2014年高考理科数学试卷word版(全国新课标二)
2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析)
绝密★启用前2014年高考全国2卷理科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题（题型注释）1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i=+，则12z z =（ ）A.- 5B.5C.- 4+ iD.- 4 - i 2．设向量a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a ⋅b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.53．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A.5B.5C.2D.14．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.455．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.1727B.59C.1027D.136．执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.77．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.38．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.33B.93C.6332D.949．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A.110B.25 C.30 D.210．设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题（题型注释）11．()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)12． 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.13．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 14．设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x的取值范围是________. 评卷人得分三、解答题（题型注释）15．已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12na +是等比数列，并求{}na 的通项公式； （2）证明：1231112n a a a ++<…+. 16．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积.17．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2 2 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt =-18．设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N=，求a,b.19．已知函数()f x =2x x e e x---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）20．如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E 。
2014年高考理科数学(全国二卷)真题
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）6月7日15：00-17：00注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝（ ）（A ）{1} （B ）{2}（C ）{0,1}（D ）{1,2}（2）设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝（ ）（A ）-5（B ）5（C ）-4＋i（D ）-4-i （3）设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a -b |＝6，则a ·b ＝（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）5（4）钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝（ ）（A ）5（B ） 5（C ）2（D ）1（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） （A ）0.8（B ）0.75 （C ）0.6（D ）0.45（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）姓名______________________ 准考证号__________________________________（A ）1727（B ）59 （C ）1027（D ）13（7）执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝（A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）7（8）设曲线y ＝ax -ln (x ＋1)在点（0，0）处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝（ ）（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则z ＝2x －y 的最大值为（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）3 （D ）2（10）设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） （A ）334（B ）938 （C ）6332 （D ）94（11）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） （A ）110（B ）25（C ）3010（D ）22（12）设函数f (x )＝3sin πxm ．