解决方法题型
四上数学 《解决问题》常考题型
四上数学•《解决问题》常考题型1．兴华小区新建了20栋楼房，每栋6层，每层12户。
新建的楼房可以住多少户？20×6×12＝1440（户）答：新建的楼房可以住1440户。
2．一辆洒水车，每分钟行驶250米，洒水的宽度是8米。
洒水车行驶13分钟，能给多大的地面洒上水？250×13×8＝26000（平方米）答：能给26000平方米的地面洒上水。
3．某商场举行促销活动，一种袜子买5双送1双。
这种袜子每双5元，张阿姨买了18双，花了多少钱？18÷（5＋1）×5＝15（双）15×5＝75（元）答：买18双袜子花费75元。
4．图书馆新增了12个书架，每个书架有5层，平均每层可以放68本书。
新增的书架共可以放多少本书？68×5×12＝4080（本）答：新增的书架共可以放4080本书。
5．一个平行四边形的一条边长是14厘米，它的邻边比它短2厘米，这个平行四边形的周长是多少厘米？14﹣2＝12（厘米）（14+12）×2＝52（厘米）答：这个平行四边形的周长是52厘米。
6．一辆洒水车，它的洒水宽度是14米，每分钟行驶200米。
一条路长3500米，宽14米，如果两辆这种洒水车同时工作，10分钟后能给这条路的表面都散上水吗？200×2×10＝4000（米）4000米＞3500米答：10分钟后能给这条路的表面都散上水。
7．有甲、乙两列火车，甲火车长93米，每秒行驶21米；乙火车长126米，每秒行驶18米。
两车同向而行，开始时甲火车的车头与乙火的车尾相平。
经过多长时间后，甲火车的车尾与乙火车的车头相平。
（93＋126）÷（21－18）＝73（秒）答：经过73秒后，甲火车的车尾与乙火车的车头相平。
8．四年级师生去看儿童剧，去了108名学生和2位老师。
学生票每人12元，成人票每人18元，他们买票共需要多少钱？12×108＋18×2＝1296＋36＝1332（元）答：他们买票共需要1332元钱。
解决方法题型英语作文
解决方法题型英语作文英文回答：Problem:Identify the problem or issue that requires a solution. Clearly define the nature of the problem and its scope or impact.Solution:Propose a specific solution that addresses the identified problem. Explain how the solution would address the root causes of the problem and its potential consequences. Outline the steps involved in implementing the solution.Evaluation:Evaluate the pros and cons of the proposed solution.Consider its feasibility, potential benefits and drawbacks, and any unintended consequences. Discuss alternative solutions and explain why they were not selected.Recommendation:Provide a recommendation for the best course of action based on the evaluation of the proposed solution. Explain the rationale for the recommendation and address any potential objections.中文回答：问题：确定需要解决的问题或事项。
问题解决题型(problemssolutions)作文写作要领及模板
基本提纲模式：这类题目要求考生就题干中提出的问题进行阐述，并提出相应的解决方案或应对措施，全文可以用三段式结构呈现：第一段：描述现象，提出问题，简单分析原因；第二段：根据问题原因提出解决问题的方法、途径；第三段：提出自己的建议或者对问题进行评价总结。
如果写作要求中提出分析原因并提出解决方法，文章结构就参考cause-solution，一般格式如下：第一段：提出问题，说明其严重性或者有什么好的或者坏的影响；第二段:分析原因，写两三个原因出来；第三段:写解决问题的办法、措施。
问题解决型文章模板1Title文章标题In recent days, X X X has been a problem, which is becoming more and more serious. (说明问题及其现状) First, ________________. Second, ________________.(进一步阐释现状)We should take a series of effective measures to cope with the situation. For one thing, ________. For another thing, ________. Finally, ________.(列举解决该问题的方法) Personally, I believe that ________/Consequently, I’m confident tha t a bright future is awaiting us because ________.(结尾段：总结和评价，指出个人解决这个问题的信心及理由)问题解决型模板2：Title文章标题第一部分题：提出问题，进行描述。
①Nowadays one of the serious problems China is faced with is ___存在的问题___ .②_______(问题的描述).③To the best of my knowledge , several factors can be identified to account for this tragedy .第二部分：分析问题出现的原因④To begin with , _______(因素一).⑤Furthermore , _______(因素二).⑥Last but not the least , the fact that _______(因素三) is also responsible for this phenomenon .第三部分：解决方法和总结⑦From what has been discussed above , it is urgent that effective measures should be taken to resolve the problem .⑧In the first place , the government is supposed to _______(措施一).⑨In the second , it is crucial that the society and media enhance people’s awareness in environmental protection.⑩Onour part/On the part of parents/children , it issensible that we/they _______(从自身做起).⑪ Only by enforcing these measures, can we eventually solve the problem.。
微专题动量定理解决流体类问题
微专题：动量定理解决流体类问题题型一：液体、气体类解决方法：沿流速v 方向,任取一段流体，假设作用时间极短为Δt,流体横截面积为S ，密度为ρ，那么在极短时间内流体的长度：t L ∆⋅=v ,流体体积为：t S SL V ∆⋅==v ,流体质量为：t S V m ∆⋅==v ρρ根据动量定理：v m t F ∆⋅=∆⋅带入m 的值得：v S F ∆⋅=v ρ【例】如图所示，用高压水枪喷出的强力水柱洗车，设水柱截面半径为r ，水流速度大小为v 。
水柱垂直车窗，水柱冲击车窗后水的速度变为零，水的密度为ρ，水柱对车窗的平均冲击力大小为（ ）【解析】取Δt 时间内高压水枪喷出的水为研究对象，取喷出水的方向为正方向，根据动量定理解得，车窗对水柱的平均作用力为F =22r v πρ负号表示方向与正方向相反，根据牛顿第三定律，水柱对车窗的平均冲击力大小为22r v πρ。
故选D 。
题型二：粒子类（电子、光子、尘埃等）解决方法：沿流速v 方向,任取一段流体，假设作用时间极短为Δt,单位体积内粒子数目为n ，每个粒子的质量为m ，流体横截面积为S ，那么在极短时间内流体的长度：t L ∆⋅=v ,流体体积为：t S SL V ∆⋅==v ,流体内的粒子数目为：t S V N ∆⋅==v n n流体质量为：t S N M ∆⋅==vm n m根据动量定理：v M t F ∆⋅=∆⋅带入M 的值得：v vm n F ∆⋅=S【例】一宇宙飞船以v =1.0×104 m/s 的速度进入密度为ρ=2.0×107 kg/m 3的微陨石流中，如果飞船在垂直于运动方向的最大截面积为S =5m 2，且认为微陨石与飞船碰撞后都附着在飞船上。
为使飞船的速度保持不变，飞船的牵引力应为（ ）A ．100 NB ．200 NC ．50 ND ．150 N【解析】选在时间Δt 内与飞船碰撞的微陨石为研究对象，其质量应等于底面积为S ，高为v t ∆的直柱体内微陨石尘的质量，即 初动量为0，末动量为mv 。
一元二次方程销售问题及解决方法
一元二次方程销售问题及解决方法一、基础题型。
1. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。
设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。
- 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。
- 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？解析：- 由题意得，售价为(50 + x)元，销售量为(210-10x)件。
利润y=(50 + x - 40)(210-10x)=(10 + x)(210 - 10x)=2100+210x-100x - 10x^2=- 10x^2+110x + 2100。
因为每件售价不能高于65元，所以50+x≤slant65，即x≤slant15，又因为x≥slant0且x为正整数，所以0≤slant x≤slant15且x∈ Z。
- 对于二次函数y =-10x^2+110x + 2100，a=-10<0，对称轴为x =-(b)/(2a)=-(110)/(2×(- 10)) = 5.5。
因为x为正整数，且0≤slant x≤slant15，所以当x = 5时，y=-10×5^2+110×5+2100=- 250+550+2100=2400；当x = 6时，y=-10×6^2+110×6+2100=-360 + 660+2100=2400。
所以当售价定为50 + 5=55元或50+6 = 56元时，每个月可获得最大利润，最大利润是2400元。
2. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。
经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解析：设每千克水果应涨价x元，那么每千克水果盈利(10 + x)元，日销售量为(500-20x)千克。
说明文五大题型
说明文五大题型及回答方式如下：一、概念型提问方式：这个概念的含义是什么？回答模板：XXX是（解释概念的具体内容）例题：病毒是什么？二、特点型提问方式：请描述它的特点/优点/缺点？回答模板：它的特点是（具体列出特点）。
例题：太阳的特点是什么？三、原因型提问方式：为什么会产生这种现象？回答模板：这种现象的原因是（解释原因）。
例题：为什么会出现流星雨？四、方法型提问方式：解决这个问题的方法是什么？回答模板：解决这个问题的方法是（提出具体方案）。
例题：如何解决交通拥堵问题？五、流程型提问方式：请描述这个过程/步骤？回答模板：第一步（具体内容），第二步（具体内容）……，第三步（总结）。
例题：制作一个机器人的步骤是什么？回答：一、概念型这种题型主要考察学生对概念的理解程度，需要准确解释概念的核心要素。
回答时，可以先简要概述概念，再根据所学知识或生活经验，详细解释每个要点。
二、特点型特点型题型主要考察学生对事物或现象的观察和分析能力，需要准确把握事物的特点并加以描述。
回答时，可以用列举特征的方式来解释。
三、原因型原因型题型主要考察学生的逻辑思维和分析能力，需要仔细分析现象背后的原因并加以阐述。
回答时，可以先概述原因，再结合所学知识或生活经验进行详细解释。
需要注意的是，回答时要把握住题目的要求，不能遗漏关键信息。
四、方法型方法型题型主要考察学生的解决问题的能力，需要根据问题提出合理的解决方案。
回答时，可以先概述解决方案，再结合实际情况提出具体的建议或措施。
需要注意的是，提出的方案要具有可行性和有效性。
五、流程型流程型题型主要考察学生对过程或步骤的掌握程度，需要按照顺序描述过程或步骤并加以总结。
回答时，可以先概述过程或步骤，再按照顺序描述每个环节，最后进行总结。
需要注意的是，描述过程或步骤时要清晰明了，不能有遗漏或错误。
希望以上信息对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。
利用传统方法解决二面角问题(五大题型)(解析版)
