2014届高三新课标理科数学一轮复习课件第七章第2讲解三角形应用举例

合集下载

高考数学一轮复习全程复习构想·数学(理)【统考版】课时作业27 解三角形应用举例练习

课时作业27解三角形应用举例[基础落实练]一、选择题1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°2．[2023·辽宁百校联盟质检]如图，无人机在离地面高300 m的M处，观测到山顶A处的俯角为15°，山脚C处的俯角为60°，已知AB＝BC，则山的高度AB为() A．1502m B．200 mC．2002m D．300 m3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为() A．152km B．302kmC．452km D．602km4．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶300 m到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为()A．150(3＋2) m B．100(3＋2) mC．150(6＋2) m D．100(6＋2) m5．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，BD＝5，AB⊥AC，AC＝2AB，则CD的最小值为()A．5B ．33C ．5D ．35 二、填空题 6.如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m ．7．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27 ，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为________．8．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.三、解答题 9．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以153 海里/时的速度向正北方向航行，该船在A 点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B 点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？10．[2023·广东佛山市高三一模]如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，∠ABC ＝2π3.(1)若AC ＝27 ，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD .[素养提升练]11．已知△ABC 中，AC ＝2 ，BC ＝6 ，△ABC 的面积为32，若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝( )A ．23B ．3C ．4D ．3212．[2023·广东检测]如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角).若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值为( )A ．305 B ．3010C ．439D ．53913．[2023·南昌市模拟]已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v 公里/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos (α－β)＝2425，则v ＝________．14.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003 米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．15．[2023·广东高三模拟]已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，D 为边BC 上的一点，∠DAC ＝90°，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求△ABD 的面积及BD 的长．条件①AB ＝6；条件②cos ∠BAC ＝－13 ；条件③CD ＝36 .[培优创新练]16．[2022·长春第一次联考]如图，C ，D 是两所学校所在地，C ，D 到一条公路的垂直距离分别为CA ＝8 km ，DB ＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在AB 上找一点P ，分别向C ，D 修建两条垂直的公路PC 和PD ，设∠APC ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2 ，则当PC ＋PD 最小时，AP ＝________km.17．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B 两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．。

[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第四篇第7讲解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )． A ．1 B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20° 解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 答案 C2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )． A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．3解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.答案 C3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 ( )．A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．答案 A4.(2012·吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·上海)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为________千米．解析由已知条件∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，得∠ACB ＝45°.结合正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠CBA，即2sin 45°＝AC sin 60°，解得AC ＝6(千米)．答案6 6.(2013·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝12v，BS＝8 2 n mile，∠BSA＝45°，由正弦定理得：82sin 30°＝12vsin 45°，∴v＝32 n mile/h.答案32三、解答题(共25分)7．(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．解在△ABC中，由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5，在△ABD中，由余弦定理得cos D＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7.由∠C＝∠D，得cos∠C＝cos∠D，解得AB＝7，所以AB长度为7米．8．(13分)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B 处救援，求cos θ的值．解如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2 800，故BC＝207(海里)．由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，所以sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.易知θ＝∠ACB ＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )．A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案 A2.(2013·榆林模拟)如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )．A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m 解析在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE .∴AE ＝CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE ，∴AE ＝CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A ，B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝20 3 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案 304.(2013·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m 海里后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)＞n ，所以当α与β的关系满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案 m cos αcos β＞n sin(α－β)三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·肇庆二模)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1百米．(1)求△CDE 的面积；(2)求A ，B 之间的距离．解 (1)在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △CDE ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米)．(2)连接AB ，依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝3(百米)，在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理BC sin ∠CEB ＝CE sin ∠CBE ，得 BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝2(百米)． ∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝6＋24，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ，可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3，∴AB ＝2－3百米．6．(13分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.。

