2019届苏教版(文科数学) 空间点、直线、平面之间的位置关系 单元测试

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系
A组基础题组
1.(2018贵州贵阳调研)四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
4.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1⊥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
5.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为(把你认为正确的结论的序号都填上).
7.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
8.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是.
9.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.
B组提升题组
1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线( )
A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有无数条
3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BM与AN所成角的余弦值.
4.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.
答案精解精析
A组基础题组
1.A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.
2.A 若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,则直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.
3.A 由BC AD,AD A1D1知,BC A1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,又EF⊂平面
A1C,EF∩D1C=F,则A1B与EF相交.
4.B A选项,l1⊥l2,l2⊥l3,则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面;B选项正确;C选项,l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3可能共面,也可能不共面;D选项不正确,如长方体中共顶点的三条棱所在直线,这三条直线不共面.
5.B 画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.
设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF、CF,设EF的中点为O,连接CO,
则EF∥BD,则∠FEC或其补角就是异面直线CE与BD所成的角.
△ABC为等边三角形,则CE⊥AB,易得CE=,
同理可得CF=,故CE=CF.
因为OE=OF,所以CO⊥EF.又EO=EF=BD=,
所以cos∠FEC===.
6.答案③④
解析直线AM与CC 1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.
7.答案
解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C 1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD的夹角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD的夹角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
8.答案6
解析如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH 为AC与BD所成的45°角,故S四边形EFGH=3×4sin 45°=6.
9.解析(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线. (2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角)即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,AC=BD,所以FG⊥EG,FG=EG.
所以∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
10.证明(1)如图所示,因为EF是△D 1B1C1的中位线,
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF为β,
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.
又因为Q∈EF,所以Q∈β,则Q是α与β的公共点,
同理,P点也是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.
又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C,则R∈α且R∈β,
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
B组提升题组
1.D ⇒ ⇒l1∥l4或l1与l4相交或l1与l4异面.故l1与l4的位置关系不确定.故选D.
2.D 在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时,直线A1B1与M确定的平面不同,从而确定的这个平面与BC的交点N不同,而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N,如图,故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交.
3.解析取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ或其补角即为BM与AN所成的角,
设BC=CA=CC1=2,
则AQ=,QN=,
∴cos∠ANQ=-===.
∴BM与AN所成角的余弦值为.
4.解析(1)因为PA⊥底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又S △ABC=×2×2=2,所以三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC PA=×2×2=.
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
易知PB=2,PC=4,BC=4,则在△ADE中,DE=2,AE=
所以cos∠ADE=-(=.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.。