2018-2019学年浙江省杭州市高二下学期期末考试数学试题 解析版
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）函数的定义域是（）A．B．C．D．3．（4分）已知，，，则＝（）A．B．C．D．4．（4分）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）“sinα＝cosα”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．（4分）已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．12B．24C．36D．729．（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）A．B．2C．D．410．（4分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤0D．0≤a≤2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）已知向量||＝1，，，的夹角为，则＝，||＝．12．（6分）已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X）＝，则n＝，p ＝．13．（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为；所有的二项式系数之和为．14．（6分）在数列{a n}中，已知a1＝2，，则a2＝，归纳可知a n＝．15．（4分）已知函数f（x）＝3x﹣2，若存在使得不等式成立，则实数λ的最小值为．16．（4分）设a＞0且a≠1，函数f（x）＝为奇函数，则f（g（2））＝．17．（4分）已知D是△ABC中AC所在边上的一点，，，，则在上投影的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的取值范围．19．（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔．选手F与A，B，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（Ⅱ）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望．20．（15分）已知向量与，其中．（Ⅰ）若⊥，求tan x的值；（Ⅱ）记函数f（x）＝•，且f（a）＝，求sinα的值．21．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）＝0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0），讨论函数g（x）在区间（﹣1，2）上零点个数的所有情况．22．（15分）已知函数f（x）＝mxln（x+1）+x+1，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤e x，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合．【解答】解：根据补集的定义，∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件． ∁U A ＝{2，4，5} 故选：C ．【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题． 2．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【解答】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题． 3．【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意设＝x +y ，则（﹣1，2）＝x （1，1）+y （1，﹣1） ∴x +y ＝﹣1 ① x ﹣y ＝2 ②由①②知，x ＝，y ＝﹣∴＝﹣故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标表示．4．【分析】将复数化简整理，得z＝﹣+i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限．【解答】解：＝＝﹣+i∴复数在复平面内对应的点为Z（﹣，），为第二象限内的点故选：B．【点评】本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题．5．【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+，k∈Z，故sinα＝cosα是“”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．6．【分析】先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sin2x＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y＝cos（2x+﹣）＝cos（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7．【分析】先对函数进行求导，根据函数函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，列出不等式组，进而可解出a的范围．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．，解得a＜．故选：A．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想．属中档题．8．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，有C42＝6种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分派方法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9．【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g（x）＝2f（x）﹣f2（x），然后利用基本不等式的性质，转化为关于f（1）+f（2020）的一元二次不等式，进行求解即可．【解答】解：由，得2f（x）﹣f2（x）≥0，得0≤f（x）≤2，平方得f2（x+1）＝1+2+2f（x）﹣f2（x），①∴2f（x+1）＝2+2②②﹣①得2f（x+1）﹣f2（x+1）＝2+2﹣[1+2+2f（x）﹣f2（x）]＝1﹣[2f（x）﹣f2（x）]，即2f（x+1）﹣f2（x+1）+2f（x）﹣f2（x）＝1，③设g（x）＝2f（x）﹣f2（x），则③等价为g（x+1）+g（x）＝1，即g（x+2）+g（x+1）＝g（x+1）+g（x）＝1，∴g（x+2）＝g（x），则g（0）＝g（2）＝g（4）＝…＝g（2020），g（1）＝g（3）＝g（5）＝…＝g（2021），则g（1）+g（2020）＝g（1）+g（0）＝1，∴2f（1）﹣f2（1）+2f（2020）﹣f2（2020）＝1，即2[f（1）+f（2020）]﹣[f2（1）+f2（2020）]＝1即2[f（1）+f（2020）]﹣[f（1）+f（2020）]2\+2f（1）f（2020）]＝12f（1）f（2020）＝1+[f（1）+f（2020）]2\﹣2[f（1）+f（2020）]≤2×[]2＝[f（1）+f（2020）]2，设t＝f（1）+f（2020），则不等式等价为1+t2﹣2t≤t2，整理得t2﹣4t+2≤0，得2≤t≤2+，即2≤f（1）+f（2020）≤2+，则f（1）+f（2020）的最大值为2+，故选：C．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．10．【分析】根据条件先计算f（x2），将不等式等价转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，结合函数单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）＝alnx﹣2x，x＞0，∴f（x2）＝alnx2﹣2x2＝2alnx﹣2x2，则不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，等价为2alnx﹣2x2≤f（2x﹣1），即f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，即x2＞2x﹣1，∴等价为函数f（x）在（1，+∞）为减函数即可，函数的导数f′（x）≤0即可，∵f′（x）＝﹣2，∴由f′（x）＝﹣2≤0，即≤2，则a≤2x，在（1，+∞）上恒成立，∵2x＞2，∴a≤2，即实数a的取值范围是a≤2，故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用条件转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，以及利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可，通过向量的模转化求解即可．【解答】解：向量||＝1，，，的夹角为，则＝||||cos＝1×＝1，||＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．12．【分析】直接利用离散型随机变量的期望与方差，列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝，可得np＝2，np（1﹣p）＝，解得p＝．n＝8故答案为：8；．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查计算能力．13．【分析】由二项式定理及二项式系数得：二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，得解．【解答】解：由二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，故答案为：40 32．【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．14．【分析】根据数列的递推关系进行计算，利用取倒数法，结合等差数列的定义进行求解即可．【解答】解：∵a1＝2，，∴a2＝＝＝，由，取倒数得＝＝3+，得得﹣＝3，即数列{}是以公差d＝3的等差数列，首项为，则＝+3（n﹣1）＝，即a n＝，n∈N•故答案为：，【点评】本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推公式，利用取倒数法是解决本题的关键．15．【分析】令f（x）≥﹣解得x＞，若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，化为存在θ∈（0，]，不等式cos2θ+λsinθ﹣1＞成立，即sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，求g（θ）的最小值小于或等于0即可．【解答】解：函数f（x）＝3x﹣2，令f（x）≥﹣，解得：x≥；若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，则存在θ∈（0，]，cos2θ+λsinθ﹣1≥成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣1≥成立，所以sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，则g（θ）＝+﹣，由θ∈（0，]，得sinθ∈（0，1]；所以λ≤0时，g（θ）在（0，]上单调递增，则g（θ）＞g（0）＝，不满足题意；0＜λ≤2时，g（θ）在（0，]上先增或减，则g（θ）＞g（0）＝﹣，令﹣≤0，解得λ≥或λ≤﹣（不合题意，舍去），所以≤λ≤2；λ＞2时，g（θ）在（0，]上单调递减，则g（θ）＞g（）＝1﹣λ+＝﹣λ，令﹣λ≤0，解得λ≥，所以＞2；综上所述，λ的取值范围是[，+∞），所以λ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了不等式成立应用问题，也考查了等价转化与应用问题，是难题．16．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，即有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a ＝2，则f（x）＝，据此结合函数解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a＝2，则f（x）＝，f（﹣2）＝2﹣1﹣2＝﹣，则g（2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝，g（）＝f（）＝﹣f（﹣）＝2﹣，则f（g（2））＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．17．【分析】依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6），然后根据数量积可以求出•的最小值，从而可求出在上投影的最小值【解答】解：依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6）∵•＝（﹣）•＝•﹣•＝4×6×﹣6（6﹣t）＝6t﹣≥﹣（t＝0时取等，此时D与C重合），∴在上投影为＝≥﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．【分析】（Ⅰ）由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．（Ⅱ）当时，利用正弦函数定义域和值域，求出f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，故它的周期．（Ⅱ）∵，∴，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）选手F与A，B，C的对抗赛获胜，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）…………（5分）∵∴F会入选………………（7分）（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝××+××+××＝；P（X＝2）＝×+××+××＝，P（X＝3）＝××＝所以，X的分布列为：………………（15分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）通过向量的表达式，结合⊥，利用二倍角公式化简求tan x的值；（Ⅱ）化简函数f（x）＝•，且f（a）＝，列出关系式，通过两角和与差的三角函数，转化求sinα的值．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）向量与，其中．．………………（4分）∴………………（7分）（Ⅱ），∴………………（9分）∵，∴，∴………………（12分）∴＝＝………………（15分）【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可（Ⅱ）求出g（x）的解析式，当当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解，则只需要讨论当时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题，利用一元二次函数的性质进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（0）＝0，∴c＝0，∵对于任意x∈R，都有，∴函数f（x）的对称轴为，即，得a＝b………………（3分）又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R，都成立，∴a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b＝1，a＝1．∴f（x）＝x2+x．………………（6分）（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|＝x2+x﹣|λx﹣1|，∵λ＞0，则即求方程x2+x﹣λ|x﹣|，在（﹣1，2）内的解的个数问题．∵λ＞0，当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解．………………（8分）只需考虑时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题．即x2+（1﹣λ）x+1＝0，判别式△＝（1﹣λ）2﹣4＝λ2﹣2λ﹣3＝（λ+1）（λ﹣3），当△＝0时，可得λ＝3．此时x＝1．在（，2）上，此时有一解；当△＜0时，可得0＜λ＜3．此时f（x）＝0无解，即此时在内无解；当△＞0时，可得λ＞3．记两解为x1，x2，（x1＜x2），∵x1•x2＝1，必有之间，取x＝2，若2λ﹣1＜f（2）即时，解x2∈（1，2）；若2λ﹣1＞f（2），即，x2∈[2，+∞）；………………（14分）综上，当0＜λ＜3时，g（x）在（﹣1，2）内有一个零点；当λ＝3或时，g（x）在（﹣1，2）内有两个零点；当时，g（x）在（﹣1，2）内有三个零点；………………（15分）【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．22．【分析】（Ⅰ）推导出函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，f′（0）＝1．利用导数性质能求出函数f（x）在x＝0处的切线方程．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，推导出e x ≥x+1．m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x ﹣x﹣1，证明：≥．由此能求出实数m的取值范围．（Ⅲ）当时，，从而，令，推导出，利用累加法能证明（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝mxln（x+1）+x+1，令x＝0时，f（0）＝1，∴函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，∴f′（0）＝1．∵函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，∴x≥0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）≥g（0）＝0，因此e x≥x+1．①若f（x）＝mxln（x+1）+x+1≤x+1，则f（x）≤e x，则mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．∴m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．②m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x﹣x﹣1，x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．x＞0时，化为：m≤．下面证明：≥．令h（x）＝2e x﹣2x﹣2﹣xln（x+1），h（0）＝0．h′（x）＝2e x﹣2﹣ln（x+1）﹣．h′（0）＝0．h″（x）＝2e x﹣﹣≥h″（0）＝0，∴h′（x）≥0．∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0．∴≥成立，并且是其最小值．∴m≤．综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，）．（Ⅲ）由（2）知：当时，，∴，令，∴，∴，累加得：∴，∴（n∈N*）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省杭州市八校联盟2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018学年第一学期杭州八校联盟期中联考高一年级数学学科试题一、选择题。
1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据元素和集合的关系可得解.【详解】由集合，又,所以集合.故选D.【点睛】本题主要考查了元素和集合的关系，属于基础题.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数可知，解不等式组即可得定义域.【详解】由函数，可得，解得.所以函数的定义域为：.故选C.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题.3.已知，且，则函数与函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数与函数互为反函数，图像关于对称易得解.【详解】由函数与函数互为反函数，则图像关于对称，从而排除A,C,D. 易知当时，两函数图像与B相同.故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于基础题.4.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的解析式结合对数的运算法则可得，从而代入条件可得解.【详解】函数，可得.从而有：.所以由，可得.故选D.【点睛】本题主要考查了部分奇偶性的应用，利用对数的运算法则可得中心对称性，属于基础题.5.函数的定义域为R，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】函数的定义域为R，即为在R上恒成立.当时，有，解得.综上.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数在R上的恒成立问题，利用抛物线的开口及判别式判断与x轴是否有公共点即可，属于基础题.6.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据自变量函数的范围，结合分段函数的表达式求解即可.【详解】由函数，可得.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题.7.若函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合二次函数的图像可知函数对称轴，通过化简函数，利用反比例函数的性质可得在区间上是减函数，有，从而得解.【详解】由函数在区间上是增函数，可得对称轴，得.又在区间上是减函数，所以，得.综上：.【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的单调性，属于常考题型.8.已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过换元令，然后由单调递减，结合的范围可列方程解得.【详解】令，最大值为0，最小值为.则当时，单调递减.所以，解得，有，故选A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.二、填空题。
2018-2019学年浙江省杭州市下城区七年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市下城区七年级（上）期末数学试卷一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（3分）下列各数是负整数的是（）A．﹣20B．﹣C．﹣πD．﹣（﹣2）2．（3分）把1.5952精确到十分位的近似数是（）A．1.5B．1.59C．1.60D．1.63．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣6+4＝﹣10B．0﹣7＝7C．﹣1.3﹣（﹣2.1）＝0.8D．4﹣（﹣4）＝04．（3分）下列各式正确的是（）A．±＝3B．＝±3C．±＝±3D．＝﹣3 5．（3分）如图，点A表示的数可能是（）A．﹣0.8B．﹣1.2C．﹣2.2D．﹣2.86．（3分）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．求男生有多少人？设男生有x人，则可列方程为（）A．2x+3（20﹣x）＝52B．3x+2（20﹣x）＝52C．2x+3（52﹣x）＝20D．3x+2（52﹣x）＝207．（3分）下列角度换算错误的是（）A．10.6°＝10°36″B．900″＝0.25°C．1.5°＝90′D．54°16′12″＝54.27°8．（3分）若代数式x﹣3y+7的值为5，则值一定为7的代数式是（）A．x+y+5B．x+3y+2C．2x﹣6y﹣3D．﹣2x+6y+3 9．（3分）设两个锐角分别为∠1和∠2，（）A．若∠1的余角和∠2的余角互余，则∠1和∠2互补B．若∠1的余角和∠2的补角互补，则∠1和∠2互补C．若∠1的补角和∠2的余角互补，则∠1和∠2互余D．若∠1的补角和∠2的补角互补，则∠1和∠2互余10．（3分）若＝1，其中i ＝0，1，2……，（ ）A ．当x 0＝0时，x 2018＝4037B ．当x 0＝1时，x 2018＝4037C ．当x 0＝2时，x 2018＝4037D ．当x 0＝3时，x 2018＝4037二．填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）﹣的相反数是 ；﹣2的绝对值等于 ． 12．（4分）去括号：﹣（a +b ﹣c ）＝ ． 13．（4分）计算：﹣＝ ．14．（4分）某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，这种细胞由1个分裂成256个需要 小时．15．（4分）若点A ，点B ，点C 在直线l 上，设AB ＝a ，BC ＝b ，其中a ≠b ，则AC ＝ （用含a ，b 的代数式表示）． 16．（4分）设代数式A ＝代数式B ＝，a 为常数．观察当x 取不同值时，对应A 的值，并列表如下（部分）：当x ＝1时，B ＝ ；若A ＝B ，则x ＝ ．三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）计算： （1）21﹣（4﹣10） （2）﹣62×（﹣）18．（8分）解方程：（1）3x +2＝3.5x ﹣1 （2）1+＝19．（8分）（1）计算：3（a ﹣b +1）﹣4（a ﹣b +1），其中a ＝+1，b ＝；（2）先化简，后求值：2（a 2b ﹣ab 2+b 2）﹣3（a 2b ﹣ab 2+b 2），其中a ＝6，b ＝﹣．20．（10分）若多项式m2+5m﹣3的常数项是a，次数是b，当m＝1时，此多项式的值为c．（1）分别写出a，b，c表示的数，并计算（a+b）+（b+c）+（c+a）的值；（2）设a，b，c在数轴上对应的点分别是点A，点B，点C．若点P是线段AB上的一点，比较与PC的大小，说明理由．21．（10分）如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形（记作A）后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形（记作B）．（1）若A与B的面积均为Scm2，求S的值．（2）若A的周长是B的周长的倍，求这个正方形的边长．22．（12分）小方家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（1）求a的值．（2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表：已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？23．（12分）如图，0°＜∠AOB＜180°，射线OC，射线OD，射线OE，射线OF均在∠AOB内部，∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，∠COE＝∠DOF，∠COD＝2∠EOF．（1）若∠COE＝20°，求∠EOF的度数；（2）若∠EOF与∠COD互余，找出图中所有互补的角，并说明理由；（3）若∠EOF的其中一边与OA垂直，求∠AOB的度数．2018-2019学年浙江省杭州市下城区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（3分）下列各数是负整数的是（）A．﹣20B．﹣C．﹣πD．﹣（﹣2）【分析】直接利用负整数的定义进而分析得出答案．【解答】解：由﹣（﹣2）＝2，再结合负整数的定义可得：﹣20是负整数．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握负整数的定义是解题关键．2．（3分）把1.5952精确到十分位的近似数是（）A．1.5B．1.59C．1.60D．1.6【分析】精确到十分位就是精确到0.1的意思，1后面的数四舍五入就可以1.5952精确到十分位，5还是9，故舍去9后的数字为1.6．【解答】解：把1.5952精确到十分位的近似数是1.6，故选：D．【点评】本题主要考查近似数和有效数字，精确到哪一位，哪一位后的第一个数就四舍五入．3．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣6+4＝﹣10B．0﹣7＝7C．﹣1.3﹣（﹣2.1）＝0.8D．4﹣（﹣4）＝0【分析】根据有理数的加法法则和减法法则逐一计算可得．【解答】解：A．﹣6+4＝﹣2，此选项错误；B．0﹣7＝﹣7，此选项错误；C．﹣1.3﹣（﹣2.1）＝﹣1.3+2.1＝0.8，此选项正确；D．4﹣（﹣4）＝4+4＝8，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加法法则和减法法则．4．（3分）下列各式正确的是（）A．±＝3B．＝±3C．±＝±3D．＝﹣3【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一计算可得．【解答】解：A．＝±3，此选项错误；B．＝3，此选项错误；C．＝±3，此选项正确；D．无意义，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查算术平方根和平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义．