内蒙古北方重工三中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2015届高三10月月考数学(文)试题
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3. 若数列{}n a 满足191=a ，)(31*+∈-=N n a a n n ，则数列{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）A.6B.7C.8D. 94. 25),1,2(+=⋅=b a a （ ）A.5B.10C.5D. 255. 已知函数)0,0,0)(cos()(πϕωϕω<<>>+=M x M x f 为奇函数错误！未找到引用源。
,该函数的部分图像如图所示， 90,22=∠==C BC AC ，则=)21(f ( )A.21-B. 21C. 22-D. 226. 已知41)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为（ ） A.1615 B. 169 C. 87 D. 1615± 7. 函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 （ ）8. 在平行四边形ABCD 中， 60,1,2=∠==A AD AB ，点M 在AB 边上，且AB AM 31=，则=⋅DB DM （ ） A.33 B. 33- C.1 D. 1- 9. 已知数列{}n a 是等差数列，且563=+a a ,数列{}n b 是等比数列，且5255a a b +=，则=82b b （ ）A.1B.5C.10D. 1510. 已知ABC ∆的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,, 且,42,10,54cos ===∆ABC S a B =+Aab sin 则( ) A.2227 B.16 C. 28 D. 216 11. 已知每项均大于零的数列{}n a 中，首项11=a 且前n 项和n S 满足81*111),2(2a n N n S S S S S S n n n n n n 则且≥∈⋅=----=（ ） A.639 B.641 C.640 D. 63812. 函数2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式)1()(ln f x f <的解集为（ ）A. ),0(eB. ),1(eC. ),1(e eD. ),1()1,1(e e⋃二、填空题(每小题5分，共5⨯4=20分)13. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，若222a bc c b =-+，且3=ba， 则角C 的值为 .14.已知函数)3(log )(25.0a ax x x f +-=在[)+∞,2单调递减，则a 的取值范围是 .15.平面向量)(),2,4(),2,1(R m b m c b a ∈+===，且a c 与的夹角等于b c 与的夹角，则=m .16.已知数列{}n a 中，4,121==a a ，满足n n n a a a 323512-=++，则数列{}n a 的通项公式=n a .三、解答题(17~21题每小题12分，共60分，22题10分，共70分)17. （本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，满足12,341==a a ，数列{}n b 满足20,441==b b ，{}n n a b -为等比数列. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）已知a (cos ,sin )b (cos ,sin )ααββ=＝，,0<β<α<π. （1）若|a b |2-=，求证：a b ⊥； （2）设c (0,1)=，若a b c +=，求βα,的值.19. （本小题满分12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)()1(2*∈-+=N n a S n n n 。
内蒙古内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
内蒙古内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题相等的有A ．(1) B.(1)(2) C.(1)(2)(4) D.(1)(3)(4)4.已知定义在区间[0，2]上的函数()y f x = 的图象如左图所示，则(2)y f x =- 的图象为A B C D5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤ 时，2()2,f x x x =- 则(1)f =A ．-3 B.-1 C.1 D.36.幂函数图象经过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则它的单调增区间是 A ．()0+∞， B. ()-0∞， C. (]-0∞，D. ()-+∞∞， 7.已知定义在R 上的奇函数()f x ，且为减函数，又知2(1)(1)0f a f a -+-< ，则a 的取值范围为A.(2,1)-B.()(,2)1,-∞-+∞C.()0,1D.()0,28.已知函数*(),()f n k n N =∈ ，k 小数点后第n 位数字，1.414213562= ，则[]2013{(8)}ff f f f =个A.1B.2C.4D.69.若函数()y f x = 的值域为(]08， ，则()[]2F ()10()4x f x f x =-- 的值域为A.[)-20,-4B.[]-20,-4C.[]-29,-20D.[)-29,-410.已知()538f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =A ．-18 B.-26 C.-10 D.10 11.对于实数定义运算⊗ ：,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数22()(2)(),f x x x x x R =-⊗-∈ ，若函数()y f x c =- 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围为A.(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭B.(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ C.111,,+44⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.31-1,-,+44⎛⎫⎡⎫∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭12.已知函数2222()2(2),()2(2)8f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+ ，设1()m a x {(),()}H x f x g x = ，2()min{(),()}H x f x g x =（ max{,}p q 表示,p q 中较大者，min{,}p q 表示,p q 中较小者），记1()H x 最小值为A ，2()H x 最大值为B ，则A B - =A.16B.-16C.2216a a --D.2216a a +-二．填空题（共4小题，每题5分，共计20分）13.已知函数2()21f x x mx =-++ 在区间[]14-， 上是单调函数，则实数m 的取值范围为_____________14.函数()()11,0,1x f x a a a +=+>≠的图象恒过定点P ，则P 点坐标为___________15.已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩ ，若1()2f b =，则b = __________ 16.已知函数2()||f x x x a =-+ ，若存在12341234,,,(,,,)x x x x x x x x 互不相同 ，使1234()()()()1f x f x f x f x ==== ，则a 的取值范围是_________________三．简答题（本大题共计6小题，共计70分）17.已知全集U=R ，{|12}A x x =-≤< ，{|13}B x x =<≤求：,,U A B A B C A18.已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x > 时，()f x 的表达式是指数函数，且1(2)4f = . （1）当0x >时，求()f x 的表达式（2）当0x ≤时，求()f x 的表达式（3）画[](),4,0y f x x =∈- 的图象，并指出函数的值域19.已知2()x p f x x q+=+ 是奇函数，且(2)4f = （1）求实数,p q 的值（2）判断函数()f x 在区间()02， 上的单调性，并加以证明20.已知函数()()23log 5f x x ax a =+++（1）当3a =-时，求()f x 的定义域（2）若()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，求实数a 的取值范围21.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表（2） 某人当月份的工资、薪金所得是x 元(30008000)x ≤≤元元 ，应交税款为y 元，写出y x 关于 的函数解析式（3） 已知某人一月份应交税款303元，那么他这个月的工资、薪金所得是多少？22.已知函数2()24f x x ax =-+（1）当12a =时，求函数[](),0,2y f x x =∈ 的最大值及最小值 （2）若对任意[]12,0,2x x ∈ ，都有12|()()|4f x f x -< 恒成立，求a 的取值范围（3）若()f x 对5,02a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦中的每一个数a ，都有()0f x > 恒成立，求x 的取值范围22、(1)()()min max 15,64f x f x == (2)max 84,14,1a a y a -<⎧=⎨≥⎩2min 4,04,0284,2a y a a a a ≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩对任意[]12,0,2x x ∈,都有()()124f x f x -<恒成立，即max min 4y y -< (i)0a ≤时,8444a --< 0a ∴> 不合题意(ii)01a <<时,()28444,0401a a a a ---+<<<∴<< (iii)12a ≤≤时,()24442212a a a --+<∴-<<∴≤< (iv)2a ≥时,()48442a a --<∴< 不合题意综上所诉02a <<(3)()(),41,-∞--+∞。
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2015届高三10月月考数学(理)试题
3.已知(,)42ππα∈，3log sin a α=，sin 2b α=，cos 2c α=，则 （ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>4. 已知x x f sin :-→是集合[])2,0(π⊆A A 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,0B 的一个函数,则集合A 中的元素个数最多有( )A.4个B.5个C.6个D.7个 5.函数x x x y sin cos +=的图象大致为( )6.如果函数)cos(ϕ+=x y 23的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛034,π中心对称，那么ϕ的最小值为（ ) A.6πB.4πC.3πD.2π7.对任意的实数,a b ，记{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，若{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数()y f x =在1x =时有极小值2-，()y g x =是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数()y g x =的图象如图所示,则下列关于函数()y F x =的说法中，正确的是（ ）A ． ()y F x =为奇函数B ．()y F x =有极大值(1)F 且有极小值(1)F -C ．()y F x =的最小值为2-且最大值为2D ．()y F x =在(3,0)-上不是单调函数8.已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 9.函数 ),,)(sin()(πϕωϕω<<>>+=000A x A x f 的图像如图所示，为了得到 ()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像( ) A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度10.函数()的图像))(sin(0321>-=ωπωx x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ,上为增函数，则ω的取值范围为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3532, B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡322317, C ⎥⎦⎤ ⎝⎛350, D ⎥⎦⎤⎝⎛3170,11.已知a,b,c 分别为4,,cos ,10,5ABC A B C B a ∆==三个内角的对边，若的值等于，则的面积为Aab ABC sin +∆42（ ）A .2227 B .216 C .28 D.1612.已知曲线0)C y x =≤≤：与函数()log ()a f x x =-及函数()(1)x g x a a -=>其中的图像分别交于1122(,),(,)A x y B x y ，则2212x x +的值为 A ．16 B ．8 C ．4 D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.曲线21y x =+与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 ．14.求值：=︒-︒1701103sin cos 15.函数x x x x y cos sin cos sin ++=,(R x ∈)的值域是16.设函数x x ax x f cos sin )(++=．(R a ∈）若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线)(x f y =在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且cos a C b += ． （Ⅰ）求角A;（Ⅱ）若1a =21b -=，求角B 18. （本小题满分12分）已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈44ππ,x . （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 的值域.19.（本小题满分12分） 已知2-=x和x=1为函数2312bx ax e x x f x ++=-)(（R b a ∈,）的两个极值点.(1)求a 和b 的值 (2)设2332x x x g -=)(，比较f(x)和g(x)的大小.20.（本小题满分12分）ABC∆中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，3π=C ,a+b=)(,1>λλc（Ⅰ）若3=λ，求证:ABC ∆为直角三角形（Ⅱ）若λλ求且,,316392==∆c S ABC21．（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=（0)a ≠． （1）讨论()f x 的单调性 （2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对任意21<<a 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知5,10BC DB ==． （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求CFDE． 23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24． (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-．（1）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （2）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a.1设集合{}0,2|<==x y y M x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x N 1|，则“M x ∈”是“N x ∈”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2已知函数()sin 0y ax b a =+>的图象如右图所示，则函数()log a y x b =+的图象可能是【答案】C3已知(,)42ππα∈，3log sin a α=，sin 2b α=，cos 2c α=，则 （ D ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>4已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A. 43 B. 34 C. 34- D. 43- 5ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =，则c =(A) (B) 2 (D)16△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=错误！未找到引用源。
