2015高考数学优化指导选修4-5 第1节

选修4-5 第一节1．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(1,3) ∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3.2．(2014·潮州模拟)已知不等式|x －2|>1的解集与不等式x 2＋ax ＋b >0的解集相同，则a ＋b 的值为________．解析：－1 由|x －2|>1，得x <1或x >3，依题意知x ＝1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解，因此a ＋b ＝－1.3．(2014·西安检测)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：2 由|kx －4|≤2得－2≤kx －4≤2所以2≤kx ≤6，又不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2.4．(2011·江西高考)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：5 |x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5.5．(2014·陕西检测)若不等式|x ＋1|＋|x －m |<6的解集为∅，则实数m 的取值范围为________．解析：(－∞，－7]∪[5，＋∞) |x ＋1|＋|x －m |≥|m ＋1|，又不等式的解集为空集，∴|m ＋1|≥6，解得m ≤－7或m ≥5.∴m 的取值范围为(－∞，－7]∪[5，＋∞)．6．(2014·汕头质检)若∃x ∈R ，使|x －a |＋|x －1|≤4成立，则实数a 的取值范围是________．解析：[－3,5] 因为|x －a |＋|x －1|≥|x －a －x ＋1|＝|1－a |，所以原命题等价于|1－a |≤4，解得a ∈[－3,5]．7．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是________．解析：(5,7) ∵|3x －b |<4，∴b －43<x <b ＋43.由题意得⎩⎨⎧ 0≤b －43<13<b ＋43≤4，解得5<b <7，故b 的取值范围是(5,7)．8．已知一次函数f (x )＝ax －2.若不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：[－1,0]∪(0,5] |f (x )|≤3即为|ax －2|≤3，∴－3≤ax －2≤3，∴－1≤ax ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5ax ≥－1，∵x ∈[0,1]，故当x ＝0时，不等式组恒成立；当x ∈(0,1]时，不等式组转化为⎩⎨⎧ a ≤5x a ≥－1x ，又5x ≥5，－1x≤－1，∴－1≤a ≤5，又由题意知a ≠0.故实数a 的取值范围是[－1,0)∪(0,5]．9．(2014·济南模拟)设不等式|2x －1|<1的解集为M .若a ，b ∈M ，则ab ＋1________a ＋b (在横线处填上“>”，“<”或“＝”)．解析：> 由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1所以M ＝{x |0<x <1}．由a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，故ab ＋1>a ＋b .10．(2014·佛山质检)若不等式x 2＋|2x －6|≥a 对于一切实数x 均成立，则实数a 的最大值是________．解析：5 令f (x )＝x 2＋|2x －6|，当x ≥3时，f (x )＝x 2＋2x －6＝(x ＋1)2－7≥9；当x <3时，f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5.综上可知f (x )的最小值为5，故原不等式恒成立只需a ≤5即可，从而a 的最大值为5.11．(2014·南昌模拟)设f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值集合是________．解析：{x |x ≤－1或x ≥2} 由f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立得，f (x )大于等于|a ＋1|－|2a －1||a |的最大值，因为|a ＋1|－|2a －1||a |的最大值为3，所以f (x )≥3，即|2x －1|≥3，解得x ≤－1或x ≥2，所以x 的取值集合为{x |x ≤－1或x ≥2}．12．(2014·合肥模拟)已知集合A ＝{x ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝________. 解析：{x |－2≤x ≤5} 不等式|x ＋3|＋|x －4|≤9等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥4x ＋3＋x －4≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <4x ＋3＋4－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3－x －3＋4－x ≤9， 解得－4≤x ≤5，即A ＝{x |－4≤x ≤5}，又由基本不等式得x ＝4t ＋1t －6≥2 4t ·1t－6＝－2(当且仅当4t ＝1t时等号成立．即B ＝{x |x ≥－2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 13．(2014·龙岩模拟)已知函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x ＋4|＋m .(1)已知常数a <2，解关于x 的不等式f (x )＋a －2>0；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＋a －2>0，得|x －3|>2－a ，∴x －3>2－a 或x －3<a －2，解得x >5－a 或x <a ＋1.故不等式的解集为(－∞，a ＋1)∪(5－a ，＋∞)．(2)∵函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，∴f (x )>g (x )恒成立，即m <|x －3|＋|x ＋4|恒成立．∵|x －3|＋|x ＋4|≥|(x －3)－(x ＋4)|＝7，∴m ＜7.∴m 的取值范围为(－∞，7)．14．(2014·石家庄一中月考)设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(2)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1.∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x ≥a x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时， f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．15．(2014·中原名校摸底)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≤2的解集；(2)若{x |f (x )≥t 2－t }∩{y |0≤y ≤1}≠∅，求实数t 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≤2即为|2x ＋1|－|x －2|≤2.①当x ≤－12时，不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12－x －3≤2， 解得－5≤x ≤－12. ②当－12＜x ＜2时，不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧ －12＜x ＜23x －1≤2，解得－12＜x ≤1.③当x ≥2时，不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋3≤2，无解． 综上原不等式的解集为[－5,1]．(2)由题意得f (x )≥t 2－t 在x ∈[0,1]上有解．故只需满足f (x )max ≥t 2－t .而当0≤x ≤1时，f (x )＝3x －1.∴f (x )max ＝f (2)＝2.从而有t 2－t ≤2.即t 2－t －2≤0，解得－1≤t ≤2.所以实数t 的取值范围为[－1,2]．16．(2014·哈尔滨模拟)设函数f (x )＝|2x －1|＋|2x －3|.(1)解不等式f (x )≤5；(2)若函数g (x )＝f (x )＋m 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <124－4x ≤5，解得－14≤x <12； 或⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤x ≤322≤5，解得12≤x ≤32； 或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，4x －4≤5，解得32<x ≤94. 综上原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－14，94. (2)若g (x )＝f (x )＋m 的定义域为R ，则f (x )＋m ≥0恒成立，即f (x )min ≥－m 恒成立．又f (x )＝|2x －1|＋|2x －3|≥|2x －1－2x ＋3|＝2，当且仅当(2x －1)(2x －3)≤0时，即12≤x ≤32时， f (x )取得最小值为2，所以m ≥－2.从而所求m 的取值范围为[－2，＋∞)．17．(2014·吉林检测)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )>5的解集为{x |x >2或x <－3}．(1)求a 的值；(2)若不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 在R 上有解，求k 的取值范围．解：(1)由|ax ＋1|>5得ax >4或ax <－6.又f (x )>5的解集为{x |x >2或x <－3}，当a >0时，解得x >4a 或x <－6a ，得a ＝2；当a ≤0时，经验证不合题意．综上得a ＝2.(2)设g (x )＝f (x )－f ⎝⎛⎭⎫x 2，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ， x ≤－1，－3x －2， －1<x <－12，x ， x ≥－12，则函数g (x )的图象如图所示，由图象可知，g (x )≥－12， 故原不等式在R 上有解时需满足k ≥－12. 即k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 18．(2013·新课标全国高考Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当0＜x ＜2时，y<0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.。