5．（3分）如图，点A表示的数可能是（）A．﹣0.8B．﹣1.2C．﹣2.2D．﹣2.8【分析】先根据数轴判断出点A表示的数的范围，再结合各选项逐一判断可得．【解答】解：由数轴知，点A表示的数大于﹣2，且小于﹣1，而﹣2＜﹣1.2＜﹣1，故选：B．【点评】本题考查了利用数轴上的数，右边的数总是大于左边的数．6．（3分）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．求男生有多少人？设男生有x人，则可列方程为（）A．2x+3（20﹣x）＝52B．3x+2（20﹣x）＝52C．2x+3（52﹣x）＝20D．3x+2（52﹣x）＝20【分析】设男生有x人，则女生有（20﹣x）人，根据植树的总棵数＝3×男生人数+2×女生人数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设男生有x人，则女生有（20﹣x）人，根据题意得：3x+2（20﹣x）＝52．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（3分）下列角度换算错误的是（）A．10.6°＝10°36″B．900″＝0.25°C．1.5°＝90′D．54°16′12″＝54.27°【分析】根据度、分、秒之间的换算关系求解．【解答】解：A、10.6°＝10°36'，错误；B、900″＝0.25°，正确；C、1.5°＝90′，正确；D、54°16′12″＝54.27°，正确；故选：A．【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算关系：1°＝60′，1′＝60″，难度较小．8．（3分）若代数式x﹣3y+7的值为5，则值一定为7的代数式是（）A．x+y+5B．x+3y+2C．2x﹣6y﹣3D．﹣2x+6y+3【分析】先根据已知条件得出x﹣3y＝﹣2，将其代入﹣2x+6y+3＝﹣2（x﹣3y）+3计算可得．【解答】解：∵x﹣3y+7＝5，∴x﹣3y＝﹣2，则﹣2x+6y+3＝﹣2（x﹣3y）+3＝﹣2×（﹣2）+3＝4+3＝7，故选：D．【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．9．（3分）设两个锐角分别为∠1和∠2，（）A．若∠1的余角和∠2的余角互余，则∠1和∠2互补B．若∠1的余角和∠2的补角互补，则∠1和∠2互补C．若∠1的补角和∠2的余角互补，则∠1和∠2互余D．若∠1的补角和∠2的补角互补，则∠1和∠2互余【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论．【解答】解：A、若∠1的余角和∠2的余角互余，则∠1和∠2互余，故错误；B、若∠1的余角和∠2的补角互补，则∠1和∠2互余，故错误；C、若∠1的补角和∠2的余角互补，则∠1和∠2互余，故正确；D、若∠1的补角和∠2的补角互补，则∠1和∠2互补，故错误；故选：C．【点评】本题考查了余角和补角的性质，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．10．（3分）若＝1，其中i＝0，1，2……，（）A．当x0＝0时，x2018＝4037B．当x0＝1时，x2018＝4037C．当x0＝2时，x2018＝4037D．当x0＝3时，x2018＝4037【分析】根据＝1，其中i＝0，1，2……，可以求得x i的通式，从而可以判断各个小题中的结论是否陈立．【解答】解：∵＝1，其中i＝0，1，2……，∴x i+1﹣x i＝2，∴x i+1＝x i+2，∴x i＝x0+2i，当x0＝0时，x2018＝0+2×2018＝4036，故选项A错误，当x0＝1时，x2018＝1+2×2018＝4037，故选项B正确，当x0＝2时，x2018＝2+2×2018＝4038，故选项C错误，当x0＝3时，x2018＝3+2×2018＝4039，故选项D错误，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．二．填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）﹣的相反数是；﹣2的绝对值等于2．【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质求解可得．【解答】解：﹣的相反数是；﹣2的绝对值等于2，故答案为：，2．【点评】本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键是掌握相反数的定义和绝对值的性质．12．（4分）去括号：﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+c．【分析】根据去括号法则即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣a﹣b+c，故答案为：﹣a﹣b+c．【点评】本题考查去括号法则，解题的关键是运用去括号法则，本题属于基础题型．13．（4分）计算：﹣＝﹣4．【分析】直接利用二次根式以及立方根的性质化简得出答案．【解答】解：﹣＝﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14．（4分）某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，这种细胞由1个分裂成256个需要4小时．【分析】分别求出一个细胞第一次分裂、第二次分裂、第三次分裂、第四次分裂后所需的时间即可．【解答】解：第一次：30分钟变成2个；第二次：1小时变成22个；第三次：1.5小时变成23个；第四次：2小时变成24个；…第8次：4小时变成28＝256个，故答案为：4．【点评】本题考查的是有理数的乘方，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．15．（4分）若点A，点B，点C在直线l上，设AB＝a，BC＝b，其中a≠b，则AC＝a+b 或b﹣a或a﹣b（用含a，b的代数式表示）．【分析】分三种情况讨论：①点C在线段AB的延长线上；②当点C在线段BA的延长线上；③当点击在线段AB上．【解答】解：①点C 在线段AB 的延长线上，如图1， AC ＝AB +BC ＝a +b ；②当点C 在线段BA 的延长线上（AB ＜BC ），如图2， AC ＝BC ﹣AB ＝b ﹣a ；③当点C 在线段AB 上（AB ＞BC ），如图3， AC ＝AB ﹣BC ＝a ﹣b ．故答案为a +b 或b ﹣a 或a ﹣b ．【点评】本题考查了列代数式，分情况讨论是解题的关键． 16．（4分）设代数式A ＝代数式B ＝，a 为常数．观察当x 取不同值时，对应A 的值，并列表如下（部分）：当x＝1时，B ＝ 1 ；若A ＝B ，则x ＝ 4 ．【分析】由表格的数据可以代入A 中求出a 的值，即可求出B 的代数式． 【解答】解： 由表格的值可得当x ＝1时，A ＝4，代入A 得+1，解得a ＝4故B 的代数式为： 当x ＝1时，代入B 得＝1 若A ＝B ，即，解得x ＝4故答案为1；4【点评】此题主要考查代数式的求值，只要知道表格中x 的值与A 的值是一一对应，即可求解出a 值，从而也可以求出B 的代数式．即可以进行求解，此题相对简单．三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）计算：（1）21﹣（4﹣10）（2）﹣62×（﹣）【分析】（1）根据有理数的减法可以解答本题；（2）根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：（1）21﹣（4﹣10）＝21﹣（﹣6）＝21+6＝27；（2）﹣62×（﹣）＝﹣36×（﹣）＝﹣27+12＝﹣15．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．18．（8分）解方程：（1）3x +2＝3.5x ﹣1（2）1+＝【分析】（1）根据一元一次方程的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得解； （2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．【解答】解：（1）3x +2＝3.5x ﹣1，3x ﹣3.5x ＝﹣1﹣2，﹣0.5x ＝﹣3，∴x ＝6；（2）1+＝6+2（2﹣x）＝3（3x﹣1），﹣11x＝﹣13，∴x＝．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．19．（8分）（1）计算：3（a﹣b+1）﹣4（a﹣b+1），其中a＝+1，b＝；（2）先化简，后求值：2（a2b﹣ab2+b2）﹣3（a2b﹣ab2+b2），其中a＝6，b＝﹣．【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；（2）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣（a﹣b+1）＝﹣a+b﹣1，当a＝+1，b＝时，原式＝﹣﹣1+﹣1＝﹣2；（2）原式＝2a2b﹣2ab2+2b2﹣2a2b+3ab2﹣2b2＝ab2，当a＝6，b＝﹣时，原式＝．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）若多项式m2+5m﹣3的常数项是a，次数是b，当m＝1时，此多项式的值为c．（1）分别写出a，b，c表示的数，并计算（a+b）+（b+c）+（c+a）的值；（2）设a，b，c在数轴上对应的点分别是点A，点B，点C．若点P是线段AB上的一点，比较与PC的大小，说明理由．【分析】（1）根据多项式常数项、次数的规定确定a、b，把m代入多项式计算多项式的值确定c．然后计算含a、b、c的多项式的值．（2）根据选段的和差关系，计算PA+PB与PC，再比较与PC的大小．【解答】解：（1）∵多项式m2+5m﹣3的常数项是﹣3，次数是2，当m＝1时，多项式m2+5m﹣3的值为：1+5﹣3＝3∴a＝﹣3，b＝2，c＝3．∴（a+b）+（b+c）+（c+a）＝a+b+b+c+c+a＝2（a+b+c）＝2（﹣3+2+3）＝4．（2）∵点P是线段AB上的一点，∴PA+PB＝5，∴＝1．∵点P是线段AB上的一点，当点P与点B重合时，线段PC＝3﹣2＝1当点P与点B不重合时，线段PC＞1∴≤PC．【点评】本题考查了多项式的相关定义、线段的长等知识点．确定线段的长度是解决本题（2）的关键．解决（2）确定PC的长注意分类讨论．21．（10分）如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形（记作A）后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形（记作B）．（1）若A与B的面积均为Scm2，求S的值．（2）若A的周长是B的周长的倍，求这个正方形的边长．【分析】（1）设正方形的边长为xcm，根据题意可得其中一个小长方形的边长分别为5cm 和（x﹣4）cm；另一个小长方形的边长分别为4cm和xcm，根据长方形的面积公式结合关键语句“剪下的两个长条的面积Scm2”可直接列出方程．（2）根据长方形的周长公式，由A的周长是B的周长的倍列方程解出即可．【解答】解：（1）设正方形的边长为xcm，由题意得：4x＝5（x﹣4），x＝20，∴S＝4x＝4×20＝80，答：S的值80cm2．（2）设正方形的边长为xcm，6（2x+8）＝7×2[5+（x﹣4）]，x＝17，答：这个正方形的边长是17cm．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，分别表示出两个小长方形的长和宽．22．（12分）小方家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（1）求a的值．（2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含x的代数式表示）？（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表：已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？【分析】（1）根据长方形的对边相等可得a+5＝4+4，即可求出a的值；（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积﹣三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；（3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．【解答】解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4，解得a＝3；（2）铺设地面需要木地板：4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x；铺设地面需要地砖：16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；（3）∵卧室2的面积为21平方米，∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，∴3（17﹣5x）＝21，∴x＝2，∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67．A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），22335＞22165，所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．【点评】本题考查了列代数式，长方形的面积，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面积，理解A，B两种活动方案是解题的关键．23．（12分）如图，0°＜∠AOB＜180°，射线OC，射线OD，射线OE，射线OF均在∠AOB内部，∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，∠COE＝∠DOF，∠COD＝2∠EOF．（1）若∠COE＝20°，求∠EOF的度数；（2）若∠EOF与∠COD互余，找出图中所有互补的角，并说明理由；（3）若∠EOF的其中一边与OA垂直，求∠AOB的度数．【分析】（1）根据角的和差进行计算便可；（2）根据互余角列出方程解答；（3）分两种情况讨论：OF与OA垂直和OE与OA垂直，进行解答．【解答】解：（1）∵∠COE＝20°，∴∠COE＝∠DOF＝20°，∵∠COD＝2∠EOF，即∠COE+∠DOF+∠EOF＝2∠EOF，∴∠EOF＝∠COE+∠DOF＝20°+20°＝40°；（2）设∠COE＝∠DOF＝x，∵∠COD＝2∠EOF，∴∠COE+∠DOF+∠EOF＝2∠EOF，∴∠EOF＝∠COF+∠DOF＝2x，∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF＝2x．∵∠EOF与∠COD互余，∴∠EOF+∠COD＝90°，即2x+4x＝90°，∴x＝15°，∴∠COE＝∠DOF＝15°，∠AOC＝∠BOD＝∠EOF＝30°，∴∠COD＝60°，∠AOB＝120°，∴∠AOB+∠COD＝120°+60°＝180°，∴∠COB＝90°，∠AOD＝90°，∴∠COB+∠AOD＝180°，∴互补的角为：∠AOB与∠COD，∠COB与∠AOD．（3）若OF与OA垂直，则∠AOF＝∠AOC+∠COE+∠EOF＝90°，∴2x+x+2x＝90°，∴x＝18°，∴∠AOB＝8x＝144°，若OE与OA垂直，则∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°，∴2x+x＝90°，∴x＝30°，∴∠AOB＝8x＝240°，∵0°＜∠AOB＜180°，∴这种情况应舍去，综上，∠AOB＝144°．【点评】本题主要考查了角的计算，互余角的关系，关键是正确地进行角的计算，正确列出方程．。
2017-2018学年第二学期浙江省杭州市高二年级期末教学质量检测数学答案
AB n
3
x
………………4 分
所以数列{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 即 a2n－1＝4n－3； 数列{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 即 a2n＝4n－1， 所以 an＝2n－1，即 an＋1－an＝2． 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 23． （本题满分 11 分） 解 （Ⅰ）设抛物线 Γ 的焦点为( ，0)，
3 ，OC＝ 5 ， 2 OE 15 所以 sin∠OCE＝ ． OC 10
因为 OE＝ （等体积转换求高亦可）
………………5 分
解法二 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 PAD⊥平面 ABCD，取 AD 中点 O，连接 PO， 则 PO⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，－1，0)，B(2，0，0)， C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0， 3 )． 所以 AB 2,1,0 ，PD 0,1, 3 ， CD 2,0,0 ， 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
＝sin2x－ 3 cos2x ＝2sin(2x－
π ) 3
………………5 分
π 所以 f ( ) ＝ 3 ； 3 （Ⅱ）所以函数 f (x)的最小正周期 T＝π，
因为 －
π π π ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 得 － ＋kπ＜x＜ ＋kπ， 12 12 π 5π 则函数的单调递增区间为(－ ＋kπ， ＋kπ)（k∈Z） ． 12 12 ………………4 分
21． （本题满分 10 分） 证明 （Ⅰ）因为 PC＝2 2 ，AD＝DC＝PD＝2， 所以 PD2＋DC2＝PC2， 所以 △PCD 是直角三角形． 所以 CD⊥PD， 又因为 CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 APD．
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一上学期期中联考数学试题（解析版）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,且,则实数等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据,以及与的并集,确定出的值即可.【详解】,且，所以，，故选A.【点睛】本题主要考查并集的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.下列从集合到集合的对应关系中，其中是的函数的是A. ，对应关系,其中B. ，对应关系,其中C. ,对应关系,其中D. ，对应关系,其中【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义：集合中每一个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，逐一判断即可.【详解】对于，中的奇数在中无元素与之对应不是的函数；对于,中每个元素在中都有两个不同元素对之对应，不是的函数；对于,中每个元素在中都有唯一元素与之对应，是的函数；对于,中在中没有元素对应，不是的函数，故选C.【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，必须满足，解得，函数的定义域为，故答案为,故选C.【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.已知（是个无理数，），则下列不等关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性与对数函数的单调性，分别判断的取值范围，然后比较大小即可.【详解】由指数函数的性质可得，，，根据对数函数的性质可得，，，即，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义与单调性的定义，分别判断选项中的函数是否是奇函数且在区间上是增函数即可. 【详解】对于，在上是减函数，不合题意；对于，是偶函数，不合题意；对于，在上是减函数，不合题意；对于，，是奇函数，，在上递增，合题意，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .6.已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，函数的图象只有D满足要求，当时，函数的图象，无满足要求的答案，故选D.考点：对数函数、幂函数的图象和性质.7.已知函数，则函数的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则将函数化为，利用配方法可得结果. 【详解】化简，即的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8.定义在上的函数满足:对任意有，则A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是奇函数【答案】D【解析】【分析】设，由，，由特值法求得，令，可得结果.【详解】设，由，可得则，令，得，令，，是奇函数，故选D.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数)是否成立．9.已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值与最小值，分别求出的范围，综合四种情况可得结果.【详解】当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，，综上所述，最小值为1，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．10.已知实数，实数满足方程，实数满足方程，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为是的解，是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，根据函数图象关于对称，可得利用基本不等式可得结果.【详解】因为是的解,是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，的图象与的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，点关于直线对称，设关于直线对称的点与点重合，则，故的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.非选择题部分二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知指数函数，则函数必过定点____【答案】【解析】【分析】由函数恒过点，令函数指数为0 ,可得定点坐标.【详解】由函数恒过点，可得当,即时，恒成立，故函数恒过点,故答案为.【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.12.计算：_____【答案】【解析】【分析】直接利用对数与幂指数的运算法则求解即可,解答过程注意避免出现计算错误.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查对数的运算法则、幂指数的运算法则，属于简单题.求解对数、幂指数的化简求值题时，注意两点：一是熟练掌握运算法则；二是注意避免出现计算错误.13.已知函数，那么的值为____【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．14.已知，则_____【答案】【解析】【分析】令得，可得，从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意，得，因为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15.已知是定义在上的奇函数，对于任意且，都有成立，且，则不等式的解集为_____【答案】【解析】【分析】先判断在上递减，根据奇偶性可得上递减，，分两种情况讨论，解不等式组可得结论.【详解】当，恒成立，；当，恒成立，恒成立，在递减，又在上是奇函数，在和在上递减，由不等式可得，或，不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.16.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可.【详解】设，则单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，，解得，即实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.17.已知函数，若恒成立，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】函数写出分段函数的形式，判断在上递减，在上递增，可得的最小值，从而列不等式可得结果.【详解】因为，所以，，可得，，,在上递减，在上递增，，恒成立，或，，故的最小值为2，故答案为2.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.三、解答题（本大题共4小题，共52分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知集合；（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围。
2021-2022学年浙江省杭州市高二下学期开学测试数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市高二下学期开学测试数学试题一、单选题1．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ） A ．()2,1 B ．()1,2 C ．()2,1- D ．()1,2-【答案】A【分析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量. 【详解】在直线210x y -+=上取点()1,0A -、()1,1B ， 故直线210x y -+=的一个方向向量为()2,1AB =. 故选：A.2．双曲线2212x y -=的离心率是（ ）ABC ．32D【答案】B【分析】根据方程求出基本量后可求离心率. 【详解】由题设可得a c ===e ==故选：B3．在等比数列{an }(an ∈R )中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则2911a a 的值为（ ）A ．9B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据等比数列的性质，先求得7a ，再转化目标式，即可求得结果.【详解】因为{}n a 是等比数列，a 3a 5a 7a 9a 1157243a ==，故可得73a =；又29711a a a =⨯，故297113a a a ==. 故选：D .4．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥l ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，若,,b b l αββ⊥⊂⊥且l αβ=，根据面面垂直的性质定理，可得b α⊥，又由a α⊂，所以a b ⊥，即充分性成立；反之：若a α⊂且//a l ，因为b l ⊥，所以此时a b ⊥，但平面α与平面β不一定垂直， 所以必要性不成立，所以αβ⊥是a b ⊥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A -，(1,2,2)P 所以(2,0,1)PA =--，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离|||4||PA n d n ⋅-===故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题6．已知AB 是椭圆22194x y +=一条弦，且弦AB 与直线l ：230x y +-=垂直，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线OP 的斜率是（ ） A ．49B ．49-C ．29D ．29-【答案】D【分析】根据给定条件设出直线AB 方程，再与椭圆方程联立求出点P 的坐标即可计算作答.【详解】依题意，弦AB 不过点O ，而弦AB 与直线l ：230x y +-=垂直，则设直线AB ：2y x m =+ (0)m ≠，由2224936y x m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：2240369360x mx m ++-=， 2222Δ363640(4)144(40)0m m m =-⨯-=-->，即210210m -<<，且0m ≠，设点1122(,),(,)A x y B x y ，则12910m x x +=-，于是得弦AB 中点9(,)2010m mP -， 所以直线OP 的斜率是2109920mk m ==--.故选：D7．通项公式为an ＝an 2＋n 的数列{an }，若满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且an ＞an ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,917⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,916⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,1016⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,1017⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据题设条件判断出0a <，再结合对称轴可得实数a 的取值范围. 