高二数学期末质量检测
期末教学质量检测高二数学试题
亳州二中2023-2024学年第二学期期末教学质量检测高二数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教2019版：选择性必修二+选择性必修三一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知函数，则（ ）A ．B ．C ．2D ．12．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分而不必要条件D ．必要而不充分条件3．曲线在点处的切线在轴上的截距为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（ ）A ．3或B ．或C ．D ．9或5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前和，那么的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）2()sin (0)e x f x x f '=+(0)f =1-12-{}n a {}n a 0N 0n N >0n a >()ln 2x f x e x =+()02x ,x 21e -21e -21e --21e+133±13±3±19{}n a 1,1,n n a n -⎧=⎨⎩第次摸取红球第次摸取白球n S {}n a n 73S =255721C 33⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255712C 33⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭253721C 33⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭253712C 33⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．7205秒B ．7200秒C ．7190秒D ．秒7．若函数满足：对，，，，，均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间上的“函数”．则下列四个函数：①，；②，；③，；④，中，“函数”有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件“取出的重卦中恰有3个阳爻”.则（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．为等差数列C ．当时，有最大值D ．10．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）A ．函数的值域为B ．函数的图象关于点成中心对称图形C ．函数的导函数的图象关于直线对称D ．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则11．已知，则下列说法正确的是（ ）7915()()y f x x R =∈a ∀b c D ∈()f a ()f b ()f c ()y f x =D W ln y x x =22,x e ⎡⎤∈⎣⎦ln y x =23,x e e ⎡⎤∈⎣⎦ln x y x =2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦x x y e =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦W A =B =()P B A =516113221322057{}n a n n S 122n n n a a a ++=+119a =217a =413a ={}n a 11n =n S 20n S n n=-()y f x =()y f x =()y f x =(,)P a b ()y f x a b =+-4()22xf x =+()f x (0,2]()f x (1,1)()f x ()f x '1x =()g x (1)1y g x =+-()f x (,(1,2,,))2024i i i A x y i = 20241(8)404i i i x y =+=∑8280128()(2)f x x a a x a x a x =-=++++A ．B ．C ．除以5所得的余数是1D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某学校大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为．13．的展开式中的系数为 .14．已知函数的定义域为为的导函数，若具有下列性质：①的值域为；② 为奇函数；③对任意的，且，都有.则的一个解析式为 .四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题均15分 ，第18-19题均17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知正项等比数列中，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16．函数.（1）若在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）若，若函数在 [1，3]上恰有两个不同零点，求实数的取值范围.17．由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.81283a a a +++= 128255a a a +++=- (1)f -12382388a a a a ++++= 40%30%1h 60%1h ()512y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭32x y ()f x (),f x 'R ()f x ()f x ()f x (],1-∞()f x '12,x x ∈R 12x x ≠()()()1212f x x f x f x '''+=+()f x ()f x ={}n a 112a =234,,1a a a -{}n a 224log n nb a -=11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21()ln ,()(0)2f x xg x ax bx a ==+≠2,()()()ah x f x g x =-=-时函数2()2()y g x f x x k =---节排器等级如表格所示综合得分的范围节排器等级一级品二级品三级品若把频率分布直方图中的频率视为概率，则（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数的分布列及数学期望.18.已知在（，为常数且，，，）中，有．(1)求的展开式中的常数项；(2)若它的展开式中的常数项是其各项系数中最大的项，求的最大值．19．经验表明，在室温下，开水冷至到(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔测量一次开水温度(如下表)，经过后的温度为.现给出以下2个函数模型：①；②，其中a为温度衰减比例，计算公式为：.开水温度变化时间012345水温y x /℃857975716865（1）请选择一个恰当的函数模型描述之间的关系，并求出k ；（2）求a 值(a 保留0.01)；（3）在室温下，开水至少大约放置多长时间(单位：，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：，）K 85K ≥7585K ≤≤7075K ≤≤X ()15m n ax bx +a b 0a >0b >0m ≠0n ≠20m n +=()15m n ax bx +2234ab a ab b ++25C ︒85C ︒35︒C 40C ︒1min min x C y ︒25(,01,0)a y kx k R a x =+∈<<≥25(,01,0)x y ka k R a x =+∈<<≥11251()525i n i i y a i N y =--=∈-∑/minx ,x y 25C ︒85C ︒min 16.6140.92≈21.5160.92≈。
2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={x ∈Z|x 2<4}，则∁U A =( )A. {−3,3}B. {2,3}C. {−1,0,1}D. {−3,−2,2,3}2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=1 xB. f(x)=(x−1) 2C. f(x)=lg xD. f(x)=(12)x 3.已知a =lg 12，b =30.1，c = 3，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. a <c <bD. c <b <a 4.设A ，B 为两个随机事件，若P(B|A)=12，P (A )=25，P (B )=23，则P(A|B)=( )A. 15B. 310C. 12D. 355.已知a >0，b >0，则“ab =1”是“a +b ≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在(x−2)10的展开式中，x 6的系数为( )A. −64C 610B. 64C 610C. −16C 410D. 16C 4107.有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为( )A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.0908.某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从A ，B ，C ，D ，E ，F 这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果员工A 不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有( )A. 360种B. 300种C. 180种D. 120种9.设函数f (x )为定义在R 上的奇函数，若曲线y =f (x )在点(2,4)处的切线的斜率为10，则f′(−2)+f (−2)=( )A. −16B. −6C. 6D. 1610.已知函数f(x)={ln x x ,x >0x 2+2x,x ≤0；若方程f(x)=a 恰有三个根，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1e ) B. [0,1e ] C. (−1,1e ) D. (0,1e )∪{−1}二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案
2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题（答案在最后）2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.82.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32B.0.34C.0.66D.0.683.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于14.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.345.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.1807.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A .2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A .12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X += D.()218D X +=10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A .51521ˆiii ii x ybx===∑∑ B.51521ˆiii ii x yby===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.13.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63516.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令9s =求出t ，再求出函数的导函数，代入计算可得.【详解】因为221s t =+，令2219s t +==，解得2t =（负值已舍去），又4s t '=，所以2|428t s ='=⨯=，所以当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为8m /s .故选：D2.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32 B.0.34C.0.66D.0.68【答案】B 【解析】【分析】利用两点分布的性质可得答案.【详解】依题意可得()()101P X P X =+==，()()100.32P X P X =-==，所以()10.3210.34.2P X -===故选：B.3.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1【答案】B 【解析】【分析】2R 值越大，模型的拟合效果越好可判断A ；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B ；正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小可判断C ；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断D .【详解】对于A ：2R 值越大，模型的拟合效果越好，故A 错误；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B 正确．对于C ，正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小，故C 错误；对于D ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故D 错误.故选：B ．4.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可.【详解】函数()23f x ax x=+的定义域为{}|0x x ≠，又()3223232ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时()0f x '<恒成立，所以()f x 没有单调递增区间，不符合题意；当0a >时，323y ax =-单调递增，令()0f x ¢>，解得1332x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为133,2a ⎡⎫⎛⎫⎪⎢+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭（或133,2a ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），依题意可得13312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32a =.故选：C5.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理展开，并对n 讨论即可得到答案【详解】因为()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，所以当1n =时，46529a a ⨯+-=-，此时2925(Z)a k k =-∈，0a >，当1k =时，4a =；当2n ≥时，11224(51)54(5C 5C 5n n n n n n n a --⨯++-=⨯+⨯++⨯ 1C 51)5n n n a -+⨯++-112214(5C 5C 54()C 51)5n n n n n n n n a---=⨯+⨯++⨯+⨯⨯++- 2132425(5C 5C 25)4n n n n n n a ---=⨯+⨯++++- 213225(454C 54C )4n n n n na n ---=⨯+⨯++++- ，因此只需4a -能够被25整除即可，可知最小正整数a 的值为4，综上所述，正整数a 的最小值为4，故选：C6.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.180【答案】C 【解析】【分析】分两步完成，第一步从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b ，第二步从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d ，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b （较大的数放入a ）有26C 种方法；再从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d （较大的数放入c ）有24C 种方法；综上可得一共有2264C C 90=种不同的排法.故选：C7.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A.2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++【答案】D 【解析】【分析】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解.【详解】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，记作()f x ，非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消.故有())()2121222n n f x ++=++.令1x =，则所求的系数之和为()()2111312n f +=+.故选：D.8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】设()e x g x x =-，利用导数先研究函数()f x 和()g x 图象性质，并得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.【详解】由()3213f x x x =-，()2()22f x x x x x =-=-'，当0x <或2x >时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增，当02x <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，4()(0)0,()(2)3f x f f x f ====-极大值极小值，且(3)0f =，设()e x g x x =-，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，则函数()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，()(0)1g x g ==极小值，设()321()()()e 33xF x g x f x x x x x ⎛⎫=-=---> ⎪⎝⎭，则2()e 12x F x x x'=--+设()2()e 123xm x x x x =--+>，则()e 22x m x x '=-+，设()()e 223xv x x x =-+>，则()e 20x v x '=->恒成立，所以()v x 在()3,∞+单调递增，3()e 2320v x >-⨯+>，即()0m x '>恒成立，所以()m x 在()3,∞+单调递增，则33()(3)e 196e 40m x m >=--+=->，即()0F x '>恒成立，所以()F x 在()3,∞+单调递增，则3()(3)e 30F x F >=->，所以在()3,∞+上()()g x f x >恒成立，在(],3-∞显然也成立，如图，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >故选：A【点睛】关键点点睛：设()e x g x x =-，利用导数得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >；若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A.12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X +=D.