23[1].函数思想在数学解题中的应用-李鸿艳
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中，函数思想是一个非常重要的概念。
函数不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
在高中数学解题中，函数思想的应用几乎无所不在，它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
本文将从几个具体的数学问题入手，探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
一、函数思想在代数问题中的应用代数是高中数学中一个非常重要的部分，而函数思想在代数问题的解决中起着至关重要的作用。
以一道典型的代数题目为例：已知函数f(x) = 2x-1，g(x) = x^2+3x，求f(g(x))。
在这道题目中，我们需要先计算出g(x)，然后将g(x)的结果代入f(x)中去，以求出f(g(x))。
这就是典型的函数嵌套运算，也是函数思想在代数问题中的应用。
通过这种方式，我们可以将复杂的代数运算分解成简单的函数运算，更好地理解和解决问题。
在高中代数中，还有很多其他类型的问题可以通过函数思想来解决，比如函数的复合、反函数的求解、函数的范围与值域等。
函数思想可以帮助学生更好地理解代数问题的本质，从而更好地解决各种代数题目。
已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标是（1，2），求a、b、c的值。
在这道题目中，我们可以将顶点坐标（1，2）代入抛物线的一般式方程中去，得到一个方程组。
然后通过函数思想，将方程组中的未知数a、b、c进行化简和求解，最终得到a、b、c的值。
这就是函数思想在几何问题中的应用，通过将几何问题转化为函数问题，更好地解决了几何问题。
已知数列{an}满足an+1 = an + 2n，a1 = 1，求a10的值。
在这道题目中，我们可以通过递推关系式来计算数列的各项，也可以建立与数列{an}对应的函数f(x)来求解。
通过函数思想，我们可以将数列问题转化为函数问题，从而更好地解决了数列问题。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用作者：蔡慧鸿来源：《黑河教育》2020年第01期[摘要]函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想。
它是高中数学解题的重要思维策略，是一种考虑对应、运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法。
函数比较抽象，学生单纯依靠题意和理论理解难度很大，这就要求学生必须运用一定的数学思想才能化繁为简，以达到理清函数的本质，并找到抽象问题解决的突破口，进而实现完美解答的目的。
本文以函数思想在高中数学解题中的应用为研究载体，阐述培养学生多元思维的方法。
[关键词]函数思想;构造函数;函数模型;函数性质近年来，高考数学试题落实新课程标准要求，以高中数学六大主干知识为考查的重难点，同时兼顾向量、不等式等非主干知识，通过模块间的综合、渗透，突出能力的考查，力求综合考量学生的数学素养，包括数学运算、数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。
高中数学教学的重要环节是提高学生的解题能力，增强学生的数学思想应用意识，不断提高學生的数学素养。
高中数学题型多变，如何快速、正确解题也成为影响学生数学成绩提高的重要因素。
分析发现，高中数学解题并非无章可循，应用正确的数学思想往往能达到事半功倍的效果。
其中，函数思想是重要的一种思维策略。
那么，如何引领学生应用函数思想来解题呢？一、将代数式看作函数来解题解答高中数学部分题型时，直接进行解答难度较大，而且部分学生因无法处理已知量与未知量之间的关系，导致解题出错。
此时，如能结合题目中的已知条件，将代数式看作函数来解题，可使数学解题柳暗花明。
函数思想的应用意识培养，要求教师多呈现相关题型，通过对比分析提升学生的代入感，并在解题中形成良好的思维习惯。
例如，已知函数f（x）=ax3-x+1，为能保证x∈[-2，3]，总有f（x）≥0成立，请问实数a 的取值范围是什么？分析：解答该类恒成立问题的题目时，不少学生认为应将a分离出来而后进行解答，此种解题思路是正确的，不过在分离参数之前，应当先通过对式子、数据进行分析，显然本题在分离参数a时，不等式两边同时除以a的系数，因此需要对a的系数的正负情况进行讨论，即，当x=0时，显然f（x）=1>0。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。
在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。
函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。
使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。
通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。
【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。
1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。
在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。
通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。
在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。
在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。
1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。
本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。
通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。
本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 了解函数思想的重要性了解函数思想的重要性是高中数学学习中的重要一环。
函数思想可以帮助我们更好地理解问题，提高问题解决的效率。
通过了解函数思想，我们可以更快地找到问题的核心，从而更快地解决问题。
函数思想也可以帮助我们建立起对数学知识体系的整体认识，提高数学思维的深度和广度。
在高中数学学习中，函数思想是贯穿始终的一个重要内容。
无论是在解代数方程还是解几何问题，函数思想都扮演着重要的角色。
了解函数思想可以让我们更好地理解数学概念，提高解题的速度和准确性。
所以，掌握函数思想对于高中数学学习来说是至关重要的。
1.2 高中数学解题的特点高中数学解题的特点主要包括题目形式简单、题目类型多样、涉及知识面广泛、考察思维能力强等特点。
在高中数学学习中，学生需要掌握各种数学概念和方法，能够灵活运用这些知识解决各类数学问题。
高中数学解题通常需要考虑多个因素，需要学生进行一定的逻辑推理和分析，以找到解题的有效方法。
另外，高中数学解题还常常涉及到多个知识点的综合运用，需要学生具有整合和综合能力，能够将所学知识有机地结合起来解决问题。
由于高中数学解题的特点，学生在解题时往往需要一定的思维方法和技巧，能够快速准确地分析问题并找到解决方法。
因此，深入理解和灵活运用函数思想在高中数学解题中具有重要的意义，可以帮助学生更好地应对各种数学问题，提高解题效率和准确性。
2. 正文2.1 函数思想在代数方程中的应用在高中数学中，代数方程是一个重要的内容，通常涉及到未知数的关系和等式的求解。
函数思想在代数方程中的应用可以帮助我们更加清晰地理解和解决这些问题。
我们可以将代数方程中的未知数看做自变量，而等式则可以看做一个函数关系。
通过建立数学模型，我们可以将复杂的代数方程简化成一个函数方程，从而更好地进行求解和分析。
函数思想可以帮助我们对代数方程的图像进行理解和分析。
通过绘制函数图像，我们可以直观地看到方程的解和特性，从而更好地理解方程的含义和求解方法。
--函数思想在解题中的应用
函数思想在解题中的应用摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。
关键词：函数思想；解题；应用；引言函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明．1、 利用函数的单调性解题单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛．例1 解不等式05110)1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。
