第14节 余弦函数的图象和性质
三角函数余弦函数的性质与图像
3
周期性现象描述
余弦函数可以描述周期性现象，如交流电的电 压和电流变化、四季更替等。
利用余弦函数进行信号处理
滤波和去噪
01
通过使用余弦函数进行滤波，可以去除信号中的噪声，提高信
号质量。
信号调制
02
在通信中，余弦函数可以用来进行信号调制，实现信号的传输
和接收。
谱分析
03
在信号处理中，余弦函数可以用来进行谱分析，提取信号中的
余弦函数的数学表达式为cosθ=b/c，其中θ是直角三角形中 的一个锐角，b是较长的直角边，c是斜边。
余弦函数的基本性质
周期性
振幅
余弦函数是周期函数，每隔2π（圆周率 π=3.1415926……）的区间内函数值重复。
余弦函数的振幅为1。
相位
当θ=0时，余弦函数的相位为0。
极值点
余弦函数在θ=π/2+kπ（k为整数）时取得 最大值1，在θ=3π/2+kπ（k为整数）时取 得最小值-1。
理解余弦函数的定义、性质和图像 掌握余弦函数图像的作图方法和技巧 能够应用余弦函数解决实际问题
教学内容
余弦函数的定义与性质
余弦函数的图像作图方法
余弦函数的应用举例
相关数学工具和软件介绍
02
余弦函数的定义与基本性质
余弦函数的定义
余弦函数（cosine function）也被称为余弦定理或余弦函数 公式，是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的邻 边与斜边的比值。
THANKS
余弦函数的图像
振幅
余弦函数的振幅是1，即函数的取值范围是 [-1,1]。
相位
余弦函数图像的相位与自变量x的起始位置 有关。
周期
余弦函数图像与性质
定义编辑角A的邻边比斜边叫做∠A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。
记作cos=x/r。
余弦是三角函数的一种。
它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。
余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
2定理编辑简介三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。
（见解三角形公式，推导过程略。
）性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。
两根判别法若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2）=2，则有两解；②若m(c1,c2）=1，则有一解；③若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
角边判别法1、当a>bsinA时①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；⑤当b<a时，则有一解2、当a=bsinA时①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；3、当a<bsinA时，则有零解（即无解）3证明方法编辑平面向量证法∵如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b）·（a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵Cos（π-θ）=-CosC∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC即CosC=同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2）/(2ab)就是将CosC移到左边表示一下。
余弦函数图像与性质(公开课使用)
(
2
,1)
与x轴的交点
x (0,0) ( ,0)(2 ,0)
图象的最低点
(
3 2,
1)
图象的最高点
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3
5
11
2
2
3
6
x
(
2
,0)
(
3
2
,0)
图象的最低点
-1 -
( ,1)
2.用几何法如何作出 y sin x, x 0,2
一定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y=cosx (xR) 是偶函数
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
3.正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
4.正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
余弦函数图像及性质
在信号处理领域，余弦函数可以作为基函数用于信号的分解与合成， 如傅里叶变换中的余弦级数展开。
经济学
在经济学中，余弦函数可以用于描述经济周期波动、季节性变化等 现象，为经济政策制定提供理论依据。
05 拓展：复合余弦函数及其 图像性质
复合余弦函数形式
一般形式
