2018-2019学年北师版九年级数学下册2.1二次函数
北师大版数学九年级下册2.1 二次函数
情境引入
新课引入
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
问题2 我们学过哪些函数？
一次函数
y=kx+b (k≠0)
函
数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
2.函数y=(m－n)x2＋ mx＋n 是二次函数的条件是（ C )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n
D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B． y 2
x
D．
y
1 x2
1
随堂即练
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
新课讲解
问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围 一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面 积关于矩形水面的边长的关系式吗？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形 水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2， 则有
S x 20 x S x2 20x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的 每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
对于x的每一个值，y都有唯一的 一个对应值，即y是x的函数.
新课讲解
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱 长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式 为 y=6x2 .
此式表示了正方 体表面积y与正方体棱 长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有 唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
北师大版九下数学第2章 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2与y=-x2的图象与性质【习题课件】
整合方法
11．已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值． 解：根据题意有mm＋ 2＋24≠m0＋，5＝2. 解得mm≠ ＝－ －23， 或m＝－1. 即当m＝－3或m＝－1时，函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5 是关于x的二次函数．
整合方法
BS版 九年级下
第2章 二次函数
2 二次函数的图像与性质
第1课时 二次函数y＝x2与y＝－x2的 图象与性质
夯实基础
1．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边 长x(cm)的函数关系图象为( C )
【点拨】根据正方形的面积公式可知，函数表达式 为y＝x2，又x＞0，故选C.
夯实基础
探究培优
解：存在．当 OA＝AP 时，点 P 的坐标为(2，0)；当 OA＝OP 时，点 P 的坐标为( 2，0)或(－ 2，0)；当 OP＝AP 时，点 P 的坐标为(1，0)．
探究培优
14．有一抛物线型城门洞，拱高为4 m，如图，把它放 在平面直角坐标系中，其函数表达式为y＝－x2. (1)求城门洞最宽处AB的长； 解：因为点O到AB的距离为4 m，所以A，B两点的 纵坐标都为－4，由－4＝－x2，得x＝±2.又点A在点 B的左侧，所以点A的坐标为(－2，－4)，点B的坐标 为(2，－4)．所以AB＝4 m．即城门洞最宽处AB的长 为4 m.
整合方法
(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出另一个交 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解:存在．联立方程组 yy＝ ＝－ 3x－x2，10，解得yx＝＝－－255，或xy＝＝－2，4. 则另一个交点的坐标为(－5，－25)．
探究培优
13．已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上． (1)求点A的坐标． 解：把点A(1，a)的坐标代入y＝x2， 得a＝1，所以点A的坐标为(1，1)． (2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
二次函数的图象与性质 北师大版九年级数学下册
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
m2 2
的开口向上，则m的值为（
D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
m2 2
【详解】解：∵抛物线 y (m 1) x
的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
）
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，
故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此
m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．
北师版九年级下册数学精品教学课件 第二章二次函数 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
-3
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
-6
-9
图象是一条开口向下的抛物线.
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大 ；
-4 -2 0 2 4 x
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小；
-3
抛当物x线= 关0 时于，y轴ym对ax =称0..
-6
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
∴S△ACO＝
1 2
·CO·4＝8，S△BOC＝
1 2
×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
1. 两条抛物线 y x2 与y x2在同一坐标系内，下列
说法中不正确的是（ C ）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上
D. 都有 (0，0) 处取最值
6. 已知 y (2 a)xa27是二次函数，且当 x ＞ 0时，y
随 x 的增大而减小，则 a =__3______.
解析：由题意可知 2 a 0,
解得
a
=
3
或aa
2 7 = -3.
2,
y x2或y 5x2.
又∵当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，
∴a = 3.
