5-2 频率特性
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控制工程 第5章 系统的频率特性
解：系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频 特性分别为
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
§5-2 频率特性的几种表示方法
波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：
横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
Dec Dec Dec Dec
...
0
2
1
0.01
0 .1
幅值 1
A( )
1.26
2
1.56
4
2.00
6
2.51
83.1610来自5.621510.0
20
增益 0
5
使用对数坐标图的优点： 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线） 近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。 三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成 一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数 幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。
第二节 频率特性的几种表示方法
1
频率特性可以写成复数形式： ( j ) P( ) jQ( ) ，也可 G 以写成指数形式：G( j ) | G( j ) | G( j )。其中，P ( ) 为实 频特性， ( ) 为虚频特性； G ( j ) |为幅频特性， G ( j ) 为相频 Q | 特性。 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
第五章_频域特性
，半径为
1 2
。
16
A（）—— 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比. （）—— 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。 G ( j ) U（）—— 实频特性； j V V（）—— 虚频特性； V ( ) 都是的函数，之间的 A ( ) 关系用矢量图来表示。
10
R
极坐标图
c 1 G ( j ) r R C j 2
r (t )
i (t )
C
c (t )
1 1 j T e
j a rc ta n T
e
j
1 1 j T
1 /( 2 T )
1/ 1 T
G ( j ) 9 0
由于幅角是常数，且幅值随ω增大而减小。因此，积分 环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
14
典型环节的极坐标图
4. 惯性环节
G ( j ) 1 1 j T 1 1 ω T
2 2
1 1 T
2 2
j
T
1 T
2 2
G jω
取三个特殊点
（RC=T）
5
即为无源RC网络的频率特性。
频率特性的性质
1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统 结构参数给定，则频率特性也完全确定。 2、频率特性是一种稳态响应。 系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观 察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总 可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因 此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性 能、稳态性能等。 3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。 当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相 位移（）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
5-2(2) 开环系统的频率特性
分子分母同乘以 1
•
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1] 2型系统， 2
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 (an2 1 2 1)
1
2
1
3
2
所以，开环频率特性为：
G ( j ) A( ) e j ( ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j )
A1 ( ) A2 ( ) A3 ( ) e j ( ) ( ) ( )
1 2 3
开环幅频特性 开环相频特性
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 典型环节与开环系统的 频率特性
5-2-2 开环系统频率特性的绘制
项目 内 容
教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。
掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对
教 学 重 点 标图的绘制。
控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐
教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。
i 1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