内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷
内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷一、选择题1．（3分）已知全集U={0，1，2，3}且∁U A={0，2}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（3分）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为（）A．{﹣1，2} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}3．（3分）已知A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f是从A到B的映射，则满足f（0）＞f（1）的映射有（）A．3个B．4个C．5个D．2个4．（3分）已知（）A．﹣312 B．﹣174 C．﹣76 D．1745．（3分）已知函数y=f（x）在区间上是增函数，那么下列不等式中成立的是（）A．f（4）＞f（﹣π）＞f（3）B．f（π）＞f（4）＞f（3）C． f（4）＞f（3）＞f（π）D．f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4）6．（3分）设f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（）A．x（1+）B．﹣x（1+）C．﹣x（1﹣）D．x（1﹣）7．（3分）当1≤x≤3时，函数f（x）=2x2﹣6x+c的值域为（）A．B．C．D．8．（3分）已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个9．（3分）若函数f（x）的定义域是，则函数g（x）=的定义域是（）A．B．（1，20，1）D．以上都不对10．（3分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值二、填空题11．（3分）已知集合A={x∈N|∈N}，用列举法表示A，则A=．12．（3分）已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则m=．13．（3分）国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为元．14．（3分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．三、解答题15．（3分）已知全集U={x|x﹣2≥0或x﹣1≤0}，A={x|x＜1或x＞3}，B={x|x≤1或x＞2}，求A∩B，A∪B，（∁U A）∩（∁U B），（∁U A）∪（∁U B）．16．（3分）已知函数f（x）=x2+bx+c过（0，﹣1）和（1，﹣2m）（m为常数）两点．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x）在区间上的最值．17．（3分）设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠∅，且A∩B=B，求a，b的值．18．（3分）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）确定函数f（x）的解析式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知全集U={0，1，2，3}且∁U A={0，2}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由补集概念求得A，然后直接写出其真子集得答案．解答：解：∵U={0，1，2，3}且∁U A={0，2}，则集合A={1，3}．∴集合A的真子集为∅，{1}，{3}共3个．故选：A．点评：本题考查了补集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．2．（3分）已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为（）A．{﹣1，2} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}考点：交、并、补集的混合运算．分析：B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．解答：解：由题设解得B={0，1}，C U B={x∈Z|x≠0且x≠1}，∴A∩C U B={﹣1，2}，故选A点评：本题考查集合的基本运算，属容易题．3．（3分）已知A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f是从A到B的映射，则满足f（0）＞f（1）的映射有（）A．3个B．4个C．5个D．2个考点：映射．专题：计算题．分析：根据映射概念，利用题目给出的条件f（0）＞f（1）断定f（0）≠﹣1，然后分析f（0）=0和f（0）=1两种情况得答案．解答：解：要满足f（0）＞f（1），则f（0）≠﹣1．若f（0）=0，那么f（1）=﹣1，满足f（0）＞f（1）的映射有1个；若f（0）=1，那么f（1）=0或f（1）=﹣1，满足f（0）＞f（1）的映射有2个．故满足f（0）＞f（1）的映射有3个．故选：A．点评：本题考查了映射的概念，考查了分类讨论的数学思想方法，关键是对映射概念的理解，是基础题．4．（3分）已知（）A．﹣312 B．﹣174 C．﹣76 D．174考点：函数的值．专题：计算题．分析：由f（x）=，知f（8）=f（6）=f（4），由此能求出结果．解答：解：∵f（x）=，∴f（8）=f（6）=f（4）=4﹣5×42=﹣76．故选C．点评：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5．（3分）已知函数y=f（x）在区间上是增函数，那么下列不等式中成立的是（）A．f（4）＞f（﹣π）＞f（3）B．f（π）＞f（4）＞f（3）C． f（4）＞f（3）＞f（π）D．f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）在上是增函数，所以比较4，﹣π，3，π，﹣3，﹣4这几个数的大小即可得到对应函数值的关系．解答：解：∵f（x）在上是增函数，∴A．﹣π＜3，∴f（﹣π）＜f（3），所以该选项错误；B．π＜4，∴f（π）＜f（4），所以该选项错误；C.3＜π，∴f（3）＜f（π），所以该选项错误；D．﹣3＞﹣π＞﹣4，∴f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4），所以该选项正确．故选D．点评：考查增函数的定义：定义域内的两个变量x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）．6．（3分）设f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（）A．x（1+）B．﹣x（1+）C．﹣x（1﹣）D．x（1﹣）考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令x＜0，则﹣x＞0，运用偶函数的定义和已知解析式，即可得到所求的解析式．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，由于f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则f（﹣x）=﹣x（1﹣）=f（x），即有f（x）=﹣x（1﹣）（x＜0）故选C．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求解析式，考查运算能力，属于基础题．7．（3分）当1≤x≤3时，函数f（x）=2x2﹣6x+c的值域为（）A．B．C．D．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先对二次函数进行配方，就可以看出f（x）取最大值和最小值的情况，从而求出函数f（x）的值域．解答：解：f（x）=；∴x=时，f（x）取得最小值．又f（1）=﹣4+c，f（3）=c；∴f（1）＜f（3）∴x=3时，f（x）取得最大值．∴函数f（x）的值域是．故选D．点评：本题考查二次函数的值域及用配方法求二次函数最值的方法．8．（3分）已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：由题意，M是集合{4，7，8}的子集，M中无偶数或一个偶数，直接列出即可．解答：解：由题意：M=∅，{7}，{4，7}，{7，8}，{4}，{8}，六个故选D点评：本题考查集合的子集问题，属基本概念、基本运算的考查．9．（3分）若函数f（x）的定义域是，则函数g（x）=的定义域是（）A．B．（1，20，1）D．以上都不对考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（2x）的定义域，结合g（x）的分母不为0，从而得到函数g（x）的定义域．解答：解：∵函数f（x）的定义域是，∴函数f（2x）的定义域是，∵函数g（x）=，∴x≠1，综上：0≤x＜1，故选：C．点评：本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．10．（3分）已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=，则F（x）的最值是（）A．最大值为3，最小值﹣1 B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，也无最小值考点：函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：将函数f（x）化简，去掉绝对值后，分别解不等式f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x），得到相应的x的取值范围．最后得到函数F（x）在三个不同区间内分段函数的表达式，然后分别在三个区间内根据单调性，求出相应式子的值域，最后得到函数F（x）在R上的值域，从而得到函数有最大值而无最小值．解答：解：f（x）=3﹣2|x|=①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3﹣2x≥x2﹣2x⇒0≤x≤；解f（x）＜g（x），得3﹣2x＜x2﹣2x⇒x＞．②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x2﹣2x⇒2﹣≤x＜0；解f（x）＜g（x），得3+2x＜x2﹣2x⇒x＜2﹣；综上所述，得分三种情况讨论：①当x＜2﹣时，函数为y=3+2x，在区间（﹣∞，2﹣）是单调增函数，故F（x）＜F（2﹣）=7﹣2；②当2﹣≤x≤时，函数为y=x2﹣2x，在（2﹣，1）是单调增函数，在（1，）是单调减函数，故﹣1≤F（x）≤2﹣③当x＞时，函数为y=3﹣2x，在区间（，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（）=3﹣2＜0；∴函数F（x）的值域为（﹣∞，7﹣2.0，20，20，mm，20，mm，20，2hslx3y3h递减，则f（x）max=f（0）=﹣1，f（x）min=f（2）=3﹣4m．综上，可得，当m≤0时，f（x）max=3﹣4m，f（x）min=﹣1；当0＜m≤1时，f（x）max=3﹣4m，f（x）min=﹣1﹣m2；当1＜m≤2时，f（x）max=﹣1，f（x）min=﹣1﹣m2；当m≥2时，f（x）max=﹣1，f（x）min=3﹣4m．点评：本题考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数在闭区间上的值域的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题和易错题．17．（3分）设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠∅，且A∩B=B，求a，b的值．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A∩B=B得，B⊆A，由题设条件知B={﹣3}或B={4}或B={﹣3，4}，再根据韦达定理、已知的方程，分别进行求解即可．解答：解：由A∩B=B得，B⊆A，因为A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}≠∅，且B⊆A，所以B={﹣3}或B={4}或B={﹣3，4}，即x2﹣2ax+b=0的两根为﹣3，4，或有重根﹣3，4，当B={﹣3}时，则，解得a=﹣3，b=9；当B={4}时，则，解得a=4，b=16；当B={﹣3，4}时，则，解得a=，b=﹣12，综上得，或或．点评：本题考查集合的包含关系的判断和应用，以及韦达定理的运用，注意分类讨论思想的合理应用．18．（3分）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）确定函数f（x）的解析式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由奇函数得f（0）=0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），得到不等式组，解出即可．解答：（1）解：函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）=0，即有b=0，且f（）=，则，解得，a=1，则函数f（x）的解析式：f（x）=（﹣1＜x＜1）；（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）==，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），即有，解得，则有0＜t＜，即解集为（0，）．点评：本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．。
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学近年届高三数学第二次模拟考试试题文(最新整理)
（1)若ω＝ ，求f(x）的最大值及相应的x的集合；
（2)若x＝ 是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x）的单调递增区间.
18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知3cos（B－C)－1＝6cosBcosC.
（1）求cos A;
（2)若a＝3，△ABC的面积为2 ，求b，c。
19．（本小题满分12分）已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0,直线l:ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且|AB|＝2 时，求直线l的方程。
20．（本小题满分12分）平面直角坐标系 中，过椭圆 ： 的右焦点 作直 交 于 两点, 为 的中点,且 的斜率为 .