2014高三数学一轮复习课件--三角函数、解三角形

目录
三角函数、解三角形
第一节第二节任意角和弧度制及任意角的三角函数同角三角函数的基本关系与诱导公式

第三节
第四节函数
三角函数图像与性质
函数y＝sin(ω x＋φ )的图象及三角模型的简单应用
第五节第六节第七节第八节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式简单的三角恒等变换正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理的应用
[典例]
2011· 江西高考已知角 θ 的顶点为坐,标原
点，始边为 x 轴的正半轴.若 P4，y是角 θ 终边上,一点，且 sin θ＝－
2 5 ，则 y＝ 5
.
[尝试解题]
r＝ x2＋y2 ＝ 16＋y2，且 sin θ＝－
2 5 y y 2 5 ，所以 sin θ＝r ＝ 2＝－ 5 ，所以 θ 为第四象 5 16＋y 限角，解得 y＝－8.
π (2)由已知＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)， 2 π 则－π－2kπ<－α<－－2kπ(k∈Z)， 2 π 即－π＋2kπ<－α<－＋2kπ(k∈Z)， 2 π 故 2kπ<π－α< ＋2kπ(k∈Z)， 2 所以 π－α 是第一象限角．
答案：(1)C (2)一
[例2]
(1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)， (
2．三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 y sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x，但若不是单位圆时，如 y x y 圆的半径为 r，则 sin α＝r ，cos α＝ r ，tan α＝x.
[例1] 已知角α＝45°， (1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；

高三数学第一轮复习课件(ppt)目录

Page 12
目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚

2014届高三理科数学第一轮复习单元过关(6)-解三角形、平面向量

2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）考查：解三角形和平面向量时间：90分钟练习时间：2013年10月20日星期天上午出题人：盛驰志审题人：刘仕宏一、选择题1．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（）A．B．CD2．在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 4．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP |:|PB |＝2，如图所示，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 25．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A．2 B．2 C ．12 D ．12- 7．在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（）A ．725B ．725-C ．725±D ．24258．在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（）ABCD二、填空题9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则a ·b ＝______，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝______. 10．在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______ 11．△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为12．设△ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____13．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.14．已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.班别：姓名：学号：成绩：二、填空题9． __________________ 10．__________________ 11．__________________12．__________________ 13．__________________ 14．__________________三、解答题15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．16．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,2.B C b == （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）cos(2)4A π+的值．17．要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．18．已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量．(1)求A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）参考答案1．B.解析:由正弦定理,可得sin 45sin60AC BC=︒︒,所以2AC ==2．A.解析:由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得02cos 222<-+=abcb a C ,所以C 是钝角.3．A.解析:由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.4．C.解析: AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →，OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB →－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2.5．C.解析:λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴ λ＝－2.6．C.解析:由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,选C. 7．A.解析:∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8sin =10sin cos B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.8．B.解析:设AB c =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式h BC B BC AB S ABC ⋅=⋅⋅=∆21sin 21，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯ ,解得h =. 9．解析:a·b ＝1×(－3)＋2×2＝1，∵ ka ＋b 与b 平行，ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，∴ (k －3)×2－(－3)×(2k ＋2)＝0，∴ k ＝0. 10．解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.11．由余弦定理得o 120cos 2222⋅⋅-+=BC AC BC AC AB ，解得BC=3．故由面积公式得4315sin 21=⋅⋅=B BC AB S 12．解析:11,2,cos 4a b C ===,由余弦定理得22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin 4B ==. 13．解析:由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-，根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab π+-==-⇒=14．解析:设最小边为a ,,2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为222cos 4α==-15．解：(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ) ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 16．（Ⅰ）解：由,2,B C b c b ====可得所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）解：因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin A ==27cos 22cos 1.sin 22sin cos 99A A A A A =--=-==故所以78cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218A A A πππ+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．解如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.18．解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，又π<<A 0，故sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.。

