5.2 刚体定轴转动定律
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5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
刚体的转动
动平面。
自由度S 3
1
3
3
6
引言2： 刚体角速度的特征
刚体角速度指的是自转角速度，与单质点的绕轴角 速度（单质点体积为零，没有自转）完全不同。
B
●
o p ●A
质点由A点运动到B点，对o轴的
角 位 移 是
，角速度
是 是
d
dt
； 对p
，角速度是
轴的角位移 d 。可见质
dt
点的绕轴角速度依赖于转轴的选
定义刚体对z轴的转动惯量：
z
ri
riz
J z ri 2mi
对质量连续分布的i刚体，Jz r 2dV
对于刚体，Jz 是常量。动力学方 程成为
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
J z
转动惯量是转动问题中系统惯性的
量度。上式可简写成：
M J
此称刚体定轴转动的转动定律。它
mi
2
2ri2
它与平动动能
Ek
m 2
2
2
mi ri2
i
v2 对应。
J 2
2
§5.2.1 几种典型刚体的转动惯量
1.均匀圆环对于中心垂直轴
选取质量元 dm
dm dl m Rd m d
R dm
2 R
2
d
dJ R2dm R2 m d
2
J 2 R2 m d mR 2
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角时的角 加速度，角速度。
解：非保守力 不作功，杆机 械能守恒。
势能零点
0
mg
自由度S 3
1
3
3
6
引言2： 刚体角速度的特征
刚体角速度指的是自转角速度，与单质点的绕轴角 速度（单质点体积为零，没有自转）完全不同。
B
●
o p ●A
质点由A点运动到B点，对o轴的
角 位 移 是
，角速度
是 是
d
dt
； 对p
，角速度是
轴的角位移 d 。可见质
dt
点的绕轴角速度依赖于转轴的选
定义刚体对z轴的转动惯量：
z
ri
riz
J z ri 2mi
对质量连续分布的i刚体，Jz r 2dV
对于刚体，Jz 是常量。动力学方 程成为
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
J z
转动惯量是转动问题中系统惯性的
量度。上式可简写成：
M J
此称刚体定轴转动的转动定律。它
mi
2
2ri2
它与平动动能
Ek
m 2
2
2
mi ri2
i
v2 对应。
J 2
2
§5.2.1 几种典型刚体的转动惯量
1.均匀圆环对于中心垂直轴
选取质量元 dm
dm dl m Rd m d
R dm
2 R
2
d
dJ R2dm R2 m d
2
J 2 R2 m d mR 2
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角时的角 加速度，角速度。
解：非保守力 不作功，杆机 械能守恒。
势能零点
0
mg
大学物理教程-刚体的定轴转动
刚体最简单的运动形式是: 平动和定轴转动。
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
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5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
刚体的定轴转动定律
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
第五章 刚体的定轴转动
单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
第五章刚体的转动
38
§5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。
质点系： 对点：
M外
dL dt
， t2 t1
M
外
dt
L2
L1
对轴：
M t2
t1 外z
dt
L2z
L1z
刚体： Lz J z
M t2
t1 外z
dt
J z2
J z1
——刚体定轴转动的角动量定理 39
z
mC a
mD
a
l
24
§5.4 转动定律应用举例
M
J
d
J
dt
刚体定轴转动的两类问题：
(t) (t) (t) J M
用求导的方法
M J (t) (t) (t) 积分加初始条件
25
例1.
R· 定轴
已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m， 绳轮间无相对
r P
a
r
dv d
r
r
d
r
r
刚体基点O×
dt dt
dt
r
v
瞬时轴
旋转加速度 向轴加速度 9
2.定转轴轴转固动定（，rota和tion
about a fixed axis）
退化为代数量 和
。
z ,
第五章 刚体的转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
§5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。
质点系： 对点：
M外
dL dt
， t2 t1
M
外
dt
L2
L1
对轴：
M t2
t1 外z
dt
L2z
L1z
刚体： Lz J z
M t2
t1 外z
dt
J z2
J z1
——刚体定轴转动的角动量定理 39
z
mC a
mD
a
l
24
§5.4 转动定律应用举例
M
J
d
J
dt
刚体定轴转动的两类问题：
(t) (t) (t) J M
用求导的方法
M J (t) (t) (t) 积分加初始条件
25
例1.