K 例题2：设系统的开环传递函数 G( s) H ( s) sT1 s 1T2 s 1
（T1 ＞T2 ＞ 0，K ＞ 0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解： 因为系统的开环频率特性为：G( j ) 1）对数幅频特性
K j ( jT1 1)( jT2 1)
0
lim G ( j ) K0
lim G ( j ) 0 180
曲线与坐标轴的交点
可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在 交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）
自动控制原理第五章频域分析法
一 由传递函数求系统的频率响应
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自动控制原理第五章
第五章§5-1 引言§5-2频率特性§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法§5-5 系统稳定性分析§5-6控制系统的相对稳定性分析第五章 控制系统的频率响应分析[教学目的]：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。
掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist 图和Bode 图的绘制方法，根据系统的Nyquist 图和Bode 图分析系统的性质。
本章的难点是Nyquist 稳定性分析。
[主要容]：一、引言 二、 频率特性 三、 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 四、 频率域稳定判据 五、 稳定裕度 六、 闭环系统的频域性能指标[重点]： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist 稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。
[难点]：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。
闭环频域性能指标的理解与应用[讲授方法及技巧]：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。
准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。
与时域法进行对比，以加深理解。
§5-1 引言1.时域分析法（特点）1)以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。
它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。
2) 原始依据－－数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。
3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
4) 在定性分析上存在明显的不足。
5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。
2.根轨迹法（特点）1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用；2）增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具； 3）以“线”和“面”为工作方式；4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。
第5章2——Nyquist曲线
11
2 n arc tg n 2 1 2 n 2 n arc tg n 2 1 2 n
2016/5/20
autocumt@
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
d A( ) 0 d d 1 0 d 2 2 2 2 1 n n
S (T j S 1)
j 1
h
1 ( n h ) 2 j 1
2 2 ( T j S 2 jT j S 1)
开环传递函数分解成 典型环节串连形式
autocumt@ 1
G( S ) H ( S ) Gi ( S )
i 1
N
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
谐振频率：r n 1 2 2 谐振峰值：M r 1 2 1
2
自动控制原理
Im 0
0 1 Re
1 2
n
M
r
A ( r )
r
2 谐振条件： 0 0.707 2
autocumt@ 12
振荡环节的幅相特性曲线
2016/5/20
A( ) 1 T 1
2 2
( ) arctan T
Im
A(0) 1; (0) 0 A() 0; () 90
0 45
1 0
Re
autocumt@ 6
1 T
2016/5/20
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
i 1
结论：开环幅频特性是串联环节幅频特性幅值之积 开环相频特性是串联环节相频特性相角之和
autocumt@
2 n arc tg n 2 1 2 n 2 n arc tg n 2 1 2 n
2016/5/20
autocumt@
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
d A( ) 0 d d 1 0 d 2 2 2 2 1 n n
S (T j S 1)
j 1
h
1 ( n h ) 2 j 1
2 2 ( T j S 2 jT j S 1)
开环传递函数分解成 典型环节串连形式
autocumt@ 1
G( S ) H ( S ) Gi ( S )