()218D X +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的对称性可判断A 、B ，根据正态分布定义及期望与方差的性质可判断C 、D.【详解】对于A ，因为4μ=，()()6,46>=<<=P X a P X b ，所以()()()44660.5>=<<+>=+=P X P X P X a b ，故A 正确；对于B ，因为4μ=，()()26P X P X a <=>=，故B 正确；对于C ，因为()4E X =，所以()()21219+=+=E X E X ，故C 错误；对于D ，因为()2D X =，所以()()2148D X D X +==，故D 正确.故选：ABD.10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=【答案】ACD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，求出()g x 的导函数，依题意()28=g ，即可判断A ，又曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，即可得到()0f '，即可判断C ，再由()()02g f '='求出()2f '，即可判断B 、D.【详解】令()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，依题意()()2228g f ==，解得()24f =，故A 正确；依题意可得曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，所以()480200f '--==，故C 正确；又()()()()222204f fg f '='=+='，所以()20f '=，则曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a =，故B 错误，D 正确.故选：ACD11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A.51521ˆi ii i i x ybx ===∑∑ B.51521ˆi ii i i x yby ===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆【答案】AC 【解析】【分析】利用线性回归方程待定系数公式()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点(),x y ，就可得到线性回归方程.【详解】由i i x t t =-可得：()551111055i i i i x t t t t ===-=-=∑∑，同理由i i y ωω=-，可得()551111055i i i i y ωωωω===-=-=∑∑，根据公式()()()55511155522221115ˆ5iii ii ii i i iii i i i x x y y x y x y x ybx x xxx======---===--∑∑∑∑∑∑，故A 正确；B 错误；由表格中数据可得：3,14t ω==，()()5551115i iii i i i i i x y tt t t ωωωω====--=-⋅∑∑∑1429314418525531451=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=，()5552222111514916255910ii ii i i xt ttt ====-=-=++++-⨯=∑∑∑，所以5152151ˆ 5.110iii ii x ybx=====∑∑，由于0,0x y ==，所以y 与x 的回归方程必过原点，ˆ 5.1yx =，又由于3x t t t =-=-，14y ωωω=-=-代入得：()ˆ14 5.13t ω-=-，整理得：ˆ 5.1 1.3t ω=-，故C 正确；当6t =，即表示2025年，此时ˆ 5.16 1.329.3ω=⨯-=，所以2025年的年销售量约为29.3万辆，故D 错误；故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.【答案】8【解析】【分析】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，分A 在第四名与不在第四名两种情况讨论.【详解】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，若A 在第四名，先排B 到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，所以有1222A A 4=种排列；若A 不在第四名，则先排A 、B 到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，所以有2222A A 4=种排列；综上可得这4人的名次排列有448+=种.故答案为：813.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.【答案】324e【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值.【详解】函数()()e 211x x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，又()()()2e 231x x xf x x -'=-，所以当0x <或32x >时()0f x ¢>，当01x <<或312x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-，3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1，31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在32x =处取得极小值，即极小值为32323e 21324e 3212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭-.故答案为：324e14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.【答案】①.32(1)p p -②.2n ##12n 【解析】【分析】根据相互独立事件的乘法公式求()2,5P ξη==，求出()P n η=、(),P i n ξη==，即可求(|)E n ξη=.【详解】由题意，事件“2,5ξη==”表示该射击手进行5次射击且在第二次、第五次击中目标，所以()322,5(1)(1)(1)(1)P p p p p p p p ξη===-⋅⋅-⋅-⋅=-，又122221()C (1)(1)(1)n n n P n p p n p p η---==-=--，()()221n P i n p p ξη-===-，()1,2,,1i n =- ，所以()()()()()222211121(1)(11,)|n n i n n p p P i n E p n i P n p n ξηξηη-=--⎡⎤+++--⎡⎤==⎣⎦==⨯=⎢⎥=⎢⎥⎣--⎦∑ 122 (1111)n n n n -=++++---1(1)1122n n n ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭==.故答案为：32(1)p p -；2n【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给公式理解并准确的应用.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.635【答案】（1）答案见解析（2）15【解析】【分析】（1）求出2χ值，与2.706比较大小，得出结论即可；（2）运用古典概型和条件概率公式求解即可.【小问1详解】零假设为0H ：分类变量X 与Y 相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.222()100(25302025)1002.706()()()()4555505099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯．依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．【小问2详解】设事件A 为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”，事件B 为“这2名学生均在南餐厅就餐”，则()11252021110025201111505050502100C C C C C ()25201C C ()C C 50505C P AB P B A P A ⨯=====⨯．故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为15．16.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）8（2）分布列见解析；7()9E X =【解析】【分析】（1）分0在个位、0在十位和0在百位三类求解；（2）由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，求出其分布列，并利用期望公式求解.【小问1详解】两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况：①0在个位上时有2222A A 4=个四位数，②0在十位上时有22A 2=个四位数，③0在百位上时有22A 2=个四位数，所以满足条件的四位数的个数共有4228++=个．【小问2详解】由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，则1333884(0)C A 189P X ====，133361(1)C A 3P X ===，333142(2)C A 9P X ===，X ∴的分布列为X 012P491329期望为4127()0129399E X =⨯+⨯+⨯=．17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.【答案】（1）20x y +=（2）a<0【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）将问题转化为()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，则(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，构造函数(1)ln ()x xF x x-=，利用导数求出其最小值即可.【小问1详解】由2a =，则()(1)ln 2f x x x x =--，,()0x ∈+∞，(1)2f =-，()1ln 1f x x x'=--，代入1x =得(1)2f '=-，所以()f x 在(1,1)处的切线方程为20x y +=．【小问2详解】由()f x 图象恒在x 轴上方，则()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，即(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，令(1)ln ()x xF x x-=，即min ()a F x <，21ln ()x xF x x -+'=，令()1ln g x x x =-+，则1()10(0)g x x x'=+>>，所以()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数且(1)0g =．所以当(0,1)x ∈时，()0F x '<，()F x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增；所以(1)0F =为函数()F x 的最小值，即()(1)F x F ≥．所以综上可知a<0．18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()P X k =最大时k 的值小于()E X 的大小【解析】【分析】（1）根据组合数公式分析证明；（2）根据二项分布结合二项式定理分析证明；（3）分析可知随机变量~(12,0.2)X B ，结合二项分布概率公式可得2k =概率最大，进而与期望对比分析.【小问1详解】左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---，右边11(1)!!C (1)!()!(1)!()!k n n n n n k n k k n k ---==⋅=----，所以左边=右边，即11C C k k n n k n --=；【小问2详解】由~(,)X B n p 知()C (1)k k n k n P X k p p -==-，令1q p =-由（1）知11C C k k n n k n --=可得，1111(1)11011()CC nnnk kn kk k n kk k n k nn n k k k E X kC p qn p qnp pq ----------======∑∑∑，令1k m -=，则1111()C()n mm n m n n m E X npp q np p q -----===+∑，()E X np ∴=；【小问3详解】由题意知~(12,0.2)X B ，所以()120.2 2.4E X =⨯=，要使()P X k =最大，则必有()(1)P X k P X k =≥=+，()(1)P X k P X k =≥=-，即12111312121211111212C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)k k k k k k kk k k k k -----++-⎧-≥-⎨-≥-⎩即141341121k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得81355k ≤≤，又因为*N k ∈，所以2 2.4()k E X =<=．()P X k ∴=最大时k 的值小于()E X ．19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.【答案】（1）单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞（2）(,)a +∞（3）存在，423a bx +=【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，即可判断()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <，再对1x 、2x 、a 的大小关系分类讨论，即可得到()0h a <，从而求出b 的范围；（3）求出函数的导函数，即可得到1x a =，223a b x +=，再确定3x b =，根据等差数列的定义求出4x 即可.【小问1详解】由2()()()e x f x x a x b =--得()()2(3)2e x f x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，当1a =，2b =时，()(1)(xx x f x x =--+'，令()0f x '=，解得1x =21x =，3x =所以当(,x ∈-∞或x ∈时()0f x '<，当(x ∈或)x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞.【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()2(3)2e xf x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，则22 (3)4(2)(1)80a b ab b a a b ∆=-----=-++>．所以()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <．①当1x a =或2x a =时，x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a >时，则x a <或12x x x <<时()0f x '<，当1a x x <<或2x x >时()0f x ¢>，所以()f x 在(),a -∞，()12,x x 上单调递减，在()1,a x ，()2,x +∞上单调递增，所以x a =不是()f x 的极大值点，③当2x a <时，则x a >或12x x x <<时()0f x ¢>，当2x x a <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在(),a +∞，()12,x x 上单调递增，在()2,x a ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =不是()f x 的极大值点，④当12x a x <<时，则2x x >或1x x a <<时()0f x ¢>，当2a x x <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在()2,x +∞，()1,x a 上单调递增，在()2,a x ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =是()f x 的极大值点．所以()0h a <，即2(3)20a a b a ab b a +--+--<，所以b a >，所以b 的取值范围(,)a +∞．【小问3详解】由2()e ()()()x g x f x x a x b -==--，知()23()3a b g x x a x +⎛⎫'=--⎪⎝⎭，由a b <，故23a b a +<，所以当x a <或23a b x +>时()0g x '>，当23a b a x +<<时()0g x '<，所以()g x 在(),a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设()g x 的两个极值点分别为1x a =，223a b x +=．因为123,,x x x 互不相等，3x 是()g x 的一个零点，所以3x b =，所以2222223333a b b a b a a b a b +--+⎛⎫-==⨯=- ⎪⎝⎭，所以存在124242232263a b a x x a b a b x +++++====，使1423,,,x x x x 成等差数列，即存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，且423a b x +=．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
云南省昆明市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题