R· 定轴
已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m， 绳轮间无相对
r P
a
r
dv d
r
r
d
r
r
刚体基点O×
dt dt
dt
r
v
瞬时轴
旋转加速度 向轴加速度 9
2.定转轴轴转固动定（，rota和tion
about a fixed axis）
退化为代数量 和
。
z ,
第五章 刚体的转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
第5章 刚体
5.3.1 力矩对时间的积累效应 角动量守恒定理
1. 刚体的角动量
L
对于定点转动而言：
Lrp
r mv
描述物体转动状态的量
r
O
r sin
p mv
m
对于绕固定轴Oz的转
动的质元
m而i 言:
Li ri mivi
miri2k
对于绕固定轴Oz 转动 的整个刚体而言:
z
L
vi
mi
O ri
L N miri2 J
m1
Mr r
F’T1 FT1
a m1
a
m2 G1
m2
F’T2 FT2
a
G2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程:
FT1 G1 m1a G2 FT2 m2a
FT2r FT1r M r J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
现在将这些方法用于刚体的研究。
第5章 刚体
5.1 刚体运动学 5.2 刚体定轴转动定律 转动惯量 5.3 力矩对时间和空间的累积效应
5.1 刚体运动学
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体 ----物体内任意两点的距离不变。
刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的 质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量 元dm。每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的 运动是这些质量元运动的总和。
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象，
作为突破口； (3)根据受力情况，正确画出受力图； (4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原
力学.第5章.刚体的转动_778107259(1)
瞬时轴 旋转加速度 向轴加速度
四. 定轴转动 r r 对定轴转动， 都沿定轴， 对定轴转动， ω 和 α 都沿定轴，但两者方 向不一定相同，都退化为代数量 代数量。 向不一定相同，都退化为代数量。
7
z ω, α
r v
v = r⊥ω
dv dω at = = r⊥ = r⊥α dt dt
刚体
O×
r r⊥ P θ r r
猫从树枝和手的下落
26
J1 O1 r1
ω10
ω20
J2 O2 r2
【例1】如图两轮磨合问题， 】如图两轮磨合问题， 已知：初始参量（ 已知：初始参量（J1, ω10, r1） 和（J2, ω20, r2）， 求：接触达稳定后的 ω′1和ω′2
解：此系统角动量并不守恒，因为 1和O2处的 此系统角动量并不守恒，因为O 轴力产生的力矩和不为零。 轴力产生的力矩和不为零。 应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。 应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。 f1 设摩擦力方向如图示， 设摩擦力方向如图示，有：
3
2. 转动 — 基本的运动形式之二 一点固定不动， 定点转动： 刚体只有一点固定不动 定点转动： 刚体只有一点固定不动，整体 绕通过该点的瞬时轴转动。 瞬时轴转动 绕通过该点的瞬时轴转动。 定轴转动： 定点转动的瞬时轴成固定轴。 定轴转动： 定点转动的瞬时轴成固定轴。 3. 平面运动：刚体各点运动都平行于某固定 平面运动： 平面，各点轨道面平行或重合。 平面，各点轨道面平行或重合。 4. 一般运动：不受任何限制的自由运动， 一般运动：不受任何限制的自由运动， 是下面两种运动的组合： 是下面两种运动的组合： 随基点 O（可任选）的平动 （可任选） 的瞬时轴的定点转动 绕通过基点 O 的瞬时轴的定点转动
四. 定轴转动 r r 对定轴转动， 都沿定轴， 对定轴转动， ω 和 α 都沿定轴，但两者方 向不一定相同，都退化为代数量 代数量。 向不一定相同，都退化为代数量。
7
z ω, α
r v
v = r⊥ω
dv dω at = = r⊥ = r⊥α dt dt
刚体
O×
r r⊥ P θ r r
猫从树枝和手的下落
26
J1 O1 r1
ω10
ω20
J2 O2 r2
【例1】如图两轮磨合问题， 】如图两轮磨合问题， 已知：初始参量（ 已知：初始参量（J1, ω10, r1） 和（J2, ω20, r2）， 求：接触达稳定后的 ω′1和ω′2
解：此系统角动量并不守恒，因为 1和O2处的 此系统角动量并不守恒，因为O 轴力产生的力矩和不为零。 轴力产生的力矩和不为零。 应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。 应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。 f1 设摩擦力方向如图示， 设摩擦力方向如图示，有：