i 1
N
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
谐振频率：r n 1 2 2 谐振峰值：M r 1 2 1
2
自动控制原理
Im 0
0 1 Re
1 2
n
M
r
A ( r )
r
2 谐振条件： 0 0.707 2
autocumt@ 12
振荡环节的幅相特性曲线
2016/5/20
A( ) 1 T 1
2 2
( ) arctan T
Im
A(0) 1; (0) 0 A() 0; () 90
0 45
1 0
Re
autocumt@ 6
1 T
2016/5/20
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
i 1
结论：开环幅频特性是串联环节幅频特性幅值之积 开环相频特性是串联环节相频特性相角之和
autocumt@
自动控制原理 第五章(第二次课)
K G ( jω ) = j ω (T1ω j + 1)( T 2ω j + 1)
Im
Re
0
ω
1型系统 0+
中国矿业大学信电学院 常俊林
autocumt@
10
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
K 例题2： 的幅相曲线。 例题 ：绘制 G(S) = 的幅相曲线 (T1S +1)(T2S +1)
G ( jω ) = K (τ 1 j ω + 1)( τ 2 j ω + 1) L (τ m j ω + 1) ( j ω ) (T1 j ω + 1)( T 2 j ω + 1) L (T n −ν j ω + 1)
ν
自动控制原理
n>m
ν＝1，I型系统 ＝ ， 型系统 起点: 起点 ω → 0＋
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
− K (T1 + T2 )ω − K (1 − T1 T2 ω 2 ) + G ( jω ) = j 2 2 2 2 2 2 2 2 ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1) ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1)
求与实轴交点： 求与实轴交点：
5-2 典型环节的频率特性 8 不稳定惯性环节
1 , 传递函数 G ( S ) = TS − 1 (T > 0 )
自动控制原理
1 1 = e j −(π − arctgTω ) 频率特性 G ( jω ) = Tωj − 1 T 2ω 2 + 1
ω =0
ω =∞
A(0) = 1; ϕ (0) = −180o A(∞) = 0; ϕ (∞) = −90o
Im
Re
0
ω
1型系统 0+
中国矿业大学信电学院 常俊林
autocumt@
10
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
K 例题2： 的幅相曲线。 例题 ：绘制 G(S) = 的幅相曲线 (T1S +1)(T2S +1)
G ( jω ) = K (τ 1 j ω + 1)( τ 2 j ω + 1) L (τ m j ω + 1) ( j ω ) (T1 j ω + 1)( T 2 j ω + 1) L (T n −ν j ω + 1)
ν
自动控制原理
n>m
ν＝1，I型系统 ＝ ， 型系统 起点: 起点 ω → 0＋
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
− K (T1 + T2 )ω − K (1 − T1 T2 ω 2 ) + G ( jω ) = j 2 2 2 2 2 2 2 2 ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1) ω (T1 ω + 1)(T2 ω + 1)
求与实轴交点： 求与实轴交点：
5-2 典型环节的频率特性 8 不稳定惯性环节
1 , 传递函数 G ( S ) = TS − 1 (T > 0 )
自动控制原理
1 1 = e j −(π − arctgTω ) 频率特性 G ( jω ) = Tωj − 1 T 2ω 2 + 1
ω =0
ω =∞
A(0) = 1; ϕ (0) = −180o A(∞) = 0; ϕ (∞) = −90o
第五章 频率特性法5-2
开环传递函数的两种表示形式
时间常数形式：K为系统的开环增益。
K ( i s 1) G (s)H (s)
m i 1 n
(n m )
l
( T s 1)
l 1
零、极点形式：K0为系统的根轨迹增益。
K 0 (s zi ) G (s)H (s)
i 1 m
(s
7
2 积分因子
G jω 1 jω
L ω 20lg G jω 20lg
1 jω
20lg ω
dB
当ω=1时 当ω=10时
L ω 20lg1 0 dB
L ω 20lg10
2 0 dB
L ω 20lg100 4 0 dB 当ω=100时 ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB，记为： －20dB/十倍频程，或-20dB/dec。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴 上ω=1这一点，且斜率为-20的直线。
1 T
2
n
ω
2 2
2 ζ
Tn ω
2
低频段，即ωTn<<1时
2 T n ω arctan 1 T n2 2
L ω 20lg1 ＝ 0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
17
L ω 20lg
1
( ) 90
180
0 .1
0 .2
0 .4
0 .6 0 .8
1
2
4
6
8
10
/ n
19
可见：当频率接近 ω ω 时，将产生谐振峰 值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
5-2(1) 典型环节的频率特性