若存在f (x )的极值点x 0满足x 02＋[f (x 0)]2＜m 2，则m的取值范围是（ ）（A）(－∞，－6)∪(6，＋∞)（B）(－∞，－4)∪(4，＋∞)（C）(－∞，－2)∪(2，＋∞)（D）(－∞，－1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年高考理科数学解析WORD版(新课标II卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合0,1,2M =｛｝，2{|320}N x x x =-+≤，则MN =( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】D【曹亚云·解析】直接检验法把0,1,2M =｛｝中的数，代入不等式2320x x -+≤，经检验1,2x =满足。
2．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A ．5- B ．5 C ．4i -+ D ．4i --【答案】A 【曹亚云·解析】12z i =+，12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，22z i ∴=-+。
12415z z ∴=--=-。
3．设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=( )A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【曹亚云·解析】由||10a b +=两边平方得，22210a b a b ++⋅=。
由||6a b -=两边平方得，2226a b a b +-⋅=。
联立方程解得，1a b ⋅=。
4．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC =，则AC =( ) A ．5 B ． C ．2 D ．1 【答案】A【曹亚云·解析】因为111sin 21sin 222ABCSac B B ==⨯⨯⨯=，所以2sin 2B =，所以4B π=，或34B π=。
当4B π=时，经计算ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。
所以34B π=，使用余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-5=。
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075．，连续两天优良的概率是06．，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A ．08．B ．075．C ．06．D ．045． 【答案】A【曹亚云·解析】设某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是p 。
2014年高考全国卷新课标II试卷(WORD版)
绝密★启用前:2014年6月7日9:002014年普通高等学校招生全国统一考试语文注意事项：1．本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第 I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1〜3题.周代，尽管关于食品安全事件的记我不多，但我们还是看到，由于食品安全关系重大，统治者对此非常重视并作出了特别规定.周代的食品交易是以直接收获采摘的初级农产品为主，所以对农产品的成熟度十分关注.据《礼记》记栽，用代对食品交易的规定有：“五谷不时，果实未熟，不鬻于市.”这是我国历史上最早的关于食品安全管理的记录.汉唐时期，食品交易活动非常频繁，交易品种十分丰富.为杜绝有毒有害食品流入市场，国家在法律上作出了相应的规定.汉朝《二年律令》规定：“诸食鳙肉，鳍肉毒杀、伤、病人者，亟尽孰燔其余•……当燔弗燔，及吏主者，皆坐辅肉赚，与盖W法.即肉类因腐坏等因素可能导致中毒者，应尽快焚致，否则将处罚当事人及相共官贝.唐朝《唐律》规定：“脯肉有毒，曾经病人，有余者速焚之，违者杖九十.若故与人食并出卖，令人病者，徒一年；以故致死者，绞.即人自食致死者，从过失杀人法• •从f唐律》中可以看到，在唐代，知脯肉有毒不速焚而构成的刑事犯罪分为两种情况，处fl各不相同：一是得知脯肉有毒时，食品的所有者应当立刻焚鲠所剩有毒食品，以绝后患，否则杖九十；二是明知脯肉有毒而不立刻焚毁，致人中毒，则视情节及后■以科宋代，饮食市场空前繁荣•孟元老在《东京梦华录》中，追迷了北宋都城介封济的城市风貌，并且以大量笔墨写到饮食北的昌盛，书中共提到一I多家店镝以及相关行会. 商品市场的繁荣，不可避免地带来一些问题，一些商敌“以物市于人，敝恶之场，婢为新奇；假伪之物，饰为真实.如绢帛之用胶糊，米麦之增温润，肉食之灌以水，药材之语文试题第1页(共10页）易以他物_ 有的不法分子甚直采肩雄塞沙，病奉吹气、禽料以灰之:侠:=7了加嫌对食麻者必供加入行会，而行♦必领对商*质m “市律谓之此名•不以其物小大，扭合充用者，抒为行，*班卜亦有职.”（《都城纪肚》丄商人们依营类伽成行会，_、手工北和其他服务性行业的相头人贝必领加入行会极织，并换行*登记在籍，否则就不能从业炫营.各个行会对生产狡营的商品质量进行把先行会的首领作为拉保人，负责评定物价和监察不法行为.除了由行会把关外，宋代法律也鲢承了«唐律》的规定，对有毒有害食品的销售者予以严想•上述朝代对食品流通的安全管理及有关法律举授，可以纷我们很多名承•也可以为现今我国食品质量和安全监管模式的合理构建提供新的思路和路径选择.(摘编自张炸达《古代食品安全监管述略》>1.下列关于原文第一、二两段内容的表述，不正确的一项是周代统治者严禁未成熟的果实和谷物进入流通市场，以防止此类初级农产品引起食品安全方面的问题。
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标二卷理科数学
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。