7.已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2 ，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是__y_1 _>_y_3_>__y_2． 解析：方法一：把 x＝－3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中，
当 x > 0 时呢？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； y
9
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
-解决最值问题：在实际问题中，如何找到二次函数的最值；
-难点举例：如何求解二次函数在给定区间内的最大值或最小值，以及如何确定这个区间的限制条件。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的二次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
一、教学内容
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
1.二次函数的定义与一般形式；
2.二次函数的图像与性质；
- a>0与a<0时图像的特点；
-对称轴、顶点坐标；
-最值问题；
3.二次函数的顶点式与解析式的转换；
4.实际问题中的应用：最大（小）值的求解；
5.二次函数与一元二次方程的关系。
2.增加课堂互动，鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，确保教学效果。
3.课后加强个别辅导，关注学困生，帮助他们克服困难，提高自信心。
4.结合生活实际，引入更多有趣的案例，激发学生学习兴趣，提高数学素养。
-举例：给定一个抛物线的实际问题，如最大高度的求解，引导学生建立二次函数模型。
2.教学难点
-理解a、b、c对二次函数图像的综合影响：a决定开口方向，b影响对称轴位置，c决定图像与y轴的交点；
-难点举例：分析y=ax^2+bx+c中，当a、b、c的值变化时，图像如何相应变化；
数学北师九年级下第二章二次函数(2.1-2.2)练习
1．在下列函数关系式中，y 是x 的二次函数的是( )．A ．x y＝6 B ．xy ＝－6 C ．x 2＋y ＝6 D ．y ＝－6x 2．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )．A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h3、在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（ ） A.y =(x +2)2+2B.y =(x 2)2 2C.y =(x 2)2+2D.y =(x +2)2 24.对于函数，使得随的增大而增大的的取值范围是（ ）A.B.C. D.5、已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y =(x 1)2+1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2（填“>”“=”或“<”）.6、函数写成的形式是________，其图象的顶点坐标是_______，对称轴是_________7．二次函数y ＝x 2－mx ＋3的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是__________． 8．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的关系式____ ___． 9．给出下列命题：命题1.点(1,1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点． 命题2.点(1,2)是双曲线y ＝2x 与抛物线y ＝2x 2的一个交点．命题3.点(1,3)是双曲线y ＝3x与抛物线y ＝3x 2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)：__________________________.10、当k 分别取1，1，2时，函数y =（k 1）x 24x +5k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值11．已知点A(1,1)在二次函数y ＝x 2－2ax ＋b 图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．1．抛物线①y ＝2x 2，②y ＝223x -－7，③y ＝213x ＋5中，开口从大到小的顺序为( )．A ．①②③B ．③②①C ．①③②D ．②①③ 2．在反比例函数y ＝a x中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则二次函数y ＝ax 2－ax 的图象大致是下图中的( )．3.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（ ） A.2，4B.C .2，D.，04．已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝12x -＋3的图象如图所示，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是( )． A ．32-＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜32- C ．－2＜x ＜32 D ．x ＜－2或x ＞325、将抛物线3)3(22+-=x y 向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______.6、．把抛物线y ＝3x 2先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为__ _． 7．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的关系式__________．8．若直线y ＝ax －6与抛物线y ＝x 2－4x ＋3只有一个交点，则a 的值是________．9．已知抛物线2x y =上有A 、B 两点，A 点横坐标为1-，B 点横坐标为2，过A 作AC ∥x 轴，交抛物线于C 点，试求四边形OABC 的面积．解：10、如图所示，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．(1)求m 的值；(2)求点B 的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x ，y )(其中x ＞0，y ＞0)，使S △ABD ＝S △ABC ，求点D 的坐标．。
2.1 二次函数(教案)-北师大版数九年级下册
第1节二次函数1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.【重点】1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【难点】列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.导入一:课件出示:观察下面的函数关系式:(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.这两个函数关系式有什么相同点和不同点?【师生活动】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.【学生活动】学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.[设计意图]通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构建出二次函数的概念.导入二:课件出示:赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.问题请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?[设计意图]通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.课件出示:【引例】某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.【学生活动】独立思考,代表回答:(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.【师生活动】观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次函数.[设计意图]利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式.【师生活动】师生共同回忆与存款有关的知识:1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.2.利息=本金×利率×期数(时间).3.本息和=本金+利息.