【详解】因为12345a a a a a <<<<，则14293164255a a a a a +<+<+<+<+， 故19a >-，而1n n a a +>对任意的8n ≥恒成立，故0a <且18922a +-<， 即117a <-， 故选：A.8．如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面ADD 1A 1上的一个动点（含边界），M 是棱CC 1的中点．若2PM =，则点P 在侧面ADD 1A 1上运动路径的长度是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【分析】N 为1DD 中点，连接MN ，NP ，得到P 的轨迹为以N 为圆心，半径为1的一段圆弧，计算得到答案.【详解】如图1所示：N 为1DD 中点，连接MN ，NP ，易知MN NP ⊥，1MN =，2PM =，故1NP =，故P 的轨迹为以N 为圆心，半径为1的一段圆弧，如图2所示：121EN D N ==，故1π3D NE ∠=，同理π3DNF ∠=，故π3ENF ∠=，运动路径长度为ππ133⨯=.故选：C.二、多选题9．已知直线()2:110l a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 的倾斜角一定大于30D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【分析】根据两直线平行、垂直的性质，结合倾斜角的定义、截距的定义逐一判断即可. 【详解】A ：当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，可化为：1y x =+，所以该直线的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为111-⨯=-，所以这两条直线互相垂直，因此本选项说法正确；B ：由直线l 与直线0x y -=平行，可得2(1)(1)110a a a ++⋅-=-⨯⇒=或1a =-，因此本选项说法不正确；C ：直线l 方程可化为：()211y a a x =++-，设直线l 的倾斜角为θ，所以22133tan 1()244a a a θ=++=++≥，所以本选项说法正确； D ：当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-， 因为11≠-，所以直线l 在两坐标轴上的截距不相等，因此本选项说法不正确， 故选：AC10．已知圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则有（ ） A ．公共弦AB 所在的直线方程为x －y ＝0B ．公共弦ABC ．圆O 2上到直线AB 距离等于1的点有且只有2个D ．P 为圆1O 上的一个动点，则P 到直线AB 1 【答案】ACD【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求解方法，弦长的计算公式，以及圆上一点到直线距离的最值，结合圆的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为()111,0,1O r =；圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为()221,2,O r -=对A ：两圆相交且交于,A B 两点，故AB 所在直线方程为：x 2＋y 2－2x ()22240x y x y -++-=，整理得：0x y -=，故A 正确；对B ：圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离1d =，故AB =故B 错误；对C ：因为2O 到直线0x y -=的距离2d =，而221r d -=<， 则圆O 2上到直线AB 距离等于1的点有且只有2个，故C 正确；对D ：因为圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离1d ==，故圆1O 上的动点P 到直线0x y -=的最大值为11d r +=，故D 正确. 故选：ACD .11．设数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足a 1＝1，12,1,n n n a n a n a +⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数，则下列说法中正确的有（ ） A ．a 4＝2 B ．{an }是周期数列 C ．a 2022＝2 D ．S 18＝21【答案】BCD【分析】根据题意，分别求得12345,,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 构成以11,2,,12为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足112,1,1,n n n a n a a n a +⎧⎪==⎨⎪⎩为奇数为偶数，当1n =时，2122a a ==；当2n =时，32112a a ==；当3n =时，4321a a ==； 当4n =时，5411a a ==；当5n =时，6522a a ==；当6n =时，76112a a ==；，归纳可得数列{}n a 构成以11,2,,12为周期的周期数列，所以A 不正确，B 正确；又由20225054222a a a ⨯+===，所以C 正确；因为12341921122a a a a +++=+++=，所以189412212S =⨯++=，所以D 正确.故选：BCD.12．知圆O 的半径为1，点A 是圆O 所在平面上的任意一点，点P 是圆O 上的任意一点，线段AP 的垂直平分线交半径OP 所在的直线于点M ．当点P 在圆上运动时，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点A 与点O 重合时，动点M 的轨迹是一个圆B ．当点A 在圆内且不同于点O 时，动点M 的轨迹是椭圆，且该椭圆的离心率e 随着OA 的增大而增大C ．当点A 在圆上且不同于点P 时，动点M 的轨迹不存在D ．当点A 在圆外时，动点M 的轨迹是双曲线，且该双曲线的离心率e 随着OA 的增大而增大 【答案】ABD【分析】根据题意，分点O 与A 重合、点A 为O 内一定点时且O 与A 不重合，点A 在O 上和点A 为O 外一定点，四种情况讨论，结合圆、椭圆、双曲线的定义和离心率的定义，逐项判定，即可求解.【详解】①当O 与A 重合时，可得12MO =，根据圆的定义可得点M 的轨迹是以O 为圆心，半径为12的圆，所以A 正确；②当点A 为O 内一定点时，点P 为O 上一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得MA MP =，则1MA MO MP MO OP +=+==， 即动点M 到两定点,O A 的距离之和为定值，当O 与A 不重合时，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹是以,O A 为焦点的椭圆， 其中21,2a c OA ==，即1,22OA a c ==，则离心率c e OA a ==，所以该椭圆的离心率e 随着OA 的增大而增大，所以B 正确； ③当点A 为圆上一点时，此时点M 的轨迹为圆心O ，所以C 不正确； ④当点A 为O 外一定点时，点P 为O 上一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得MA MP =，则1MA MO MP MO OP -=-==， 即即动点M 到两定点,O A 的距离之差为定值，根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以,O A 为焦点，OA 为实轴长的双曲线， 其中21,2a c OA ==，即1,22OA a c ==，则离心率c e OA a ==，所以该双曲线的离心率e 随着OA 的增大而增大，所以D 正确. 故选:ABD. 三、填空题13．已知双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】y =【分析】根据离心率求得ba，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则2=，解得b a =故双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15．在数列{an }中，Sn 为它前n 项和，已知a 2＝1，a 3＝6，且数列{an+n }是等比数列，则Sn ＝__________．【答案】23122n n n ++-【分析】根据题意，利用等比数列的基本量求得n a ，利用分组求和法即可求得结果. 【详解】令n n b a n =+，由题可知：223323,39b a b a =+==+=，又{}n b 为等比数列，设其公比为q ， 故323b q b ==，211bb q==，故13n n n b a n -==+，解得13n n a n -=-+； 则()()()()211123333n n S n -=-++-++-+++-+()()211231333n n -=-+++++++++()113213n n n +-=-+=-23122n n n ++-. 故答案为：23122n n n ++-. 16．如图，在四棱台ABCD A B C D ''''-中，3AA '=，60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，则()(),AC xAB y ADx y R '-+∈的最小值是__________．【答案】6【分析】先判断出()(),AC xAB y ADx y R '-+∈的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.【详解】如图，设xAB y AD AE +=，则E ∈平面ABCD ，故()AC xAB y AD AC AE EC '''-+=-=， EC '的最小值即为四棱台的高.如下图，过A '作A G AD '⊥，垂足为G ，过A '作A H AB '⊥，垂足为H ，过A '作AO '⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接,OG OH ，则332A G A H ''==，32AG AH ==，因为90GOA HOA ''∠=∠=︒，A O A O ''=，故A GO A HO ''≅，故OG OH =，而AO AO =，故AOG AOH ≅，所以30GAO HAO ∠=∠=︒， 因为AH ⊂平面ABCD ，故A O AH '⊥，而A OA H A '''=，故AB ⊥平面A HO '，因OH ⊂平面A HO '，故AB OH ⊥，故32332AO ==，故6A O '=即EC '的最小值为6，故答案为：6.【点睛】思路点睛：在空间向量中，对于含参数的向量的模的最值问题，应该根据几何体的特征合理转化向量，从而把最值问题归结为距离问题. 四、解答题17．如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)若1a b c ===，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π===a b b c c a ；②,,,,32ππ===a b c a b c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．【答案】(1)111344OP a b c =++(2)①67||12OP ⇒=②58||12OP ⇒=③5||12OP ⇒=【分析】（1）连接ON 由 ()121232⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦O OA OB P OC 可得答案；（2）选①，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；③对111344=++a b P c O 两边平代入已知再开方可得答案.【详解】(1)连接ON ，因为N 是棱BC 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为 M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，所以 ()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OA OC OB a c b O a P b c . (2)选①,,,3π===a b b c c a ，因为1a b c ===，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c P c b111111116798626282144=++⨯+⨯+⨯=，所以6712=OP ； 选②,,,,32ππ===a b c a b c ，因为1a b c ===，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c P c b1111112998626272=++⨯+⨯=，所以5812=OP ； ③2,,,,23ππ===a b c a b c ，因为1a b c ===，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c P c b1111259882144=+-⨯=，所以512=OP . 18．设O 为坐标原点，曲线222610x y x y ++-+=上有两点P Q 、，满足关于直线40x my ++=对称，又满足0OP OQ ⋅= .（1）求m 的值； （2）求直线PQ 的方程. 【答案】（1）-1；（2）1y x =-+.【分析】（1）曲线222610x y x y ++-+=上有两点P Q ，，满足关于直线1340m -++=对称,因为曲线是圆,可得直线过圆心，可求m 的值；(2) 设()()1122,,P x y Q x y 、，PQ 方程为y x b =-+,直线方程与圆的方程联立，结合韦达定理,以及0OP OQ ⋅=,可得2210b b -+=，解方程,可求直线PQ 的方程.【详解】（1）()()22222610139x y x y x y ++-+=⇔++-=， 所以曲线为以()1,3-为圆心，3为半径的圆， 由已知，直线过圆心，所以1340m -++=， 解之得1m =-.（2）设:PQ y x b =-+,联立方程组222610x y x y y x b ⎧++-+=⎨=-+⎩, 得()22224610x b x b b +-+-+=,设()()1122,,P x y Q x y 、，则有21212614,2b b x x b x x -++=-=, 又0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=，即()2121220x x b x x b -++=，将21212614,2b b x x b x x -++=-=代入上式得2210b b -+=，所以1b =,所以直线PQ 的方程为：1y x =-+.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19．已知正项数列{an }的前n 项和为Sn ，且2a 1Sn ＝an 2＋an ． (1)求数列{an }的通项公式；(2)若13nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{bn }的前n 项和Tn ．【答案】(1)an ＝n (2)323443n nn T +=-⋅ 【分析】（1）由n S 与n a 的关系结合等差数列的定义得出数列{an }的通项公式； （2）利用错位相减法得出数列{bn }的前n 项和Tn ．【详解】(1)由题意得，当n ＝1时，2a 12＝a 12＋a 1，又an ＞0，∴a 1＝1， 当n ≥2时，由2Sn ＝an 2＋an 得2Sn －1＝an －12＋an －1两式相减得2an ＝an 2－an －12＋an －an －1，即(an ＋an －1)(an －an －1－1)＝0， 又an ＞0，∴an －an －1＝1，∴数列{an }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an ＝n ；(2)由（1）得13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭1211112333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2311111112(1)33333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得121111133211111133333313nn n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-= 323443n nn T +∴=-⋅ 20．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．【答案】（1）抛物线C 的焦点坐标为104⎛⎫⎪⎝⎭， ，准线方程为x ＝－14；（2）见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）代入点P 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON 的方程为22y y x x =，联立求得点B 的坐标为2112(,)y x x x ，再证明1211220x y y x x +-=. 试题解析：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-.（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为()11,M x y ，()22,N x y .由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得()2244410k x k x +-+=. 则1221k x x k -+=，12214x x k=.因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为()11,x y .直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112,y y x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为 21122112112222y y y y y y x x y x x x +-+-= 122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()()122121222k x x x x x -++=()222112242k k k k x --⨯+=0=，所以211122y y y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21．如图，在梯形ABCD 中//AB CD ，2AD CD CB ===，60ABC ∠=︒，矩形ACFE 中，2AE =，又有22BF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）在梯形ABCD 中，通过计算得出AC BC ⊥，由勾股定理逆定理得CB CF ⊥，从而 证线面平行；（2）以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，以CB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】证明：（1）在梯形ABCD 中//AB CD ，2AD CD CB ===，60ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是等腰梯形，120ADC =∠︒ ∴30DCA DAC ∠=∠=︒，120DCB ∠=︒， ∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒，∴AC BC ⊥又∵矩形ACFE 中，2CF AE ==，又有22BF =，2CB =，∴CB CF ⊥， 又∵AC CF C ⋂=∴BC ⊥平面ACFE ，（2）以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，以CB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系：()0,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,2F ，)3,1,0D-，()23,0,2E .所以()23,0,0EF =-，()0,2,2BF =-，…设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =，所以00n EF n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩∴230220n EF x n BF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，则0x =，1z =，∴()0,1,1n =，()3,3,0BD =-，6cos ,||4BD n BD n BD n⋅<>==⋅ ∴直线BD 与平面BEF 6 【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求直线与平面所成的角．掌握线面垂直的判定定理是解题基础，建立空间直角坐标系，把几何问题转化为计算问题． 22．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(2F 2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线P A ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值； (3)在（2）的条件下，求△P AB 面积的最大值．【答案】(1)22142y x +=(2)证明见解析【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆方程.（2）设PB 的斜率为k ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理用k 表示,A B 的坐标，从而可证斜率为定值.（3）结合（2）可设直线AB的直线方程为y m =+，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式可求AB ，利用距离公式和面积公式可得面积的表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】(1)设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>由题意222:a b c a b c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 解得a 2＝4，b 2＝2．所以椭圆C 的方程为22142y x +=．(2)由（1）可得点(P由题意知，两直线P A ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k ， 则PB的直线方程为()1y k x =-．由()22124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩得，()))2222240k x k k x k+++-=．设A (xA ，yA )，B (xB ，yB )，则1B x ⨯=B x =同理可得A x =．则A B x x -=，()()28112A B A Bk y y k x k x k -=----=+， 所以直线AB的斜率A BABA By y k x x -==- (3)设AB的直线方程为y m =+ ，根据点到直线的距离公式可得P 到直线AB的距离为d =，由2224y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得22440x m ++-=， 由26480m ∆=->可得m -<<又AB =故221412224PAB m mS+-===当且仅当24m =即2m =±时等号成立， 所以△P AB。
浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1. 直线3210x y +−=的一个方向向量是（ ） A. ()2,3− B. ()2,3C. ()3,2−D. ()3,2【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +−=的斜率为32−，所以直线的一个方向向量为31,2−，又因为()2,3−与31,2−共线，所以3210x y +−=的一个方向向量可以是()2,3−， 故选：A.2. 若{},,a b c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）A. ,,b c b b c +−−B. a ，a b + ，a b −C. a b + ，a b − ，cD. ,,a b a b c c +++【答案】C 【解析】【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A ：()b c b c −−=−+，因此向量,,b c b b c +−−共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12a a b a b =++−，因此向量a ，a b + ，a b −共面，故不能构成基底，错误； 对选项C ：假设()()c a b a b λµ=++− ，即()()c a b λµλµ=++− ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D ：()a b c a b c ++=++，因此向量,,a b a b c c +++共面，故不能构成基底，错误； 故选：C3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A. 5f B. 142fC. 4fD. 132f【答案】B 【解析】【分析】先将所要解决的问题转化为：求首项为f ，公比为的等比数列的第4项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可.【详解】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为的等比数列{}n a ， 第四个单音的频率为31442a f f =×=. 故选：B.4. “点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p ：点(),a b 在圆221x y +=外等价于221a b +>，命题q ：直线20ax by ++=与圆221x y +=2214a b <⇔+>，从而有,p q q p ⇒ ，所以p 是q 必要不充分条件. 故选：B5. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】C 【解析】【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目， 若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有122332C C A 18=种． 故选：C.6. A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息(),i i x y ．A小组根据表中数据，直接对(),x y 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.46990.235yx +，决定系数20.8732R =．B 小组先将数据按照变换2u x =，2v y =进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.50060.4922v u =−+，决定系数20.9375R =．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）A. 0.46990.2350x y −+=B. 0.50060.49220x y +−=C. 220.500610.49220.4922x y +=D. 220.500610.49220.4922x y +=【答案】C 【解析】【分析】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论． 【详解】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数20.8732R =，B 小组的决定系数20.9375R =，B ∴小组的拟合效果好，则回归方程为ˆ0.50060.4922vu =−+， 的又2222,,0.50060.4922u x v y y x ==∴=−+，即220.500610.49220.4922x y +=．故选：C ．7. 设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设0OA OB OC ++=，则AD BD CD ++不可能等于（ ）A. 3B.72C. 4D. 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，得到3AD BD CD ++=，利用AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤++=++判断等号成立条件，确定AD BD CD ++不可能取的值.【详解】因为()()()3()3AD BD CD OD OA OD OB OD OC OD OA OB OC OD →→→→→→→→→→→→→→++=−+−+−=−++=，且1OD =，所以3AD BD CD ++=， 而AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤+=++，当且仅当,,AD BD CD →→→同向时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即,,AD BD CD →→→不同向，所以3AD BD CD AD BD CD ++>++=且,,AD BD CD 均小于直径长2，即6AD BD CD ++<， 综上，36AD BD CD <++<. 