（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.（14）函数)sin()(ϕ+=xxf—2ϕsin xcos的最大值为_________.（15）已知函数()f x的图像关于直线x=2对称，zxxk)0(f=3，则=-)1(f_______.（16）数列{}na满足1+na=na-11，2a=2，则1a=_________.三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.(I)求C和BD;(II)求四边形ABCD的面积。
（18）（本小题满分12分）如图，四凌锥p—ABCD中，zxxk底面ABCD为矩形，PA上面ABCD，E为PD的点。
（I）证明：PP//平面AEC;(II)设置AP=1，AD=3,三凌P-ABD的体积V=43，求A到平面PBD的距离。
（19）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。
根据这50位市民（I ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（II ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率；（III ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。
（20）（本小题满分12分）设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。
（I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；（II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅱ卷)数学试题(理科)解析版
2014年新课标II 卷数学试卷（理科）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合M ={0,1,2}，20{|32}N x x x =-≤+，则M N ⋂=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2} 【答案解析】D解析：把0，1，2代人2203x x +≥-验证，只有1，2满足不等式，故选D. 考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题.2. 设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A. -5B.5C.-4+iD.-4-i 【答案解析】A. 解析：12i z =+ 与2z 关于虚轴对称，∴2z =-2+i∴12(2i)(2i)5z z =+-+=- ，故选A. 考点：考查复数的基本知识，简单题. 3. 设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ∙=（ ）A. 1B.2C. 3D.5 【答案解析】A.解析：||10,6|4=41=+=-=∴+⋅+⋅+∴⋅∴⋅=-=2222a b a b a 2a b b a 2a b b a b a b 故选A.考点：考查平面向量的数量积，中等题. 4. 钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC =AC =（ ）A.5 【答案解析】B. 解析：∵△ABC 面积为12，1,AB BC ==∴111sin45,135222B B B⋅=⇒=⇒=︒︒当B=45°时，222cos451222111BCAAC AB BCCAB⋅︒=+-⋅=⇒=-=+此时，AC=AB=1,故A=90°，这与△ABC为钝角三角形矛盾.当B=135°时，222cos1351221225AC AB B BCC AACB=+-⋅︒=++⋅=⇒=故选B.考点：考查正余弦定理的应用，中等题.5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B.0.75C. 0.6D.0.45【答案解析】A.解析：设第i天空气优良记着事件iA，则1(A)0.75,(A A)0.6(i1,2,)i i iP P+=== , ∴第1天空气优良，第2天空气也优良这个事件的概率为12211()0.60.8((|).75)0A APAAPP A===，故选A.考点：考查条件概率的概率，简单题.6. 如图，网格纸上正方形小格子的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（）A.1727B.59C.1027D.13【答案解析】C.解析：毛胚的体积23654Vππ⋅⋅==制成品的体积221322434Vπππ⋅⋅+⋅⋅==∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：13454101127VVππ-=-=，故选C.考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7. 执行右图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( )A.4B.5C.6D.7 【答案解析】D.解析：第1次循环M=2,S=5,k=1 第2次循环，M=2,S=7,k=2 第3次循环k=3>2,故输出S=7考点：考查算法的基本知识，简单题.8. 设曲线y=ax -ln (x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ）A.0B.1C.2D.3 【答案解析】D. 解析：0ln(121)1,1|x y ax x y a x y a ==-+∴'=-'=∴-+= 故a=3，选D.考点：考查导数的几何应用，中等题.9. 设x ，y 满足约束条件03103507x y x x y y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥-⎩+，则z =2x -y 的最大值为( )A.10B.8C.3D.2 【答案解析】B. 解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10. 