河北省秦皇岛市 九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）1.一元二次方程x2-x=0的根为（ ）A. x=1B. x=0C. x1=0，x2=1D. x1=1，x2=−12.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4.下列命题中真命题是（ ）A. 全等的两个图形是中心对称图形B. 中心对称图形都是轴对称图形C. 轴对称图形都是中心对称图形D. 关于中心对称的两个图形全等5.抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标是（ ）A. (−1,4)B. (1,3)C. (−1,3)D. (1,4)6.在直角坐标系中，点P的坐标为（-3，2），则和点P关于原点中心对称的点P′的坐标是（ ）A. (−3,2)B. (−3,−2)C. (3,2)D. (3,−2)7.将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）A. y=3(x+2)2+4B. y=3(x−2)2+4C. y=3(x−2)2−4D. y=3(x+2)2−48.某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为12万元，第3年的养殖成本为16万元．设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）A. 12(1−x)2=16B. 16(1−x)2=12C. 16(1+x)2=12D. 12(1+x)2=169.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a＞0，②b＜0，③c＞0，④b2-4ac＞0，其中正确的有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.（-1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y311.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）A. B. C. D.12.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A. y=−3(x−1)2+3B. y=3(x−1)2+3C. y=−3(x+1)2+3D. y=3(x+1)2+313.图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）A. h=mB. k=nC. k>nD. h<0，k>014.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③3a+c＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（ ）A. ①②B. ①④C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）15.已知x=3是方程x2-6x+k=0的一个根，则k=______．16.若抛物线y=（m-1）xm2−m开口向下，则m=______．17.把二次函数y=x2+6x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式，得y=______，它的顶点坐标是______．18.已知抛物线y=x2-2bx+4的顶点在坐标轴x轴上，则b的值是______．19.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．20.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=90°，则∠D的度数是______°．三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）21.解方程（1）x2+5x+7=3x+11（2）x（2x-5）=4x-10．22.当m为何值时，关于x的一元二次方程x2-4x+m-12=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？23.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）以原点O为对称中心作△ABC的中心对称图形，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1的坐标；（2）再将△A1B1C1绕着点A1顺时针旋转90°，得到△A1B2C2，请画出△A1B2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．24.已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．25.如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．（1）在图中画出：将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△BEA；（2）连接EP，完成你的解答．26.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫______件，每件的利润是______元．（用x的代数式表示）（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：原方程可化为：x（x-1）=0，x=0或x-1=0；解得x1=0，x2=1；故选C．方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．2.【答案】C【解析】解：原方程可化为：4x2-4x+1=0，∵△=42-4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：C．先求出△的值，再判断出其符号即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选D．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】D【解析】解：A、如果一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形，所以A选项不正确；B、平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，所以B选项不正确；C、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以C选项不正确；D、如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，则关于中心对称的两个图形必全等，所以D选项正确．故选：D．根据中心对称图形的定义对A进行判断；举特例对B、C进行判断；根据两个图形关于点中心对称的定义对D进行判断．本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了轴对称图形、中心对称图形．5.【答案】D【解析】解：∵y=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+1+3=-（x-1）2+4，∴抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标是（1，4）．故选：D．已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．6.【答案】D【解析】解：∵点P的坐标为（-3，2），∴和点P关于原点中心对称的点P′的坐标是（3，-2），故选：D．根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位得到y=3（x-2）2-4．故选：C．按照“左加右减，上加下减”的规律．考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．8.【答案】D【解析】解：根据题意可列方程：12（1+x）2=16，故选：D．解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，那么两次涨价后售价为12（1+x）2，然后根据题意可得出方程．本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．9.【答案】C【解析】解：①∵该二次函数图象的开口方向向下，∴a＜0；故本选项错误；②∵该图象的对称轴x=-＞0，∴b＞0；故本选项错误；③∵该函数图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；④该二次函数的图象与x轴有2个不相同的交点，依据根的判别式可知b2-4ac＞0；故本选项正确；综上所述，正确的说法是：③④，共有2个；故选：C．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10.【答案】B【解析】解：∵（-1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点，∴把函数y=-x2-4x+5变形为：y=-（x+2）2+9，∴由函数图象可知当x=2时此函数有最大值为9，当x＞-2时，y的值随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3，故选：B．把原函数解析式化简成顶点式，然后根据函数图象的性质即可比较大小．本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下.