根据选项可知A 不符合. 故选：A8. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为12PF F △的内心．直线PI 交x 轴于A 点，14OA c =，且212116PF PF a ⋅= ，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.C.34D.【答案】B 【解析】【分析】先利用角平分线性质得到112253PF F A PF AF ==，设15PF t =，则23PF t =，根据椭圆定义得到4at =，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解. 【详解】不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为12PF F △的内心，所以PA 为12F PF ∠的角平分线，所以1122PF F APF AF =，因为14OA c = ，所以112253PF F A PF AF ==， 设15PF t =，则23PF t =，由椭圆的定义可知，1282PF PF t a +==， 可得4at =，所以154a PF =，234a PF =，又因为11221122253cos c 41o 1s 46F P P a F PF PF PF F a F a F P ∠=×⋅∠=⋅=⋅ ，所以121cos 15F PF ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得， 222212121221217418cos 152158a c PF PF F F PF F a PF PF −+−∠===， 所以222a c =，则e =， 故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（ ）A. 1x 是()f x 的一个极大值点B. 2x 是()f x 的一个极小值点C. 3x 是()f x 的一个极大值点D. 4x 是()f x 的一个极小值点 【答案】AB 【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确. 对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误. 对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误. 故选：AB.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件:A “两次向上的点数之和大于7”，事件:B “两次向上的点数之积大于20”，事件:C “两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A. 事件B 与事件C 互斥B. ()572P AB =C. ()25P B A = D. 事件A 与事件C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】列举出事件A 、B 、C 所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A 选项；利用古典概型的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次， 设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m 、n ， 以(),m n 为一个基本事件，则基本事件的总数为2636=，事件A 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()4,6、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15种，事件B 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种， 事件C 包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、 ()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30种，对于A 选项，事件B 与事件C 互斥，A 对；对于B 选项，事件AB 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，所以，()61366P AB ==，B 错；对于C 选项，()()()25n AB P B An A ==，C 对； 对于D 选项，()1553612P A ==，()305366P C ==，事件AC 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()5,3、()5,4、()6,2、()6,3，共9种，所以，()()()91364P AC P A P C ==≠⋅，D 错. 故选：AC.11. 设双曲线222:1(0)4x y C a a a a −=>−+，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A. 双曲线C 离心率的最小值为4B. 离心率最小时双曲线C 0y ±=C. 若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则AC BD =D. 若1a =，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则EOF S △为定值 【答案】BCD 【解析】【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A ；根据2a =可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B ；将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C ，D 坐标，再由点差法求AB 的中点坐标，然后可判断C ；结合图形可知EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E ，F 的横坐标，代入化简可判断D.【详解】由题知，22444a a a e a a a+−+==+≥，当且仅当2a =时等号成立，所以2e 的最小值为4，e的最小值为2，故A 错误；当2a =时，双曲线方程为22126x y −=，此时渐近线方程为y x =0y ±=，B 正确； 若直线l 的斜率不存在，由对称性可知AC BD =；当斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，CD 的中点为33(,)N x y则22112222221414x y a a a x y a a a −= −+ −=−+，由点差法可得2004y a a k x a −+⋅=，所以2004kx m a a k x a +−+⋅=， 所以0224amkx a a ak=−+−，又双曲线渐近线方程为y =，联立y kx m =+分别求解可得CD x x ，所以3022124amk x x a a ak =+==−+−， 所以M ，N 重合，则AC MC MA MD MB BD =−=−=，或AC MC MA MD MB BD =+=+=，故C 正确；若1a =，则双曲线方程为2214y x −=，渐近线方程为2y x =±，不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为y ，y ′=1)y x x −−，设点E ，F 坐标分别为(,),(,)E E F F x y x y ，分别作,EP FQ 垂直于y 轴，垂足分别为P ，Q ，E 在第一象限，F 在第四象限，则EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形 1111()()()2222E F E F E E F F F E E F x x y y x y x y x y x y =+−−+=− 又2,2E E F F y x y x ==−，所以1(22)22EOF F E E F E F S x x x x x x =+= ，联立渐近线方程和切线方程可解得112)2)E EF F x x x x x x −−−−− ，整理得(2(2E F x x −=−=，两式相乘得22112211(4)411E F x x x x x x −−=−−−，所以1E F x x =， 所以22EOFE F S x x == ，D 正确 故选：BCD【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C 选项需要灵活处理，将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D 选项需结合图象将面积灵活转化，在求解E F x x 时，要结合式子的结构特征灵活处理. 12. 已知曲线()exx f x =，()ln xg x x =，及直线y a =，下列说法中正确的是（ ） A. 曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行 B. 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea = C. 曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点D. 若直线y a =与曲线()f x 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，与曲线()g x 交于点()22,B x y ，()33,C x y ，则2132x x x =【答案】ACD 【解析】【分析】对与A 选项，分别求出()f x 在0x =处的切线与()g x 在1x =处的切线即可判断； 对于B 选项，求出()f x ′，即可判断出曲线()f x 的单调性，画出草图则可判断； 对于C 选项，画出曲线()f x 与()g x 的草图，即可判断；对于D 选项，借助图像可知直线y a =过曲线()f x 与()g x 的交点B ,由此即可得出12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，则可得12ln x x =，23e x x =，2222ln e ⋅=x x x ，则可得出2132x x x =..【详解】对于A 选项：()0=0f ，()()2(e e 1e )e ′⋅−′⋅==′−x x x x x x xf x ，()01f ′=， 所以曲线()f x 在0x =处的切线为：y x =； 同理()10g =，()21ln xg x x−′=，()11g ′=，曲线()g x 在1x =处的切线为1y x =−， 即曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行，正确； 对于B 选项：()1ex xf x −′=，令()0f x ′=，解得1x =， 所以曲线()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()11=ef ， 又当x →−∞时()f x →−∞，当x →+∞时()0f x →， 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea =或0a ≤，错误； 对于C 选项：曲线()g x 的定义域为：(0,)+∞，()21ln xg x x−′=， 令()0g x ′=，解得e x =，所以()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，且()110,(e)e==g g ， 所以曲线()f x 与曲线()g x 的大致图像为：易知当(0,1)x ∈时，()0f x >，()0g x <，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(0,1)上无交点；当[1,e]x ∈时，()f x 单调递减，()g x 单调递增，且1(1)(1)0e=>=f g ， 1e 1(e)e ()e −−=<=f g e ，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(1,e)上有一个交点；当(e,)x ∈+∞时，记()ln h x x x =−，1()1h x x′=−，当e x >时()0h x ′>恒成立， 即()h x 在(e,)+∞上单调递增，即()(e)e 10>=−>h x h ，即ln 1>>xx ,又曲线()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()(ln )<f x f x ，即ln ln ln e e <=x x x x x x， 即()()f x g x <恒成立，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(e,)+∞上没有交点； 所以曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点，正确;对于D 选项：当直线y a =经过曲线()f x 与()g x 的交点时，恰好有3个公共点，且12301e x x x <<<<<，12312223ln ln x x x xx x ee x x ===, 由122()()(ln )==f x f x f x ，所以12ln x x =，由223()()(e )==xgx g x g ，所以23e xx =， 即221322ln e ⋅=⋅=xx x x x ，正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：判断两个函数的交点个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为交点个数；（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，直接得出答案.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. ()8()x y x y −+的展开式中36x y 的系数为________．【答案】28− 【解析】【分析】利用8()x y +的展开式通项公式求3526,x y x y 项，然后可得()8()x y x y −+的展开式中36x y 项，可得答案.【详解】8()x y +的展开式通项公式818C r rr r T xy −+=，令5,6r =得5356266878C ,C T x y T x y ==， 所以()8()x y x y −+的展开式中36x y 项为()5356263688C C 28x y y x y x x y ⋅−+⋅=−，所以36x y 的系数为28−. 故答案为：28−14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若()f x ′是()f x 的导函数，()f x ′′是()f x ′的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x =+ ′′′．已知()()cos 1ln f x x x =−−，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为________．【答案】0 【解析】【分析】求出原函数的导函数()f x ′与导函数的导函数()f x ′′，然后代入题中公式即可求出答案.【详解】因为()()cos 1ln f x x x =−−， 所以()()1sin 1f x x x ′=−−−，()()21cos 1f x x x′′=−−， 则()11sin011f ′=−−=−，()11cos001f ′′=−=， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为()()()()()()3322221001111f Kf ′′===+−′+.故答案为：0.15. 已知数列{}n a 满足28a =，()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅，则满足50n S −>的正整数n 的最小值为________．【答案】63 【解析】【分析】根据对数运算和递推公式可得数列{}n b 的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得n S ，解不等式可得答案.【详解】因为()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，280a =>， 所以()110,2n nn n a a n a −−>=+， 所以()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅ 22212222222212121log log log n n n n n n n n a a a a a a a a +−+++−⋅=−⋅()()()()2221122log 222log 22n nn n +−−++−+()()22log 24log 22n n +−+所以()()222222224log 6log 4log 8log 6log 24log 22log 4n n S n n +=−+−+⋅⋅⋅++−+=， 因为50n S −>，所以2224log 5log 324n +>=，即2322n +>，解得62n >， 因为*n ∈N ，所以正整数n 的最小值为63. 故答案为：63 16. 设函数()2π2cos 2x f x x +=+，则使得()()12f x f x +>成立的x 的取值范围是________．【答案】5,13−【解析】【分析】利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由()2π2cos 2x f x x + =+ 向右平移2个单位，得()ππ2cos π2cos 22x xg x x x =+−=−为偶函数，所以()g x 关于y 轴对称， 所以()f x 关于2x =−对称， 当0x ≥时，()n ln ππ2si 222x g x x ′+=， 当[]0,2x ∈时，因为πsin 02x≥，所以()0g x ′>， 当()2,x ∈+∞时，()20ln π222g x ′>>−， 所以()g x 在上单调[)0,∞+递增，在(),0∞−上单调递减， 所以()f x 在(),2−∞−上单调递减，在()2,−+∞上单调递增，由()()12f x f x +>得1222x x ++>+，即()()22322x x +>+，解得531x <−<，所以使得()()12f x f x +>成立x 的取值范围是5,13 −.的故答案为：5,13 −.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在四面体ABCD 中，AE AB λ= ，AH AD λ= ，()1CF CB λ=−，()1CG CD λ=− ，()0,1λ∈．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面． （2）若13λ=，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA 、OB 、OC 、OD 表示OM ． 【答案】（1）证明见解析（2）42129999OM OA OB OC OD =+++【解析】【分析】（1）证明出//EH FG，即可证得结论成立；（2）由（1）可得出12EH FG = ，可得出//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，由此可得出12EM MG = ，再结合空间向量的线性运算可得出OM 关于OA 、OB、OC 、OD 的表达式.【小问1详解】证明：因为EH AH AE AD AB BD λλλ=−=−=，()()()111FG CG CF CD CB BD λλλ=−=−−−=− ，所以1EH FG λλ=−，则//EH FG ，因此E 、F 、G 、H 四点共面． 【小问2详解】解：当13λ=时，13AE AB = ，即()13OE OAOB OA −=− ，可得2133OE OA OB =+ ， 因为23CG CD =，即()23OG OC OD OC −=− ，可得1233OG OC OD =+ ，由（1）知，13EH BD = ，23FG BD =，因此12EH FG = ，又因为EH 、FG 不在同一条直线上，所以，//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，则12EM MG = ，即()12OM OE OG OM −=− ， 所以，2122111233333333OM OE OG OA OB OC OD=+=+++42129999OA OB OC OD =+++. 18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()*221N n n a a n =+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若{}n a 中的部分项n b a 组成的数列{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21Nn a n n =−∈（2）21nnT =− 【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n 项和及通项公式基本量计算即可；（2）利用等比数列概念及通项公式求出{}n b 的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】设差数列{}n a 公差为d ，则由424S S =，()*221Nn n a a n =+∈可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+ +−=+−+ ，解得112a d = = ，因此()*21N n a n n =−∈.【小问2详解】由21na n =−，得21nb n a b =−， 又由{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，得12n nb a +=，因此22n n b =， 所以12n n b −=，所以122112nn nT −==−−. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，所有棱长均为2，160A AC ∠=，1A B =．的（1）证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ．（2）求平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】（1）取AC 中点M ，证明1A M BM ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答. （2）利用（1）中信息作出平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答. 【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取AC 中点M ，连接1A M ，BM ，则BM AC ⊥，由1AA AC =，160A AC ∠=，得1A AC △为等边三角形，则1A M AC ⊥，显然1A MBM ==1A B =，则22211A M BM A B +=，有1A M BM ⊥， 又AC BM M = ，,AC BM ⊂平面ABC ，于是1A M ⊥平面ABC ，而1A M ⊂平面11A ACC ， 所以平面11A ACC ⊥平面ABC ．【小问2详解】在三棱柱111ABC A B C -中，平面111//A B C 平面ABC ，因此平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值与平面11BA B 与平面ABC 的夹角的正弦值相等， 由（1）知1A M ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则1A M AB ⊥，过M 作MN AB ⊥于点N ，连接1A N ，有1A M MN ⊥，11,,MN A M M MN A M =⊂ 平面1A MN ，于是AB ⊥平面1A MN ，而1A N ⊂平面1A MN ，则1A N AB ⊥，因此1A NM ∠为平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角， 显然sin 60MN AM =⋅ ，而1A M =，则1A N ===，从而111sin A M A NM A N∠=所以平面11BA B 与平面111A B C． 20. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求． （1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列22×列联表，并根据小概率值0.010α=的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成()*M M ∈N段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，易知11p =，20p = ①试证明14n p−为等比数列；②设第n 次David 选择共享单车的概率为n q ，比较5p 与5q 的大小．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++．α 0.050 0.010 0.001x α 3.841 6.635 10.828【答案】（1）表格见解析，有关系 （2）①证明见解析；②55p q >． 【解析】【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出2χ，再对照临界值表即可得出结论； （2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论； ②先求出n p 的表达式，进而可求出55,p q ，即可得解. 【小问1详解】 列联表如下：零假设为0H ：城市规模与出行偏好地铁无关，()22200804020609.524 6.63510010014060χ×−×≈>×××，根据小概率值0.010α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010； 【小问2详解】①证明：第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n −段行程上David 坐地铁的概率为1n p −，不坐地铁的概率为11n p −−，则()11111101333n n n n p p p p −−−=⋅+−⋅=−+， 从而1111434n n p p −−=−−， 又11344p −=，所以14n p−是首项为34，公比为13−的等比数列；②由①可知1311434n n p −=−+， 则4531114344p =−+> ，又()5511134q p =−<，故55p q >． 21. 设抛物线2:2(0)C y py p =>，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =.（1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()1,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D . ①求证：直线CD 过定点；②求PAB 与PCD 面积之和的最小值. 【答案】（1）2:2C y x = （2）①证明见解析；②52. 【解析】【分析】（1）利用弦长求解p ，即可求解抛物线方程；（2）（i ）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii ）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【小问1详解】由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，12p x =，代入抛物线方程得1y p =±，则2AB p =，所以22p =，即1p =，所以抛物线2:2C y x =.【小问2详解】 （i ）设()33,C x y ，()44,D x y ，直线1:2AB x my =+， 与抛物线2:2C y x =联立，得2210y my −−=，因此122y y m +=，121y y =−. 设直线:1AC x ny =+，与抛物线2:2C y x =联立，得2220y ny −−=，因此132y y n +=，132y y =−，则312y y −=.同理可得422y y −=. 所以34341222343434121222122222CD y y y y y y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−. 因此直线()33:2CD xm y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上， 令0y =得，223333211112124222222y m x my x my m y y y y −−=−+=−+=−+=+ ()1221222211111212122222y y y y y y y y y y + +=+=++=+⋅=， 所以直线CD 过定点()2,0Q .（ii ）因为12121124PAB S PF y y y y =⋅−=− ， 12341212121211221122PCD y y S PQ y y y y y y y y y y −−−=⋅−=−=−==− ，所以125542PAB PCDS S y y +=−=≥ ， 当且仅当0m =时取到最小值52. 22. 设函数()2(1)e xf x x ax =−−，若曲线()f x 在0x =处的切线方程为2y x b =−+． （1）求实数,a b 的值．（2）证明：函数()f x 有两个零点．（3）记()f x ′是函数()f x 的导数，1x ，2x 为()f x 的两个零点，证明：122x x f a + >−′． 【答案】（1）11a b = =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义代入()02f ′=−即可得,a b 的值； （2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论； （3）利用（1）（2）中的结论，结合()f x 单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.【小问1详解】由题意可得()()21e x f x x a ′=−−， 由切线方程可知其斜率为2−，所以()()02,0,f f b =−=′，解得11a b = = ． 【小问2详解】由()0f x =可得2(1)e 0x x x −−=，所以2(1)0e xx x −−=； 函数()f x 有两个零点即函数()2(1)ex x g x x =−−有两个零点． ()()112e x g x x =−+′， 当1x <时，()0g x ′<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x ′>，()g x 单调递增．又()010g =>，()110e g =−<，()22210e g =−>， 所以()()010g g <，()()120g g <，由零点存在定理可得()10,1x ∃∈使得()10g x =，()21,2x ∃∈使得()20g x =，所以函数()f x 有两个零点．【小问3详解】由（1）（2）知2()(1)e x f x x x =−−，可得()()21e 1x f x x ′=−−且12012x x <<<<． 要证明122x x f a + >− ′，即证明1221221e 112x x x x + + −−>−， 即证明122x x +>．令()()()2(01)h xg x g x x =−−<<，则 ()()()()()()()2221e e 11212120e e e x x x x x h x g x g x x x −−−− =+−=−++−′+=< ′′ ，因此()h x 单调递减，则()()10h x h >=．因此()10h x >， 即()()112g x g x >−，又12012x x <<<<，所以()()21g x g x >； 即()()212g x g x >−，又2x ，()121,2x −∈，且()g x ()1,2上单调递增， 因此212x x >−，即122x x +>．命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式122x x f a + >− ′转化成求证122x x +>，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.在。
