精品教案：函数单调性
函数单调性集体备课教案
函数单调性集体备课教案导语：函数单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数图像在定义域上的增减趋势。
理解函数单调性的概念对于解决许多与函数有关的问题至关重要。
本文将介绍函数单调性的基本定义、判定方法以及解题技巧，并提供一份集体备课教案，帮助教师为学生掌握函数单调性的相关知识。
一、函数单调性的定义函数单调性指的是函数图像在定义域上的增减趋势。
具体来说，如果函数的定义域上的任意两个不同的自变量对应的函数值满足下列条件之一：1. 函数值随自变量的增大而增大，称为函数在该定义域上是递增的；2. 函数值随自变量的增大而减小，称为函数在该定义域上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 利用函数的导数：函数在某一区间内递增或递减，可以通过求函数的导数来判定。
如果函数在该区间上的导数恒大于零，则函数在该区间上是递增的；如果函数在该区间上的导数恒小于零，则函数在该区间上是递减的。
2. 利用函数的一阶导数和二阶导数：对于二次可导的函数，可以通过判断一阶导数和二阶导数的符号来确定函数的单调性。
当一阶导数大于零且二阶导数大于等于零时，函数在该区间上是递增的；当一阶导数小于零且二阶导数小于等于零时，函数在该区间上是递减的。
三、解题技巧1. 对于一元函数，可以通过求导的方式来判定函数的单调性。
首先确定函数的定义域，然后求函数的导数并分析导数的正负号，最后将正负号与函数的单调性对应起来。
2. 对于含有参数的函数，可以通过将参数看做常数的方式来判定函数的单调性。
具体做法是先假设参数为常数，然后按照一元函数的思路来判定函数的单调性，最后再讨论参数的取值范围对函数单调性的影响。
四、集体备课教案下面是一份集体备课教案，帮助教师为学生掌握函数单调性的相关知识。
备课教案：函数单调性教学目标：1.了解函数单调性的概念；2.掌握函数单调性的判定方法；3.能够应用函数单调性的知识解决实际问题。
教学步骤：Step 1：引入函数单调性的概念（10分钟）1.通过举例子的方式引入函数单调性的概念。
高二数学教案《函数单调性》
高二数学教案《函数单调性》教学目标：1. 理解函数的单调性概念，能够正确定义函数的单调性。
2. 能够分析函数图像，判断函数的单调性。
3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。
教学重点：1. 函数的单调性的概念与判断方法。
2. 函数图像的分析方法。
教学难点：1. 根据函数的定义和图像来判断函数的单调性。
2. 应用函数的单调性解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备好相关函数单调性的习题。
2. 学生准备好相关学习资料和工具。
教学过程：【导入】1. 引出函数的单调性的概念，与学生进行交流，复习一元函数的概念。
2. 引入函数的单调性的定义：设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意$x_1$和$x_2$（$x_1\\lt x_2$），总有$f(x_1) \\lt f(x_2)$（或$f(x_1) \\gt f(x_2)$），则称函数$f(x)$在区间$I$上是递增（或递减）的。
【探究】1. 举例说明函数的单调性的概念。
2. 引导学生分析判断函数的单调性：主要是根据函数的增减规律和函数图像进行分析，通过求导数、求导函数和导数的正负来判断函数的单调性。
【练习】1. 让学生做一些简单的函数单调性的题目，掌握单调性的判断方法。
2. 带导数的函数单调性的判断。
【拓展】1. 引导学生发现函数单调性与函数的导数的关系。
2. 让学生根据导数的性质判断函数单调性。
【归纳】1. 教师总结函数单调性的判断方法，强调函数单调性的重要性。
2. 学生进行归纳总结，复习函数单调性的判断方法。
【应用】1. 引导学生应用函数单调性解决实际问题。
2. 给学生一些实际问题的习题。
【反思】1. 结合课堂练习和互动，教师进行总结和反思，澄清学生的疑惑。
2. 学生提出问题和意见，教师进行解答和回应。
【作业】布置相关作业，巩固函数单调性的知识和应用能力。
教学方式：1. 教师讲解与学生互动。
2. 学生练习与解答问题。
3. 教师总结与反思。
教学工具：1. 教材、习题册等教学材料。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
《函数的单调性》教学设计[合集5篇]
![《函数的单调性》教学设计[合集5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/36edcbafd5d8d15abe23482fb4daa58da1111c4f.png)
《函数的单调性》教学设计[合集5篇]第一篇：《函数的单调性》教学设计《函数的单调性》教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．二、教学目标（1）知识与技能目标：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法目标：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．三、教法学法分析教法分析：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．学法分析：1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．四、教学过程函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．（一）创设情境，提出问题（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．