2014高考复习理科数学(人教A版)4.7正弦定理、余弦定理及其实际应用

1.(2012·广东卷,6)在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则
AC=( )
A.4 3
B.2 3
C. 3
D.
3 2
【答案】B
【解析】由正弦定理得 BC
��A
=
��A��C��B,即��3��602°
号),∴3-bc≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号),即当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大
值为 1.
(3)由正弦定理,得��a��A
=
b ��B
=
��c��C=2R(R
为△ABC
外接圆半径),
故a��(30°-C)
高等于( )
A.
3 2
C.
3+ 2
6
【答案】B
B.323
D.
3+ 4
39
【解析】在△ABC 中,由余弦定理可知: AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,
即 7=AB2+4-2×2×AB×12. 整理得 AB2-2AB-3=0, 解得 AB=-1(舍去)或 AB=3.
故 BC 边上的高 AD=AB·sin B=3×sin 60°=323.
解个数一解
两解
一解
A 为钝角或直角
a>b 一解
4.△ABC 的面积公式 (1)S=12a·ha(ha 表示 a 边上的高); (2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A; (3)S=12r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径);

2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：2.5解三角形

B＝15°.
变式迁移 2 已知⊙O 内 2弧度的圆心角所对的弦长是 sin 2，则该角所对的弧长是________．
答案
2cos
2 2
解析设圆的半径为 R，
则(sin 2)2＝R2＋R2－2R·Rcos 2
＝2R2(1－cos 2)．
∴1－cos2 2＝2R2(1－cos 2)，
∴1＋cos 2＝2R2，1＋c2os 2＝R2，
⑥余弦定理
c2＝a2＋b2－2abcosC；cosC＝
a2＋b2－c2 2ab .
易知勾股定理是余弦定理的特殊情况．
⑦在△ABC 中有：a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB⇔cosA<cosB.
(2)常用的三角形面积公式
①S△＝12ah(其中 h 是 a 边上的高)． ②S△＝12absinC.
③S△＝ pp－ap－bp－c＝pr，(p 为周长的一半，r 为内切圆半径)．
题型二用余弦定理解题例 2 已知在△ABC 中，∠A＝45°，AB＝ 6，BC＝2，求其他边和角．分析本题可利用正弦定理先求出角 C，再求出角 B 及边 AC. 也可利用余弦定理先求出边 AC，再求同角 C 及角 B.
解法一 (利用正弦定理)：
根据正弦定理，有 sinC＝ 26sin45°＝ 23， ∴C＝60°或 C＝120°. 当 C＝60°时，B＝75°， AC＝sBinCA·sinB＝ 3＋1，当 C＝120°时，B＝15°，AC＝sBinCAsinB＝ 3－1. ∴AC＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°；或 AC＝ 3－1，B＝15°，C ＝120°.
∴A＝π2. ∴△ABC 是直角三角形．点评判断三角形的思路有两条——化边和化角，工具是正余弦定理和三角形中的边角关系．在本例中若转化为边，等式左边产生 R2，而等式右边没有，处理难度较大，所以简单易行的方法就是转化为角.