利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角α-l -β的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ，作AO ⊥β于O ，过A 作AB ⊥c 于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，∠ABO 为二面角α-c -β的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A ，作AO ⊥β于O ；②过点(与①中是同一个点)做交线的垂线；即过A 作AB ⊥c 于B ，连接BO ；③计算：∠ABO 为二面角α-c -β的平面角，在Rt △ABO 中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos θ=S 射S 斜=S △A 'B 'C 'S △ABC，如图2)求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法1.(2024·高一·江西宜春·期末)如图(1)，六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD =∠ADC =90°，AB =AF =EF =ED =2,AD =CD =4，沿AD 进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且∠AEC =90°.(1)求证：CD ⊥平面ADEF .(2)求二面角C -AE -D 的余弦值；【解析】(1)在等腰梯形ADEF 中，作EM ⊥AD 于M ，则DM =AD -EF 2=1,AM =3,EM =3，可得AE =3+9=23，连接AC ，则AC =42，因为∠AEC =90°，可得EC =25，由ED 2+DC 2=EC 2，可得CD ⊥ED ，且CD ⊥AD ,AD ∩ED =D ，AD ,ED ⊂平面ADEF ，所以CD ⊥平面ADEF .(2)由(1)可知CD ⊥平面ADEF ，且AE ⊂平面ADEF ，可得CD ⊥AE ，且CE ⊥AE ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，可得AE ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，可得AE ⊥DE ，又AE ⊥CE ，可知∠CED 就是二面角C -AE -D 的平面角，在Rt △CDE ，可得cos ∠CDE =DE CE =225=55，所以二面角C -AE -D 的余弦值为55.2.(2024·高一·全国·随堂练习)如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径AB =2，点C 在AB上，且∠CAB =30°，点D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD(2)求二面角P -AC -O 的正弦值．【解析】(1)证明：连接PC ，则PC =PA ，因为点D 为AC 的中点，所以PD ⊥AC ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB =90°，所以AC ⊥BC ，因为O 为AB 的中点，D 为AC 的中点，所以OD ‖BC ，OD =12BC ，所以OD ⊥AC ，因为PD ∩OD =D ，PD ,OD ⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD ，(2)由(1)知PD ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以∠PDO 为二面角P -AC -O 的平面角，因为PO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ，所以PO ⊥OD ，因为∠ACB =90°，∠CAB =30°，AB =2，所以BC =12AB =1，所以OD =12BC =12，所以在Rt △POD 中，sin ∠PDO =OP PD =22+14=223,所以二面角P -AC -O 的正弦值为2233.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2 . 求：(1)求二面角B -PA -C 的大小．(2)求二面角A -PD -C 的大小.(3)求二面角B -PD -A 的大小的正弦值．【解析】(1)∵PA ⊥平面ABCD ，AB ，AC ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AB ,PA ⊥AC ,∴∠BAC 为二面角B -PA -C 的平面角，又∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC =45°，即二面角B -PA -C 的大小为45°；(2)作PD 的中点E ,PC 的中点F ,连接AE ,EF ,AF ,∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AD ,∵PA =AB ，∴△PAD 为等腰直角三角形，∵E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ,又∵PA ⊥CD ,AD ⊥CD ,PA ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴CD ⊥平面PAD ,∴CD ⊥PD ,∵E ,F 分别为PD 和PC 的中点，∴EF ⊥PD ,∴∠AEF 为二面角A -PD -C 的平面角，∵EF ⎳CD ,∴EF ⊥平面PAD ,∴EF ⊥AE ,∴∠AEF =90°,即二面角A -PD -C 的大小为90°；(3)连接BE ,BD ,∵PB =AP 2+AB 2=22,BD =AB 2+AD 2=22,∴PB =BD ,∴BE ⊥PD ,∴∠AEB 二面角B -PD -A 的大小的平面角，又∵PA ⊥AB ,AB ⊥AD ,AP ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥AE ,∵PD =2AP =22,∴ED =12PD =2,∴BE =BD 2-ED 2=6,∴sin ∠AEB =AB BE=63 ,即二面角B -PD -A 的大小的正弦值63.题型二：三垂线法1.(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC .(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；(2)设AB=PC=2，AC=1，求二面角B-PA-C的余弦值．【解析】(1)证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，∵PC∩AC=C，且PC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM⊥PA于M，连结BM，∵BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，∵BC∩CM=C，且BC，CM⊂平面BCM，∴PA⊥平面BCM，又BM⊂平面BCM，∴PA⊥BM，∴∠BMC为二面角B-PA-C的平面角，在Rt△BMC中，∵CM=25，BC=3，∴BM=45+3=195，则cos∠BMC=MCBM=25195=21919，∴二面角B-PA-C的余弦值为21919．2.(2024·高一·江苏南京·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：AC⊥面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)证明：设AC与BD交于点O，连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO⎳PA，又因为PA⊥底面ABCD，且BD、AC⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，PA⊥AC，又因为EO⎳PA，所以EO⊥BD，EO⊥AC，AC∩BD=O，所以EO⊥底面ABCD，又四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，则EO⊥AC，BD⊥AC，且EO∩BD=O，EO，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED；(2)过O作OF⊥AB于F，连接EF，由(1)知OE⊥底面ABCD，且FO、AB⊂底面ABCD，所以OE⊥AB，OE⊥FO，又EO∩FO=O，EO、FO⊂平面EOF，所以AB⊥平面EOF，又EF⊂平面EOF，所以AB⊥EF，即∠EFO为二面角E-AB-C的平面角，因为底面ABCD为菱形，AB=1，∠ABC=60°，所以△ABC是边长为1的等边三角形，则AO=12，FO=12sin60°=34，又PA=2，则EO=12PA=22，在直角三角形EOF中，EF=11 4，则cos∠EFO=FOEF=3311，所以sin∠EFO=22211，故所求二面角的正弦值为222 11．3.(2024·高二·江苏南京·阶段练习)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=4，E为AD的中点．(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；(2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．【解析】(1)由题意，因为四边形ABCD为菱形，所以DA=DC.连接AC.因为∠ADC=60°，所以△ADC为等边三角形，从而CA=CD.在△ADC中，E是AD的中点，所以CE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以CE⊥PA.∵PA∩AD=A，PA⊂面PAD，AD⊂平面PAD，CE⊄面PAD，∴EC⊥平面PAD.又CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD(2)由题意及(1)得，在平面PAD中，过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接CM.因为EC⊥平面PAD,PD⊂平面PAD，所以EC⊥PD.又EM∩CE=E, EM⊂平面EMC,CE⊂平面EMC，所以PD⊥平面EMC.又CM⊂平面EMC，所以PD⊥CM，从而∠EMC是二面角APDC的平面角．在Rt△EMD中，ED=2,∠ADP=45°，所以EM=MD= 2.在Rt△CMD中，MD=2，CD=4，所以CM=CD2-MD2=14.在Rt△CME中,CE=23,sin∠EMC=CECM =2314=427,所以二面角APDC的平面角的正弦值为42 7.题型三：射影面积法1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．【解析】因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，所以ΔPCD在平面PBA上的射影为ΔPAB．设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，所以cosθ=SΔPABSΔPCD=12a212a⋅2a=22，所以θ=45°．故平面PBA与平面PCD所成二面角的大小为45°．2.(2024·新疆和田·高一校考期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)证明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．【解析】(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD =AD ，∴由面面垂直的性质定理得，AB ⊥平面PAD ；(2)(法一)由题意，△PBD 在面PAD 上的射影为△PAD ．设AD =a ，则S △PAD =34a 2，△PBD 中，PD =a ，BD =2a ，PB =2a ，∴S △PBD =12×a ×2a 2-a 24=74a 2，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的余弦值为37，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值为23=233．(法二)如图所示：取PD 中点E ，连接AE ,BE .设AD =a ，则BD =PB =2a ，所以AE ⊥PD ,BE ⊥PD ,所以∠AEB 是平面PAD 与平面PDB 所成的二面角的平面角，在Rt △AEB 中，AE =32a ,AB =a ,∠BAE =π2,所以tan ∠AEB =AB AE =a 32a =23=233.3.(2024·高一课时练习)直角三角形ABC 的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为．【答案】64【解析】过点C 作CD ⊥平面α，垂足为D ，连接AD ,BD ，∵AD ,BD ,AB ⊂平面α，则CD ⊥AD ,CD ⊥BD ,CD ⊥AB ，设CD =h >0，不妨设AC ，BC 分别与平面α成30°和45°角，则BC =2h ,AC =2h ,AD =3h ,BD =h ，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接ED ，∵CD ⊥AB ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，则AB ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，∴DE ⊥AB ，即所求二面角的平面角为∠CED ，由△ABC 的面积可得S △ABC =12AB ⋅CE =12AC ⋅BC ，由△ABD 的面积可得S △ABD =12AB ⋅DE =12AD ⋅BD ，∵cos ∠CED =DE CE =S △ABD S △ABC =12AD ⋅BD 12AC ⋅BC =3h ⋅h 2h ⋅2h =64，故所求锐二面角的余弦值为64．故答案为：64.题型四：垂面法1.(2024·高一·云南玉溪·期末)如图，三棱锥P -ABC 的底面△ABC 是等腰直角三角形，其中AB =AC =PA =PB =2，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点．(1)证明：EN ⊥平面PAB ；(2)求二面角C -PB -A 的余弦值．【解析】(1)证明：因为三棱锥P -ABC 的底面是等腰直角三角形，且AB =AC =2，所以AB ⊥AC ，又点E ，N 分别是AB ，BC 的中点，故EN ∥AC ，故EN ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，EN ⊂平面ABC ，故EN ⊥平面PAB ．(2)如图，取PB 的中点为F ，连接AF ，CF ，因为PA =PB =AB =2，所以AF ⊥PB ，AF =3．又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABC ，故AC ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，故AC ⊥PB ，AC ∩AF =A ，AC ,AF ⊂平面ACF ，故PB ⊥平面ACF ，CF ⊂平面ACF ，故PB ⊥CF ，则∠CFA 即为所求的角，于是tan ∠CFA =CA AF =23，cos ∠CFA =217，所以二面角C -PB -A 的余弦值为217．2.(2024·高一·安徽芜湖·期末)如图，在三棱台ABC -DEF 中，∠ACB =90°，BF ⊥AD ，BC =2，BE =EF =FC =1．(1)求证：平面BCFE ⊥平面ABC ；(2)若直线AE 与平面BCFE 所成角为π3，求平面DEC 和平面ABC 所成角的正切值．【解析】(1)取BC 中点为O ，连接FO ,∵BE =EF =FC =1，BC =2，所以BO =OC =FC =1,故∠BFO =∠OBF ,∠CFO =∠COF =∠FCO ,由三角形内角和可得∠BFO +∠CFO =90°,故BF ⊥FC ，又∵BF ⊥AD ,AD ,FC ⊂平面ADFC ,AD ,FC 为相交直线，∴BF ⊥平面ADFC ，AC ⊂平面ADFC ,∴BF ⊥AC又∵∠ACB =90°,即BC ⊥AC ,BF ∩BC =B ,BF ,BC ⊂平面BCFE ,∴AC ⊥平面BCFE ，AC 在平面ABC 内，∴平面BCFE ⊥平面ABC(2)由(1)知直线AE 与平面BCFE 所成角为∠AEC ，∴AC EC=3，由于AE =AF =BC 2-FC 2=3,∴AC =3设平面DEC 和平面ABC 的交线为l ，由于AB ⎳平面DEC ，AB ⊂平面ABC ，所以l ∥AB ，过点E 作EG ⊥BC 于G ，又(1)知平面BCFE ⊥平面ABC ，且两平面的交线为BC ，EG ⊂平面BCFE ,∴EG ⊥平面ABC ，l ∈平面ABC ，所以EG ⊥l ，且EG =EB 2-BC -EF 2 2=32,再过点G 作GK ⊥l 于K ，连接EK ，GK ∩EG =G ,GK ,EG ⊂平面EGK ，所以l ⊥平面EGK ，EK ⊂平面EGK ,故l ⊥EK ，∵∠EKG 即为所求角,BG =12,GC =32,GK =GC ⋅sin ∠BCK =32sin ∠BCK =32sin ∠B =32×313=9213∵tan ∠EKG =EG EK =32×2139=399题型五：补棱法1.(2024·山东淄博·高一统考期末)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为棱BB 1、BC 的中点．(1)证明：直线DN ⎳平面AMD 1；(2)设平面AMD 1与平面ABCD 的交线为l ，求点M 到直线l 的距离及二面角D 1-l -C 的余弦值．