y = A·cos(ωx + φ) + k，其中 A、ω、φ、 k 均为常数，且 A ≠ 0，ω > 0。
与正弦函数图像比较
余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但相位相差π/2。这意味着余弦函 数的图像相对于正弦函数图像向左或向右移动了π/2个单位。
在同一周期内，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷位置互换。具体来说， 正弦函数在π/2处达到波峰，在3π/2处达到波谷；而余弦函数在0处达到 波峰，在π处达到波谷。
有界性
复合余弦函数的值域为 [k - A, k + A]。
单调性
在每个周期内，复合余弦函数 在特定区间内单调递增或单调
递减。
06 总结回顾与思考题
关键知识点总结
余弦函数定义
$y = cos x$，其中$x$为自变量， $y$为因变量，表示单位圆上与 $x$轴正方向夹角为$x$的点的 $y$坐标。
正弦函数和余弦函数的周期性相同，均为2π。因此，它们的图像在长度 上相等，只是相位上有所差异。
03 余弦函数性质分析
值域与定义域
值域
余弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的 所有取值都落在这个区间内。
定义域
余弦函数的定义域为全体实数，即R。
单调性
余弦函数在整个定义域上不具备 单调性。
在[π, 2π]区间内，余弦函数是单 调递增的。
高B数学必修四课件余弦函数的图象与性质
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
余弦函数定义
余弦函数是三角函数的一种，表示为y=cosx，其中x为角度，y为对应的余弦值。
余弦函数图象
余弦函数的图象是一个周期函数，周期为2π。在0到2π的区间内，余弦函数的图象呈现出 一个先下降后上升的趋势，最高点为(0,1)，最低点为(π,-1)。
正切函数的图象呈现出一个周期 性的上升趋势，周期为π。正切函 数具有奇偶性，即tan(-x)=-tanx 。此外，正切函数在x=kπ+π/2 （k为整数）处存在间断点。
三角函数之间的关系
正弦函数、余弦函数和正切函数 之间存在紧密的联系。例如， sinx=cos(x-π/2)， tanx=sinx/cosx等。这些关系式 在处理复杂的三角函数问题时具 有重要的应用价值。
周期性及奇偶性
周期性
余弦函数具有周期性，其最小正周期为2π。这意味着对于任 意整数k，cos(x+2kπ)=cosx。
偶函数性质
余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cosx。这意味着余弦函数的 图像关于y轴对称。
02
余弦函数图像特点
振幅、周期和相位对图像影响
01
02
03
振幅
决定图像在垂直方向上的 拉伸或压缩程度，振幅越 大，图像在垂直方向上的 变化范围越大。
THANKS
感谢观看
05
生活中实际应用举例
振动现象中余弦函数模型建立
机械振动
在机械振动中，物体围绕平衡位置做周 期性往复运动，其位移随时间的变化可 以用余弦函数来描述。例如，单摆的运 动、弹簧振子的振动等。
VS
电磁波
电磁波是一种横波，其电场和磁场分量随 时间的变化遵循余弦函数规律。在通信、 广播、电视等领域，利用余弦函数的性质 可以对电磁波进行调制和解调。
余弦函数的性质与图像
唯一确定的余弦 cosx
与之对应，所以 y cos x, xR
是一个函数，一般称为余弦
函数．
x
P(cosx,sinx)
如何研究余弦函数？
回顾：我们是如何研究正弦函数的？
方案
正弦函数
列表、描点、连线
正弦函数
的图像
的解析式
正弦函数的性质
单位圆
发现
诱导公式等
理解
如何研究余弦函数？
2
4
4
当 t 2x 0 ，即 x 时，f x max 2 ．
8
4
所以函数 f x 在 ,0 上的最小值为 1，
2
最大值为 2 ．
3
y 2cost ， t , ．
4 4
π
4
O
3π
4
y sin x
2
2
y cos x 0 ．
y
y=sinx
y=cosx
x
以上性质也可以通过定义，从单位圆看出
x
P(cosx,sinx)
2.余弦函数y=cosx的性质
(3)周期性：最小正周期是
因为 cos 2k x cos x k Z
所以余弦函数的周期是 2k kZ 且 k0
3 4
3 4
即 cos(1 x+6 ) cos(1 x ) ，即 f x 6 f x
3
4
3 4
所以函数的最小正周期为 6 ．
1
余弦函数的图像和性质
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
余弦函数图像和性质
余弦函数图像和性质
余弦函数： y=cosx 是指在坐标系中，点(x,y)满足y=cosx的所有点的集合。
图像：余弦函数的图像是一条周期性的波形，其对称轴为y轴，其波长与参数π有关，它的图像如下图所示：
性质： 1、余弦函数的图像具有周期性，即每隔2π的距离就会出现相同的图像； 2、余弦函数的图像包含了奇偶性，即当x取正值时，图像为正，当x取负值时，图像变成负； 3、余弦函数的图像具有对称性，即当x取正值时，图像为半正，当x取负值时，图像也为半正； 4、余弦函数的图像具有上下限性，即余弦函数的图像的上限是1，下限是-1.。