13．函数y＝ax在［0,1］上的最大值与最小值的和为3，则a的值为________。
14．已知 为圆 上的三点，若 ，则 的夹角为。
15．过点A(6，0)，B(1，5),且圆心C在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程为________。
16．下面有5个命题：
① 函数 的最小正周期是 ．
② 终边在 轴上的角的集合是 ．
17. 解：（1)f(x）＝sinωx＋sin ＝sinωx－cosωx,
当ω＝ 时，f(x）＝sin －cos ＝ sin ，又－1≤sin ≤1,
所以f(x）的最大值为 ，此时， － ＝ ＋2kπ,
k∈Z，即x＝ ＋4kπ，k∈Z，相应的x的集合为{x|x＝ ＋4kπ，k∈Z}．
(2)法
6．已知点P（2，y）在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为( ）
内蒙古北方重工三中2014-2015学年高1上学期12月月考数学试卷 Word版含解析1.doc
内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷Word版含解析1内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷一.选择题（每题5分，共60分）1．设集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．sin600°的值是（）A．B．C．D．3．在R上是增函数的幂函数为（）A．y=B．y=x2C．y=D．y=x﹣24．设a是第四象限角，则下列函数值一定为负数的是（）A．s in B．c os C．t an D．cos2a5．方程lnx+2x=6的根属于区间（）A．（1，2）B．（，4）C．（1，）D．（，）6．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于（）A．s in B．C．D．2sin7．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．l og0.76＜60.7＜0.76D．l og0.76＜0.76＜60.78．函数y=的值域为（）A．[﹣3，0]B．（﹣∞，3]C．（0，3]D．[3，+∞）9．函数y=sin（2x﹣）的图象可以看作是把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移得到的B．向右平移得到的C．向右平移得到的D．向左平移得到的10．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣2|的图象大致是（）A．B．C．D．12．在区间范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题5分，共20分）13．f（x）是定义在实数有R上的奇函数，若x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=．14．已知tanα=2，则=．15．函数y=lg（﹣x2+2x+8）的单调递减区间为．16．满足tan（x+）≥﹣的x的集合是．三、解答题（17题10分，18～22每题12分，共70分）17．求值（1）++﹣（2）+（lg2）2+lg2lg5+lg5．18．已知关于x的方程2x2﹣（+1）x+m=0的两根为sinα和cosα，且α∈（0，2π），求（1）m的值（2）方程的两根及此时α的值．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的一个周期的图象如图．（1）求y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．21．f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x、y都有f （x+y）=f（x）+f（y）﹣1成立．当x＞0时，f（x）＞1．（1）若f（4）=5，求f（2）；（2）证明：f（x）在R上是增函数；（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．22．设函数g（x）=ax2+bx+c（a＞0），且g（1）=．（1）求证：函数g（x）有两个零点；（2）讨论函数g（x）在区间（0，2）内的零点个数．内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷一.选择题（每题5分，共60分）1．设集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算．分析：由题意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．解答：解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选B．点评：此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．sin600°的值是（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：把原式的角度600°变形为2×360°﹣120°，然后利用诱导公式化简，再把120°变为180°﹣60°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选D点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换．3．在R上是增函数的幂函数为（）A．y=B．y=x2C．y=D．y=x﹣2考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象和性质即可判断解答：解：对于A，函数的定义域为（0，+∞），故不符合，对于BD，函数为偶函数，图象关于y轴对称，再R上是有增有减，故不符合，对于C，函数为奇函数，且＞0且定义域为R，故满足条件，故选：C点评：本题考查了幂函数的图象和性质，属于基础题4．设a是第四象限角，则下列函数值一定为负数的是（）A．s in B．c os C．t an D．cos2a考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的图像与性质．分析：举出第四象限的两个角度，求出半角和二倍角，检验角的正弦，余弦与正切的正负，只要有正数的情况出现，就可以得到结果．解答：解：当α=300°时，=150°这个角的正弦是正数，当α=﹣40°时，=﹣20°这个角的余弦一定是正值，此时2α=﹣80°，这个角的余弦一定是正数，综上可知tan是负数，故选C．点评：本题考查三角函数的符号，本题解题的关键是写出第四象限的两个角度，对这两个角度进行三角函数值的正负的确定，本题是一个基础题5．方程lnx+2x=6的根属于区间（）A．（1，2）B．（，4）C．（1，）D．（，）考点：二分法的定义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：方程lnx+2x=6的根即函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点，而函数f（x）=lnx+2x﹣6在定义域上单调连续；从而求零点的区间即可．解答：解：方程lnx+2x=6的根即函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点，函数f（x）=lnx+2x﹣6在定义域上单调连续；且f（2）=ln2+4﹣6＜0；f（3）=ln3+6﹣6＞0；故方程lnx+2x=6的根属于区间（2，3）；又∵f（）=ln﹣1＜0；。
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2017-2018学年
北重三中2017~2018学年度第一学期高一年级月考考试数学试题考试时间：2017年10月11日满分：150分考试时长：120分钟第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每个小题有四个选项有且只有一个正确选项，请将正确的选项填涂在答题卡上）1.设全集{}{}{}0,1234,1,2,32,4U A B ===，，，， ,则()=U BC A （）{}{}{}{}.1,2,4.2,3,4.0,2,4.0,2,3,4A B C D2.映射()()::,,f A B f x y x y x y →→-+且，则与A 中的元素()1,2-对应的B 中的元素为（）()()()().1,3.3,1.1,3.3,1A B C D ---3.根据图表分析不恰当．．．的一项是（） A.王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；B.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；C.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.D.第一次考试均分最高，说明第一次考试试题难度低于其它次考试试题的难度.4.设函数()()3,055,5x x f x f x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩，那么()28f =（）.27.9.3.1A B C D5.下列函数中，不满足．．．()()22f x f x =的是（）()()()()...1.A f x x B f x x x C f x x D f x x ==-=+=-6.已知偶函数()y f x =在()0,4上单调递减，则()()1,,3f f f ππ⎛⎫--⎪⎝⎭的大小关系是（）()()()()()()()().1.133.1.133A f f f B f f f C f f f D f f f ππππππππ⎛⎫⎛⎫->>->->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫->->->-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7.已知集合{}{21,M y y x N x y ==-==，则MN =（）[)).1...A B C D φ⎡-+∞-+∞⎣，8.函数()f x x 的值域是（）()[)11..,.0,.1,22A B C D ⎡⎫⎛⎤+∞-∞+∞+∞⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，9. 设{}{}26,23A x x B x a x a =≤≤=≤≤+，若AB A =，则实数a 的取值范围是（）[][)[)().1,3.3,.1,.1,3A B C D +∞+∞10.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +的值为（） .3.1.1.3A B C D --11.已知函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x -+->⎧⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为单调递增函数，则实数b 的取值范围是（）(][)[]1.,2.1,..122A B C D ⎛⎫-∞+∞+∞ ⎪⎝⎭，，12.对于任意两个正整数,m n 定义某种运算*“”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m n m n *=+；当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn *=，在此定义下，集合(){}**=,12,,M a b a b a N b N *=∈∈中的元素个数是（）.10.15.16.18A B C D第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题上） 13.函数()()012f x x x =-++的定义域为____________14.函数()()2312f x x a x =+-+在[)4+∞，上是递增函数，则实数a 的取值范围__________ 15.已知定义在R 上的奇函数()f x ，当()20231x f x x x >=-++时，，则函数()f x 的解析式______________ 16.给出下列四个命题：（1）若集合{}{}2,0,,,1,0;A x y B x A B x y =====则（2）若函数()f x 的定义域为()1,1-，则函数()21f x +的定义域为()1,0-. （3）函数()2f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞；（4）若()()()f x f y f x y ⋅=+，且()12f =，则()()()()()()242014132013f f f f ff +++()()201620162015f f +=其中，正确的命题有___________（填序号）三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题共10分）已知全集U R =，{}{}22=10210,12200A x x x B x x x -+≤=-+< 求()()R R C A B C A B ，18.（本小题共12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：（1）设应交纳税款为y 元，工资、薪金为x 元，写出y 与x 之间的函数关系式. （2）某人一月份应交纳税款为303元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？19. （本小题共12分）已知集合{}{}22320,20A x x x B x x mx =-+==-+=，且B A ⊆， 求m 的取值范围.20.（本小题共12分）已知函数()()()()2,,14,25bf x x c b c f f x=++==为常数 （1）求,b c 的值；（2）用定义证明函数()f x 在区间()0,1上是减函数，说出()f x 在()1+∞，上的单调性. （3）若对任意的1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总有()f x m >成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题共12分）已知函数()[]22,5,5f x x ax x =-++∈-.（1）若函数()f x 具有单调性，求实数a 的取值范围； （2）记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的解析式22.（本小题共12分）已知函数()y f x =，当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+ （1）求证：()f x 为奇函数；（2）如果当0x >时，恒有()0f x <，证明函数()f x 在R 上是单调递减； （3）在（2）条件下，解不等式()()2230f x f x +->.高一数学月考答案。
【解析】内蒙古北方重工三中2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)Word版含解析
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共60分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．“k=5”是“两直线kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：验证：“k=1”时，两条直线为5x+5y﹣2=0与﹣x+y﹣7=0垂直比较易，对于“⇐”只须两线斜率乘积为﹣1即可．解答：解：“k=1”时，两条直线为5x+5y﹣2=0与﹣x+y﹣7=0垂直，充分条件成立；kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直时，解得k=5或k=﹣1，必要条件不成立所以“k=5”是“两直线kx+5y﹣2=0和（4﹣k）x+y﹣7=0互相垂直”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查直线与直线垂直的判定，以及充要条件，是基础题目．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：选项A，根据面面垂直的判定定理进行判定，选项B列举出所有可能，选项C根据面面平行的性质进行判定，选项D列举出所以可能即可．解答：解：选项A，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m⊥n，m⊥α，n∥β⇒α⊥β；选项B，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n，该命题不正确，m∥α，n∥β，α∥β⇒m与n没有公共点，则也可能异面；选项C，根据m⊥α，α∥β，则m⊥β，而n∥β则m⊥n，则该命题正确；选项D，若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m∥n，m∥α，n∥β，⇒α与β平行或相交故选C点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．3．设向量、，满足||=||=1，•=﹣，则|+2|=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．解答：解：∵向量、，满足||=||=1，•=﹣，∴=1﹣2+4=3，∴故选B点评：本题考查求向量模常将向量模平方；利用向量的运算法则求出．4．双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b，进而根据c=求得c，焦点坐标可得．解答：解：双曲线的，，，∴右焦点为．故选C点评：本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c 即可得出交点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论．5．若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于( )A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解答：解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A．2，﹣B．4，C．4，﹣D．2，﹣考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω，把点（﹣，0）代入，再结合﹣＜φ＜，可得φ的值．解答：解：由题意可得T=×=，∴ω=2．再把点（﹣，0）代入可得0=2sin=0，即sin（φ﹣）=0．再结合﹣＜φ＜，可得φ=﹣，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．7．已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为( )A．﹣B．C．D．﹣考点：等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：因为a1+a7+a13=4π，则a7=，所以tan（a2+a12）=tan2a7=tan，由诱导公式计算可得答案．解答：解：∵a1+a7+a13=4π，则a7=，∴tan（a2+a12）=tan2a7=tan=﹣，故选A．点评：本题考查数列的性质和应用，解题电动机发认真审题，仔细解答．8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则此几何体的所有侧面的面积中最大的是( )A．100cm3B．100cm3C．200cm3D．200cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为四棱锥，OC=OD，PO⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为20的正方形，PO=20．计算比较即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，OC=OD，PO⊥底面ABCD，底面ABCD 是边长为20的正方形，PO=20．经过计算可得此几何体的所有侧面的面积中最大的是S△PAD==200．故选：C．点评：本题考查了四棱锥的三视图、侧面积计算，属于基础题．9．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( ) A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．10．已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而取得离心率．解答：解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，∴，化为（|BF|﹣8）2=0，解得|BF|=8．设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴．故选B．点评：熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．11．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为( )A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=，所求球的体积为：×π（）3=．故选：B点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．点评：本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数，若，则a=﹣1或．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数在不同的区间上的解析式不同即可计算出结果．解答：解：①当a≤0时，f（a）=2a=，解得a=﹣1；②当a＞0时，f（a）=，解得．故答案为﹣1或．点评：正确理解分段函数的意义是解题的关键．14．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．考点：简单线性规划的应用．专题：压轴题．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．考点：等差数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．解答：解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．16．设函数f（x）=x3（x∈R），若时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；转化思想；函数的性质及应用．分析：由给出的幂函数为奇函数，且为实数集上的增函数，把不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0移项变形，借助于函数的奇偶性和单调性转化为msinθ﹣m＞﹣1恒成立，分离参数m后，由角θ的范围求得的最小值，则m的取值范围可求．解答：解：∵f（x）=x3（x∈R）为递增函数且为奇函数，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立等价于f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，即msinθ＞m﹣1恒成立，也就是msinθ﹣m＞﹣1，m（sinθ﹣1）＞﹣1恒成立，∵，∴﹣1≤sinθ﹣1＜0，0＜1﹣sinθ≤1．