∵ 幅频特性
A( )
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
相频特性
n ( ) arctg 2 1 2 n
2
其中，对于相频特性
2 n 当： n 时， ( ) arctg 2 1 2 n
当： n 时， ( ) 180 arctg
L（ω ）
j
ω =∞ ω ωn 0
20 0 φ（ω ） 1 ω =0 180° 0 (b)
[40] ωn ω
ω
（ a）
二阶微分环节的频率特性曲线图
8. 延迟环节 （教材P204）
传递函数 G(s)
频率特性
G( j) e j A() e j ( )
e
s
(1) 幅相曲线: （教材P204图5-25） 幅频特性 A（ω）= 1 相频特性 φ（ω） = -ωτ（rad）= - 57.3ωτ (°) (2) 对数频率特性曲线(Bode图): 1） 对数幅频特性 L(ω)=20lgA(ω)= 0 2） 对数相频特性：φ（ω） = -ωτ（rad）=-57.3ωτ(°)
ω →0
0
(a) 微分环节的幅相曲线
(2) 对数频率特性曲线(Bode图):
∵ 对数幅频特性 L(ω)=20lg∣G（jω）∣ = 20lgω 对数相频特性 φ（ω） = 90° ∴ 微分环节的Bode图如图(b)所示。
L（ω）
20
0
20dB/dec 1 10
φ（ ω ） 90° 0
ω
ω
(b) 微分环节的Bode图
r n 1 2 2
1 M r A(r ) 2 1 2 2 0 2
显然
对于不同的系统阻尼,振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr不同， 参见教材P195-196分析。
A( )
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
相频特性
n ( ) arctg 2 1 2 n
2
其中，对于相频特性
2 n 当： n 时， ( ) arctg 2 1 2 n
当： n 时， ( ) 180 arctg
L（ω ）
j
ω =∞ ω ωn 0
20 0 φ（ω ） 1 ω =0 180° 0 (b)
[40] ωn ω
ω
（ a）
二阶微分环节的频率特性曲线图
8. 延迟环节 （教材P204）
传递函数 G(s)
频率特性
G( j) e j A() e j ( )
e
s
(1) 幅相曲线: （教材P204图5-25） 幅频特性 A（ω）= 1 相频特性 φ（ω） = -ωτ（rad）= - 57.3ωτ (°) (2) 对数频率特性曲线(Bode图): 1） 对数幅频特性 L(ω)=20lgA(ω)= 0 2） 对数相频特性：φ（ω） = -ωτ（rad）=-57.3ωτ(°)
ω →0
0
(a) 微分环节的幅相曲线
(2) 对数频率特性曲线(Bode图):
∵ 对数幅频特性 L(ω)=20lg∣G（jω）∣ = 20lgω 对数相频特性 φ（ω） = 90° ∴ 微分环节的Bode图如图(b)所示。
L（ω）
20
0
20dB/dec 1 10
φ（ ω ） 90° 0
ω
ω
(b) 微分环节的Bode图
r n 1 2 2
1 M r A(r ) 2 1 2 2 0 2
显然
对于不同的系统阻尼,振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr不同， 参见教材P195-196分析。
5-2频率特性曲线的绘制
由图可见无论是欠 阻尼还是过阻尼系 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。
-2
0.2
04:54 16
（2）Bode图（对数频率特性）：
幅频特性为：
A( )
1 (1 T 2 2 )2 (2T )2
相频特性为：
( ) tg 1
04:54
1 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T
17
1 相频特性： ( ) tg
2 T 1 T 2 2
1 , ( ) ; , ( ) 。 T 2
几个特征点： 0, ( ) 0;
下图是当T=1时的图
G ( j ) jT 1
j 0
（1）Nyquist图（幅相频率特性）：
ω
1
A( ) 1 T 2 2 , ( ) tg 1T
（2）Bode图（对数频率特性）：
L( ) 20lg 1 T 2 2
对数幅频特性（用渐近线近似）：
L( ) 0 20lg A( ) 0 L( ) 20lg A( ) 20lgT
20
16 12
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 .0
10
8 4 0 -4 -8
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T
0
渐近线
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-10
0 .7 0 .8 1 .0
04:54
低频段渐进线 高频段渐进线
12
这是斜率为+20dB/Dec的直线。
5-2 典型环节的频率特性
（5-47） （5-48） （5-49） （5-50）
G( jω ) = −τ 2ω 2 + j 2ξτω +1 幅频特性和相频特性分别为
G( jω ) = 1 − τ ω
2
ω =0 1 ω=
2ξτω arctg τω ≤ 1 1 −τ 2ω2 ∠G( jω) = 180 + arctg 2ξτω τω > 1 1 −τ 2ω2
0
ξ
1−ξ 2
(5-41)
9
振荡环节的幅值特性曲线如图 5-6 所示。在 0 < ω < ωr 的范 围内，随着ω的增加， M (ω) 缓慢增大；当 ω = ωr 时， (ω)达到 M 最大值 Mr ；当 ω > ωr时，M (ω) 迅速减小， (ω ) = 0.707 时的频率 M 称为截止频率 ωc ；频率大于 ωc 后，输出幅值衰减很快。 当阻尼比 ξ > 1时，此 时振荡环节可等效成两个 不同时间常数的惯性环节 的串联， 即
(5-36)
7