观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 5125)12(33+>+⋅++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+=∵3x 及x 5均为增函数．∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()12(x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+12． 解得11<<-x 或2-<x ,此即为原不等式的解． 例２解方程0)3)12(2)(12()392(322=+++++++x x x x 解：构造函数)32()(2++=m m m f ，则方程变为)3()12(x f x f -=+又因)(m f 在R 上是单调递增函数，故有x x 312-=+．解得51-=x ．经检验知51-=x 是方程的解．规律概括：不等式问题往往可通过构造函数的方法将问题转化为函数的图像或单调性问题．２、利用函数的奇偶性解题奇偶性是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．例３已知：4040221052345234)57473()57473(x a x a x a a x x x x x x x x ++++=-++---++ 试求4020a a a +++ 的值．分析：设52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f ．即可知)()(x f x f =-即)(x f 是偶函数,从而使问题获解．解：构造函数52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f . ∵52345234]5)(7)(4)(7)(3[]5)(7)(4)(7)(3[)(--+-+-------+-+-=-x x x x x x x x x f 52345234)57473()57473(-++---++=x x x x x x x x)(x f =∴)(x f 为偶函数．∴404022104040332210x a x a x a a x a x a x a x a a ++++=++-+-从而039531=====a a a a∴1024)57473()57473()1(554020=-++---++==+++f a a a规律概括：仔细观察目标式的结构特征，运用构造函数的方法，将问题转化为函数问题是一种常用的解题策略．本题正是通过构造函数，并利用函数的奇偶性从而使问题顺利获解．3、 利用函数值域解题求函数的值域,涉及到众多的数学知识,构成了中学数学的重要横向知识体系,同时也为利用函数值域解题提供了广阔天地．尤其对某些含参数的不等式,在分离参数的基础上,通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围,从而避免了对参数的繁琐讨论． 例4 当m 为何值时,方程02122=--+m x x 有实根 分析：x x m 2122-+=则方程有根的条件,即转化为函数的值域问题． 解：方程变形为x x m 2122-+=． 令)0(12,212≥-=-=t t x x t 则则45)21(1222+--=++-=t t t m ∵4545)21(,02≤+--≥t t 则 ∴452≤m 解得2525≤≤-m 即当2525≤≤-m 时，原方程有实根． 规律概括：如果函数用解析式表示)(x f y =，则解析式可看作关于y x ,的方程，反之，方程0)(=-y x f 又可看作函数)(x f y =，于是使关于x 的方程0)(=-y x f 有解的y 的范围，即是函数)(x f y =的值域．４、利用一次函数的保号性解题某些数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数)(x f 在区间],[b a 上函数值的符号问题,从而使问题获解．例５ 设c b a ,,为绝对值小于１的实数，求证：01>+++ca bc ab证明：∵11,11,111)(1<<-<<-<<-+++=+++c b a bc a c b ca bc ab 且∴当0=+c b 时，有0112>-=+++c ca bc ab ．当0≠+c b 时，构造函数1)()(+++=bc x c b x f ，由0)1)(1(1)1(>++=+++=c b bc c b f ；0)1)(1(1)1(>--=++--=-c b bc c b f ．知对11<<-x ，都有0)(>x f 成立，所以0)(>a f ，即01>+++ca bc ab ．规律概括：不等式问题通常可以通过构造一次函数的方法将问题转化为一次函数在某一区间上的函数值的符号问题从而使问题得以解决．５、利用二次函数的性质解题二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如q mn p n m ==+,的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决．例６已知b a c R a +>∈+2,，求证：ab c c a ab c c ab c -+<<-->222;．证明：构造函数0,0)1(,2,2)(2><+>+-=a f b a c b cx ax x f 又因知由，故函数图像与x 轴在1=x 的两边各有一个交点，从而有0442>-=∆ab c ，即ab c >2．解方程02)(2=+-=b cx ax x f ，得a ab c c x a ab c c x -+=--=2221,． ∴aab c c a ab c c -+<<--221，即ab c c a ab c c -+<<--22 规律概括：将目标式构造成二次函数，并利用二次函数的性质解题是一种重要的方法，往往是利用二次函数的图像与x 轴的交点和判别式来求解．总结：从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思想的应用相当广泛，函数思想在解题当中所具有神奇力量也可见一斑．但这些方面都涉及到最基础知识．构造函数，利用函数思想解题，需要解题者不断强化训练，在解题过程当中“悟出”函数来．只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果．。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用函数是高中数学中的重要概念，也是数学研究中的核心内容之一。
函数思想的应用在高中数学解题中起着重要的作用，几乎贯穿于整个数学解题的过程。
下面我们来具体分析函数思想在高中数学解题中的应用。
在解决实际问题中，函数思想能够帮助我们建立模型，从而更好地求解问题。
对于一些实际生活中的问题，通过分析，我们可以发现其中的规律和关联，建立函数模型，并用数学语言描述。
通过研究和分析函数的性质，我们可以得到一些问题的解决方案。
当我们在求解一个实际问题中遇到关于面积、体积、速度等方面的问题时，往往需要通过函数思想建立相应的模型，然后用已知条件求解未知量。
在解决数学问题中，函数思想能够帮助我们分析和理解问题，找到问题的关键点。
通过函数思想，我们可以将一个复杂的问题转化为更简单的问题，从而更好地解决。
在求解代数式的值域、最值问题时，我们可以通过分析函数的图像、性质，找到函数的极值点、零点等特殊点，从而解决问题。
函数思想还可以帮助我们在解决综合问题中进行归纳和推理，拓展问题的解法。
在证明数学结论中，函数思想也起着重要的作用。
通过函数思想，我们可以建立数学推理的框架，从而更好地进行证明。
在证明函数的性质时，我们可以通过对函数图像进行分析，推导出函数的性质，从而得到结论。
在证明数列的性质时，我们可以将数列看作函数的变形，通过函数的性质进行证明。
函数思想不仅可以帮助我们解决具体的数学问题，还可以提高我们的证明能力。
在解决优化问题中，函数思想也发挥着重要的作用。
通过对函数的研究，我们可以找到最优解。
在求解最值问题时，我们可以通过函数的极值点来找到最值点。
在求解最优化问题时，我们可以通过函数的性质来找到最优解。
函数思想在高中数学解题中的应用非常广泛。
它能够帮助我们建立模型，分析和理解问题，找到问题的关键点，进行证明推理，并解决优化问题。
学习和掌握函数思想对于高中数学的学习和解题是非常重要的。
希望通过不断地练习和思考，我们能够更好地应用函数思想解决各类数学问题。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用函数是数学中非常重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。
在解题过程中，函数思想能够帮助学生更好地理解问题，建立数学模型，解决实际问题，在数学学科中占据着重要的地位。
本文将从函数的概念、特点和应用等方面，探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
一、函数的概念及特点函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
通俗地说，函数就好比是一个“机器”，输入一个自变量，通过某种规则，输出一个因变量。
在数学上，函数一般用f(x)或者y来表示，其中x为自变量，y为因变量。
函数的概念在高中数学课程中首次出现，学生在初步学习了直线函数、二次函数等基本函数后，能够理解函数的意义和性质。
函数的概念是数学建模和解题的重要基础，它能够将一个实际问题转化为数学问题，从而进行求解。
函数的特点主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，这些特点可以帮助我们更深入地理解函数。
定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围，单调性是指函数的增减性质，奇偶性是指函数图象关于坐标轴的对称性。
这些特点的概念和性质在解题过程中起着至关重要的作用，能够帮助学生更好地理解和应用函数。
1. 建立数学模型函数的概念是数学建模过程中的关键，通过函数的建立，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行求解。