2014届高考数学(文)一轮复习讲义(教师用书) 三角函数、解三角形第六节正弦定理和余弦定理

第六节正弦定理和余弦定理[备考方向要明了][归纳知识整合]1．正弦定理和余弦定理[探究] 1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例) 提示：∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．[自测牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3. 答案：2 32．(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________. 解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝23×32＝33.又∵a ＞b ，A ＝60°， ∴B ＜60°，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 答案：633．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有________个．解析：∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．答案：24．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 35．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.———————————————————正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．——————————————————————————————————————1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A＝2得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.[例2] 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [自主解答] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．若将条件改为“sin B ＝cos A sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：∵sin B ＝cos A ·sin C ， ∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc ·c ，即b 2＋a 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．———————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.,(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径,①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；,②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.——————————————————————————————————————2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c－b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形.[例3] (2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .[自主解答] (1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C ，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.———————————————————三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． ——————————————————————————————————————3．(2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2个防范——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.答题模板——利用正、余弦定理解三角形[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ―――――――→数式中既有边又有角，应统一sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A . 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求证：B －C ＝π2――――――――→应求角B －C 的某一个三角函数值sin(B －C )＝1或cos(B －C )＝0.3．建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有B ，C ，因此应消掉sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A 中的角A 4A π−−−−→借助＝sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C － sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝22――――――――→利用两角和与差的三角函数公式sin(B －C )＝1 ――――――――→要求角的值，还应确定角的取值范围由0＜B ，C ＜3π4，解得B －C ＝π2. 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：a ＝2，A ＝π4，B －C ＝π2――――――→可求B ，C 的值 B ＝5π8，C ＝π8. 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求△ABC 的面积―――――→应具有两边及其夹角由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝2sin 5π8，c ＝2sin π8. 3．建联系，找解题突破口△ABC 的边角都具备――――→利用面积公式求结论S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. [准确规范答题](1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C · ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(4分)整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1，由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分) 由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分) [答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答⇒⇒⇒一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝________. 解析：由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 45°＝5 6.答案：5 62．(2013·南通模拟)在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝43，c ＝13，则最小的内角为________．解析：大边对大角，小边对小角，所以边c 所对的角最小，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又因为C ∈(0，π)，所以最小角C ＝30°.