容斥原理练习题

完整版容斥原理习题加答案

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25%是白色的, 75%是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。

(完整版)容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。

容斥原理练习

容斥原理1.一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的人有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人？2.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.3.调查一群小朋友最喜欢吃的水果中，有三种水果最喜欢（苹果、香蕉、草莓），每人都有自己喜欢吃的。

其中喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃香蕉的有25人，喜欢吃草莓的有30人，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有8人，既喜欢苹果又喜欢草莓的有7人，既喜欢香蕉又喜欢草莓的有6人，三种都喜欢的有4人，请问一共有多少个小朋友？4.对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的含有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？5.一次考试共有两题，第一题做对有20人，其中5人第二题错了；第二题总共30人做对，有3人一道题都没做对，请问一共有多少人报名参加？6.光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？7.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。

2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕.问：（1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几个？8.有100名学生，按照1-100编号，面对老师站成一排，第一次让编号是2的倍数的学生向后转，第二次让编号为5的学生向后转，那么最后面对老师的学生有多少名？9.某学校五年二班参加语文、数学、英语三科考试，语文90分以上的有21人，数学有19人，英语有20人，语文数学都在90分以上的有9人，数学英语在90分以上的有7人，语文英语都在90分以上的有8人，另外有5人三科都在90分以下，这个班最多有多少人？10.一小偷藏匿于某商场，三名警察甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺.已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？。

容斥原理

容斥原理（二）效能训练：姓名：1、13．65扩大（）倍是1365；6.8缩小（）倍是0.0682、把7.4343434343……用简便方法写出来是（），保留两位小数是（）。

3、把7.1687保留整数约是（），精确到千分位约是（）.4、4.09×0.05的积有（）小数，5.2×4.76的积有（）位小数。

5、根据13×28=364，很快地写出下面各式的积。

1.3×2.8= 0.13×0.28= 13×2.8=0.013×28= 0.13×2.8= 1.3×0.028=6、在（）里填上>、<或=163×0.8（）16336×2.8（）367、判断题（正确的打√，错误的打×）①、0.03与0.04的积是0.12。

（）②、一个数的1.65倍一定大于这个数。

（）③、53.78保留一位小数是53.8。

（）④、一个数乘小数，积一定小于这个数。

（）8、选择（把正确答案的序号填入括号里）①、一个小数的小数点右移动2位，再向左移动3位，这个小数（）。

A、扩大了10倍B、缩小10倍C、扩大100倍D、缩小1000倍②、下面各式得数小于0.85的是（）。

A、0.85×1.01B、0.85×0.99C、 0.85×19、直接写出得数。

0.6×0.83×0.9 2.5×0.4 3.6×0.412.5×8 50×0.04 80×0.3 1.1×910、脱式计算（能简算的要用简算）12.5×0.4×2.5×89.5×101 4.2×7.8+2.2×4.211、列式计算：1、 25乘4.8减5，差是多少？2、比4.7的1.5倍多3.05的数是多少？典型例题1、在参加数学竞赛的46人中，做第一题的有32人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？开心一练：全班46名同学，仅会乒乓球的有28人，即会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？典型例题2、一个单位有70个职工，其中有的职工会打网球，有的会打乒乓球，有的两样都会，现在知道会打网球的48人，会打网球又会打乒乓球的有24人，问会打乒乓球的有多少人？典型例题3、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？（1）两道题全对的有人。

容斥原理题目

容斥原理题目
一场网球比赛中有10名选手参加。

每个选手都与其他9名选
手分别进行比赛，共进行了45场比赛。

求共有多少个场次的
比赛中至少有一名选手获胜。

解法：
设A为至少有一名选手获胜的场次数目，Ai为选手i获胜的
场次数目。

根据容斥原理，有：
A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A10
根据容斥原理公式，可得：
A = (A1 + A2 + ... + A10) - (A1 ∩ A2 + A1 ∩ A3 + ... + A9 ∩
A10) + (A1 ∩ A2 ∩ A3 + A1 ∩ A2 ∩ A4 + ... + A8 ∩ A9 ∩ A10) - ... + (-1)^9 * (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10)
根据条件可知A1 + A2 + ... + A10 = 45，即第一个括号内的内
容为45。