设F 为抛物线23C y x =：的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）C. 6332D.94【答案解析】D 解析：∵23y x =∴抛物线C 的焦点的坐标为：()3,04F 所以直线AB 的方程为：330an )t (4y x ︒-=故23)43x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒ ∴弦长12||=3122x x AB ++= 又∵O点到直线:430AB x --=的距离38d =∴13129428OAB S ⋅⋅==,故选D. 考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为困难题.11. 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA=90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 的夹角的余弦值为( ) A.110 B. 25C. 10D.2【答案解析】C.解析：设AC =2，12BC CA CC ∴===(2,0,0),(1,0,2),(0,2,0),(1,1,2)A N B M ∴(1,1,2),(1,2,0)BM AN ∴=-=-cos ,||||6AN BM AN BM AN BM ⋅∴<>====⋅故选C. 考点：考查空间夹角问题.中等题.12. 设函数)n(f x xmπ，若存在f (x )的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A.,6()(6,)∞-⋃+∞-B. ,4()(4,)∞-⋃+∞-C. ,2()(2,)∞-⋃+∞-D.,1()(1,)∞-⋃+∞- 【答案解析】C.解析：()()cosxx f x f m m x mππ=⇒'=令()0cos0()2xxx k k Z mf mππππ'=⇒=⇒=+∈(21)2k m x +=∴ ，即f (x )的极值点0(2)1()2mx k k Z =+∈ ∵存在f (x )的极值点0x ，满足22200()f x x m +<∴ 2220(2)m 31sin []2x k m mπ+<+ 又∵222202sin )(21)m sin s s in in (222()1k k x k m m ππππππ===++⋅=+ ∴存在k Z ∈，使得221[]2(2)m 3k m ++< ∴存在k Z ∈,使得223(2)141k m +<-∴223(21)13[1]|m |24414max k m +<-=⇒->= ，故选C. 考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识，为困难题.第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a = .（用数字填写答案）【答案解析】12解析：1010110(0(),1,,10)r r rr T C x r x a a -+==+展开式的通项为∴10()x a +展开式中7x 的系数为31031125C a a ⇒==考点：考查二项展开式的通项公式，简单题.14. 函数()sin(2)2sin cos()x x f x ϕϕϕ=+-+的最大值为 .【答案解析】1． 解析：()(2)2()cos()sin 2sin cos()cos()si ()sin()cos sin()cos n sin .f x sin x sin cos x x f x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+-+∴++-++=-+==+故填写1.考点：本题考查和差角公式，为中等题.15. 已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，f (2)=0,若f (x -1)>0,则x 的取值范围是 . 【答案解析】(-1,3).解析：作出函数f (x )的示意图，如图所示因为(1213)201x x f x ⇒-<-<⇒--<<> 考点：本题考查函数的单调性与奇偶性.简单题.16. 设点0(,1)M x ，若在园22:1O x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45°，则0x 的取值范围是 . 【答案解析】[-1,1]解析：设N 点的坐标为,s (cos )in θθ （1）当00,1x ≠± 时 ∵0(,1)M x 点的坐标为 ∴OM ,MN 的斜率分别为：001s n c s ,i o 1OM MN k x k x θθ-==- ∵45OMN ∠=︒ ∴1tan 45()1MN OMMN OM MN OM MN OMk k k k k k k k -︒=±⇒=-++±即000011sin 1()11sin cos cos ()x x x x θθθθ--±-=--+⋅*取正号时，化简（*）式得：2000(1)sin 11()cos x x x θθ+-=++ 取负号化简（*）式得：2000(1)sin 1(1)cos x x x θθ++=+-200)1x θϕ+=+2400011||1x x x ≥+⇒≤⇒≤ 故0||<1x 且00x ≠（2）当00x =时，取(1,0)N ,此时满足题设. （3）当01x =±时，取(0,1)N ，此时也满足题设. 综上所述，011x -≤≤考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题. 三、解答题（本大题共8小题） 17. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (II)证明2111132n a a a +++<. 【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒=∴{12}n a +是首项为32 ，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213111111231(13)nn a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+ 12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<-考点：考查等比数列的通项公式,求和公式，考查放缩法证明不等式的技巧.