【解析】(1)证明：取CC 1的中点E ，连接DE 、NE 、ME ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⎳CC 1且BB 1=CC 1，∵M 、E 分别为BB 1、CC 1的中点，则BM ⎳CE 且BM =CE ，故四边形BCEM 为平行四边形，则ME ⎳BC 且ME =BC ，又因为AD ⎳BC 且AD =BC ，则ME ⎳AD 且ME =AD ，故四边形ADEM 为平行四边形，则DE ⎳AM ，∵DE ⊄平面AMD 1，AM ⊂平面AMD 1，∴DE ⎳平面AMD 1，因为AB ⎳C 1D 1且AB =C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形，则BC 1⎳AD 1，∵N 、E 分别为BC 、CC 1的中点，则NE ⎳BC 1，则NE ⎳AD 1，∵NE ⊄平面AMD 1，AD 1⊂平面AMD 1，∴NE ⎳平面AMD 1，∵DE ∩NE =E ，DE 、NE ⊂平面DEN ，所以，平面DEN ⎳平面AMD 1，∵DN ⊂平面DEN ，∴DN ⎳平面AMD 1.(2)延长D 1M 、DB 交与点P ，连接AP ，则直线AP 即为直线l ，因为BB 1⎳DD 1且BB 1=DD 1，M 为BB 1的中点，则PM PD 1=PB PD =BM DD 1=12，故点B 为PD 的中点，M 为PD 1的中点，在△ABP 中，AB =2，BP =BD =22，∠ABP =135°，由余弦定理可得AP2=AB2+BP2-2AB⋅BP cos135°=20，则AP=25，cos∠BAP=AB2+AP2-BP22AB⋅AP =255，则sin∠BAP=1-cos2∠BAP=55，过点D在平面ABCD内作DF⊥直线AP，垂足为点F，连接D1F，sin∠DAF=sin90°-∠BAP=cos∠BAP=255，所以，DF=AD sin∠DAF=455，∵DD1⊥平面ABCD，l⊂平面ABCD，∴DD1⊥l，∵DF⊥l，DF∩DD1=D，DF、DD1⊂平面DD1F，∴l⊥平面DD1F，∵D1F⊂平面DD1F，∴D1F⊥l，故二面角D1-l-C的平面角为∠D1FD，且D1F=DD21+DF2=655，故点M到直线l的距离为355，cos∠D1FD=DFD1F =23，因此，二面角D1-l-C的平面角的余弦值为23.2.(2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空：⊥，则三棱锥P-ABC为“鳖臑”；(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.(i)证明：平面ADE⊥平面PAC；(ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=23，AC=2，求二面角E-l-C的大小.【解析】(1)因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；即△PAB，△PAC为直角三角形；若BC⊥AB，由AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，可得：BC⊥平面PAB；所以BC⊥PB，即△ABC，△PBC为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；同理，可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC，都能满足四个面都是直角三角形；故可填：BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC；(2)(i)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴PC⊥AD，又AE⊥PC，AE∩AD=A，AD,AE⊂平面ADE，∴PC⊥平面ADE，又PC⊂平面PAC，∴平面ADE⊥平面PAC.(ii)由题意知，在平面PBC中，直线DE与直线BC相交.如图所示，设DE∩BC=F，连结AF，则AF即为l.∵PC⊥平面AED，l⊂平面AED，∴PC⊥l，∵PA⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴PA⊥l，又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，∴l⊥平面PAC，又AE,AC⊂平面PAC，∴AE⊥l，AC⊥l.∴∠EAC即为二面角E-l-C的一个平面角.在△PAC中，PA⊥AC，PA=23，AC=2，∴PC=4，又AE⊥PC，∴AE=AP×ACPC =23×24=3，∴cos∠EAC=AEAC =32，∴∠EAC=30°，∴二面角E-l-C的大小为30°.3.(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设PC =2AB =4，求二面角E -l -C 大小的取值范围.【解析】(1)∵EF ⎳AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ⎳平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以EF ⎳l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以l ⎳平面PAC ；(2)设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连接DE ，FB ，如图：由(1)知，BD ⎳AC ，而AC ⊥BC ，所以BD ⊥BC ，所以PC ⊥平面ABC ，所以PC ⊥BD ，而PC ∩BC =C ，所以BD ⊥平面PBC ，又FB ⊂平面PBC ，所以BD ⊥BF ，所以∠FBC 就是二面角E -l -C 的平面角，因为PC =2AB =4，点F 是PC 的中点，所以FC =12PC =AB =2，故tan ∠FBC =FC BC =AB BC =1cos ∠ABC ，注意到0<∠ABC <π2，所以0<cos ∠ABC <1，所以tan ∠FBC >1，因为0<∠FBC <π2，所以∠FBC ∈π4,π2 ，所以二面角E -l -C 大小的取值范围为π4,π2.【过关测试】1.(2024·高一·广西玉林·阶段练习)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90°,2AB =2BC =CC 1=2，D 是棱CC 1的中点，(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值.【解析】(1)证明：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，2BC=CC1=2，D是棱CC1的中点，所以BC=CD=C1D=B1C1=1，BB1=2，∠BCD=∠B1C1D=90°，所以BD2=BC2+CD2=2,B1D2=C1D2+B1C21=2，所以BD2+B1D2=4=BB21，所以BD⊥B1D，因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为BB1∩BC=B，BB1,BC⊂平面BB1C1C，所以AB⊥平面BB1C1C，所以B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D，因为AB∩BD=B，AB,BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD；(2)因为B1D⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以B1D⊥AD，因为BD⊥B1D，平面AB1D∩平面BB1C1C=B1D，所以∠ADB就是平面AB1D与侧面BB1C1C所成的平面角，因为AB⊥平面BB1C1C，BD⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BD，在Rt△ADB中，AB=1,BD=2，则tan∠ADB=ABBD=12=22，所以平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为2 2 .2.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F为棱AA1的两个三等分点．(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求二面角C1-BD-F的余弦值．【解析】(1)如图，连接AC交BD于点O，连接OF．在△ACE中，O为AC的中点，F为AE的中点，所以OF∥CE，又平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE∥平面BDF．(2)连接C1O，C1F，A1C1．在正方体中，BD⊥AC，AA1⊥BD，AC∩AA1=A，AC,AA1⊂平面A1AC 所以BD⊥平面A1AC，而OF，OC1均在平面A1AC内，所以BD⊥OF，BD⊥OC1，所以∠FOC1是二面角C1-BD-F的平面角．因为正方体的棱长为3，所以AC=32，AO=322，AF=1，由勾股定理得FO=3222+12=222，C1O=322 2+32=362，C1F=(32)2+22=22．在△FOC1中，由余弦定理得cos∠FOC1=FO2+C1O2-C1F22FO⋅C1O=-3333，所以二面角C1-BD-F的余弦值为-33 33．3.(2024·高一·山东淄博·阶段练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD．(1)证明：平面PBD⊥平面ACE；(2)证明：OE⊥PD(3)求二面角D-AC-E的余弦值【解析】(1)∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，且BD∩PO=O，BD,PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD，即平面PBD⊥平面ACE；(2)连接OE，则平面ACE∩平面PBD=OE，由(1)知AC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，则AC ⊥PD ，又∵CE ⊥PD ，CE ∩AC =C ,CE ,AC ⊂平面ACE ，∴PD ⊥平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，∴PD ⊥OE ，即OE ⊥PD ．(3)由于AC ⊥平面PBD ，OE ⊂平面PBD ，则AC ⊥OE ，又AC ⊥OD ，且平面EAC ∩平面DAC =AC ，OE ⊂平面EAC ，OD ⊂平面DAC ，故∠DOE 为二面角D -AC -E 的平面角；在菱形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，则△ABC 是等边三角形，而O 为AC ，BD 的中点，则OD =OB =3，又OP =2，∴PD =22+3 2=7，故OE =OP ⋅OD PD =237=2217，∴cos ∠DOE =OE OD =22173=277，即二面角D -AC -E 的余弦值为277．4.(2024·高一·陕西西安·阶段练习)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，E ，F 分别为A 1B ，A 1C 的中点，D 为B 1C 1上的点，且A 1D ⊥B 1C .(1)求证：平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)若三棱柱所有棱长都为a ，求二面角A 1-B 1C -C 1的平面角的正切值.【解析】(1)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴BB 1⊥A 1D ，∵A 1D ⊥B 1C ，B 1C ∩BB 1=B 1，B 1C ,BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1，又A 1D ⊂平面A 1FD ，∴平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)因为三棱柱所有棱长都为a，则△A1B1C1为等边三角形，A1D⊥平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥B1C1，所以D为B1C1的中点，过点D作B1C垂线，垂足为H，连接A1H，∵A1D⊥B1C，DH⊥B1C，A1D∩DH=D，A1D,DH⊂平面A1DH，∴B1C⊥平面A1DH，又A1H⊂平面A1DH，所以B1C⊥A1H，则∠A1HD是二面角A1-B1C-C1的平面角，A1D⊥平面BCC1B1，DH⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥DH，∴A1D=32a，DH=22B1D=24a，tan∠A1HD=A1DDH=6，故二面角A1-B1C-C1的平面角的正切值为6．5.(2024·高一·广东云浮·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：PA⎳平面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)设AC与BD交于点O连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO∥PA，又因为PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，所以PA ⎳平面BED ；(2)过O 作OF ⊥AB 于F ，连接EF ，因为PA ⎳OE ，且PA ⊥平面ABCD所以OE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OE ⊥AB ，又EO ∩FO =O ，EO ,OF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥平面EOF ，又EF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥EF ，即∠EFO 为二面角E -AB -C 的平面角，由EO =12PA =22，△ABC 是边长为1的等边三角形，即FO =12sin60°=34，在直角三角形EOF 中，EF =114，即cos ∠EFO =FO EF =3311，sin ∠EFO =1-cos 2∠EFO =22211．所以所求二面角的正弦值为22211．6.(2024·高一·山东枣庄·阶段练习)如图，E 是直角梯形ABCD 底边AB 的中点，AB =2DC =2BC ，将△ADE 沿DE 折起形成四棱锥A -BCDE .(1)求证：DE ⊥平面ABE ；(2)若二面角A -DE -B 为60°，求二面角A -DC -B 的余弦值.【解析】(1)在直角梯形ABCD 中，易知DC ⎳BE ，且DC =BE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又∠EBC =90°，AB =2DC =2BC ，E 是AB 的中点，所以四边形BCDE 是正方形，从而DE ⊥EB ，也即DE ⊥EA ，因此，在四棱锥A -BCDE 中，EB ∩EA =A ，EB ,EA ⊂平面ABE ，所以DE ⊥平面ABE ；(2)由(1)知，∠AEB 即二面角A -DE -B 的平面角，故∠AEB =60°，又AE =EB ，可得△AEB 为等边三角形；设BE 的中点为F ，CD 的中点为G ，连接AF ,FG ,AG ，从而AF ⊥BE ，FG ⎳DE ，于是AF ⊥CD ，FG ⊥CD ，AF ∩FG =F ，AF ,FG ⊂平面AFG ，从而CD ⊥平面AFG ，AG ⊂平面AFG ，因此CD ⊥AG ；所以∠AGF 即所求二面角A -DC -B 的平面角.