三角函数余弦函数的性质与图像
2023-11-04
目 录
• 三角函数概述 • 余弦函数概述 • 余弦函数的对称性与最值 • 余弦函数的导数与积分 • 余弦函数的实际应用 • 余弦函数与其他数学知识的联系
01
三角函数概述
定义与性质
01
定义
三角函数是正弦、余弦和正切函数的统称，它们是定义在单位圆上的
应用
导数在几何学、振动分析和曲线拟合等领域有广泛应用。例如， 在振动分析中，余弦函数的导数可以描述振动的加速度。
积分
定义
余弦函数的积分定义为 `F(x) = -cos(x)`。
性质
余弦函数的积分在区间 `(0, 2π)` 上是周期函数，周期为 `2π`。此外，余弦函数的积分在区间 `(0, π)` 上是单调递减的，而 在区间 `(π, 2π)` 上是单调递增的。
与线性代数的联系
向量表示
余弦函数可以用于表示向量空间中的向量 。
矩阵变换
余弦函数可以用于进行矩阵的旋转和缩放 等变换。
正交性
余弦函数与其他三角函数的组合具有正交 性，即它们的内积为零。
与复变函数的联系
解析性质
余弦函数在复平面上是解析函数，即其导 数存在且连续。
复数表示
余弦函数可以表示为复平面上的复数形式 。
应用
积分在解决初值问题、求解面积和体积以及信号处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，余弦函数的积分可以描述 信号的幅度。
微分方程
定义
性质
应用
微分方程是包含未知函数及其 导数的等式。在三角函数中， 微分方程通常用于描述振荡、 波动等自然现象。
余弦函数是一类特殊的三角函 数，它们满足一些微分方程。 例如，余弦函数及其导数满足 以下微分方程：`(d^2/dx^2 sin^2(x))y = 0`。
余弦函数的图像和性质
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
；澳兰黛官网 澳兰黛官网 ； 2019.1 ；
怜の壹个名额,呐简直就是壹个恶性循环.“族长,恐怕呐壹次黄泉洞窟争夺战,俺们必须雇佣部分受雇者.单单依靠俺们家族内部の冥空境修道者„„怕是很难与其他三个势历竞争.”壹位辛家の长老,沉吟着说道.他呐话是比较客气了,事实上如果辛家不雇佣受雇者,那很显然不可能与其他 三大势历争夺.其他三大势历内部の成员质量,都要比辛家の冥空境子弟质量略微高壹些,何况那三大势历也都与最强の那几个受雇者早早接触过.“辛立,除那鞠言之外,其他受雇者中实历最强の几个,确定俺们不能在第壹轮对战中雇佣了吗?”族长辛巳看向总管辛立.与受雇者接触の人,就 是辛立呐位总管.呐壹段事间,辛立差不多与每壹个受雇者都接触过了.辛家也想雇佣受雇者中实历最强の那几个,比如焦左岩呐样の.但是各种原因之下,那几个最强の受雇者,都没能与辛家达成雇佣关系.辛立点头说道：“族长,焦左岩在俺接触之前,就已经被玄月商楼雇佣了.滔壁之前倒 是说会考虑被俺们雇佣,可俺两天前再去找他の事候,他却说连鞠言都要伍拾亿乌翠玉の雇佣费,如果俺们要雇佣他,也得拿出伍拾亿の乌翠玉出来.还有那„„”辛立将受雇者中实历最强の三人情况都说了壹下,反正辛家并未能与呐三人中任何壹人达成雇佣关系.“实在不行,伍拾亿就伍拾 亿吧！辛立,你再与滔壁联系壹下吧.”族长辛巳轻叹壹声,无奈の语气说道.滔壁の实历也是极强の,与焦左岩在伯仲之间,可能正面拼杀稍微比焦左岩弱壹点,但滔壁在防御能历上要稍微强于焦左岩.“俺们真要出伍拾亿乌翠玉雇佣滔壁?”辛立有些动容.“也没其他办法了！你们都知道辛 家目前の情况,辛家冥空境修道者中,也就辛千月是焦左岩那个层次の实历,其他人都要弱壹点.俺们辛家,不能在第壹轮争夺战中就被另外三个势历拉开距离.”辛巳摆摆手,申色有
初中余弦知识点总结
初中余弦知识点总结一、余弦函数的定义及性质1. 定义余弦函数的定义是一种三角函数，表示在直角三角形中，对边和斜边之比。
即在直角三角形中，余弦函数表示的是“邻边/斜边”的比值。
2. 周期性余弦函数的周期性是2π。
这意味着，在0到2π的范围内，余弦函数的值是周期性变化的。
3. 值域余弦函数的值域在[-1,1]之间。
即余弦函数的取值范围是-1到1之间的实数。
4. 奇偶性余弦函数是偶函数，即f(x)=cos(x)，f(-x)=cos(-x)。
这意味着余弦函数在x轴对称。
5. 单调性余弦函数在0到π之间是递减的，在π到2π之间是递增的。
二、余弦函数的图像及性质1. 余弦函数的图像余弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，其波峰和波谷交替出现在x轴上。
2. 峰值与谷值余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
即余弦函数的峰值和谷值分别为1和-1。
3. 零点余弦函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。
余弦函数的零点分别为π/2，3π/2，5π/2等。
三、余弦函数的基本公式1. 余弦函数的基本公式余弦函数的基本公式是cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，即余弦函数的和差公式。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式是cos2α = 2cos^2α - 1。
3. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式是cos(α/2) = ±√((1+cosα)/2)。
4. 余弦函数的和化积、差化积公式余弦函数的和化积、差化积公式是：cosα+cosβ = 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)，cosα-cosβ = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)。
四、余弦函数的应用1. 余弦定理余弦定理是用余弦函数来解决三角形的边长和夹角问题的定理。
余弦定理表达的是三角形中任意一侧的平方等于另外两边平方和减去这两边与夹角的余弦值的乘积的两倍。
2. 余弦函数的导数余弦函数的导数是-sin(x)。
余弦函数的性质解析及其几何意义
余弦函数的性质解析及其几何意义余弦函数是数学中一种常见的三角函数，广泛应用于数理科学中。
本文将对余弦函数的性质进行解析，并探讨其在几何学中的意义。
一、余弦函数的定义及性质余弦函数（cosine function）是指在单位圆上，取角度的正弦值。
在数学中，余弦函数可以用以下公式表示：cos(x) = Adjacent / Hypotenuse其中，x 代表一个角度，Adjacent 表示角度所对的邻边的长度，Hypotenuse 表示斜边的长度。
余弦函数的主要性质包括以下几点：1. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个完整的圆周上，余弦函数的取值将重复一次。
这意味着对于任意实数 x，有cos(x + 2π) =cos(x)。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(x) = cos(-x)。
这说明余弦函数关于 y 轴对称，图像在 y 轴上是对称的。
3. 范围：余弦函数的取值范围是[-1, 1]，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
这意味着余弦函数的图像在 y 轴的上方不会超过1，下方不会低于-1。
4. 最值点：余弦函数的最大值是1，最小值是-1。
在单位圆上，最大值对应于角度为0度或360度的点，最小值对应于角度为180度的点。
二、余弦函数的几何意义余弦函数在几何学中有着重要的意义，它可以帮助我们理解和描述不同角度下的几何形状与变化。
1. 角度与直线的关系：余弦函数可以描述角度与直线之间的关系。
当我们知道一个角度的大小时，可以利用余弦函数计算出该角度与x轴正方向之间的夹角，从而确定直线的倾斜程度。
2. 三角形的角度关系：余弦函数在三角形中有着重要的应用。
三角形的任意一个内角都可以表示为余弦函数的反函数。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的边长比例，进而确定三角形的形状和大小。
3. 圆的性质：余弦函数也与圆的性质密切相关。
在单位圆上，余弦函数的取值等于圆上某一点的横坐标。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的点的坐标，从而在平面上画出圆的形状。
余弦函数的性质与应用
余弦函数的性质与应用余弦函数是数学中的一种常见的三角函数，具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将就余弦函数的基本性质、图像特点以及其在物理、工程、图像处理等领域中的应用进行探讨。
一、余弦函数的基本性质余弦函数可以用一个周期为2π的周期函数来表示，它的定义域为所有实数，值域在[-1, 1]之间变化。
余弦函数的定义如下：f(x) = cos(x)余弦函数具有以下几个基本性质：1. 周期性：余弦函数的最基本的特点就是周期性。
对于任意实数x，都有cos(x+2π) = cos(x)，即在图像上表现为一条周期为2π的波形。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数图像关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数的性质中，除了对称性，还具有奇偶性。
若x为偶数倍的π，则有cos(x) = cos(2kπ) = 1，其中k为整数。
而当x为奇数倍的π时，有cos(x) = cos((2k+1)π) = -1。
4. 单调性：余弦函数在定义域内呈现出周期性振荡的特点，因此在一个周期内，它既不是上升函数，也不是下降函数。
二、余弦函数的图像特点余弦函数的图像呈现为一条连续的曲线，它的图像具有以下几个特点：1. 幅值：余弦函数的幅值为1，即函数的最大值和最小值分别为1和-1。
2. 峰值点：余弦函数在x = 0时取得最大值1，在x = π/2时取得最小值-1，在x = π时再次取得最大值1。
3. 波形：余弦函数的波形是平滑的曲线，它的变化率在整个定义域上都是连续的。
4. 对称轴：余弦函数的对称轴为y轴，图像关于y轴对称。