∴m＜，∵0＜1﹣sinθ≤1，∴的最小值为1，∴m＜0．∴使f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题考查了函数恒成立问题，借助于已知函数的奇偶性和单调性转化，考查了分离变量法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A 的度数；（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与csinA，利用三角形面积公式表示出S，代入所求式子中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出最大值以及此时B的值．解答：解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+ab，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，则A=；（Ⅱ）∵a=，sinA=，∴由正弦定理==得：b=，csinA=asinC，∴S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取得最大值为3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知在递增等差数列{a n}中，前三项的和为9，前三项的积为15，{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设递增等差数列{a n}的公差为d，利用前三项的和为9，前三项的积为15，利用等差数列的通项公式可得a1+a1+d+a1+2d=9，a1（a1+d）（a1+2d）=15，{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．b1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．（2）c n===，利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）设递增等差数列{a n}的公差为d，∵前三项的和为9，前三项的积为15，∴a1+a1+d+a1+2d=9，a1（a1+d）（a1+2d）=15，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2．∴b1=S1=22﹣2=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣2）=2n．当n=1时，上式也成立．∴b n=2n．（2）c n===，∴{c n}的前n项和T n=+…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）连接AC交BD于O，连接PO．菱形ABCD中，证出AC⊥BD且O是BD的中点，从而得到PO是等腰△PBD中，PO是底边BD的中线，可得PO⊥BD，结合PO、AC是平面PAC内的相交直线，证出BD⊥平面PAC，从而得到PC⊥BD；（II）根据ABCD是边长为2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面积为，△PAO中证出AO2+PO2=6=PA2可得PO⊥AC，结合PO⊥BD证出PO⊥平面ABCD，所以PO=是三棱锥P﹣ABC的高，从而三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=1，再由E为PA中点算出三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=，进而可得三棱锥P﹣BCE的体积等于V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=，得到本题答案．解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD∵PO、AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD；（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO=∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=BD=因此，△PAO中AO2+PO2=6=PA2∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，得到三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=×S△ABC×PO==1∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=由此可得三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=×S△ABC×d=×=因此，三棱锥P﹣BCE的体积V P﹣EBC=V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=．点评：本题给出底面为菱形的四棱锥，求证线线垂直并求锥体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、菱形的性质及面积计算和锥体体积公式等知识，属于中档题．20．设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．考点：椭圆的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答：解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．解答：解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，点评：本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．一、选修4-1：几何证明选讲22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：证明题．分析：（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，2015届高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．解答：解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆点评：本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．考点：基本不等式．专题：证明题；压轴题．分析：证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．证法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．解答：证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．点评：考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．。
内蒙古高三数学上学期第三次月考试题文
集宁一中2015---2016学年第一学期第三次月考高三年级数学文科试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.已知集合，，则 ( )A. B.C.D.2.复数（其中）对应点在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是 ( ) A ．B ．C ．D ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 ( ) A ．－1 B.23 C.32D ．45.将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为 ( )xO AyF 1F 2(第7题图)A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π46.如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体表面积为 ( ) A ．14B ．C ．D ．167．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是 ( ) A ． B ． C ．D ．8.已知为等比数列，是它的前项和，若， 且与2的等差中项为，则= ( )A.29B.31 C ．33 D.35 9．设抛物线的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线与抛物线相交于 两点，点P 恰为的中点，则||+||= ( )A.8B.10C.14D.16 10.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知非零向量满足 ，若函数 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 （ ）24正视俯视侧视A. B. C. D.12.若定义在上的函数满足：对于任意有且时，有，设在上的最大值，最小值分别为，则的值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名学生，将这50名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，…，第十组，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为14．设，实数满足若的最大值是0，则实数=_______，的最小值是_______．15．已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB 上，且平面ABC ，，若四面体P - ABC 的体积为，则该球的体积为______．16.已知函数且，在各项为正的数列中，的前n 项和为，若= ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本题12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）当时,求函数的最大值,最小值．18．(本题12分）已知等差数列满足：，，的前项和为（1）求及；.（2）令（），求数列的前项和为。
内蒙古内蒙古北方重工三中高三上学期期中——数学(文)数学(文)
内蒙古内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2015届高三上学期期中考试数学（文）试题A ．“若则”的否命题是：“若则”B ．“，”的否定是：“，”C ．“是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件D ．若“，则函数是偶函数”的逆命题是真命题4．下图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为l 与的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．5. 设3lg ,)3(lg ,3lg 2===c b a ，则有（ ）A. B. C. D.6. 在中，,D 是BC 的中点，，则=（ ）A.-7B.C.D. 77. 已知函数向左平移个单位，所得函数图像关于轴对称，则的最小值是（ ）A ． B. C. D.8. 已知,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2 且的最大值是最小值的4倍，则的值为（ ）A ． B. C. D.9．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =1，P A = ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5B ．C ．20D ．410围是( )A ．B ．C ．D ．11．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线上，其中m ，n 均大于0，则的最小值为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．1612. 若函数的图像上的任意一点P 的坐标满足条件,则称函数具有性质S ，那么下列函数中具有性质S的是 （ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列的前n 项和为，且，则 ；14. 已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为___________；15. 已知函数)0,2||,0)(sin()(><>+=ωπϕϕωA x A x f的图象的一部分如图所示，则函数的表达式为 ；16. 已知函数，给出下列五个说法：①；②若，则；③在区间上单调递增； ④函数的周期为π；⑤的图象关于点成中心对称。
内蒙古北方重工三中高三数学上学期期中试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．已知集合M={x|log3x≤1}，N={x|x2﹣2x＜0}，则( )A．M=N B．M∩N=∅C．M∩N=R D．N⊆M考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解对数不等式求得M，解一元二次不等式求得N，从而得到M、N间的关系．解答：解：∵集合M={x|log3x≤1}={x|0＜x≤3}，N={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴N⊆M，故选：D．点评：本题主要考查对数不等式、一元二次不等式的解法，两个集合间的包含关系，属于基础题．2．已知复数Z满足（i﹣1）=2，则Z=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算求得，求其共轭复数得答案．解答：解：由（i﹣1）=2，得，∴Z=﹣1+i．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．下列命题中，说法错误的是( )A．“若p，则q”的否命题是：“若￢p，则￢q”B．“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是：“∃x≤2，x2﹣2x≤0”C．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件D．“若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据四种命题，全称命题的否定，充要条件的定义，偶函数的定义，逐一判断四个结论的正误，可得答案．解答：解：“若p，则q”的否命题是：“若￢p，则￢q”，故A正确；“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是：“∃x＞2，x2﹣2x≤0”，故B错误；“p∧q是真命题”⇔“p，q均为真命题”，“p∨q是真命题”⇔“p，q中存在真命题”，故“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，即C正确；“若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题为“若f（x）=ax2+bx+c是偶函数，则b=0”为真命题，故D正确．故选：B点评：本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题，全称命题的否定，充要条件的定义，偶函数的定义等知识点，难度不大，属于基础题．4．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，此几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半，由圆锥的体积公式直接求解即可选出正确选项解答：解：由题意，此几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半故其体积是=故选A点评：本题考查简单几何体的三视图，此类题的关键是能由实物图得到正确的三视图或者由三视图可准确还原实物图5．设a=lg3，b=（lg3）2，c=lg，则有( )A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：由0＜a=lg3＜1，可得c=lg=＜lg3=a，作差b﹣c即可得出b与c大小．解答：解：∵0＜a=lg3＜1，∴c=lg=＜lg3=a，b﹣c=（lg3）2﹣lg3=lg3（lg3﹣）=lg3（lg3﹣）＜0，∴b＜c＜a．故选：A．点评：本题考查了对数的单调性、不等式的性质，属于基础题．6．在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，则=( ) A．﹣7 B．C．D．7考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题；平面向量及应用．分析：在△ABC中，由∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，知BC==5，AD=5，故cos＜＞=cos∠ADB=﹣，由此能求出．解答：解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，∴BC==5，AD=，cos＜＞=cos∠ADB===﹣，∴=||•||•cos＜＞==﹣．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．7．已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：求得sin（2x+φ）向左平移个单位后的解析式，利用正弦函数的对称性可得φ的最小值．解答：解：∵y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得：g（x）=f（x+）=sin（2x+φ+），∵g（x）=sin（2x+φ+）的图象关于y轴对称，∴g（x）=sin（2x+φ+）为偶函数，∴φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z．∵φ＞0，∴φmin=．故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得函数图象平移后的解析式是关键，考查综合分析与运算能力，属于中档题．8．已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ) A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：我们可以画出满足条件，的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数a的方程，即可得到a的取值．解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选B．点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），即可求出参数的值．9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为( )A．5πB．C．20πD．4π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥P﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积解答：解：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平面PAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB因此Rt△BPC中，中线OB=PC∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．10．若函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是( )A．（1，2）B．C．D．（0，1）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得，由此求得a的范围．解答：解：∵函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，则有，解得≤a＜2，故选：C．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意等价转化，属于中档题．11．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为( )A．2 B．4 C．8 D．16考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解答：解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=2+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故选C．点评：本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容．12．若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是( )A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=ln（x+1） C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．解答：解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．点评：本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a11=3a6﹣4，则S11=44．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式化简a1+a11=3a6﹣4，可得a1+5d=4，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．解答：解：设等差数列的公差为d，则∵等差数列{a n}，a1+a11=3a6﹣4，∴2a1+10d=3a1+15d﹣4，∴a1+5d=4，∴S11=11a1+d=11a1+55d=44．故答案为：44．点评：本题考查等差数列的通项公式、考查等差数列的求和，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项、求和公式是关键．14．已知向量，满足||=1，||=2，，则向量与向量的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，数量积为零，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围．解答：解：∵||=1，||=2，，∴（）=0，∴=0，∴=﹣=﹣1，∴cos＜，＞==﹣，∵＜，＞∈，∴两个向量的夹角是120°，故答案为120°．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题．注意解题过程中角的范围．15．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜，ω＞0）的图象的一部分如图所示．