由(1)中DE ⊥平面ABE ，且FG ⎳DE ，从而FG ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE 所以FG ⊥AF ，设原直角梯形中，AB =2DC =2BC =2a ，则折叠后四棱锥中AF =32a ，FG =a ，从而AG =AF 2+FG 2=72a 于是在Rt △AFG 中，cos ∠AGF =FG AG=277；即二面角A -DC -B 的余弦值为277.7.(2024·高一·北京怀柔·期末)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2．(1)证明：CD 1⎳平面A 1BD ；(2)证明：BD ⊥平面A 1AC ；(3)求二面角A 1-BD -A 的正弦值．【解析】(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，A 1D 1⎳BC 且A 1D 1=BC ，∴A 1BCD 1为平行四边形，∴A 1B ⎳CD 1，∵CD 1⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ∴CD 1⎳平面A 1BD ；(2)∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AA 1⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴AA 1⊥BD ，∵正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又∵AA 1⊂平面A 1AC ，AC ⊂平面A 1AC ，AA 1∩AC =A ，∴BD ⊥平面A 1AC ；(3)∵在正方形ABCD 中，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，∴AC ⊥BD ，AO ⊥BD ，∵△A 1BD 中，A 1B =A 1D =22，△A 1BD 为等腰三角形，∴A 1O ⊥BD ，∴∠A 1OA 即为二面角A 1-BD -A 的平面角，∵在Rt △A 1AO 中，AA 1=2,AO =2,∴A 1O =6，∴sin ∠A 1OA =A 1A A 1O=63，即二面角A 1-BD -A 的正弦值为63.8.(2024·高一·广西·期末)如图，四棱锥P -ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，过点C 作直线AB 的平行线交AD 于F ，G 为线段PD 上一点．(1)求证：平面PAD ⊥平面CFG ；(2)求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的余弦值．【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，因为∠BAD =π2，所以AB ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为CF ⎳AB ，所以CF ⊥平面PAD ，因为CF ⊂平面CFG ，所以平面CFG ⊥平面PAD ；(2)连结AC ，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，连接DE ，如图，PA ⊥平面ABCD ，AD 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AC ，因为∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，由勾股定理得：AD=BD2-AB2=23，则∠ADB=30°，同理可得CD=23，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，AC=CD=23，同理可得：PB=PA2+AB2=25，PC=PA2+AC2=27，PD=PA2+AD2=27，在△BCP中，由余弦定理得：cos∠BCP=BC2+CP2-PB22BC⋅CP=4+28-2087=327，则CE=BC cos∠BCP=627，BE=BC2-CE2=197，在△CDP中，由余弦定理得：cos∠PCD=PC2+CD2-DP22PC⋅CD=12+28-2823×47=327，在△CDE中，DE2=CE2+CD2-2CE⋅CD cos∠PCD=3628+12-2×627×23×327=757，因为CE2+DE2=12=CD2，所以DE⊥PC，所以∠BED是平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角，由余弦定理得：cos∠BED=BE2+DE2-BD22BE⋅DE=197+757-162×197×757=-35795．9.(2024·高一·辽宁葫芦岛·期末)如图，在多面体ABCDEF中，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3．(1)在线段FC上确定一点H，使得平面BDH⎳平面AEF；(2)设G是线段EC的中点，在(1)的条件下，求二面角A-HG-B的大小．【解析】(1)H为线段FC的中点．证明如下：在菱形ABCD中，连接AC与BD交于点O，于是O为AC中点，在△AFC中，OH为中位线，所以OH⎳AF，因为OH⊂平面BDH，AF⊄平面BDH，所以AF⎳平面BDH，又因为四边形BDEF是矩形，BD⎳EF，因为BD ⊂平面BDH ，EF ⊄平面BDH ，所以EF ⎳平面BDH ，又AF ，EF ⊂平面AEF ，且AF ∩EF =E ，所以平面AEF ⎳平面BDH ．(2)分别取EF ，HG ，OC 中点M ，N ，P ，连接MO ，MA ，MC ，NP ，NO ，NA ，于是，N 为线段MC 中点，易知，在矩形BDEF 中MO ⊥BD ，菱形ABCD 中AC ⊥BD ，且MO ∩AC =O ，MO ，AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥平面AMC ．又GH 为△CEF 的中位线，故GH ⎳EF ，且BD ⎳EF ，所以GH ⎳BD ．所以GH ⊥平面AMC ．又AN ，ON ⊂平面AMC ，所以GH ⊥AN ，GH ⊥ON ．所以∠ANO 为二面角A -HG -B 的平面角．由已知，平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD =BD ，MO ⊂平面BDEF ，且MO ⊥BD ，可得MO ⊥ABCD ．又NP 为△CMO 的中位线，所以NP ⎳MO ，且NP =12MO =32，所以NP ⊥平面ABCD ，进而NP ⊥AP ．在菱形ABCD 中，AO =3，PO =32，AP =AO +PO =332．在直角△NPA 中，tan ∠NAP =NP AP=33，所以∠NAP =π6．在直角△NPO 中，tan ∠NOP =NP OP=3，所以∠NOP =π3，所以，∠ANO =∠NOP -∠NAP =π6．即二面角A -HG -B 的大小为π6．10.(2024·高一·贵州毕节·期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，且AB =3,AD =2，侧面PAD 是等腰三角形，且PA =PD =2，侧面PAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面PCD ；(2)求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值.【解析】(1)证明：在△APD 中，AD =2,PA =PD =2∴AD 2=AP 2+DP 2∴AP ⊥DP又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ,AD ⊥CD ,CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面APD ，又AP ⊂平面APD ，∴CD ⊥AP ，又CD ∩DP =D ，CD ,DP ⊂平面PCD ，∴AP ⊥平面PCD .(2)取AD 的中点为M ，连接PM ，∵PA =PD ，所以PM ⊥AD又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，PM ⊂面PAD ，∴PM ⊥平面ABCD又BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，过点M 作MG ⊥BC ，垂足为G ，连接PG ，又PM ∩MG =M ，PM ,MG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥平面PMG ，又MG ⊂平面PMG ，PG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥MG ,BC ⊥PG ，∴∠PGM 为侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的平面角，在直角△PMG 中，PM =12AD =1,MG =3，∴PG =10，∴sin ∠PGM =PM PG =110=1010，即侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值为1010.11.(2024·高一·内蒙古包头·期末)如图，已知AB 是圆的直径，且AB =4,PA 垂直圆所在的平面，且PA =3,M 是弧AB 的中点．(1)求点A 到平面PBM 的距离；(2)求二面角A -BM -P 的正弦值．【解析】(1)设点A 到平面PBM 的距离为d ，由题意知BM ⊥AM ，因为PA ⊥平面MAB ，BM ⊂平面MAB ，所以BM ⊥PA ，又AM ∩PA =A ,AM ,PA ⊂平面PAM ，则BM ⊥平面PAM ，又PM ⊂平面PAM ，所以BM ⊥PM ，由V A -PBM =V P -ABM ，得13S △PBM ⋅d =13S △ABM ⋅PA ，12PM ⋅BM ⋅d =12AM ⋅BM ⋅3，即17d =62，故d =63417，所以点A 到平面PBM 的距离为63417；(2)由(1)得BM ⊥AM ，BM ⊥PM ，所以∠PMA 即为二面角A -BM -P 的平面角，因为AB =4，M 是弧AB 的中点，所以MA =MB =22，因为PA ⊥平面MAB ，AM ⊂平面MAB ，所以AM ⊥PA ，则PM =9+8=17，则sin ∠PMA =PA PM =317=31717，所以二面角A -BM -P 的正弦值为31717．12.(2024·高一·辽宁·期末)如图1，在等腰直角△ABC 中，∠C =π2，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，F 为线段CD 上一点(不含端点)，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，连接A 1C ，A 1B ，得到四棱锥A 1-BCDE ，如图2所示，且A 1F ⊥CD ．(1)证明：A 1F ⊥平面BCDE ；(2)若直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，求二面角A 1-BD -C 的平面角的正切值．【解析】(1)证明：因为∠C =π2，且DE ∥BC ，所以DE ⊥AD ，所以DE ⊥A 1D ,DE ⊥DC ，又因为A 1D ∩CD =D ，且A 1D ,CD ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥平面A 1DC ，因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ，又因为A 1F ⊥CD ，CD ∩DE =D 且CD ,DE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．(2)如图所示，连接EF ，因为D ,E 分别是AC 与AB 的中点，可得A 1D =CD =DE ，又因为A 1F ⊥平面BCDE ，所以直线A 1E 与平面BCDE 所成的角为∠A 1EF ，由直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，即tan ∠A 1EF =155，设DF=x，则A1F=A1D2-DF2=A1D2-x2，EF=DE2+DF2=A1D2+x2，所以tan∠A1EF=A1FEF=A1D2-x2A1D2+x2=155，解得A1D=2x，即F为CD的中点，过F作FO⊥BD，垂足为O，因为A1F⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，所以A1F⊥BD，又因为A1F∩OF=F，且A1F,OF⊂平面A1OF，所以BD⊥平面A1OF，因为A1O⊂平面A1OF，所以A1O⊥BD，所以二面角A1-BD-C的平面角为∠A1OF，由BC=4x，CD=2x，则BD=BC2+CD2=25x，所以OF=12⋅CD⋅BCBD=255x，因为A1F=A1D2-x2=3x，所以tan∠A1OF=A1FOF=152．13.(2024·高一·安徽宣城·期末)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形．(1)若AB=22，求直线AB和CD所成角的余弦值；(2)若点E在棱AD上，AE=13AD且三棱锥A-BCD的体积为4，求二面角E-BC-D平面角大小的正弦值．【解析】(1)分别取BC、AC的中点M、N，连接OM，ON，MN，因为О为BD中点，所以MO∥CD，MN∥AB且MO=12CD,MN=12AB，所以异面直线AB和CD所成角(或为邻补角)即为∠OMN，因为AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，因为△OCD是边长为2的等边三角形，所以BO=DO=2，MN=12AB=2，MO=12CD=1，又因为平面ABD⊥平面BCD，AO⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD，因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，由OC=OD，得△AOC≌△AOD，得AC=AD=AB=22．在直角三角形△AOC中，则ON=12AC=2，在△MON中，根据余弦定理得，cos∠OMN=MN2+MO2-ON22MN⋅MO =(2)2+1-(2)22×2×1=24或cos∠OMN=122=24所以直线AB和CD所成角的余弦值为2 4．(2)过点E作EN∥AO交BD于N．过点N作NM∥CD交BC于点M，连接ME，因为EN∥AO且AO⊥BD，所以EN⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EN⊂平面ABD，所以EN⊥平面BCD，因为BC⊂平面BCD，所以EN⊥BC，在△BCD中，因为OB=OD=OC，所以BC⊥CD，因为NM∥CD，所以MN⊥BC，因为MN∩EN=N，MN,EN⊂平面MNE，所以BC⊥平面MNE，因为ME⊂平面MNE，所以BC⊥ME，所以∠EMN为所求的二面角E-BC-D的平面角，因为S△BCD=12BD⋅CD⋅sin∠BDC=12×4×2×32=23，因为V A-BCD=13S△BCD⋅OA=13×23⋅OA=4，所以OA=23，又因为AE=13AD，EN∥AO，所以ENAO=DEDA=23，得EN=23OA=433，因为NM ∥CD ，所以MN CD=BN DB =46=23，因为CD =2，所以MN =43．