中等题. 18. (12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，D A BC P A ⊥平面，E 为PD 中点. (I)证明:PB ||平面AEC ;(II)设二面角D-AE-C 为60°，AP =1，AD =E-ACD 的体积.【答案解析】解析：(I)连接EF ,因为四边形ABCD 是矩形，故F 为AC 中点，又因为E 为PD 中点，故EF 是△PBD 的中位线，从而||EF PB ,故||.PB AEC 面(II)建立坐标系如图所示.因为1,AP AD ==，E 为PD 中点，∴1(0,0,1),)0)2,P D E ，设||CD a = ，则(,0,0),(B a C a∴31(0,,),(,3,0)2AE AC a == ∵PA ABCD ⊥面 ，ABCD 平面是矩形∴(,0,0)PAD AB AB a ⊥⇒=面是平面ADE 的法向量设平面AEC 的法向量为=(,,)n xy z ，则31002n AE yz n AC ax ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令y =，得,33x a z =-=- ，故3(3)n a=-- ∵二面角D AE C --的大小为60° ∴||||cos60||n AB n AB ⋅︒===⋅解得32a =∵三棱锥E ACD -的高为111||1222PA =⋅=∴1111131(||||)(||)()32238222E ACDAD CD PV A-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅==考点：考查空间线面关系，椎体的体积计算和向量法解决立体几何问题的技能，中等题.19. (12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(I)求y关于t的线性回归方程；(II)利用(I)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：2()()()ˆni iiniit ytt ybt=---∑∑，ˆˆa by t=-.【答案解析】解析：（I）7117221ˆ0.5.28ˆˆ 4.30.542()()14(.)3i iiiit t ybtty bya t==∑====∑=-=-⋅--=-∑∑∴回归方程为：0.5 2.3y t=+(II)由于ˆ0.50b=>，故y与t是正线性相关的，因此从2007年到2013年农村居民的人均纯收入是逐年上升的.当9t=时，9 2.3 6.80.5y⋅+==，即2015年农村居民的人均纯收入预测将达到6.8千元.考点：考查线性回归方程，线性相关的概念的应用.难度中等.20. (12分)设12,F F分别是椭圆22221(0):x yCaa bb+=>>的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点是N . (I)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率; (II)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1|MN |5||F N =，求a ，b . 【答案解析】解析：（I ）∵2MF x ⊥轴（不妨设M 在x 轴的上方）∴M 的坐标满足方程组222221(,)x b M c a a y bx c⎧⎪⇒⎨⎪⎩=+= ∵MN 的斜率为34∴2234322b a ac cb =⇒= ∵222222()3ac a a c c b =-⇒-=又∵222(1)32320ce e e e e a⇒+-⇒-=== ∴椭圆离心率为12e = .(II)∵MN 在y 轴上的截距为2，O 为12,F F 的中点 ∴M 的坐标为(c ,4)(不妨设M 在x 轴的上方)由（I ）得24b a= (*) ∵1||5||MN NF = ∴11||4||MF NF = 作1NF x ⊥轴于T ,由于112~TF F N MF ,故有24,4M N Ny cy c x =--=- ∴321,14N M N y y c x =-=-=- ，即,3()12c N --把N 点的坐标代人椭圆方程得：2221419c a b+=∴2222222)111(9(9544**)4a b b a b a b +=⇒-=-把（*）与（**）联立得：7a b ==⎧⎪⎨⎪⎩考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21. (12分)已知函数()e 2x x f x e x -=--.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值;(III)已知1.4142 1.4143，估计ln2的近似值(精确到0.001).【答案解析】解析：(I)∵22()x e x f ex ---=∴2()2x x x f e e -'=≥+=-∴()f x 在R 上递增.（II ）()2x x e e f x x --=-224(2)x x x x f e e ---∴=22()(2)4()()4b(4)2x x x x g x f x bf x e x e x e e --∴=-=-----22()()4b()0((0,)4)2x x x x g x e e e x x e x ----∴=-->∀+∞-∈（注意这里用分离变量法处里恒成立无法进行下去!）∵22()0,(2)22420x x x x f e x e f x e e --'=≥'=++-≥-()(0)0,(2)(0)0f x f f x f ∴>=>=又∵22()2244(2)x x x x g e b e e x e --+--+-'=2()24(81(()))x x x x g x e e e b e b --+-++∴-'=2[()2(1[])2])(x x x x e b e e e --⋅=-+-+-令()02(11)x x x g e b x e e b -+=-=-'=⇒⇒（1）当1b ≤时2(10()0)x x e e b g x -≥⇒'+-≥-∴()(0)0g x g >= 成立,故1b ≤成立.