然后计算两两交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以两两交集的结果为10 * 9。

然后计算三个选手的交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以三个选手的交集的结果为10 * 9 * 8。

依次类推，最后计算十个选手的交集，结果为10!（即10的
阶乘）。

将以上结果带入容斥原理公式中，可得：
A = 45 - (10 * 9) + (10 * 9 * 8) - ... + (-1)^9 * (10!) ≈ 3,628,800 - 3,628,800 + 1 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 = 1
所以共有1个场次的比赛中至少有一名选手获胜。

小学数学《容斥原理》练习题

《容斥原理》练习题老师讲解：1、①有一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或者两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？②暑假里，小宇和小明一起讨论金陵十八景.他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处事两人都去过的。

如果小宇去过其中的十二景，那么小明去过其中的几景？③在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。

已知每个小朋友至少看过其中的一部，那么有多少小朋友只看过这两部动画片中的一部动画片？2、雨巷小学举行长跑和游泳比赛，总共有60名同学参加，只参加长跑比赛的人数是只参加游泳比赛人数的4倍，有10名同学两项比赛都参加了。

请问：只参加游泳而没有参加长跑的同学有多少人？学生练习：1、四年级同学参加数学、语文考试，没人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有42人。

数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问：四年级共有多少名学生？2、某校参加数学竞赛和语文竞赛的同学总共有90名，只参加数学竞赛的人数是两项竞赛都参加的人数的5倍，其中有12名同学两项竞赛都参加了，请问：只参加语文竞赛的同学有多少人？老师讲解：1、三位基金经理投资股票，张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支，张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支，请问：这三位经理一共买过多少支股票？2、课间，王老师出了三道脑筋急转弯学生做，只答对第一道题的有10人，只答对第两道题的有6人，只答对第三道题的有4人，至少答对两道题的有8人，还有5名同学一道题也没答对。

①请问王老师班上有多少名学生？②若既答对第一道题又答对第二道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第三道题的同学有多少人？学生练习：1、小卡用三块长方形桌布互相重叠的铺在纸张长方形的桌子上，正好将桌子完全覆盖。

第二章容斥原理习题及解答.ppt

第二章容斥原理习题
1、某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5 次，问某甲共参加了几次会议？
参考答案
[解] 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议集， i＝1，…，6．则
A1 A2
1
41
1
3
105
2 1 (8 3) (4 2) 3 7
A1 A3
1
42
1
2
63
A2 A3 0
A1 A2 A3 0
故所求路径数为
| A1 A2 A3 | 495 (168 140 84) (105 63 0) 0 271
参考答案
[解]
令Dn
n!1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
（1）方案数=Dm (n!)m
（2）方案数=
m k0
m k
Dk
(n
!)k
Dmk n
（3）方案数=Dm Dnm
（i=1,2,…,n）则所求为
|
n i 1
Ai
|
n ko
(1)k
n
k
(2n
k
1)!2k
第二章容斥原理习题
8、一书架有m层，分别放置m类不同种类的书，每层n册。先将书架上的图书全部取出清理。清理过程要求不打乱所有的类别。试问: （1）m类书全不在各自原来层次上的方案数有多少？（2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数等于多少？（3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不在原来位置上的方案数又有多少？
所以
A3 A5 A7 A3 A5 A3 A5 A7

容斥原理习题集

1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.9.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?6. 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．10．甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?13．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

容斥原理经典例题

选择题在某次数学竞赛中，有60%的学生获奖，有75%的学生通过了英语考试，已知至少有一项成就的学生占85%，则两项都达成的学生占比是：A. 40%B. 50%（正确答案）C. 60%D. 70%一个班级中，喜欢数学的有25人，喜欢物理的有20人，喜欢化学的有15人，同时喜欢数学和物理的有10人，同时喜欢数学和化学的有8人，同时喜欢物理和化学的有6人，三者都喜欢的有3人。

问班级中总共有多少学生？A. 35人B. 40人C. 45人D. 50人（正确答案）在一次调查中，发现65%的人喜欢喝咖啡，70%的人喜欢喝茶，80%的人至少喜欢其中一种饮品。