（二）探究发现建构概念[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答． [教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，f(t1）=1，t2=10时，f(t2)=4”对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1<t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢? [学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．（三）自我尝试运用概念1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？[教师活动]问题6：证明f(x)=1在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．x[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值作差变形定号判断．[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．（四）回顾反思深化概念 [教师活动]给出一组题：1、定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么函数f(x)是R 上的单调增函数还是单调减函数？2、若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1+a)<f(3-a)，你能确定实数的取值范围吗？[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：（1）阅读课本P29例1、2（2）书面作业：必做：教材作业选做：二次函数y=x2+bx+c在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数b的值唯一吗？探究：函数y=x在定义域内是增函数，函数y=1有两个单调减区间，由这两个基本函x数构成的函数y=x+1的单调性如何？请证明你得到的结论．x[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．五、教学评价学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．第二篇：函数单调性教学设计函数单调性教学设计关于函数的单调性习题课教学设计，本人在听了专家的讲解后感到受益匪浅，结合平时的教学，有些教学方面的心得如下，希望专家和同行批评指正。
高中数学教案单调性
高中数学教案单调性
主题：单调性
一、教学目标：
1. 了解函数的单调性的概念及其意义。
2. 掌握函数的单调递增和单调递减的判定方法。
3. 能够利用函数的单调性解决实际问题。
4. 培养学生的分析解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
重点：函数的单调性判定方法，实际问题的解决。
难点：函数的复杂形式在不同区间的单调性判断。
三、教学准备：
1. 教师准备教学课件和实例题目。
2. 学生准备笔记本、教材和作业本。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个实际问题引入函数的单调性概念，引发学生的兴趣。
2. 讲解：介绍函数的单调递增和单调递减的定义，并讲解如何判定一个函数的单调性。
3. 实例分析：通过几个例题，让学生掌握函数单调性的判定方法，培养学生的分析问题能力。
4. 练习：让学生进行练习题，巩固所学知识。
5. 拓展：引导学生探究函数单调性与导数的关系，拓展学生的思维。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性在实际问题中的应用。
五、课后作业：
1. 完成课堂练习题。
2. 思考并解决一个与函数单调性相关的实际问题。
3. 阅读相关资料，了解函数的其他性质和应用。
六、教学反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握函数单调性的概念及其判定方法，提高了他们的数学分析和逻辑思维能力。
同时，教师应注重实际问题的引入，帮助学生理解函数单调性在解决问题中的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
函数的单调性 教案
函数的单调性教案教案标题：函数的单调性教案目标：1. 理解函数的单调性的概念和意义；2. 掌握判断函数单调性的方法和技巧；3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。
教案步骤：引入与导入（5分钟）：1. 引入函数的概念，复习函数的定义和表示方法；2. 引入函数的单调性的概念，解释函数的单调性与图像的关系。
讲解与示范（15分钟）：1. 解释函数的单调性的定义：若对于函数f(x)的定义域内的任意两个实数a和b，若a < b，则有f(a) < f(b)（单调递增）或f(a) > f(b)（单调递减）；2. 示范判断函数的单调性的方法：通过函数的导数、函数的图像、函数的表格等方式。
练习与讨论（20分钟）：1. 练习判断函数的单调性：给出一些函数的表达式或图像，学生根据定义判断其单调性；2. 学生讨论判断函数单调性的方法和技巧，分享自己的解题思路。
应用与拓展（15分钟）：1. 应用函数的单调性解决实际问题：例如利用函数的单调性解决最优化问题、优化生产过程等；2. 拓展函数的单调性概念：介绍函数的严格单调性和非严格单调性，以及函数的局部单调性和整体单调性。
总结与延伸（5分钟）：1. 总结函数的单调性的概念和判断方法；2. 引导学生思考函数的单调性在数学和实际问题中的应用。
教案评估：1. 出示几个函数的图像，要求学生判断其单调性；2. 布置作业，要求学生解决一个实际问题，应用函数的单调性进行分析和求解。
教案拓展：1. 引入函数的凹凸性的概念，与函数的单调性进行比较；2. 引入函数的最值概念，与函数的单调性进行联系和探讨。
函数的单调性教案
函数的单调性教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 引入：引导学生回顾初中阶段学过的函数概念，复习一次函数、二次函数的图像和性质。