(2)当12b <≤时),2(201b <-≤ 而2x x e e -+≥ ，此时22(1)x x b e e -≥≥-+∴()0()(0)0x x g g g '≥⇒>= 成立，故12b <≤（3）当2b >时2221((1)12)b b b b b b =-+>--⇒->2222(2)4422(2)22b b b b b b b b b -⇒--=-+<--<=-∴ 1ln(1001b b <⇒--<<又∵0112b b >⇒->-∴l 10n(b ->若x R ∈时， 2(1))0(0x x g e b x e -+-->⇔>'ln(1x b ⇔<- 或ln(1x b >-2(1))0(0x x g e b x e -+--<⇔<'ln(1ln(1b x b ⇔-<<-∴区间(ln(1)1b b --是()g x 的减区间∵(0)0g =∴ (ln(10g b -<即在区间ln(1)0(,b -上()0g x < 这与()g x 在区间(0,)+∞上大于0矛盾，故(2,)b ∈+∞/综上所述，(,2]b ∈-∞ ，故2max b = .(III)由（I ）得，当0x >时，()(0)0f x f >= ，由(II)得，当2b ≤时，(2)4()00()0f x b f x x g x >⇒->⇒> ，从而(2)8()0f x f x ->的近似值，该怎么取x 的值代人是显然的）令1l x =，则1111221111(2)8()48(2)x x x x f x f x x x e e e e -->-->--⇒∴132ln 2ln 2)ln 22212->⇒>-由（II ）的证明过程（3）知道，当b >2时，在区间ln(1]0[,b -上()0g x <.若ln(1ln 101b b ≤≤-+⇒≤≤，令1b =， 由()0g x <，得2211)(()2l 0e g x e e e --=----<∴ln 2<=∴ln 2<<下面进行误差估计：∵1.4142 1.4143<1.414230.6928121288.316⋅->==∴1819.412828430.6934<= ∴符合精度要求的值为ln 20.693(0.001)≈精确到 .考点：本题考查利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论的能力及误差估计的思想，思路背景为常规思路，构建函数()g x 的图像即可，难度压轴题.22. (10分)选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC =2PA ，D 为PC 中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：(I) BE = EC(II) 22DE B AD P ⋅= 【答案解析】解析：(I)连接OA ,OD 交BC 于F ,设PAD α∠=，因PA 是O 的切线，则90-EAO OEA α∠=∠=︒∵2,2PC PA PC PD ==∴P A D P PD A ⇒=是等腰三角形∴ PDA EDF α∠=∠=∵(90)90EDF OEA αα∠+∠=+︒-=︒∴OE BC ⊥故OE 平分弧BC ,从而BE = EC.(II)∵2,2PC PC PA D PB P ⋅==∴22PA PB PD ⋅=由（I ）知PD PA =∴222PA PA PB PB PA ⋅⇒==∴()()DE BD DC BD PA PD PB PA A PA D PA PB ⋅=⋅=⋅=-⋅=-⋅ 2()PA PB PC PA PB PC PA PA PB PB ⋅=⋅-⋅=⋅-=-()PC PD PB DC PB PA PB ⋅-=⋅=⋅=把2PA PB =代人上式，得222PA PB B P PB P B ⋅=⋅=∴22DE B AD P ⋅= 考点：考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.23. (10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ,[0,]2πρθθ=∈.(I)求C 的参数方程(II)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线2:l y =+垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案解析】解析：（I ）∵极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈∴22cos ρρθ=∴对应的普通方程为：220()02x y x y =≥+- ，即22(01)1()x y y -+=≥ ∴对应的参数方程为[0,]sin 1cos ,x y ϕϕπϕ⎧∈=+⎨=⎩(II)设半圆的圆心为A ，则A (1,0),又由（I ）知，可以设D 点坐标为(1cos n ),si ϕϕ+ ∴直线DA 的斜率tan k ϕ=∵切线与直线2y =+垂直∴tan 3([0,])πϕϕϕπ⇒=∈∴,sin 231cos 2ϕϕ==+ 即D点坐标为3(,22 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.24. (10分)选修4-5：不等式选讲设函数()||||()10af x x x a a =++->. (I)证明：()2;f x ≥(II)若(3)5f <，求a 的取值范围.【答案解析】解析：（I ）∵()||||()10af x x x a a =++-> ∴1111,2x ,(12),a a a a x f x a a a x a x x a a ⎧⎪⎪⎪+-≤≤⎨-+-<-=⎪⎪-+>⎪⎩∴()f x 在递增(,)a +∞，在递减(-1)a ∞，-，在[]1,aa -上为常数 ∴()f x的最小值为()(11)2f a f a a a ≥-=+== ∴()2f x ≥（II ）（1）当3a ≥时，1(3)5f a a+<=∴2510a a a ⇒<<-+<∴3a ≤< （2）当03a <<时，2(3)61510f a a a a <⇒-+-->=∴a <或a >3a <<综上所述15(22a ++∈ 考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系，中等题.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学(理)试卷及解析
【答案解析】C.