云南省昆明市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题一、单选题1．已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（ ）AB C ．2D 2．已知向量()()1,2,1,3a b λλ=+=-r r，若a b r r ∥，则λ=（ ） A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-3．已知命题:,20x p x ∃∈<R ，命题()2:0,,ln 0q x x ∞∀∈+>，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题 4．已知函数()y f x =，x ∈R 且()03f =，()()()0.520.51f n f n =-，*n ∈N ，则()f x 的一个解析式为（ ）A ．()32xf x =⋅B ．()132x f x -=⋅ C ．()34xf x =⋅ D ．()134x f x -=⋅5．某人连续投一枚骰子4次，记录向上的点数得到一组样本数据，若该组样本数据的平均数为2，则（ ）A ．极差可能为5B ．中位数可能为3C ．方差可能为1D ．众数可能为46．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过C 上一点P 作圆()2222x y r -+=的两条切线，切点分别为,F A ，若PF PA ⊥，则p =（ ） A ．12B ．23C ．1D ．437．已知正四棱台的体积为143则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．25π C ．36π D ．50π8．函数()1cos22f x x =+，2π,3x t t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A ．R t ∃∈，使得()f x 为偶函数B ．R t ∃∈，使得曲线()y f x =为中心对称图形C ．R t ∀∈，()f x 存在极值D ．R t ∀∈，()f x 存在两个零点二、多选题9．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，{}n S 为等差数列，则（ ） A ．1q = B ．n n S na =C ．{}n n a S +为等差数列D ．{}n n a S 为等比数列10．已知函数()()()1f x x x x a =--，R a ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若()36f =，则()11f '=-B ．若()20f >，则2a <C ．若()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的范围为0a >D ．函数()f x 有两个极值点11．已知双曲线22:18y E x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在E 的右支上，则F 列说法正确的是（ ）A ．若12PF F △的周长为24，则12PF F △的面积为48B ．221212PF PF -≥ C．120tan PF F ∠≤<D ．若12F PF ∠为锐角，则点P 的纵坐标范围是()(),88,∞∞--⋃+三、填空题12．已知函数()()13,02,0x x f x f x x ⎧⎪≤=⎨->⎪⎩，则()3f =.13．已知1sin cos ,tan 3tan 3αβαβ==，则()sin αβ+=.14．甲、乙两人先后在装有m 颗黑球的1号盒子与装有n 颗白球的2号盒子（*,m n m <∈N ，*n ∈N ）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.例如:当1,2m n ==时，甲先手不论如何取球，乙后手取球均有必定获胜的策略．若8m n +=，且后手取球者有必定获胜的策略，则满足条件的一组数组(),m n 可以为.四、解答题15． ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin A B C A B +=.(1)求C ；(2)若1c =， ABC V ，求 ABC V 的周长. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，11,,,33AB AD CO AD AO AD PM PD ⊥⊥==u u u u u u r u u u r u u u ru r .(1)证明://CM 平面PAB ;(2)若直线PO ⊥平面,1,2,ABCD OA AB OC OD OP =====，求平面PBC 与平面PCD 的夹角的大小.17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长为2.(1)求E 的方程;(2)过点(作直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，若AB l 的方程.18．如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为p ，传给位于对角线顶点同学的概率为q ，传球3次为一轮.(1)已知第一次由随机一名同学将球传出，若p q =，设事件A 为“一轮中每人各持一次球”. （i ）求p 及事件A 的概率;（ii ）设三轮传球中，事件A 发生的次数为X ，求X 的分布列与数学期望;(2)已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大? 19．已知函数()y f x =的定义域为I ，设0x I ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x ，当1n ≥时，设曲线在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +，依次类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于'0x 的“N 数列”，已知()()2ln 1f x x x =-+.(1)若{}n x 是函数()y f x =关于01x =的“N 数列”，求1x 的值;(2)若()(){},n g x f x a '=是函数()y g x =关于034a =-的“N 数列”，记2log 21n nb a =+.（i ）证明:{}n b 是等比数列;（ii ）证明:()()12121sin ln log ,2,n n i b n n i ++=<-≥∈∑N .。
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ） A ．5i B ．5i -C ．45i +D ．45i -+31sin170=o（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．24．已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C的另一交点为2,A APF V 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式的常数项是（ ） A ．28B ．56C ．36D ．406．三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ） A ．360种B ．540种C ．720种D ．900种7．已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c--≤的解集为（ ） A ．(](),45,∞∞-⋃+ B ．[]4,5C ．()[),45,∞∞-⋃+D ．(]4,58．设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =下列结论正确的是（ ）A ．动点P 的轨迹长度为π；B ．异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C ．MP AB ⋅u u u r u u u r的最大值为2；D ．三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4. 10．已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]1,1x ∈-，()21f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的周期4T =B ．5324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()f x 在[]5,4--上单调递增D ．()2f x +是偶函数11．锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（ ）A ．点A 的轨迹的离心率e =B 3c <C ．ABC V 的外接圆周长()4π,5πl ∈D ．ABC V 的面积()3,6ABC S ∈V三、填空题12．若直线l ：220kx y k -+-=与曲线C：y 则实数k 的取值范围是.13．已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+．若()1n n nb n a =+，则数列{}n b的前n 项和n S =.14．暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)m h =，则盘山步道的长度为，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为.四、解答题15．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为a b ，，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.(1)证明：2A B =； (2)求ca的取值范围.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.(1)证明：平面AEF ⊥平面PCD ；(2)是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45o ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17．已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18．已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =， (1)求抛物线的方程及a 的值；(2)当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB V 的面积为1，求点B 的坐标；(3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19．材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑L ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k n k S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n →∞时n S 的极限：1lim lim 2122n n n n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X . (1)证明：1()1k P X k ∞===∑；E X；(2)求随机变量X的数学期望()D X.(3)求随机变量X的方差()。
河北石家庄2024年高二下学期期末质量检测数学试卷(原卷版)
石家庄市2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某汽车启动阶段的位移函数为32()25s t t t =−，则汽车在2t =时的瞬时速度为（ ）A 10B. 14C. 4D. 62. 将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（ ） A. 6B. 24C. 60D. 1203. 设离散型随机变量X q =（ ）A.12B. 1C. 1D. 1±4. 已知一组观测值()11,x y ，()22,x y，…，(),n n x y 满足(1,2,)i i i y a bx e i n =++= ，若i e 恒为0，则2R =（ ） A. 0B. 0.5C. 0.9D. 15. (4的展开式中33x y 的系数为（ ）A. 4−B. 4C. 6−D. 66. 李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近.似服从正态分布，其正态密度函数22()2()x f x µσ−=的图像如图所示，其中µ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差，且(||)0.6827P X µσ−≤=，(||2)0.9545P X µσ−≤=，(||3)0.9973P X µσ−≤=．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班的平均分比乙班的平均分高B. 相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散C. 甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%D. 乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等7. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同参赛方案有（ ） A 51种B. 45种C. 48种D. 42种8. 已知函数()()31e 1xf x x kx =−−+，若对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，则实数k 的取值范围是（ ）A. e ,3∞−B. e ,3−∞C. 1,3 −∞D. 1,3−∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 对于独立性检验，2X 的值越大，说明两事件的相关程度越大B. 以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程ˆˆˆy a bx =+中，ˆ2,1,3b x y ===，则ˆ1a= D. 通过回归直线ˆˆˆybx a =+及回归系数ˆb ，可以精确反映变量的取值和变化趋势 10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章的.算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A. 222234511C C C C 220++++= B. 记第n 行的第i 个数为i a ，则11134n i n i i a +−==∑C. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等D. 第30行中第12个数与第13个数之比为12∶1911. 某大学文学院有A B 、两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A 的概率为13；他第二天去自习室B 的概率为14；如果他第一天去自习室A ，则第二天去自习室B 的概率为12.下列说法正确的是（ ）A. 小王两天都去自习室A 的概率为14B. 小王两天都去自习室B 的概率为112C. 小王两天去不同自习室的概率为34D. 如果他第二天去自习室B ，则第一天去自习室A 的概率为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则()E ξ=__________．13. 在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量,X Y 的取值集合均为{}()*0,1,2,3,,n n ∈N，则,X Y 的散度()()()(||)ln ni P X i D X Y P X i P Y i =====∑.若X ，Y 的概率分布如下表所示，其中01p <<，则(||)D X Y 的取值范围是__________.14. 若二次函数()223f x x =+的图象与曲线C ：()e 3(0)xg x a a =+>存在公切线，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数()32398f x x x x =−−+．（1）求f （x ）在1x =处的切线方程；（2）求f （x ）在[－2，4]上的最大值和最小值． 16. 已知()()23nf x x =−展开式的二项式系数和为512，且()()()()20122311nnn x a a x a x a x −=+−+++− ．（1）求2a 的值；（2）求123n a a a a ++++ 的值； （3）求12323n a a a na ++++ 的值．17. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．（1）请完成下列22×列联表．并依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；（结果均保留到小数点后三位）上课转笔上课不转笔合计优秀合格20合计55100（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k 的概率为()P k ，当()P k 取最大值时，求k 的值．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．()2P k χ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818. 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t （分钟）和答对人数y 的统计表格如下： 时间t （分钟） 102030405060708090100答对人数y987052363020151155lg y 1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 07时间t 与答对人数y 和lg y 的散点图如下：附：102138500ii t==∑，101342i i y ==∑，101lg 13.52i i y ==∑，10110960i i i t y ==∑，101lg 621.7i i i t y ==∑，对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==−=−∑∑，ˆˆv u αβ=−．请根据表格数据回答下列问题： （1）根据散点图判断，yat b =+与lg y ct d =+哪个更适宜作为线性回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立与t 的回归方程；（a ，b 或c ，d 的计算结果均保留到小数点后三位） （3）根据（2）请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：lg 20.3≈，lg 30.48≈）． 19. 对于正实数a ，()b a b >，我们熟知基本不等式：(,)(,)G a b A a b <，其中(,)G a b =为a ，b 几何平均数，(,)2a b A a b +=为a ，b 的算术平均数．现定义a ，b 的对数平均数：(,)ln ln abL a b a b −=−．（1）设1x >，求证：12ln x x x<−；（2）证明(,)(,)G a b L a b <；（3）若不等式(,)(,)(,)G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数,()a b a b >恒成立，求正实数m 的取值范围．.的。
2024学年山东省枣庄市第三中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析
可得 a8 a16 16, a8a16 14 ，根据等比数列的性质，可得 a6a18 a4a20 a8a16 14
则 a6a18 a8
a4a20 a16
14 a8
14 a16
14(a8 a16 ) a8a16
16 .
故选：B.