那么同时喜欢喝咖啡和喝茶的人占比是：A. 15%B. 25%C. 55%（正确答案）D. 75%某校有100名学生参加了数学和物理竞赛，其中60人通过了数学竞赛，70人通过了物理竞赛，若已知有85人至少通过了一门竞赛，则两门都通过的学生有：A. 35人B. 45人（正确答案）C. 55人D. 65人在一次技能测试中，有80%的员工通过了编程测试，70%的员工通过了设计测试，85%的员工至少通过了一项测试。

问同时通过两项测试的员工占比是多少？A. 55%B. 65%（正确答案）C. 75%D. 85%一个篮子里有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球和黄球共20个，黄球和蓝球共18个，红球和蓝球共22个。

问篮子里总共有多少个球？A. 25个B. 27个C. 30个（正确答案）D. 33个在一次市场调研中，发现55%的人喜欢产品A，65%的人喜欢产品B，75%的人至少喜欢其中一种产品。

那么同时喜欢产品A和产品B的人占比是：A. 45%（正确答案）B. 55%C. 65%D. 75%某班级中，参加数学兴趣小组的有20人，参加物理兴趣小组的有18人，参加化学兴趣小组的有16人，同时参加数学和物理小组的有10人，同时参加数学和化学小组的有8人，同时参加物理和化学小组的有6人，三个小组都参加的有4人。

组合数学第二章《容斥原理》习题

第二章容斥原理习题
1，求出110000
之间不能被4，5，和6 整除的整数个数。

2，求出110000
之间不能被4，6，7，10整除的整数个数。

3，求出110000
之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数个数。

4，求出1250
之间能被2，3，5，7中任一个整除的整数个数。

5，求出1500
之间，有多少个不能被7整除，但能被3和5整除的整数个数。

6，某校足球队有38人，篮球队有15人，棒球队20人。

3个队队员总数为58人，且其中只有3人同时参加3个队，试求同时参加两队的队员有多少人？
7，确定多重集{4,3,4,5}
= 的12－组合数。

S a b c d
8，面包店出售巧克力的、肉桂的与素的面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力的、6个肉桂的和3个素的面包圈。

如果一个盒子装12个面包圈，那么在这一特定时刻可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
9，确定{1,2,3,4,5,6,7,8}
S=的没有偶数在它的自然位置上的排列数。

10，确定{1,2,,8}
的恰有4个整数在它们的自然位置上的排列数。

11，确定{1,2,,9}
的至少有一个奇数在它们的自然位置上的排列数。

12，求多重集{3,4,2}
= 的排列数，其中同一种字母的全体不得连续出现（例如，
S a b c
abbbbcaac是不允许的，abbbcaacb而是允许的）。

容斥原理习题

容斥原理1、全班同学每人至少买一种课外书，有25人买语文课外书，31人买数学课外书，8人既买语文课外书又买数学课外书，这个班级有多少同学?2、从1到100的自然数中，既不是3的倍数又不是7的倍数的数有多少个？3、50名学生面向老师站成一行，按老师口令从左至右顺序报数：1,2,3…报完后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是6的倍数的同，学向后转。

问：现在仍面对老师的有多少名同学?4、光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？5、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？6、某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？7、有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？8、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名同学在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目，人数有91%的人第四季度全勤，该企业全年全勤者至少占职工的百分之几？10、文艺演出队中会唱歌的28人，会跳舞的19人，既会唱歌又会跳舞的15人，这个队共有多少人能参加演出？11、某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有多少人？12、小明家养了白鸡和芦花鸡共30只，其中有18只母鸡，已知白公鸡有9只，芦花鸡有19只。