又EN =433，所以3MN =EN ．所以tan ∠EMN =EN MN =3，所以sin ∠EMN cos ∠EMN =3，得sin ∠EMN3=cos ∠EMN ，因为sin 2∠EMN +cos 2∠EMN =1，sin ∠EMN >0，所以解得sin ∠EMN =32．所以二面角E -BC -D 平面角大小的正弦值为32.14.(2024·高一·福建福州·期末)如图，四棱锥P -ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点.(1)求证：DM ⊥PC ；(2)在线段PB 上是否存在一点Q 使得MQ ⎳平面PNC ，存在指出位置，不存在请说明理由.(3)求二面角B -PC -N 的正弦值．【解析】(1)∵△PAD 为正三角形，N 为AD 中点，∴PN ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PN ⊂平面PAD ，∴PN ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN ⊥DM ，在正方形ABCD 中，易知△DAM ≌△CDN ，∴∠ADM =∠DCN ，而∠ADM +∠MDC =90°，∴∠DCN +∠MDC =90°，∴DM ⊥CN ，∵PN ∩CN =N ，PN ,CN ⊂平面PNC ，∴DM ⊥平面PNC ，∵PC ⊂平面PNC ，∴DM ⊥PC ．(2)存在，当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC ，取BE 的四等分点E (靠近B )，取BP 的四等分点Q (靠近B )，连接ME 、EQ 、MQ ，则QE ⎳PC ，QE ⊄平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以QE ⎳平面PNC ，由BM DC=BE DN =12，所以△MBE ∽△CDN ，所以∠EMB =∠DCN ，又∠EMB +∠MEB =90°，∠DCN +∠NCB =90°，所以∠NCB =∠MEB ，所以ME ⎳NC ，ME ⊄平面PNC ，NC ⊂平面PNC ，所以ME ⎳平面PNC ，又ME ∩QE =E ，ME ,QE ⊂平面MEQ ，所以平面MEQ ⎳平面PNC ，MQ ⊂平面MEQ ，所以MQ ⎳平面PNC ，即当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC .(3)取DC 的中点F ，连接BF 交NC 于点G ，过点G 作GH ⊥PC 交PC 于点H ，连接BH ，则DF ⎳BM 且DF =BM ，所以四边形DFBM 为平行四边形，所以BF ⎳DM ，又DM ⊥平面PNC ，所以BF ⊥平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以BF ⊥PC ，又GH ∩BF =G ，GH ,BF ⊂平面GHB ，所以PC ⊥平面GHB ，BH ⊂平面GHB ，所以PC ⊥BH ，所以∠BHG 为二面角B -PC -N 的平面角，因为△BCF ∽△CGF ，所以BC CG =CF FG =BF CF，又CG =BC ⋅CF BF =255，所以FG =55，BG =455，又△CGH ∽△CPN ，所以CG CP =GHPN ，又CN =22+12=5，PN =22-12=3，PC =5 2+3 2=22，即25522=GH 3，所以GH =3010，所以BH =30102+4552=142，所以sin ∠BHG =BG BH =455142=47035，故二面角B -PC -N 的正弦值为47035.。
初中化学溶质质量分数计算题题型和解决方法
初中化学溶质质量分数计算题题型和解决方法一、直接利用公式法例题1、40克氯化钠投入100克水中完全溶解后剩余固体4克，求此时该溶液中溶质的质量分数。
例题2、20克明矾晶体（化学式是KAl（SO4)2•12H2O）投入100克水中完全溶解,求所得溶液中溶质的质量分数。
例题3、已知氧化钠和水反应生成氢氧化钠（Na2O+H2O=2NaOH）,问把3。
1克氧化钠加入50克水中，形成溶液中溶质的质量分数.例题4、已知某温度时氢氧化钙的溶解度为0.18克，氧化钙和水反应生成氢氧化钙（CaO+H2O=Ca(OH)2 )，问把5。
6克氧化钙加入50克水中,形成溶液中溶质的质量分数。
二、利用公式直接求溶质或者溶剂例题5、欲配制溶质的质量分数浓度为2%AgNO3溶液500克，应称取AgNO3多少克?加入水多少毫升?思考:溶液配制的三个步骤是什么？三、溶液的稀释例题6、溶质质量分数为98%浓硫酸500克，加多少水可以配制成溶质质量分数为20％的稀硫酸.例题7、配制溶质的质量分数浓度为20％，溶液密度为1.14克/厘米3，体积为500毫升的稀硫酸，需要量取溶质的质量分数浓度为98%,密度为1.84克/厘米3的浓硫酸多少毫升?四、两液相混例题8、10%的氢氧化钠溶液与20%的氢氧化钠溶液等质量混合,问所得溶液中溶质的质量分数。
例题9、50克10％的氢氧化钠溶液与200克20％的氢氧化钠溶液混合，问所得溶液中溶质的质量分数.五、溶液的增浓例题10、10克20％的硫酸钠溶液中含有溶质多少，溶剂多少？欲使10克20％的硫酸钠溶液浓度增加一倍,应该：（1）增加溶质多少克？或（2）蒸发溶剂多少克？（3）与60％的溶液多少克想混？六、溶解度和溶质质量分数的互算例11、在30℃时,CuSO4的溶解度是25克，计算该温度下硫酸铜饱和溶液的质量质量分数是多少?例12、在某温度时，硫酸铜饱和溶液的质量质量分数是30％，计算该温度下CuSO4的溶解度是多少克？七、化学反应例题13、100克稀硫酸和13克锌恰好反应，求原稀硫酸的溶质的质量分数？求所得溶液中溶质的质量分数.。
一年级解决问题常见题型
一年级解决问题常见题型
一年级解决问题常见题型包括：
1. 加法问题：例如姐妹两人做花，姐姐做了32朵，比妹妹多做8朵，姐妹两人一共做花多少朵？
2. 减法问题：例如从车场开走8辆汽车，还剩24辆，车场原来有多少汽车？
3. 排队问题：例如一共有13人排队接水，小丽的前面有4人，后面有几人？
4. 位置问题：例如12名同学排成一队玩滑梯。
从前面数小聪排第7，从后
面数小聪排第几？
5. 计数问题：例如从花上飞走了6只蝴蝶，又飞走了5只，两次飞走了多
少只？
6. 总数问题：例如小苹种7盆红花，又种了同样多的黄花，两种花共多少盆？
7. 对比问题：例如小明拔萝卜，已经拔了10个，地里还剩48个，地里原
有几个？
这些题型旨在帮助学生掌握基本的数学概念和解决问题的方法，为以后的数学学习打下基础。
一年级数学解决问题常见题型
一年级数学解决问题常见题型1.加法问题：（1）这类问题没有大括号和小问号的提示，也没有虚线和斜线的提示，通常是写一道加法算式，如果题目给出两道算式的空要你填的话，就写两道加法算式：从左往右加写一道，从右往左加写一道.如下图：（2）这类问题因为有大括号和小问号的提示，明确了问题是什么，所以通常是根据问题问的是什么选择合适的方法列出算式就可以了，所以只写一道.当小问号在大括号的小尖尖处的时候，通常求左右两部分合起来一共有多少.要求学生可以这样描述：有4只小兔，又来了2只小兔，一共有几只小兔？（算式只写一个，可以是4+2=6，也可以是2+4=6）2.减法问题：（1）这样的问题有虚线，但是没有明确去掉的是哪一边的，所以通常情况下是要写两道减法算式的.两道算式都要先数出总数是多少，再减去左边部分，得到右边部分—6-2=4；总数减去右边部分，得到左边部分—6-4=2.（2）这类的问题有明确的指示，虚线和斜线都表示拿走去掉的意思，这里虚线圈走的部分和斜线划掉的部分都表示从总数中去掉了一部分，这种情况只能写一道算式，但是要强调的是一定要用物体的总数来减，学生容易写成用剩下的部分减拿走的部分.算式应写成：10-4=6 8-3=5（3）这类问题有大括号和小问号提示你，问题问的是什么（有时问的是左边部分有多少，有时问的是右边部分有多少），所以先要找到总数是多少，然后去掉没有小问号的一边，就知道了.但是学生的描述也很重要，不少学生会看图，但是不会说题目的意思，家长要让孩子在家多说，例如“一共有7只小兔在吃草，走了1只，还剩几只小兔？”或“一共有9只小鸡在吃食，现在只有5只在吃食，走了几只小鸡？”.后一种是逆向思维，学生较难表述.算式应写成：7-1=6 9-5=41.连加和连减问题:下面的两道题是对比的，表达的是不同的意思.左边的是连加，右边的是连减.左图表示：左部分有3个气球，中间有4个气球，右部分有2个气球，一共有多少个？算式是：3+4+2=9因为：图中气球没有表示减少或去掉的标志——虚线或斜线，只是单纯的3部分气球，所以用加法来表示.右图表示：原来有9个气球（这个一般学生很难找对）先飞走了2个，又飞走了3个，还剩几个？算式是：9-3-2=4或9-2-3=4还有这样的题：（1）（2）（3）算式是：9-1-4=4 7-1-2=48-4-2=2这两题同样是连减，但是（2）（3）要难于（1），因为小鸡已经走开了，不在原来的位置，所以要找出原来有几只要先思考一番；汽车后面冒尾气的表示是开走的，远处的又表示是先开走的，没有冒尾气的又表示是停着的没有开动的.（1）（2）这两题都是连加，（1）算式是：4+3+3=10 （2）表示车上有4名同学，先来了3名同学，又来了2名同学，一共有几名同学？算式是：4+3+2=9或2+3+4=9或4+2+3=92.加减混合问题：（1）（2）（3）算式是：6-2+3=7或6+3-2=76-2+3=7或6+3-2=74-2+3=5第（2）题较难，因为原来车上有几人学生不容易看出，要经过思考才能得出第（3）题也是如此，要看箭头所指方向，了解事情发生顺序.。
新题型方法汇总
新题型方法汇总
对于新题型，有很多种不同的方法可以解决，这取决于具体的情况和需求。
以下是一些常见的新题型解题方法：
1. 分情况讨论：对于一些选择题或填空题，可能需要根据不同的情况进行分类讨论。
例如，根据变量的取值范围或某些条件是否满足来进行分类。
2. 排除法：如果选项之间存在相互矛盾或者可以通过某些方法排除掉一些选项，那么可以使用排除法来找到正确答案。
3. 数形结合：在解决一些与图形或空间有关的问题时，可以通过数形结合的方法将问题转化为更直观的形式，从而更好地理解和解决。
4. 构造反例：对于一些普遍性的命题，可以通过构造反例来证明其错误或不完全正确。
5. 逐步推导：对于一些需要逐步推导的题目，可以按照一定的步骤和逻辑进行推导，从而找到答案。
6. 整合信息：对于一些涉及多个知识点或多个条件的题目，可以通过整合题目给出的信息，找出关键点，从而解决问题。
7. 代数法：对于一些涉及代数运算或代数表达式的题目，可以使用代数法来找到答案。
8. 函数思维：在解决一些与函数有关的问题时，可以通过函数的性质、图像或导数等来找到答案。
9. 归纳法与演绎法：归纳法是从具体事例中总结规律的方法，而演绎法则是根据一般原理推导出个别结论的方法。
对于一些涉及规律或模式的问题，可以使用归纳法或演绎法来找到答案。
10. 方程与不等式：对于一些涉及方程或不等式的问题，可以通过建立方程或不等式，然后求解得到答案。
以上是一些常见的新题型解题方法，但并不是所有的新题型都能用这些方法解决。
在实际解题时，需要根据具体的情况和需求选择合适的方法。
二元一次方程8大题型解题方法
二元一次方程8大题型解题方法一、题型一：两个未知数为整数的方程这种类型的方程一般可以通过列举法解决。
我们假设未知数为x和y，先分别选取一个合适的整数值代入方程，通过逐步加减等操作来确定x和y的值，从而得到方程的解。
二、题型二：两个未知数为小数的方程这类方程可以通过代入法解决。
我们首先将方程中的一个未知数用另一个未知数表示出来，然后将其代入方程，通过化简得到一个关于一个未知数的一次方程。
然后将这个一次方程解出来，再代入原方程，求得另一个未知数的值。
三、题型三：两个未知数为分数的方程解决这种类型的方程可以通过通分法。
首先将方程中的分数化为通分后的形式，然后通过移项、合并同类项等步骤化简方程，最后解一个关于未知数的一次方程得到一个未知数的值，再代入原方程求得另一个未知数的值。
四、题型四：两个未知数为整数和小数的方程这类方程可以通过消元法解决。
我们将方程的两个未知数系数相等的两个方程相减，从而消去其中一个未知数，得到一个只包含另一个未知数的一次方程，解出这个一次方程后，再代入原方程求得另一个未知数的值。
五、题型五：两个未知数为整数和分数的方程解决这类方程可以通过通分法和消元法相结合。
我们先将方程中的分数化为通分的形式，然后通过消元法消去其中一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一次方程，解出这个一次方程后，再代入原方程求得另一个未知数的值。
六、题型六：两个未知数为小数和分数的方程这种类型的方程可以通过代入法和通分法相结合解决。
我们首先将方程中的小数用分数形式表示出来，然后通过代入法和通分法解方程，最后得到两个未知数的值。
七、题型七：两个未知数为整数、小数和分数的方程这类方程比较复杂，需要综合运用列举法、代入法、通分法和消元法等解题方法。
具体的解题过程需要结合具体的方程来进行推导。
八、题型八：两个未知数中一个为常数的方程解决这类方程可以通过代入法。
我们首先将常数用一个字母表示出来，然后代入方程，通过化简得到关于另一个未知数的一次方程，求解这个一次方程，再代入原方程求得常数的值。
电路故障题型整理
电路故障题型整理电路故障是电路中常见的问题，对于工程师和电子技术人员来说，解决电路故障是一项重要的技能。
本文将整理一些常见的电路故障题型，并提供解决方法，以帮助读者更好地理解和解决电路故障。
一、电路故障题型1. 开路故障：电路中某个连接断开，导致电流无法流通。
这种故障通常是由于电路中的元件损坏或松动引起的。
解决方法是检查元件的连接和状态，更换或紧固损坏或松动的元件。
2. 短路故障：电路中两个或多个不同的节点之间出现短路，导致电流过大。
这种故障通常是由于电路中的元件损坏或连接错误引起的。
解决方法是检查元件的连接和状态，更换或重新连接错误的元件。
3. 电流过大故障：电路中的电流超过了设计或允许的范围。
这种故障通常是由于电路中的负载过重或电源输出过大引起的。
解决方法是检查负载的功率要求和电源的输出能力，调整负载或更换合适的电源。
4. 电流过小故障：电路中的电流低于设计或要求的范围。
这种故障通常是由于电路中的负载过轻或电源输出过小引起的。
解决方法是检查负载的功率要求和电源的输出能力，调整负载或更换合适的电源。
5. 电压过大故障：电路中的电压超过了设计或允许的范围。
这种故障通常是由于电源输出过大或电路中的元件损坏引起的。
解决方法是检查电源的输出电压和电路中元件的状态，调整电源输出或更换损坏的元件。
6. 电压过小故障：电路中的电压低于设计或要求的范围。
这种故障通常是由于电源输出过小或电路中的元件损坏引起的。
解决方法是检查电源的输出电压和电路中元件的状态，调整电源输出或更换损坏的元件。
7. 阻抗不匹配故障：电路中的阻抗不匹配导致信号传输失真或衰减。
这种故障通常是由于电路中的元件阻抗不匹配或连接错误引起的。
解决方法是检查元件的阻抗和连接，调整或更换不匹配的元件。
8. 信号干扰故障：电路中的信号受到外部干扰，导致信号质量下降或失真。
这种故障通常是由于电路中的阻抗不匹配或信号线路过长引起的。
解决方法是检查信号线路的长度和阻抗匹配，调整信号线路或使用屏蔽线缆。
初中数学经典题型
初中数学经典题型有很多，以下列举了一些常见的题型及其解答方法：
1. 整式运算问题：这类问题主要涉及到整式的加减法和乘法运算。
例如，求两个多项式的差，或者求一个多项式的平方根等。
解决方法是熟练掌握整式的运算法则，例如去括号法则、合并同类项法则等，同时注意运算的顺序和符号的处理。
2. 一次函数问题：这类问题涉及到一次函数的图像和性质，例如函数的增减性、函数的定义域和值域等。
解决方法是通过图像和性质图来理解函数的特点，同时运用函数的性质来解决实际问题。
3. 几何问题：几何问题是初中数学的重要部分之一，包括三角形、四边形、圆等图形的性质和计算。