3
2. 转动 — 基本的运动形式之二 一点固定不动， 定点转动： 刚体只有一点固定不动 定点转动： 刚体只有一点固定不动，整体 绕通过该点的瞬时轴转动。 瞬时轴转动 绕通过该点的瞬时轴转动。 定轴转动： 定点转动的瞬时轴成固定轴。 定轴转动： 定点转动的瞬时轴成固定轴。 3. 平面运动：刚体各点运动都平行于某固定 平面运动： 平面，各点轨道面平行或重合。 平面，各点轨道面平行或重合。 4. 一般运动：不受任何限制的自由运动， 一般运动：不受任何限制的自由运动， 是下面两种运动的组合： 是下面两种运动的组合： 随基点 O（可任选）的平动 （可任选） 的瞬时轴的定点转动 绕通过基点 O 的瞬时轴的定点转动
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴转动的物理规律。
其中，定轴转动指围绕一个固定轴心旋转，而刚体则指形状不变的物体。
该定律的公式可以表示为：
τ= Iα
其中，τ表示刚体所受的力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，具体定义为：
I = ∫r2dm
其中，r表示离定轴的距离，dm表示质量元素。
这个公式的意义是，刚体所受到的力矩与刚体的转动惯量和角加速度成正比。
因此，当转动惯量越大或角加速度越大时，刚体所受到的力矩也相应增大。
需要注意的是，该公式适用于定轴转动的刚体，而对于非定轴转动的刚体，需要使用更为复杂的公式来描述其运动规律。
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
5刚体的定轴转动
2J
yc
m(R
l )2 2
R
l
R
m
m
2( 2 mR2 mR2 mlR ml2 )
5 14 mR2 2mlR ml2
4
(2)J //
2J y//
2
2 5
mR2
5
2
4 mR2
5
39
例4：从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的
圆板，所形成的圆洞中心在距薄板中心R/2处，所剩薄
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
6
7
三、 刚体的定轴转动
定轴转动：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。
角位移，角速度和角加速度均相同； 特点： 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周
运动。
角位移
角速度
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
11
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+αt 得
0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数
N 分别为
板的质量为m，求此时薄板对于通过原中心而与板面垂
直的轴的转动惯量。
JO
J DO
J dO
1 2
MR 2
1
2
md
R 2
2
md
(
R )2 2
1 2
MR 2
3 2
md
R 2
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
§5.2-力矩---刚体绕定轴转动微分方程
F f m a i i
的切向加速度，质元沿
法向运动的科里奥里加
i
i
速度（定轴转动刚体没 有这种运动）
圆周轨迹切线投影
Fi fi miai
同乘以 ri
Fi ri fi ri miai ri miri2β ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
外内
力 Fi
力 fi
miai
圆周轨迹切线投影
同乘以 ri
Fi fi miai Fi ri fi ri miai ri miri2β
ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
§6.1 力矩
一. 力矩
力
?
加速度 角加速度
质点运 动状态 的改变
转动刚体 状态的改
变
刚体绕定轴转动微分方程
z
F//
F
hr
M z (F ) F r
F F Fn
Fh
力矩是代数量 使刚体逆时针加速转动，为正数；否则为负。 力矩取决于力的大小、方向和作用点位置
二. 刚体定轴转动微分方程
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 解 dm 质元 dm m dx
l
dm 重力矩 dM gdm x cos
O
ml
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
转动定律 M
J J 1 ml2
3
的切向加速度，质元沿
法向运动的科里奥里加
i
i
速度（定轴转动刚体没 有这种运动）
圆周轨迹切线投影
Fi fi miai
同乘以 ri
Fi ri fi ri miai ri miri2β ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
外内
力 Fi
力 fi
miai
圆周轨迹切线投影
同乘以 ri
Fi fi miai Fi ri fi ri miai ri miri2β
ai=ri
对所有质元求和
Fi ri fi ri ( miri2 )β
§6.1 力矩
一. 力矩
力
?