则f （x）的表达式f（x）=2sin（2x+）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由函数图象的顶点的纵坐标求出A，由周期为π可解ω，把点（0，1）代入可解φ的值．解答：解：把点（0，1）代入y=Asin（ωx+φ）可得，1=2sinφ，解得sinφ=，又|φ|＜，故φ=，又∵当x=时，y=0，∴ω×+=2π，解得ω=2，故f（x）的表达式为：f（x）=2sin（2x+），故答案为：f（x）=2sin（2x+）．点评：本题考查根据y=Asin（ωx+∅）的部分图象求其解析式，属基础题．16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①③．考点：二倍角的正弦．专题：探究型；三角函数的图像与性质．分析：①f（）=|cos|•sin==﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，列举反例x1=0，x2=时也成立；③在区间上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增；④由f（x+π）≠f（x），可得函数f（x）的周期不是π；⑤由函数f（x）=|cosx|•sinx，可得函数是奇函数．解答：解：①f（）=|cos|•sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7﹣d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列{a n}的通项公式；（2）先确定数列{b n}是等比数列，进而可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）设数列的公差为d，则∵a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴（7+d）2=（7﹣d）（7+6d）∴d2=3d∵d≠0∴d=3∴a n=7+（n﹣3）×3=3n﹣2即a n=3n﹣2；（2）∵，∴∴∴数列{b n}是等比数列，∵∴数列{b n}的前n项和S n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题．18．三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A ﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）三角形ABC中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c．再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，化简求得cosB的值．（Ⅱ）根据b=，求得ac=b2的值，求得sinB=的值，再根据△ABC的面积S=ac•sinB，计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．19．某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？考点：分段函数的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f（n），则由求和公式得到f（n）=﹣2n2+40n﹣72；（1）令f（n）＞0，解出n即可判断；（2））①年平均利润==40﹣2（n+），由基本不等式即可求得最大值及n的值；②f（n）=﹣2（n﹣10）2+128，由二次函数的性质即可得到最大值和n的值．对照比较，即可得到答案．解答：解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f（n），则f（n）=50n﹣﹣72=﹣2n2+40n﹣72；（1）获纯利润就是要求f（n）＞0，∴﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18，由n∈N知从第三年开始获利；（2）①年平均利润==40﹣2（n+）≤16当且仅当n=6时取等号，故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，②f（n）=﹣2（n﹣10）2+128，当n=10时，f（n）|max=128故第②种方案共获利128+16=144（万美元）．故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案．点评：本题考查等差数列的应用题，考查等差数列的求和公式，考查运用基本不等式和二次函数的知识求最值，属于中档题和易错题．20．直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图①把△ABD沿BD翻析，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若BN=BC，求四面体CAND的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；（Ⅱ）过点A做AM⊥BD，交BD于M点，利用V C﹣AND=•CN•CDsin∠DCN•AM，即可求四面体CAND的体积．解答：（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．∴CD⊥平面ABD，又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB；（Ⅱ）解：过点A做AM⊥BD，交BD于M点，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AM⊥平面BCD，由题意，CD⊥BD，∠DCN=45°∵BN=BC，∴NC=，AM=1，∴V C﹣AND=•CN•CDsin∠DCN•AM==．点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．21．已知函数f（x）=ax﹣e x（a＞0）．（1）若，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）当1≤a≤e+1时，求证：f（x）≤x．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据导数的几何意义，曲线f（x）在x=x0处的切线方程为y﹣f（x0）=f'（x0）（x ﹣x0），代入计算即可．（2）作差并将x﹣f（x）=﹣ax+x+e x看成是关于a的函数g（a），要证明不等式成立，只需证明g（a）≥0对于一切1≤a≤e+1恒成立即可，亦即证明．解答：解：（1）当时，，，故函数f（x）在，即（2）令g（a）=x﹣f（x）=﹣ax+x+e x，只需证明g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立，一方面，g（1）=﹣x+x+e x=e x＞0①另一方面，g（1+e）=﹣x（1+e）+x+e x=e x﹣ex，设h（x）=e x﹣ex，则h′（x）=e x﹣e，当x＜1时，h′（x）＜0；当x＞1时，h′（x）＞0．∴h（x）在（﹣∞，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增．∴h（x）≥h（1）=e﹣e•1=0，即g（1+e）≥0②由①②知，g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立故当1≤a≤e+1时，f（x）≤x．点评：本题中涉及到2015届高考常考内容，即导数的几何意义，一般会以填空选择题的形式呈现，属于容易题；第二问中的证明中，由1≤a≤e+1知，需要将函数看成关于a的函数，再通过相关函数知识解决，学生在处理时，往往容易把它当成关于x的函数，从而没法继续证明．所以，在解题时看根据题目给的条件，分辨哪个是自变量，哪个是参数，是至关重要的．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．考点：圆的切线方程；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（I）连接OD，△AOD是等腰三角形，结合，∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE可得结论．（II）过D作DH⊥AB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，由△AED≌△AHD和△AEF∽△DOF 推出结果．解答：（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE又AE⊥DE∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x又由△AEF∽△DOF可得∴点评：本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．解答：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，即有ρsinθcos+ρcosθs in=4，即为直线x+y﹣8=0；（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，则d==，则当sin（）=1，此时α=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．。
内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）不等式|x﹣2|＞x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）2．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1B．C．2D．33．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A．B．（）n﹣1C．（）n D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．7．（5分）在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．368．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．10239．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．10．（5分）公比为q的等比数列{a n}的各项为正数，且a2a12=16，log q a10=7，则公比q=（）A．B．C．2D．11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k 的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf （a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=．14．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．15．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．16．（5分）有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|．（1）解不等式f（x）＞6；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，试求a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．19．（12分）已知a＞0，b＞0且a+b=1．求证：（1）；（2）．20．（12分）公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；（Ⅲ）设f（n）=是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）不等式|x﹣2|＞x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，把x=3代入不等式检验．方法二：利用一个数的绝对值大于它本身，这个数一定是负数．解答：解：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，满足不等式，故x=1在解集内，排除答案C、D．把x=3代入不等式检验，不满足不等式，故x=3 不在解集内，排除答案B，故答案选A．方法二：∵不等式|x﹣2|＞x﹣2，∴x﹣2＜0，即x＜2∴解集为（﹣∞，2），故选答案A点评：对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值．2．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1B．C．2D．3考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．3．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：正弦定理．分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．解答：解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．4．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞考点：不等式比较大小．专题：综合题．分析：由已知可得，，然后根据b2＞1比较a与的大小．解答：解：因为a＜0，b＜﹣1，所以，，又因为b2＞1，所以．故选C．点评：本题考查了不等式的大小比较，考查了代数式的意义和性质，是基础题．5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A．B．（）n﹣1C．（）n D．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：将递推公式变形，得到一个新的等差数列，再求它的通项公式，然后求a n．解答：解：∵（n≥2），∴∵a1=1，a2=，∴∴数列{} 是以1为首项，以公差的等差数列，∴=∴故答案选A点评：本题通过递推公式再构造新的特殊数列，比如等差或等比数列，利用等差或等比数列的知识求解问题．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．7．（5分）在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．36考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质得到项数之和为11的两项之和相等，利用此性质化简已知的等式，可得出a5+a6的值，由a n＞0，得到a5＞0，a6＞0，利用基本不等式即可求出a5•a6的最大值．解答：解：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6，又a1+a2+…+a10=30，∴a1+a2+…+a10=5（a5+a6）=30，可得：a5+a6=6，∵a n＞0，∴a5＞0，a6＞0，∴a5•a6≤=9，当且仅当a5=a6时取等号，则a5•a6的最大值等于9．故选：C．点评：此题考查了等差数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键，是中档题．8．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．1023考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6 =2a4 +48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案．解答：解：∵2a4、a6、48成等差数列，∴2a6 =2a4 +48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比数列{a n}的公比q=2，∴解得，a1=1，∴{a n}的前8项和为故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式．属于基础题．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．考点：正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可．解答：解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜90°，＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x=2sinA，∵2sinA∈（2，）．∴x的取值范围是（2，）．故选：C点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10．（5分）公比为q的等比数列{a n}的各项为正数，且a2a12=16，log q a10=7，则公比q=（）A．B．C．2D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质将a2a12=16化为，求出a7的值，由log q a10=7得，根据等比数列的通项公式求出q的值．解答：解：因为各项为正数，且a2a12=16，所以，得a7=4，由log q a10=7得，，所以，即q4=4，解得q=，故选：B．点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，以及对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k 的值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．解答：解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．12．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf （a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设数列{a n}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（a n）}为等差数列，即可得到结论．解答：解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq2=2lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf （a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④故选C．点评：本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=2．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式和已知即可得出公比q．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2+a4=10，可得a1q+a3q=10，即q（a1+a3）=10，又a1+a3=5，所以5q=10．解得q=2．故答案为2．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为5．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x﹣y过点C（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故填：5．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．考点：正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：由+=6cosC，结合余弦定理可得，，而化简+==，代入可求解答：解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======hslx3y3h故答案为：4点评：本题主要考查了三角形的正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用．16．（5分）有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．考点：正弦定理．专题：计算题；开放型．分析：要把横线处补全，就要把A的度数作为已知条件求c的值，由a，A和B的度数，根据正弦定理求出b的长，再由三角形的内角和定理求出C的度数，由a，b及cosC，利用余弦定理即可求出c的长．解答：解：根据正弦定理得：=，a=，sinB=，sinA=，所以b==，又C=180°﹣45°﹣60°=75°，所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=，所以c2=a2+b2﹣2abcosC=3+2﹣2×==，则c=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的余弦函数公式化简求值，是一道中档题．把A的度数看做已知条件求c的长度是解本题的基本思路．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|．（1）解不等式f（x）＞6；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，试求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞6，（2）把关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集非空，求函数f（x）的最小值即可求得a的取值范围．解答：解：（1）解：f（x）=①由，解得x＜﹣3；②，解得﹣3≤x＜﹣1；③，解得x＞；综上可知不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣1}．（2）因为f（x）=|2x﹣2|+|x+3|≥4，所以若f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，则|2a﹣1|≥f（x）min=4，解得：a≥或a≤﹣．．即a的取值范围是：a≥或a≤﹣．点评：考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想．属中档题，求解问题（2）体现了转化的数学思想，属中档题．18．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．考点：解三角形；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．解答：解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．19．（12分）已知a＞0，b＞0且a+b=1．求证：（1）；（2）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）（）（a+b）利用均值不等式证明．（2）平方转化证明即可．解答：证明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，∴=（）=2≥2+2=4．∴；（2）要证．只需a+b+1﹣2≤4，即﹣2≤1，显然成立，∴原不等证成立．点评：本题考查了利用均值不等式法证明不等式，平方转化证明，属于容易题．20．（12分）公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7﹣d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列{a n}的通项公式；（2）先确定数列{b n}是等比数列，进而可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）设数列的公差为d，则∵a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴（7+d）2=（7﹣d）（7+6d）∴d2=3d∵d≠0∴d=3∴a n=7+（n﹣3）×3=3n﹣2即a n=3n﹣2；（2）∵，∴∴∴数列{b n}是等比数列，∵∴数列{b n}的前n项和S n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；（Ⅲ）设f（n）=是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出T n，再利用其单调性即可得出k的最大值；（III）利用（I）求出f（n），再对m分为奇数和偶数讨论即可得出．解答：解：（I）当n=1时，=6．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n+5．此式对于n=1时也成立．因此．（II）∵==，∴T n===．∵T n+1﹣T n==，∴数列{}单调递增，∴（T n）min=T1=．令，解得k＜671，∴k max=670．（III）f（n）==，（1）当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，解得m=11．（2）当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，解得（舍去）．综上可知：存在唯一的正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．点评：熟练掌握“利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出a n”、“裂项求和”、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。