在物理问题中，通过建立函数模型，可以描述物体的运动规律；在化学问题中，通过建立反应速率函数，可以描述化学反应的速率。
函数思想在高中数学解题中的应用主要体现在建立数学模型这一过程中。
一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，求t小时后汽车行驶的总路程。
通过建立函数模型S(t)=60t，其中S(t)为t小时后汽车行驶的总路程，可以轻松求解题目。
2. 解决实际问题函数的概念能够帮助学生更好地解决实际问题，例如经济学、生态学、医学等领域的问题。
通过函数的建立和应用，可以分析和解决这些实际问题，为实际生活中的决策和问题提供数学支持。
数学解题中函数思想的运用
数学解题中函数思想的运用武功县普集高中党武军摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越来越重要。
本文就其在不等式、数列、三角函数、解析几何、组合和求值等方面的应用作以说明。
关键词：数学思想函数思想构造函数应用在数学教学中，按照大纲要求必须对学生进行相关数学思想渗透与培养。
因为数学思想不仅始数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分。
所谓数学思想，就是对数学的知识内容和被所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。
它包括：分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、正难则反思想等等。
本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。
所谓函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题转化问题并解决问题。
函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。
一、解有关不等式问题有些不等式问题运用函数的观点去分析,推理证明过程简洁又明快。
例1.证明不等式：。
简析：一般证法是按或分类讨论,过程繁琐,若构造函数。
利用函数的性质即可获得另一证法。
证明：设是偶函数，因此，当时，从而于是时，故当时，恒有，即。
例2.设实数a>1>b>0，问a，b满足什么关系时，不等式的解集是(1,+)。
简析：欲设不等式的解集为(1,+),只需构造函数，使其在定义域上是增函数，且。
解：设,因,故依题意，只需是(0,+)上的增函数且a>1>b>0是(0,+)上的增函数, 是(0,+)上的减函数是(0,+)上的增函数故是(0,+)上的增函数又,令则因此,满足的关系式为。
二、数列数列的实质是函数，用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解，加强知识点间的联系。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用函数思想在高中数学解题中有着广泛的应用。
函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上，其中每一个元素都与另一个元素有一一对应的关系。
函数可以用来描述数学问题中的各种关系，包括数量之间的关系、图形之间的关系以及变化之间的关系等。
在高中数学的代数部分，函数被广泛应用于数学解题中。
在解决方程问题时，我们经常需要使用函数的思想来建立方程模型。
通过设定未知数和已知条件之间的函数关系，我们可以将问题转化为求解这个函数关系的根，从而求得未知数的值。
函数的思想可以帮助我们理清问题的逻辑关系，准确地描述问题，从而更好地解决问题。
在几何部分，函数的思想也发挥着重要的作用。
在解决图形相似的问题时，我们可以通过建立两个图形的坐标系并设立坐标变换函数来描述图形之间的相似关系。
通过分析函数的特征，我们可以得到图形相似的条件，并通过解方程或者不等式来求解问题。
函数的概念还可以用于分析数列问题。
数列是一个按照一定规律排列的数的序列，而函数可以用来描述数列中的项与项之间的关系。
通过分析数列的函数关系，我们可以得到数列的通项公式，从而求得数列的各项值或者求解数列相关问题。
函数还可以用来分析变化率问题。
在高中数学中，我们经常通过求导来研究函数的变化趋势。
通过求导，我们可以得到函数的斜率或者变化率，从而研究函数的最值、极值和拐点等问题。
这种函数的思想在高中数学的微积分部分有着重要的应用。
函数思想在高中数学解题中具有广泛的应用。
通过使用函数的思想，我们可以建立模型、揭示规律、描述关系，并通过数学方法求解问题。
函数不仅帮助我们理解数学规律，还提供了一种简洁、准确、规范的方式来解决数学问题。
函数思想在高中数学的教学和学习中具有重要的地位和作用。
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用作者：李改芹来源：《新校园·学习（中旬刊）》2012年第09期函数部分既是高中数学的一个重要知识点，同时也是一个难点。
许多同学在学习这部分章节知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，但长期以来这部分知识又在高考试题中占据着可观的分值，而且考核的形式也比较灵活，学生在学习过程中稍有不慎就容易造成失分现象。
那么，在平时的学习过程中应该如何训练才能有效解决这一问题，提高函数试题的得分把握呢·下面，笔者就从函数方程思想这一方面来和大家探讨一下。
我们都知道，对于任何一个数学初学者而言，可以把数学知识分为两部分，一部分是固定的公式、定理，这部分内容相对来讲是比较简单的，学生在平时的学习过程中只需要反复多练习，就能够提高应用的熟练程度和解题的准确程度；另一部分则是如何运用这些公式、定理，也就是对于数学学科的认识和理解深度。
大部分学生在高中数学的学习过程中都能较为轻松地掌握第一部分内容，但对于第二部分内容的把握性就相对较低。
换句话来说，学生在高考中之所以在函数部分失分情况较为严重，主要原因就是对于函数部分的本质内容和数学思想没有达到深刻的认识程度。
那么，应该如何把握这部分内容反映的函数与方程思想呢·一、什么是函数与方程思想在高中数学课本上，是这样来分别定义函数和方程的概念的。
函数关系是指自变量与因变量之间的一种特殊的映射关系；方程则是沟通了算术方法与代数方法的重要桥梁。
由此可见，函数与方程在高中数学知识体系中都是起着重要的连接纽带的作用，因此，在高中数学思想中常常将二者合称为函数与方程思想。
函数思想指的是在面对某一个或是某一类试题时，通过深入分析题目中所给的已知条件，结合自己学过的数学知识去构造出一个适合题意的函数模型，这个函数模型一定要是学生在日常学习中经常用到的、熟知其结构特点的函数模型，然后利用构造出来函数的性质去解决问题，找出答案。
而方程思想则是从问题的数量关系入手，找出题目中所给条件和所求问题之间的等量关系，然后以方程或是不等式的形式反映出来，进行通过求解来找出问题的答案。
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在高中数学中的运用摘要：本文着重从两大方面论述了在数学解题中如何恰当的运用函数思想：①借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.关键词：函数、求值、不等式、方程、最大值和最小值、存在性、取值范围．我们在教学的过程中会感觉到，学生会在不知不觉之中就能够解答许多数学问题，也许他们叫不上所用的方法的名字，有时也不需要知道它的名字，很多复杂的数学问题，在他们那很快屡出头绪，得以解决．他们的数学能力增强了，这就是数学方法的魅力．也是我们在教学过程中要教给学生的最重要的内容．函数是中学数学的一个重要概念，函数知识贯穿中学数学的始终，它一直是高考的热点、重点内容．函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、最大值和最小值、图象变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性．在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键．对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型．就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题．让我们来看下面的例题：例1．设x ，y 为实数，满足)()(1200313-+-x x =1-，)()(1200313-+-y y 1=，则=+y x ． 解：令t t t f 20033+=)(，则)(t f 为奇函数且在R 上为增函数，由11-=-)(x f =)()(y f y f -=--11，则y x -=-11，故2=+y x ．例2．设函数||||)(112--+=x x x f ，求使22≥)(x f 的x 的取值范围．解：由于x y 2=是增函数，22≥)(x f 等价于2311≥--+||||x x ． ① （1）当1≥x 时，||||11--+x x =2，∴①式恒成立．（2）当11<<-x 时，||||11--+x x x 2=，①式化为232≥x ，即143<≤x ． （3）当1-≤x 时，||||11--+x x 2-=，①式无解．综上，x 的取值范围是),[+∞43．例3．设n a a a ,,, 21都是正数，证明对任意的正整数n ，下面的不等式成立：)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ ．证明： 下面的不等式对任意的*∈∈N n R x ,都成立：)(22221n a a a +++ 2x + x a a a n )(+++ 212n +0≥，即011122221≥++++++)()()(x a x a x a n ．构造二次函数=)(x f )(22221n a a a +++ 2x +x a a a n )(+++ 212n +．0>i a ，n i ,,, 21=．4=∆∴221)(n a a a +++ 4-)(22221n a a a +++ n 0≤，得)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ ．注：本题是柯西不等式的一个特例，还有其他的证法，但惟有辅助函数法是最简捷、最透彻的证法． 例4．讨论xx 224sin sin +的最值．[分析]本题不能利用基本不等式作出解答“x x 224sin sin +xx 2242sin sin ⋅≥4=”，因为等号只能在22=x sin 时才能取到，而这是不可能的，可构造函数tt t f 4+=)(试解本题．解：显然102≤<x sin ，设x t 2sin =．下面证明当],(10∈t 时，tt t f 4+=)(是减函数． 当1021≤<<t t ，))(()()(21212141t t t t t f t f --=-．021<-t t ，1021<<t t ， 04121<-t t ，021>-∴)()(t f t f ，)()(21t f t f >∴，即)(t f 是],(10上的减函数． )(1f ∴是函数t t t f 4+=)(在],(10上的最小值，又5411=+=)(f ． 54≥+∴t t ，即5422≥+xx sin sin ． 例5．已知a 、b 为不全为0的实数，求证：方程0232=+-+)(b a bx ax 在),(10内至少有一个实根．证明：若0=a ，则0≠b ，此时方程的根为21=x ，满足题意．当0≠a 时，令=)(x f )(b a bx ax +-+232．（1）若0<+)(b a a ，则a a b a f f 4141210=-+-=))(()()()(b a + 0<，所以)(x f 在),(210内有一实根．（2）若0≥+)(b a a ，则)()()(b a a f f +-=241121 041412<+--)(b a a a ，所以)(x f 在),(121内有一实根． 例6．若抛物线22++=ax x y 与连接两点),(10M 、),(32N 的线段（包括M 、N 两点）有两个相异的交点，求a 的取值范围．解：易知过点),(10M 、),(32N 的直线方程为1+=x y ，而抛物线22++=ax x y 与线段MN 有两个交点就是方程122+=++x ax x ，在区间],[20上有两个不等实根．令112+-+=x a x x f )()(，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+=≥=>--=∆<--<.)(,)(,)(,032201004122102a f f a a解不等式组，得a 的范围是123-<≤-a ． 从以上的几个例子，我们看到，在解题时要从各种复杂的函数中划分出基本函数类，这些基本函数是最常见的、最有用的、最基本的函数，研究和总结基本函数的图象、性质及其解题的模式（方法），然后把实际问题或其他复杂函数化归为基本函数来解决，这就是基本函数模型方法．二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.让我们来看下面的例题例7．求使不等式)(1122->-x m x 对于2≤||m 的一切实数m 都成立的x 的取值范围．我们习惯上把x 当作自变量，构造函数m x mx y -+-=122，于是问题转化为：当2≤||m 时，0<y 恒成立，求x 的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.如果把m 看作自变量，x 视为参数，构造函数)()(1212---=x m x y ，则y 是m 的一次函数，就非常简单.即令)()()(1212---=x m x m f .函数)(m f 的图象是一条线段，要使0<)(m f 恒成立，当且仅当02<-)(f 且02<)(f ，解这个不等式组即可求得x 的取值范围是.本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.解：构造函数)()()(1212---=x m x m f ，],[22-∈m ．0<)(m f 在],[22-∈m 上恒成立⎩⎨⎧<-->-+⇔⎩⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-⇔01220322012120121202022222x x x x x x x x f f )()()()()()(213217+<<-⇔x ．∴所求x 的取值范围是),(213217+-． 本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.这是利用变量相对的观点来构造辅助函数的，从中可以看到数学的自由思考的特点．在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的n a 、n S 都可以看作是n 的函数而应用函数思想以获得新的解法．看下面的例题：例8．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知012>S ，013<S ，（1）n 为何值时n S 最大？为什么？（2）求证：121S S >．[解法一]（1）设数列}{n a 的公差为d ，由012>S 且013<S ，可知0≠d ，于是n S 是n 的二次函数，可设)(022x n n d S n -=，其中0x 是抛物线n S y =的顶点的横坐标． 由012>S 且013<S ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-⋅>-⋅0213132021212200)()(x d x d ①当0>d 时，解①得60<x 且560.>x ，这是不可能的．0<∴d ，即知抛物线的开口向下；且解①，得5660.<<x ，而*∈N n ，根据二次函数的最值性，得6S 最大．（2）056212112100000<-=---=---).()(||||x x x x x ，即<-||10x ||120-x ，根据二次函数的图象，得121S S >．[解法二]（1）⎩⎨⎧>+<+⇔⎩⎨⎧+=+=006561211311211213113a a a a a a S a a S )()(.⎩⎨⎧>+=+<+=⇒002121761317a a a a a a a ⎩⎨⎧><⇒.0067a a 根据一次函数n a 的单调性，得：当6≤n ，0>n a ；当7≥n 时，0<n a ．6S ∴最大．（2）)()()(d a d a a a a a a S S 5665656771211211121+---=--=+-=-711a -= 0>，∴121S S >．注：本例是利用一次函数、二次函数的性质解决数列问题．所给两个解法，说明此类等差数列问题既可用二次函数n S 求解，也可用一次函数n a 求解．哪个方法简捷，要由问题的条件来分析．建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想是高中数学中的一种重要思维方式，它在解题过程中起着非常重要的作用。
函数思想以函数为基础，通过建立函数与问题之间的联系，将复杂的问题转化为易于解决
的简单问题。
函数的概念和性质可以帮助我们深入理解问题的本质，并提供了一种具有普
遍性的解题方法。
以下是函数思想在高中数学解题中的应用。
一、函数的建立和性质运用
函数的建立是解题的第一步，通过建立函数与问题之间的联系，可以进一步分析问题，提取问题的关键信息。
在解决最值问题时，我们可以建立一个与问题相关的函数，通过对
该函数的最值进行求解，来得到问题的答案。
在解决函数极值问题时，我们可以通过分析
函数的性质，找到关键点，然后使用导数的概念和性质进行求解。
二、函数的图像和性质分析
函数的图像可以直观地表示函数的性质，通过对函数图像的观察和分析，我们可以得
到很多有关函数的信息。
在解决函数的单调性问题时，我们可以通过观察函数的图像来判
断函数的增减性；在解决函数的奇偶性问题时，我们可以通过观察函数是否关于坐标轴对
称来判断函数的奇偶性。
三、方程与函数的应用
函数与方程是紧密相关的，通过方程可以确定函数的某些性质。
在解决函数的零点问
题时，我们可以通过求解方程f(x)=0，得到函数的零点；在解决函数的值域问题时，我们可以通过求解方程f(x)=y，得到函数的值域。
四、应用题的转化和建模。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用
高中数学中的函数是解决数学问题的重要工具，函数思想在解题中也发挥了很大作用，可以更好地解决一些复杂的数学问题。
首先，将函数作为工具，可以用它们抽象出复杂的函数情况。
例如，若求解函数
y=ax+b，那么可以用 f(x)=ax+b 的函数模型函数对它进行描述。
其次，可以绘制函数图像，更好地进行函数分析，比如，用y=x2的函数图像可以更直观地反映出它的规律性，
更好地分析特征。
再次，学习函数思想可以帮助解决常见的函数问题，比如求函数最大值、最小值的问题，可以使用函数数学思想来解决。
例如，求一元二次方程y=ax2+bx+c的极值问题，在
求极大值时，可以用函数求导法，得出a>0时极大值在x= -b/2a处取得，a<0时极大值在