加速度 角加速度
质点运 动状态 的改变
转动刚体 状态的改
变
刚体绕定轴转动微分方程
z
F//
F
hr
M z (F ) F r
F F Fn
Fh
力矩是代数量 使刚体逆时针加速转动，为正数；否则为负。 力矩取决于力的大小、方向和作用点位置
二. 刚体定轴转动微分方程
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 解 dm 质元 dm m dx
l
dm 重力矩 dM gdm x cos
O
ml
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
转动定律 M
J J 1 ml2
3
52--定轴转动定律
dt
Mdt d(J) 刚体定轴转动角动量定理微分形式
t
J
Mdt
t0
J00 d(J) J J00
刚体定轴转动角动量定理积分形式
4
L (miviri ) (miri2 ) ( miri 2 ) J
J miri 2 称为刚体对转轴的转动惯量
3
L J
于是有 M d(J) J d J
dt
dt
刚体定轴转动定理： M J
F ma
对 M d (J) 进行处理得到：
大小：M Fr sin
M
F
Or
d
Pr
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
二、刚体定轴转动定理
在以角速度ω作定轴转动的刚体
内取一质点 mi ，则其对OZ轴
的角动量为：
o ri
v
P
Li miviri
对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
刚体转动定律
1
一、作用于定轴刚体的外力矩
1 .力对固定点的矩
M
rF
2 .力对固定轴的矩
（1）力直于转轴
这种情况相当于质点绕固 定点O转动的情形。
（2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴
的分量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效果，
该力对转轴的 力矩 为零。 M r F
Mdt d(J) 刚体定轴转动角动量定理微分形式
t
J
Mdt
t0
J00 d(J) J J00
刚体定轴转动角动量定理积分形式
4
L (miviri ) (miri2 ) ( miri 2 ) J
J miri 2 称为刚体对转轴的转动惯量
3
L J
于是有 M d(J) J d J
dt
dt
刚体定轴转动定理： M J
F ma
对 M d (J) 进行处理得到：
大小：M Fr sin
M
F
Or
d
Pr
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
二、刚体定轴转动定理
在以角速度ω作定轴转动的刚体
内取一质点 mi ，则其对OZ轴
的角动量为：
o ri
v
P
Li miviri
对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
刚体转动定律
1
一、作用于定轴刚体的外力矩
1 .力对固定点的矩
M
rF
2 .力对固定轴的矩
（1）力直于转轴
这种情况相当于质点绕固 定点O转动的情形。
（2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴
的分量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效果，
该力对转轴的 力矩 为零。 M r F
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程解析
m
R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
10
例3 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解: 取半径为r宽为dr 的薄圆环: 圆环质量:
R
h
dm 2πrdr h
圆环转动惯量:
r
dJ r dm 2πhr dr
z
mk ak Fk f k
o
vk
在圆轨迹切线方向 投影： mk ak mk rk Fk f k 两边乘以rk，得：m
2 k k
mk
r Fk rk fk rk
对整个刚体求和,得：
( m r ) Fk rk f k rk
力不在转动平面内时:
h θ
r
A
F Fn F//
F F
M F r sin F h Fτ r
z z
r
F
F
矢量形式： M r F
方向由右螺旋法则确定。
h θ
A
Fn
F
2
二、刚体绕定轴的转动微分方程 作用在 mk 上的合外力 Fk ，合内力 f k
L
0
1 2 2 x dx mL 3
2
O
m
dx C
L
x
1 2 J C x dx mL L /2 12
L /2
m
O
2
L dx
x
1 2 L J D J C mL J C m 此关系具有普遍意义 4 2
13
平行轴定理
J D J C mL
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因为各质元角动量方向相同， 因为各质元角动量方向相同， 所以合矢量的大小就是分矢量 大小的直接相加 因为 L = L = rmυ S
mi
α r P
r
i
i i
υi = riω
L = ω(∑ mi ri2 )
i
定义刚体对定轴 定义刚体对定轴 J = 的转动惯量