浙江省杭州2023-2024学年高二下学期期中物理试题含答案
浙江省杭州2023-2024学年高二下学期期中物理试题选择题部分（答案在最后）一、单选题Ⅰ（本题共13题，每题3分，共39分。
不选、错选、多选均不得分）1.诺贝尔物理学奖2023年颁发给三位“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲实验方法”的科学家，1阿秒=10-18秒。
在国际单位制中，时间的单位是（）A.小时B.秒C.分钟D.阿秒【答案】B【解析】【详解】在国际单位制中，时间的单位是秒，符号s。
故选B。
2.温州轨道交通S1线是温州市第一条建成运营的城市轨道交通线路，于2019年投入运营，现已成为温州市民出行的重要交通工具之一、如图是温州S1线一车辆进站时的情景，下列说法正确的是（）A.研究某乘客上车动作时，可以将该乘客视为质点B.研究车辆通过某一道闸所用的时间，可以将该车辆视为质点C.选进站时运动的车辆为参考系，坐在车辆中的乘客是静止的D.选进站时运动的车辆为参考系，站台上等候的乘客是静止的【答案】C【解析】【详解】A．研究某乘客上车动作时，不能忽略乘客的形状和大小，不能将该乘客视为质点，故A错误；B．研究车辆通过某一道闸所用的时间，不能忽略车辆的形状和大小，不能将该车辆视为质点，故B错误；C．选进站时运动的车辆为参考系，坐在车辆中的乘客位置没有变化，是静止的，故C正确；D．选进站时运动的车辆为参考系，站台上等候的乘客位置发生变化，是运动的，故D错误。
故选C。
3.在足球运动中，足球入网如图所示，则（）A.踢香蕉球时足球可视为质点B.足球在飞行和触网时惯性不变C.足球在飞行时受到脚的作用力和重力D.触网时足球对网的力大于网对足球的力【答案】B【解析】【详解】A．在研究如何踢出“香蕉球”时，需要考虑踢在足球上的位置与角度，所以不可以把足球看作质点，故A错误；B．惯性只与质量有关，足球在飞行和触网时质量不变，则惯性不变，故B正确；C．足球在飞行时脚已经离开足球，故在忽略空气阻力的情况下只受重力，故C错误；D．触网时足球对网的力与网对足球的力是相互作用力，大小相等，故D错误。
2018-2019学年人教A版浙江省杭州高级中学高二第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 2．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∈M，则a∉MC．若a∉M，则b∈M D．若b∉M，则a∈M3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．85．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x+1），那么f（﹣1）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝sin B，则A＝（）A．30°B．60°C．90°D．120°8．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）9．如图，在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A．AA1＞BB1＞CC1B．AA1＞CC1＞BB1C．CC1＞BB1＞AA1D．CC1＞AA1＞BB110．已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题11．复数（i为虚数单位）的共轭复数＝，|z|＝．12．曲线的离心率为，渐近线为．13．已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是，表面积是．14．已知函数，则f（f（ln2））＝，不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为．15．设曲线y＝x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为．16．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为．17．已知函数，则函数y＝f（g（x））﹣a 的零点最多有个．三、解答题18．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y ＝g（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）＝．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．20．如图，已知四棱椎E﹣ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE＝2，∠DAE＝60°，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE＝，求直线CP与平面AED所成的角．21．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．22．函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s＝m﹣n，求s的取值范围．参考答案一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 【分析】进行补集、交集的运算即可．解：∁U B＝{1，5，6}；∴A∩（∁U B）＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}．故选：B．2．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∈M，则a∉MC．若a∉M，则b∈M D．若b∉M，则a∈M【分析】直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命题．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M．故选：B．3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．4．若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点C时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x＝2，y＝﹣1，即C（2，﹣1），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2﹣1＝5．即目标函数z＝3x+y的最大值为5．故选：A．5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x+1），那么f（﹣1）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【分析】由函数在x＞0时的解析式可得f（1）的值，又由f（x）为奇函数，结合奇函数的性质，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得答案．解：根据题意，f（1）＝1×（1+1）＝2，又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2；故选：A．6．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x＞0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断．解：令f（x）＝xln|x|，易知f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）＝xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）＝0，得xlnx＝0，所以x＝1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝sin B，则A＝（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cos A，将表示出的a与c代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．解：已知等式sin C＝sin B，由正弦定理化简得：c＝b，代入a2﹣b2＝bc得：a2﹣b2＝3b2，即a＝2b，∴cos A＝＝＝0，则A＝90°，故选：C．8．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）【分析】先确定g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得ax2﹣4x+a≥0恒成立，即可求出实数a的取值范围．解：函数，定义域：（0，+∞）；若对任意两个不相等的正数：x1、x2，都有恒成立，则有：f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2），∴f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2，令：g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，有：g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，在（0，+∞）上单增，g′（x）＝ax+﹣4≥0；在（0，+∞）上恒成立，也就是ax2﹣4x+a≥0恒成立，在（0，+∞）；即：a≥；x∈（0，+∞）；a≥（）max；x∈（0，+∞）；令h（x）＝；x∈（0，+∞）；h′（x）＝；函数h（x）在（0，1）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）在（1，+∞）上h′（x）＜0，h（x）单调递减．h（1）max＝2∴a≥（）max＝2；故选：A．9．如图，在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A．AA1＞BB1＞CC1B．AA1＞CC1＞BB1C．CC1＞BB1＞AA1D．CC1＞AA1＞BB1【分析】利用二面角的定义，数形结合能求出结果．解：在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，∵α＞β＞γ，∴三条侧棱AA1，BB1，CC1中，AA1最小，CC1最大，∴CC1＞BB1＞AA1．故选：C．10．已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a1，由双曲线的定可得m﹣n＝2a2，解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，由|F1F2|＝4|PF2|，可得n＝c，即a1﹣a2＝c，由e1＝，e2＝，可得﹣＝，由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2，则e2﹣e1＝e2﹣＝，可设2+e2＝t（3＜t＜4），则＝＝t+﹣4，由f（t）＝t+﹣4在3＜t＜4递增，可得f（t）∈（，1）．故选：B．二、填空题11．复数（i为虚数单位）的共轭复数＝1﹣i，|z|＝．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解．解：∵＝，∴，|z|＝．故答案为：1﹣i；．12．曲线的离心率为，渐近线为y＝±2x．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析其焦点位置以及a、b的值，计算可得c 的值，由离心率公式以及渐近线方程计算可得答案．解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且a＝1，b＝2，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝，其渐近线方程y＝±2x；故答案为：，y＝±2x．13．已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是，表面积是1+．【分析】几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，一条侧棱垂直底面，画出直观图，求解体积以及表面积即可．解：由三视图可知几何体是底面是等腰直角三角形，侧棱垂直底面的三棱锥，棱锥的高为2，如图：AO＝OD＝1，BO＝OC＝，DO⊥底面ABC，所以几何体的体积V＝＝．表面积为：＝1+故答案为：；1+．14．已知函数，则f（f（ln2））＝，不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为{x|﹣3＜x＜1} ．【分析】判断函数f（x）在R上的单调性，然后根据单调性解不等式即可．解：f（ln2）＝e ln2＝2，所以f（f（ln2））＝f（2）＝，当x＜0时，f（x）＝，则f'（x）＝x2﹣x＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上递增，则f（x）＜f（0）＝0又当x≤0时，f（x）＝e x，在[0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）＝0，所以f（x）在R上单调递增，所以由f（3﹣x2）＞f（2x），得3﹣x2＞2x，所以﹣3＜x＜1，所以不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜1}．故答案为：；{x|﹣3＜x＜1}．15．设曲线y＝x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为．【分析】先求出其导函数，把x＝1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，化简即可求出结论．解：因为y＝x n+1，故y′＝（n+1）x n，所以x＝1时，y′＝n+1，则直线方程为y﹣1＝（n+1）（x﹣1），令y＝0，则x＝1﹣＝，故切线与x轴的交点为（，0），则x1•x2•…•x2019＝×××…×＝．故答案为：．16．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．解：∵|AB|，|AF|+|BF|＝x1+x2+4，∴|AF|+|BF|＝|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝＝﹣1＝．又|AF|+|BF|＝|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤|AB|2．∴cos∠AFB≥＝﹣，∴∠AFB的最大值为，故答案为：．17．已知函数，则函数y＝f（g（x））﹣a的零点最多有 6 个．【分析】分别作出y＝f（x）和y＝g（x）的图象，求得g（x）的值域，通过f（x）的图象，考虑log35＜a＜2时，f（t）＝a的t的范围，再求t＝g（x）的x的个数，可得所求结论．解：分别作出函数的图象（如右），可得g（x）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），由y＝f（g（x））﹣a＝0，可得a＝f[g（x）]，可令t＝g（x），即y＝f（t），当log35＜a＜2时，﹣7＜t＜﹣1，或2＜t＜3或3＜t＜4，由y＝g（x）的图象，可得t＝g（x）的交点个数为6个，则函数y＝f（g（x））﹣a的零点最多6个．故答案为：6．三、解答题18．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y ＝g（x）在区间上的值域．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．解：（1）f（x）＝cos x（sin x+cos x）+＝cos x sin x+cos2x+＝cos2x+1＝，∴f（x）的周期T＝，由﹣+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）＝＝，∵x∈，∴2x﹣，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．19．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）＝．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x＝2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x＝2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a＝3，b＝12；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）＝3x2﹣12x+13，g（x）＝＝．若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2﹣2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当＝，即x＝1时，（）2﹣2（）+1取最小值，故k≤．20．如图，已知四棱椎E﹣ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE＝2，∠DAE＝60°，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE＝，求直线CP与平面AED所成的角．【分析】（1）取AE的中点F，连结PG，BG，推导出四边形BCPG为平行四边形，CP∥BG，则CP∥平面ABE；（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，求解三角形证明OC⊥底面AED，可得∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，进一步求解三角形得答案．【解答】证明：（1）取AE中点G，连结PG，BG，∵BC∥AD，BC＝AD，PG∥AD，PG＝，∴BC∥PG，BC＝PG，则四边形BCPG为平行四边形，则PC∥BG，∵BG⊂平面PAB，PC⊄平面PAB，∴CP∥平面ABE；解：（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，连接EO，PO，由已知可得OD＝1，CD＝2，则CO＝，在△ODE中，由余弦定理求得，而CE＝，∴OC2+OE2＝CE2，即∠COE为直角，则OC⊥OE，由OC⊥AD，∴OC⊥平面AED，∴∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，由OP＝，∴tan，即∠CPO＝60°．∴直线CP与平面AED所成的角为60°．21．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．【分析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）设N点横坐标为x0，则＝＝，由﹣＜x0≤，可得的取值范围；（3）由题意设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2＝1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【解答】（1）解：由题意知，b＝1，再由a2＝b2+c2，解得，继而得椭圆的方程为；（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x＝2，设N点横坐标为x0，则＝＝，∵﹣＜x0≤，∴．∴的取值范围是[，+∞）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x ﹣1）+1（k≠0），代入，化简得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）＝0，则，由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和＝2k+（2﹣k）＝2k﹣2（k﹣1）＝2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．22．函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s＝m﹣n，求s的取值范围．【分析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到a的范围，注意定义域；（2）设f'（x）＝0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m＝f（x1），n＝f（x2），因为x1x2＝1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12﹣2x1+a＝0，得＜x1＜1，所以s＝m ﹣n＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（ax2﹣﹣2lnx2）＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（﹣ax1+2lnx1）＝2（ax1﹣﹣2lnx1），由ax12﹣2x1+a＝0，得a＝，代入上式得，g（x）＝﹣lnx，求导数，应用单调性，即可得到s的范围．解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝a+﹣＝，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a＝0时，f′（x）＝﹣＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a＝0满足题意；②当a＞0时，设g（x）＝ax2﹣2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△＝4﹣4a2≤0∴a≤﹣1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a＝0或a≥1，（2）由导函数的ax2﹣2x+a，得△＞0得4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）＝0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m＝f（x1），n＝f（x2），因为x1x2＝1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12﹣2x1+a＝0，得＜x1＜1，所以s＝m﹣n＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（ax2﹣﹣2lnx2）＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（﹣ax1+2lnx1）＝2（ax1﹣﹣2lnx1），由ax12﹣2x1+a＝0，得a＝，代入上式得，s＝4（﹣lnx1）＝4（﹣lnx12），令x12＝t，所以＜t＜1，g（x）＝﹣lnx，则s＝4g（t），g′（t）＝＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．。
2018-2019学年人教A版浙江省嘉兴市七校高二第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题1．已知复数z＝1+i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．D．22．设P是椭圆+＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于（）A．2 B．3 C．5 D．73．用数学归纳法证明 1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．4．f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．ln2 B．ln2 C．e D．e25．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1] B．（0，1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）6．曲线y＝xe x+1在点（0，1）处的切线方程是（）A．x﹣y+1＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x﹣2y+2＝0 7．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（）A．B．y＝4x C．D．y＝2x8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且，则点P的坐标为（）A．（2，4）B．C．（4，4）D．9．设椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，A是两曲线的一个公共点，则|AF1|•|AF2|的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知a，b∈（0，e），且a＜b，则下列式子中正确的是（）A．alnb＜blna B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．alna＜blnb二、填空题．11．双曲线x2﹣＝1的离心率是，渐近线方程是．12．已知函数f（x）＝4lnx+ax2﹣6x（a为常数），若x＝2为f（x）的一个极值点，则f'（2）＝a＝．13．已知a，b∈R且（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位）则a2﹣b2＝，ab＝14．若M是抛物线x2＝4y上一点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则该抛物线的准线方程为线段|MO|＝，15．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．16．已知函数f（x）＝xe x+c有两个零点，则c的取值范围是．17．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为三、解答题18．已知复数，其中i为虚数单位，a∈R．（Ⅰ）若z∈R，求实数a的值；（Ⅱ）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，2]上的值域．20．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣1，且f'（1）＝﹣1．（1）求a的值；（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．22．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：y＝x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．参考答案一、选择题（本题共10小题）1．已知复数z＝1+i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．D．2【分析】利用复数模的计算公式求解即可．解：由z＝1+i，得|z|＝．故选：C．2．设P是椭圆+＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于（）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】根据题意，由椭圆的标准方程求出a的值，结合椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，变形解可得答案．解：根据题意，椭圆的方程为+＝1，有a＝5，则|PF1|+|PF2|＝2a＝10，则|PF2|＝2a﹣|PF1|＝10﹣3＝7；故选：D．3．