x= -b/2a处取得；在求极小值时，可以用函数求导法，得出a>0时极小值在x= -b/2a处
取得，a<0时极小值在x= -b/2a处取得。
此外，函数思想也可以用来解决更复杂的函数问题，例如偏微分方程，可以使用函数
来简化复杂的计算过程，使用函数思想求解更加快捷有效。
总之，函数思想是一种非常实用的工具，在解决高中数学题目时有很多应用，可以有
效地简化复杂的概念，使用函数思想对高中数学题目可以更加精确、有效地求解出解答。
也可以有效地理清函数分析和求解的思路，有助于高中学生的学习工作，从而进行准确、
深入的数学解析。
函数思想在高中数学解题应用中的作用分析
素养方略117函数思想在高中数学解题应用中的作用分析★雷康函数作为高中数学中重要的知识点，其解题思路非常关键，在高考中会影响学生的做题速度甚至是最终成绩，所以需要使用多元化解题思路，降低题目难度，帮助学生形成逻辑思维。
在学生的高中阶段，加强培养学生的发散性思维模式和创新意识，能够有效提升学生的解题思路，进而提升学生的数学成绩。
我国教育事业的不断发展以及教育思想的不断更新，都在推动着教师不断寻找积极有效的方法，使得学生的综合素质得以全面提升。
高中数学是高中生重要的科目之一，函数又是高中数学中一大重要板块。
因此教师要注重加强高中函数解题技巧的培养，讲解多元化的解题技巧。
在这一过程中要渗透发散性以及创新性的数学思维，从而使得学生的解题能力以及數学思维能力得到提升，从而提高数学成绩以及数学素养。
一、对数学思维进行创新高中数学的逻辑思维能力较强，比较抽象，在实际数学函数学习过程中，教师一般通过数学函数习题的练习了解学生数学掌握情况，以题海战术为基础锻炼学生数学学习情况.在实际教学中学生源源不断的进行数学函数习题的练习，只能够掌握一种基本解题思路进行解答，虽然通过此方法的运用找到了数学函数的答案，但是对于函数的整体思路和认识不够清晰，最终使得数学函数解题思路长时间处于固定模式中.而且现在很多数学教师讲解函数问题解决方法时，方法和思路比较单一，这也造成了学生解题固定化，缺少思维发散的现象，这样的数学函数教学对于学生提升解题能力和锻炼思维具有消极影响.要根据这样的数学函数问题，进行具有针对性的数学函數解题思维的创新和发散，深入数学函数知识中，以便于在实际数学函数解题过程中，避免受到固定思维模式的限制，能够找到多元化的数学函数解题思路.二、突破定势思维，培养学生发散性思维能力高中生的发散思维能力对于解决函数问题具有着重要的作用，它能够让解题不拘于平凡，热衷追求变异，面对复杂问题时能够用于创新。
高中函数解题教学中，教师一般会培养学生合适的定势思维，这种方式可以让学生迅速简化函数解题步骤，进而快速获取各种类型函数题目的解题方法。
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用摘要：随着我国教育的不断变革，在教学过程中涉及到的学科思想越来越重要，尤其对于中学数学教学来说，这个特点十分明显。
中学时期的教学对学生们是至关重要的，受到社会各界广泛的关注。
对于中学教学科目来说，数学这门科目是十分重要的，学生们在做数学题的时候，需要具有较强的数学知识作为基础，并能够熟练的应用函数思想进行解题。
学生们在学习数学过程中能够合理地运用函数知识解决相关问题，就可以极大的提升学生们的学习效率。
本文主要围绕函数知识在中学数学解题中的应用展开分析。
关键词：函数知识；中学数学解题；应用措施引言现阶段在中学数学教学过程中要求学生们学会合理的利用函数知识解决相关问题。
数学这门学科对学生们数字理解能力、逻辑推理能力要求都比较严格，一旦学生们数学基础知识十分薄弱，那么对于解决数学问题来说也将十分困难。
函数知识作为中学数学教学内容重要的一部分，在数学解题过程中发挥着十分重要的作用。
函数将各个变量之间的关系描述得十分清楚。
在中学数学解题中应用函数知识就是将数学题目中部分数量关系利用函数表达式呈现给学生们，之后让学生们根据函数表达式建立数学模型来解决相关问题。
在数学解题中，应用函数知识解题就表明题中的各个数量关系是不断变化的，并且存在着某种联系，能够形成某个特定的公式，从而方便学生们在解题过程中了解各个数量的变化趋势，以此更加高效地解决相关数学问题。
一、函数思想在中学数学解题中的应用现状（一）函数思想在中学数学解题中学生的应用不积极对于中学生来说，在解决数学问题的时候，利用学过的数学知识进行解决是不可避免的。
大部分的数学题都是需要学生们从题目中找出有用的信息，并利用所学知识将各个信息建立联系，以此来方便解决整个题目。
在数学解题过程中，应用函数知识就是找出题目中各个变量之间的关系来进行解答。
但是在实际教学过程中，大部分的学生们由于函数知识基础薄弱。
因此，在解决数学问题的时候，也不善于运用函数知识解决。
浅谈函数思想在高中数学解题中的运用分析
浅谈函数思想在高中数学解题中的运用分析李㊀侠(江苏省连云港市灌南高级中学㊀２２２５００)摘㊀要:函数思想的运用指的是在数学题目的解答中运用函数概念以及函数性质进行分析与转化ꎬ进而达到解决数学问题的目的.作为一种重要的解题思想ꎬ函数思想在高中数学题目解答中占重要地位ꎬ要求学生在解题中充分考虑对应㊁相依关系ꎬ以及运动变化过程ꎬ将对数学问题的研究由以状态研究为主过渡到研究变化过程的跨越.函数有一定的理解难度ꎬ要求学生有效运用数学思想将题目化繁为简ꎬ进而充分认识问题的本质ꎬ寻找问题解答的突破口.笔者以高中阶段数学题目中的不等式㊁数列㊁方程式问题为代表ꎬ探究函数思想在解决具体问题中的运用.关键词:数学思想ꎻ函数思想ꎻ解题思路ꎻ函数转化ꎻ综合素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)３６－００１８－０２收稿日期:２０２１－０９－２５作者简介:李侠(１９８０.１２－)ꎬ男ꎬ山东省临沭人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀在课程改革的大环境下ꎬ高中数学提倡提升学生的数学思维培养和能力提升.函数思想作为一种较为高级的思维模式ꎬ在数学题目求解过程中将函数思想运用进来可以促进解答效率的提升.所以ꎬ在日常课堂教学中ꎬ教师应将培养学生函数思维视为教学重点内容ꎬ启发和引导高中生寻找题目的正确解题思路ꎬ促使学生透过题目复杂的现象看到本质规律ꎬ将函数思维灵活运用进来.㊀㊀一㊁函数思维的内涵和方法１.函数思想的内涵函数思想是解决数学问题的一种思维方式ꎬ是量与量之间的变化关系的一种反应ꎬ对函数而言ꎬ通常是一一相对的.所以ꎬ 规律 一词可以概括函数思维的基本内涵.比如ꎬ在ｙ＝ｆ(ｘ)这一函数中ꎬ以ｆ为对应法则ꎬ变量范围就是函数的基本构成要素.在函数中ꎬ处于重要地位的通常是自变量的变化情况ꎬ它直接决定着因变量的值.然而ꎬ对于值域而言ꎬ其结果主要是由对应法则㊁定义域所决定的.三者之间存在着紧密的关系.站在整体的角度来讲ꎬ对应法则㊁因变量㊁自变量ꎬ三者之间的关系以及不断变化规律均可以通过函数显示出来.此外ꎬ运用函数思维进行数学问题的解答通常需要建立辅助函数ꎬ将问题转化成函数形式ꎬ再运用函数性质求得结论ꎬ依据我们常用的二次函数㊁一次函数㊁正比例函数㊁指数函数㊁反比例函数等来进行题目求解.所以ꎬ函数思维中所涵盖的内容量较大㊁复杂ꎬ需要学生能够统筹兼顾函数思想ꎬ合理的运用其解答数学问题ꎬ而数学教师应做好辅助引导的工作ꎬ为学生提供解题帮助.２.函数思想的运用方法常用的函数思想运用方法主要有:第一ꎬ整体法ꎬ即根据题目的整体形式进行统一思考ꎬ使解题过程更加便捷.这要求学生理解整体与局部的关系ꎬ善于从整体角度把握不同信息之间的关系.第二ꎬ递推思想法ꎬ这种方式指的是采用递推关系探索方式进行具备一定数学规律的题目的求解ꎬ构建函数ꎬ并运用函数思想解决问题ꎬ通常这种方式要求题目有迹可循ꎬ且与函数具有共同之处ꎬ这种运用方式在数列问题中比较实用.第三ꎬ归纳假设法ꎬ即凭借不完全归纳进行数学问题的归纳假设ꎬ再进行假设验证.在这种方法运用中通常需要建立函数ꎬ运用函数思想及其变化规律开展问题求解.㊀㊀二㊁函数思想应用于数学解题的现实意义１.削弱问题理解难度高中阶段数学知识难度增加ꎬ理论性强ꎬ对学生的逻辑思维要求较高ꎬ若学生的基础薄弱ꎬ逻辑思维不强ꎬ在学习起来将具有较大难度.在数学题目的解题过程中ꎬ部分学生很难找到解题的窍门和方式ꎬ加之数学题目的内容及要求变化多样ꎬ要求学生详细了解已知条件㊁限定条件等ꎬ再进行问题的解答分析.部分学生在高中数学知识解答中凭借大量的习题训练ꎬ或背诵模板的方式来达到解题的目的ꎬ但这样的学习效果相对不明显ꎬ这主要是由８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.于学生对数学思维的理解不够透彻而导致的.在数学问题的解题中ꎬ运用函数思想能够促进学生对知识内容的理解ꎬ并在一定程度上降低学生对问题的理解难度ꎬ促进学生在较短的时间内寻找到更加良好的解题办法ꎬ建立辅助函数ꎬ绘制函数图像等ꎬ将复杂化的函数知识利用相对直观的方式表现出来ꎬ在图像的指引下帮助学生分析和解答问题ꎬ进而促进学生更快㊁更好的解答题目.２.提升教学效率因高中数学知识自身具有的较高难度ꎬ不但对学生的理解能力有较高的要求ꎬ为教师的教学方式也带来更大的挑战.教师应在教学中帮助学生寻找解题的思路和方法ꎬ使学生能够拨开云雾见青天ꎬ找到解题的门路.函数思想的运用可对学生解题的过程发挥推动作用ꎬ教师在教学中加强函数思想的渗透㊁拓展ꎬ凭借函数图像等进行问题分析ꎬ帮助学生理解题目的用意ꎬ确保教师与学生思路一致ꎬ这样即可极大提升教学的教学效率ꎬ构建更加高效的高中数学教学课堂.㊀㊀三㊁函数思想在高中数学中的应用１.利用函数思想解决次数列问题在高中阶段的数学知识内容中ꎬ数列题型很常见ꎬ将函数思想引入该类问题的解答过程颇具裨益.在数列中ꎬ每个数字均被视为数列的项ꎬ然而在题目的求解中则可以将每个项视为项数的函数.针对变量的规律以及变量的发展变化的研究是函数思想的本质内容ꎬ数列主要研究的是数量的分布特征.