内蒙古北方重工三中2015届高三数学上学期10月月考试卷理(含解析)
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={y|y=2x，x＜0}，N={x|y=}，则“x∈M”是“x∈N”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：通过求指数函数的值域化简集合M，通过解分式不等式化简集合N，根据集合M，N的包含关系判断出条件关系．解答：解：M={y|y=2x，x＜0}={y|0＜y＜1}，=∵{y|0＜y＜1}⊆{x|0＜x≤1}∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件．故选A点评：判断一个条件是另一个条件的什么条件，一般应该先化简各个条件，再利用充要条件的定义加以判断．2．已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a的所有可能结果之和为( ) A．e B．C．e+D．2e+考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数可得，当0＜a≤e时，令|lna|=1得a=e或a=；当a＞e，令2﹣lna=1，则a=e（舍去），即可得到a的所有可能之和．解答：解：由于函数f（x）=，则当0＜a≤e时，令|lna|=1得a=e或a=；当a＞e，令2﹣lna=1，则a=e（舍去），所以a的所有可能结果之和为e+．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数值所对应的自变量的值，注意各段的自变量的范围，属于基础题．3．已知α∈（，），a=log3sinα，b=2sinα，c=2cosα( )A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：由α∈（，），可得，再利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵α∈（，），∴，∴b=2sinα＞2cosα=c＞0＞log3sinα=a．∴b＞c＞a．故选：D．点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．已知f：x→﹣sinx是集合A（A⊆）到集合B={0，}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A．4个B．5个C．6个D．7个考点：映射．分析：根据三角函数的值对应的角在【0，2π】山找出对应的原像即可．解答：解：A⊆，由﹣sinx=0得x=0，π，2π；由﹣sinx=得x=，，∴A中最多有5个元素，故选B．点评：本题考查了三角函数的知识，注意角的范围的限定．5．函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．6．如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．解答：解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A点评：本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．7．对任意的实数a，b，记若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是( )A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（﹣1）C．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2D．y=F（x）在（﹣3，0）上不是单调函数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．解答：解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B不正确y=F（x）的没有最小值和最大值为，故C不正确y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故D正确故选D．点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题．8．已知，则tan2α=( )A．B．C．D．考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解答：解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx的图象，可以将f（x）的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数的部分图象，看出A=1，同时得到函数四分之一周期为，则周期T=π，求得ω=2，运用五点作图原理求得Φ，求出f（x）后，即可验证排除，也可运用诱导公式尝试．解答：解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x 的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选B．点评：本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象的变换问题，解决该题的关键是先求出f （x），同时要注意图象的平移只取决于x的变化．10．函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在上为增函数，则ω的取值范围为( )A．B．C．D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在上为增函数，可得：ω﹣≥﹣且ω﹣≤，结合ω＞0可得答案．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在上为增函数，∴ω﹣≥﹣且ω﹣≤，解得：ω∈，又由ω＞0可得：ω∈，故选：C点评：本题考查函数周期的求法，涉及三角函数的图象的应用，考查计算能力．熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB=，a=10，△ABC的面积为42，则b+的值等于( )A．B．C．D．16考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由cosB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将a，sinA以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，利用正弦定理求出的值，即可确定出原式的值．解答：解：：∵cosB=，B为三角形内角，∴sinB==．∵a=10，△ABC的面积为42，∴ac•sinB=42，即3c=42，解得：c=14，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=100+196﹣224=72，即b=6．再由正弦定理可得===10，∴b+=16，故选：B．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．12．已知曲线C：y=（﹣2≤x≤0）与函数f（x）=log a（﹣x）及函数g（x）=a﹣x（其中a＞1）的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+x22的值为( ) A．16 B．8 C．4 D．2考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数与反函数，以及圆关于y=x对称，推出A，B的坐标关系，然后求出所求表达式的值．解答：解：因为函数f（x）=log a（﹣x）和g（x）=a﹣x（其中a＞1）是互为反函数，图象关于y=﹣x对称，又圆也关于y=﹣x对称，所以圆C：x2+y2=4与函数f（x）=log a（﹣x）和g（x）=a﹣x（其中a ＞1）的图象，如图所示在第二象限的交点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），满足y1=﹣x2，y2=﹣x1，所以x12+x22=4．故选：C点评：本题主要考查了反函数的性质，关于直线y=﹣x对称，关键是求出点在第二象限，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线y=x2+1与直线x=0，x=1及x轴所围成的图形的面积是．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定积分公式中x的取值范围，根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可解答：解：由题意，S=（x2+1）dx=（）=，故答案为：．点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．14．﹣=﹣4．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：将所求关系式通分，利用三角恒等变换与二倍角的正弦即可求得答案．解答：解：原式=﹣====﹣4，故答案为：﹣4．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．15．函数y=sinx+cosx+sinxcosx，（x∈R）的值域是．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：令t=sinx+cosx∈，则函数即y═（t+1）2﹣1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．解答：解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈，则有 t2=1+2sinxcosx，故函数y=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t+1）2﹣1，∴当t=﹣1时，函数取得最小值为﹣1，当t=时，函数取得最大值为+，故函数的值域为，故答案为：．点评：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．16．设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．解答：解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx﹣sinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2．由，得a2+a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0．令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2，则m∈，．∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4，．当m﹣n=时，m+n=0，又=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围，是有一定难度题目．四、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=l，且，求角B．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）通过已知表达式，利用正弦定理，以及三角形的内角和，转化sinB=sin（A+C），通过两角和的正弦函数，化简可求A的余弦值，即可求角A；（Ⅱ）利用a=l，以及，通过正弦定理，三角形的内角和，转化方程只有B的三角方程，结合B的范围，求角B．解答：解：（Ⅰ）由，可得sinAcosC+sinC=sinB．而sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．可得sinC=cosAsinC，sinC≠0，所以=cosA，A∈（0，π），所以A=；（Ⅱ）因为a=l，由，即，由正弦定理得sinC﹣2sinB=sinA，∵A=C=，∴sin（）﹣2sinB=，整理得cos（B+）=，∵，∴B+∈∴B+=，所以B=．点评：本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，三角形的内角和以及三角函数值的求法，考查计算能力．18．已知函数y（x）=cosx•sinx（x+）﹣cos2x+，．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）的值域．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换把函数f（x）转化成正弦型函数f（x）=，分析：进一步利用整体思想求出单调递增区间．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，进一步利用定义域求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）+=cosx﹣cos2x+=sinxcosx+﹣==则：（k∈Z）解得：（ k∈Z）单调增区间为：x∈（ k∈Z）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x所以：即：f（x）故答案为：（Ⅰ）x∈（ k∈Z）（Ⅱ）f（x）点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型三角函数的单调区间，根据定义域求正弦型三角函数的值域．19．已知x=﹣2和x=1为函数f（x）=x2e x﹣1+ax3+bx2（a，b∈R）的两个极值点．（1）求a和b的值（2）设g（x）=，比较f（x）和g（x）的大小．考点：利用导数研究函数的极值；函数单调性的性质．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）根据题意，求出f（x）的导函数，令导函数在﹣2，1处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．（2）求出f（x）﹣g（x）的解析式，将差因式分解，构造函数h（x），利用导函数求出h（x）的最小值，判断出差的符号，判断出f（x）与g（x）的大小关系．解答：解：（1）f'（x）=2xe x﹣1+x2e x﹣1+3ax2+2bx=xe x﹣1（x+2）+x（3ax+2b），由x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，得即解得（2）由（1）得f（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2，故f（x）﹣g（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2﹣（）=x2（e x﹣1﹣x）．令h（x）=e x﹣1﹣x，则h'（x）=e x﹣1﹣1．令h'（x）=0，得x=1．h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）h'（x）﹣0 +h（x）↘0 ↗由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（﹣∞，+∞）时，h（x）≥h（1），也就是恒有h（x）≥0．又x2≥0，所以f（x）﹣g（x）≥0，故对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0；考查利用导数判断函数的单调性、考查通过导数求函数的最值进一步证明不等式．属于中档题．20．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，C=，a+b=λc，（λ＞1）（Ⅰ）若λ=，求证：△ABC为直角三角形（Ⅱ）若S△ABC=，且c=3，求λ．考点：三角形的形状判断；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）依题意，a+b=λc=c，又△ABC中，C=，利用余弦定理可得a2+b2+2ab=3c2=3（），继而可求得a=2b或b=2a，于是易判断△ABC为直角三角形；（Ⅱ）S△ABC=absin=⇒ab=λ2①，又c=3，a+b=3λ②，利用余弦定理可得λ2=4，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵λ=，∴a+b=λc=c，又△ABC中，C=，∴a2+b2+2ab=3c2=3（），∴（a﹣2b）（2a﹣b）=0，∴a=2b或b=2a，当a=2b时，c=a+b=3b，c=b，b2+c2=b2+3b2=4b2=a2，故△ABC为直角三角形；当b=2a时，同理可得，a2+c2=b2，故△ABC为直角三角形；综上所述，λ=时，△ABC为直角三角形．（Ⅱ）∵S△ABC=absin=，∴ab=λ2①，又c=3，∴a+b=3λ②，∴9=c2=a2+b2﹣2abcos=3c2=（a+b）2﹣3ab=9λ2﹣3×λ2=λ2，∴λ2=4，λ＞0，故λ=2．点评：本题考查三角形形状的判断，突出考查余弦定理与整体代换的思想，考查综合运算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=﹣2ax+lnx（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性（2）若，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞b（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对任意1＜a＜2恒成立，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数判断函数的单调性，f′（x）=ax﹣2a+=，对a分类讨论即可得出结论；（2）由（1）中a的范围可判断f（x）在（0，x1），（x1，x2），（x2，+∞）上的单调性及x2=1+＜1+，可得f（x）在单调性，从而可求f（x）max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．通过研究函数g（a）=ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1的单调性可求．解答：解：（1）∵f（x）=﹣2ax+lnx（a≠0）．∴f′（x）=ax﹣2a+=，由ax2﹣2ax+1=0，解得x1=，x2=，∴当a＞0时，f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，当a＜0时，f（x）在（0，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减．（2）由ax2﹣2ax+1=0，解得x1=，x2=，而f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增∵1＜a＜2，∴x2=1+＜1+，∴f（x）在单调递增，∴在上，f（x）max=f（2）=﹣2a+ln2．∴∃x0∈，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞b（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对∀a∈M恒成立，等价于不等式﹣2a+ln2+ln（a+1）＞b（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2恒成立，即不等式ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．令g（a）=ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1，则g（1）=0，g′（a）=，①当b≥0时，g′（a）=＜0，g（a）在（1，2）上递减．g（a）＜g（1）=0，不合题意．②当b＜0时，g′（a）=，∵1＜a＜2若﹣（1+）＞1，即﹣＜b＜0时，则g（a）在（1，2）上先递减，∵g（1）=0，∴1＜a＜2时，g（a）＞0不能恒成立；若﹣（1+）≤1，即b≤﹣时，则g（a）在（1，2）上单调递增，∴g（a）＞g（1）=0恒成立，∴b的取值范围为（﹣∞，﹣]．点评：本题主要考查了函数的导数的应用：函数的单调性及函数的最值中的应用，要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用，属于难题．五、请在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D 两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；（2）求．考点：弦切角；与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）根据弦切角定理，推导出△ABC∽△DBA，由此能求出AB的长．（2）根据切割线定理，推导出△ABC∽△DBA，得，，由此能求出．解答：解：（1）根据弦切角定理，知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，∴△ABC∽△DBA，则，故．…（2）根据切割线定理，知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，两式相除，得（*）由△A BC∽△DBA，得，，又，由（*）得．…点评：本题考查线段长的求法，考查两线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式：1≤f（x）+f（x﹣1）≤2；（2）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥1，故只须解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2即可，通过对x分x≤1，1＜x≤2，x＞2三类讨论，去掉绝对值符号，解之即可；（2）当a＞0时，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），从而可证结论．解答：解：（1）由题f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1．因此只须解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2．…当x≤1时，原不式等价于﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，原不式等价于1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，原不式等价于2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上，原不等式的解集为{x|≤x≤}．…（2）由题f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|．当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|=f（a）．…点评：本题考查：绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