提问：函数的图像是否具有单调性？如何描述函数的单调性？1.2 单调性的定义：讲解函数单调性的定义，引导学生理解单调递增和单调递减的概念。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调性。
1.3 单调性的判断：教授如何判断函数的单调性，引导学生掌握利用导数或图像判断单调性的方法。
第二章：单调递增函数的性质2.1 单调递增的定义：复习单调递增的定义，强调函数值随着自变量的增加而增加的特点。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调递增性质。
2.2 单调递增函数的图像：讲解单调递增函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而上升的趋势。
2.3 单调递增函数的性质：教授单调递增函数的性质，如凹凸性、极值等。
第三章：单调递减函数的性质3.1 单调递减的定义：复习单调递减的定义，强调函数值随着自变量的增加而减少的特点。
举例说明：如y=-x，y=-2x-1等函数的单调递减性质。
3.2 单调递减函数的图像：讲解单调递减函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而下降的趋势。
3.3 单调递减函数的性质：教授单调递减函数的性质，如凹凸性、极值等。
第四章：单调性的应用4.1 最大值和最小值：讲解如何利用函数的单调性求解最大值和最小值问题。
4.2 函数的单调区间：讲解如何确定函数的单调递增区间和单调递减区间。
4.3 函数的单调性与方程的解：讲解如何利用函数的单调性来解决方程的解的问题。
第五章：单调性的综合应用5.1 函数图像的变换：讲解如何利用单调性来分析和理解函数图像的平移、翻折等变换。
5.2 函数的单调性与实际问题：引导学生将函数的单调性应用于解决实际问题，如优化问题、经济问题等。
5.3 单调性的进一步探讨：引导学生思考单调性的局限性，如非单调函数的特殊情况。
第六章：复合函数的单调性6.1 复合函数的概念：引导学生回顾复合函数的定义，理解复合函数是由两个或多个基本函数通过函数运算组合而成的。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及定义1.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如商品价格的变化、物体运动的速度等。
1.2 讲解：单调性的定义，函数单调递增和单调递减的概念。
1.3 练习：判断几个简单函数的单调性，如f(x)=x, f(x)=-x, f(x)=x^2等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 引入：通过实际例子，让学生理解单调性判断的重要性。
2.2 讲解：利用导数、图像、定义等方法判断函数的单调性。
2.3 练习：判断一些复杂函数的单调性，并进行验证。
第三章：函数单调性的应用3.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如最优化问题、不等式的证明等。
3.2 讲解：函数单调性在解决最优化问题、不等式证明等方面的应用。
3.3 练习：解决一些实际问题，如求函数的最值、证明不等式等。
第四章：函数单调性的性质与定理4.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如函数的周期性、奇偶性等。
4.2 讲解：函数单调性的性质与定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
4.3 练习：运用性质与定理解决一些实际问题。
第五章：函数单调性与导数的关系5.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如函数的极值点。
5.2 讲解：函数单调性与导数的关系，如单调递增的充分必要条件是导数大于0，单调递减的充分必要条件是导数小于0。
5.3 练习：判断函数的单调性，并找出其极值点。
第六章：复合函数的单调性6.1 引入：通过实际例子，让学生感受复合函数单调性在实际生活中的应用，如温度随高度和纬度的变化。
6.2 讲解：复合函数单调性的定义和判断方法。
6.3 练习：判断复合函数的单调性，并进行验证。
第七章：反函数的单调性7.1 引入：通过实际例子，让学生感受反函数单调性在实际生活中的应用，如坐标系的转换。
7.2 讲解：反函数单调性的性质和判断方法。
函数单调性优秀教案
函数单调性优秀教案【篇一：《函数单调性》教学设计】《函数单调性》教学设计【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，呈现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中。
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。
在教学设计中发挥好多媒体教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者。
【教学目标】1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法． 2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力．3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【背景分析】1、教材分析本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。
是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。
函数单调性教案
函数单调性教案一、介绍函数单调性是函数学习中的重要知识点。
理解函数的单调性有助于我们了解函数的增减情况，进而对函数的性质进行分析和应用。
本教案将通过概念解释、示例演练等方式，帮助学生掌握函数单调性的概念、判定方法和应用技巧。
二、概念解释1. 单调增函数定义：设函数f(x)在区间[a, b]上定义，若对于任意的x1 < x2 ∈ [a, b]，都有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在[a, b]上是单调增函数。
