实际问题与一元二次方程(一)教学课件
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实际问题与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
甲
5000元 3000元
乙
6000元 3600元
知识讲解
难点突破成本Fra bibliotek药品两年前的成本
现在的成本
年平均下降额
年平均下降率
甲
5000元 3000元 1000元
？
乙
6000元 3600元 1200元
？
知识讲解
难点突破
本年成本=前一年成本-前一年成本×年下降率 =前一年成本×(1-年下降率)
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x
2011年平均每公顷产量为 2012年平均每公顷产量为
7200(1+x) kg 7200(1+x)2 kg
由此可列方程： 7200(1+x)2=8450
知识讲解
难点突破
探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的 成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
由题意得
5000(1-x)2=3000
年平均下降 率应为小于1
解方程，得
(1-x)2=0.6
的正数
1 x 0.6
x1 1 0.6, x2 1 0.6
x1 0.225, x2 1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
知识讲解
难点突破
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
知识讲解
难点突破
成本
药品
年平均下降额
年平均下降率
甲
1000元 22.5%.
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》课件(共6张PPT)
某水果批发商城经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货 不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量就减少 20kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾 客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
拓展提高：
某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型 西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出 200千克，为了促销，该经营户决定降价销售， 经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克, 每天可多售出40千克,另外,每天的房租等固定 成本共24元,该经营户要想每天盈利200元,应 将每千克小桃，进价每千克40元，按每千克60元出 售，平均每天可售出100千克，后来经调查发现，单 价每降低2元，商场平均每天可多售出20千克。若商 场平均每天销售核桃的盈利要达到2240元， 请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾 客，应按原售价的几折出售？
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
实际问题与一元二次方程
营销问题
解一元二次方程应用题的一般步骤？
（1）审题 （2）设未知数 （3）列方程 （4）解方程 （5）答
初三上数学课件(人教版)-实际问题与一元二次方程(第一课时)
1.会根据具体问题（按一定传播速度传播问题、数字问 题和利润问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
重点：列一元二次方程解决实际问题 . 难点：找出实际问题中的等量关系 .
未知量
间接设
实际意义
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
B
9
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意得，400×(1+10%)(1+x)2=633.6， 解得,x =0.2=20%,x =2.2(不合题意舍去).答:(略)
解：设这个两位数的个位数字为x，
则十位数字为x-2，这个两位数为10（x-2）+x，
依题意得10（x-2）+x=3x(x-2)
分析：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个
人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有___人
患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人
，用代数式表示
，第二轮后，共有
人患流感
。
⑵根据等量关系列方程：_______.
⑶解这个方程得：_______.
（2）设未知数（几种设法） ．设较小的奇数为x，则另 一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设 较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1． 解法二：
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1
据题意，得（x-1）（x+1）=323． 整理后，得x2=324． 解这个方程，得x1=18，x2=-18． 当x=18时，18-1=17，18+1=19．
2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
重点：列一元二次方程解决实际问题 . 难点：找出实际问题中的等量关系 .
未知量
间接设
实际意义
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
B
9
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意得，400×(1+10%)(1+x)2=633.6， 解得,x =0.2=20%,x =2.2(不合题意舍去).答:(略)
解：设这个两位数的个位数字为x，
则十位数字为x-2，这个两位数为10（x-2）+x，
依题意得10（x-2）+x=3x(x-2)
分析：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个
人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有___人
患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人
，用代数式表示
，第二轮后，共有
人患流感
。
⑵根据等量关系列方程：_______.
⑶解这个方程得：_______.
（2）设未知数（几种设法） ．设较小的奇数为x，则另 一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设 较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1． 解法二：
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1
据题意，得（x-1）（x+1）=323． 整理后，得x2=324． 解这个方程，得x1=18，x2=-18． 当x=18时，18-1=17，18+1=19．
22.3实际问题与一元二次方程(第一课时)
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 即
1 x( x 1) 28 2
化简:得
1 x( x 1) 2
场.
2 x 56 0 x
?
探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有
121人患了流感,每轮传染中平均一个人 传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 X+1 人患了流感,第二轮后共有x(x+1) 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121
x
∴(1 x)2 1 36% ∴1 x 0.8
∴ x1 0.2 x2 1.8
． 答：平均每月降价
x2 1.8 不合题意舍去． ∴ x 0.2 20%
20％ ．
例1. 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银 行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1155元，求 这种存款方式的年利率． 解：设这种存款方式的年利率为
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000 (1 x) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
x2+2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10
根据问题的实际意义,x=10
答:每轮传染中平均传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
是同一场比赛,所以全部比赛共 即
1 x( x 1) 28 2
化简:得
1 x( x 1) 2
场.
2 x 56 0 x
?