10、B
【解题分析】根据正弦定理直接计算可得答案.
a2 b2
∴ x2 a2b2 c2 ， a2 b2
可得 b2 ac ， c2 ac a2 0 ，即 e2 e 1 0 ，又 e 1
解得 5 1 e 1. 2
故选：C. 8、B 【解题分析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
详解】对于 A，如 a 5,b 10 ，满足条件，但 b2 a2 不成立，故 A 不正确；
A.54
B.71
C.81
D.80
4．焦点坐标为（1，0） 抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=-4x
B.y2=4x
的 C.x2=-4y
D.x2=4y
5．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线段 PF1 的垂直平分线过 F2 ，
若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则
x y 4
15．若
x,
y
满足约束条件
x
y
2
，则
z
2x
y
的最小值为________.
y 3
16．已知函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是___________ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）已知椭圆 C :
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
高二年级期末教学质量检测数学有答案
第一学期高二年级期末教学质量检测第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分， 1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 6．设(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =- C ．16x =，32y =- D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m+=的离心率5e =，则m 的值为A ．3 B．或 C． D ．253或3 8．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是A 1111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A ． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===， 则OG =A ．122333a b c ++ B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A ．BC ．3D ．5二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分11．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a =12．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)
漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，考生必须将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在原点处的切线斜率为（ ）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数 相关系数 相关系数 相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（ ）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（ ）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案
2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案及评分标准一．单项选择题（每小题5分，共40分）1-4、CBAD5-8、BDCA二．多项选择题（每小题6分，共18分）9.AC10.ACD11、ABD三．填空题（每小题5分，共15分）12.0.313.711714.3(,)2e+∞四．解答题（本大题5小题，共77分）15.（1）由PA AC ⊥，,D E 分别为棱,PC AC 的中点，得//,DE PA DE AC⊥AB BC ==,,D E F 分别为棱,,PC AC AB的中点，且1,EF DE DF ===222DF DE EF =+，DE EF ⊥，EF ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,EF AC E ⋂=,DE ∴⊥平面ABC ……4分DE ⊂平面DEF所以平面DEF ⊥平面ABC .……5分（2）由（1）知DE ⊥平面ABC ，又ABC ∆是等腰直角三角形，E 是AC 中点，BE AC ∴⊥，以E 为原点，EA ，EB ，ED 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，……6分则(0,2,0),(0,0,1),(0,0,0),(2,0,0),(2,0,2)B D E C P -,则(2,2,2),(4,0,2),P P C B =--=--……7分设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则·2220·420m x y z x P PC z B m ⎧=-+-=⎨=--=⎩，取1x =，得(1,1,2)m =--，……9分设平面BDE 的法向量(1,0,0)n =， (10)分6cos ,||||m n m n n m ⋅∴<>===⋅，……12分记平面PBC 与平面BDE 所成角为θsin 6θ∴===∴平面PBC 与平面BDE……13分16.（1）由题意知：当1n =时：1122a q a =+①当2n =时：21112()2a q a a q =++② (4)分联立①②，解得12,3a q ==.所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯.……7分（2）由（1）知123n n a -=⨯，123n n a +=⨯.所以1(21)n n n a a n d +=++-.所以114311n n n n a a d n n -+-⨯==++.……9分设数列{}n d 中存在3项m d ，k d ，p d ，（其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列.则2=k m p d d d ⋅，……10分所以2111434343111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即212243431(1)(1)k m p k m p -+-⎛⎫⨯⨯=⎪+++⎝⎭.……11分又因为m ，k ，p 成等差数列,所以2k m p=+……12分所以2(1)(1)(1)k m p +=++化简得22k k mp m p+=++所以2k mp=……14分又2k m p =+，所以k m p ==与已知矛盾.所以在数列{}n d 中不存在3项m d ，k d ，p d 成等比数列.……15分由()()()()P A B P B P B A P A ⋅=⋅，解得()6P B A =所以.6P B A =……2分则()()()()()P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅，解得1()6P A B =.……4分（2）个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格A 不及格A建立B 20424未建立B 4812合计241236……6分根据列联表中的数据，经计算得到()2236208449 6.63524121224χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.……8分所以有99%的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关.……9分（3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人。
广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)
试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（ ）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（ ）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（ ）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（ ）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（ ）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（ ）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（ ）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（ ）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。
湖北省武汉市江岸区2024年高二下学期7月期末质检数学试题(解析版)
2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合03xA xx =< − ，集合(){}3log11B x x =−<，则A B ∪=（ ）A. {}03x x << B. {}13x x <<C. {}04x x <<D. {}14x x <<【答案】C 【解析】【分析】由分式不等式的求解方法求集合A ，再由对数函数的性质解不等式求得集合B ，结合并集的概念即可得答案.【详解】因为(){}{}3003A x x x x x =−<=<<，(){}{}{}3log1101314B x x x x x x =−<=<−<=<<， 因此，{}04A Bx x ∪=<<.故选：C.2. 设0,0a b >>，则“()lg 0a b +>”是“()lg 0ab >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将对数不等式进行等价变换，结合0a >，0b >，可判断a b +，ab 的取值范围，从而判断()lg a b +与()lg ab 的关系.【详解】因为lg (aa +bb )>0⇔lg (aa +bb )>lg1⇔aa +bb >1，又0,0a b >>， 所以aa +bb ≥2√aabb >1，当且仅当a b =时取等号，即14ab >， 又lg (aabb )>0⇔lg (aabb )>lg1⇔aabb >1， 所以14ab >不能推出1ab >，所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的不充分条件；又aabb >1⇒aabb >14，所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的必要条件， 所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的必要不充分条件. 故选：B.3. 若随机变量(),0.4X B n ，且() 1.2D X =，则()4P X =的值为（ ）A. 420.4×B. 430.4×C. 420.6×D. 430.6×【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布求方差公式得到方程，求出5n =，从而得到()4P X =.【详解】由题意得()0.410.4 1.2n ×−=，解得5n =， ()()44454C 0.410.430.4P X ==⨯-=⨯.故选：B4. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1表2视力 性别 好 差 总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652表3智商 性别 偏高 正常 总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计 163652表4阅读量 性别 丰富 不丰富 总计男 14 6 20 女 2 30 32 总计 163652A. 成绩B. 视力C. 智商D. 阅读量【答案】D 【解析】【分析】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得： A.2252(6221014):0.00916363220A K×−×≈×××;2252(4201216): 1.76916363220B K×−×≈×××;2252(824812): 1.316363220C K×−×≈×××;2252(143062):23.4816363220D K×−×≈×××选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 5. 已知0,0x y >>，且满足341x y+=，则（ ） A. xy 的最小值为48 B. xy 的最小值为148 C. xy 最大值为48 D. xy 的最大值为148【答案】A 【解析】【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意得234()xy xy x y =+，所以2291624()xy xy x y xy=++，所以9162424y x xy x y =++≥=48， 当且仅当916yxx y=时取等，此时6,8x y ==，故A 正确. 故选：A6. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，135a =，则数列11nn a a ++ 的前n 项和n S =（ ）A.B.C.1D.1−【答案】A 【解析】【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列{}n a 通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解.【详解】由题意可得2212n n a a +−=，则数列{}2n a 是以21a 为首项，2为公差的等差数列， 则()22121n a a n =+−，由135a =，故()22131213125a a =+−=，即11a =（负值舍去）， 故()212121n a n n =+−=−，故na =的的则11n n a a +=+12，故12nS =+++ 故选：A.7. 某医院要派2名男医生和4名女医生去A ，B ，C 三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求A ，B ，C 每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去A 地，则不同的安排方案为（ ） A. 120种 B. 144种 C. 168种 D. 216种【答案】D 【解析】【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去A ，则甲可能去B 或C ，有2种结果； 若乙去B ，则甲可能去B 或C ，有2种结果； 若乙去C ，则甲可能去B 或C ，有2种结果， 共有6种结果；将4名女医生分配到A ，B ，C 三个地方，分为211三组，可能的结果有21342322C C A 36A =种， 所以满足题意的有636216×=种结果. 故选：D8. 已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a −+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（ ） A. e ,2−∞−B.1,2e −∞−C. e ,02−D. 1,02e−【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解. 【详解】()()()22222e e 21e −+−+−+′′=+−++=−+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =−++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =， 则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==−ax x x x ， 而2e 0xax−+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x ′<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x −∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增， 又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =， 于是()f x 的最大值()22222e −+==x ax m f x x ，最小值()21111e −+=x ax nf x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e −−+++−++++===−a x x ax ax x x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a−∈−+∞，2141e ,e −∈+∞a ，则2141e,212e −∈−∞−− a ，所以mn 的取值范围是1,2e−∞−. 故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知变量x 和变量y 的一组成对样本数据(),i i x y （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的散点落在一条直线附近，11ni i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑，相关系数为r ，线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，则（ ）参考公式：r =()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==−−=−∑∑.A. 