解析：毛胚的之比为：
，故选C.
7.执行右图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=( )
A.4 B.5 C.6D.7
【答案解析】D.
解析：第1次循环M=2,S=5,k=1
第2次循环，M=2,S=7,k=2
第3次循环k=3>2,故输出S=7
【答案解析】[-1,1]
解析：设N点的坐标为
（1）当 时
∵
∴OM,MN的斜率分别为：
∵
∴
即
取正号时，化简（*）式得：
取负号化简（*）式得：
∴
∴
故 且
（2）当 时，取 ,此时满足题设.
（3）当 时，取 ，此时也满足题设.
综上所述，
三、解答题（本大题共8小题）
17.(12分)
已知数列 满足 .
(I)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
A.0.8B.0.75 C. 0.6 D.0.45
【答案解析】A.
解析：设第i天空气优良记着事件 ，则 ,
∴第1天空气优良，第2天空气也优良这个事件的概率为
，故选A.
6.如图，网格纸上正方形小格子的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案解析】 D
解析：∵
∴抛物线C的焦点的坐标为：
所以直线AB的方程为：
故
从而
∴弦长
又∵O点到直线 的距离
∴ ,故选D.
11.直三棱柱 中，∠BCA=90°，M，N分别是 ， 的中点， ，则BM与AN的夹角的余弦值为( )
2014年高考真题(理科数学)全国卷 纯Word版解析可编辑
2014·全国卷(理科数学)1．[2014·全国卷] 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i 1．D [解析] z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .4．[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.224．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π48．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4. 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.239．A [解析] 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a＝14. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．310．C [解析] 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角α-l -β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.1211．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos ∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a＝24.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．13．[2014·全国卷] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析] 易知二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r C r 8x 8－3r 2y 3r 2－4.要求x 2y 2的系数，需满足8－3r 2＝2且3r 2－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2，所以x 2y 2的系数为70.14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43， 即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．17．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )， 则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n＝k＋1时，有2k＋3<a k＋1≤3k＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n∈N*结论都成立．。
2014年高考真题——理科数学(新课标Ⅱ卷)解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b|a-ba ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.D.12.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii nii t t y y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E.证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年高考新课标Ⅱ数学（文）卷解析（参考版）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
2014年全国2卷理科数学解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标Ⅱ卷）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合M=｛0,1,2｝，{}023|2≤+-=x x x N ，则N M =( ){}1.A {}2.B {}1,0.C {}2,1.D2. 设复数1z ，2z 在复平面的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =( )5.-A 5.B i C +-4.i D --4.3. 设向量a ,b 满足|a +b 10|a -b 6a ⋅b =( )1.A2.B3.C 5.D4. 钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )5.A 5.B 2.C 1.D5. 某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 137. 执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S=( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 78. 设曲线)1ln(+-=x ax y 在点(0,0)处的切线方程为x y 2=，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39. 设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则2z x y =-的最大值为( )A. 10B. 8C. 3D. 210. 设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) 33938C. 6332D. 9411. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为( )A. 110B. 2530212. 设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值围是( ) A. ),6()6,(+∞--∞ B. ),4()4,(+∞--∞ C. ),2()2,(+∞--∞ D.),4()1,(+∞--∞第Ⅱ卷二.填空题13. ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为________.15. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值围是________. 16. 设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲 如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：2)(≥x f ；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值围.2014年数学答案与详解第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
2014年高考理科数学全国卷2-答案
所以 AC
1 2 21
2
2 2
5.