答案：30°3．(2013·昆山期中)在△ABC 中，已知sin A ＝2sin B cos C ，则该三角形的形状为________．解析：由正弦定理及余弦定理，得sin A sin B ＝a b ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以ab ＝2·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因为b ＞0，c ＞0，所以b ＝c .因此，△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形4．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是________．解析：依题意c ＝1，a ＝2，由正弦定理知 c sin C ＝a sin A ，即sin C ＝c a sin A ＝12sin A ≤12，解得0＜C ≤π6或，5π6≤C ＜π，又c ＜a ，所以C ＜A ，故0＜C ≤π6.答案：0＜C ≤π65．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 解析：由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.答案：2 36．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝20，A ＝150°，这个三角形解的情况是________．解析：∵b ＞a ，∴B ＞A ，而A ＝150°，B 为钝角不可能， ∴无解．答案：无解7．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于________．解析：由余弦定理得：(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，故BC 边上的高是AB sin 60°＝332.答案：3328．(2012·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由题意知sin A ＝45，sin B ＝1213，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，所以c ＝b sin C sin B ＝145.答案：1459．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．解析：延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连结BM 、MC ，则四边形ABMC 是平行四边形．在△ABM 中，由余弦定理得BM 2＝AB 2＋AM 2－2AB ·AM ·cos ∠BAM ，即12＝22＋AM 2－2·2·AM ·cos 30°，解得AM ＝3，所以AD ＝32. 答案：3210．(2013·无锡模拟)已知△ABC 中，B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．解析：法一：如图，设△ABC 的外接圆为圆O ，其直径2R ＝AC sin ∠ABC ＝4sin 45°＝4 2.取AC 的中点M ，则OM ＝R cos 45°＝2，则AC ＝4.过点B 作BH ⊥AC 于H ，要使△ABC 的面积最大，当且仅当BH 最大．而BH ≤BO ＋OM ，所以BH ≤R ＋22R ＝22＋2，所以(S △ABC )max ＝12AC ·BH max ＝12×4×(2＋22)＝4＋42，即当且仅当BA ＝BC 时取等号．法二：如图，同上易知，△ABC 的外接圆的直径2R ＝4 2.S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝2R 2sin∠BAC ·sin ∠ABC ·sin ∠ACB ＝8 2 sin ∠BAC ·sin ∠ACB ＝4 2⎣⎡⎦⎤cos (135°－2∠ACB )＋22.当A ＝C ＝67.5°时，(S △ABC )max ＝4＋4 2. 答案： 4＋4 2二、解答题(本大题共4小题，共60分)11．(满分14分)(2013·苏州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1) 若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，求A 的值； (2) 若c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求b 的值．解：(1) 由已知得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc . 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得cos A ＝12.由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)由于A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝180°－45°－30°＝105°. 由正弦定理b sin B ＝csin C，得 b ＝c sin C ·sin B ＝10sin 30°·sin 105°＝20×6＋24＝5(6＋2)． 12．(满分14分)(2011·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解：(1)由题知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，即b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.13．(满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ·AC ＝3BA ·BC(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.14．(满分16分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c .(1) 求tan A tan B的值；(2) 求tan(A －B )的最大值，并判断当tan(A －B )取得最大值时△ABC 的形状．解：(1) 由a cos B －b cos A ＝12c 可得，2sin A cos B －2sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，故sin A cos B ＝3sin B cos A ，所以tan Atan B ＝3.(2) 设tan B ＝t ，则tan A ＝3t 且t >0，则tan(A －B )＝3t －t 1＋3t 2＝2t 1＋3t2＝23t ＋1t ≤ 33，当且仅当3t ＝1t ，即t ＝33时取等号．所以tan (A －B )的最大值为33，此时B ＝π6，A ＝π3，故C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．1．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，② 将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.答案：432．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________. 解析：依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k ＝1116.答案：11163．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理，有a 2≤b 2＋c 2－bc .而由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12.注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π3 4．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.。