图示示例：（图1）2. 单调减函数定义：设函数f(x)在区间[a, b]上定义，若对于任意的x1 < x2 ∈ [a, b]，都有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在[a, b]上是单调减函数。
图示示例：（图2）三、判定方法1. 导数判定法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性：- 当导数f'(x) > 0时，函数在该区间上单调增。
- 当导数f'(x) < 0时，函数在该区间上单调减。
2. 函数值判定法对于一元函数，可以通过比较函数值来判断单调性：- 对于单调增函数，函数值随自变量的增大而增大。
- 对于单调减函数，函数值随自变量的增大而减小。
四、应用技巧1. 确定函数定义域单调性的判定需要在特定的区间进行，因此需要先确定函数的定义域。
在判定时要注意处理函数中存在的分式、根式等特殊情况。
2. 绘制函数图像通过绘制函数的图像，可以更直观地观察函数的单调性。
可以借助计算工具或手绘方法，标注关键点，分析趋势。
3. 运用单调性进行应用题求解在实际问题中，我们可以根据函数的单调性进行最值问题、方程求根等应用题的求解。
通过单调性的分析，可以加快问题解答的速度和准确性。
五、示例演练1. 求函数f(x) = x^2在区间[-2, 2]上的单调性。
解：首先确定函数的定义域[-2, 2]，然后计算导数f'(x) = 2x。
当x < 0时，导数f'(x) < 0；当x > 0时，导数f'(x) > 0。
“函数的单调性”教案
函数的单调性教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会运用单调性判断函数的单调性，并能应用于实际问题中。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
3. 单调性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
四、教学方法1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的教学方法。
2. 利用数形结合的思想，引导学生直观理解函数的单调性。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过回顾初中阶段的反比例函数、二次函数等图像，引导学生关注函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的概念：定义域内单调递增或递减的函数。
3. 讲解函数单调增和单调减的性质：自变量增大，函数值增大（减小）。
4. 判定方法：利用导数或图像判断函数的单调性。
5. 案例分析：分析具体函数的单调性，如f(x)=x^2、f(x)=-x^2等。
6. 练习：让学生独立判断给定函数的单调性，并解释原因。
7. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
8. 作业布置：巩固函数单调性的理解和应用。
六、教学拓展1. 探讨函数单调性与极值的关系：函数在极值点附近单调性发生变化。
2. 引入“局部单调性”概念：函数在某个区间内单调递增或递减。
3. 举例说明局部单调性在实际问题中的应用：优化问题、经济领域等。
七、课堂互动1. 提问：请问同学们认为函数的单调性在实际生活中有哪些应用？2. 学生分享：结合实际例子，如商品价格变动、经济增长等。
3. 教师点评：总结同学们的观点，并强调函数单调性的实际意义。
八、单调性在实际问题中的应用1. 举例说明：商品打折问题、利润最大化问题等。
2. 引导学生运用单调性解决实际问题：分析问题、建立模型、求解。
3. 课堂练习：让学生自主解决一个实际问题，如温度变化、速度与时间等。
函数单调性的教案
函数单调性的教案函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，若函数在定义域上满足下列条件之一，则称该函数具有单调性：增函数、减函数、严格增函数、严格减函数。
一、知识导入函数的单调性是高中数学中的重要概念，在函数的图像、导数等方面都有着重要的应用。
通过了解函数的单调性，可以更深入地理解函数的性质。
二、知识讲解1. 增函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在区间上是增函数。
2. 减函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) > f(x2)，则函数 f(x)在区间上是减函数。
3. 严格增函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) < f(x2)，且x1 < x2，则函数f(x)在区间上是严格增函数。
4. 严格减函数：如果对于定义域上任意两个不等的实数x1和x2，若有f(x1) > f(x2)，且x1 < x2，则函数 f(x)在区间上是严格减函数。
三、教学过程1. 导入：以函数 f(x) = x^2 为例，通过画出函数图像，让学生观察函数的单调性。
2. 讲解：根据函数图像，引导学生得出结论：函数 f(x) = x^2 在定义域内是增函数。
3. 探究：让学生自己猜测函数 f(x) = -x^2 的单调性，并通过画出函数图像，验证猜测的结果。
4. 归纳总结：根据函数的图像，总结增函数、减函数、严格增函数、严格减函数的定义，并总结它们的特点。
5. 拓展实践：给出一些练习题，让学生通过判断函数的单调性，进一步巩固和应用所学知识。
四、练习与作业1. 判断函数 f(x) = 3x - 4 在定义域上的单调性。
2. 判断函数 f(x) = x^3 - 2x 在定义域上的单调性。
3. 自己找出一个函数的例子，并判断其在定义域上的单调性。
五、板书设计函数的单调性：增函数：f(x1)<f(x2)，x1<x2减函数：f(x1)>f(x2)，x1<x2严格增函数：f(x1)<f(x2)，且x1<x2严格减函数：f(x1)>f(x2)，且x1<x2六、教学反思通过教学板书和实例讲解，学生对函数的单调性有了初步的了解，能够判断函数是否是增函数、减函数、严格增函数、严格减函数。