当r 越大时，成对样本数据的线性相关程度越强B. 当0r >时，ˆ0b> C. 当1n x x +=，1n y y +=时，成对样本数据(),i i x y （1,2,,,1i n n =⋅⋅⋅+）的相关系数r ′满足r r ′= D. 当1n x x +=，1n y y +=时，成对样本数据(),i i x y （1,2,,,1i n n =⋅⋅⋅+）的线性回归方程ˆˆˆydx c =+满足ˆˆdb = 【答案】BCD 【解析】【分析】根据线性相关、相关系数、线性回归方程等知识，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A ，当r 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A 错误；对于B ，当0r >时，成对样本数据正相关，相关系数r 与符号ˆb相同，则ˆ0b >，故B 正确； 对于C ，当1n x x +=，1n y y +=时，将这组数据添加后，,x y 不变，故相关系数r 的表达式中的分子和分母均不变，故C 正确；对于D ，当1n x x +=，1n y y +=时，将这组数据添加后，,x y 不变，故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变，所以ˆˆdb =，故D 正确； 综上所述，正确的有B 、C 、D. 故选：BCD.10. 已知(),,a b c a b c <<∈R ，且230a b c ++=，则（ ） A. 0<<a c B. ,a c ∃使得22250a c −= C. a c +可能大于0 D.212b c a c +<−+ 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，据已知条件变形即可证明；对于B ，根据已知得50a c +>，得05ac >−>，即可证明；对于C ，据已知条件变形即可证明；对于D ，将条件变形为()2a c b c +=−+，再利用0ca c<+即可证明结论.【详解】对于A ，由a b c <<及230a b c ++=， 得623230a a a a a b c =++<++=，所以a<0， 又023236a b c c c c c =++<++=，所以0c >，A 正确；对于B ，由a b c <<及230a b c ++=，得230a c c ++>，所以50a c +>，得05ac >−>， 所以2225a c >，得22250a c −<，B 错误； 对于C ，由abc <<及230a b c ++=，得33230a c a b c +<++=，所以0a c +<， C 错误.对于D ，由230a b c ++=，得()2a c b c +=−+，所以212b c b c c b c c ca c a c a c a c a c++++==+=−++++++. 因0a c +<，0c >，所以0ca c <+，所以212b c a c +<−+，D 正确. 故选：AD.11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x …从左往右，依次对相邻两个元素{}()1,1,2,,1k k x x k n +=…−比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4最终完成了冒泡排序，同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}{}4,2,4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序()3n ≥，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则（ ） A. 序列{}2,7,1,8是需要交换3次的序列B. ()12n n n a −=为C. 1n b n =−D. 59c =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，由题意可判断A 中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B ；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C ；利用累加法求出通项公式即可判断D.【详解】对A ，序列{}2,7,1,8，比较{}2,7，无需交换位置，比较{}7,1，需要交换1次位置，得到新序列{}2,1,7,8，比较{}7,8，无需交换位置，最后比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,7,8，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A 错误；对B ，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，交换次数最多的序列为{},1,2,1n n − ， 将元素n 冒泡到最右侧，需交换次1n −次， 将元素n -1冒泡到最右侧，需交换次2n −次，，故共需要()()()()()1111122122n n n n n n −+−−−+−+++==，即最大交换次数()12n n n a −=，故正确；对C ，只要交换1次的序列是将{}1,2,3,n 中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有1n −个这样的序列，即1n b n =−，故C 正确；对D ，当n 个元素的序列顺序确定后，将元素n +1添加进原序列， 使得新序列（共n +1个元素）交换次数也是2， 则元素n +1在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素n +1在新序列的最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有n c 个）， 若元素n +1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换， 故原序列交换次数为1（这样的序列有个1n b n =−）， 若元素n +1在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个），因此，111n n n c c n c n ++−++，所以5432479c c c c =+=+=+，显然20c =， 所以59c =，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数()()ln ,ex xf x f x =′为()f x 的导函数，则()1f ′的值为______. 【答案】1e##1e − 【解析】【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】因为()211e ln ln e e x x x x x x x f x −−==′， 所以()11ln1111e ef− ′ ==.故答案为：1e. 13. ()62x x y −+的展开式中53x y 的系数为______.（用数字作答） 【答案】60− 【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】因为()25323··x y x x y =，而()62x x y −+表示6个因式相乘， 在6个因式中，有2个选2x ，1个x −，3个选y所以()62x x y −+的展开式中含有53x y 项为()()222133643C ?C ?C x x y −， 所以()62x x y −+中含有53x y 项的系数为()213643C ?C ?1?C 60−=−. 故答案为：60−.14. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且117(),(),()3412P A P B P AB AB ==+=，则()P A B =∣______. 【答案】13【解析】【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.【详解】因为11(),()34P A P B ==，故()()23,34P A P B ==，因为,AB AB 互斥，所以()0P ABAB =， 所以()()()B P P A AB AB B P A ++=()()()()P B P AB P A P AB =−+−()21234P AB =+− ()11721212P AB =−=， 解得()16P AB =，所以()()()()()()11146|134P AB P B P AB P AB P B P B −−====. 故答案为：13.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合402x M x x−=≥ −，非空集合{123}N x m x m =−<<−∣，（1）若3m =时，求M N ∩；（2）是否存在实数m ，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不恶在，请说朋理由.【答案】（1）{23}∣∩=<<M N xx （2）存在，72m >的【解析】【分析】（1）由分式不等式化简{24}M xx =<≤∣，即可由交集的定义求解， （2）将问题转化为M ⫋N ，即可列不等式求解. 【小问1详解】 集合40{24}2x M xx x x−=≥=<≤ −∣当3m =时，非空集合{23}N x x −<<∣ {23}M N x x ∴∩=<<∣【小问2详解】假设存在实数m ，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 的必要不充分条件，则R N ⫋R M ，即M ⫋N ，则�2mm −3>41−mm ≤2，解得72m >.故存在实数72m >，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 的必要不充分条件. 16. 树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩()x 和物理成绩()y ，得到一些统计数据：484811115280,,6i i i i x y ===∑∑，其中,i i x y 分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，1,2,,48,i y = 与x 的相关系数0.77r =. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩ξ服从正态分布()2,N µσ，用样本平均数y作为µ的估计值，用样本方差2s 作为2σ的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间()63.05,95.9的人数Z 的数学期望.附：①回归方程ˆˆˆy abx =+中：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x ==−−==−−∑∑②相关系数r =③若()2,N ηµσ，则()()0.68,220.95P P µσηµσµσηµσ−≤≤+≈−≤≤+≈④48221110.9548i i y y =−=≈∑ 【答案】（1）0.4227.8ˆyx +（2）815 【解析】【分析】（1）根据题意，利用公式，求得ˆ0.42b=，得到ˆ27.8a =，即可得到回归方程； （2）根据题意，得到()74,120N η∼，求得(63.0595.9)0.815P η<<=，结合正态分布()74,120Z N ∼，得到()815E Z =，即可求解.【小问1详解】解：由题中数据可得，48481111110,744848i i i i x x y y =====∑∑，由480.77x x y y r−−，可得60.770.411ˆ2b =×=， 可得8ˆ741100.4227.a=−×=，所以回归方程为0.4227.8ˆy x +.【小问2详解】解：由()48482222111174,1204848i i i i y s y y y y ====−=−=∑∑，所以()74,120N η∼， 10.95≈，所以(63.0584.95)0.68,(52.195.9)0.95P P ηη<<=<<=， 所以0.680.95(63.0595.9)0.8152P η+<<==， 因为()1000,0.815ZB ∼，所以()10000.815815E Z =×=， 所以物理成绩位于区间()63.05,95.95的人数Z 的数学期望为815.17. 已知等差数列{}n a 的前n 项利为25,6,45n S a S ==，数列{}n b 的前n 项和为()1312nnT =−. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足20,21,N ,2,N n n n k k c b n k k ∗∗ =−∈ = =∈ ，求()*1222121n n n a c a c a c n −+++∈N . 【答案】（1）3n a n =，13n n b −=（2）1333n n +−− 【解析】【分析】（1）设出公差，由等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程，求出首项和公差，得到通项公式，再利用11,1,2n nn S n b S S n −= = −≥ 求出{}n b 的通项公式；（2）变形得到()11222121333213nn n n n a c a c a c n −−+++=+⋅++− ，错位相减法求和，【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，由题设得11651045a d a d +=+= ，解得13,3a d ==，所以3n a n =， 当2n ≥时，11113,1n n n n b T T b T −−=−===，也符合上式，所以13n n b −=；【小问2详解】20,21,N ,2,N n n n k k c b n k k ∗∗ =−∈= =∈ ， ()1222121113090321n n n n n a c a c a c b b n b −−+++=+++++−()()113321n n b b n b −=+++− ()1333213n n n −+⋅++− ，记()1333213nn W n −+⋅++− ①，则()()121333233213n n W n n −−=+⋅++−+− ②，②-①得，()()()11613232323213212322313n n n n n W n n n −−−=+⋅++⋅−−=+−−=⋅−−− ，故1333n W n +−−，所以11222121333n n n n a c a c a c n +−+++=−−18. （1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为12，设移动n 次后质点位于位置n X .（i ）求随机变量4X 的概率分布列及()4E X ； （ii ）求()n E X ；（2）若轨道上只有0,1,2,n …这1n +个位置，质点向左或右移动一个单位的概率都为12，若在0处，则只能向右移动；现有一个质点从0出发，求它首次移动到n 的次数的期望.【答案】（1）（i ）分布列见解析，0；（ii ）0；（2）2n . 【解析】【分析】（1）由题意分析出随机变量4X 可能取值，根据独立重复试验概率公式计算相应的概率，从而得出分布列；质点向右移动的次数设为随机变量Y ，则Y 服从二项分布，则随机变量n X 可以用Y 表示，从而求得()n E X ；（2）根据题意先设首次从k 到n 的步数期望为k a ，从而得出101221+−=+=+−k k a a a k k a ，再由1(21)−=+∑n k k 求和，由0na=可得20a n =.【详解】（1）（i ）4X 可能取值为4,2,0,2,4−−，()44114216P X =−==， ()131441112C 224P X =−==，.()222441130C 228P X ===， ()313441112C 224P X ===，()44114216P X ===， 所以随机变量4X 的分布列为：()()()4113114202401648416E X ∴=×−+×−+×+×+×=； （ii ）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1,2Y B n∼， ()2n X Y n Y Y n =−−=−，所以()()12202n E X E Y n n n =−=××−=.（2）设首次从k 到n 的步数期望为k a ，则有()()11111122k k k a a a +−=+++，所以112k k k k a a a a +−−=−+，可得1012k k a a k a a +−=+−.又小球在0处，只能向前移动到1，则有011a a −=， 所以1200(21)n n k a a k n −=−=+=∑，又有0n a =，则20a n =.【点睛】关键点点睛：（1）关键是分析出该问题属于独立重复试验，分析求解即可；（2）关键是设首次从k 到n 的步数期望为k a ，从而构造出1012k k a a k a a +−=+−，分析出011a a −=且0n a =，即可求解. 19. 已知函数()1ex x f x +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明()0,x ∈+∞时，12e e ln x x x x f x x −− −≥⋅；（3）若对于任意的()0,x ∈+∞，关于x 的不等式22e 2ln x mx x x x −≥−−恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）增区间为(),0∞−，减区间为[)0,∞+ （2）证明见解析 （3）1,2−∞【解析】【分析】（1）求出导函数，再根据导函数正负求出单调区间即可;（2）证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.； （3）分类情况讨论转化恒成立问题求参. 【小问1详解】()()()2e 1e e ex x x x x x f x −+−==′， 当0x <时，()0f x ′>；当0x >时，()0f x ′<，()f x ∴的增区间为(),0∞−，减区间为[)0,∞+.【小问2详解】令1ln (0)t x x x =−−>，111x t x x−′=−=， 当01x <<时，0t ′<；当1x >0t ′>，∴当1x =时，min 00t t =∴≥即1ln 0x x −−≥，原不等式等价于2e 1e x tt f x − +≥⋅ ()2e x f t f x −⇔≥，()f x 为()0,∞+上的减函数，2e 0,0x t x−≥>，∴只需证明2e x t x−≤即2ln 2e 1ln e x x x x x x −−−−−≤=1e t t −⇐≤， 令()()()11e 01e t t g t t t g t −−=−≥=−′， 当01t ≤≤时，()0g t ′>，当1t >时，()0g t ′<，()()1min ()100e t g t g g t t −∴==∴≤∴≤∴原不等式成立.【小问3详解】当12m ≤时，由（2）知2e 1ln x x x x −≥−−又0x >，22e ln x x x x x −∴≥−−22ln mx x x x ≥−−，∴原不等式在()0,∞+上恒成立.当12m >时，令()()2ln 110x x x ϕϕ=−−=−< . ()422ln20ϕ=−>，()x ϕ∴在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x −=，020e x x −∴=， ()020*******e 12ln 122120x x ax x ax x a x x x −∴+−+=+−+−=−<，0220000e 2ln 0x ax x x x −∴−++<，而0220000e 2ln x ax x x x −<−−，综上所述实数m 的取值范围是1,2−∞.【点睛】方法点睛：证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.。