内蒙古内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学高二10月
3、已知，则的等比中项为 （ ）A 、3B 、±3C 、-3D 、94、等比数列中，，，则等于 （ ）A 、70B 、40C 、30D 、905、若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,，则B 等于（ ）A 、B 、C 、D 、或6、在等差数列中，已知，则该数列的前11项和= （ ）A 、58B 、88C 、143D 、1767、在等差数列中,若468101290a a a a a ++++=，则的值为 （ ） A 、12 B 、14 C 、16 D 、188、若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,若A a B c C b sin cos cos =+,则△ABC 的形状为 （ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不确定9、钝角三角形ABC 的面积是，AB=1，BC=,则AC= ( )A 、5B 、C 、2D 、110、已知等差数列的前n 项和为，则数列的前100项和为（ ）A 、B 、C 、D 、11、已知数列的通项公式为22lg 1,1,2,3,3n a n n n ⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭,是数列的前n项和，则= （ ）A 、0B 、C 、D 、12、设121sin ,.25n n n n a S a a a n π==+++在中，正数的个数是（ ）A 、25B 、50C 、75D 、100第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、在等比数列中，首项为，公比为，前n 项和为，且， _________14、已知为等差数列中，121011122015,20a a a a a a +++=+++=，则 212230____________a a a +++=15、在△ABC 中，∠A=60°,b=1, ,=_____16、设为数列的前ｎ项和，()*11,2n n n n S a n N =--∈，则 12100_________.S S S +++=三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、数列为首项为、公差为的等差数列,且161718936,36a a a a ++=-=-,其前n 项和为.（1）求数列的首项及公差.（2）求的最小值，并求出取得最小值时n 的值.18、已知等比数列，若，，求.19、设的内角A,B,C 所对的边分别为,且, , ,（1）求的值；（2）求sin(A+B)的值.20、在数列中，).2(322,311*-∈≥++=-=N n n a a a n n n 且（1）求的值;（2）设，证明：是等差数列.21、在中，分别为角A,B,C 的对边，且满足.（1）求角A 的值；（2）若，设角B 的大小为x ，的周长为y ，求y=f(x)的最大值.22、已知：数列的前n 项和为，且满足，.,4,3,2,0,27 =≠=n a a n（1）设，求,并判断数列是否为等差数列，说明理由;（2）求数列的前项的和.。
内蒙古北方重工三中2015届高三数学上学期期中试卷理(含解析)
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=( )A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由已知的等式利用复数代数形式的乘除运算求出，得到z，再由复数代数形式的乘法运算求得答案．解答：解：∵（1﹣i）=2，∴，则z=1﹣i．∴25=（1﹣i）5=（1﹣i）4（1﹣i）=﹣4（1﹣i）=﹣4+4i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=( )A．D．（0，11]考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域求得A，再根据一次函数的定义域求出它的值域，可得B，从而求得A∩B．解答：解：∵A={x|log2（x﹣4）＜1}={x|0＜x﹣4＜2}={x|4＜x＜6}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}={x|﹣10≤x≤11，∴A∩B=（4，6），故选：B．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．3．已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：求得sin（2x+φ）向左平移个单位后的解析式，利用正弦函数的对称性可得φ的最小值．解答：解：∵y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得：g（x）=f（x+）=sin（2x+φ+），∵g（x）=sin（2x+φ+）的图象关于y轴对称，∴g（x）=sin（2x+φ+）为偶函数，∴φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z．∵φ＞0，∴φmin=．故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得函数图象平移后的解析式是关键，考查综合分析与运算能力，属于中档题．4．下列各式中最小值为2的是( )A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可判断出．解答：解：A．∵，∴sinx∈（0，1），∴=2，因此无最小值．B.=+＞2，因此无最小值；C．e x+e﹣x=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值为2．D．x＜0时，＜2，最小值不可能是2．综上可得：只有C满足题意．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质，使用时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题．5．已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ) A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：我们可以画出满足条件，的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数a的方程，即可得到a的取值．解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选B．点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），即可求出参数的值．6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为( )A．B．4 C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将则中的向量分别用三角形的三边对应的向量表示，结合已知，可得．解答：解：===，其中=0，=4×5×=16，=5×3×（﹣）=﹣9，=25，所以=×16﹣×（﹣9）﹣=；故选C．点评：本题考查了向量的三角形法则和数量积的运算；在运用数量积的定义求数量积时，注意向量的夹角．8．已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则( )A．f（﹣5）＞f（﹣3）B．f（﹣7）＜f（﹣3）C．f（﹣2）＞f（﹣3）D．f（﹣8）＞f（0）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x﹣4）为偶函数，f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，将f（﹣3），f （﹣2），f（0）都变到单调增区间（﹣∞，﹣4）上再根据增函数的定义比较大小即可．解答：解：∵y=f（x﹣4）为偶函数；∴f（﹣3）=f（1﹣4）=f（﹣1﹣4）=f（﹣5）；f（﹣2）=f（2﹣4）=f（﹣2﹣4）=f（﹣6）；f（0）=f（4﹣4）=f（﹣4﹣4）=f（﹣8）；又f（x）在（﹣∞，﹣4）为增函数；∴f（﹣5）=f（﹣3）；f（﹣7）＜f（﹣5），即f（﹣7）＜f（﹣3）；f（﹣6）＜f（﹣5），即f（﹣2）＜f（﹣3）；f（﹣8）=f（0）；∴B正确．故选B．点评：考查偶函数、增函数的定义，以及将自变量的值变到单调区间上再比较函数值大小的方法，以及对偶函数定义的理解及运用．9．若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=( )A．B．C．cos2βD．sin2α考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：根据β=α+30°，结合两角和的余弦公式代入化简，再用同角三角函数的平方关系，即可得到原式的值，得到正确答案．解答：解：∵β=α+30°，∴cos2β=（cosαcos30°﹣sinαsin30°）2=cos2α﹣sinαcosα+sin2αsinαcosβ=sinαcos（α+30°）=sinα（cosαcos30°﹣sinαsin30°）=sinαcosα﹣sin2α∴sin2α+cos2β+sinαcosβ=sin2α+（cos2α﹣sinαcosα+sin2α）+（sinαcosα﹣sin2α）=sin2α+cos2α+sin2α﹣sin2α=sin2α+cos2α=（sin2α+cos2α）=故选B点评：本题将一个三角函数式化简，再求它的值，着重考查了两角和的余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．10．已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足（n∈N*，且n≥2），则a81=( ) A．638 B．639 C．640 D．641考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：等式两边同除以，可得}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而得到S n=4n2﹣4n+1，利用n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可求得结论．解答：解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选C．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意求解通项公式的方法技巧．11．对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：绝对值三角不等式；函数最值的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．解答：解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈，y∈成立．故选：C．点评：本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．12．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为( )A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}考点：函数单调性的性质；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．解答：解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=0．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性可知f（x）=f（﹣x）或f（x）+f（﹣x）=0，从而求a．解答：解：∵f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，∴f（x）=f（﹣x）或f（x）+f（﹣x）=0，∴a=0，故答案为：0．点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．14．在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为等腰直角三角形（填形状）考点：三角形的形状判断．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：首先根据函数关系式的变换求出tanC=1，进一步求出C的大小，再利用三角形内角和定理求出结果．解答：解：在△ABC中，sinB=cosCsin（A+C）=cosC若A=，则：tanC=10°＜C＜135°C=45°所以：有三角形内角和定理得：B=90°所以：△ABC为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，三角形内角和定理的应用．15．已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．点评：本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，三角函数的求值与化简．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，知S n+1=2n﹣1，（S1+1）=2n﹣1（a1+1），S n﹣1+1=2n﹣2（a1+1），故a n=2n﹣2（a1+1），n≥2，由此能求出a n=2n﹣1．（2）由a n=2n﹣1，知na n=n×2n﹣1，故T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，由此利用错位相减法能求出数列{na n}的前n项和T n．解答：解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，∴S n+1=2n﹣1（S1+1）=2n﹣1（a1+1）①S n﹣1+1=2n﹣2（a1+1）②①﹣②得a n=2n﹣2（a1+1），n≥2a2=a1+1，a3=2（a1+1）a2是a1和a3的等比中项，故a22=a1a3，（a1+1）2=a1•2（a1+1），解得a1=1，（a1=﹣1则a2=0不合题意舍去）故a n=2n﹣1．（2）由a n=2n﹣1，知na n=n×2n﹣1，∴T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，②②﹣①得T n=n×2n﹣=n×2n﹣=n×2n﹣2n+1．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（Ⅲ）因为存在x1，x2∈，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在上递减，在上递增，所以当x∈时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）点评：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．考点：圆的切线方程；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（I）连接OD，△AOD是等腰三角形，结合，∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE可得结论．（II）过D作DH⊥AB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，由△AED≌△AHD和△AEF∽△DOF 推出结果．解答：（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE又AE⊥DE∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x又由△AEF∽△DOF可得∴点评：本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．解答：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，即有ρsinθcos+ρcosθsin=4，即为直线x+y﹣8=0；（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，则d==，则当sin（）=1，此时α=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．。
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学高三数学12月月考试卷 文
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2015届高三数学12月月考试卷 文3.设向量b a ,21,1-=⋅b a （ ）（A （B （C （D 4.双曲线方程为1222=-y x ，则它的右焦点坐标为（ ）A.)0,22(B.)22,0(C.)0,26(D.)26,0( 5.若)2,0(πα∈，且412cos sin 2=+αα，则αtan 的值等于（ ） A.22 B.33 C.2 D.36.函数)sin(2)(ϕω+=x x f ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是( )．A ．4，π6-B ．4，π3C ．2，π6-D ．2，π3-7.已知数列{}n a 为等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +等于（ ）A.3-B.3C.3±D.33-8．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标出 的尺寸（单位：cm ），则此几何体的所有侧面的面积中最大的是（ ）A. 3B．3C．3D．39.已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为( ) A ．22(1)(1)2x y ++-= B.22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D.22(1)(1)2x y +++=10.已知椭圆C ；)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点，连结AF,BF.若|AB|=10，|BF|=8，54cos =∠ABF ，则C 的离心率为（ ） A. 54 B. 76 C. 53 D.7511.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A-BCD ，则四面体A-BCD 的外接球的体积为（ ） A.3125π B. 6125π C.9125π D.12125π12．已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必须作答。
内蒙古重工三中2016-2017学年高一(上)10月月考数学试卷