单调性的应用教案高中数学
单调性的应用教案高中数学
年级：高中
教材：数学
目标：学生能够理解单调性的概念，并能够应用单调性解决问题。
教学步骤：
1. 引入单调性的概念：解释单调性是指函数在某个区间上严格单调递增或严格单调递减的性质。
让学生通过举例子理解单调性的概念。
2. 单调性的判断：讲解如何通过求导来判断函数的单调性。
解释在导数大于0的区间上函数是递增的，在导数小于0的区间上函数是递减的。
让学生通过练习来掌握如何判断函数的单调性。
3. 单调性的应用：讲解单调性在求解最值和方程不等式中的应用。
通过具体的例题让学生掌握如何利用单调性解决问题。
4. 练习与作业：布置几道练习题，让学生在课后巩固所学内容。
要求学生思考如何利用单调性解决问题，并写出详细的解题过程。
评估方法：
1. 教师观察学生在课堂上的回答和解题过程，评价他们是否理解了单调性的概念以及如何应用单调性解题。
2. 布置的作业可以作为评估学生对单调性的掌握程度的依据。
教师可以根据学生的作业情况来评价他们的学习效果。
3. 可以设计一些小测验或考试题目来测试学生对单调性的理解程度和应用能力。
函数单调性优秀教案
函数单调性优秀教案【篇一：《函数单调性》教学设计】《函数单调性》教学设计【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，呈现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中。
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。
在教学设计中发挥好多媒体教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者。
【教学目标】1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法． 2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力．3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【背景分析】1、教材分析本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。
是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。
函数单调性教案ppt课件
利用函数的单调性判断经济模型的稳定性。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数单调性的定义
单调性在解题中的应用
函数在某区间上的单调性是指函数在 该区间上随着自变量的增大（或减 小），函数值也增大（或减小）。
利用单调性可以解决一些函数问题， 如求最值、证明不等式等。
单调性的判断方法
80%
图像法
通过观察函数的图像，直观判断 函数的单调性。
导数法证明单调性
02
01
03
1. 求导数
首先求出函数的导数。
2. 判断导数的正负
根据导数的正负判断函数的增减性。
3. 得出结论
根据导数的正负变化，得出函数在哪些区间上递增或 递减。
定义法证明单调性
1. 取值
在定义域内取任意两个值$x_1$ 和$x_2$，且$x_1 < x_2$。
2. 比较函数值
计算$f(x_1)$和$f(x_2)$，并比 较两者大小。
3. 得出结论
根据函数值的比较结果，判断 函数的单调性。
05
练习与巩固
单调性判断练习
判断函数在指定区间的单调性，例如
$f(x) = x^2$在$[0, +infty)$上单调递增。
判断函数在多个区间的单调性，例如
$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
通过导数判断函数单调性的方法，包 括求导、判断导数的正负以及导数的 符号变化等。
下节课预告
函数的极值与最值 导数的几何意义与切线斜率
导数在实际问题中的应用
THANK YOU
感谢聆听
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用函数单调性解决实际问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与性质2. 常见函数的单调性3. 利用函数单调性解决问题三、教学重点与难点：1. 重点：函数单调性的概念及判断方法，利用函数单调性解决问题。
2. 难点：函数单调性的证明，复杂函数单调性的判断。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义、性质及判断方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的函数单调性。
3. 运用数形结合法，直观展示函数单调性。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如购物时的折扣问题，引导学生思考函数单调性的意义。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，引导学生理解并掌握。
3. 案例分析：分析实际问题中的函数单调性，如物体运动过程中的速度与时间的关系。
4. 练习：让学生自主探究常见函数的单调性，如正弦函数、余弦函数等。
5. 巩固：通过课后习题，巩固所学知识，提高学生的数学运算能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固函数单调性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：检查学生对常见函数单调性的判断和应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况及运用能力。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，以便更好地传授知识。