河南金科新未来2024年高二下学期期末质检数学试题+答案
金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检测高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a −=，则首项1a =（）A ．1−B ．0C ．1D ．32．已知曲线()ln 2f x ax x =+−在点()()1,1f 处的切线方程是2y x b =+，则b =（）A ．3−B ．2−C ．1D ．-13．在各项为正的等比数列{}n a 中，8a 与10a 的等比中项为2，则26212log log a a +=（ ）A ．4 B ．3C ．1D ．24．函数()()321303f x x x x x =−−≤的最大值是（ ）A ．53B ．0C ．2D ．35．已知双曲线2222:1x y C a b−=的一条渐近线与圆22:(25E x y −+=相交于,A B 两点，且8AB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 6．若函数()22e xf x ax =−在区间()2,1−−上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[)2e,+∞B ．41,2e−+∞C ．21,e−∞−D ．21,0e−7．已知*211,,212nn n a b n n n∈==−+N ，数列{}n a 与数列{}n b 的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前99项和为（ ） A ．12B ．99199C ．99197D ．1981998．在平面坐标系xOy 中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为()2,0，则该质点移动的方法总数为（ ） A ．120B ．135C ．210D ．225二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（ ） A ．{}n n a b +不可能为等比数列 B ．{}n n a b 可能为等差数列 C ．n S n是等差数列D ．2n n T是等比数列 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是C 上位于第一象限的动点，点M 为l 与x 轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A ．F 到直线l 的距离为2B ．以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切C ．直线MP 斜率的最大值为2D ．若FM FP =，则FMP △的面积为211．已知函数()()e ,ln xf x xg x x x =−=−，则下列说法正确的是（ ） A ．()exg 在()0,+∞上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()12(2)f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln tx x −的最大值为1e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 m 4 4.5若由表中数据得到经验回归直线方程为 0.80.6x y =+，则m =_________．13．已知函数()2e xf x ax =−，若()f x 的图象经过第一象限，则实数a 的取值范围是_________．14．不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =−，且256,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值． 16．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC −中，AB ⊥平面,,PAC E F 分别为,BC PC 的中点，且22PA AC AB ===．（1）证明：PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，求平面AEF 与平面PAC 的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲， （1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；（2）用随机变量X 表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X 的分布列与期望． 18．（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，，过F 的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，AB =．（1）求C 的方程；（2）过F 的另一条直线交C 于,D E 两点，设直线AB 的斜率为()110k k ≠，直线DE 的斜率为2k ，若122k k =，求AB DE −的最大值．19．（本小题满分17分）已知函数()()()e 1,ln 1xf xg x x =−=+．（1）若()()f x kg x ≥在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围；（2）设()()111,0A x y x >为()y f x =图象上一点，()()222,0B x y x >为()y g x =−图象上一点，O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，证明：221x x >．金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检·高二数学参考答案、提示及评分细则题号 1 2 3 45 6 7 891011答案 C A D A D B B D BC ABD ABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3616a a +=，且534a a −=，所以36153271624a a a d a a d +=+= −== ，所以112a d ==．故选C ． 2．【答案】A【解析】函数()ln 2f x ax x =+−，求导得()1f x a x′=+，依题意，()112f a +′==，得()1,ln a f x x x ==+−2，显然()11f =−，因此12b −=+，所以3b =−．故选A ．3．【答案】D【解析】因为8a 与10a 的等比中项为2，所以281024a a ==，所以()()26212261228102log log log log log 42a a a a aa +=⋅=⋅==．故选D ．4．【答案】A 【解析】因为()()321303f x x x x x =−−≤，所以()223f x x x =−−′，令()0f x ′>，得1x <−，令()0f x ′<，得10x −<<，所以函数()f x 在(),1−∞−上单调递增，在()1,0−上单调递减，所以()f x 的最大值是()513f −=．故选A ． 5．【答案】D【解析】根据题意得，圆心E 到C 的渐近线的距离为3,=∴设渐近线方程为by x a=，则223,9,b e a =∴=，故选D ． 6．【答案】B【解析】依题意，()222e0xf x ax =−≤′在()2,1−−恒成立，即2e x a x ≥恒成立，设()2e xg x x=，则()()22e 21x x g x x′−=，所以()0g x ′≤，所以()g x 在()2,1−−单调递减，所以()4122e a g ≥−=−，故选B ． 7．【答案】B【解析】因为数列{}21n −是正奇数数列，对于数列{}22n n +等价于{}2(1)1n +−，当n 为奇数时，设()*21n k k =−∈N ，则22(1)141n k +−=−为奇数；当n 为偶数时，设()*2n k k =∈N ，则()22(1)1(21)141n k k k +−=+−=+为偶数，所以()()22111111,4141212122121nnc c n n n n n n====−−−−+−+，所以129911111111991123351971992199199c c c +++=×−+−++−=×−=，故选B ． 8．【答案】D【解析】情形一，质点往右移动4次，往左移动2次，26C 15=，情形二，质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，3363C A 120=， 情形三，质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，2264C C 90=， 所以质点移动的方法总数为225，故选D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BC （全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A ，当{}n a 为常数列，且0n a =时，因为{}n b 是等比数列，所以{}n n a b +为等比数列，所以A 错误．对于B ，当{}n b 为常数列时，因为{}n a 为等差数列，所以{}n n a b 为等差数列，所以B 正确． 对于C ，设{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d +=+，得()112nn Sa d n +=+，因为1112n n S S d n n +−=+，所以数列n S n是等差数列，所以C 正确． 对于D ，设{}n b 的公比为q ，则1111112122222n n n n n n n n n nT T b b q T T +++++⋅，当1q ≠时，112n b q 不是常数，所以2n n T 不是等比数列，所以D 错误．故选BC ．10．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】易知()1,0F ，准线:1l x =−，所以F 到直线l 的距离为2，A 选项正确；由抛物线的定义，点P 到准线的距离等于PF ，所以以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切，B 选项正确； 当直线MP 与抛物线相切时，MP 的斜率取得最大值．设直线:1MP x my =−，与抛物线24y x =联立可得：2440y my −+=，令2Δ16160m =−=得：1m =±，所以直线MP 斜率的最大值为1，C 选项错误；若2FM FP ==，设200,4y P y，则2124y +=，解得02y =，所以FMP △的面积为01222y ××=，D 选项正确，故选ABD ． 11．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】A 项中，令e xt =，则ln x t =，由()0,x ∈+∞知1t >，此时函数为1ln ,10y t t y t′=−=−>，所以函数ln y t t =−在()1,+∞上是单调增函数，即()exg 在()0,+∞上是增函数，所以A 项正确；B 项中，1x >时，2ln 0x >，又a 为正实数，所以0ax >，又()e 10x f x =′−>，所以()f x 单调递增，所以不等式等价于2ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即max2ln x a x ≥，令()2ln x x x ϕ=，知()222ln x x x ϕ−′=，所以()x ϕ在()1,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以()()max 2()e ex ϕϕ==，所以B 项正确；C 项中，易知()e x f x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()min()01f x f ==，所以1t >，不妨设12x x <，则必有120x x <<，若12x x +> 0，则等价于210x x >−>，等价于()()21f x f x >−，等价于()()11f x f x >−，令()()()F x f x f x =−−，()()()(),0,e e 20x x x F x f x f x −′′′∈−∞=+−=+−>，即()F x 在(),0−∞上递增，所以()()00F x F <=，则()1,0x ∈−∞时，()()11f x f x <−，所以120x x +>不成立，即C 错误；D 项中，由()e xf x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，易知()()f x g x =有唯一的解()00,1x ∈，又()1e 12f =−<，所以211x x >>，由()()12f x g x =，即12ln 1222e ln e ln x x x x x x −=−=−，即有()()12ln f x f x =，所以12ln x x =，即12e x x =，所以1211ln ln ln e x t t tx x x t ==−−，又2t >，所以21min ln 1e t x x =− ，所以D 正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】易知3x =，经验回归直线 0.80.6x y =+过样本点的中心(),x y ，所以0.830.63y =×+=，所以524 4.3.515m ++++=×，解得3m =．13．【答案】e ,2+∞【解析】由()f x 的图象经过第一象限，得0x ∃>，使得()0f x >，即e 2xa x>，设()e (0)x g x x x =>，求导得()()2e 1x x g x x =′−，当01x <<时，()0g x ′<，当1x >时，()0g x ′>，函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()min ()1e g x g ==，有2e a >，所以实数a 的取值范围是e ,2+∞．14．【答案】49【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为1123C C 6=，取走2个黑球的方法数为23C 3=，所以乙取出白球的概率为613246336339P=×+×=++． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）213na n =−（2）36− 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则25611,114,115a d a d a d =−+=−+=−+， 依题意，2526a a a =，即()()2(114)11115d d d −+=−+−+，整理得，()1120d d −=， 解得，2d =或0d =（舍）， 所以()1121213n a n n =−+−=−； （2）21112131222nn a a n S n n n n +−+−=×=×=−， 因为2212(6)3636n S n nn =−=−−≥−， 当且仅当6n =时，等号成立， 所以n S 的最小值为36−．16．【答案】（1）略（2【解析】（1）因为F 为PC 的中点，PA AC =，所以PC AF ⊥， 因为AB ⊥平面,PAC PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，又,,AF AB A AF AB =⊂ 平面ABF ； 所以PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，则,,AB AC AP 两两垂直，建立如图所示分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，()()()()10,0,0,,1,0,0,1,1,1,0,0,0,2,02A E F B C，()()()10,2,0,,1,0,0,1,1,1,0,02ACAE AF AB ====，设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z = ，则有0,0,AE n AF n ⋅=⋅=即111110,20,x y y z +=+=令11y =，则112,1x z =−=−， 所以平面AEF 的一个法向量为()2,1,1n =−−，易知AB ⊥平面,PAC ∴平面PAC 的法向量为()1,0,0AB =，设平面AEF 与平面PAC 夹角为θ，则cos AB n AB nθ⋅==⋅， 所以平面AEF 与平面PAC． 17．