【学生活动】根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.解:y =100(x +1)2=100x 2+200x +100.观察y =100x 2+200x +100与y =-5x 2+100x +60000的相同点.【学生活动】通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.【教师点评】自变量的最高次数都是2.[设计意图]通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函问题1已知矩形的周长为40cm ,它的面积可能是100cm 2吗?可能是75cm 2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?【师生活动】师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.解:(1)设其中一边长为x cm ,则x =-x 2+20x =100,解得x 1=x 2=10.x =-x 2+20x =75,解得x 1=5,x 2=15.这个矩形的面积与其一边长的关系为S =x =-x 2+20x.【教师点评】只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….问题2两数的和是20,设其中一个数是x ,你能写出这两数之积y 的表达式吗?【学生活动】学生独立解答,同伴交流.解:y =x (20-x )=-x 2+20x.[设计意图]在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良好的基础.二、二次函数的定义【对比观察】让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;(3)y=-x2+20x.【学生活动】观察思考后,小组交流想法,组长发言:共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.【教师引导】类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.【师生总结】二次函数的定义.一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.【师生活动】探讨a≠0的原因.[设计意图]让学生通过观察、思考、分析等数学活动,从不同实际背景的实例中抽象出二次函数的概念,使之经历概念的形成过程,培养其抽象思维和归纳概括的能力,感受从特殊到一般的数学思想方法,从而突破本节课的难点.[知识拓展]理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式;④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.【思考】二次函数的表达式y=ax2+bx+c中的a≠0,系数b,c可以等于0吗?【学生活动】学生思考并交流,得出结论:系数b,c可以等于0.【教师点评】1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).(二)二次函数自变量的取值范围【议一议】本节课的上述问题中,自变量能取哪些值?学生讨论各题的取值范围.【教师点评】自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.[设计意图]通过对二次函数一般形式的了解,进一步加深了学生对二次函数概念的理解,是对数学符号语言应用能力的提升,同时强调了易错点.1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数,a≠0)的函数.2.理解二次函数概念的注意事项:(1)常数a≠0;(2)自变量x的最高次数为2;(3)等号的右边是整式;(4)要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y=.解析:当x=2时,y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.4.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.1二次函数二次函数的定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的形式,则称y是x的二次函数.一、教材作业【必做题】1.教材第30页随堂练习第1,2题.2.教材第30页习题2.1第1,2题.【选做题】教材第31页习题2.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1.其中二次函数的个数为()A.1B.2C.3D.42.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是()A.3B.5C.-3或5D.3或-53.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是.4.一个边长为2cm的正方形,将它的边长增加x cm后,增加的面积为y cm2,写出y与x的函数关系式:.5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利y元,每件衬衫降价x元,请你写出y与x之间的关系式.【能力提升】6.某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品的年产量y 与x的函数关系是()A.y=20(1-x)2B.y=20+2xC.y=20(1+x)2D.y=20+20x2+20x7.已知y=(m-1)是关于x的二次函数,则m的值是.8.已知函数y =(m 2-m )x 2+(m -1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数,求m 的值;(2)若这个函数是二次函数,则m 的值应怎样?【拓展探究】9.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y 元,镜子的宽度是x m .(边框厚度忽略不计)(1)求y 与x 之间的关系式;(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.【答案与解析】1.B (解析:①y =3x -1为一次函数;②y =3x 2-1为二次函数;③y =3x 3+2x 2自变量最高次数为3,不是二次函数;④y =2x 2-2x +1为二次函数.故是二次函数的有2个.)2.D (解析:根据题意,得x 2+2x -7=8,即x 2+2x -15=0,解得x =3或x =-5.)3.a ≠-1(解析:根据二次函数的定义可得a +1≠0,即a ≠-1.)4.y =x 2+4x (解析:原边长为2cm 的正方形面积为2×2=4(cm 2),边长增加x cm 后边长变为(x +2)cm ,则面积变为(x +2)2cm 2,故y =(x +2)2-4=x 2+4x.)5.解:降价x 元后的销量为(20+2x )件,单件的利润为(40-x )元,故可得利润y =(40-x )(20+2x )=2(40-x )(10+x )=-2x 2+60x +800(0<x <40).6.C (解析:∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产品增加x 倍,∴一年后产品的年产量是20(1+x ),∴两年后产品的年产量y 与x 的函数关系是y =20(1+x )2.)7.-3(解析:∵y =(m -1)是关于x 的二次函数,∴m 2+2m -1=2,解得m =1或m =-3.∵m -1≠0,∴m ≠1,∴m =-3.故填-3.)8.解:(1)根据一次函数的定义,得m 2-m =0,解得m =0或m =1.又∵m -1≠0,即m ≠1,∴当m =0时,这个函数是一次函数.(2)根据二次函数的定义,得m 2-m ≠0,解得m 1≠0,m 2≠1,∴当m ≠0且m ≠1时,这个函数是二次函数.9.解:(1)y =(2x +2x +x +x )×30+45+2x 2×120=240x 2+180x +45,所以y 与x 之间的关系式为y =240x 2+180x +45.(2)由题意可列方程为240x 2+180x +45=195,整理得8x 2+6x -5=0,即(2x -1)(4x +5)=0,解得x 1=0.5,x 2=-1.25(舍去).∴x =0.5,2x =1.答:镜子的长和宽分别是1m 和0.5m .本节课是二次函数概念的基本认识,知识比较简单,所以学生接受起来比较容易,学生通过自主探究基本上可以掌握本节课的重点知识.本节课的难点是通过实际应用问题认识二次函数的概念,所以在教学时,始终坚持以应用意识为主线,强调观察与思考,分析与归纳.在课堂上,从实际出发提出问题,引导学生从不同的角度分析问题,提出解决方案,并且互相交流,在学习数学的同时培养合作交流的意识.对于少部分基础不太好的学生,进行分层教学,多多引导他们运用类比的思想方法探究二次函数的概念,收到了非常好的效果.对于少部分基础不太好的学生估计不足,对他们的学习状况过于乐观,他们对于函数概念的理解比原来想象的要差,所以在复习回顾这个环节上还应加大力度.要在课前布置复习作业,要求学生复习函数的概念以及正比例函数、一次函数和反比例函数的相关内容,为新课学习做好知识储备.随堂练习(教材第30页)1.解:y=-+3x2与s=1+t+5t2是二次函数.2.