2. 针对学生的疑难问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握函数单调性。
3. 结合学生的实际应用情况，丰富教学案例，提高学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生探究函数单调性与导数的关系。
2. 探讨函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
3. 推荐相关阅读材料，引导学生深入研究函数单调性。
函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)
函数单调性教案函数单调性教学设计（6篇）为你细心整理了6篇《函数的单调性教学设计》的范文，但愿对你的工作学习带来帮忙，盼望你能喜爱！固然你还可以在搜寻到更多与《函数的单调性教学设计》相关的范文。
《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。
把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。
从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。
【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。
《函数的单调性》教学设计(精品)
函数的单调性（一）教学目标1 •知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2.过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升” “下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念•3.情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用•（三）教学方法讨论式教学法.在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法•观察二次函数f(X)= X2的图象:函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. 列表：1 2 3 4 …1 4 9 16 …x € ( -X，0］时，x 增大，f ( x) 减少，图象下降.x € (0，+X)时，x 增大，f (x)也师：不同函数，其图象上升、下降规律不同•且同一函数在不同区间上的变化规律也不同.这是“形”的方面，从“数” 的方面如何反映• 生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由-4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4 变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y 也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降.称函数为减函数.形成概念函数单调性的概念师：增函数、减函数的函数值一般地，设函数f ( x)的定义域为随自变量的变化而变化怎么用I: 数学符号表示呢？由实例探究如果对于定义域1内的某个区间D 师生合作：规律从而获上的任意两个自变量的值X1，X2，对于函数f (x) = x2在区间(0，得定义的数当X1V X2 时，都有f(X1)V f (X2)，+X)上.任取X1、X2.若X1V X2，学符号表那么就说函数f(X)在区间D上是2 2则f ( X1) V f ( X2)，即X1 VX.示.增函数(increasing function )；2师：称f (x) = x 在(0，+X)上为增函数.增大，图象上升.引入深题x …4-3 -2 -1 0f(x)2 =x16 9 4 1 0体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”.从定性分析到定量分析.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X I、X2，当X i V X2 时，都有f ( X i) > f (X2), 那么就说函数f (x)在区间D上是减函数(decreasing function ).例1如图是定义在区间［-5, 5］上的函数y = f (X)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：(1)请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系•师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成•例1【解】：y= f (x)的单调区间有［-5，- 2)，［- 2, 1)，［1，3), ［3，5］.其中y = f (X)在区间［-5，- 2)，［1，3) 上是减函数，在区间［-2，1)，［3，5］上是增函数.训练题1答案：(1)在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某yO X i X2 X应用举例掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.0.(2) 整个上午(8 : 00〜12 : 00) 天气越来越暖，中午时分(12 : 00〜13 :00) 一场暴风雨使天气骤 然凉爽了许多•暴风雨过后，天气 转暖，直到太阳落山(18 : 00)才 又开始转凉•画出这一天8 : 00〜 20: 00期间气温作为时间函数的 一个可能的图象，并说出所画函数 的单调区间•(3) 根据下图说出函数单调区间， 以及在每一单调区间上，函数是增 函数还是减函数.V. 7 h N例2物理学中的玻意耳定律 p=f(k 为正常数)告诉我们，对 于一定量的气体，当其体积V 减小 时，压强p 将增大.试用函数的单 调性证明之. 训练题2:证明函数f ( x) =- 2x+1在R 上是减函数.