六年级容斥原理练习题

六年级容斥原理练习题
容斥原理是概率论中的一个重要原理，可以用于解决涉及多个事件的概率计算问题。

在六年级数学中，我们也可以运用容斥原理来解决一些错排、组合问题等。

以下是一些关于容斥原理的练习题，供同学们进行练习。

练习题1：
某班有30位学生，其中15人喜欢音乐，20人喜欢体育，10人既喜欢音乐又喜欢体育。

请问至少有多少位学生既不喜欢音乐也不喜欢体育？
练习题2：
甲、乙、丙三位同学是某班的值日生，每周值日一天。

如果要求甲同学在星期一值日，乙同学在星期三值日，丙同学在星期五值日，那么这样的安排共有多少种？
练习题3：
某班有30位学生，其中15人喜欢英语，18人喜欢数学，12人喜欢音乐。

其中恰好3人即喜欢英语又喜欢数学，4人既喜欢英语又喜欢音乐，5人既喜欢数学又喜欢音乐。

请问这个班级有多少人？
练习题4：
在一个小说比赛中，参赛者需要选择一个主题，主题共有A、B、C 三个选项。

每个参赛者必须选择一个主题进行创作，并且选定主题后
不能更换。

如果有10位参赛者，其中有4位选择了A主题，3位选择
了B主题，2位选择了C主题，1位参赛者选择了两个主题。

那么最终
有多少位参赛者选择了至少一个主题？
练习题5：
小明有5个相同的红球，4个相同的绿球，3个相同的蓝球。

他希
望从中选择4个球放入一个盒子里，要求盒子中至少有一种颜色的球。

那么小明一共有多少种不同的放球方法？
通过以上几道练习题，我们可以较好地掌握容斥原理在解决数学问
题中的运用。

希望同学们能够认真思考并正确解答，提高数学问题解
决能力。

容斥原理50经典例题

容斥原理50经典例题容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。

它在解决排列组合问题时有着广泛的应用，能够帮助我们更快速、更准确地求解问题。

接下来，我们将通过50个经典例题来深入理解容斥原理的应用。

1. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。

解析，首先，我们可以分别求出是3的倍数和是5的倍数的整数个数。

然后利用容斥原理求出既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。

2. 在1至100的整数中，有多少个整数的个位和十位数字都不是7？解析，我们可以利用容斥原理来求出个位是7的整数个数，十位是7的整数个数，然后再利用容斥原理求出个位和十位都是7的整数个数，最后用总数减去这个数就是答案。

3. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了篮球比赛的方案数。

解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。

4. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为偶数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和为奇数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。

5. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。

解析，首先，我们可以分别求出是2的倍数和是3的倍数的整数个数。

然后利用容斥原理求出既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。

6. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数。

解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。

7. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为7的倍数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和不是7的倍数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。

(完整版)容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。

容斥原理小学数学习题集

一、选择题1. 五年级有95名同学去春游，每人至少带矿泉水和水果中的一种，由图可知带水果的有( )人．A．22 B．34 C．562. 红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．A．47 B．57 C．673. 学校音乐小组中会唱歌的有28人，会乐器的有22人，两项都会的有16人，音乐小组一共有（）人。

A．50 B．34 C．184. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种5. 三（1）班有45人，每人都参加了跳绳比赛或跑步比赛．跳绳比赛的有28人，跑步比赛的有24人，两种活动都参加的有（）人．A．17 B．7 C．24二、填空题6. 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

7. 三（1）班进行体育达标测试，参加的40人中每人至少有一项达标，立定跳远达标的有28人，50米跑达标的有32人。

立定跳远和50米跑都达标的有( )人。

8. 奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要_____分钟做完这些事情．9. 养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有____头。

10. 一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋( )元．三、解答题11. 甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？12. 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？13. 三年级有92个小朋友参加文艺会演,其中参加大合唱的有68人,参加舞蹈演出的有64人,每人至少参加一项表演,三年级既参加大合唱又参加舞蹈演出的有几人?14. 王强和李辉两人合租一套房子，客厅、厨房和厕所是两家合用的，在登记住房面积时，两家在登记表上填了如下数字（单位：平方米）：姓名客厅居室厨房厕所总面积王强18 18 10 6 52李辉18 20 10 6 54那么，他们租的这套房子共有______平方米．。

(完整版)容斥原理例题

学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。

例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。

请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。

请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。

解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2。

答：三项都报名的有2人。

说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。

例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。

解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。

能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。

完整版容斥原理习题加答案

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