2ξTω −arctg 1 − T 2ω2 ∠G( jω) = − π + arctg 2ξTω 1 − T 2ω2
Tω ≤ 1 Tω > 1
（5-37）
当 ω =0 当ω= 1 当 ω =∞
T
G( jω) = 1
G( jω ) =
G( j∞) = 0
∞
Im
ω
1 2ξ (ω = ) τ [G]
1
Re
0
ω =0
二阶微分环节频率特性图
（七） 不稳定环节 不稳定环节的传递函数为
1 G( s) = Ts − 1
G(不稳定环节有一个正实极点，对应的频率特性是 (5-52)
(完整版)系统开环频率特性
5-2 系统开环频率特性若系统开环传递函数由典型环节串联而成，即)()()()()(21s G s G s G s H s G n =开环频率特性为 )()()()()(21ωωωωωj G j G j G j H j G n = 12()()()12()()()n j j j n G j e G j e G j e ϕωϕωϕωωωω=∏=∑==ni ji ni i ej G 1)(1)(ωϕω可见，系统开环幅频特性为∏==nj i j G j H j G 1)()()(ωωω开环相频特性为∑==∠=ni i j H j G 1)()()()(ωϕωωωϕ而系统开环对数幅频特性为∑∏=====ni i n i i j G j G j H j G L 11)(lg 20)(lg 20)()(lg 20)(ωωωωω由此可见，系统开环对数幅频特性等于各串联环节的对数幅频特性之和；系统开环相频特性等于各环节相频特性之和。
综上所述，应用对数频率特性，可使幅值乘、除的运算转化为幅值加、减的运算，且典型环节的对数幅频又可用渐近线来近似，对数相频特性曲线又具有奇对称性质，再考虑到曲线的平移和互为镜象特点，这样，一个系统的开环对数频率特性曲线是比较容易绘制的。
【例5-1】已知系统开环传递函数为)1)(10(100)(++=s s s s G试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。
解 （1） 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即)1)(11.0(100)(++=s s s s G可见，系统开环传递函数由以下三种典型环节串联而成:放大环节:10)(1=s G 积分环节：s s G 1)(2=惯性环节:)1(1)(3+=s s G 和)11.0(1)(4+=s s G（2) 分别作出各典型环节的对数幅频、相频特性曲线，如图5—19所示.为了图形清晰,有时略去直线斜率单位.（3) 分别将各典型环节的对数幅频、相频特性曲线相加,即得系统开环对数幅频、相频特性曲线，如图5—19中实线所示.由系统开环对数幅频特性曲线可以看出，系统开环对数频率特性渐近线由三段直线组成，其斜率分别为20-、40-、60-dB/dec,直线与直线之间的交点频率按ω增加的顺序分别为两个惯性环节的交接频率1、10.系统开环对数幅频特性曲线与零分贝线的交点频率称为系统的截止频率，并用c ω表示。
自动控制原理第五章--频率法
G(s) s G(s) 1 Ts
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 jT G( j ) 1 T 2 2 j2T
① 纯微分环节： G( j ) j
A() , ()
2
P() 0, Q()
微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
当 o 时，误差为：2 20lg 1 T 22 20lgT
T L(),dB 渐近线,dB0.1 0.2来自0.5 1 2 510
-0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04
0
0
0 0 -6 -14
-20
最大误差发生在
o
处，为
1 T
误差,dB
0 -1
-0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2
时：A() 0，() 90
P() 0，Q() 0
2. 对数频率特性
A( ) K 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
G( j ) K jT 1
( ) tg1T
①对数幅频特性：L() 20lg A() 20lg K 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
二、频率特性的表示方法：
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。 是
R Ar0o ，C Ac
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 jT G( j ) 1 T 2 2 j2T
① 纯微分环节： G( j ) j
A() , ()
2
P() 0, Q()
微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
当 o 时，误差为：2 20lg 1 T 22 20lgT
T L(),dB 渐近线,dB0.1 0.2来自0.5 1 2 510
-0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04
0
0
0 0 -6 -14
-20
最大误差发生在
o
处，为
1 T
误差,dB
0 -1
-0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2
时：A() 0，() 90
P() 0，Q() 0
2. 对数频率特性
A( ) K 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
G( j ) K jT 1
( ) tg1T
①对数幅频特性：L() 20lg A() 20lg K 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