个数量时，生产效率达到最大 值，而超过这个数量时，生产 效率又随着工人的增加而降 低•由此可见，并非是工人越 多，生产效率就越咼. (2)增区间为［8，12］，［13，18］; 减区间为：［12 ,13］ , ［18，20］.(3) 函数在［-1，0］上是减函 数，在［0，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数，在［4，5］是增函数.师：打出例2,请学生阐明应用 定义证明(判定)并总结证明 单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程， 教师点评.例2分析：按题意，只要证明 函数P=£在区间(0， +x)上 是减函数即可.V ， V ＞是定义域(0， +x)上的 任意两个实数，且V 1V V 2，即k kV 2 -V ； p(M)-p(V 2)k 2 1.由 V 1< V 2,得 V 2 - V >0.证明：根据单调性的定义，设 强化记题步 骤与格式.V V 2VV 2由 V 1， V 2 € （0， +x ），得VM 9产枚芈备选例题：例1 证明函数f ( x) =3 x +2在R上是增函数.【证明】设任意X i、X2 R,且X i VX2,则f (X i)—f ( X2) = (3 X i +2) —(3 X2 +2) = 3( X i —x2).由X i V X2 得X i — X2V 0. f ( X i) — f ( X2) v 0, 即卩f ( X i) v f ( X2).••• f (x) =3 x +2在R上是增函数.例2 证明函数f (x) = 1在(0, +x)上是减函数.x【证明】设任意X i、X2 〔(.)，+ 8)且X i V X2,则f (X i) - f ( X2)= 1 -1 二生岂,X i X2 X i X2由X i, X2 (0, +8)得，X i X2>0,又X i V X2，得X2 - X i >0, ••• f ( X i) —f ( X2) >0, 即f ( X i) V f ( X2).•I f ( X) = i在(0 , +8)上是减函数.X。
中职数学教案——函数单调性
中职数学教案——函数单调性1. 引言函数是数学中一种重要的概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。
而函数的单调性则是描述了函数在定义域上的变化规律。
了解函数的单调性对于中职数学学习来说是非常重要的。
在本教案中，我们将重点讲解函数的单调性，包括函数的递增性和递减性，并通过实际例子和练习来加深理解。
2. 函数的单调性及相关概念2.1 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) < f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是递增的。
2.2 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是递减的。
2.3 严格递增和严格递减如果对于定义域内的任意两个不相等的实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) < f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是严格递增的。
类似地，如果对于定义域内的任意两个不相等的实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是严格递减的。
2.4 单调函数和非单调函数如果函数 f(x) 在其定义域上是递增或递减的，那么它是一个单调函数。
如果在函数的定义域上即既存在递增又存在递减的情况，那么它是一个非单调函数。
3. 函数单调性的判定方法3.1 导数的方法对于一元函数而言，可以通过求导函数来判断函数的单调性。
当导数f’(x) 大于 0 时，函数 f(x) 在该点上是递增的；当导数f’(x) 小于 0 时，函数 f(x) 在该点上是递减的。
3.2 一阶差分的方法对于离散函数而言，可以通过计算相邻两个函数值的差分来判断函数的单调性。
当函数值的差分大于 0 时，函数是递增的；当函数值的差分小于 0 时，函数是递减的。
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2．3函数单调性
A 组
1.下列四个函数：① 1x y x =
-; ②2y x x =+； ③ 2
(1)y x =-+; ④21x y x
=
+-，其中在(-,0)∞ 上为减函数的是（ A ）。
（A ）① （B ）④ （C ）①、④ （D ）①、②、④
2.函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ D ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f = D ．无法确定
3. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，实数m 的取值范围为( B )
A. m>0
B. 30<m<
2 C. -1<m<
3 D. 1322m -<< 4.已知]3,1[,)2()(2
-∈-=x x x f ，函数)1(+x f 的单调递减区间为 ]1,2[-
5.函数x x y 1-=在]2,1[上的值域为 3
[0,]2
6.判断函数2
()1
ax
f x x =
- (a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性。
解：设1211x x -<<<, 则
11221()()1ax
f x f x x -=-－1222-x ax ＝)
1)(1())(1(2
2211221---+x x x x x x a , ∵ 2110x -<, 2
210x -<,1210x x +>, 210x x ->, ∴)
1)(1())(1(2
2211221---+x x x x x x >0, ∴ 当0a >时, 12()()0f x f x ->, 函数()y f x =在(－1, 1)上为减函数， 当0a <时, 12()()0f x f x -<, 函数()y f x =在(－1, 1)上为增函数.