用数学归纳法证明 1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．【分析】直接利用数学归纳法写出n＝2时左边的表达式即可．解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B．4．f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．ln2 B．ln2 C．e D．e2【分析】先求导函数，再解方程即可得解解：∵f（x）＝x lnx（x＞0）∴f'（x）＝lnx+1又f′（x0）＝2，即lnx0+1＝2∴lnx0＝1∴x0＝e故选：C．5．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1] B．（0，1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）【分析】由y＝x2﹣lnx得y′＝，由y′＜0即可求得函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间．解：∵y＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．6．曲线y＝xe x+1在点（0，1）处的切线方程是（）A．x﹣y+1＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x﹣2y+2＝0 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵y＝xe x+1，∴f'（x）＝xe x+e x，当x＝0时，f'（0）＝1得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y﹣1＝1×（x﹣0），即x﹣y+1＝0．故选：A．7．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（）A．B．y＝4x C．D．y＝2x【分析】由已知条件推导出b＝2a，由此能求出此双曲线的渐近线方程．解：∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2a，∴双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：D．8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且，则点P的坐标为（）A．（2，4）B．C．（4，4）D．【分析】根据抛物线的性质以及已知可得P（p，4）再将其代入抛物线可得．解：如图：由抛物线的性质可得：|PF|＝|PQ|+，∴|PQ|+＝|PQ|，∴|PQ|＝p，∴P（p，4），将其代入y2＝2px可得16＝2p2，解得p＝2，所以P（2，4）．故选：B．9．设椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，A是两曲线的一个公共点，则|AF1|•|AF2|的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】分别求得椭圆和双曲线的a，a'，运用椭圆和双曲线的定义，解方程即可得到所求值．解：椭圆的a＝，和双曲线的a'＝，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2，①由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2，②由①2﹣②2，可得mn＝3，故选：A．10．已知a，b∈（0，e），且a＜b，则下列式子中正确的是（）A．alnb＜blna B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．alna＜blnb 【分析】先构造函数，利用导数判断函数在（0，e）上的单调性，即可得到alnb＞blna，再构造函数g（x）＝xlnx，判断函数的单调性，即可解决．解：设，则，在（0，e）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（a）＜f（b），即；设g（x）＝xlnx，则g'（x）＝1+lnx，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴C，D均不正确，故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．双曲线x2﹣＝1的离心率是 2 ，渐近线方程是y＝．【分析】双曲线x2﹣＝1中，a＝1，b＝，c＝2，即可求出双曲线的离心率与渐近线方程．解：双曲线x2﹣＝1中，a＝1，b＝，c＝2，∴e＝＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2，y＝．12．已知函数f（x）＝4lnx+ax2﹣6x（a为常数），若x＝2为f（x）的一个极值点，则f'（2）＝0 a＝ 1 ．【分析】函数f（x）＝4lnx+ax2﹣6x（a为常数），f′（x）＝+2ax﹣6．根据x＝2为f（x）的一个极值点，可得f'（2）＝0，解得a．解：函数f（x）＝4lnx+ax2﹣6x（a为常数），f′（x）＝+2ax﹣6．∵x＝2为f（x）的一个极值点，∴f'（2）＝2+4a﹣6＝0，解得a＝1．故答案为：0，1．13．已知a，b∈R且（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位）则a2﹣b2＝ 3 ，ab＝ 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解．解：由（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，得a2﹣b2＝3，2ab＝4，即ab＝2．故答案为：3，2．14．若M是抛物线x2＝4y上一点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则该抛物线的准线方程为y ＝﹣1 线段|MO|＝，【分析】根据抛物线的性质可得M的坐标，再用两点间的距离公式可得．解：根据抛物线的方程可得p＝2，∴该抛物线的准线方程为y＝﹣＝﹣1；∴y M﹣（﹣1）＝|MF|＝5，∴y M＝4，∴x M＝±＝±＝±4，∴|MO|＝＝＝4．故答案为：y＝﹣1，4．15．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【分析】先根据题意a＝2b，c＝并且a2＝b2+c2求出a，b，c的值，代入标准方程得到答案．解：根据题意知a＝2b，c＝又∵a2＝b2+c2∴a2＝4 b2＝1∴＝1故答案为：∴＝1．16．已知函数f（x）＝xe x+c有两个零点，则c的取值范围是（0，）．【分析】求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．解：∵函数f（x）＝xe x+c的导函数f′（x）＝（x+1）e x，令f′（x）＝0，则x＝﹣1，∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；故当x＝﹣1时，函数取最小值f（﹣1）＝﹣e﹣1+c，若函数f（x）＝xe x+c有两个零点，则f（﹣1）＝﹣e﹣1+c＜0，即c＜，又∵c≤0时，x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＝xe x+c＜0恒成立，不存在零点，故c＞0．综上0＜c＜，故答案为：（0，）．17．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为【分析】由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．解：如图，由题意，A（﹣c，﹣），F2（c，0），C（x，y），∵，即为（x+c，y+）＝3（x﹣c，y），∴3y＝y+，x+c＝3x﹣3c．∴C（2c，），代入椭圆+＝1，可得+＝1，由b2＝a2﹣c2，整理得5c2＝a2，解得e＝＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知复数，其中i为虚数单位，a∈R．（Ⅰ）若z∈R，求实数a的值；（Ⅱ）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先进行化简，结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可．（Ⅱ）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．解：（Ⅰ），若z∈R，则，∴．（Ⅱ）若z在复平面内对应的点位于第一象限，则对应点的坐标为（，），则且，解得，即a的取值范围为．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，2]上的值域．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得单调性和极值，求得区间端点处的函数值，可得所求值域．解：（Ⅰ）∵，∴f'（x）＝3x2﹣x，而，故切点为，斜率为2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣＝2（x﹣1），即为4x﹣2y﹣3＝0；（Ⅱ）由f'（x）＝3x2﹣x＝x（3x﹣1），令f'（x）＝0，解得x＝0或，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：x0 2 g'（x）0 ﹣0 +g（x）0 减极小值增 6 所以函数f（x）在区间[0，2]上的值域为．20．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|＝x1+x2+p即可得到k．解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴4k l＝4，解得k l＝1．由y2＝4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y＝x﹣1．（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，∴．∵|AB|＝x1+x2+p＝，解得k＝．∴直线l的方程为．21．已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣1，且f'（1）＝﹣1．（1）求a的值；（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．【分析】（1）求出导数，利用f'（1）＝﹣1，求解即可．（2）设g（x）＝lnx﹣x，则，判断函数的单调性，求出最值即可得到结果．解：（1）对f（x）求导，得f'（x）＝1+lnx+2ax，所以f'（1）＝1+2a＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）由f（x）﹣mx≤﹣1，得xlnx﹣x2﹣mx≤0，因为x∈（0，+∞），所以对于任意x∈（0，+∞），都有lnx﹣x≤m．设g（x）＝lnx﹣x，则，令g'（x）＝0，解得x＝1，当x变化时，g（x）与g'（x）的变化情况如下表：x（0，1） 1 （1，+∞）g'（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减所以当x＝1时，g（x）max＝g（1）＝﹣1，因为对于任意x∈（0，+∞），都有g（x）≤m成立，所以m≥﹣1，所以m的最小值为﹣1．22．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：y＝x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．【分析】（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．由|PA|+|PB|＝|CA|+|CB|＝+＝2，知动点轨迹为椭圆，由此能求出其方程．（2）将y＝x+t代入方程+y2＝1，得3x2+4tx+2t2﹣2＝0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．解：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．∵|PA|+|PB|＝|CA|+|CB|＝+＝2，∴动点轨迹为椭圆，且a＝，c＝1，从而b＝1．∴方程为+y2＝1（2）将y＝x+t代入方程+y2＝1，得3x2+4tx+2t2﹣2＝0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），∴△＝16t2﹣4•3•（2t2﹣2）＞0①，x1+x2＝﹣②，x1x2＝③，由①得t2＜3，∴S MANB＝|AB||y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝．。
浙江省杭州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题 扫描版含答案
2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一．选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）二．填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）1617．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．a n ＝2n ＋1 19．ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ 三．解答题（本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程）20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）f (x )1cos2sin 222x x -+＝1πsin 2sin 223x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以 T ＝π． …………7分（Ⅱ）因为 f (x )＝πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为 π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以 πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以f (x )的值域为0⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………7分 21．（Ⅰ）证明：连接AB 1，交A 1B 于N ，所以N 为AB 1的中点，又因为D 为AC 的中点，所以 DN //B 1C ，因为DN 在面BA 1D 内，B 1C 不在面BA 1D 内，所以B 1C //面BA 1D ． …………6分（Ⅱ）以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（不妨设AC ＝1）．所以 B 0，0)，D (0，12，0)，A 1(0，0，C1(0，1，设面BA 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则100BD BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，解得n ＝(1，1)， 因为 1BC ＝(1，记直线BC 1与平面BA 1D 所成角为θ，所以 sin θ＝|cos<1BC ，n >|＝11||||BC BC ⋅⋅n n ＝ …………9分22．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由题意，得122151a a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，所以 a n ＝2n －1，S n ＝n 2．…………8分 （Ⅱ）因为b n ＝14(1n n +）＝111()41n n -+， 所以T n ＝4(1)n n +． …………7分23．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以 | MN |＝x 1＋x 2＋2＝6，所以 x Q ＝122x x +＝2； ………6分（Ⅱ）设直线l ：x ＝ty ＋m ，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩， 得 y 2－4ty －4m ＝0，所以 y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，所以 | MN |5，所以 m ＝22516(1)t +－t 2， 所以 x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2m ＝4t 2＋2m ＝2258(1)t +＋2t 2≥3， 所以 x Q ＝122x x +≥32，此时t ＝±12，m ＝1， 所以 l ：2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0．…………9分24．（本小题满分11分）解：（Ⅰ）当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x －1|＋k ＝221,(1)1,(1)x x k x x x k x ⎧-++≥⎪⎨++-<⎪⎩， 所以f (x )的单调增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． …………5分 （Ⅱ）因为f (x )＝x 2－|x －a |＋k ＝()()221,()1,()x x a k x a x x a k x a ⎧-+⋅+≥⎪⎨++⋅-<⎪⎩，且10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知f (x )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增。
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二下学期期中考试数学试题(PDF版)
高二数学参考答案第1页共5页2018学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学高二年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共36分.11．1i -+12．7；142y x =±13．5614．1，55⎡⎢⎥⎣⎦15．16．17．1a ≤-三、解答题:（本大题共5小题，其中18题14分，其它题各15分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．()()=1351(21),().nf n n n N *-+-++-⋅-∈ 已知函数（1）求(1)()f n f n +-；（2）用数学归纳法证明()=(1).n f n n -⋅解：（1）(1)()f n f n +-()11(21),().n n n N +*=-⋅+∈……………………………5分（2）①当n=1时，左边()11(21)1,=-⋅-=-右边()1111,=-⨯=-等式成立…6分②假设当n=k(k ∈*N )时结论成立，即()=(1).k f k k -⋅………………7分则当n=k+1时，(1)f k +=()()1=1351(21)1(21)k k k k +-+-++-⋅-+-⋅+ ()1=(1)+1(21)k k k k +-⋅-⋅+()1=1(1).k k +-⋅+………………………12分所以当n=k+1时,结论也成立，…………………………………………………13分综①②所述，()=(1)n f n n -⋅意的n ∈*N 都成立.…………………………14分19．19.已知点(1,0),(4,0)P Q ,一动点2M MQ MP =满足.（1）求点M 的轨迹方程；（2）过点(2,3)A 的直线l 与(1)中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.解：（1）设点(,)M x y ，2M MQ MP =点满足，题号12345678910答案C D C BB B D D A D高二数学参考答案第2页共5页则点M 的轨迹方程C 为224x y +=……………………………………………………6分（2）设直线l 的方程为3(2)y k x -=-，:3(2)l y k x C -=- 直线与曲线只有一个公共点，:3(2)l y k x C ∴-=-直线与曲线相切，2d ==51212k ⇒= 分214x C = 直线与曲线相切，分=2512260.15l x x y ∴-+= 直线为或分20．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,90AB CD BCD ︒∠=P ,22AB AD DC ===.PAD ∆为正三角形，二面角P AD C --的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M .求证：PMB ⊥平面;ABCD 平面（2）求直线BA 与平面PAD 所成角的正弦值.解：（1）证明：BAD PAD ∆∆和Q 是正三角形，M Q 是AD 的中点，,,AD MB AD MP ∴⊥⊥,MB MP M =又Q I AD PMB ∴⊥平面AD ABCD ⊂又平面Q .6PMB ABCD ∴⊥⋯⋯⋯平面平面分（2）由（1）知PMB P AD B ∠--是二面角的平面角2=.3PMB π∴∠由（1）知AD PMB⊥平面AD PAD⊂平面Q PAD PBMB PAD E PM ∴⊥∴平面平面过作平面的垂线，则垂足在延长线上.3BME π∴∠=,AE BAE AB PAD ∠连结则是与平面所成的角 (12)分BM =Q 3,2BE ∴=M C D P A B E A D C B MP高二数学参考答案第3页共5页3sin 4BE BAE AB ∴∠==……………………………15分21．已知抛物线C 的对称轴为x 轴，点(1,2)P 在抛物线C 上，,A B 是抛物线C 上不同的两点，直线PA PB ，的斜率为12,k k ，满足124k k +=-.（1）求抛物线的标准方程；（2）证明：直线AB 过定点；（3）当点P 到直线AB 距离最大时，求PAB ∆的面积.解：（1）24y x =…………………………………………………………………………4分（2）设1122(1,2)(,),(,)P A x y B x y ，，124k k +=-Q 121222411y y x x --∴+=---1222122241144y y y y --∴+=---12123()801y y y y ∴+++=（）………………………7分设直线AB 的方程为x my n=+24x my n y x=+⎧⎨=⎩2440y my n ∴--=12124,4(2)y y m y y n +==-………………………9分由（1）（2）得，32n m =+所以，直线AB 过定点(2,3)-………………………………………………………10分（2）当点P 到直线AB 距离最大时,点P 与定点(2,3)D -的连线与直线AB 垂直.11分121235AB k -∴=-=+…………………………………………………………12分联立抛物线与直线AB 的方程251704x y y x--=⎧⎨=⎩，12AB y =-=1122PAB S AB PD ∆∴==⨯分22．已知函数()2ln ,.f x x x a x a R =--∈（1）若不等式()0f x <无解，求a 的值；（2）若函数()f x 存在两个极值点1212,x x x x <、且，当()()12f x f x m a -<恒成立时，求实数m 的最小值.解：（1）解法1：由题意()0f x ≥恒成立，（1分）高二数学参考答案第4页共5页()10,1f =则为极值点()101f a '=⇒=………………………3分当1a =时()2ln ,f x x x x =--()212121,x x f x x x x--'=--=()(][)0,11+f x ∞在上单调递减，在，上单调递增，()(1)0f x f ∴≥=当1a =时()0f x <无解.………………………6分解法2：由题意()0f x ≥恒成立，（1分）若0a ≤，则111ln 0242f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，不合题意，…………………………2分所以0a >，()2'2,x x a f x x --=令220x x a --=，则180a ∆=+>，所以该方程有两个不相等的实根12,x x ，且12x x <，因为1202a x x =-<，所以120,0,x x <>所以()f x 在2(0,)x 递减，在()2,x +∞递增，所以()()2min 0f x f x =≥，………4分又因为(1)0f =，所以21x =，所以210a --=，所以1a =.………6分（2）解法1：由题意220x x a --=有两个不同的正根，知0a <由()f x 先增后减知12()()f x f x >，则12()()0f x f x a -<，当1x 无限接近于2x 时，12()()f x f x a -接近于0，则实数m 的最小值为0.……………15分解法2：由题意220x x a --=有两个不同的正根，所以121218010202a x x a x x ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得1211110,0,8442a x x -<<<<<<，……………………………………………9分所以()()()()11212221211122221ln ln ln x x x x x a f x f x x x a x x x a x x a a a-+------++===()()12121122ln 2x x x x x x x x -+-=1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭………………………………12分令()21222112,10,12x x t t x x x -===-∈则，所以11ln 2y t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2'2211111022t y t t t -⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，所以函数11ln 2y t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()01，上单调递增，当1,0t y →→，所以当0m ≥时恒成立，实数m 的最小值为0.……………15分。
