第四部分 计算题 专练4

命题特点 本部分知识的命题涉及到动能定理、动量守恒定律、牛顿运动定律和运动学公式等较多知识.考察考生综合应用学科知识分析解决物理问题的能力，对考生的物理过程和运动规律的综合分析能力及用数学方法解决物理问题的能力要求较高.
1.如图1所示，质量均为M ＝4kg 的小车A 、B ，B 车上用轻绳挂有质量为m ＝2kg 的小球C ，与B 车静止在水平地面上.A 车以v 0＝2m/s 的速度在光滑水平面上向B 车运动，相碰后粘在一起(碰撞时间很短).求：
图1
(1)碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)碰后小球C 第一次回到最低点时的速度大小.
答案 (1)4J (2)1.6m/s
解析 (1)设A 、B 车碰后共同速度为v 1，由动量守恒得
M v 0＝2M v 1
设系统损失的能量为E 损
E 损＝12M v 20－12
×2M v 21 解得E 损＝4J
(2)设小球C 再次回到最低点时A 、B 车速为v 2，小球C 速度为v 3，对A 、B 、C 由动量守恒得
2M v 1＝2M v 2＋m v 3
由能量守恒得
12×2M v 21＝12×2M v 22＋12m v 23
解得v 3＝1.6m/s.
2.(2016·全国甲卷·35(2))如图2所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面3m /s 的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h ＝0.3 m(h 小于斜面体的高度).已知小孩与滑板的总质量为m 1＝30 kg ，冰块的质量为m 2＝10 kg ，小孩与滑板始终无相对运动.取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2.
图2
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
解析(1)规定向左为速度正方向.冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为M.由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得
m2v0＝(m2＋M)v①
1 2m2v20＝
1
2(m2＋M)v
2＋m
2
gh②
式中v0＝3m/s为冰块推出时的速度.联立①②式并代入题给数据得
M＝20kg v＝1m/s③
(2)设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有
m1v1＋m2v0＝0④
代入数据得v1＝－1m/s⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋M v3⑥
1 2m2v20＝
1
2m2
v22＋
1
2M v
2
3
⑦
联立③⑥⑦式并代入数据得
v2＝－1m/s⑧
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩.
答案(1)20kg(2)不能，理由见解析
3.如图3所示，在光滑的水平面上，一质量为m A＝0.1kg的小球A，以8m/s的初速度向右运动，与质量为m B＝0.2 kg的静止小球B发生正碰.碰后小球B滑向与水平面相切、半径为R ＝0.5 m的竖直放置的光滑半圆形轨道，且恰好能通过最高点N后水平抛出.g＝10 m/s2.求：
图3
(1)碰撞后小球B的速度大小；
(2)小球B从轨道最低点M运动到最高点N的过程中所受合外力的冲量；
(3)碰撞过程中系统损失的机械能.
答案(1)5m/s(2)(
5
5＋1) N·s，方向向左(3)0.5J
解析 (1)小球B 恰好能通过圆形轨道最高点，有mg ＝m v 2N R
① 解得v N ＝5m/s
小球B 从轨道最低点M 运动到最高点N 的过程中机械能守恒，
有12m B v 2M ＝2m B gR ＋12
m B v 2N ② 联立①②解得v M ＝5m/s.
(2)规定向右为正方向，则v N ＝－5m/s(负号表示方向向左)，合外力对小球B 的冲量为I ＝m B v N －m B v M ＝－(55
＋1) N·s ，负号表示方向向左. (3)碰撞过程中动量守恒，有m A v 0＝m A v A ＋m B v B
水平面光滑所以式中v B ＝v M ，
解得v A ＝－2m/s ，
碰撞过程中损失的机械能为ΔE ＝12m A v 20－12m A v 2A －12
m B v 2B ＝0.5J. 4.如图4所示，水平桌面左端有一顶端高为h 的光滑圆弧轨道，圆弧轨道的底端与桌面在同一水平面上.桌面右侧有一竖直放置的光滑圆轨道MNP ，其形状为半径R ＝0.8m 的圆环剪去了左上角135°后剩余的部分，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距离也为R .一质量m ＝0.4kg 的物块A 自圆弧轨道的顶端释放，到达圆弧形轨道底端恰与一停在圆弧底端水平桌面上质量也为m 的物块B 发生弹性正碰(碰撞过程没有机械能的损失)，碰后物块B 的位移随时间变化的关系式为x ＝6t －2t 2(关系式中所有物理量的单位均为国际单位)，物块B 飞离桌面后恰由P 点沿切线落入圆轨道.(重力加速度g 取10m/s 2)求：
图4
(1)BP 间的水平距离x BP ；
(2)判断物块B 能否沿圆轨道到达M 点；
(3)物块A 由静止释放的高度h .
答案 (1)4.1m (2)不能 (3)1.8m
解析 (1)设碰撞后物块B 由D 点以初速度v D 做平抛运动，落到P 点时其竖直速度为v y ＝
2gR ，同时v y v D
＝tan45°，解得v D ＝4m/s ， 设平抛用时为t ，水平位移为x ，则有R ＝12
gt 2，x ＝v D t ， 解得x ＝1.6m ；
由关系式x ＝6t －2t 2对照x ＝v 0t ＋12
at 2知， 物块B 碰后以初速度v 0＝6m /s ，加速度a ＝－4 m/s 2
减速到v D ，则BD 间的位移为x 1＝v 2D －v 202a ＝2.5m ，
故BP 之间的水平距离x BP ＝x ＋x 1＝4.1m.
(2)若物块B 能沿轨道到达M 点，在M 点时其速度为v M ，则有12m v 2M －12m v 2D ＝－22
mgR ， 设轨道对物块B 的压力为F N ，则F N ＋mg ＝m v 2M R
， 解得F N ＝(1－2)mg <0，即物块B 不能到达M 点.
(3)对物块A 、B 的碰撞过程，有：
m v A ＝m v A ′＋m v 0
12m v 2A ＝12m v A ′2＋12m v 20
解得v A ＝6m/s.
设物体A 释放的高度为h ，则mgh ＝12m v 2A
， 解得h ＝1.8m.。