解:(1)y=π(1+x)2-π·12=πx2+2πx.(2)当x=1时,y=π·12+2π·1=3π(cm2).当x=时,y=π·()2+2π·=2π(1+)(cm2).当x=2时,y=π·22+2π·2=8π(cm2).习题2.1(教材第30页)1.从左到右依次填:4.9,19.6,44.1,78.4,122.5.2.答案不唯一,如:篮球运动员投篮时,篮球出手后的高度与运行的时间之间是二次函数关系.3.解:(1)根据题意列式为S=2x2+4x(x+0.5)=6x2+2x.(2)y=5(6x2+2x)=30x2+10x.4.解:y=(x-20)t=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400.1.对于本节课知识的学习,学生可以采用自主探究加合作交流的方法,利用“由一般到特殊”的方法去探究新知.2.利用类比一次函数、反比例函数概念的方法得出二次函数的概念及关系式,要重点把握二次函数概念的几个注意事项.在运用二次函数关系式表示数量关系时,要找出题目中的等量关系,这是解决问题的关键.已知函数y=(m2+m).(1)当函数是二次函数时,求m的值;(2)当函数是一次函数时,求m的值.〔解析〕(1)这个函数是二次函数的条件是m2-2m+2=2并且m2+m≠0.(2)这个函数是一次函数的条件是m2-2m+2=1并且m2+m≠0.解:(1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1,因此m=2.(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m1=m2=1.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.因此m=1.[解题策略]本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式.。
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》说课稿
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.1《二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图象。
二次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
通过学习二次函数，学生可以更好地理解函数的概念，提高解决问题的能力。
本节课的内容分为三个部分：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步掌握二次函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的知识，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义，二次函数的图象，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手能力和思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学模型等教学手段，直观地展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生自主探究二次函数的定义，通过小组合作，共同完成探究任务。
3.课堂讲解：讲解二次函数的图象和性质，通过多媒体课件和教学模型，直观地展示二次函数的图象和性质。
4.巩固练习：布置一些练习题，让学生运用所学的知识解决问题，巩固所学的内容。
5.课堂小结：对所学的内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。
九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图像与性质2.2.1二次函数y=±x2的图象与性质练习
2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版的全部内容。
课时作业（九)[第二章 2 第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质］一、选择题1．下列关于二次函数y＝x2的图象的说法:①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0,0)；⑤它的顶点是原点,且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有(）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．下列函数中，当x>0时,y的值随x值的增大而减小的是( )A．y＝x2 B．y＝x－1C．y＝错误!x D．y＝错误!3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( )A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称，又关于原点对称C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反D．点A(－3，9）既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上4．二次函数y＝x2与一次函数y＝－x－1在同一直角坐标系中的图象大致为（）图K－9－15．已知a＜－1，点(a－1，y1）,(a，y2），(a＋1，y3）都在函数y＝x2的图象上,则（）错误!A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3二、填空题6．函数y＝x2的图象的顶点坐标为________,若点（a，4）在该函数图象上，则a的值是________．7．如图K－9－2，A，B分别为抛物线y＝x2上的两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则直线AB的表达式为________．图K－9－28．如图K－9－3，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O 为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图K－9－3三、解答题9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点（2，n）．(1）画出y＝－x2的图象,并求出m,n的值；(2）抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在,请求出这个点的坐标．规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3,…，A n在抛物线y＝x2上,点B0，B1，B2,B3，…，B n 在y轴上，若△A1B0B1,△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图K－9－4详解详析【课时作业】[课堂达标］1．［解析] B ①②③④正确．2．[答案］ D3．[解析］ D 点A（－3，9）在抛物线y＝x2上，但不在抛物线y＝－x2上．故选D。
北师大版九年级数学下册第二章2.1《二次函数》
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y 3(x 1)2 1 （是）
(3)s 3 2t2
（是）
(2) y x 1 x
(4) y
1 x2
x
（不是） （不是）
(5)v r2
（是）
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1.下列函数中,哪些是二次函数？
x
解析法 列表法 图象法
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树，每一棵树平 均结600个橙子。现准备多种一些橙子树 以提高产量，但是如果多种树，那么树 之间的距离和每一棵树所接受的阳光就 会减少。根据经验估计，每多种一棵树， 平均每棵树就会少结5个橙子。
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存。如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元) 的表达式(不考虑利息税)。
y 100(x 1)2 100x2 200x 100
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
y 5x2 100x 60000 y 100x2 200x 100 y是x的函数吗？y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？
(1) y ax2 (a 0,b 0, c 0) (2) y ax2 c(a 0,b 0, c 0) (3) y ax2 bx(a 0,b 0, c 0) (4) y ax2 bx(a 0,b 0, c 0)
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
2.定义的实质是：ax2 bx c 是整式,自变量x的最高次数是二次.