二、频率特性的表示方法：
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。 是
R Ar0o ，C Ac
5-2频率特性的极坐标图
25
极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下 （注意起始点）：
II型系统
0
I型系统
0
Im
0
0
Re
0 型系统
26
（1） 0型系统的开环幅相频率特性
① 开环传递函数
m
K( js 1)
G(s)H(s)
j 1 n
，nm
(Tis 1)
i 1
② 频率特性
m
K( j j 1)
G( j)H ( j)
j( jTi 1)
i 1
30
③ 幅相频率特性(奈氏图)绘制
当 0 时
当 时
G( j)H ( j)
K
K
e
j
2
j
即幅值趋于 ，而相角位移为
2
A() 0
() (n m) 90
渐近线与虚轴的距离：
Vx
lim
0
Re[G(
j)H (
j)]
此时Vx是开环增益的函数。
31
当n – m = 4 时， I型系统的奈氏图如下所示：
G( j) G( j1) G( j 2) ……
然后在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。
1
（2） 计算
分别计算G(j)的实部和虚部，在复平面上找到相应点，
用光滑曲线连起来。
（3）描点法
找到几个特殊点绘制大致图形
0
| G( j)|0
c
| G( jc )| 1
g
|G( jg )|
G( j)|0 G( jc )
当输入信号的频率ω：0→∞变化时，向量G(jω)的幅值和 相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为 极坐标图。
极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下 （注意起始点）：
II型系统
0
I型系统
0
Im
0
0
Re
0 型系统
26
（1） 0型系统的开环幅相频率特性
① 开环传递函数
m
K( js 1)
G(s)H(s)
j 1 n
，nm
(Tis 1)
i 1
② 频率特性
m
K( j j 1)
G( j)H ( j)
j( jTi 1)
i 1
30
③ 幅相频率特性(奈氏图)绘制
当 0 时
当 时
G( j)H ( j)
K
K
e
j
2
j
即幅值趋于 ，而相角位移为
2
A() 0
() (n m) 90
渐近线与虚轴的距离：
Vx
lim
0
Re[G(
j)H (
j)]
此时Vx是开环增益的函数。
31
当n – m = 4 时， I型系统的奈氏图如下所示：
G( j) G( j1) G( j 2) ……
然后在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。
1
（2） 计算
分别计算G(j)的实部和虚部，在复平面上找到相应点，
用光滑曲线连起来。
（3）描点法
找到几个特殊点绘制大致图形
0
| G( j)|0
c
| G( jc )| 1
g
|G( jg )|
G( j)|0 G( jc )
当输入信号的频率ω：0→∞变化时，向量G(jω)的幅值和 相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为 极坐标图。
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4
5
6
y(t ) ytr (t ) yss (t ) y(t ) yss (t )
二、频率特性的性质
1、与传函一样，频率特性也是一种数学模型
它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。 当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全 确定。
2、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之 比A（）和它们的相位移（）也随之改变。所以 A（）和（）都是的函数。这是由于系统中的 储能元件引起的。
3）输入量
r (t ) R sin t
4）稳态输出为 c(t ) C ()sin[t ()] 规定： ( j ) Re j 0 和 C j C e j R 为r(t)和c(t)的复振幅。
则定义输出量和输入量的复振幅之比
C j C e G j R( j) Re j 0
(1)
j j t j t 设 c t Cmcos t Re Cm e e =Re C e (2)
r t R mcos t Re R m e j e jt =Re R e jt (3)
rad / s
比例环节K＝10的对数坐标图
由定理2，并将公有项提出：
a j n a j n 1 a j a C e j t Re 1 n 1 n 0 b j m b j m 1 b j b R e j t Re 1 m 1 m 0
对数幅频特性图坐标分度
横坐标采用对数分度的原因：
绘制近似对数坐标图简单；
可以将频率范围很宽的系统的频率特性绘制
在一张不大的图上进行研究。
L( ) 20 lg A dB
L( ) dB
20 0.1 1 10 100
( )
rad / s
( ) 0
0
度 0.1 1 10 100
一、频率特性的定义：
在正弦信号输入下，系统输出的稳态分
量与输入量的复振幅之比。一般用G(j)表
示。
C ( j ) C ( )e j ( ) G( j ) A( )e j ( ) R( j ) Re j 0
1.理解方法一： （物理意义）
条件：
1）线性定常系统；2）零初始条件；
几何意义
线性系统
5 4 3 2 1 0 -1 -2
振幅比较
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 5
-3 -4 -5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
相 位 比 较
