2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(天津卷,解析版)

2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）一、选择题1．已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =（ ） （A ）}3,1{ （B ）}2,1{ （C ）}3,2{ （D ）}3,2,1{ 【答案】A【解析】试题分析：{1,3,5},{1,3}B A B == ,选A. 【考点】集合运算2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ） （A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31【答案】A【解析】试题分析：甲不输概率为115.236+=选A. 【考点】概率3．将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B 【考点】三视图4．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x 【答案】A【解析】试题分析：由题意得2212,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，选A. 【考点】双曲线渐近线5．设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C【考点】充要关系6．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）（A ）)21,(-∞ （B ）),23()21,(+∞-∞ （C ）)23,21( （D ）),23(+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<，故选C 【考点】利用函数性质解不等式7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】试题分析：设BA a = ，BC b = ，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==- ，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+ ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+= ，故选B.【考点】向量数量积8．已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0( 【答案】D【解析】试题分析：1cos sin 1()x )2224x x f x ωωπω-=+-=-，()0sin(x )04f x πω=⇒-=，所以4(,2),(k z )k x ππππω+=∉∈，因此115599115115(,)(,)(,)(,)(,)(0,][,]848484848848ωω∉=+∞⇒∈ ，选D.【考点】解简单三角方程二、填空题9．i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______. 【答案】1【解析】试题分析：2(1)211i z z i i+=⇒==-+，所以z 的实部为1 【考点】复数概念10．已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】3【解析】试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f ''=∴=【考点】导数11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为_______.【答案】4【解析】试题分析：第一次循环：8,n 2S ==；第二次循环：2,n 3S ==；第三次循环：4,n 4S ==；结束循环，输出 4.S = 【考点】循环结构流程图12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+=【解析】试题分析：设(,0),(0)C a a >2,3a r =⇒===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【考点】直线与圆位置关系13．如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】3【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x=，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB是直径，则BC ==AD =BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =，即1x=，解得x =【考点】相交弦定理14．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】12[,)33【解析】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，所以12132,1637a a a <-≤⇒>≥，因此a 的取值范围是12[,)33【考点】函数综合三、解答题15．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =. （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若1cos A 3=，求sinC 的值.【答案】（Ⅰ）6π=B【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sin sin cos A B B A ,再根据三角形内角范围化简得23cos =B ，6π=B （Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为π，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解 试题解析：（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由Bb A a sin sin =，可得A b B a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，得6π=B ；（Ⅱ）解：由31cos =A 得322sin =A ，则)sin()](sin[sinB A B AC +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A 【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理16．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.（Ⅰ）用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润y x z 32+=，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润试题解析：（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)（Ⅱ）解：设利润为z 万元，则目标函数y x z 32+=，这是斜率为32-，随z 变化的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距，当3z 取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大.解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以112243202max =⨯+⨯=z .答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.(2)【考点】线性规划17．如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：FG||平面BED ；（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED ；（Ⅲ）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）65【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取BD 的中点为O ，可证四边形OGFE 是平行四边形，从而得出OE FG //（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出090=∠ADB ，即AD BD ⊥（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点A 作DE AH ⊥于点H ，则⊥AH 平面BED ，从而直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.再结合三角形可求得正弦值试题解析：（Ⅰ）证明：取BD 的中点为O ，连接OG OE ,，在B C D ∆中，因为G 是BC的中点，所以DC OG //且121==DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又⊄FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，所以//FG 平面BED .（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ；平面 AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED . （Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35s i n =∠A D E ，因此35s i n =∠⋅=A D E AD AH ，在A H B Rt ∆中，65s i n ==∠AB AH ABH ，所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为65【考点】直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 18．已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）12-=n n a （Ⅱ）22n【解析】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由2111211q a q a a =-解得1,2-==q q ，分别代入631)1(61=--=qq a S n 得1-≠q ，11=a （Ⅱ）先根据等差中项得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，再利用分组求和法求和：2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-试题解析：（Ⅰ）解：设数列}{n a 的公比为q ，由已知有2111211qa q a a =-，解之可得1,2-==q q ，又由631)1(61=--=qq a S n 知1-≠q ，所以6321)21(61=--a ，解之得11=a ，所以12-=n n a .（Ⅱ）解：由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n项和为nT ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-【考点】等差数列、等比数列及其前n 项和19．设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）4±【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||cOF OA FA +=，得113()c c a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）设直线的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ，由方程组221,43(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243Bky k -=+， 由（Ⅰ）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =- ，2229412(,)4343k kBF k k -=++ ， 由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅= ，所以222124904343Hky k k k -+=++， 解得29412H k y k -=，因此直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+，设(,)M M M x y ，由方程组2194,12(2),k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2220912(1)M k x k +=+， 在MAO ∆中，MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即2222(2)M MMMx y x y -+=+，化简得1M x =，即22209112(1)k k +=+，解得k =或k =，所以直线l的斜率为k =或k =. 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 20．设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【答案】（Ⅰ）递减区间为(，递增区间为(,-∞，()+∞.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：2()3f x x a '=-，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得200()30f x x a '=-=即203ax =，再由)()(01x f x f =化简可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，11≤-<≤，②当334a ≤<时，3332311≤-<<<≤，③当304a <<时，32311-<<<.试题解析：（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，令()0f x '=，解得x =x = 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为(,33-，单调递增区间为(,3-∞-，()+∞. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠.由题意得200()30f x x a '=-=，即203a x =， 进而300002()3af x x ax b x b =--=--， 又3000000082(2)822()33a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足10()()f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-， 所以10+2=0x x .（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：①当3a ≥时，11≤-<≤，由（1） 知()f x 在区间[1,1]-上单调递减， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(1),(1)]f f -，因此，max{[(1),(1)]}max{|1|,|1|}M f f a b a b =-=---+-max{|1|,|1|}a b a b =-+--1,0,1,0,a b b a b b --≥⎧=⎨--<⎩所以1||2M a b =-+≥.②当334a ≤<时，113333-≤-<-<<≤由（1）和（2） 知(1)(f f f -≥=，(1)(f f f ≤=，所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(f f ，所以max{|(|,|(|}max{||,||}33f f b b -=231max{||,||}||944b b b ==≥⨯=.③当304a <<时，11-<<<，由（1）和（2）知，(1)(f f f -<=，(1)(f f f >=， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(1),(1)]f f -，因此，max{[(1),(1)]}max{|1|,|1|}M f f a b a b =-=-+---max{|1|,|1|}a b a b =-+--11||4a b =-+>. 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[1,1]-上的最大值不小于14. 【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。