新人教A版高考数学一轮复习第二课时解三角形的综合应用课件

又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
在△MON中，由余弦定理得，
(2)由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
所以在△ACD中，由余弦定理得
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
考点二解三角形与三角函数的综合应用
规律方法解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
规律方法距离问题的类型及解法： (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达. (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
角度2 测量高度问题【例1－2】如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测
第二课时解三角形的综合应用
考点一解三角形的实际应用角度1 测∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°， ∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ. 又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB， ∴PQ＝PA. 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900， ∴P，Q两点间的距离为900 m. 答案 900

2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义4.7解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例【2014年高考会这样考】考查利用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．对应学生67考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、航海问题等．2．实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．(2)方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学·微博】一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()．A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.答案 B2.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()．A．50 2 m B．50 mC．25 m D．25 2 m解析由题意知，在△ABC中，∠CBA＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－45°－105°＝30°，则由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502(m)．答案 A3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()．A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析设电视塔的高度为x m，则BC＝x(m)，BD＝3x(m)．在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.答案 D4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．解析如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)．答案 203米，4033米对应学生68考向一测量距离问题【例1】►如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离． [审题视点] 在△BDC 中求BC ，然后在△ABC 中求AB . 解在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°， ∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)，在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(千米)．在△ABC 中，由余弦定理可得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ，即AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23·6＋22cos 75°＝5.∴AB ＝ 5 (千米)．所以，两目标A ，B 间的距离为5千米．(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．解析 ∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°， ∴AB ＝AC ，∴河宽为12AC ＝60(m)．答案 60 m考向二测量高度问题【例2】►如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.[审题视点] (1)在△DBC中用正弦定理求BC，在Rt△ABE中，确定α最大值的条件，再求EC.(2)在Rt△BEC中，求BE，再在Rt△ABE中求AB.解(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－∠DBF＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×160＝100(米)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠D，∴BC＝CD·sin∠Dsin∠DBC＝100×sin 15°sin 135°＝100×6－2422＝50(6－2)2＝50(3－1)(米)．在Rt△ABE中，tan α＝AB BE.∵AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD. 当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(3－1)×32＝25(3－3)(米)．设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，则t＝EC6 000×60＝25(3－3)6 000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan 60°＝BC·sin∠BCD·tan 60°＝50(3－1)×12×3＝25(3－3)(米)．即所求塔高AB为25(3－3)米．(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC ＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD sin∠BDCsin∠CBD＝s·sin βsin(α＋β)，在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝s tan θsin βsin(α＋β).考向三测量角度问题【例3】►(2012·肇庆二模)在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．(注：6≈2.449)[审题视点] 根据题意画出示意图，分清已知和未知条件，将问题集中到一个三角形中，利用正、余弦定理解决．解设缉私船在D处追上走私船且所需时间为t小时，如图，则有CD＝103t海里，BD＝10t海里．在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝(3－1)2＋22－2×2×(3－1)cos 120°＝6(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝AC sin 120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BD sin∠CBDCD＝10t·sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6海里，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．【训练3】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时)．(2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.对应学生69方法优化5——正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对用正、余弦定理解决实际问题的考查有所减少．预计在今后的高考中会有加大考查力度的趋势，主要考查测量距离和高度问题，属于中档题目．【真题探究】►(2010·山东)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？[教你审题] 思路1 连接B 1A 2(复杂) 思路2 连接A 1B 2(简单)[优美解法] 如图，连接A 1B 2，由已知，A 2B 2＝102(海里)，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)， ∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里．由已知，A 1B 1＝20海里， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102(海里)．因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．[反思] 结合图形分析，确定所给条件及所求的结论，选择适当的三角形会给解题带来事半功倍的效果．【试一试】2012年8月2日，强台风“达维”在江苏省盐城市登陆，台风中心最大风力达到10级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树因大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．解析如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，AOsin 45°＝20sin 60°，∴AO＝2063(米)．答案206 3对应学生263A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()．A．1 B．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.答案 C2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )． A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．3解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.答案 C3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 ( )．A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．答案 A4.(2012·吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD的张角为()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝(305)2＋(2010)2－502 2×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．解析由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，即2sin 45°＝ACsin 60°，解得AC＝6(千米)．答案 66.(2013·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝12v，BS＝8 2 n mile，∠BSA＝45°，由正弦定理得：82sin 30°＝12vsin 45°，∴v＝32 n mile/h.答案32三、解答题(共25分)7．(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .求AB 的长度．解在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7. 由∠C ＝∠D ，得cos ∠C ＝cos ∠D ，解得AB ＝7，所以AB 长度为7米．8．(13分)如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2 800，故BC ＝207(海里)．由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，所以sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.易知θ＝∠ACB ＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )．A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案 A2.(2013·榆林模拟)如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )．A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m 解析在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE .∴AE ＝CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE ，∴AE ＝CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A ，B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝20 3 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案 304.(2013·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m 海里后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)＞n ，所以当α与β的关系满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案 m cos αcos β＞n sin(α－β)三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·肇庆二模)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1百米．(1)求△CDE 的面积；(2)求A ，B 之间的距离．解 (1)在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △CDE ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米)．(2)连接AB ，依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝3(百米)，在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理BC sin ∠CEB ＝CE sin ∠CBE，得 BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝2(百米)． ∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝6＋24，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ，可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3， ∴AB ＝2－3百米．6．(13分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.。