【答案】（1）14 （2）98【解析】（1）记事件A =“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则()1111224P A =××=，所 以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为14； （2）X 的所有可能取值分别为0，1，2， 则()111102228P X ==××=， ()11121224P X ==××=()11511488P X ==−−=X 的分布列为所以X 的期望为()151********E X =×+×+×=． 18．【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设焦距为2c ，当AB OF ⊥时，将x c =代入椭圆方程可得，22221c y a b +=，解得2b y a =±， 所以22b AB a==c a =，解得1a b ，所以C 的方程为2212x y +=；（2）设直线()()11112211:1,,,,AB x m y m A x y B x y k=+=， 与椭圆线方程联立1221220x m y x y =+ +−=可得，()22112210m y m y++−=， 由韦达定理，11212221121,22m y y y y m m −−+==++，所以2AB y =−=21112m − +，同理可得，22112CD m =− +，2212AB DE m −=−+，因为122k k =，所以212m m =，故21142AB DE m −=−=+1≤， 当且仅当11k =±时，等号成立，所以||AB DE −的最大值为． 19．【答案】（1）1k ≤（2）略【解析】（1）先证明()f x x >，构造函数()()e 1x F x f x x x =−=−−， 则()e 10xF x =′−>，故()F x 单调递增，从而()()00F x F >=， 即e 1xx >+，因此()ln 1x x >+， 当1k ≤时，()()ln 1ln 1e 1xk x x x +≤+<−，符合题意； 当1k >时，构造函数()()()()e 1ln 1x G x f x kg x k x −−−+， 则()()e ,1x k G x G x x ′=−+′单调递增，且()()010,ln 01ln k G k G k k k =′′−<=−>+， 故存在()00,ln x k ∈，使得()00G x ′=，且()00,x x ∈时，()0G x ′<，即()G x 单调递减， 则当()00,x x ∈时，()()00G x G <=，与题意矛盾． 综上所述，1k ≤；（2）依题意可知，cos 0AOB ∠>，则0OA OB ⋅> ，即12120x x y y +>，即()()1122e 1ln 1x x x x >−+． 因为12,0x x >，则不等式为()1212ln 1e 1x x x x +>−， 设11e 1x x =′−，则不等式为()()22ln 1ln 11x x x x +++′>′， 设()()ln 1x h x x+=，则()()2ln 11x x x h x x −+′+=， 设()()ln 11x H x x x =−++，则()22110(1)1(1)x H x x x x ′−=−=<+++， 因此()()00H x H <=，即()0h x ′<，即()h x 单调递减，因此()()12h x h x ′>，可得12x x ′<，即12e 1xx <+． 首先证明：2e 1(0)x x x >+>， 设()2e 1x t x x =−−，则()e 2x t x x =′−， 由（1）可知1e 1,e x x x x −>+∴>，从而e e 2x x x >>，故()()0,t x t x ′>单调递增， 因此()()00t x t >=，从而2e 1x x >+， 因而12211e 1x x x +>>+，故221xx >．。
2022-2023学年浙江省舟山市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年浙江省舟山市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-= ，且a b，那么xy =（）A ．18-B ．9C ．9-D ．18【正确答案】D【分析】a b，则R λ∃∈，使得a b λ= ，据此计算即可.【详解】依题意，由a b 可知，R λ∃∈，使得a b λ= ，于是1321x yl l l ì-=ïï=íï=ïî，解得1363x y l ì=-ïïï=-íï=-ïïî于是18xy =.故选：D.2．已知O 为原点，点()2,2A -，以OA 为直径的圆的方程为()A ．()()22112x y -++=B ．()()22118x y -++=C ．()()22112x y ++-=D ．()()22118x y ++-=【正确答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()11-，，半径12r OA ＝，∴圆的方程为22(1)(1)2x y -＋＋＝﹒故选：A ﹒3．已知双曲线221x y m-=的渐近线方程为12y x =±，则实数m 的值为（）A ．14B ．4C ．4-D ．14-【正确答案】B【分析】利用双曲线方程得出0m >，再利用渐近线定义得12y x =±=，解方程求出m 值.【详解】已知方程221x y m-=表示的曲线为双曲线，所以0m >，该双曲线的渐近线为12y x =±=，又0m > ，得出4m =故选：B.4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A ．=1x -B ．1x =C ．2x =D ．2x =-【正确答案】D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.5．已知直线l 过点(3,1)A -，且与直线230x y -+=垂直，则直线l 的一般式方程为（）A ．230x y ++=B ．250x y ++=C ．210x y +-=D ．220x y +-=【正确答案】B【分析】由题意设直线l 方程为20x y m ++=，然后将点()3,1-坐标代入求出m ，从而可求出直线方程【详解】因为直线l 与直线230x y -+=垂直，所以设直线l 方程为20x y m ++=，因为直线l 过点()3,1-，所以610m -++=，得5m =，所以直线l 方程为250x y ++=，故选：B.6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（）A ．14B ．12C．2D【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面QGC 的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,2)QC =-- ，(1,0,0),(1,1,0)QG AC =-=-，设平面QGC 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z -=⎧⎨-+-=⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n = ，则点A 到平面QGC的距离2n AC d n⋅== .故选：C7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是（）A ．1//D E 平面11AB BA B ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11B D 所成角的范围为(,)42ππD ．二面角11E A B A --的大小为4π【正确答案】C【分析】由平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，即可判断A ；建立空间直角坐标系计算11EB AD ⋅即可判断选项B ；求11|cos(,)|AE B D 的范围即可判断选项C ；先找出二面角的平面角为1DA A∠即可判断选项D ，进而可得正确选项．【详解】对于选项A ：因为平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，所以1//D E 平面11A B BA ，故选项A 正确；如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，(0,,0),01E m m ≤≤，1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(1,0,1)A ，对于选项B ：1(1,1,1)EB m =- ，1(1,0,1)AD =-，因为11(1,1,1)(1,0,1)1010EB AD m ⋅=-⋅-=-++= ，所以11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥，故选项B 正确；对于选项C ：(1,,0)AE m =- ，11(1,1,0)B D =--，设直线AE 与11B D 所成角为θ，则11cos |cos ,|AE B D θ=〈〉=，当0m =，此时θ最小为4π，当1m =时cos θ最小等于0，此时θ最大为2π，所以,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即直线AE 与11B D 所成角的范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，14DA A π∠=，所以二面角11E A B A --的大小为4π，故选项D 正确，故选：C.8．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．【详解】{}n a 是首项为正数的等比数列，若公比0q <，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有212n n a a ->，充分性满足，但是01q <<时，数列各项均为正，2212n n n a a q a -=<，也就是说221n n a a -<时，得不出0q <，不必要．故选：A ．9．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53-【正确答案】A【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可．【详解】解： 圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ，则2d =，即234k k - ，403k ∴- ．k ∴的最小值是43-．故选：A ．本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．10．已知曲线2:||44C x x y +=，点F ，下面有四个结论：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4；③曲线C 上任意点P 满足||2PF ≥；④曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y --+-=有5个不同的交点．则其中所有正确结论的序号是（）A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③【正确答案】D【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到)F 的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④.【详解】①：(),x y 在C 上时，(),x y -也在C 上，∴曲线C 关于x 轴对称，故①对；②：当220,44x x y >+=，此时曲线是椭圆的右半部分.矩形ABCD 的面积为4,∴封闭图形面积不超过4,故②对；③：当0x ≥时，2214x y +=，)02PF x ===≤≤，当2x =时，min2PF=，当0x <时，2214x y -=，2PF >综上，可知曲线C 上任意点P 满足2PF ≥，故③对.④：220x y --=与曲线相交于点(2,0),(0,1)-，220x y +-=与曲线相交于点(2,0),(0,1)，当0x <时，2214x y -=，此时双曲线的渐近线方程为12y x =±，与220x y --=，220x y +-=平行，故不会有交点.所以共有3个交点，故④错.故选：D.二、填空题11．已知等比数列{}n a 中，1231,27a a a ==，则数列{}n a 的前5项和5S =____________．【正确答案】121【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由条件结合等比数列通项公式列方程求q ，利用等比数列求和公式求5S ．【详解】设等比数列{an }的公比为q ，因为181a =，2327a a =，所以23127q ⨯=，解得3q =，则数列{}n a 的前5项和()5511312113S -==-.故121．12．已知圆22:(1)(1)4C x y -++=，若直线1y kx =+与圆C 相交得到的弦长为则k =____________．【正确答案】34-##-0.75【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k 的方程，解之即可.【详解】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，得圆心(1,1)C -，半径2r =，则圆心(1,1)C -到直线1y kx =+即10kx y -+=的距离为d 222()2d r +=，有21=，解得34k =-.故答案为.34-13．已知椭圆22219x y b +=(03)b <<的两个焦点分别为12,F F P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为____________．【正确答案】3【分析】根据已知可得3a =，c 12F F =根据椭圆的定义有126PF PF +=，根据120PF PF ⋅=有221224PF PF +=.即可求出126PF PF ⋅=，进而求出三角形的面积.【详解】由已知可得，3a =，c e a ==c 12F F =.因为点P 在椭圆上，由椭圆的定义可得，126PF PF +=，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF +=++⋅=.又120PF PF ⋅= ，所以12PF F △为直角三角形，则222121224PF PF F F +==，所以126PF PF ⋅=，所以1212132PF F S PF PF =⋅=△.故3.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面1111D C B A内，点Q 在线段A 1N 上，若PM =PQ 长度的最小值为____.-1【分析】取11B C 的中点O ，连接,OM OP ，得到MO OP ⊥，求得11A N OP ==，得到点P 在以O 为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形1111D C B A 中，求得1A NOS，结合11322A N OH ⋅=，即可求解.【详解】如图所示，取11BC 的中点O ，连接,OM OP ，则MO ⊥平面1111D C B A ，所以MO OP ⊥，因为PM =，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，N 是11D C 的中点，所以11A N OP ==，所以点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，单独画出平面1111D C B A 及相关点、线，如图所示，所以点O 到1A N 的距离减去半径就是PQ 长度的最小值，连接1,A O ON ，作1OH A N ⊥交1A N 于H ，则11113221111212222A NOS =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，所以11322A N OH ⋅=，解得355OH =所以PQ 长度的最小值为3515-.故答案为.3515-三、双空题15．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,,231,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时①若13m =，则使得1n a =至少需要_______步雹程；②若91a =；则m 所有可能取值的和为_______．【正确答案】9385【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可.【详解】m =13，依题意，314020105168421m +=→→→→→→→→，共9共步骤；若91a =，872,4a a ==，68a =或61a =，若68a =，2143215214321128,25632,6421,421620,405,103,6a a a a a a a a a a a a a ⎧==⎧==⎨⎪==⎪⎩=⎨==⎧⎪==⎨⎪==⎩⎩若61a =，132154321328,1652,41,2,4a a a a a a a a a ⎧=⎧==⎨⎪===⎨⎩⎪===⎩1a 的集合为{}256,42,40,6,32,5,4，其和为385；故9,385.四、解答题16．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且124,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)(1)n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）2n a n =；（2）11(1)221n -+【分析】（1）根据{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，10110S =，且124,,a a a 成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列{}n a 的通项公式；（2）将n a 的带入求解{}n b 的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．【详解】（1）根据{}n a 为等差数列，0d ≠．前n 项和为n S ，且10110S =，即11101045a d =+，…①∵124,,a a a 成等比数列．可得：2214a a a =⋅．∴2111()(3)a d a a d +=+…②由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n=（2）由()()n n 111n b a a =-+，即()()12n 12n 1n b =-+=11122n 12n 1⎛⎫- ⎪-+⎝⎭．