【提示】利用三角函数求三角形其中一边边长 【考点】三角函数 5.【答案】A 【解析】设“第一天空气质量为优良”为事件 A，“第二天空气质量为优良”为事件 B，
1/9
则 P（A）=0.75，P（AB）=0.6，由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率， 根据条件率公式得 P(B | A) p(AB) 0.6 0.8
sin xcos sin cos x sin(x ) .∴ f (x) 的最大值为 1
【提示】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f (x) sin x ，从而求得函数的最
大值. 【考点】三角函数的最值 15.【答案】 (1,3) 【解析】根据偶函数的性质，易知 f (x) 0 的解集为 (2, 2) ， 若 f (x 1) 0 ，则 2 x 1 2 ，解得 1 x 3 【提示】给出函数的奇偶性、单调性并给出约束条件求自变量 x 取值范围 【考点】函数单调性，函数奇偶性 16.【答案】 [1,1]
6 NE ， AN AE 2
5 ，在△ANE 2
中，根据余弦定理得 cos ANE
6 4
5 4
5 4
30 .
2
6 2
5 2
10
【提示】给出约束条件求异面直线的余弦值
【考点】异面直线及其所成的角
12.【答案】C
【解析】函数
f
(x)
的极值点满足
πx m
π 2
kπ
，即
x
m
54π 27 【提示】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可. 【考点】三视图 7.【答案】D 【解析】逐次计算，可得 M 2 ， S 5 ， k 2 ； M 2 S 7 ， k 3 ，此时输出 S 7 【提示】根据条件，依次运行程序，即可得到结论. 【考点】程序框图 8.【答案】D 【解析】 y a 1 ，根据已知得，当 x 0 时， y 2 ，代入解得 a 3
精编2014年全国高考新课标ⅱ高中数学理科试卷和答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. B.C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.D. 12.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.zxxk （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a ++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、 填空题（13）12（14）1 （15）（1,3-） （16）[]1,1- 三、解答题 （17）解：（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )
A. ｛1｝
B. ｛2｝
C. ｛0，1｝
D. ｛1，2｝
2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）
A. - 5
B. 5
C. - 4+ i
D. - 4 - i
3.设向量a,b 满足|a+b
|a-b
|=a ⋅b = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
4.钝角三角形ABC 的面积是1
，AB=1，，则AC=( )
A. 5
B.
C. 2
D. 1
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
（ ）
A. 0.8
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是
某零件的三视图，本文由 整理该零件由一个底面半径为
3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛
坯体积的比值为（ ）
A. 1727
B. 59
C. 1027
D. 13
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a =
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩
≤≤≥，则2z x y =-的最大值为
（ ）
A. 10
B. 8
C. 3
D. 2
10.设F 为抛物线C:23y
x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交
C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（
）
A. B. C. 6332 D. 94 11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1
的中点，BC=CA=CC 1，
则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A. 110
B. 25
C.
D. 12.设函数()x f x m
π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）
A. ()(),66,-∞-⋃∞
B. ()(),44,-∞-⋃∞
C. ()(),22,-∞-⋃∞
D.()(),14,-∞-⋃∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题
13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)
14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.
15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.
16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}
1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112
n a a a ++<…+. 18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，
E-ACD 的体积.
19. （本小题满分12分）
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，本文源自http///gaokao/分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()()121n i i i n i i t t y y b t t ∧==--=
-∑∑，ˆˆa
y bt =-
20. （本小题满分12分）
设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .
21. （本小题满分12分）
已知函数()f x =2x x e e x ---
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相
交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点
E.证明：
（Ⅰ）BE=EC ；
（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，
半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数()f x =1(0)x x a a a
++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；
（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.。