中至少有某些博弈方的策略有无限多个。
零和博弈：一方的得益必定是另一方的损失，博弈方之间利益始终对立，偏好通常不同。
两人零和博弈也称为“严格竞争博弈”。
2.常和博弈：博弈方之间利益的总和为常数。
博弈方之间的利益是对立的且是竞争关系。
3.变和博弈：零和博弈和常和博弈以外的所有博弈。
合作利益存在，博弈效率问题的重要性。
可以站在社会利益的立场对其效率进行评价。
4.静态博弈：所有博弈方同时或可看作同时选择策略的博弈。
5.动态博弈：各博弈方的选择和行动有先后次序且后选择、后行动的博弈方在自己选择、行动之前可以看到其他博弈方的选择和行动。
6.重复博弈：同一个博弈反复进行所构成的博弈，提供了实现更有效略博弈结果的新可能。
7.完全信息博弈：各博弈方都完全了解所有博弈方各种情况下的得益8.不完全信息博弈：至少部分博弈方不完全了解其他博弈方得益的情况的博弈，也称“不对称信息博弈”9.完美信息博弈：每个轮到行为的博弈方对博弈的进程完全了解的博弈10.不完美信息博弈：至少某些博弈方在轮到行动时不完全了解此前全部博弈的进程的博弈11.完全理性：有完美的分析判断能力和不会犯选择行为的错误12.有限理性：博弈方的判断选择能力有缺陷13.个体理性：以个体利益最大为目标；集体理性：追求集体利益最大化14.上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是各个博弈方各自的上策，必然是该博弈比较稳定的结果，上策均衡不是普遍存在的。
15.严格下策反复消去法：反复寻找策略之间两两比较意义上的“严格下策”，并将它们消去的方法。
16.反应函数：对于厂商2的每一个可能的产量，厂商1的最佳对策产量的计算公式，它是厂商2产量的一个连续函数，我们称这个连续函数为厂商1对厂商2产量的一个“反应函数”。
17.帕累托上策均衡：博弈中存在多个纳什均衡，如这些纳什均衡存在明显的优劣差异，所有博弈方都偏好其中同一个纳什均衡，该纳什均衡给所有博弈方带来的得益都大于其他纳什均衡。
零和博弈，负和博弈，正和博弈
零和博弈，负和博弈，正和博弈在我们日常生活中，在双方对峙的情形下，有一正一负的情况，有两败俱伤的情况，也有平局的情况，其实对峙就是博弈，博弈分为三种：零和博弈，负和博弈，正和博弈！一：什么是零和博弈（你输我赢，我输你赢）零和博弈就是指不合作博弈，即在博弈的时候一方胜利一方失败，一方“吃掉”另一方。
零和博弈就是你输我赢或我输你赢的博弈！零和博弈，又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈。
它是指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”，故双方不存在合作的可能。
早在2000多年前，这种零和博弈就广泛用于有赢家必有输家的竞争与对抗。
“零和游戏规则”越来越受到重视，因为人类社会中有许多与“零和游戏”相类似的局面。
与“零和”对应，“双赢”的基本理论就是既“利己”又不“损人”，能够通过谈判、合作达到皆大欢喜的结果。
从深处探究可以看到，赢得那一方实际上也是失去了他人的信任。
在日常生活中，最典型的零和博弈就是石头剪刀布。
零和博弈的例子还有赌博、期货和选举等。
在人类社会实践中，从来没有也不可能有绝对零和的现象。
“失之东隅，收之桑榆”，是人类社会生活的一种常态；“萝卜白菜，各有所爱”，是对人类社会利益偏好多样性的形象描述；西方谚语“棋盘外总是有东西的”，也是同样的意思。
二：负和博弈（两败俱伤）负和博弈是博弈类型中的一种，它也是一种对抗性的、不合作的博弈，但是负和博弈没有赢家，双方处于两败俱伤的状态。
如果在日常生活中经常出现负和博弈的情况，那么势必会影响博弈双方的感情。
比如说，朋友在出去游玩的时候，一方想去公园，一方想去游乐场，双方互不让步，最终两个地方都没有去成，久而久之会伤害双方的感情。
三：正和博弈（合作共赢）正和博弈也是博弈类型中的一种，它是一种非对抗性的、合作的博弈，博弈双方处于一种合作共赢、互利互惠的状态，也就是双赢。
如果在日常生活中经常出现正和博弈的情况，那么其实是有利于个人发展和社会发展的。
玩石子的玩法
玩石子的玩法引言玩石子是一种古老而有趣的游戏，它可以锻炼思考能力、培养策略思维，同时也是一项适合全家人参与的活动。
本文将介绍玩石子的几种常见玩法，包括传统的竞技玩法、变异的策略玩法以及简化版的娱乐玩法。
竞技玩法1. 两堆对战法玩家分成两组，每组摆放一堆石子。
轮流选取并移动一定数量的石子，可以一次选取一堆中的任意数量石子，也可以从同一堆中选取。
最后将所有石子移动完毕的一方判断输赢，石子被移动完的一堆视为失败。
2. 博弈论方法玩家可以利用博弈论的思路来制定策略。
假设一堆石子中有n个，每次可以移动的石子数量为m。
可以计算出在不同情况下下一次移动的最佳策略，从而增加获胜的概率。