解三角形课件高三复习课PPT学习教案

A
B
C
D
第8页/共20页
高考AB卷
学法大视野
例2：（直面高考题——一题多解）
π
1
(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B＝ 4 ，BC 边上的高等于3BC，则 cos A＝( )
3 10
A. 10
10
B. 10
10
C.－ 10
3 10
D.－ 10
A
B
C
D
第9页/共20页
高考AB卷
学法大视野
例2：（直面高考题——一题多解）
π
C＝ 3 ，则 A＝

A.
6
.

C.
3
5
B.
6

5
D. 或
6
6

变式：若 = , = , =
则=（）

A．

3
B．
2
或
3
3
C．

2
Ｄ．

2
或

6
第5页/共20页
高考AB卷
学法大视野
（2）在△ABC中，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sinAcosA
，则△ABC的形状为（
等变换综角函数式的化简、求值或证明，需注意三
合应用角形中一些隐含条件的应用.
与基本不涉及求三角函数式的最大值或最小值时，
2
有时把角转化为边的关系，利用不等式
a
等式综合
应用
＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab求解.
第18页/共20页
高考AB卷
学法大视野
课堂反思
：我们的要求：快、准
1、两个易错点

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图 7－2－2
解：依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，
∠BCA＝α.(1)在△ABC 中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2
－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.
解得 BC＝28.所以渔船甲的速度为B2C＝14 海里/小时．
考点2 有关三角形的边角计算问题
例 2：①在锐角△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 a＝2csin A.
(1)确定角 C 的大小； (2)若 c＝ 3，且△ABC 的面积为 2 3，求 a2＋b2 的值．解析：(1)由 a＝2csinA 及正弦定理得， ac＝2sinA＝ssiinnCA， ∵sinA≠0，∴sinC＝12.∵△ABC 是锐角三角形，∴C＝π6.
(2)∵c＝ 3，C＝π6，由面积公式得12absinπ6＝2 3，即 ab＝8 3.由余弦定理得 a2＋∴a2＋b2－24＝3.故 a2＋b2＝27.
1.在解三角形中，常常要求 a2＋b2，a＋b，ab 这些值，首先要注意到，这三个值中的任意一个都可以用其余两个来表示．
若 c＝5，则 AC ＝(2，－4)． ∴cos∠A＝cos〈 AC ， AB〉＝5－×62＋165＝ 15.
∴sin∠A＝2
5
5 .
(2)若∠A 为钝角，则－ c≠30c＋ . 9＋16<0，
解得
25 c> 3 .
∴c 的取值范围是235，＋∞.
(1)角的处理方法通常有三类：一是用边表示角，如正余弦定理；二是用向量表示角，如数量积的定义；三是用直
2．要注意余弦定理的变形技巧：将 a2＋b2－2abcos C＝c2 变为(a＋b)2－2ab－2abcosC＝c2 等．
3．要注意向量的数量积与面积之间的关系．
②(2011 年湖南)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，已知 a＝1，b＝2，cosC＝14
(1)求△ABC 的周长； (2)求 cos(A－C)的值．解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝ 1＋4－2·1·2·14＝4，∴c＝2.∴△ABC 的周长为 1＋2＋2＝5.
【互动探究】 2．(2011 年广东广州二模)如图7－2－2，渔船甲位于岛屿 A
的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上．
(1)求渔船甲的速度； (2)求 sinα的值．
(2)由 cosC＝14得，sinC＝ 1－cos2C＝
1－116＝
15 4.
由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝42＋ ×42－ ×12＝78，
∴sinA＝ 1－cos2A＝
1－4694＝
15 8.
∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC
＝14×78＋
415×
15 8
＝1116.
线的斜率表示角．
(2)用向量处理角的问题时要注意两点：一是要注意角的取值范围；二是利用向量处理△ABC 的角，角A 是直角的充要条件是 AB·AC ＝0；A 是锐角的充要条件是 AB·AC >0 且 AB， AC 不共线； A 是钝角的充要条件是 AB·AC <0 且 AB， AC 不共线．
【互动探究】
＝3sinAcosA＋ 3sin2A
＝32sin2A－
23cos2A＋
3 2
＝ 3sin(2A－30°)＋ 23.
∴当
2A－30°＝90°，即
又∵R＝ 2，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝12. 又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.
(2)S＝12absinC
＝12×
23ab＝
3 4 ·2RsinA·2RsinB
＝2 3sinAsin(120°－A)
＝2 3sinA(sin120°cosA－cos120°sinA)
1．已知△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若 m∥n，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若 m⊥p，边长 c＝2，角 C＝π3，求△ABC 的面积．
解：(1)∵m∥n，∴asinA＝bsinB.即 a·2aR＝b·2bR. ∴a＝b.∴△ABC 为等腰三角形． (2)∵m⊥p＝0，即 a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去 ab＝－1)， ∴S＝12absinC＝12·4·sinπ3＝ 3.
(2)由正弦定理，得sAinBα＝sinB1C20°，
所以
sinα＝ABsBinC120°＝12×28
3 2 ＝3
14
3.
3．已知△ABC 中，2 2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，其外接圆半径为 2.
(1)求∠C； (2)求△ABC 面积的最大值．
解：(1)设三角形外接圆半径为 R.由 2 2(sin2A－sin2C)＝(a－ b)·sinB，得 2 24aR22－4cR22＝(a－b)2bR.
解三角形与两角和与差的三角函数交汇处问题要注意以下几点：一是已知三角形的三边可以求任意一个内角的正弦值与余弦值，可以求三角形的面积；二是要注意角的取值范围，如当角的余弦值为正数且不共线时，此角一定为锐角，如当角的余弦值为负数且不共线时，此角一定为钝角，如当角的余弦值为零时，此角一定为直角．
2014届高三新课标理科数学一轮复习课Uin件tag第e 七sty章le 第2
讲举解例三C角u形t应e用
Add your text here and write down your opninon thank you add your text here
解析：(1) AB＝(－3，－4)， AC ＝(c－3，－4)．