分析力学五一

t 实际上，I ⋅ ω = I ω 就是前面讲的本征值方程，即
∑I ω
j=1 ij
3
(a) j
= Iaω
(a) i
(i =1 ,2,3)
,2,3)， 由上式可解出相互垂直的本征方向 ω(a) (a =1
即角动量与角速度共线的方向或惯量主轴。 在三个相互垂直的惯量主轴 ω(a) (a =1 ,2,3) 上， 以三个本征值 Ia为半轴作出的椭球，称为刚体的惯量 椭球。它就是转动惯量矩阵的本征椭球。
ψ 定义 ϕ, θ,ψ 为欧勒角( ϕ, θ ：确定自转轴位置， ：确
定绕自转轴转动的角度)
z, z '
y'
O
ϕ
y
ϕ
x
N, x '
刚体的基本运动形式：平动、转动 平动规律：质量集中在质心上的单质点运动规律 重点：转动 转动的特点：绕不同轴的转动之间有相互关联
§1.5.1 刚体的角速度、角动量与转动能量 一、不同转轴转动之间的关联
r →T∆ϕ1T∆ϕ2 r = (1+∆ϕ1×)(1+∆ϕ2×)r = (1+∆ϕ1×)(r +∆ϕ2 ×r) v v v v = r +∆ϕ2 ×r +∆ϕ1 ×r +∆ϕ1 ×(∆ϕ2 ×r)
两者之差：
v
v
v
v
(T∆ϕ1T∆ϕ2 −T∆ϕ2T∆ϕ1 )r = (∆ϕ1 ×∆ϕ2 ) ×r
对于无限小转动： ∆ϕ1 →0, ∆ϕ2 →0
设：刚体绕通过o点的轴线转动了一个微小角度 ∆ϕ 。
v ∆ 沿轴线方向作一有向线段： ϕ ，∆ϕ = ∆ϕ。这一
v v 则： r →r +∆r = r +∆ϕ ×r = (1+∆ϕ×)r (转动 ∆ϕ 后)
转动：空间变换 转动变换的数学表示： T∆ϕ =1+∆ϕ × 设：∆ϕ1, ∆ϕ2 ——绕两个不同轴的转动 v v ∆ϕ2 时，r 变为 1. 先转 ∆ϕ1 ，后转
第五章
刚体的运动
刚体：特殊的质点组——任何两个质点之间的距离保持 不变 刚体的形状和大小都不变化(自由度降低) 引入两套坐标系，确定刚体在空间的位置，即
Ox0 y0z0 ： 静止坐标系
ox1x2x3 ： 固连在刚体中的坐标系(参与刚体的全部运动)，
它的原点在静止坐标系中的位矢为 R0 。 注：下图中oxyz为从静止坐标系过渡动坐标系的坐标系
⇒
ω' = ω
——角速度不因转动中心(坐标系)的选择而变 通常，以刚体的质心作为运动坐标系的原点， 此时，V0——质心的速度。
三、角动量矢量与转动惯量张量
1 . 刚体平动：单个质点的运动 P =M V 2 . 定轴转动：L = I ω 3. 刚体绕o点的转动：刚体——质点组，对o点的总角动量
L = ∑ra ×pa =∑mara × va
a=1 N a=1 a=1 a=1
N
N
N
+[∑m r e ⋅ e3 − ∑ma xara ⋅ e3]ωz
a=1 2 a a 1 a=1
N
2 = [∑(mara2 − ma xa )]ωx +[−∑ma xa ya ]ωy +[−∑ma xa za ]ωz a=1 a=1 a=1
N
N
N
=[∑m( y2 + z2 )]ωx +[−∑mxy]ωy +[−∑mxz]ωz
a=1 a=1
N
N
va =ω×ra
⇒
2 L = ∑mara × (ω× ra ) = ∑ma [ra ω− (ra ⋅ω ra ] ) a=1 a=1
N
N
又
ω = ∑eiωi = ∑ei ( ei ⋅ω = ∑[ei ei ]⋅ω )
i=1 i=1 i=1
3
3
3
[ei ei ] —并矢
同理，有
(ra ⋅ω ra = ra (ra ⋅ω = [rara ]⋅ω ) )
若选相互垂直的三个惯量主轴作坐标轴，则：所 有的惯量积都为零 (为什么？)。此时，转动惯量张量 具有对角形式
I1 0 I = 0 I2 0 0
在这一坐标系中，L = i
0 0 I3
j
∑I ω
j =1 ij
3
成为
L = I1ω , L2 = I2ω2, L3 = I3ω3 1 1
——关于ωx , ωy , ωz的线性齐次方程组
I xx − I
非零解条件
I xy I yy − I I zy
I xz I yz = 0 I zz − I
I yx I zx
I 有三个正实根：Ia (a=1、2、3)
