chap3-2

对于单位反馈系统， 对于单位反馈系统， ess = ε ss =
1 , K v = lim sG ( s) s →0 Kv
稳态加速度误差（偏差） 稳态加速度误差（偏差）系数
Static acceleration error constant
单位加速度输入时系统的稳态偏差
1 1 1 X i ( s) = lim 2 = ε ss = lim s s →0 1 + G ( s ) H ( s ) s →0 s + s 2 G ( s ) H ( s ) Ka
第三章 时域分析法 系统类型 将系统的开环传递函数写成如下形式： 将系统的开环传递函数写成如下形式： 开环传递函数写成如下形式
G( s)H ( s) = K (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) (τ m s + 1) K ~ = v G( s) s v (T1 s + 1)(T2 s + 1) (Tn v s + 1) s
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第三章 时域分析法
1 X i ( s) ε i ( s) = 1 + G ( s) H ( s)
的极点均位于s 当sε (s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐 的极点均位于 平面左半平面（ 标原点） 根据拉氏变换的终值定理， 标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：
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第三章 时域分析法 由： ε (s) =Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0 － ＝ 可得： 可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s) ＝ 对于单位反馈系统， 对于单位反馈系统，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s) ＝ ， ＝ 偏差信号ε (s)与误差信号 (s)的关系 与误差信号E 的关系 与误差信号
Xi(s)
ε (s)
G(s) H(s)
Xo(s)
B(s)
系统在输入作用下的偏差传递函数为： 系统在输入作用下的偏差传递函数为：
1 Φε i ( s) = = X i ( s) 1 + G( s) H ( s)
ε i( s)
即：
1 X i ( s) ε i ( s) = 1 + G ( s) H ( s)
第三章 时域分析法 四、误差分析和计算 控制系统的偏差与误差 偏差信号ε (s)
Xi(s)
ε (s)
G(s) H(s)
Xo(s)
B(s)
定义为系统输入X 与系统反馈信 偏差信号ε (s)定义为系统输入 i(s)与系统反馈信 定义为系统输入 之差， 号B(s)之差，即： 之差
ε (s) = Xi(s)－B(s)＝ Xi(s)－H(s) Xo(s)
对于单位反馈系统， 对于单位反馈系统，ess = ε ss = 结论
1 , K a = lim s 2G ( s) s →0 Ka
当输入信号形式一定后， 当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态 误差取决于系统的开环传递函数。 误差取决于系统的开环传递函数。
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其中， 其中， K p = limG(s) H (s) = G(0) H (0) s →0 称为稳态位置误差（偏差）系数。 称为稳态位置误差（偏差）系数。
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第三章 时域分析法
1 1 易知： 易知： ess = H (0) 1 + K p
e ss = lim e (t ) = lim sE ( s )
t →∞ s →0
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第三章 时域分析法 稳态误差： 稳态误差：
ess = lime(t ) = lim sE(s) = lim s
t →∞ s→0 s→0
1 Xi (s) ε ss = limε (t ) = lim sε (s) = lim s t →∞ s→0 s→0 1 + G(s)H(s)
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第三章 时域分析法 稳态误差 e ss (steady-state error)
ε (s)
H(s)
ε ss 1 1 1 = lim s Xi (s) = lim s→0 H(s) ε ss = H(0) s→0 H(s) 1+ G(s)H(s)
对于单位反馈系统： 对于单位反馈系统：
1 ess = ε ss = lim s Xi (s) s→0 1 + G(s)
而如果采用拉氏变换的终值定理求解， 而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得 到错误得结论： 到错误得结论：
Ts ω ess = lim s =0 s→0 Ts + 1 s2 + ω2
此例表明，输入信号不同， 此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差 也不相同。 也不相同。
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第三章 时域分析法 例题 已知单位反馈系统的开环传递函数为： 已知单位反馈系统的开环传递函数为： 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=1/Ts 求其在单位阶跃输入、单位速度输入、 求其在单位阶跃输入、单位速度输入、单位加 速度输入以及正弦信号输入下的稳态误差 稳态误差。 速度输入以及正弦信号输入下的稳态误差。 解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传 递函数为： 递函数为：
1 Ts Φe (s) = = 1+ G(s) Ts +1
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第三章 时域分析法 在单位阶跃输入下的稳态误差为： 在单位阶跃输入下的稳态误差为：
1 Ts 1 =0 ess = lim s Xi (s) = lim s s→0 1+ G(s) s→0 Ts +1 s
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其中， 其中， K a = lim s 2G ( s) H ( s)
s →0
称为稳态加速度误差（偏差）系数。 称为稳态加速度误差（偏差）系数。
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第三章 时域分析法
1 1 易知： 易知： ess = H (0) K a
E(s) = Xor (s) Xo (s) = Xi (s) H(s) Xo (s) =
ε (s)
H(s)
对单位反馈系统： 对单位反馈系统：E(s)＝ ε (s) ＝
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第三章 时域分析法 稳态误差及其计算 稳态偏差 ε ss
第三章 时域分析法 稳态误差系数 稳态位置误差（偏差） 稳态位置误差（偏差）系数
Static position error constant
单位阶跃输入时系统的稳态偏差
1 1 1 X i ( s ) = lim ε ss = lim s = s→0 1 + G( s ) H ( s ) s→0 1 + G( s ) H ( s ) 1+ K p
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第三章 时域分析法 误差信号E 误差信号 (s) 误差信号E 定义为系统期望输出 定义为系统期望输出X 误差信号 (s)定义为系统期望输出 or(s)与系 与系 统实际输出X 之差， 统实际输出 o(s)之差，即： 之差 E (s)= Xor(s)－ Xo(s) 控制系统的期望输出X 控制系统的期望输出 or(s)为偏差信号ε (s) 为偏差信号 时的实际输出值， ＝0时的实际输出值，即实际输出等于期望 时的实际输出值 输出： 输出：Xo(s)＝Xor(s)
显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入X 显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入Xi(s) 和开环传递函数G(s)H(s) G(s)H(s)， 和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信 号的特性及系统的结构和参数。 号的特性及系统的结构和参数。
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第三章 时域分析法 正弦信号输入时 正弦信号输入时：
1 ωs E(s) = Xi (s) = 1+ G(s) (s +1 T)(s2 + ω2 )
由于上式在虚轴上有一对共轭极点， 由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利 用拉氏变换的终值定理求稳态误差。 用拉氏变换的终值定理求稳态误差。 对上式拉氏反变换后得： 对上式拉氏反变换后得：
Tω Tω T 2ω2 e(t) = 2 2 et T + 2 2 cos ωt + 2 2 sin ωt T ω +1 T ω +1 T ω +1
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第三章 时域分析法 稳态输出为： 稳态输出为：
Tω T 2ω2 ess (t) = 2 2 cos ωt + 2 2 sin ωt T ω +1 T ω +1