例如，求三角形的内切圆半径，或者求圆的周长等。
解决方法是通过画图、观察和测量，结合图形的性质来解决问题。
4. 最值问题：这类问题涉及到求最大值和最小值的问题，例如求二次函数的最值，或者求实际问题的最优化方案等。
解决方法是通过建立数学模型，运用函数的性质、不等式的性质等方法来求解。
5. 方程问题：方程问题是初中数学的核心部分之一，包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等。
例如，求方程的解，或者通过方程来求解实际问题等。
解决方法是通过解方程来找到答案，同时注意方程的解法和应用范围。
这些经典题型涵盖了初中数学的主要知识点，通过解决这些题目，可以更好地理解和掌握数学概念和公式，提高解题能力和应用能力。
同时，也可以通过练习这些题目来提高自己的数学素养和思维能力。
请注意，以上回答仅列举了一些常见的初中数学经典题型，实际上初中数学还有许多其他类型的题目，需要根据具体情况和学生的能力来选择合适的题目进行训练。
共点力平衡的七大题型及解决方法
共点力平衡的七大题型及解决方法共点力平衡是力学中一个重要的概念，指的是在一个物体或系统受到多个力的作用下，力的合力等于零，使物体或系统保持静止或平衡状态。
在力学中，共点力平衡问题是非常常见的，下面将介绍七种常见的共点力平衡的题型及解决方法。
1.单个物体受力平衡的题目这种题型是最基本的共点力平衡问题，即一个物体受到多个力的作用，要求求解物体所受力的大小和方向。
解决这个问题的关键是列出物体受力的平衡方程，根据力的平衡性质求解未知量。
2.多个物体受力平衡的题目这种题型相对于单个物体受力平衡问题来说，更加复杂一些。
题目要求求解多个物体之间受力的大小和方向，以及各个物体之间的平衡条件。
解决这个问题的关键是建立力的平衡条件方程组，并通过代入法或消元法求解未知量。
3.杆平衡问题这种题型是常见的三角形杆平衡问题，题目给出杆上的多个力及其大小和方向，要求求解该杆的平衡位置。
解决这个问题的关键是寻找杆的平衡条件，通常是杆受力和力的合力方向垂直，通过解这个平衡条件方程组求解未知量。
4.杆与物体的平衡问题这种题型是在杆平衡问题基础上增加了一个物体的问题，即杆上除了多个力之外，还有一个质量为m的物体。
要求求解该杆和物体的平衡位置。
解决这个问题的关键是建立杆与物体的平衡条件方程组，并通过代入法或消元法求解未知量。
5.系统平衡问题6.夹具平衡问题这种题型是在多个物体受力平衡问题基础上增加了夹具的问题，即物体之间通过夹具连接。
夹具可以是支架、滑轮等，并且在平衡时可能有些部分是不受力的。
要求求解夹具和物体的平衡位置。
解决这个问题的关键是分析夹具的受力情况，并建立物体和系统的平衡条件方程组，通过代入法或消元法求解未知量。
7.多个力垂直平衡问题这种题型是在多个物体受力平衡问题基础上，要求物体所受力之间两两垂直。
解决这个问题的关键是分解各个力的分量，并利用垂直性质建立物体和系统的平衡条件方程组，通过代入法或消元法求解未知量。
无论是哪种类型的共点力平衡问题，解决问题的关键是分析受力情况和建立平衡条件方程组。
中考英语作文万能模板(全)
中考英语作文万能模板一、解决方法题型要求考生列举出解决问题的多种途径写作思路：1. 问题现状2. 怎样解决（解决方案的优缺点）3. 个人观点写作模版：1.In recent days, we have to face I problem-----A, which is becoming more and more serious. First, ------------（说明Ａ的现状）．Second, ---------------（举例进一步说明现状）2.Confronted with A, we should take a series of effective measures to cope with the situation. For one thing,---------（解决方法一）. For another thing, -----（解决方法二）. Finally, ----------（解决方法三）.3.Personally, I believe that -------------（我的解决方法）. Consequently, I’m confident that a bright future is awaiting us because --------------（带来的好处）.二、说明利弊题型写作指导：这种题型往往要求先说明一下现状, 再对比事物本身的利弊, 有时也会单从一个角度（利或弊）出发, 最后往往要求考生表明自己的态度（或对事物前景提出预测）写作思路：1. 说明事物现状2. 事物本身的优缺点（或一方面）3. 你对现状（或前景）的看法1.Nowadays many people prefer A because it has a significant role in our daily life. Generally, its advantagescan be seen as follows. First -----（Ａ的优点之一）. Besides -------------------（Ａ的优点之二）.But every coin has two sides. The negative aspects are also apparent. One of the important disadvantages isthat ---------（Ａ的第一个缺点）．To make matters worse, ---------（Ａ的第二个缺点）．结尾1：Through the above analysis, I believe that the positive aspects overweigh the negative ones.Therefore,I would like to ---------------（我的看法）．结尾2：From the comparison between these positive and negative effects of A, we should take it reasonablyand do it according to the circumstances we are in. Only by this way, can we…………（对前景预测测）．三、议论文的框架（1）不同观点列举型（选择型）写作思路：1. 阐述现状2. 说明不同人的看法3. 你对现状（或前景）的看法（阐述现状）There is a widespread concern over the issue that __作文题目_____. But it is well known that theopinion concerning this hot topic varies from person to person.（不同人的观点说明模版1）A majority of people think that _ 观点一________. In their views there are 2 factors contributing to this attitude as follows：in the first place, ___原因一_______. Furthermore, in the second place,___原因二_____. So it goes without saying that ___观点一_____.（不同人的观点说明模版2）People, however, differ in their opinions on this matter. Some people hold the idea that ___观点二_______. In their point of view, on the one hand, ___原因一_______. On the other hand, ____原因二_____. Therefore, there is no doubt that ___观点二______.（发表个人观点）As far as I am concerned, I firmly support the view that __观点一或二______. It is not only because ________, but also because _________. The more _______, the more ________.（2）利弊型的议论文Nowadays, there is a widespread concern over （the issue that）___作文题目______. In fact, there are both advantages and disadvantages in __题目议题_____. Generally speaking, it is widely believed there areseveral positive aspects as follows. Firstly, ___优点一______. And secondly ___优点二_____.Just As a popular saying goes, “every coin has two sides”, __讨论议题______ is no exception, and in another word, it still has negative aspects. To begin with, ___缺点一______. In addition, ____缺点二______.To sum up, we should try to bring the advantages of __讨论议题____ into full play, and reduce thedisadvantages to the minimum at the same time. In that case, we will definitely make a better use of the ____讨论议题___.四：中考英语作文高分：需熟记的句子A、环保1. It's our duty to protect our environment.2. It is very important to take care of our environment3. We should not throw litter onto the ground4. We should not spit in a public place/ cut down the trees5. We should plant more flowers and trees.6. We must pick up some rubbish and throw it into a dustbin7. If everyone makes contribution to protecting the environment，the world will become much more beautiful.B、旅游1. Last Sunday（Saturday，…），it was sunny（rainy，windy，foggy，）2. I got up very early （late）. After breakfast I went to …with my friends by bike，bus，…3. We enjoyed ourselves.4. We forgot the time. We didn't come back until 5 o'clock.5. We all felt very tired，but we were happy.6. I thought I would never forget this trip.7. Last summer，my parents and I went to Beijing for our holidays.8. We visited a lot of places of interest.9. We had a good time there.10. We bought a lot of things. The clothes here are good and cheap.C、比赛1. Last Sunday，Class One had a football match with Class Two.2. All of us went to watch it.3. The match was very exciting.4. In fact，I have never seen such an exciting match before.5. The score was 5-3. Our team scored three goals in the last fifteen minutes.6. Class One won this match. Class Two lost.7. Class One played well. They deserved to win.8. Their PE teacher was very pleased with their performance.D、健康1. It is very important to keep healthy.2. How can we keep healthy？3. We can't go to sleep too late. We can't get up too late.4. We should eat the food healthily.5. We should do more exercise.6. Last Tuesday I got a cold and had a pain in my head.7. I didn't feel like eating anything.8. I decided to see the doctor.9. In the doctor's office，the doctor looks over me carefully.10. He said ："Nothing serious." And he told me to take a rest and drink more water.11. A nurse gave me an injection. It was a little painful.12. The doctor asked me to take the medicine three times a day.13. A few days later，I felt better. From then on I believe that keeping healthy is the most important thing in the world.E、学科1. My favorite subject is English.2. More than three quarters of the information on the Internet is in English.3. It is used by travelers and business people all over the world.4. China has joined the WTO and the Olympic Games will be held in China. English becomes more and more useful.5. So English is very important and I like English very much.6. We have a lot of fun in the English class.7. Our English teacher often makes us happy in the English class.8. I hope I can go abroad one day，and then I can speak to foreigners