显而易见ꎬ函数与数列之间具有一定的相通性ꎬ学生可采用数列曲线图的方式来掌握数列的规律.然而ꎬ值得注意的是ꎬ在图像表达中函数具有连续性ꎬ而数列属于正数点位ꎬ这也是数列具有离散性特点的重要原因.对此ꎬ高中生务必具备对数列基本知识有所了解ꎬ再借助图像把握其变化规律和特点ꎬ掌握二者之间的不同点ꎬ进而实现从函数角度对数列问题的解答ꎬ提升其正确性.２.利用函数思想解决不等式问题不等式证明在高中阶段数学题目中占有较大比例ꎬ这类题型具有一定的难度ꎬ对学生的数学思维也具有较高的要求.在不等式问题的证明题类型求解时ꎬ教师和学生均发现了其解题方式与函数之间的关联ꎬ可以将函数思想运用至不等式证明中来ꎬ从根本上讲就是求解对应函数的零点㊁度计应区间及其单调性问题.不等式证明要求高中生具备较好的数学逻辑思维ꎬ在充分考虑不等式形式自身的同时兼顾集的范围.此外ꎬ并注意已知中给出的限定条件加以判断.若不善于运用函数思想或绘制图像ꎬ则会使学生难以理解ꎬ很容易出现解题错误.对此ꎬ高中数学教师在不等式题型的讲解中ꎬ应加强函数思想的渗透和运用.比如ꎬ已知不等式ａ２＋ａｍ＋３>４ａ＋ｍ恒成立ꎬ并且０ɤｍɤ４ꎬ求ａ的取值范围.在解题中ꎬ即可以ｍ为自变量ꎬ建立函数:ｙ＝(ａ－１)ｍ＋ａ２－４ａ＋３ꎬ由此ꎬ不等式即可转换为ｙ>０恒成立ꎬ再根据０ɤｍɤ４这一限定条件进行分析ꎬ就可以计算出ａ的取值范围ꎬ最终完成求证题目.在此过程中ꎬ数学教师应根据学生的需求进行数学思想的渗透ꎬ引导学生在解题过程中寻求技巧ꎬ熟悉解题流程ꎬ使不等式求解的题型练习成为推动学生数学思维养成的有效方式ꎬ在不断的运算和思考中帮助学生掌握数学思维的运用技巧.此外ꎬ教师可以针对相似题目进行类推ꎬ对已有题目举一反三ꎬ转变题型ꎬ反复训练学生思维能力和函数思想应用能力ꎬ促进综合能力发展.３.利用函数思想解决方程式问题在高中数学方程式问题的解答中ꎬ对于存在多个未知数的问题中ꎬ学生经常会感到困惑㊁束手无策ꎬ这时ꎬ善于利用函数思想将取得良好效果.首先ꎬ学生审题后可以依据题目中给出的已知条件列解析式ꎬ在根据解析式的类型进行具体分析.可以将函数式视为已知是 ０ 的数量ꎬ再转化方程式ꎬ对方程式两端进行简要处理ꎬ对于相对复杂的方程式可以先作移项处理ꎬ再绘制方程式图像ꎬ按照图像依据作问题解析.例如ꎬ ｆ(ｘ)＝ｍｘ２＋ｎｘ＋ｃ(ｍ>０)ꎬ方程ｆ(ｘ)－ｘ＝０的两个根ｘ１ꎬｘ２ꎬ满足０<ｘ１<ｘ２<ꎬ在ｘɪ(０ꎬｘ１)时ꎬ求证ｘ<ｆ(ｘ)<ｘ１ 为例ꎬ学生审题后即可得知该题目考察的是对函数与方程式根的关系.列二次函数零点时ꎬ由函数与方程式根之间的关系ꎬ可得ｆ(ｘ)－ｘꎬ再进行ｆ(ｘ)的求解ꎬ这样即可完成求解.㊀㊀参考文献:[１]梁霞.浅析高中数学教学活动中如何培养学生的逻辑思维能力[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(６):７０－７１.[２]董凌云.数学思维在高中数学不等式教学中的重要性探析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(３):２２－２３.[３]仇海宁.高中数学教学中培养学生数学思维能力探析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１８):１８－１９.[４]马维国.浅谈高中数学教学中创造性思维能力的培养策略[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(４７):８７－８８.[５]杨清国.基于核心素养下高中数学创新思维能力培养[Ｊ].读与写ꎬ２０２１ꎬ１８(１３):１５８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用张宏斌(新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县第二中学㊀８４４１００)摘㊀要:数学思想是人类在长期的社会实践以及理论推理中得出来的现实世界与数学公式之间的关系.而函数思想就是数学思想中的一种ꎬ在高中学习中ꎬ函数思想对学生们的解题做题有很重要的影响.可以这样说函数思想贯穿学生高中学习的整个阶段ꎬ数列问题㊁空间几何问题ꎬ以及三角函数等学生们都可以转化为函数进行解决.老师要养成学生们运用函数解题的思想ꎬ在遇到新题型之后ꎬ探索是否能运用函数解决问题.同样函数教学在高中阶段也非常的重要ꎬ因为它是很多问题解题的基础.关键词:高中数学ꎻ函数思想ꎻ问题转化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１８－００２６－０３收稿日期:２０２２－０３－２５作者简介:张宏斌(１９７２.５－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀在高中学习一开始ꎬ学生们就会学习到各种函数ꎬ函数的各种性质需要学生们熟练的掌握理解运用.这些函数是学生们高中学习的基础ꎬ一元二次方程中韦达定理和求根公式ꎬ指数函数与对数函数的运算法则等的应用.１在数学学习中应用函数思想的意义１.１培养学生的数学逻辑思维学习数学最重要的就是要培养学生的数学思维ꎬ也就是培养学生运用数学思想解题的能力ꎬ常见的数学思想有数形结合㊁函数等ꎬ学生如果能够运用这些数学思想进行解题ꎬ便能够在一定程度上提高自身的数学解题能力ꎬ促进自身的全面发展.如果教师在教学的过程中能够渗透函数思想ꎬ那么学生不仅能够更好的理解函数的意义ꎬ还能够综合不同的数学知识点ꎬ让学生以一种系统的方式学习复杂的数学内容.也就是说ꎬ学生将函数作为线索串联了不同的数学知识ꎬ这有助于学生掌握复杂的数学知识ꎬ帮助学生学好数学ꎬ同时也能够锻炼学生运用函数思维解决数学题目的能力ꎬ有助于学生更好的学习数学知识.１.２提高学生的数学解题能力学习数学最重要的就是要培养学生的解题能力ꎬ也是学生应用数学知识的能力.如果教师在教学的过程中能够渗透函数思想ꎬ那便意味着学生能够逐步理解函数的基本内涵ꎬ并且能够将其应用在解决数学题的过程之中ꎬ函数是一种数学思想ꎬ运用这种思维进行解题能够提高学生的解题能力ꎬ这对学生而言是一种高效学习数学知识的方法.所以ꎬ高中数学教师在教学的过程中要善于运用函数思想进行解题ꎬ并以此为范例让学生知晓解题的过程和步骤ꎬ从而让学生具备运用函数思想进行解题的意识ꎬ当学生获得这种解题意识之后ꎬ他们会在做题的过程中运用函数思想ꎬ这有助于学生多个角度寻找解题的方向ꎬ有助于培养学生的解题能力.２在高中数学学习中应用函数思想的措施２.１函数思想在数列中的应用６２在高中阶段学生们会接触到数列ꎬ关于数列的题型大致分为数列的通项公式㊁数列的前ｎ项和这两个.在每年的高考试卷中第１７题不是数列题型就是解三角形ꎬ大多数情况下都是数列题型.在试卷的前面部分的选择和填空题中也会出现数列的题型.可见ꎬ数列是高中数学中的重要内容ꎬ相对其他题型而言ꎬ数列题也容易拿分ꎬ但是需要注意的是ꎬ不少数列题的难度较大ꎬ较为抽象ꎬ教师如果在数列教学的过程中渗透函数思想ꎬ有助于帮助学生更好地理解知识点ꎬ学习数列.数列教学中最简单的就是等差数列和等比数列ꎬ整两个数列的通项公式很容易表示出来ꎬ并且也有相对的求和公式.其实我们可以把等差数列看做不连续的一次函数ꎬ等比数列则是不连续的指数函数ꎬ两种数列对应的前ｎ项和公式也是如此.在学习数列的过程中ꎬ老师都会把数列给学生们写在黑板上ꎬ但是在以后的解题过程中ꎬ更多人会把数列当做一个函数来进行解题.等差数列{ａｎ}的前ｎ项和为ＳｎꎬＳｎ>０ꎬＳｎ＋１<０ꎬ问当ｎ为何值时Ｓｎ最大?这是一个非常常见的数列题型ꎬ当然ꎬ在实际的案例中也会有真正的数据.首先我们要对解题中需要的数据进行假设ꎬ之后再写出Ｓｎ和Ｓｎ＋１的表达式ꎬ判断公差ｄ的正负ꎬ根据题意解出答案.在这个过程中ꎬ就相当于解函数题型.其实完全可以把这个数列的前ｎ项和Ｓｎ画成图像ꎬ图像的两个零点分别是原点和点Ａꎬｎ取值范围在为(１２ꎬ１３).２.２函数思想在三角函数中的运用三角函数是高中数学重要的知识点之一.在必修四第一单元和一五第一单元都是对函数的讲解ꎬ前者关于对三角函数的图像以及规律ꎬ三角函数也是函数的一种ꎬ但是也有自己的特点.如果将函数思想运用到解决三角函数题型之中ꎬ学生对该题型的理解会更加深刻ꎬ在解题的过程中也会更加游刃有余.一般在填空题最后一小题ꎬ选择题中都会出现三角函数.在选择题中主要考察三角函数的二倍角公式的运用以及函数图像的平移问题ꎻ但是在填空题中ꎬ对于三角函数的考察难度较高ꎬ令很多学生望而生畏.函数的图像平移规律都是一样的ꎬ只不过在三角函数中增加了图像的拉伸与压缩ꎬ这对于学生们来说是一个新的知识点.学生们要熟练地掌握二倍角公式ꎬ把题目中所有的角度都换成一个角度ꎬ之后再用换元进行解决问题.这就要求学生们在掌握二倍角公式的基础上ꎬ还要了解正弦角㊁余弦角以及正切角之间的关系.在解三角形问题中ꎬ学生们要熟练的掌握边角互换公式.这部分题型比较抽象ꎬ学生们仅靠思考可能没有没有正确的思路ꎬ在必要时候学生们可以通过画图加深对题型的理解.在运用正弦定理和余弦定理的时候ꎬ通常需要确定三角形边长或者角度范围ꎬ学生们可以运用二次函数图像确定范围.在换元过程中ꎬ学生们要注意三角函数的取值范围ꎬ在很多情况下学生们往往会忘记自己所设参数的取值范围ꎬ而造成解题错误的情况.２.３函数思想在解析几何中的运用函数在几何中的应用是数形结合的完美阐释ꎬ在中学阶段学到的所有的图形ꎬ都可以在二维坐标系中用函数的形式表达出来.在必修二㊁选修１－１第二章㊁必修五的线性规划中学生们都需要用到函数方程解决问题.所以ꎬ教师在讲解几何知识的时候ꎬ要善于将其与函数思想结合起来ꎬ并且要注重用深入浅出的方式进行数学教学ꎬ帮助学生更好得学习几何知识ꎬ培养学生的数学能力.在几何图形中ꎬ最常见的就是用函数解决焦点㊁切线问题ꎬ其实是将问题进行转化的过程.在高考选择的后两题中ꎬ会有一道题是几何题型的焦点问题或者最值问题.第１８题多数学生也会选择建立三维空间坐标系解决问题.