探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有
121人患了流感,每轮传染中平均一个人 传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 X+1 人患了流感,第二轮后共有x(x+1) 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121
x
∴(1 x)2 1 36% ∴1 x 0.8
∴ x1 0.2 x2 1.8
． 答：平均每月降价
x2 1.8 不合题意舍去． ∴ x 0.2 20%
20％ ．
例1. 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银 行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1155元，求 这种存款方式的年利率． 解：设这种存款方式的年利率为
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000 (1 x) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
x2+2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10
根据问题的实际意义,x=10
答:每轮传染中平均传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
实际问题与一元二次方程(一)传播问题(课件)数学九年级上册(人教版)
例2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分
支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91 即 x2 x 90 0 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
…… ……
整理得 5(1+x)2=125
解得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了4个人.
某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播
后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若
病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？
解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人， 根据题意列方程： 2+2x+x(2+2x)=50， 整理得：2(1+x)2=50， 解得：x1=4，x2=-6.（不合题意，舍去），
∴50×(1+4)=250（人）. 答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制， 三轮传播后将有250人被感染.
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题 分析数量关系 建立一元二
设未知数 次方程模型
解一元二次方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
1．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 根据题意，得：（x+1）2=256， 直接开平方得x+1=±16， 解得x1=15，x2=-17， 经检验都是原方程的根，但x2=-17＜0不符合实际 （舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
九年级上册数学实际问题与一元二次方程课件PPT
分析:此题属于经营问题,若设每件衬衫应降价x元,则每件所得利 润为(40-x)元,但每天多售出2x件,即售出件数为(20+2x)件,因此每天 赢利为(40-x)(20+2x)元,进而可根据题意列出方程求解.
14
教材新知精讲
综合知识拓展
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五
解:(1)设每件衬衫应降价x元, 根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理得2x2-60x+400=0,解得x1=20,x2=10. 因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快, 故每件衬衫应降价20元. 答:每件衬衫应降价20元. (2)设商场平均每天盈利y元, 则y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60x+800 =-2(x2-30x-400)=-2[(x-15)2-625] =-2(x-15)2+1 250.
13
教材新知精讲
综合知识拓展
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五
拓展点四列一元二次方程解商品销售问题 例4 (2015·岳池县模拟)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商 场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元, 商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
4x)=
9 1- 25
×20×30,
解得x1=1,x2=9.
∵4×9=36>20,
∴x=9舍去,
∴横彩条的宽度是2 cm,竖彩条的宽度是3 cm.
12
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五
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教材新知精讲
综合知识拓展
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五
解:(1)设每件衬衫应降价x元, 根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理得2x2-60x+400=0,解得x1=20,x2=10. 因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快, 故每件衬衫应降价20元. 答:每件衬衫应降价20元. (2)设商场平均每天盈利y元, 则y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60x+800 =-2(x2-30x-400)=-2[(x-15)2-625] =-2(x-15)2+1 250.
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教材新知精讲
综合知识拓展
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五
拓展点四列一元二次方程解商品销售问题 例4 (2015·岳池县模拟)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商 场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元, 商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
4x)=
9 1- 25
×20×30,
解得x1=1,x2=9.
∵4×9=36>20,
∴x=9舍去,
∴横彩条的宽度是2 cm,竖彩条的宽度是3 cm.
12
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五
一元二次方程在实际问题中的应用课件
由题可得 ( x + 0.6 + x ) ·( x – 0.4) ÷ 2 = 0.78，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
21-3 实际问题与一元二次方程 课件(共25张PPT)
。
2
5−1
− 5−1
或x2=
(不合题意，舍去)，所以
2
2
小练习
例 4：邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围
墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m，若矩形的面积为
1
4m2，则AB的长度是____m（可利用的围墙长度超过6m）。
解析：设垂直墙的篱笆的AB为x，那么平行墙的篱笆BC长为（6-2x），
解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去）。
则根据问题的额实际意义，甲乙两种药品成本的年平均下降率均为22.5%
知识梳理
知识点1：组合计算问题。
常见单循环赛问题，握手问题，签合同问题都有相同的规
1
律 x(x-1),送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1)。
2
例 1：某植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
方程，a（1-x）2=49%a，整理得：x2-2x+0.51=0，解得：x1=1.7（舍去）
或x2=0.3，∴平均每次降价30%。故选D。
知识要点
列方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；
④解方程；⑤检查作答。
组合计数问题：常见单循环问题，握手问题，签合同问题都有
1
相同的规律 x（x-1)，送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1）。
1+x+x(1+x)
人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有_________
个人患了流感。
列方程1+x+x(1+x)=121,
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去).