2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．复数31ii--等于（ ） A ．B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】C【解析】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --++===+--+,故选C.2．已知双曲线221-=x ky 的一个焦点是)，则其渐近线的方程为（ ）A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】C【解析】先根据题意求出k 的值，从而得出双曲线方程，即可写出渐近线方程． 【详解】由221-=x ky 变形可得2211-=y x k，又双曲线221-=x ky 的一个焦点是)，所以()2110+=>k k，所以14k =，所以双曲线方程为2214y x -=，所以其渐近线方程为为2y x =±． 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其渐近线方程，解题的关键是会根据焦点坐标求方程中参数的值．3．用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是 A ．假设a ，b ，c 都小于0 B ．假设a ，b ，c 都大于0C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于0D ．假设a ，b ，c 中都不大于0【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立，根据要证命题的否定为：“假设a ，b ，c 中都不大于0”，从而得出结论.详解：用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“假设a ，b ，c 中都不大于0”. 故选：D.点睛：用反证法证明命题的基本步骤 (1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立．4．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与抛物线()220x py p =>的交点为A ，B ．A ，B连线经过抛物线焦点F ，且线段AB 的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C ．2D 【答案】B【解析】先由题意根据抛物线和椭圆的对称线可设2，⎛⎫- ⎪⎝⎭p A b ，2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b ，点2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b 代入椭圆和抛物线方程求出2234b a =，再根据c e a =，222c a b =-即可求出离心率．由抛物线和椭圆的对称线可设2，⎛⎫- ⎪⎝⎭p A b ，2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b ，将点2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b 代入椭圆和抛物线方程可得22222214b p a b b p ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以2234b a =，所以12===c e a ．故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质和离心率，解题的关键是找出a ，b ，c 间的关系． 6．设直线l ：()()110+--=∈mx m y m R ，圆C ：()2214x y -+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 有可能无公共点B ．若直线l 的一个方向向量为()1,-2=a ，则1m =-C ．若直线l 平分圆C 的周长，则0m =D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN的长的最小值为【答案】D【解析】直线l 过定点()1,1P -，圆C ：()2214x y -+=的圆心()10C ，半径2r =，所以点P 在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 一定有公共点；若直线l 的一个方向向量为()1,-2=a ，则2m =；因为l 平分圆C 的周长，所以直线过圆心()10C ，，所以1m =； 线段MN的长的最小值为．【详解】由直线l ：()()110+--=∈mx m y m R 变形可得()()10+-+=m x y y ，联立100y x y +=⎧⎨+=⎩，解得直线l 过定点()1,1P -，圆C ：()2214x y -+=的圆心()10C ，半径2r =，点()1,1P -与圆心()1,1C -的距离1=<PC r ，所以点P 在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 一定有公共点，所以A 项错误； 由线l 的一个方向向量为()1,-2=a ，则21=--mm，解得2m =，故B 项误； 因为l 平分圆C 的周长，所以直线过圆心()10C ，，即10m -=，所以1m =，故C 项错误；若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为==D 项正确．故选：D 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，以及弦长公式，解题关键是熟练掌握圆的有关性质． 7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，记A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（ ） ①点F 的轨迹是一条线段 ②A 1F 与D 1E 不可能平行 ③A 1F 与BE 是异面直线④tan θ≤A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】在①中设平面D 1AE 与直线BC 交于点G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取BB 1、C 1B 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，推出面A 1MN ∥平面D 1AE ，即可得出结论；在②中F 与M 重合时，A 1F 与D 1E 平行；③中A 1F 与BE 既不平行也不相交；在④中当F 与MN 重合时B 1F 最小，此时()11max 1θ==A B tan B F【详解】在①中设平面D 1AE 与直线BC 交于点G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取BB 1、C 1B 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，所以A 1M ∥平面D 1AE ，MN ∥平面D 1AE ， 所以平面A 1MN ∥平面D 1AE ，又A 1F ∥平面D 1AE ，所以F 应在线段MN 上运动，故①正确；在②中由①知当F 与M 重合时，A 1F 与D 1E 平行，故②错误； 在③中A 1F 与BE 既不平行也不相交，故③正确；在④中当F 与M ，N 重合时B 1F 最小，此时()11max 1θ==A B tan B F，故④正确．故选：C 【点睛】本题主要考查立体几何中的线面关系、线线关系及线面角．8．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1260F PF ∠=.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.A ．B C ．lD【答案】B 【解析】【详解】设1PF m =，()2PF n m n =>.椭圆方程为2222111x y a b -=，双曲线方程为2222221x y a b -=两曲线的半焦距为1c 、2c ，且12c c =. 由圆锥曲线定义得12m n a +=，22m n a -=.于是，12m a a =+，12n a a =-. 又由余弦定理得()()()()222222221212121212124444m n mn c c a a a a a a a a c c +-==⇒++--+-== 22221212344a a c c ⇒+==2212134e e ⇒+=.由均值不等式得122212134e e e e =+≥≥.当12e =，2e =时，上式等号成立.二、填空题9．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标__________________ 【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】先把抛物线化成标准型，再求焦点坐标. 【详解】 由题意知212x y =，所以抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用抛物线的方程求解焦点坐标，注意要把非标准方程化为标准形式，再进行求解.10．设平面α的法向量为()1122n =-，，，平面β的法向量为()224n λ=，，，若α⊥β，则2n =_____． 【答案】【解析】根据题意可知1n u r ⊥2n u u r ，所以1n u r •2n =0，解出λ的值，从而得出2n u u r，利用模长公式求出向量模长即可． 【详解】平面α的法向量为()1122n =-，，，平面β的法向量为()224n λ=，，， 因为α⊥β，所以1n u r ⊥2n u u r ，所以1n u r•2n =2﹣2λ+8＝0，解得λ＝5，所以2n =（2，5，4），所以222n ==故答案为：【点睛】本题主要考查法向量及其模长公式，属于基础题． 11．用数学归纳法证明: 1111(1)2321n n n +++⋯⋯+<>-,在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是__________（用含有k 的式子作答).【答案】2k【解析】假设n=k 成立，即111 (2321)k k +++<-，则n=k+1成立时有11111......123212221k k k k k ++++++<+-+-，所以左边增加得项数是： 221(21)2k k k k +---=12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____．【解析】先由三视图分析出原图为一个三棱柱剪去一个三角锥，所以几何体的体积为三棱柱的体积减去三棱锥的体积． 【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V 1为：1222⨯=剪去的三棱锥体积V 2为：1121323⨯⨯⨯=所以几何体的体积为：33=．故答案为：3【点睛】本题主要考查三视图以及几何体体积的计算方法，解题关键是能根据三视图还原几何体．13．圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣8＝0关于直线ax +2by ﹣2＝0（a ，b ＞0）对称，则14a b+的最小值为_____． 【答案】9【解析】先由直线过圆心得出1a b +=，再由基本不等式即可出14a b+的最小值． 【详解】由圆方程为224280+---=x y x y 可转化为()()222+113--=x y 圆心为()21，，由题意可知圆心在直线220+-=ax by 上，所以1a b +=，14a b +=（14a b+）（a +b ）＝54b a a b ++≥5+4＝9，当且仅当4b aa b =，因为a ，b ＞0，a 13=，b 23=时取最小值9． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是熟练应用基本不等式．14．已知F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，2OA OF OF ⋅=，直线OA 的方程为y x ，则双曲线的离心率为__________．【解析】分析：由2OA OF OF ⋅=，可得AF x ⊥轴，从而求得2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线OA 的方程为23y x =，可得结果. 详解：2cos OA OF OA OF AOF OF ⋅=⋅<=，cos OA AOF OF ∴<=，AF x ∴⊥轴，令x c =，得22,,A b b y A c a a ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 又OA的方程为y，2b ac ∴=，222b a c ac ac -∴==，即1e e -=210e -=，e =点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝1，AC ＝CD ＝DA ＝2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD 'M ，当平面AD 'M 垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为_____．【解析】过D ′作AM 的垂线，垂足为H ，根据H 到直线AB 的距离最小值及勾股定理计算即可． 【详解】过D ′作AM 的垂线，垂足为H ，由题意可知D′A ＝DA ＝2，随着点M 在边DC 上向点C 方向移动，DM 逐渐变大，即D 'M 越来越大，又D ′H 为三角形AD 'M 中AM 边上的高，D′A 长度不变，D 'M 越来越大，所以垂足为H 越来越靠近点A ，所以当点M 与C 重合即折痕为AC 时，H 到直线AB 的距离最小，又AC ＝CD ＝DA ＝2，所以AC ＝CD ′＝D′A ＝2，此时H 为AC 的中点，所以D ′H ＝DH =H 到直线AB 的最小距离为h 12=BC =PD ′=．故答案为：2【点睛】本题主要考查立体几何中的综合应用，利用勾股定理求线段长．三、解答题16．已知命题p ：方程22242220x y x my m m +-++-+=表示圆；命题q ：方程22115x y m a+=--表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12m -<<;（2）45a ≤<.【解析】试题分析：(1) 若命题p 为真命题，根据圆的一般方程与椭圆的标注方程满足的条件建立不等式关系，即可求实数m 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件，则q p Ø，从而建立关于实数a 的不等关系. 试题解析：（1）若命题p 为真命题时，则由方程22242220x y x my m m +-++-+=即()()22222x y m m m -++=-++表示圆，∴220m m -++>解之得 ∴12m -<<（2）由q 成立得510a m ->-> ∴16m a <<-，若p 是q 的必要不充分条件，则q p Ø， ∴162a <-≤解之得45a ≤< ∴45a ≤<17．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．【答案】（1）证明见解析（2）23452481635917a a a a ====，，，，猜想：a n 11221n n --=+，证明见解析【解析】（1利用反证法假设1n n a a +=，代入121+=+n n na a a 进而得出此数列是0或1的常数列，与10a >，11a ≠矛盾，所以假设错误； （2）由112a =在通过递推公式直接写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，猜想出11221--=+n n n a ，再用数学归纳法进行证明．【详解】（1）证明：假设1n n a a +=，又a n +121n n a a =+，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而1210-=====n n a a a a 或1211-=====n n a a a a ，这与题设10a >或11a ≠ 相矛盾，所以1n n a a +=不成立．故1+≠n n a a 成立．（2）由题意得12345124816235917a a a a a =====，，，，， 由此猜想：11221--=+n n n a ． ①当n ＝1时，a 10021212==+，猜想成立， ②假设n ＝k 时，11221--+=k k k a 成立， 当n ＝k +1时，()()1111111112222221212121121-+--+-+--⨯+====+++++k k k k k k k k k k k a a a ， 所以当n ＝k +1时，猜想也成立，由①②可知，对一切正整数，都有a n 11221n n --=+成立． 【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用以及数学归纳法证明命题的运用．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，112AD BC AD AB DC BC ====，，E 是PC 的中点，平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：ED∥平面PAB；（2）若PC PA==A﹣PC﹣D的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）103【解析】（1）取PB的中点F，连接AF，EF，通过证明四边形ADEF是平行四边形，得到DE∥AF，从而证出ED∥平面P AB；（2）通过做辅助线找到二面角A﹣PC﹣D的平面角，求出其余弦值即可．【详解】（1）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF12BC =．又AD＝BC，且AD12=BC，∴AD∥EF且AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面P AB．（2）解：取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD＝MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM＝MC＝MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得AC=过D作DG⊥AC于G，∵平面P AC⊥平面ABCD，且平面P AC∩平面ABCD＝AC，∴DG⊥平面P AC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，GD12 ===，连接AE ， cos ∠ACE ==AE ==， ∵点P 到AC 的距离d152==， ∴点A 到PC的距离5==d ．GH 1228d ==． 在Rt △GDH 中，HD === ∴cos ∠GHD 103===GH HD ． 即二面角A ﹣PC ﹣D【点睛】本题主要考查线面平行的证明和二面角的求法．19．已知椭圆E ：2224x y a +=1（a ＞0）的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是直线x =上任意一点，点Q 在椭圆E 上，且满足11PF QF ⋅=0．（1）试求出实数a ；（2）设直线PQ 与直线OQ 的斜率分别为k 1与k 2，求积k 1•k 2的值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PN HN =，证明点H 恒在一条定直线上． 【答案】（1）a ＝3（2）49-（3）证明见解析 【解析】（1）根据椭圆的离心率列方程求出实数a 的值；（2）由（1）可设点P（t ），Q （x 0，y 0），根据11PF QF ⋅=0得出004ty x =再由点Q 在椭圆E 上得出2200419x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，用斜率公式及可求出k 1•k 2的值； （3）设过P（1）的直线l 与椭圆交于两个不同点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 点H （x ，y ），代入椭圆方程得出22114936x y +=，22224936x y +=，再设PMMHPN HN ==λ，即PM PN λ=，MH HN λ=，代入数据整理即可得出点H 恒在一条定直线上．【详解】（1）解：设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可得224c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得a ＝3； （2）解：由（1）可知，直线x ==F 1（0）． 设点P（5-，t ），Q （x 0，y 0）， ∵11PF QF ⋅=0，∴（，﹣t ）•（x 0，﹣y 0）＝0，得004ty x =+． ∵点Q （x 0，y 0）在椭圆E 上，∴2200194x y +=，即2200419x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴k 1•k222000044449x x y x --====-， ∴k 1•k 2的值是49-； （3）证明：设过P（1）的直线l 与椭圆交于两个不同点M （x 1，y 1）， N （x 2，y 2），点H （x ，y ），则22114936x y +=，22224936x y +=， 设PM MHPN HN ==λ，则PM PN λ=，MH HN λ=，∴（x15+，y 1﹣1）＝λ（x25+，y 2﹣1），（x ﹣x 1，y ﹣y 1）＝λ（x 2﹣x ，y 2﹣y ），211x x λλ-=-，x 121x x λλ+=+，1121y y λλ-=-，y 121y y λλ+=+，2222121x x λλ-=-，y 2221221y y λλ-=-， 由于22114936x y +=，22224936x y +=，-9y ()()2222222222222112112224949449911x y x y x x y y λλλλλ+-+--+===---36． ∴点H9360x y -+=．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．。
2018-2019学年高二(下)期末数学试卷(含答案)
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.( )B.3.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，为了解学生的视力情况，若样本中男生比女生多12人，则n=（）A. 990B. 1320C. 1430D. 15604.（2，k（6，4是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π6.若函数f（x）a的取值范围为（）A. （-5，+∞）B. [-5，+∞）C. （-∞，-5）D. （-∞，-5]7.设x，y z=x+y的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -28.x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A. 2B. 1 D. 49.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=30，则S20=（）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或1010.当的数学期望取得最大值时，的数学期望为（）A. 211.若实轴长为2的双曲线C：4个不同的点则双曲线C的虚轴长的取值范围为( )12.已知函数f（x）=2x3+ax+a．过点M（-1，0）引曲线C：y=f（x）的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f（x）的极大值点为（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x7的展开式的第3项为______．14.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=5，则tan2β=______．15.287212,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C面积则椭圆C的标准方程为______.16.已知高为H R的球O的球面上，若二面4三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.nn的通项公式．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如表格：（1）根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；（2）以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（i）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ii）若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A cos C+a sin C cos B A．（1）求tan A的值；（2）若b=1，c=2，AD⊥BC，D为垂足，求AD的长．20.已知B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1，M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）若直线y=kx-3（k≠0）与M交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2+y1y2=-4，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB，二面角A-BD=F求PD与平面BDF所成角的正弦值．22.已知函数f（x）=（x-a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=2时，F（x）=f（x）-x+ln x，记函数y=F（x1）上的最大值为m，证明：-4＜m＜-3．答案和解析1.【答案】A【解析】故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，子集与真子集，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={2}={x|0≤x＜4}，∴∉A，B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5，样本中男生比女生多12人，设男生数为6k，女生数为5k，解得k=12，n=1320．∴n=1320．故选：B．设男生数为6k，女生数为5k，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果．本题考查高一学生数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∴k=-3；∴（-16，-2）与共线．k=-3考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）x≤1时，函数是增函数，x＞1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）=a+4≥，解得a≥-5．故选：B．利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（2，5），B-2）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时则z=x+y的最大值与最小值的比值为：．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．【解析】解：由题意，对任意的∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x1）=f（x）min=-3，f（x2）=f（x）max=3．∴|x1-x2|min∵T=4．∴|x1-x2|min=．故选：A．本题由题意可得f（x1）=f（x）min，f（x2）=f（x）max，然后根据余弦函数的最大最小值及周期性可知|x1-x2|min本题主要考查余弦函数的周期性及最大最小的取值问题，本题属中档题．9.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，（30-S20），解得S20=20，或S20=-10，∵S20-S10=q10S10＞0，∴S20＞0，∴S20=20，故选：A．由等比数列的性质可得：S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，列式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∴EX取得最大值．此时故选：D．利用数学期望结合二次函数的性质求解期望的最值，然后求解Y的数学期望．本题考查数学期望以及分布列的求法，考查计算能力．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，动点的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．设P i（x，y）⇒x2+y2（x2。