由 Ia 的三组解
(a)
ω
(a)
(a =1 2、 、 3)
三组解 ω 的方向决定了角动量与角速度共线的 三个方向。这三个方向称为刚体的惯量主轴。 Ia ：沿主轴方向的转动惯量。
I xy , I yz , I zx为惯量积。
质量连续分布：
dm = ρdτ ,
∑→∫
⇒
I xx = ∫ ( y2 + z 2 )ρdτ, I xy = −∫ xyρdτ L
四、惯量主轴
定义了转动惯量、惯量积后，得到
Lx = Ixxωx + Ixyωy + Ixzωz Ly = I yxωx + I yyωy + I yzωz Lz = Izxωx + Izyωy + Izzωz
线位移：沿不同方向彼此独立 A+B=B+A——平行四边形法则
角速度矢量
但：对转动，绕不同轴的转动，彼此之间互相关联。 例子：书的大角度转动。 显然：绕不同轴转动有限角度，与先后次序有关，并不 独立。 结论：两个有限转动的合成不服从平行四边形法则 不 结论 两个有限转动的合成不服从平行四边形法则，不 两个有限转动的合成不服从平行四边形法则 能看成矢量。 能看成矢量 注意：矢量——有大小、方向，且满足平行四边形法则 的量。 无限小角位移是矢量。 然而可证明：无限小角位移是矢量 无限小角位移是矢量
d R0 dR V= 固定坐标系： P点速度 V = ；o点速度 0 P dt dt
v
Vp = V + ω×rop 0
( ω 是以o点为中心的角速度)
对另一点o'，且oo' = a，同理有
V ' = V +ω×oo' = V +ω×a o 0 0
现设：o' 为转动中心，以o' 为原点的坐标系中，P点 r' 的矢径为r'op 则 rop= r'op+ a
= [∑m r
a=1
N
2 a a
∑δ
i=1
3
1,i i
e − ∑ma xara ]⋅ (ωxe1 +ωye2 +ωze3 )
a=1
N
= [∑m r e − ∑ma xara ]⋅ (ωxe1 +ωye2 +ωze3 )
a=1
N
N
N
2 a a 1
a=1
=[∑mara2 −∑ma xara ⋅e1]ωx +[∑mara2e1 ⋅ e2 −∑ma xara ⋅ e2 ]ωy
同理，有
Ly =[−∑myx]ωx +[∑m(z2 + x2 )]ωy +[−∑myz]ωz
Lz =[−∑mzx]ωx +[−∑mzy]ωy +[∑m(x2 + y2 )]ωz
2 2 Lx ∑m( y + z ) ⇒ Ly = − ∑myx L − mzx ∑ z
2 L = ∑[mara ∑(ei ei ) ⋅ ω− marara ⋅ ω] a=1 N i=1 3 N 3
= ∑[m r
a=1
2 a a
∑e e −m r r ]⋅ω
i=1 i i a a a
比较：L = Iω——定轴转动，即
L//ω，L和 ω共线
定点转动：转动惯量不再是常数，而是一个并矢
3 t N 2 I = ∑[mara ∑ei ei − marara ] a=1 i=1
v
v
v
v
略去二阶小量 (∆ϕ1 ×∆ϕ2 )×r
v
v
(∆ϕ1 ×∆ϕ2 体现关联： ϕ1, ∆ϕ2 顺序不一样，结果不一样) ∆
则
v
v
v
v
T∆ϕ1T∆ϕ2 r = T∆ϕ2 T∆ϕ1 r
即
r + (∆ϕ2 +∆ϕ1)×r = r + (∆ϕ1 +∆ϕ2 )×r v v v v (r：任意) ∆ϕ2 +∆ϕ1 =∆ϕ1 +∆ϕ2
− ∑mxy m(z2 + x2 ) ∑ − ∑mzy
− ∑mxz ωx − ∑myz ωy m(x2 + y2 ) ωz ∑
t 上式为 L = I ⋅ω 的矩阵形式 t ⇒ 并矢 I 有九个分量
t I 的矩阵形式
∑m( y2 + z2 ) I = −∑myx −∑mzx 2 2 ∑m(z + x ) −∑myz −∑mzy m(x2 + y2 ) ∑ −∑mxy −∑mxz
—— 两个无穷小转动与次序无关：两个无 两个无穷小转动与次序无关： 穷小角位移相加服从平行四穷小角位移是矢量。 无穷小角位移是矢量。 无穷小角位移是矢量
二、角速度矢量
定义：
∆ϕ dϕ lim = = ω ——瞬时角速度(矢量) ∆t →0 ∆ t dt
v
v