第二章 函数图像

函数的图象
1、平移变换
2、对称变换
①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；
③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．
3、伸缩变换 ()11101a a a a
y f x ><<→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①＝y ＝f (ax )．
②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变
y ＝af (x )． 4、翻折变换
①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象
y ＝f (|x |)．
5、函数对称的重要结论 (1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．
(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 题型一 作出下列函数的图象．
(1)y ＝(12)|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1
； (4)y ＝x 2－2|x |－1.
题型二 识图与辨图 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
例2 (1)函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2，π2)上的图象大致为( )
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )
(3)函数y ＝e x ＋e －
x
e x －e －x 的图象大致为( )
(4)已知f (x )＝⎩⎨⎧
－2x ，－1≤x ≤0，x ，0<x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )
题型三 函数图象的应用
例3 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)
D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
(3)函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，图象如图所示， 若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．
（3） （5）
(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
(5)函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f x cos x
<0的解集为___． (6)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A ．(0，12)
B ．(12
，1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞)
典例1 函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )
典例2 若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )
典例3 (1)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) （1） （2）
A ．{x |－1＜x ≤0}
B ．{x |－1≤x ≤1}
C ．{x |－1＜x ≤1}
D ．{x |－1＜x ≤2}
(2)若函数f (x )＝ 2－m x x 2＋m
的图象如图所示，则m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2) C ．(0,2) D ．(1,2)
(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________． 基础
1．函数f (x )＝x ＋1x
的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称
2．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )
（2） （4）
3．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝e x ＋1
B ．f (x )＝e x －1
C ．f (x )＝e －x ＋1
D ．f (x )＝e －x －1
4．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图象如图所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x x ＞0 ，2x x ≤0 ，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是____．
6．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )
7．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点( )
A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，则下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0 D ．f (x 1)－f (x 2)<0
9．已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )
10．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：
①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
11．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________．
12．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．
13.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________________．
14．函数y ＝11－x
的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________． 15．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．
16．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．
17.已知函数f(x)=(12
)x 的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x 对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0，1)上为减函数. 其中正确命题的序号为_________.(将你认为正确的命题的序号都填上)
18．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .
(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．。