平均一个人传染了10个人。
教学新知
2
5−1
− 5−1
或x2=
(不合题意，舍去)，所以
2
2
小练习
例 4：邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围
墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m，若矩形的面积为
1
4m2，则AB的长度是____m（可利用的围墙长度超过6m）。
解析：设垂直墙的篱笆的AB为x，那么平行墙的篱笆BC长为（6-2x），
解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去）。
则根据问题的额实际意义，甲乙两种药品成本的年平均下降率均为22.5%
知识梳理
知识点1：组合计算问题。
常见单循环赛问题，握手问题，签合同问题都有相同的规
1
律 x(x-1),送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1)。
2
例 1：某植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
方程，a（1-x）2=49%a，整理得：x2-2x+0.51=0，解得：x1=1.7（舍去）
或x2=0.3，∴平均每次降价30%。故选D。
知识要点
列方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；
④解方程；⑤检查作答。
组合计数问题：常见单循环问题，握手问题，签合同问题都有
1
相同的规律 x（x-1)，送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1）。
1+x+x(1+x)
人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有_________
个人患了流感。
列方程1+x+x(1+x)=121,
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去).
平均一个人传染了10个人。
教学新知
一元二次方程(第一课时)课件
一元二次方程(第一课 时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
22.3.1实际问题与一元二次方程(一)
分析：本金×利率=利息，本金+利息=本息
4.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
5.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本 降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
6、已知两个连续奇数的积等于399,求这两个数.
7、某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现 每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每
(2)上网计算机总台数2001年12月31日至 2003年12月31日与2000年12月31日至2002 年12月31日相比,哪段时间年平均增长率较 大(参考下图)?
2000年1月至2003年12月我国上网计算机总台数
3200 2400 1600 800 0
892 350 2000年 1月1日 2000年 12月31日 2001年 2002年 2003年 年份 12月31日 12月31日 12月31日 1254 上网计算 机总台数 (万台) 3089 2083
x
结束寄语
• 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想——方程的思想. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
8.截止到2000年12月31日,我国的上网计算机 总台数为892万台;截止到2002年12月31日,我 国的上网计算机总台数已达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日 我国 计算机上网台数的年平均增长率(精确 到 0.1%);
盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽
培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减 少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该
植多少株?
8.一个直角梯形的下底比上底大2cm，高比上底 小1cm，面积等于8cm2，求这个梯形的周长。 9.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干 又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支 的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 10.如图，利用一面墙（墙的长度不限）， 用20m长的篱笆，怎样围成一个面积 为50m2的矩形场地？ x 20-2x
4.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
5.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本 降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
6、已知两个连续奇数的积等于399,求这两个数.
7、某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现 每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每
(2)上网计算机总台数2001年12月31日至 2003年12月31日与2000年12月31日至2002 年12月31日相比,哪段时间年平均增长率较 大(参考下图)?
2000年1月至2003年12月我国上网计算机总台数
3200 2400 1600 800 0
892 350 2000年 1月1日 2000年 12月31日 2001年 2002年 2003年 年份 12月31日 12月31日 12月31日 1254 上网计算 机总台数 (万台) 3089 2083
x
结束寄语
• 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想——方程的思想. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
8.截止到2000年12月31日,我国的上网计算机 总台数为892万台;截止到2002年12月31日,我 国的上网计算机总台数已达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日 我国 计算机上网台数的年平均增长率(精确 到 0.1%);
盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽
培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减 少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该
植多少株?
8.一个直角梯形的下底比上底大2cm，高比上底 小1cm，面积等于8cm2，求这个梯形的周长。 9.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干 又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支 的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 10.如图，利用一面墙（墙的长度不限）， 用20m长的篱笆，怎样围成一个面积 为50m2的矩形场地？ x 20-2x
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课堂小结
类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍 存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为
a (1 x) b
n
其中增长取+,降低取－
巩固练习
1、某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝 干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支 的总数是91,每个支干长出多少小分支? 2．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份 的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万 元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利 润的月平均上升率较大? 3.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患 了流感,毎轮传染中平均一个人传染了几个人? 4.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨， 通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产 化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分 率相同，均为x，可列出方程为_______
有多少人患流感?
解:121+121×10=1331 答:三轮传染后有1331人患流感.
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元 一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、 找、列、解、答． 这里要特别注意．在列一元二次方程解应 用题时，由于所得的根一般有两个，所以 要检验这两个根是否符合实际问题的要 求．
分析设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1
第一轮传染 后
1+x
第二轮传染后
1+x+x(1+x)
开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 (x+1) 人患了流 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____ 感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,
1+x+x(1+x) 人患了流感. 用代数式表示,第二轮后共有____________
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000 (1 x) 3000
2
解方程,得 x1 0.225, x2 1.775(不合题意, 舍去) 答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 22.5% 比较:两种药品成本的年平均下降率 (相同)
21.3实际问题与 一元二次方程（一）
复习回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 2.列一元一次方程解应用题的步骤？ ①审题，②设未知数. ③找等量关系知
探究 1 有一人患了流感 , 经过两轮传染 后共有121人患了流感,每轮传染中平均 一个人传染了几个人?
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
依题意得:1+x+x(1+x)=121 解方程,得
10 -12 . (不合题意,舍去) _____, x1 x2 ______
10 答:平均一个人传染了________ 个人.
通过对这个问题的探究,你对类似的传播有新的认 识吗?
思考:按照这样的传染速度,三轮传染后
探究2两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生
产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进 步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平 均下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平 均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)