第２０题被大部分学生称为试卷上最难的题.这三道题都是将几何问题转化为函数问题进行解决ꎬ首先几何问题是抽象的学生们在考场上无法画出标准的图形以及焦点ꎬ所以学生们只能借助函数解出所求点的坐标.直线与其他图形相交求焦点ꎬ将直线的方程代入其他图形的方程ꎬ通常函数的交点就是所求方程的零点ꎬ韦达定理的熟练掌握是解题的关键所在.同样这种问题看似复杂ꎬ其实如果学生们有思路ꎬ很容易得出答案ꎬ但是计算量会比较大.２.４函数思想在应用题中的运用很多学生在思想中高中学习的数学知识和应用没有关系ꎬ在日常的练习中学生们可能会遇到关于７２统计类问题ꎬ这部分题型多以应用题的形式展现ꎬ但是在高考中这仅仅作为一个很小的知识点ꎬ在填空选择中出现.所以ꎬ教师要能够意识到函数知识与应用题之间的密切联系ꎬ并在教学的过程中借助例子让学生亲自认识到二者之间的联系ꎬ并帮助学生学会运用函数思想解决应用题ꎬ这不仅仅是为了解题ꎬ另一方面ꎬ这种方式也能够帮助学生进一步理解函数知识ꎬ将其更好地内化于心.线性回归方程就是将我们现实生活中的问题ꎬ通过统计运用合适的函数表示出来.在选做题的学习中ꎬ学生们会了解到ꎬ运用参数方程极坐标方程表示不同的图形ꎬ同样这些方程也是函数在几何中的应用的一种表现.在学习导数和统计案例的过程中ꎬ我们会接触到一些生活中的优化问题ꎬ多数情况下是将生活中的问题进行统计制作表格ꎬ之后我们运用二次函数找到其中的最大值或者最小值ꎬ其中也可以运用导数解决部分问题.导数的定义是函数在各点处切线的斜率ꎬ这就会让很多学生都不明白.老师可以将物理的知识和数学知识相结合ꎬ物理中最简单的路程㊁速度㊁加速度ꎬ三者之间的关系就是原函数和导数之间的关系.在路程时间图像中斜率表示速度ꎬ而我们用路程除以时间也是速度ꎬ加速度也是如此ꎬ这样学生们可以清楚的了解到导数的含义.在教学过程中学生们可能会遇到一些应用问题ꎬ但是将应用问题转化为函数的思想ꎬ需要学生们不断思考.其实数学主要是对数字的学习ꎬ如果学生们能有这样的思想ꎬ那么就会把所有的问题都转化为函数的形式解决ꎬ并且在中学阶段ꎬ几乎所有的问题都可以转化为函数ꎬ在高考中９０％的题型都可以运用函数解决ꎬ这就需要学生们用好函数思想ꎬ在遇到题之后能将题中的信息转化为函数的形式之后再通过函数的知识进行解决.总之ꎬ教师要借助数学教学让学生获得这样一种意识ꎬ即函数思想可以与应用题相联系ꎬ这对开拓学生的解题思维具有重要的作用.２.５函数思想在不等式题目中的应用构造函数是将不等式知识与函数思想结合的体现方式.比如:求证ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＋１ȡ０.如果只从不等式的角度出发进行解题ꎬ那么该题的难度较大ꎬ很多学生无从下手.但是如果换个角度思想问题ꎬ那么该题的难度会降低很多.这种转换角度具体而言就是转换解题思路ꎬ借助构造函数的方式将不等式问题转化成函数问题.在该题目中ꎬ教师引导学生将ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＋１ȡ０转化成函数ꎬ构造Ｆ(Ａ)＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＋１ꎬ在这种情况下ꎬ该题便发生了变化也就是说该题从不等式问题转化成了一个函数问题ꎬ这是一个关于Ａ的函数ꎬＡ的取值范围是已知的ꎬ只要证明Ｆ(１)>Ｆ(－１)ꎬ便能够证明Ｆ(Ａ)ȡ０.经过这样的转化ꎬ题目不仅变得容易理解ꎬ而且解题过程也变得简单.从学生的角度考虑问题ꎬ他们是乐于接受这种函数转化的.也就是说ꎬ教师要善于将函数知识与不等式知识结合起来ꎬ借助构造函数的方式解决复杂抽象的不等式问题.教师要在教学的过程中为学生提供此类例题ꎬ从而加强学生的练习ꎬ让学生掌握转化的方法ꎬ提高学生的数学解题能力.总之ꎬ解决该题的关键就是构造函数ꎬ这也就要求学生要具备一定的函数意识ꎬ在遇到具体的题目的时候要有一定的敏锐性ꎬ能够灵活进行转化ꎬ简化做题步骤ꎬ降低解题难度.在中学阶段函数思想是一种解题有效的思想之一.多数的题目都可以通过转化成函数问题ꎬ通过函数解题不仅可以拓展学生们的思维ꎬ同时也非常的方便ꎬ它打破了传统的学生思考问题的方法ꎬ将数字和图形结合起来ꎬ可以清晰明了的让学生们理解题目.函数思想的运用减少了学生走弯路的情况ꎬ将复杂的问题简单化ꎬ帮助学生们找到题目的突破口ꎬ学生们提高成绩有着非常重要的影响.参考文献:[１]李学勤.以函数思想指导高中数学解题的分析与研究[Ｊ].中学生作文指导ꎬ２０１９(３１):１９５－１９６.[２]王鹏.函数思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(２２):５１－５２.[３]杨同才.函数思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].中学数学(高中版)ꎬ２０２０(９):３３－３４.[４]蔡慧鸿.函数思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].黑河教育ꎬ２０２０(１):２８－２９.[责任编辑:李㊀璟]８２。
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用【摘要】函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连接的主干作用.函数思想的应用，就是根据提出问题的数学特征，构建一个相应的函数关系型的数学模型，用函数知识去解决问题.【关键词】函数思想；中学数学；数学特征；数学模型函数思想，就是用运动和变化的观点分析、研究具体问题量的依存关系，剔除问题中的非数学因素，抽象数学特征，用函数的形式把数量关系表示出来，运用函数的性质解决问题的思想.函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，利用函数本身的概念和性质等知识去分析问题、转化问题，从而解决问题.本文结合中学数学教学特点，从几个方面对函数思想的应用进行了较系统的总结.一、运用函数思想求解方程问题函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切联系.一个函数表?_式可以看成是一个二元方程，一个二元方程的两个未知数间如果存在单值的对应关系，那么这个方程也可以看成是一个函数.方程的两端可以分别看成两个函数，方程的解就是这两个函数图像交点的横坐标.因此，许多有关方程的问题都可以用函数思想解决.例1已知q∈（-∞，-1）∪[1，+∞），方程cos2x+sinx-q=0是否有实数根？说明理由.解由原式得：q=cos2x+sinx，令t=sinx，则q=-2t2+t+1（-1≤t≤1）.配方得：q=-2t-142+98，由二次函数图像可知：当t=14时，q取到最大值98；当t=-1时，q取到最小值-2.所以，当q∈（-∞，-2）∪98，+∞时，方程无解；当q ∈[-2，-1）时，方程有实数根.如果从方程的角度解决本题，很难找到有效的解题途径，所以想到把原方程转化为函数：q=cos2x+sinx，又知cos2x=1-sin2x，问题就转化为了二次函数的求最值问题，这样很容易得到答案.二、运用函数思想解决不等式问题在求解及证明不等式的过程中，巧妙地构造辅助函数，利用函数的性质使不等式获证.例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.分析本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算比较麻烦，但可以看出8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1，题中又有x3+5x，所以想到构造函数f（x）=x3+5x，利用函数单调性求解.将原不等式化为2x+13+52x+1>x3+5x.令f（x）=x3+5x，则不等式变为f2x+1>f（x），∵f（x）=x3+5x在R上为增函数，∴原不等式等价于2x+1>x，解得-1。
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２ 尸 ＋２ ｘ 一３ ＞０ （ ｆ （ － ２ ） ＜ ０ ｛ 二 立 卫、 ， 、 ｉ ＿ ＝ ｔ
＝ ｘ ，一 （ ａ ｚ ＋ ａ ） ｘ ＋ ａ 一２ ， 要 证明 命 题 成立， 只
需证明函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象与ｘ轴有两个交点， 由于它的开口向上，只要找到一个实数ｘ ０ ，使 ｆ （ Ｘ Ｏ ） ＜ ０ 即可。比如ｆ （ １ ） ＝ １ 一 （ ａ ２ ＋ ａ ） ＋ ａ 一２ ＝一
科 学 教 育 论 坛
中国科技信息２ ０ ０ ５ 年第 ９ 期 Ｃ Ｈ Ｉ Ｎ Ａ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ Ａ Ｎ Ｄ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ Ｉ Ｎ Ｆ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ｍ ａ ｙ ． ２ ０ ０ ５
函数思想在数学解题中的应用
李鸿艳 广东 省东莞樟木头中学 ５ ２ ３ ６ １ ８
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三、 运用函数思想解数列问题．
数列可以看作是一个定义域为正整数集 Ｎ＊ （ 或它的有限子集｛ １ ， ２ ． ． ． ． ． ． 川） 的函数当自 变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数 列的通项公式也就是相应函数的解析式。因此， 有些数列的问题可用函数思想来解决。