2018-2019学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2018—2019学年度上学期期末教学质量监测试题九年级数学温馨提示：1．本试题共4页，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题，请用0.5毫米的黑色签字笔笔直接答在答题卡上．试卷上作答无效．3．请将名字与考号填写在本卷相应位置上．一、选择题(共12小题，下列各题的四个选项中只有一个正确)1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；D.既不轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的定义. 轴对称图形的关键是找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合，中心对称图形是要找对称中心，旋转180°后两部分能够完全重合.2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A. x2＋3x＝0 B. y2－2x＋1＝0C. x2－5x＝2D. x2－2＝(x＋1)2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,即可进行判定,【详解】A选项,x2＋3x＝0,因为未知数出现在分母上,是分式方程,不符合题意,B选项,y2－2x＋1＝0,因为方程中含有2个未知数,不是一元二次方程,不符合题意,C选项,x2－5x＝2,符合一元二次方程的定义,符合题意,D选项,将方程x2－2＝(x＋1)2整理后可得:-2x-3=0,是一元一次方程,不符合题意,故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.3. “明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（）A. 明天降水的可能性较小B. 明天将有30%的时间降水C. 明天将有30%的地区降水D. 明天肯定不降水【答案】A【解析】【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依此分析选项可得答案．【详解】解：A. 明天降水概率是30%，降水的可能性较小，故选项正确；B. 明天降水概率是30%，并不是有30%的时间降水，故选项错误；C. 明天降水概率是30%，并不是有30%的地区降水，故选项错误；D. 明天降水概率是30%，明天有可能降水，故选项错误．故选：A．【点睛】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A. 30°B. 45°C. 90°D. 135°【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，=，=，AC=4，∵OC 2+AO 2=22+=16， AC 2=42=16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C ．【点睛】考点：勾股定理逆定理.5. 圆外一点P 到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（ ） A. 4 B. 5C. 2或5D. 2【答案】C 【解析】【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和． 【详解】解：∵点P 到⊙O 的最近距离为3，最远距离为7，则： 当点在圆外时，则⊙O 的直径为7-3=4，半径是2； 当点在圆内时，则⊙O 直径是7+3=10，半径为5， 故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．6. 关于x 的方程kx 2+2x -1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. k ＞-1且k≠0 B. k≥-1且k≠0C. k ＞-1D. k ≥-1【答案】D 【解析】【分析】由于k 的取值范围不能确定，故应分0k =和0k ≠两种情况进行解答． 【详解】解：(1)当0k =时，原方程为：210x -=，此时12x =有解，符合题意； (2)当0k ≠时，此时方程式一元二次方程∵关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， ∴()2242410b ac k =-=--≥即44k ≥- 解得1k ≥-综合上述两种情况可知k 的取值范围是1k ≥- 故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分0k =和0k ≠两种情况进行分类讨论解答． 7. 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB=8，则CD 的长是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【详解】试题分析：已知AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，由垂径定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO 中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A. 考点：垂径定理；勾股定理.8. 用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A. （x ﹣6）2=﹣4+36 B. （x ﹣6）2=4+36C. （x ﹣3）2=﹣4+9D. （x ﹣3）2=4+9【答案】D 【解析】【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x 2﹣6x ﹣4=0， x 2﹣6x=4， x 2﹣6x+9=4+9，（x ﹣3）2=4+9， 故选D.9. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A. 23(1)2y x =++ B. 23(1)2y x =+- C. 23(1)2=--y x D. 23(1)2y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象平移判断即可；【详解】23y x =向右平移1个单位得到()231y x =-，再向下平移2个单位得到()2312x y =--； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像平移，准确分析判断是解题的根据．10. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球实验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在26%和44%，则口袋中白色球的个数可能是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解．【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1-0.26-0.44=0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50=15． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11.（）A. 2B. 1C. 3D.3 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【详解】因为圆内接正三角形的面积为3， 所以圆的半径为23， 所以该圆的内接正六边形的边心距23×sin60°＝23×3＝1， 故选B ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．12. 如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（共6小题）13. 在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于原点对称点的坐标为________． 【答案】(2，-3) 【解析】【分析】直接利用点关于原点对称点的性质，平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），从而可得出答案．得出答案．【详解】解：点P （-2，3），关于原点对称点坐标是：（2，-3）． 故答案为：（2，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 14. 如图，在⊙O 中，点C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于_____度．【答案】40． 【解析】【分析】由于点C 是弧AB 的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC 是∠BOA 的一半；在等腰△AOB 中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA 的度数，由此得解． 【详解】△OAB 中，OA ＝OB ， ∴∠BOA ＝180°﹣2∠A ＝80°， ∵点C 是弧AB 的中点， ∴AC BC =， ∴∠BOC ＝12∠BOA ＝40°， 故答案为40．【点睛】本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键. 15. 方程的()()121x x x +-=+解是______.【答案】11x =-，23x = 【解析】【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【详解】解：()()121x x x +-=+，()()12(1)0x x x +--+=， ()()1210x x +--=，即10x +=或210x --=，解得121,3x x =-=， 故填：121,3x x =-=.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解决本题时需注意：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根. 需通过移项，将方程右边化为0.16. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 【答案】3π 【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm 2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．17. 分别写有-1，0，-3，2.5，4的五张卡片，除数字不同，其它均相同，从中任抽一张，则抽出负数的概率是___ 【答案】25【解析】【分析】根据概率的计算公式直接得到答案．【详解】解：-1，0，-3，2.5，4五张卡片中是负数的有：-1，-3， ∴P （抽出负数）=25，故答案为：25． 【点睛】此题考查概率的计算公式，负数的定义，熟记概率的计算公式是解题的关键． 18. 正方形边长3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为______． 【答案】y=x 2+6x 【解析】【详解】解：22(3)3y x =+-=26x x +，故答案为26y x x =+．三、解答题（共7小题）19. 解方程：x 2－4x －7＝0.【答案】12211211x x ，=+=- 【解析】【详解】x²－4x －7＝0, ∵a=1,b=-4,c=-7, ∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0, ∴x=--4444211211±±==±（） , ∴12211,211x x =+=-.20. 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P =50º，求∠BAC 的度数．【答案】25° 【解析】【分析】由PA ，PB 分别为圆O 的切线，根据切线长定理得到PA=PB ，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角∠P 的度数，求出底角∠PAB 的度数，又AC 为圆O 的直径，根据切线的性质得到PA 与AC 垂直，可得出∠PAC 为直角，用∠PAC-∠PAB 即可求出∠BAC 的度数． 【详解】解：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 点，AC 是⊙O 的直径， ∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB ， 又∵∠P ＝50°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝180502︒︒-＝65°，∴∠BAC ＝∠P AC ﹣∠P AB ＝90°﹣65°＝25°．【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21. 某种商品每件的进价为30元，在某段时向内若以每件x 元出售，可卖出(100-x )件，应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？【答案】当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元 【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设最大利润为y 元， y=(100－x)(x －30)=－(x －65)2+1225 ∵-1＜0，0＜x ＜100，∴当x=65时，y 有最大值，最大值是1225∴当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22. 一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字． （1）从袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率；（2）从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，求两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率． 【答案】（1）12；（2）13． 【解析】【详解】试题分析：（1）用奇数的个数除以总数即可求出小球上所标数字为奇数的概率；（2）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数即可求出其概率．试题解析：（1）∵质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字，∴袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率=24=12；（2）列表得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数为4，∴两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率=412=13．考点：列表法与树状图法；概率公式．23. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BE＝CF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以22BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∴BD=BE﹣1．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．24. 有一条长40m的篱笆如何围成一个面积为275m的矩形场地？能围成一个面积为2101m的矩形场地吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【答案】能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由见解析【解析】【分析】设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，根据矩形场地的面积为75m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；不能围成一个面积为101m2的矩形场地，设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，根据矩形长度的面积为101m2，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△=-4＜0，可得出不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【详解】解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，依题意得：x（20-x）=75，整理得：x2-20x+75=0，解得：x1=5，x2=15，当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，依题意得：y（20-y）=101，整理得：y2-20y+101=0，∵△=（-20）2-4×1×101=-4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=5，CD=4，求BE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【详解】分析：（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；（2）过O作OM垂直于BE，可得出四边形ODCM为矩形，在直角三角形OBM中，利用勾股定理求出BM的长，由垂径定理可得BE=2BM．详解：（1）连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD．∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC．∵∠C=90º，∴∠ODC=90º，∴OD⊥AC．∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．（2）过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O的弦，且OM⊥BE，∴BM=EM，∵∠ODC=∠C=∠OMC= 90°，∴四边形ODCM为矩形，则OM=DC=4．∵OB=5，∴BM =22-=3=EM，54∴BE=BM+EM=6．点睛：本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键．26. 已知，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过A(-2，0)和B(0，4)．（1）求二次函数解析式；（2）求AOB S；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+4x+4；（2）4；（3）x=-2；（4）存在，(﹣2，4)或(﹣2，﹣4)【解析】【分析】（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，即可求出答案；（2）由题意，求出OA=2，OB=4，即可求出答案；（3）由2bxa=-，即可求出答案； （4）由题意，可分为两种情况进行讨论：①当点P 在点A 的上方时；②当点P 在点A 的下方时；分别求出点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）∵y=x 2+bx+c 的图象经过A （－2，0）和B （0，4）∴42b 04c c +=⎧⎨=⎩－ 解得：b 44c =⎧⎨=⎩；∴二次函数解析式为：y=x 2+4x+4； （2）∵A （﹣2，0），B （0，4）， ∴OA=2，OB=4， ∴S △AOB =12OA•OB=12×2×4=4； （3）对称轴方程为直线为：4221x =-=-⨯； （4）∵以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AP=OB=4，当点P 在点A 的上方时，点P 的坐标为（﹣2，4）， 当点P 在点A 的下方时，点P 的坐标为（﹣2，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。
2018-2019学年浙江省杭州市高二下学期期末考试物理试题(答案+解析)
2019年杭州市高二年级教学质量检测物理试题卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.2018年11月16日，第26届国际计量大会（CGPM）全票通过了关于“修订国际单位制（SI）”的1号决议。
根据决议，千克、安培、开尔文和摩尔等4个SI基本单位的定义将改由常数定义，于2019年5月20日起正式生效。
下列关于国际单位制的描述不正确的是（）A. 米、千克和秒都是基本单位B. 牛顿、焦耳、瓦特都是导出单位C. 长度、质量、时间和速度都是基本量D. 安培、开尔文和摩尔都是基本单位【答案】C【解析】A. 米、千克和秒都是国际单位制的基本单位，选项A正确；B. 牛顿、焦耳、瓦特都是导出单位，选项B正确；C. 长度、质量、时间是基本量，速度不是基本量，选项C错误；D. 安培、开尔文和摩尔都是基本单位，选项D正确。
2.如图所示，放在暗室中的口径较大不透明的薄壁圆柱形浅玻璃缸充满水，缸底中心有一红色发光小球（可看作点光源），从上往下看，则观察到（）A. 水面有一个亮点B. 充满水面的圆形亮斑C. 发光小球在水面上的像D. 比小球浅的发光小球的像【答案】D【解析】AB.小球所发的光射向水面的入射角较大时会发生全反射，在水面上可以看到一个圆形亮斑，但不是充满水面的圆形亮斑，故AB错误；CD.由于光的折射，在水面上可看到比小球浅的发光小球的像，如图所示，选项C 错误，D 正确.3.如图为氢原子能级图，氢原子中的电子从n=5能级跃迁到n=2能级可产生a 光，从n=4能级跃迁到n=2能级可产生b 光，a 、b 光照射到逸出功为2. 29eV 的金属钠表面均可产生光电效应，则（）A. a 光的频率小于b 光的频率B. a 光的波长大于b 光的波长C. a 光照射所产生的光电子最大初动能0.57k E eV =D. b 光照射所产生的光电子最大初动能0.34k E eV = 【答案】C【解析】AB.根据能级跃迁知识得：∆E 1=E 5−E 2＝−0.54−(−3.4)＝2.86eV ，∆E 2=E 4−E 2＝−0.85−(−3.4)＝2.55eV ，显然a 光子的能量大于b 光子，即a 光子的频率大，波长短，故AB 错误。
浙江省杭州市2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线 在 轴上截距的变化，找到该直线在 轴上的截距取得最小值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案。
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，此时该直线在 轴上的截距最小， 取得最小值，即 ，故选：B。
9。函数 的图像大致是( )
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导,求出函数 的单调性，利用单调性来辨别函数 的图象，以及函数值符号来辨别函数 的图象。
【详解】 ， .
解不等式 ，即 ，得 ；
解不等式 ，即 ，得 或 。
所以，函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 .
令 ,即 ，得 或 ；
故选：C。
【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零,底数大于零且不为 ”，考查计算能力，属于基础题。
4。 中， ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算出 的值，于此可得出 的值。
【详解】 ， ，
由余弦定理得 ，
，因此， ,故选：D.
【点睛】本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力,属于基础题。
【点睛】本题考查三视图以及简单几何体体积的计算，要根据三视图确定几何体的形状，再根据体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。
6。若平面四边形ABCD满足 ，则该四边形一定是（ ）
A。 正方形B。 矩形C. 菱形D. 直角梯形
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绝密★启用前浙江省杭州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}3,4B =，则集合A B =（ ）A ．{}4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}1,2,3,4【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的运算律可得出集合A B 。
【详解】由题意可得{}4A B ⋂=，故选：A 。
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。
2．直线340x y ++=的斜率为（ ） A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率。
【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选：A 。
【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；A3．函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A ．{}1x x > B ．{}1x x <C ．{}1x x ≠D ．R【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零这一原则得出关于x 的不等式，解出可得出函数的定义域。
【详解】由题意可得()210x ->，解得1x ≠，因此，函数()22log 1y x =-的定义域为{}1x x ≠， 故选：C 。
【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为1”，考查计算能力，属于基础题。
4．在ABC ∆中，222a b c =+，则A ∠=（ ） A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理计算出222cos 2b c a A bc+-∠=的值，于此可得出A ∠的值。
【详解】222a b c =++Q ，222b c a ∴+-=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-∠=== 0180A <∠<o o Q ，因此，150A ∠=o ，故选：D 。
【点睛】本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力，属于基础题。
5．一个空间几何体的三规图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得知该几何体是四棱锥，计算出四棱锥的底面积和高，再利用锥体体积公式可得出答案。
【详解】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是矩形，其面积为212S =⨯=，高为2h =， 因此，该几何体的体积为11422333V Sh ==⨯⨯=，故选：B 。
【点睛】本题考查三视图以及简单几何体体积的计算，要根据三视图确定几何体的形状，再根据体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。
6．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形【答案】C 【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.7．已知1-，a ，b ，5-成等差数列，1-，c ，4-成等比数列，则a b c ++=（ ） A ．8- B ．6- C ．6-或4- D ．8-或4-【答案】D根据等差数列的性质可得出+a b 的值，利用等比中项的性质求出c 的值，于此可得出a b c ++的值。
【详解】由于1-、a 、b 、5-成等差数列，则()()156a b +=-+-=-， 又1-、c 、4-成等比数列，则()()2144c =-⨯-=，2c ∴=±，当2c =-时，8a b c ++=-；当2c =时，4a b c ++=-，因此，8a b c ++=-或4-， 故选：D 。
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。
8．设a ，b R ∈，则“a b ≥”是“a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值来得出“a b ≥”与“a b >”的充分必要性关系。
【详解】若3a b ==，则a b ≥，但a b >不成立； 若2a =，3b =-，a b >成立，但a b ≥不成立。
因此，“a b ≥”是“a b >”的既不充分也不必要条件，故选：D 。
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，常用集合的包含关系来进行判断，也可以利用特殊值以及逻辑推证法来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题。
9．函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】求导，求出函数()y f x =的单调性，利用单调性来辨别函数()y f x =的图象，以及函数值符号来辨别函数()y f x =的图象。
【详解】()()22x f x x x e =-Q ，()()()()222222x x x f x x e x x e x e '∴=-+-=-.解不等式()0f x '<，即220x -<，得x <；解不等式()0f x '>，即220x ->，得x <x >所以，函数()y f x =的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(。
令()0f x >，即220x x ->，得0x <或2x >； 令()0f x <，即220x x -<，得02x <<.所以，符合条件的函数()y f x =为B 选项中的图象，故选：B. 【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。
在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。
10．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断。
【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直。
故选：C 。
【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题。
11．设实数x ，y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y =+在x 轴上截距的变化，找到该直线在x 轴上的截距取得最小值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案。
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线3z x y =+，当直线3z x y =+经过可行域的顶点()3,0A 时，此时该直线在x 轴上的截距最小，z 取得最小值，即min 3303z =+⨯=，故选：B 。
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的思想，利用其在坐标轴上截距最值的思想找出最优来处理，考查数形结合思想，属于中等12．若α是第四象限角，5sin 313πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．15-C ．1213D ．1213-【答案】C 【解析】 【分析】 确定角3πα+所处的象限，并求出cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用诱导公式求出sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
【详解】αQ 是第四象限角，则()32222k k ππαπ+<<+， ()11722633k k k Z ππππαπ∴+<+<+∈，且5sin 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以，3πα+是第四象限角，则12cos 313πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 因此，12sin sin cos 623313ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C 。
【点睛】本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题。
13．已知椭圆222:14x y E a +=，设直线():1l y kx k R =+∈交椭圆E 所得的弦长为L .则下列直线中，交椭圆E 所得的弦长不可能．．．等于L 的是（ ） A ．0mx y m ++= B ．0mx y m +-= C ．10mx y --= D ．20mx y --=【答案】D 【解析】 【分析】【详解】当直线l 过点()1,0-，取1m =-，直线l 和选项A 中的直线重合，故排除A ； 当直线l 过点()1,0，取1m =-，直线l 和选项B 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 截得的弦长相同，故排除B ；当0k =时，取0m =，直线l 和选项C 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 截得的弦长相同，故排除C ；直线l 的斜率为k ，且过点()0,1，选项D 中的直线的斜率为m ，且过点()0,2-，这两条直线不关于x 轴、y 轴和原点对称，故被椭圆E 所截得的弦长不可能相等。