3. 团队合作法玩家分成两个团队，每个团队轮流进行决策。
在每个回合中，团队内的成员可以互相讨论并制定出最佳策略。
这种玩法可以培养团队合作和协商的能力，增加游戏的趣味性。
策略玩法1. 减法原则玩家可以利用减法原则来制定策略。
假设一堆石子中有n个，每次可以移动的石子数量为m。
根据减法原则，玩家每次尽量使对手只能移动m+1个石子。
通过这种策略，可以逐步将对手限制在无法行动的局面，增加自己获胜的机会。
2. 反复游戏法玩家可以尝试反复游戏，通过观察对手的策略来制定自己的策略。
在每次游戏中，尝试不同的策略并观察对手的应对方式。
通过不断的试探和学习，可以逐渐找到对手的弱点，并制定出相应的应对策略。
3. 混合策略玩家可以采用混合策略来增加游戏的变数和挑战性。
在每次回合中，可以灵活地选择不同的策略，以应对对手的不同动作。
这种策略灵活性高，需要玩家具备较强的观察力和决策能力。
娱乐玩法1. 计算速度比拼玩家可以通过限时进行石子移动的游戏，比拼计算速度。
每个玩家在规定的时间内尽可能多地移动石子，时间结束后计算移动的石子数量。
移动石子数量最多的玩家获胜。
2. 随机移动法玩家可以尝试随机移动石子的玩法，在每次回合中随机选择移动的数量和堆。
这种玩法增加了随机性，使得游戏更加有趣和刺激。
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减法博弈
尽管２ ０ １ ３ 年苹果还未召开任何新品发布会 ，但大多数ｉ ＯＳ 用户都有着重获新生 的喜悦之情 ，全都 因为ｉ ＯＳ ６ 终于得 以越
狱 。这一处于灰色地带的工具 ，始终都 是ｉ ＯＳ 用户在硬件之外 ，最渴望拥有和熟知的 。多半ｉ Ｐ ｈ ｏ ｎ ｅ 或者ｉ Ｐ ａ ｄ 用户 ， 只要 不
舰惹人厌 ； 做得太盛气凌人 ，诺基， － ｍ ￣ Ｄ 黑莓便是最好的先例 。能让消费者愿意掏腰包购买当下的产品 ，又会在新品发布后再 度光 临，这种减法才能让人拍案叫绝 。 以上的减法重在缩减成本 ，可近来 Ｈ Ｔ Ｃ离经叛道地亮出了 自己的 “ 减法 ”产 品—— Ｏｎ ｅ ，不仅名 字简 洁 ，其特别强调 的超 强拍 照功能仅仅依赖于一枚４ ３ ０ 万像素 的摄像头 ，瞬 间让不 少消费者 目瞪 口呆 。在２ ０ １ ３ 年 的今天 ，即使购买一 台不足 千元 的智能机 ，海报和包装上都会赫然标注８ ０ ０ 万像素 ，ＨＴ Ｃ 的新旗舰却拿 出６ 年前才好 意思 招摇过 市的像素示人 ，未免也 太猖狂 。当然，Ｈ ＴＣ 并没有和大家开玩笑 ， 有 常识的用户都知道拍 照的素质并非只和像素 的高 低有关 ，因而在发布会上 ， ＨＴ Ｃ 官方人员表示 ，他们只是想避开 当下无聊 的数字竞 赛 ， 让 用户获得实质性的优秀照片 。我不禁佩服 Ｈ Ｔ Ｃ的勇气 ，因为 除了三星￣ ３ １ Ｎ ｅ ｘ ｕ ｓ 之外 ，其他Ａｎ ｄ ｒ ｏ ｉ ｄ 厂商终于更加注重用户体验 ，更因为Ｏｎ ｅ 要面临的是一堆背扛参数霸气十足 、千万级 像素竞争者 。 但尽 管如此 ，现在前往 Ｈ Ｔ Ｃ Ｏｎ ｅ 的官方 页面 ，在摄像 头栏能看 到的标 注仅仅 是大光 圈、大底传 感器以及前置摄 像头 像 素值 ，那枚引以为豪的主摄像头 像素压根没有提到 。或许这 也是ＨＴ Ｃ 希望淡 化用户 “ 参数概念 ”的一 种方式 ，但更多的可 能是 消费者被当年 “ 月月有旗舰 ”战术 养成 的唯参数论心理 ，以及 同行在数值上给 出的压 力—— 诺基亚的４ １ Ｏ Ｏ 万像素也并 非花拳 绣腿 。因而 ，Ｏｎ ｅ 不仅仅是ＨＴ Ｃ 在新一年 的赌注 ，也是 一次用户体验与硬件比拼 的真正对抗 。这场 “ 减法 ”革命如 果成功 ，势必会带动一线厂商的一次重大转型 ，消费者也将会获得更多实至名归的旗舰选择 。
在硬件上体现更甚 ，即使是在这个硬件革新 白热化的年代 ，我们总会不断抱怨为什么总是找不到能让 自己１ ０ ０ ％满意的产品。 作为厂商 ，不可能一次性 和盘推 出毫无瑕疵 的产品 。就算技术 允许 ，Ｊ Ｔ 厂商永远都不会转型 为珠宝商 。成本 的控制 是
一
方 面，为新 品铺路是另一方面 。不过 ，做减法是 门艺术 ，做得太过 ，设计再好也是花瓶 ；做得太频繁 ，机海战术 、月月旗
是纯粹用来打电话发短 信的长 辈 ， 都会在购买 时询 问是否可 以越狱 。而越狱的 目的，９ ０ ％都是为了输入法 。
不得不说ｉ ＯＳ 中文输入体验至今 依旧很糟 糕 ，甚至可 以说是 当下主流移动操 作系统 中最让人头痛 的。不过 ，依然有不少 用户相信 ，在未 来 ， 苹果会有所 改进 。到那时候 ，能否越狱对于普通使用者来说 已经无关紧要 。 这种相 信 ， 不排 除可能——毕竟未来总是在进步 。也有可能只是美好的妄想—— 因为可 以升级的东西太多 。而这种情况