分析：本题的常规解法是用求和公式建立
： 二，
方 程 组， 求出ａ 、 和ｄ ， 进 而 求 出Ｓ ｐ ， Ｑ ， 但 计 算 十
－１ ４ ２ －
分析： 此题若用常规解法，求出判别式△ 是一个关于 ａ 的一元四次多项式，符号不易判 断。若用函数思想去分析题意，即设函数ｆ （ ｘ ）
丫 ｘ ， ＞ Ｏ ， ｘ ２ ＞ ０・ ｌ ＋ ｘ ， ＞ ０ ， １ ＋ ｘ ２ ＞ ０ 又’ ． ＇ ， ｘ ， ＜ ｘ ２ 一ｘ ， 一ｘ ２ ＜ ０
【 例７ ］ 已 知实数ａ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ， 满足ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ＝ ５ ， ａ ２ ＋ ｂ ２ ＋ ｃ ２ ＋ ｄ ２ ＝ ７ ， 求ａ 的取值范围。
解：构造关于ｘ的二次函数ｆ （ ｘ ） ＝ （ ｘ一ｂ ） ２ ＋ （ ｘ一ｃ ） ２ ＋ （ ｘ一ｄ ） ２ － ３ Ｘ ２ 一２ （ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ） ｘ ＋ （ ｂ ２ ＋
（ １ ） 一 （ ２ ） 整理得 （ ｐ一ｑ ） ［ ａ （ ｐ ＋ ｑ ） ＋ ｂ ） ］ ＝一 （ ｐ 一ｑ ）’ ： ｐ｝ｑ 即ｐ 一ｇ７ １０．ａ （ ｐ ＋ ｑ ） ＋ ｂ ＝ 一 １
ｌ ＋ａ ｌ ＋ｂ
击（ 类 似 数 学 第 二 册 Ｐ １ ７ ， ” ）
，因此可以联想 函数 ｆ （ ｘ）
单调性） 任取 ｘ ， ＞ Ｏ， ｘ ２ ＞ Ｏ ， 不 妨设ｘ ， ＜ ｘ ２ ， 则ｆ （ ｘ ， ） ｘ ，＿ ｘ ２－ 一 ｆ （ ｘ ２ ） ＝ ｌ ＋ ｘ ， １ ＋ ｘ ２ （ １ ＋ ｘ ， ） （ １ ＋ ｘ ２ ）
ｘ ， 一ｘ２
函数， 方程的解就是这两个函 数图象交点的横
像与ｘ轴交点问题，就可轻易解决。 解： 本题 （ Ｉ ）（ 川 的结果是
ｊ ｂ ｊ ； ４
ｌ ＋ ａ ａ
【 例４ ］ 已 知ａ ， ｂ ， ｘ ， ｙ 都是实数， 且ａ ２ ＋ ｂ ２ ＝ １ ，
ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ １ ， 求证： ａ ｘ ＋ ｂ ｙ《１ 分析：已知条件中有平方和等于 １ ， 可联想 正、余弦之间的平方关系，利用函数的有界性
变换一个角度， 以ｍ为变量， 构造关于ｍ的一 次函 数ｆ （ ｍ ） ＝ ｍ （ ｘ ２ 一１ ） 一２ ｘ ＋ １ 在卜２ ， ２ 」 上ｆ （ ｍ ） ＜ ０ 恒成立，问题就简单得多。 解： 构造关于ｍ的一次函数ｆ （ ｍ ） ＝ ｍ （ ｘ ２ 一 １ ） 一２ ｘ ＋ １ ， 则由ｆ （ ｍ ） ＜ ０ 对ｍ Ｅ （ － ２ ， ２ ］ 恒成立
了 再 ＞ｃ ／ （ ｃ ＋１ ）
ｂ ａ＋ ｂ
＞
ｃ
（ ｆ （ ２ ） ＜ ０
２ ｘ ＇ 一２ ｘ 一 １ ＜ ０ ｔ
ｄ ２ ， ＋ ＿ １ ．
ａ ２ 一１ ＜ ０ 。 故函 数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图 象与ｘ 轴有 两个
交点，因此命题成立。 Ｉ 例 ２］已知关于 ｘ 的实系数二次方程
（ ｂ ２ ＋ ｃ ２ ＋ ｄ ２ ） ＜ ０ ， 亦即 ４ （ ５ 一ａ ） ２ 一１ ２ （ ７ 一ａ ２ ）
（０
…２ ａ ２ 一５ ａ ＋ ２（０ … １ ／ ２（ａ（ ２ ． ‘ ． ａ
的取值范Ｉ Ｍ 为［ １ ／ ２ ， ２ １
总之， 函数知识涉及的知识点多、 面广， 在 概念性、理解性、应用性都有一定的要求，在 解题时，要善于对所给的问题仔细观察、深入 分析，挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解 析式和妙用函数的性质去解决问题。
问题 。 ５ 在 （ － ２ ， ２ ） 之内或在 （ － ２ ， ２ ） 之外， Ｉ ｉ 在 （ － ２ ， ２ ） 之外， 则 Ｉ （ （ ６｝＝ ｂ 若 ＞
ａ
相矛盾，故 ａ， 乃〔 （ 一 ２ ， ４ ，这与｝ ｂ ＜４
２ ） ａ
分繁琐。若考虑到等差数列的前 ｎ项和是关于 ｎ的二次函数，且无常数项。故可考虑建立目
求证
ａ
标函 数Ｓ ｎ ａ ｎ ｚ ＋ ｂ ｎ （ ａ ， ｂ 为 待 定 系 数 ） ， 可 优 化 解
题过程。
二 、 运用函数思想证明不等式．
Ｉ 例３ １设 ａ，ｂ ， ｃ均为正数， 且ａ ＋ ｂ ＞ ｃ ，
＋— 户
解： 设Ｓ ． ＝ ａ ｎ ｚ ＋ ｂ ｎ （ ａ ， ｂ 为 待 定 系 数 ） ， 则 Ｓ ｐ ＝ ａ ｐ ｚ ＋ ｂ ｐ ・ ‘ ・ ａ ｐ ｚ ＋ ｂ ｐ ＝ ｑ … …（ １ ） Ｓ Ｑ ＝ ａ ｑ ２ 十 ｂ ｑ・ ‘ ・ ａ ｑ ｚ ＋ ｂ ｑ ＝ ｐ … …（ ２ ）
一、 运用函数思想求解方程问题
函数与方程既是两个不同的概念，又存在 着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表 达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二 元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果 这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以 看成一个函数。一个方程的两端可以分别看成
分析 ： 不等式左右两边， 结构相似 ：
（ 一）构造一次函数求参数的范围． １ 例６ ）若不等式２ ｘ一１ ＞ ｍ （ ｘ ２ 一１ ） 对Ｉ ｍ ｌ
１ ４ － ａ ｌ ＋ｂ ｌ ＋ｃ
＝ ｘ ／ （ １ ＋ ｘ ） （ ｘ ＞ Ｏ ） ， 用函 数的单调性来证明。 先证函数ｆ （ ｘ ） ＝ Ｘ ／ （ Ｉ ＋ ｘ ） （ ｘ ＞ Ｏ ） 的 证明 ：（
ｘ ２ ＋ ａ ｘ ＋ ｂ ＝ ０有两个实数根ａ 、口 ， 证明： （ Ｉ ） 如果｝ ａ ｝ ＜２ ， ｝ ６ ｝ ＜２ ， 那么２ １ ａ ｌ ＜ ４ ＋ ｂ 引ｂ ｌ ＜ ４ ｓ （ Ｉ Ｉ ） 如果２ １ ａ ｌ ＜ ４ ＋ ｂ 且ｌ ｂ ｌ ＜ ４ ， 那么Ｊ ａ １ ＜ ２ ， ｝ ０｛ ＜２ ， （ ９ ３ 年全国理） 分析：本题表面上看是方程问题， 方程的 根的分布与参数ａ ， ｂ 之间满足的关系式， 如果 用纯方程理论处理则十分繁琐，如果用函数思 想来分析，将方程根的分布问题转化为函数图
＜０ ，即ｆ （ ｘ、 ） ＜ｆ （ ｘ ： ） ’ （ １ ＋ ｘ ， ） （ １ ＋ ｘ ２ ）
： ． 函 数ｆ （ ｘ ） 在（ ０ ， ＋ｃ ｏ） 上单调递增。
・ ： ａ ＋ ｂ ＞ ｃ ＞ Ｏ： ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ＞ ｆ （ ｃ ） ， 即
ａ＋石 ｌ ＋ａ＋ｂ
ｘ ， 一ｘ ２
—
ａ ｂ ｃ
＋— 二 资—
） ＋ ｂ ］ 一（ ｐ ＋ ｑ ） ： ・ Ｓ ｏ ＋ 。 一（ ｐ ＋ ｑ ）
又 ’ ： Ｓ Ｐ 。 ＝ ａ （ ｐ ＋ ｑ ） ｚ ＋ ｂ （ ｐ ＋ ｑ 卜 （ ｐ ＋ ｑ ） ［ ａ （ ｐ ＋ ｑ
四、 运用函数思想求参数 （ 或变量） 的范围．
４一２ ａ十ｂ＞０
引 勺
２ ａ ＞ 一 （ ４ ＋ ｂ ）习 （４＋ｂ 川
２ ａ ： ４十ｂ
Ｓ ｐ ｑ ， 气 ＝ Ｐ （ Ｐ ． ９ 〔 Ｎ ＊ 且 Ｐ ＃ Ｑ ） ， 求 Ｓ Ｕ ｔ ｑ
ｆ ｆ （ － ２ ） ＞ ０ ｔ ｆ （ ２ ） ＞ ０ 可知
【 例５ 】在 等差 数列中， 前ｎ 项为Ｓ， 已 知
口 ｂ
— 十 —
ｌ ＋ａ ｌ ＋ｂ
１ ＋ａ＋ ｂ １ ＋ａ＋ ｂ １ ＋ａ＋ｂ
・ ｘ 的 取 值 范 围 是 （ － ２ － － １ ， ＂ ｆ ３ ２ ＋ － １ － ， （ 二 ） 构造二次函数求变量的范围．
可设函数ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ２ ＋ ａ ｘ ＋ ｂ
（Ｉ） 由二次函数的图像知
ａ ， ａ（ （ － ２ ， ２ ）
Ｉ Ｉ （ － ｚ ） ＞ ０ Ｉ Ｉ （ ２ ） ＞ ０
且 ｝ ｂ！ ＝｝ ａ・ ｐ｝ ＜ ４
（ Ｉ ） 由２ Ｍ
４＋ｂ二
习训
４＋２ ａ＋ｂ＞０
４一２ ａ＋ｂ＞０
４ ＋ ２ ａ＋ｂ一０
坐标。因此，许多有关方程的问题都可用函数 思想来解决。 【 例１ １求证： 不论 ａ 取什么实数， 方程Ｘ ２
《２ 的所有ｍ均成立， 求ｘ的取值范围。
分析：由于思维定势，易把它看成关于 ｘ 的不等式进行讨论， 问题就比较复杂。 然而， 若
一 （ ａ ｚ ＋ ａ ） ｘ ＋ ａ 一 ２ ＝ ０ 必 有 两 个 不 相 等 的 实 根。
进行证 明。
ｃ ２ ＋ ｄ ２ ）
丫 ｆ （ ｘ ） － ＞ ０． ‘ ． △《０ 即４ （ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ） ２ 一１ ２
证明：＇ ． ＇ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＝ １ ， ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ １ 一 可设ａ ＝ ｓ ｉ ｎ ａ，ｂ ＝ ｃ ｏ ｓ ａ，ｘ ＝ ｓ ｉ ｎ ｐ，ｙ ＝ ｃ ｏ ｓ ６ 则有ａ ｘ ＋ ｂ ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ ａｓ ｉ ｎ ｐ＋ ｃ ｏ ｓ ａ ｃ ｏ ｓ ｐ － ｃ ｏ ｓ （ ａ一６ ） 《１…ａ ｘ ＋ ｂ ｙ ＜ １