2016-2017学年内蒙古重工三中高一（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．已知集合A=0，2﹣1，1﹣1，2 D．﹣2，2﹣2，2，则y=t2﹣10t﹣4的值域为（）A．﹣20，﹣4﹣29，﹣20﹣29，﹣4）9．对于函数f（x）=ax3+bx+c（a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和210．已知函数f（n）=k，（n∈N*），k是小数点后第n位数字，=1.414213562…，则=（）A．1 B．2 C．4 D．611．对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x ﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知函数f（x）=﹣2x2+mx+1在区间上是单调函数，则实数m的取值范围为．14．已知A={x|1＜x＜2}，B={x|2a＜x＜a+1}且，则a的取值范围是．15．已知函数f（x）=，若f（b）=，则b=．16．已知函数f（x）=x2﹣|x|+a，若存在x1，x2，x3，x4（x1，x2，x3，x4互不相同），使f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=1，则a的取值范围是．三．简答题（本大题共计6小题，共计70分）17．已知全集U=R，A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|1＜x≤3}，求：A∩B，A∪B，∁U A．18．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）的表达式是二次函数，且f （1）=0，f（3）=0，f（2）=﹣1．（1）求f（x），x∈（0，+∞）的表达式（2）画函数y=f（x），x∈R的图象（3）说出函数y=f（x），x∈（﹣5，﹣1f（x1）﹣f（x2）0，20，20，2x|﹣1≤x＜2}，B={x|x﹣a≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≥﹣1 C．a＞﹣1 D．a≥2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先将集合B化简，然后将集合A、B表示在同一数轴上，利用数轴求解．【解答】解：B={x|x﹣a≤0}={x|x≤a}，A=0，2﹣1，1﹣1，2 D．﹣1，1﹣2，2﹣2，2﹣2，2﹣2，2；故选：C．8．若函数t=f（x）的值域为（0，8﹣20，﹣4）B．C．D．可知f（x）∈（0，8，∴0≤（t﹣5）2＜25，∴﹣29≤（t﹣5）2﹣29＜﹣4，故选：D．9．对于函数f（x）=ax3+bx+c（a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】构造函数g（x）=ax3+bx，可判g（x）为奇函数，进而可得f（1）与f（﹣1）的和为偶数，综合选项可得答案．【解答】解：构造函数g（x）=ax3+bx，可得g（﹣x）=﹣g（x），故函数g（x）为奇函数，故有g（﹣1）=﹣g（1），故f（1）=g（1）+c，f（﹣1）=g（﹣1）+c，两式相加可得f（1）+f（﹣1）=g（1）+g（﹣1）+2c=2c故c=，又因为c∈Z，故f（1）与f（﹣1）的和除以2为整数，综合选项可知不可能为D故选D10．已知函数f（n）=k，（n∈N*），k是小数点后第n位数字，=1.414213562…，则=（）A．1 B．2 C．4 D．6【考点】函数的值．【分析】利用递推思想求出f（8）=6，f（f（8））=f（6）=3，f（f（f（8）））=f（3）=4，f（f（f（f（8））））=f（4）=2，f（f（f（f（f（8）））））=f（2）=1，f（f（f （f（f（f（8））））））=f（1）=4，再利用函数的周期性质能求出结果．【解答】解：∵函数f（n）=k，（n∈N*），k是小数点后第n位数字，=1.414213562…，∴f（8）=6，f（f（8））=f（6）=3，f（f（f（8）））=f（3）=4，f（f（f（f（8））））=f（4）=2，f（f（f（f（f（8）））））=f（2）=1，f（f（f（f（f（f（8））））））=f（1）=4，∴=f（1）=4．故选：C．11．对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．12．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16【考点】函数的值域．【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h （x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知函数f（x）=﹣2x2+mx+1在区间上是单调函数，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣416，+∞）．【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到不等式解出即可．【解答】解：∵对称轴x=，∴≤﹣1，或≥4解得：m≤﹣4，或m≥16，故答案为：（﹣∞，﹣416，+∞）．14．已知A={x|1＜x＜2}，B={x|2a＜x＜a+1}且，则a的取值范围是．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：由题意：A={x|1＜x＜2}，B={x|2a＜x＜a+1}∵，∴当B=∅时，满足题意，此时2a≥a+1，解得：a≥1．当B≠∅时，要满足题意，此时需要或，解得：，综上可得a的取值范围是．15．已知函数f（x）=，若f（b）=，则b=﹣或．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数的表达式以及已知条件列出方程求解即可．【解答】解：f（x）=，若f（b）=，当b≤﹣1时，b+2=，解得b=﹣，满足题意．当﹣1＜b＜2时，b2=，解得b=，满足题意．当b≥2时，2b=，解得b=，不满足题意．综上：b=﹣或．故答案为：﹣或．16．已知函数f（x）=x2﹣|x|+a，若存在x1，x2，x3，x4（x1，x2，x3，x4互不相同），使f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=1，则a的取值范围是（1，）．【考点】二次函数的性质．【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察有四个交点的情况即可得到．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得1．故答案为：（1，）三．简答题（本大题共计6小题，共计70分）17．已知全集U=R，A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|1＜x≤3}，求：A∩B，A∪B，∁U A．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由已知中全集U=R，A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|1＜x≤3}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|1＜x≤3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，A∪B={x|﹣1≤x≤3}，∁U A={x|x＜﹣1，或x≥2}．18．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）的表达式是二次函数，且f （1）=0，f（3）=0，f（2）=﹣1．（1）求f（x），x∈（0，+∞）的表达式（2）画函数y=f（x），x∈R的图象（3）说出函数y=f（x），x∈（﹣5，﹣1的值域为（﹣8，1f（x1）﹣f（x2）0，20，20，2f（x1）﹣f（x2）0，20，20，2g（t）0，0，322+4（t﹣）4﹣4（t﹣2）2﹣4（t﹣3）4﹣4（t﹣）0，20，20，20，a）上单调递减，在上单调递增，f（x）min=f（a）=4﹣a2；当a≥2时，f（x）在上单调递减，f（x）min=f（2）=8﹣4a；（2）对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立，即y max﹣y min＜4①当a≤0时，f（x）min=4，f（x）max=8﹣4a，∴8﹣4a﹣4＜4，∴a＞0不合题意②当0＜a＜1时，f（x）min=4﹣a2，f（x）max=8﹣4a，∴8﹣4a﹣（﹣a2+4）＜4，0＜a＜4，∴0＜a＜1；③当1≤a≤2时，f（x）min=4﹣a2，f（x）max=4，∴4﹣（﹣a2+4）＜4，∴﹣2＜a＜2，∴1≤a＜2；④当a≥2时，f（x）min=f（2）=8﹣4a，f（x）max=4∴4﹣（8﹣4a）＜4，∴a＜2不合题意；综上所述：0＜a＜2．2017年4月16日。
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内蒙古北方重工三中2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若复数z满足i（z﹣3）=﹣1+3i（其中i是虚数单位）则( )A．|z|=B．z的实部位3C．z的虚部位i D．的共轭负数为﹣6+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数z满足i（z﹣3）=﹣1+3i，∴==6+i．∴|z|==．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．已知△ABC在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+c=b，则角A( ) A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：通过已知表达式，利用正弦定理，以及三角形的内角和，转化sinB=sin（A+C），通过两角和的正弦函数，化简可求A的余弦值，即可求角A．解答：解：△ABC在中，由acosC+c=b利用正弦定理可得sinAcosC+sinC=sinB，而sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．可得sinC=cosAsinC，sinC≠0，所以=cosA，A∈（0，π），所以A=，故选：B．点评：本题考查正弦定理与两角和的正弦公式、诱导公式，三角形的内角和以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．3．若数列{a n}满足：a1=19，，则数列{a n}的前n项和数值最大时，n的值是( )A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先由题设条件求出a n=19+（n﹣1）×（﹣3）=22﹣3n，再由a n=22﹣3n≥0，得n，由此得到数列{a n}的前n项和数值最大时，n的值．解答：解：∵a1=19，，∴数列{a n}是首项为19，公差为﹣3的等差数列，∴a n=19+（n﹣1）×（﹣3）=22﹣3n，由a n=22﹣3n≥0，得n，∴数列{a n}的前n项和数值最大时，n的值是7．故选B．点评：本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．=（2，1），•=10，|+|=5，则||=( )A．B．C．5 D．25考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：=（2，1），•=10，|+|=5，||2+2•+||2=50，代入求解即可．解答：解：∵=（2，1），•=10，|+|=5，∴|+|2=（5）2，即||=，∴||2=25，即||=5，故选：C点评：本题考查了向量的运算，运用求解向量的长度问题．5．已知函数f（x）=Mcos（ωx+ϕ）（M＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC=BC=，∠C=90°，则=( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的奇偶性求出φ的值，由点C的坐标为求得M，由周期求出ω，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：∵函数f（x）=Mcos（ωx+ϕ）（M＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）为奇函数，∴ϕ=，∴f（x）=Mcos（ωx+）=﹣Msinωx，再根据AC=BC=，∠C=90°，可得AB=1，点C的坐标为，∴M=，由T=2AB=2=，求得ω=π，故f（x）=﹣sinπx，∴f（）=﹣sin=﹣，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由函数的奇偶性求出φ的值，属于基础题．6．已sin（﹣x）=，则sin2x的值为( )A．B．C．D．±考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用角之间的关系将sin2x化为cos2x，再利用二倍角公式求解．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（）=1﹣2×=；故选C．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用．7．函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．8．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由题意可得，，代入=（）•（）=，整理可求解答：解：∵AM=AB，AB=2，AD=1，∠A=60°，∴∴=（）•（）===1+×4=1故选B点评：本题主要考查了向量得数量积的基本运算、向量的加法的应用，属于向量知识的简单应用．9．已知数列{a n}是等差数列，且a3+a6=5，数列{b n}是等比数列，且b5=，则b2•b8=( )A．1 B．5 C．10 D．15考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，可得a3+a6=2a1+7d=5，而b5==，由等比数列的性质可得b2•b8=，可得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∴a3+a6=a1+2d+a1+5d=2a1+7d=5，∴b 5=====，∴b2•b8==15故选：D点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，得出b5是解决问题的关键，属中档题．10．已知△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cosB==42，则b+=( )A．B．16 C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinB以及已知面积代入求出b的值，利用正弦定理求出的值，即可确定出原式的值．解答：解：∵cosB=，∴sinB==，∵S△ABC=acsinB=42，a=10，∴c=14，由余弦定理得：b2=100+196﹣224=72，即b=6，由正弦定理===10，则b+=16．故选：D．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．11．已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足（n∈N*，且n≥2），则a81=( )A．638 B．639 C．640 D．641考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：等式两边同除以，可得}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而得到S n=4n2﹣4n+1，利用n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可求得结论．解答：解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a 1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选C．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意求解通项公式的方法技巧．12．函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为( )A．（0，e）B．（1，e）C．D．考点：指、对数不等式的解法；奇偶性与单调性的综合．专题：不等式的解法及应用．分析：首先判断函数为偶函数，利用导数求得函数在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，所给的不等式等价于﹣1＜lnx＜1，解对数不等式求得x的范围，即为所求．解答：解：∵函数f（x）=xsinx+cosx+x2，满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）+cos（﹣x）+（﹣x）2=xsinx+cosx+x2=f（x），故函数f（x）为偶函数．由于f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），当x＞0时，f′（x）＞0，故函数在（0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，0）上是减函数．不等式f（lnx）＜f（1）等价于﹣1＜lnx＜1，∴＜x＜e，故选C．点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，利用导数研究函数的单调性，对数不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共5×4=20分）13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c．若b2+c2﹣bc=a2，且，则角C=90°．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：根据余弦定理及b2+c2﹣bc=a2可求得cosA，进而求得A．又根据正弦定理及且可求得sinB，进而求得B．最后根据三角形内角和求得C．解答：解：根据余弦定理cosA=∵b2+c2﹣bc=a2∴b2+c2﹣a2=bc∴cosA=∴A=60°根据正弦定理==∴sinB=∴B=30°或150°∵＞1∴b＜a∴B＜A∴B=30°∴C=180°﹣A﹣B=90°故答案为90°点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．14．已知函数f（x）=（x2﹣ax+3a）在．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t（x）=x2﹣ax+3a 由题意可得t（x）=x2﹣ax+3a 在故答案为：（﹣4，4]．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），∴=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）．∴=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．，=2．∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．16．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，满足a n+2=，则数列{a n}的通项公式a n=10﹣9•．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得{a n+1﹣a n}是首项为3，公比为的等比数列，从而a n+1﹣a n=3×（）n﹣1，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式a n．解答：解：∵a n+2=，∴3a n+2=5a n+1﹣2a n，∴3（a n+2﹣a n+1）=2（a n+1﹣a n），∴=，又a2﹣a1=3，∴{a n+1﹣a n}是首项为3，公比为的等比数列，∴a n+1﹣a n=3×（）n﹣1，∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+3=1+3×=1+9=10﹣9•．故答案为：10﹣9•．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．三、解答题（17～21题每小题12分，共60分，22题10分，共70分）17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…），设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．点评：本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．18．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．解答：解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．19．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）=msin2x+ncos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+）设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x，进一步求得单调区间．解答：解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）则：单调递增区间为：（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：（k∈Z）点评：本题考查的知识要点：向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+（﹣1）n（n∈N*）（1）求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；（2）求证：数列为等比数列，并求出{a n}的通项公式．考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于，令n=1，n=2，n=3即可得出；（2）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简并整理可得，利用等比数列的定义即可证明．解答：解：（1）对于，令n=1，可得a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1．令n=2，则a1+a2=S2=2a2+1，把a1=1代入解得a2=0．令n=3，则a1+a2+a3=S3=2a3﹣1，把a1=1，a2=0代入解得a3=2．（2）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为．∴，∴数列是首项为=，2为公比的等比数列．∴．∴．点评：本题考查了“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”、等比数列的定义及其通项公式等基础知识与基本方法，属于基础题．21．已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈，由导数法可得函数的零点，可得不等式．解答：解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈时，化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1=（π﹣x）+﹣1，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈，求导数可得u′（t）=，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈点评：本题考查线段长的求法，考查两线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式：1≤f（x）+f（x﹣1）≤2；（2）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥1，故只须解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2即可，通过对x分x≤1，1＜x≤2，x＞2三类讨论，去掉绝对值符号，解之即可；（2）当a＞0时，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax ﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），从而可证结论．解答：解：（1）由题f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1．因此只须解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2．…当x≤1时，原不式等价于﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，原不式等价于1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，原不式等价于2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上，原不等式的解集为{x|≤x≤}．…（2）由题f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|．当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|=f（a）．…点评：本题考查：绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。