那么：数列{}n b 的前n 项和12n n T b b b =+++ 111111(1)23352121n n =-+-++--+ 11(1)221n =-+.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．(1)求证：1//BD 平面ACE ；(2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见详解6【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知1//OE BD ，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算AD ，平面ACE 的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，因为O ，E 为中点，所以1//OE BD ,又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系令2AB =，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E ()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE === 设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = 所以2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令1,1,2y x z =-==所以()1,1,2n =- ，所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值6n AD n AD ⋅=⋅ 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，13,,AA D E =分别为,AB BC 的中点．(1)求证：CD ⊥平面11AA B B ．(2)求二面角1B AE B --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析10【分析】（1）证明CD AB ⊥，1AA CD ⊥，进而根据判定定理即可证明；（2）取11A B 的中点为F ，连接DF ，证明DF AB ⊥，CD AB CD DF ⊥⊥，，进而建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．又ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．因为11,,AB AA A AB AA =⊂ 平面11AA B B ，所以CD ⊥平面11AA B B ．（2）解：取11A B 的中点为F ，连接DF ，因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，,D F 分别为11,AB A B 的中点，所以1//DF AA ，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB⊥所以DF AB ⊥．由（1）知CD AB CD DF ⊥⊥，，故建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，由题意得111(1,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),,22A B C A B E⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭所以，13,0,,(2,3,0)22AE AB⎛=-=-⎝⎭．设平面1AB E的法向量(,,)n x y z=，则1302230n AE xn AB x y⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令1x=，则2,3y z==21,3n⎛=⎝．由题意可知，平面BAE的一个法向量1(0,3,0).AA=因为111cos,10AA nAA nAA n⋅==⋅．由已知可得二面角1B AE B--为锐角，所以二面角1B AE B--19．已知椭圆C：()222210x y a ba b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫--⎪⎝⎭，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()1,0作直线l与椭圆相较于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）22143x y+=；（2）存在(4,0)Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称.（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c=+，即可求出2,a b==，进而可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为1x my=+，与椭圆联立，可得12y y+，12y y的表达式，根据题意可得，直线QA，QB的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.【详解】（1）有题意可得22222191412a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）存在定点(4,0)Q ，满足直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立得22(43)690m y my ++-=，22(6)4(43)(9)0m m ∆=-⨯+⨯->，设1122(,),(,)A x y B x y ，定点(,0)Q t ，由题意得12,t x t x ≠≠，所以12122269,4343m y y y y m m +=-=-++，因为直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，所以直线QA ，QB 的斜率互为相反数，所以12120y y x t x t+=--，即1221()()0y x t y x t -+-=，所以11221)1()(0y y my t my t +-++-=，即1212(1)()02y y t y m y +-+=，所以22962((1)()04343m m t m m⋅-+--=++，即6(4)0m t --=，所以当4t =时，直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，即(4,0)Q .综上，在x 轴上存在定点(4,0)Q ，使直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称.本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，转化为直线QA ，QB 的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.20．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.【正确答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.（1）利用抛物线的定义与性质求得p 的值，即可写出抛物线方程；（2）设点()11,B x y 、()22,M x y ，由直线BM 的方程和抛物线方程联立，消去y ，利用韦达定理和A 、P 、B 三点共线，化简整理可得BM 的方程，从而求出直线BM 所过的定点．【详解】（1）由题意得002224p AF y py ⎧=+=⎪⎨⎪=⎩，解得021p y =⎧⎨=⎩，所以，抛物线E 的标准方程为24x y =.（2）证明：设点()11,B x y 、()22,M x y ，设直线BM 的方程为y kx b =+，联立24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=，由韦达定理得124x x k +=，124x x b =-，由MP x ⊥轴以及点P 在直线3y x =-上，得()22,3P x x -，则由A 、P 、B 三点共线，得21214122x kx b x x -+-=--，整理得()()()12121241260k x x k x b x b ---++--=，将韦达定理代入上式并整理得()()12230x k b -+-=，由点B 的任意性，得230k b +-=，得32b k =-，所以，直线BM 的方程为()2323y kx k k x =-+=-+，即直线BM 过定点()2,3.本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由A 、P 、B 三点共线是解第二问的关键，是中档题．21．已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【正确答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得kM中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
2023—2024学年云南省昆明市盘龙区高二上学期期末质量检测数学模拟练习试卷
2023—2024学年云南省昆明市盘龙区高二上学期期末质量检测数学模拟练习试卷一、单选题(★) 1. 集合，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知角的终边经过点P(5,12)，那么的值是（）A．B．C．D．(★) 3. 等比数列中，，公比，若，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知分别为的内角的对边，，，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知，，则等于（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的体积为．A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．B．复数的虚部为C．，为纯虚数的充要条件是D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线(★★★) 10. 如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（）A．小明可以选择的不同路径共有20种B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为(★★★) 11. 在中，，，，则的面积可能是（）A．B．C．D．(★★★★) 12. 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，左右焦点为，，P为椭圆上一点，则下列说法正确的是（）A．当P点异于点A，B时，直线P A，PB的斜率积为定值B．当直线，的斜率存在时，，的斜率积为定值C．当点P是椭圆上顶点时最大D．当点P是椭圆上顶点时最大三、填空题(★★) 13. 对于任意实数，给出下列命题：“”是“”的充要条件，“是无理数”是“是无理数”的充要条件，“”是“”的充分条件，“”是“”的必要条件，其中是真命题的序号是 _________ . (★★) 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，A为上顶点，若的面积为，则的周长为 ____ ．(★★★) 15. 已知平面向量，，若函数在上是单调递增函数，则的取值范围为 ______ ．(★★★★) 16. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线，为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点M，N，且千米，若要求观景台P与两接送点所成角与相等，记，观景台P 到M，N建造的两条观光线路与之和记为y，则把y表示为的函数为y= ______ ；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的距离______ 千米.四、解答题(★★) 17. 正方体中，E､F分别是的中点，证明：直线AE平面(★★) 18. 已知等差数列为递增数列，且，，是方程的两个根.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和(★★★) 19. 在中，内角所对的边长分别为，是1和的等差中项．（1）求角；（2）若的平分线交于点，且，求的面积．(★★) 20. 某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2019年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：温差10发芽数y该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为时，种子发芽数.附：回归直线方程：，其中；(★★★) 21. 已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列{ b n}的前100项的和．(★★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线：和函数的图像关于点对称.（1）函数的图像和直线交于、两点，是坐标原点，求证：；（2）求曲线的方程；（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线为抛物线.。
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高二数学期末质量检测
姓名 成绩
一、选择题
1．在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则x
y
∆∆为（ ） A.Δx +
x
∆1+2 B.Δx －
x
∆1－2 C.Δx +2 D.2+Δx －
x
∆1
2 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A 7米/秒
B 6米/秒
C 5米/秒
D 8米/秒 3．已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．不确定
4、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ）
A ．0
B ．2x
C ．6
D ．9 5、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6、若()3
f x x =
，则()1f '等于（ ）
A ．0
B ．1
3
- C ．3 D ．
13
7、函数()
2
2
423y x x
=-+的导数是（ ）
A ．()2823x x -+
B ．()2
216x -+ C ．()()282361x x x -+-
D ．()()242361x x x -+-
8．下列结论不正确的是（ ）
A ．若3y = ，则'0y =
B ．若3y x
= ，则'32
y x
=-
C ．若y x =- ，则'12y x
=-
D ．若3y x = ，则'1|3x y ==
9．[2011·江西卷]曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）
A.1
B.2
C.e
D.
1e
10．(2010年全国Ⅱ)若曲线y ＝
在点(a ，
)处的切线与两个坐标轴围成
的三角形的面积为18，则a 等于( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
11．(2010年辽宁高考)已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A ．(0，π4)
B ．(π4，π2)
C ．(π2，3π4)
D ．[3π
4
，π)
１２.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（ ）
A ．圆
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．直线 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题 13．曲线在9y x
=
点(3,3)M 处的切线方程为_________________
14．设sin y t =，则6πt =处的导数为 ．
15．设函数32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a = ． 16．函数2x y =在12
x =
处的导数是 ．
17．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．
三、解答题18.设函数1)(2-=x x f ，求：
（1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆； （2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆； （3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率； （4）函数在x ＝1处的瞬时变化率.
19、求下列各函数的导数 (1) 235y x x =-+ (2) 1243y x x =-
+
(３) ()()y x a x b =--
20、求下列各函数的导数
（1）ln y x x = （２）sin cos y x x x =+ （３）1cos x y x
=-
21.若曲线12
32
+=x y 的切线垂直于直线0
362=++y x ，试求这条切线的方程.
22．在抛物线2
=上，哪一点的切线处于下述位置？
y-
2x
（1）与x轴平行;
（2）平行于第一象限角的平分线;
（3）与x轴相交成45°角.
23.已知函数32
=-+
()23 3.
f x x x
（1）求曲线()
x=处的切线方程；
y f x
=在点2
（2)求曲线()
y f x
=的单调递增区间
(3)若关于x的方程()0
+=有三个不同的实根，求实数m的取值范围.
f x m
24．设()
'=+，
f x x
f x=有两个相等实根，且()22
=是二次函数，方程()0
y f x
求()
f x的表达式．。