7.作出函数2
()|1|f x x x =-+的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.
解:当11x x ≥≤-或时, 2
1y x x =+-2
15()2
4
x =+-
当11x -<<时, 2
2
151(_)24
y x x x =-++=-+
由函数图象可以知道函数增区间为1(,1],[,1]2
-∞-
函数减区间为1
[1,],[1,)2
-+∞
8.设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， (2)1f =，且 f ()(3)2f x f x +-≤的x 的取值范围.
解:由题意可知: 2
()(3)(3)f x f x f x x +-=- 又 22(2)(2)(2)(4)f f f f ==+=，
于是不等式 ()(3)2f x f x +-≤可化为 2
(3)(4)f x x f -
≤
因为函数在(0,)+∞上为增函数,所以不等式可转化为：
,解得：34x <≤
所以x 的取值范围是 (3,4].
B 组
1.函数||2x x y +-=的单调递减区间为( A ) A. 11[,0][,)22-+∞和 B. 1[,0]2-
C. 11[,0][,1]22-和
D. 1
[1,0][,)2
-+∞和 2.单调增函数()f x 对任意R y x ∈,，满足()()(),(3)(392)0x x x f x y f x f y f k f +=+⋅+--<若 恒成立，则k 的取值范围是
（ B ）
A ．)122,122(+--
B ．)122,(--∞
C ．]122,0(-
D ．),122[+∞- 3.函数y ＝
80
212--x x 的单调递增区间为（ A ）
A ．(,8)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(8,)-+∞
4.函数y ＝
x x +-11的递减区间是 (―∞, ―1)、(―1, ＋∞) ；函数y ＝
x
x
+-11的递减区间是 (－1, ＋1]
5.已知函数()f x 在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数(lg100)f , f (
2
π), f (2
3π)，
从大到小的顺序是f (
π)>(lg100)f >f (2
3π)
6.(1) 证明：函数
y = [0,)+∞上是增函数，
(2)并判断函数
y x = [0,)+∞上的单调性
(3)求函数y x =+
在区间[1
，4]上的值域.
证明：(1)设 12
0x x ≤<
，则由已知 y =
12
y y
-==
> 120x x -<，所以0
<，即 12y y <.
所以函数
y =
[0,)+∞上是增函数.
(2)(),()f x x g x ==
[0,)+∞
上都是增函数，
所以 ()()y f x g x =+，即 y x = [0,)+∞上是增函数. (3)由(2)可以知道该函数在区间[1,4]上为增函数 则由函数单调性可以知道,该函数的值域为[1,3]
7.如果二次函数2
()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2
上是增函数，求f （2）的范围。
解：二次函数f （x ）在区间1(,1)2
上是增函数 因为图象开口向上，故其对称轴12a x -=与12x =重合或者位于1
2
x =的左侧 所以有
11
22
a -≤，所以2a ≤ 所以(2)22117f ≥-⨯+=,即(2)7f ≥
8.若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对于0>x 满足)()()(y f x f y
x f -=。
（1）求)1(f 的值；（2）若1)6(=f ，试求解不等式2)1()3(<-+x
f x f 。
解：（1）令0>=y x ，则0)()()1(=-=x f x f f 。
（2）因为1)6(=f ，所以
)6(2)1
()3(2)1()3(f x
f x f x f x f <-+⇒<-+
)6()6()]3([f f x x f +<+⇒)6()6()]3([f f x x f <-+⇒
)6(6)3(f x x f <⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⇒ 由于)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且
06)3(>+x x ，所以66
)
3(<+x x ， 解得：2
17
330+-<<x 。