in English.9. I like English and try my best to learn it.F、节日1. In China the most important holiday is the Spring Festival.2. It comes in January or February.3. On the Spring Festival Eve people have a big dinner. They have a lot of nice food to eat.4. During the Spring Festival people have a lot of interesting things to do.5. People visit their relatives and friends.6. They greet each other with a hug and say，"Happy New Year".7. As China is a big country，people in different places celebrate this holiday in different ways.G、写人1. His name is Jack.2. He was born in London in 1982.3. He is 1.68 meters tall and weighs 52 kilos.4. He is 20 years old.5. He comes from England.6. He is a good ping-pong player.7. He is medium build.8. He has short hair.9. He is outgoing. Every one likes to talk with him. He gets on well with us.10. He teaches English very well.11. He works very hard. He works in No.5 Middle School.12. He loves watching football games after work.13. He often helps me with my English.14. At the age of six，he began to play table tennis.H、生活1. Jim got up very early.2. Jim cleaned the room and do the housework.3. Jim went to shop and did some shopping.4. Jim did some cooking.5. Jim fed the cat.6. Jim sweeps the floor.7. He washes the dishes.8. He has lunch at school.9. It is a busy day. He is very tired. But he feels happy.五：开头/中间/结尾句型选择A、开头句型选择1、关于……人们有不同的观点.一些人认为……There are different opinions among people as to ____ .Some people suggest that____.2、俗话说(常言道)……，它是我们前辈的经历，但是，即使在今天，它在许多场合仍然适用.There is an old saying______. Its the experience of our forefathers，however，it is correct in many caseseven today.3、现在，……，它们给我们的日常生活带来了许多危害.首先，……;其次，…….更为糟糕的是…….Today，____，which have brought a lot of harms in our daily life. First，____ Second，____. What makes things worse is that______.4、现在，……很普遍，许多人喜欢……，因为……，另外(而且)…….Nowadays，it is common to ______. Many people like ______because ______. Besides，______.5、任何事物都是有两面性，……也不例外.它既有有利的一面，也有不利的一面.Everything has two sides and ______is not an exception，it has both advantages and disadvantages.6、关于……人们的观点各不相同，一些人认为(说)……，在他们看来，……People’s opinions about ______ vary from person to person. Some people say that ______.To them，_____.7、人类正面临着一个严重的问题……，这个问题变得越来越严重.Man is now facing a big problem ______which is becoming more and more serious.8、……已成为人的关注的热门话题，特别是在年青人当中，将引发激烈的辩论.______ has become a hot topic among people，especially among the young and heated debates areright on their way.9、……在我们的日常生活中起着越来越重要的作用，它给我们带来了许多好处，但同时也引发一些严重的问题.______ has been playing an increasingly important role in our day-to-day life.it has brought us a lot ofbenefits but has created some serious problems as well.10、根据图表/数字/统计数字/表格中的百分比/图表/条形图/成形图可以看出…….很显然……，但是为什么呢?According to the figure/number/statistics/percentages in the /chart/bar graph/line/graph，it can beseen that______ while. Obviously，______，but why?11、Recently，the problem of …has aroused people’s concern.最近，…问题已引起人们的关注.12、Internet has been playing an increasingly important role in our day-to-day life. It has brought a lot ofbenefits but has created some serious problems as well.互联网已在我们的生活中扮演着越来越重要的角色.它给我们带来了许多好处，但也产生了一些严重的问题.13、Nowadays，(over population) has become a problem we have to face.如今，(人口过剩)已成为我们不得不面对的问题了.14、With the development of science and technology，more and more people believe that…随着科技的发展，越来越多的人认为…B、中间过渡篇引出不同观点：1、People’s views on…vary from person to person. Some hold that…. However，others believe that….人们对…的观点因人而异.有些人认为….. 然而其他人却认为...2、People may have different opinions on…人们对…可能会有不同的见解.3、Attitudes towards (drugs) vary from person to person.人们对待吸毒的态度因人而异.4、There are different opinions among people as to…关于…. 人们的观点大不相同.5、Different people hold different attitudes toward (failure).对(失败)人们的态度各不相同.6、A lot of people seem to think that…很多人似乎认为…7、It is commonly believed that…/ It is a common belief that…人们一般认为…8、Many people insist that…很多人坚持认为…( 励9. 宾语从句：我认为，……/ 我认为……不I think / I don't think that …我想知道是否……I wonder whether …例：He doesn't think I should stop him joining the club.他认为我不应该阻止他参加这个俱乐部.10. Since + 主语+ 过去式，主语+ 现在完成式.例：Since he went to senior high school, he has worked very hard.自从他上高中，他就一直很用功.11. how 引导的感叹句例：那至少可以证明你很诚实.At least it will prove how honest you are. 8. 状语从句A)如果你不……，你就会……If you don't …，you'll …例：If you don't keep working hard, you'll lose the chance. 如果你不坚持努力工作，你就会失去这次机会.B) 如此……，以至于……so …that …例：At that moment, I was so upset that I wanted to give up. 当时，我非常伤心，最后都想放弃了.C、结尾句型1、Taking all these factors into consideration，we naturally come to the conclusion that…把所有这些因素加以考虑，我们自然会得出结论…2、Taking into account all these factors，we may reasonably come to the conclusion that…考虑所有这些因素，我们可能会得出合理的结论…3、Hence/Therefore，we’d better come to the conclusion that…因此，我们最好得出这样的结论…4、There is no doubt that (job-hopping) has its drawbacks as well as merits.毫无疑问，跳槽有优点也有缺点.5、All in all，we cannot live without…But at the same time we must try to find out new ways to cope with the problems that would arise.总之，我们没有…是无法生活的.但同时，我们必须寻求新的解决办法来对付可能出现的新问题.6、It is high time that we put an end to the (trend).该是我们停止这一趋势的时候了.7、It is time to take the advice of …and to put special emphasis on the improvement of …该是采纳…的建议，并对…的进展给予特殊重视的时候了.8、不用说……It goes without saying that = It is obvious that …例：不用说早睡早起是值得的.It goes without saying that it pays to keep early hours.9、……是必要的It is necessary (for sb.) to do / that ………是重要的It is important(for sb.) to do / that ………是适当的It is proper (for sb.) to do / that ………是紧急的It is urgent (for sb.) to do / that …例：It is proper for us to keep the public places clean.It is proper that we (should)keep the public places clean. 我们应当保持公共场所清洁.。
解决方法题型英语作文模板
解决方法题型英语作文模板英文回答：As a student, I often encounter various problems that need to be solved. When it comes to problem-solving, there are a few key steps that I always follow to find a solution.First and foremost, I believe it is important toclearly define the problem at hand. This involvesidentifying what the issue is and understanding why it is a problem in the first place. For example, if I am struggling with a difficult math problem, I need to break it down and figure out exactly what I am having trouble with.Once I have a clear understanding of the problem, Ithen brainstorm possible solutions. This can involvethinking outside the box and considering different approaches. For instance, if I am having trouble with a particular subject in school, I might ask a friend for help or look for online resources to supplement my learning.After coming up with a few possible solutions, I then evaluate each option carefully. I weigh the pros and cons of each solution and consider which one is the most practical and effective. It's important to not only consider the short-term benefits but also the long-term consequences of each choice.Finally, once I have chosen a solution, I take action and implement it. This may involve seeking help from a teacher or tutor, practicing more on my own, or adjusting my study habits. It's important to be proactive and persistent in solving the problem, as giving up too easily will not lead to a resolution.In conclusion, problem-solving is a skill that can be developed and honed over time. By following these key steps – defining the problem, brainstorming solutions, evaluating options, and taking action – I am able to effectively solve problems and overcome challenges in various aspects of my life.中文回答：作为一名学生，我经常遇到需要解决的各种问题。