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
0
0.5
1
1.5
-4
-1
-6 y(t) -8 0 1 2 3 t/s 4 5 6
-1.5 -2
y(t) u(t) 0 1 2
u (t ) 2 cos(5t 30)
y(t ) ytr (t ) yss (t ) y(t ) yss (t )
u (t ) 2 cos( 20t 30)
3 t/s
(o)，横坐标对数分度lgω，表示频率ω，单位为
(rad/s)。
L( ) 20lg A( )(dB)
对数坐标系
0.01
0 .1
1
10
100
( )
0.01 0 .1
1
10
100
线 L( ) 性 40 分 20 度
dB
0.1 1 10 100
rad / s (弧度/秒)
由定理3，上式化为：
a 0 j n a1 j n 1 a n 1 j a n C m m 1 b0 j b1 j b m 1 j b m R
n n 1 c t aCmjcos t j Re Cm a nj1 e t a n C e jt 0 a1 e j j =Re C t r t bmcos mt b Re 1R m e jb e j R e jt R j j m b =Re m R 1 m 1 j 0
j
C j 0 e A()e j R
为线性定常系统的频率特性，其中 A( ) 为幅频特 性， ( )为相频特性。
*线性定常系统的频率特性是一个复数变量。
2.理解方法二：
定理1：微分运算和求实部运算的可交换性
d d j t j t Re Ae Re Ae Re jAe j t dt dt
三、频率特性的求取
1、根据定义求取
对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入， 求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复 振幅比即可得到。
2、根据传递函数求取
用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
3、通过实验的方法直接测得
四、频率特性的代数表示法
将极坐标表示的频率特性式变换为用复数表示 的直角坐标表示：
2
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输 入信号频率的变化而变化 。
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 6 yss(t)
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 2 1.5 1 0.5 yss(t)
4
2 幅值
0 u(t) -2
幅值 0 -0.5
3、频率特性是一种稳态响应 频率特性是在系统稳定的前提下求得的，对于 不稳定系统则无法观察到这种稳态响应。从理论上 讲，系统动态过程的稳态分量（从全解的形式中理 解）总可以分离出来。 系统微分方程的全解＝齐次通解+稳态特解
这个稳态特解就是稳态分量，即频率特性定义 中要用到的量。
4、实际系统的输出量都随频率的升高而幅值衰 减。 所以，可将实际系统看成一个“低通”滤波器。
函数中的s得到。（控制意义）
这就是最终的理解方法的落脚点。
微分方程 线性定常系统的数学模型 传递函数 频率特性
时域
复数域 频域
到此，我 们给全了 线性定常 系统数学 模型的三 大表示体 系。
微分 方程 传递 函数
系 统
s j
频率 特性
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2
对数分度，按 线 ( ) 900 性 分 度 -900
度
lg
0.1
1
10
100
rad / s (弧度/秒)
对数分度，按
lg
20log(K) 20
10
0
Ö± (dB) · ´
-10
-20
-30
-40 -2 10
10
-1
10 Êý Öµ
0
10
1
数值与分贝转换直线
L() 20lg A dB
第五章 线性系统的频域分析法
第二节
频率特性
5-2
项目
频率特性
内 容
教 学 目 的 理解频率特性和频域分析法。
教 学 重 点 频率特性的基本概念及三种几何表示法。
教 学 难 点 频率特性的理解方法。
讲授技巧及注 重点介绍表达式、波形图、系统输入输出信号、 意事项 各种图形表示法的相互联系。
给稳定的系统输入一个正弦
b0
dmr dt m
Re R e b1
d m 1 dt
Re R e b m 1 m 1
j t
由定理1，上式化为：
a 0 j n C e j t Re a1 j n-1 C e j t Re a n C e j t Re b 0 j m R e j t Re b1 j m-1 R e j t Re b m R e j t Re
五、频率特性的几何表示法
1.幅相频率特性曲线—— 又叫幅相曲线或极
坐标图或Nyquist（奈奎斯特）图，简称奈氏图；
2.对数频率特性曲线—— 又叫Bode（伯德）
图，简称伯氏图；
3.对数幅相曲线——又叫Nichocls(尼科尔斯)
图，简称尼氏图，一般用于闭环系统频率特性分析的。
1、幅相频率特性曲线：在极坐标中，以频率
பைடு நூலகம்
Cm j C Cm e j e A e j 结 G ( j ) R R m e j Rm
论 二
Cm A Rm
3.理解方法三：
任何线性定常系统的正弦传递函数，即
频率特性，都可以通过用jω代替系统传递
为参变量，表示频率特性G(j)的幅值A()和相角 ()之间关系的曲线。
Im[G(jω)]
jV
A( )
G j
( )
0
Re[G(jω)]
U
2、对数频率特性曲线： 在半对数坐标中，
表 示 频 率 特 性 的 对 数 幅 值 20lgA(ω) 与 对 数 频 率
lgω，相角()与对数频率lgω之间关系的曲线图 称为频率特性的对数坐标图或Bode图。 特点： (1)由对数幅频特性图和对数相频特性图组成； (2)纵坐标线性分度，分别表示幅频特性的G(jω) 的对数20lgA(ω)和相角()，单位分别为dB和度