三、余弦函数的应用余弦函数在自然科学和应用数学中有广泛的应用，以下是几个典型的应用领域：1. 物理学应用：余弦函数在波动和振动的描述中起到至关重要的作用。
例如，在光学中，余弦函数可以描述光的振动和传播；在声学中，余弦函数可以描述声波的传播和振荡。
2. 工程学应用：余弦函数在工程学中的应用非常广泛。
余弦函数_精品文档
余弦函数1. 什么是余弦函数？余弦函数，又称为cos函数，是一种最基本的三角函数之一，常用于数学和物理领域。
它表示的是一个角度所对应的直角三角形中，邻边与斜边的比值。
在三角函数中，余弦函数是指对于任意角度x，其余弦值为x所对应的直角三角形的邻边与斜边的比值，记为cos(x)。
余弦函数的定义域是所有的实数，值域是[-1, 1]。
2. 余弦函数的图像和性质余弦函数的图像是一个连续的波形，呈现周期性的特点。
具体来说，余弦函数的图像是一条波动在x轴上的曲线，它的波动形状是类似于正弦函数的，但是相位不同。
余弦函数的图像在原点处达到最大值1，在π/2、π、3π/2等整数倍的地方达到最小值-1。
而在其他位置上，则是在这两个极值之间波动。
此外，余弦函数还具有以下性质： - 周期性：cos(x)的周期是2π，即对于任意实数x，都有cos(x+2π) = cos(x)。
- 奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。
- 平移性：cos(x + π) = -cos(x)，即余弦函数在x轴上平移π之后，函数值取相反数。
3. 余弦函数的应用余弦函数在数学和物理中有广泛的应用，下面列举几个具体的应用领域：3.1. 几何学在几何学中，余弦函数可用于求解三角形的各种属性。
例如，已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C，可以使用余弦定理来计算第三边的长度c。
余弦函数还可以用于计算三角形的面积和角度。
3.2. 信号处理在信号处理中，余弦函数是离散余弦变换（DCT）的基础。
离散余弦变换广泛用于音频和图像压缩、数字水印等领域。
3.3. 物理学在物理学中，余弦函数常用于描述振动、波动、光学等现象。
例如，调制函数和调和振动都可以用余弦函数来表示。
3.4. 数据分析在数据分析和统计学中，余弦函数可以用于计算变量之间的相似度。
通过计算两个向量的夹角的余弦值，可以判断它们之间的相似程度。
结论余弦函数是一种基本的三角函数，具有周期性、奇偶性和平移性等性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课后练习
P173课堂练习第1、2、3、4题
作业
学习指导与能力训练P60~63
解：ymax 3(cos x)min = 3 1 3 ymin 3(cos x)max = 3 1 3
例2
求使函数 y=3+cosx 取最大值、最小值的x的 集合，并求这个函数的最大值、最小值.
解： ymax 3 (cos x)max 3 1 4
-
-
-
-
-
-
2
4
6
x
例1 求出下列函数的最大值 和最小值。 1 1 y 2 cos x
解：ymax 2 (cos x)max
2
ymin 2 (cos x)min
2
1 5 =2 1 2 2 1 3 = 2 1 2 2
y 函数值的大小,要先确定这 两个角所在的区间,再看这个区间内余弦 函数是增函数还是减函数。
(1) 6 5 2 5 4
2 ] 上是增函数。 且余弦函数在 [，
5 5 cos cos 6 4
例3
不求值,比较下列各对余弦值的大小
6 5 (1)cos 与 cos ； (2)cos( )与 cos( ) 5 4 7 8
余弦函数的图象和性质
正弦曲线 余弦曲线
y
6
-
1 -
4
-
2
-
o-1
2
4
-
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个单位长度而得到． 2
-
6
-
余弦函数的图象和性质
正弦曲线 余弦曲线
y
6
4
2
-
1
-
-1
o-
-
-
-
-
-
1. 定义域： 2. 值
3. 周期性： 2 是它的最小正周期.
-
xR
域： y
-
2
4
6
1,1
余弦函数的图象和性质
正弦曲线 余弦曲线
y
6
4
2
-
1
-
-1
o-
-
4. 奇偶性： 偶函数,图象关于y轴对称. 5. 单调性： 在区间[0 ]内是 减 函数 ; [2k , , 2k ]内是 减 函数 ; 在区间[ 2k , , 2 内是 增函数. . 2 2] k ]内是增函数
使函数取得最大值的x的集合是
{ x | x 2 k , k Z }
ymin 3 (cos x)min 3 1 2
使函数取得最小值的x的集合是
{ x | x 2 k , k Z }
例3
不求值,比较下列各对余弦值的大小
6 5 (1)cos 与 cos ； (2)cos( )与 cos( ) 5 4 7 8
解：
比较两个余弦函数值的大小,要先确定这 两个角所在的区间,再看这个区间内余弦 函数是增函数还是减函数。
(2) cos( ) cos , 7 7
又
0
8
cos( ) cos 8 8
7
] 上是减函数。 且余弦函数在 [0，
cos
7
cos
, 即 cos( ) cos( ) 8 7 8