六年级数学解决问题的几种题型解决方法
六年级数学解决问题的几种题型解决方法六年级数学解决问题的几种题型解决方法一、解决分数一步应用题的步骤：1.找出单位“1”的量，通常在含有分数的句子中或者是“占”、“是”、“比”的后面。
2.判断单位“1”的量是已知的，还是未知的。
3.如果单位“1”的量是已知的，用乘法列式计算；如果是未知的，用除法列式计算，最后要写单位并作答。
经典练：1.10千克的5是（）千克，（）千克的5是2千克。
2.30的5是（），24个12是（）。
3.10×7表示（），54表示（）。
4.一支钢笔原价7元，打5折后的价钱是（）元。
5.五一班有学生60人，女生人数是全班人数的2，女生有（）人。
6.一辆小汽车每小时行60千米，5小时行（）千米。
7.1吨甘蔗含糖5吨，4吨这种甘蔗含糖（）吨。
8.图书室买来160本科技书和文艺书，其中文艺书占4，文艺书有（）本，科技书（）本。
分数乘法应用题（2）求一个数的几倍或几分之几是多少，用乘法算。
1.五（一）班有学生48人，男生人数是全班人数的3，女生人数是男生人数的2，女生有多少人？2.果园里有75棵苹果树，梨树棵数比苹果树的3多15棵，梨树有多少棵？杏树棵数比梨树的5少17棵，杏树有多少棵？3.加工一批零件，计划每天加工150个，实际每天比计划多加工3，实际每天加工多少个？4.加工一批零件，计划每天加工150个，实际每天比计划少加工3，实际每天加工多少个？分数除法应用题（1）1.（）的3是8.2.4乘（）是20.3.一个数的6是12，这个数是多少？4.一个数的7是15，求这个数。
5.8是3的几分之几？小结：已知一个数的几倍或几分之几是多少，求这个数，用除法算。
2.五年级有学生270人，占全校人数的9，全校有多少人？3.某校有三好学生80名，是全校学生总人数的5，全校有学生多少名？分数除法应用题（2）已知一个数的几倍或几分之几是多少，求这个数，用乘法算。
1.一个数的6是12，求这个数。
解决问题重点题型
1、两个小组比赛穿珠子，第一组有8人，每人穿了5串，第一小组一共穿了多少串珠子？
第二小组比第一小组多穿了8串，第二小组一共穿了多少串珠子？（求比一个数多几或少几的数）
2、小明家门前种了两排桃树，一排6棵，另一排有5棵，还种了6排梨树，每排有5棵。
（1）小明种了多少棵桃树？（2）小明种了多少棵梨树？（几个几与几和几问题）
3、有3种丁香花，花瓣分别为3瓣、4瓣和5瓣。
（1）3朵5瓣的花共有多少个花瓣？（2）1朵4瓣的和1朵5瓣的花共有多少个花瓣？（3）4朵5瓣的和1朵3瓣的花有多少个花瓣？（综合题型）
4、有5辆独轮车，每辆独轮车上准备载6名杂技演员。
（1）5辆独轮车一共能载多少名杂技演员？
（2）现在每辆独轮车上各载了4人，每辆独轮车还有载几人？5辆独轮车上还要载几人？
（综合题型）
1、判断角。
2、按要求画角。
比直角小的角。
比直角大的角。
直角。
锐角。
钝角。
3、按要求画线段。
画一条5厘米长的线段。
画一条比5厘米长的线段。
画一条比6厘米短2厘米的线段。
小学数学解决问题题型解析大全
小学数学解决问题题型解析大全1、已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元?解析：列方程解含有两个未知数的应用题；差倍问题．此题也可以用算术法计算：由已知条件可知，一张桌子比一把椅子多的288元，正好是一把椅子价钱的（10-1）倍，由此可求得一把椅子的价钱．再根据椅子的价钱，就可求得一张桌子的价钱，所以：一把椅子的价钱：288÷（10-1）=32（元）一张桌子的价钱：32×10=320（元）；答：一张桌子320元，一把椅子32元．2、3箱苹果重45千克。
一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克?解析：可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量，再加上3箱苹果的重量，就是3箱梨的重量．据此解答45+5×3，=45+15，=60（千克）；答：3箱梨重60千克．3、甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。
甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米?解析：4×2÷4=8÷4，=2（千米）；答：甲每小时比乙快2千米．4、李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支，李军又给张强0.6元钱。
每支铅笔多少钱?解析：0.6÷[13-（13+7）÷2]，=0.6÷[13-20÷2]，=0.6÷3，=0.2（元）；答：每支铅笔0.2元．故答案为：0.2．5、甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。
由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。
甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距多少千米?(交换乘客的时间略去不计)解析：：根据已知两车上午8时从两站出发，下午2点返回原车站，可求出两车所行驶的时间。
根据两车的速度和行驶的时间可求两车行驶的总路程。
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高考英语作文模板(二)：解决方法题型
1.问题现状;
2.怎样解决(解决方案的优缺点)。
In recent days, we have to face the problem___________________(问题), which is becoming more and more serious. First, ___________________ (说明问题的现状).Second, ___________________ (举例进一步说明现状).
Confronted with ___________________(问题), we should take a series of effective measures to cope with the situation. For one thing, ___________________ (解决方法一). For another ___________________ (解决方法二). Finally, ___________________ (解决方法三).
Personally, I believe that___________________ (我的解决方法). Consequently, I ’m confident that a bright future is awaiting us because ___________________ (带来的好处).
1. 今年寒假，你参加了社会实践活动，去某旅行社当业余导游。
请根据该旅行社提供的数据和你的所见所闻，用英语写一篇短文，作为寒假作业交给你的英语老师。
Number of people in City X traveling abroad in 1996, 2001 and 2006
要求：1. 简析表格，说明产生这种现象的原因；2. 结合漫画，谈谈境外旅游出现的问题；
3. 针对所出现的问题阐述你自己的看法（至少两点）；
4. 词数120左右；
5. 参考词汇：吐痰 spit v.
When people ’s life is getting better and better, more and more people choose to spend their holidays abroad. The year 2006 sees a sharp increase in the number of overseas
travelers compared with the year 2001, when the number was already much larger than that of the year 1996. It ’s a good thing that Chinese tourism is developing very fast. However, reports about people ’
s bad manners flood in. Some are even asked if all Chinese spit and
litter everywhere. The poor behavior has done great harm to the image of China, which is really shameful.
China has long been regarded as a country with good manners. Everybody should keep some do’s and don’ts in their mind to guide their behavior in public, home and abroad. Win respect for yourself and our country!
5. 根据图画写一篇短文，叙述某天小明与其妈妈发生的故事。
①妈妈阻止儿子去扶摔倒的女孩；②儿子对于倒了的油瓶置之不理。
要求：1．不仅要表述出图中的内容，还要发表自己的感想；
2．字数：100字左右；3．开头已给出。
One day, Xiao Ming saw a little girl fall over. He wanted to help the girl up, but his mother stopped him and said, “Don’t do that, otherwise others will think it was you who knocked her down.” A few days later, the mother was shocked to see Xiao Ming just let the fallen oil bottle be. And Xiao Ming said to his mother, “If I did something about the bottle, you would think that it was I who knocked it over.”
I disagree with what the mother did in the story. I think parents should set a good example to their children. They should not only care for their children’s health, but their minds. They should let their children know it is a pleasure to help others who are in trouble. We live in the society which is a big family for all of us.
Everyone should do something good to build up our society, right?
6. 下列图表反映的是我校2002年与2005年学生健康状况调查的部分数据。
请你用英文为
某报写一份报告，反映该校三年间学生健康状况的变化情况，分析其原因并提出相应的改进措施（不少于两条）。
注意：1．报告必须包括图表中所有内容。
2．词数：120左右。
第一句已给出（不计入总词数）。
A recent survey shows that the health of the students in our school has been going from bad to worse in the past three years . The number of nearsighted students has increased from 78.2% in 2002 to 92.5% in 2005 , and that of overweight , from 36% to 52.4%. Compared to 2002 nearly 10% more students lack sleep because of more homework to do .
Besides , over 15% more students has become mentally unhealthy .
To improve students’ health , we call for less homework . Only in this way can students get plenty of sleep and meanwhile prevent them from getting nearsighted . Proper diets and exercise should also be paid attention to so that they won’t easily put on weight . With their heavy burdens removed , students can then be mentally healthy.
12. 根据以下图画再结合你的想象，写出一篇100字左右的短文：
It is the old man’s birthday today. Now he is sitting on a sofa alone. Maybe his wife has been dead. On the right side is a big birthday cake sent by his son. And there are also some presents given by his daughter on the left. Yet the old man doesn’t feel happy. Instead, he looks very sad because he is lonely.
Our life is getting better and better than before. Some people think that old people will be satisfied as long as they have enough to eat and drink. I think they are quite wrong. Old people easily get lonely because they have no work to do. So we should spend as much time together with them as we can and take care of them in every possible way.。