-
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
北师大版九年级下册数学第2章 二次函数 2.1 二次函数的概念
第一节 二次函数的概念◆ 问题：（1）矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 之间函数关系为 。
（2）某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。
后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。
如果养殖场减少x 个，求该地区奶牛总数y （头）与x （个）之间的函数关系式.◆ 归纳：在上述问题中，用来表示函数的式子都是关于自变量的二次整式。
小结：（1）二次函数的概念一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.a为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项.（2）二次函数的定义域二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的定义域为一切实数◆ 例题讲解：例1：判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值.(1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝x 21－23x ＋1(4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x(7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c例2：当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？例3：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；（2） 圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．课堂练习：1、判断下列函数是否是二次函数,若是,请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。
本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。
教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。
2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。
2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。
4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。
2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。
3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
例如：抛物线与x轴的交点问题。
2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。
同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。
北师大版九年级下册数学：1 二次函数
橙子? (100+x)棵 (600-5x)个 (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么 请你写出y与x之间的关系式．
y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
解：多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量. 其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数 是因变量.
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的 函数叫做x的二次函数，其中,ax2叫做二次项，a叫做二 次项系数；bx叫做一次项， b叫做一次项系数；c叫做 常数项.
如 y=100 x2 + 200 x + 100
a
b
c
【跟踪训练】
1.下列函数中,哪些是二次函数？如果是二次函数请指出二 次函数中a,b,c分别为多少？
x
二次函数
1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5 个橙子. 问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些 是因变量？
（1）y=3(x-1)²+1.
(2) y x 1 . x
（3）s=3-2t².
1 (4) y x2 x .
（5）y=(x+3)²-x².
（6）v=10πr².
（是）其=0,c=3 （不是） （不是） （是）其中a=10π,b=c=0
2
是函数关系且为二次函数关系.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1 二次函数
【知识与技能】
1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
【过程与方法】
经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
【情感态度】
体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】
二次函数的概念.
【教学难点】
在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.
一、情境导入，初步认识
1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0<x<50)；电脑价格y（元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000,(0<x<1).它们有什么共同点?一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.
2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.
二、思考探究，获取新知
二次函数的概念及一般形式
在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax 2+bx+c(a, b,c 是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.
三、典例精析，掌握新知
例1 指出下列函数中哪些是二次函数.
(1)y=(x-3)2-x 2；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=22x
；(5)y=5-x 2+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.
解:(2)(5)是二次函数,其余不是.
【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:
1.将函数化为一般形式.
2.自变量的最高次数是2次.
3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.
例2 讲解教材P3例题.
【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数），当m 为何值时:
(1)函数是一次函数;
(2)函数是二次函数.
【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.
解:(1)由200
m m m ⎧-=⎨≠⎩得010m m ⎩=≠⎧⎨或, ∴m=1.即当m=1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数.
(2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1,
∴当m ≠0且m ≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.
四、运用新知，深化理解
1.下列函数中是二次函数的是（）
A.2123
y x x =+- B.y=3x 3+2x 2C.y=(x-2)2-x 3D.21y = 2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
3.若函数232(3)1k k y k x kx -+=-++是二次函数，则k 的值为（）
A.0
B.0或3
C.3
D.不确定
4.若y=(a+2)x 2-3x+2是二次函数，则a 的取值范围是.
5.已知二次函数y=1-3x+5x 2,则二次项系数a=,一次项系数b=,常数项c=.
6.某校九（1）班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式，它（填“是”或“不是”）二次函数.
7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x 的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.
(1)求y 关于x 的函数关系式；
（2）试求自变量x 的取值范围；
（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.
【答案】1.D 2.D 3.A 4.a ≠-2 5.5,-3,1 6.21122
y x x =
-是 7.（1）y=25-πx 2=-πx 2+25.
(2)0＜x ≤52.
(3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4.
即剩余部分的面积约为12.4.
【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次函数的有关概念.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.
第1~3题.
1.教材P
4
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.。