根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象.【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选D.12.【答案】A【解析】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，设二次函数y=a（x-1）2+3，把（0，0）代入得0=a+3解得a=-3．故二次函数的解析式为y=-3（x-1）2+3．故选：A．利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y=a（x-1）2+3，然后把（0，0）代入可求出a的值．本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．13.【答案】B【解析】解：∵两抛物线有相同的对称轴，∴h=m．又∵由图可知对称轴为x=-h与x=-m，∴h、m均小于0，由两抛物线的顶点式可以看出顶点坐标分别为（-h，k），（-m，n）．∵由图象可知函数图象的顶点纵坐标不同，且一个纵坐标大于0，一个纵坐标小于0，∴k＞n且k＞0，n＜0．故选：B．根据对称轴情况进行推理，进而对所得结论进行判断．考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．14.【答案】C【解析】解：∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴-=1，∴2a+b=0，b＜0，∴abc＞0，∴①正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x＞2时，有y<0的情况，∴②错误；∵当x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，把b=-2a代入得：3a+c＞0，∴③正确；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴-=1，∴2a+b=0，∵a＞0，∴3a+b＞0，故④正确．故选：C．根据二次函数的图象的开口向上可得a＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的交点可得c＜0，根据对称轴是直线x=1可得b＜0，进而可得①正确，再根据函数图象可得x＞2时，有y<0的情况，故②错误，再计算出当x=1时，a-b+c＞0，再结合对称轴可得2a+b=0，进而可得3a+c＞0；再由2a+b=0，a＞0可得3a+b＞0．此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，关键是数熟练掌握二次函数的性质．15.【答案】9【解析】解：把x=3代入方程x2-6x+k=0，可得9-18+k=0，解得k=9．故答案为：9．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单．16.【答案】-1【解析】解：∵m2-m=2∴m=2或m=-1∵m-1≠0∴m≠1∴当m=2或-1时，这个函数都是二次函数，∵m-1＜0，m＜1∴m=-1．根据二次函数的定义条件列出方程和不等式求解则可．本题考查二次函数的定义和其图象的性质．17.【答案】（x+3）2-5 （-3，-5）【解析】解：y=x2+6x+4=（x2+6x+9）-9+4=（x+3）2-5，它的顶点坐标是：（-3，-5）．故答案为：（x+3）2-5，（-3，-5）．直接利用配方法求出二次函数顶点坐标即可．此题主要考查了配方法求二次函数的顶点坐标，正确进行配方得出是解题关键．18.【答案】2或-2【解析】解：当抛物线y=x2-2bx+4的顶点在x轴上时，△=0，即△=4b2-4×4=0，解得b=2或b=-2，故答案为2或-2．根据当抛物线的顶点在坐标轴x轴上时，△=0计算即可．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是把抛物线的顶点问题转化为抛物线与x轴的交点的个数问题，可以利用一元二次方程的根的判别式来解决．19.【答案】20【解析】解：依题意：该函数关系式化简为S=-5（t-2）2+20，当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．故惯性汽车要滑行20米．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．20.【答案】60【解析】解：由旋转的性质可知，∠AOC=40°，而∠AOD=90°，∴∠COD=90°-∠AOC=50°又∵点C恰好在AB上，OA=OC，∠AOC=40°，∴∠A==70°，由旋转的性质可知，∠OCD=∠A=70°在△OCD中，∠D=180°-∠OCD-∠COD=60°．由旋转角∠AOC=40°，∠AOD=90°，可推出∠COD的度数，再根据点C恰好在AB上，OA=OC，∠AOC=40°，计算∠A，利用内角和定理求∠B，根据对应关系可知∠D=∠B．本题考查了旋转性质的运用，等腰三角形的性质运用，角的和差关系问题．21.【答案】解：（1）方程可化为x2+2x=4，配方得x2+2x+1=5，（x+1）2=5，开方得x+1=±5，x1=-1+5，x2=-1-5．（2）方程可化为2x2-9x+10=0，a=2，b=-9，c=10，△=81-4×2×10=1，x=9±14，x1=52，x2=2．【解析】（1）方程化简后用配方法解答；（2）方程化为一般形式，用公式法解答．本题考查了一元二次方程的解法，要会利用适当的方法解答不同的方程．22.【答案】解：由题意知，△=（-4）2-4（m-12）=0，即16-4m+2=0，解得：m=92．当m=92时，方程化为：x2-4x+4=0，∴（x-2）2=0，∴方程有两个相等的实数根x1=x2=2．【解析】方程有两个相等的实数根，必须满足△=b2-4ac=0，从而求出实数m的值及方程的两个实数根．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．23.【答案】解：（1）△A1B1C1如图所示；A1（2，1），B1（2，4），C1（4，2）；（2）△A1B2C2如图所示；B2（5，1），C2（3，-1）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；（2）根据网格结构找出点B1、C1绕着点A1顺时针旋转90°后的点B2、C2的位置，然后与点A1顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B2、C2的坐标．本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．24.【答案】解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．又∵函数的最大值为9，∴抛物线的顶点为C（1，9）．设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+9，代入B（4，0），求得a=-1．∴二次函数的解析式是y=-（x-1）2+9，即y=-x2+2x+8．（2）过C作CE⊥x轴于E点．当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）．∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=12×2×8+12×（8+9）×1+12×2×9=25.5．【解析】（1）根据函数图象过点（-2，0）和（4，0）可得对称轴为x=1，又函数的最大值为9，则顶点的纵坐标为9，所以可设y=a（x-1）2+9，再把点B的坐标代入求出a的值即可；（2）过C作CE⊥x轴于E点，根据点的坐标求得两个三角形的面积和一个梯形的面积，它们的和就是四边形ABCD的面积．本题考查了待定系数法，抛物线和坐标轴的交点、顶点坐标，四边形的面积的求法等，（2）利用分割法求四边形的面积是本题的关键．25.【答案】解：（1）如图：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA；（2）连EP，如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．【解析】（1）根据题意，作出图形；（2）将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．26.【答案】（30+2x）（40-x）【解析】解：（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫（30+2x）件，每件的利润是（40-x）元；（2）由题意，得（40-x）（30+2x）=1400，即：（x-5）（x-20）=0，解得x1=5，x2=20，为了扩大销售量，减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元；（3）假设能达到，由题意，得（40-x）（30+2x）=1600，整理，得x2-25x+200=0，△=252-4×1×200=625-800=-175＜0，即：该方程无解，所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现．故答案为：（30+2x），（40-x）．（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40-x元），每天可以售出（30+2x）件；（2）由（1）可得商场平均每天要盈利（40-x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1400元，为等量关系列出方程求解即可．（3）假设能达到，根据商场平均每天要盈利=1600元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”．。