3
∑m r
i
2
i i
r r L = Jω
对于转轴z，
r ri α
A
r F τ
r r r M z = ri × F⊥
不产生对z轴的力矩
α
Fn
r r F ⊥
M z = ri F⊥ sin α = F⊥ h
F ——平行于z轴 平行于 //
在转动平面内 F ——在转动平面内 产生对z轴的力矩 ⊥
r rz
O
r r
α
r F ⊥
y
x
力对任意点的力矩， 力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影 等于该力对该轴的力矩
2 第5章 刚体的定轴转动
质点对定点 的动量矩 角动量) 质点对定点o的动量矩 角动量 定点 的动量矩(角动量
r r r r r L = r × P = r × mv = Lx x + Ly y + Lz z
2. 任一质量元的定轴角动量大小为
对z轴的 轴的 动量矩
r LO
Liz = ri miυi
§5.2 刚体绕定轴转动
(质点系角动量定理微分形式的简化) 质点系角动量定理微分形式的简化) 质点系角动量定理微分形式： 质点系角动量定理微分形式：
r z Fz
r F
r r dL M = dt
r 1. 力 F 对 O点的力矩
r r r Mo = r × F = Mx x + M y y + Mz z
4 第5章 刚体的定轴转动
刚体对定轴的角动量
第5章 刚体的定轴转动
刚体对定轴的转动惯量 刚体对定轴的角动量
J = ∑ mi ri 2
i
r r L = Jω
3. 刚体定轴转动的转动定律
r r r dL dω M = =J dt dt
r v M = Jβ
r r F = ma
定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动的牛顿第二定律 应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。 应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。
O
对于过O点Z 轴，力矩可分解为两个分量
A
r F ⊥
r r
r F ⊥
y
r r r r r r M O = Mz + M⊥ = r ×(F⊥ + Fz )
1 第5章 刚体的定轴转动
x
r r r r r r MO = Mz + M⊥ = r ×(F⊥ + Fz )
r z Fz
Oi h
r F
r r r r = (ri + rz ) × ( F⊥ + Fz ) r r r r r r = (ri × F⊥ ) + (rz × F⊥ + ri × Fz )
mi
α r P
r
i
i i
υi = riω
L = ω(∑ mi ri2 )
i
定义刚体对定轴 定义刚体对定轴 J = 的转动惯量
3
∑m r
i
2
i i
r r L = Jω
对于转轴z，
r ri α
A
r F τ
r r r M z = ri × F⊥
不产生对z轴的力矩
α
Fn
r r F ⊥
M z = ri F⊥ sin α = F⊥ h
F ——平行于z轴 平行于 //
在转动平面内 F ——在转动平面内 产生对z轴的力矩 ⊥
r rz
O
r r
α
r F ⊥
y
x
力对任意点的力矩， 力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影 等于该力对该轴的力矩
2 第5章 刚体的定轴转动
质点对定点 的动量矩 角动量) 质点对定点o的动量矩 角动量 定点 的动量矩(角动量
r r r r r L = r × P = r × mv = Lx x + Ly y + Lz z
2. 任一质量元的定轴角动量大小为
对z轴的 轴的 动量矩
r LO
Liz = ri miυi
§5.2 刚体绕定轴转动
(质点系角动量定理微分形式的简化) 质点系角动量定理微分形式的简化) 质点系角动量定理微分形式： 质点系角动量定理微分形式：
r z Fz
r F
r r dL M = dt
r 1. 力 F 对 O点的力矩
r r r Mo = r × F = Mx x + M y y + Mz z
4 第5章 刚体的定轴转动
刚体对定轴的角动量
第5章 刚体的定轴转动
刚体对定轴的转动惯量 刚体对定轴的角动量
J = ∑ mi ri 2
i
r r L = Jω
3. 刚体定轴转动的转动定律
r r r dL dω M = =J dt dt
r v M = Jβ
r r F = ma
定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动的牛顿第二定律 应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。 应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。
O
对于过O点Z 轴，力矩可分解为两个分量
A
r F ⊥
r r
r F ⊥
y
r r r r r r M O = Mz + M⊥ = r ×(F⊥ + Fz )
1 第5章 刚体的定轴转动
x
r r r r r r MO = Mz + M⊥ = r ×(F⊥ + Fz )
r z Fz
Oi h
r F
r r r r = (ri + rz ) × ( F⊥ + Fz ) r r r r r r = (ri × F⊥ ) + (rz × F⊥ + ri × Fz )