控制原理CHAPTER3

第三章控制系统的时域分析法3-1 系统的瞬态响应及性能指标3-2 劳斯稳定判据3-3 反馈控制系统的稳态误差3-4 增加零极点对二阶系统响应的影响综述系统分析:针对系统的稳定性、稳态误差和瞬态响应三方面的性能指标进行分析。

直接法——在时间域内，直接求解系统的微分方程。

间接法——稳定性判据(Stability Criterion)根轨迹法(Root Locus Method)频率法(Frequency Method)3.1 系统的瞬态响应及性能指标基本概念瞬态响应：系统的输出从输入信号作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。

分析系统的瞬态响应的方法：1、直接求解法2、间接评价法3、计算机仿真法一、典型输入信号控制系统的瞬态响应与输入信号的形式有关系统分析时通常考虑某些典型输入信号对系统的影响（一）阶跃信号⎩⎨⎧≤>=000t t A t r )(阶跃信号表达式A =1时，称为单位阶跃信号，用1(t )表示（二）斜坡信号⎩⎨⎧≤>=0 00t t At t r )(斜坡信号表达式当A =1时，则称为单位斜坡信号（三）抛物线信号⎪⎩⎪⎨⎧≤>=000 )(t t At t r 221抛物线信号当A =1时，则称为单位抛物线信号（四）脉冲信号⎪⎩⎪⎨⎧><<<=εεεt t t t r 及000 1)(脉冲信号表达式当ε 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d (t )函数)。

（五）正弦信号⎩⎨⎧≤>=000t t t A t r sin )(ω正弦信号表达式A 为幅值T 为周期，角频率ω =2p /T二、性能指标5、延滞时间t d ：响应曲线到达终值50%所需的时间主要包括：%)()()(100⨯∞∞-=c c t c p p σ2、最大百分比超调量σp ：1、峰值时间t p ：响应曲线到达第一个峰值所需的时间3、调整时间t s ：响应到达并保持在终值±5%（或±2%）内所需的最短时间4、上升时间t r ：响应从终值10%上升到终值90%所需的时间衡量系统性能优劣的标准性能指标图解调整时间t s峰值时间t p上升时间t r超调量延滞时间t d其它性能指标振荡次数N：在0≤t≤t s时间内，过渡过程c(t)穿越其稳态值c(∞)次数的一半。

衰减比n：过渡过程曲线上同方向的相邻两个波峰之比，n =B/B’。

对于定值控制系统：常以系统对单位扰动输入信号时的响应特性来衡量瞬态性能三、瞬态响应１.一阶系统的瞬态响应闭环传递函数11111)()()(+=+++=++==Ts K s kk kks ks R s C s G B ττ输出拉氏变换Ts Ks K s Ts K s C /111)(+-=⋅+=输入r (t )=1(t )或R (s )=1/s 可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统一阶控制系统一阶系统响应曲线一阶系统的单位阶跃响应)1()(/ Tt eK t c --=系统时间常数定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间1+=k T τ响应的稳态值系统输出值与时间常数T 的对应关系：t = T ，c (1T )= 0.632c (∞) t = 2T ，c (2T )= 0.865c (∞) t = 3T ，c (3T )= 0.950c (∞)t = 4T ，c (4T )= 0.982c (∞)一阶系统的稳态误差由于k 不可能为无穷大，所以，系统的稳态误差不能为011)(1)]()([lim )(lim )(+=∞-=-==∞∞→∞→k c t c t r t e e t t 系统的稳态误差２.二阶系统的瞬态响应在分析和设计自动控制系统时，常常把二阶系统的响应特性视为一种基准。

闭环传递函数2222nn nB ss s G ωζωω++=)(ζ为阻尼比，ωn 为无阻尼自然振荡频率典型二阶系统结构以下图R-L-C 电路为例传递函数2222211nn nr c B s s LC s L R s LC RCs LCs s U s U s G ωζωω++=++=++==2/11)()()(无阻尼自然振荡频率2T T LCn 111==ω当R =0时的谐振频率阻尼比1111/T T T L C R L R n n 22222====ωωζ电枢控制的直流电动机输出ω 与电枢电压u a 之间传递函数为22222111/111/1)(nn n c ma a m a c m m a cB s s K T T s T s T T K s T s T T K s G ωζωω++⋅=++⋅=++=2ma n T T 1=ωama n T T T 2211==ωζ典型二阶系统的阶跃响应特性特征方程02=++22nn s s ωζω1121---=-+-=22ζωζωζωζωn n n n s s 解方程阻尼比ζ不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同0<ζ<1，欠阻尼情况ζ =１，临界阻尼情况ζ ＞１，过阻尼情况①0<ζ<1，欠阻尼情况系统传递函数))(()(2d n d n nB j s j s s G ωζωωζωω-+++=dn j s ωζω±-=2,1有阻尼振荡频率21ζωω-=n d 输入r (t )=1(t )2222222)()(1)()(dn n d n n n n s s s s s s s s C ωζωζωωζωωζωω++-++-=++=2)11sin(111)sin 1(cos 1)]([)(2222ζζζωζωζζωζωζω-+---=-+-==---arctant et t es C t c n td d tn n 1L0<ζ<1，欠阻尼情况（续）(a)根分布(b)单位阶跃响应欠阻尼情况(0<ζ <1)系统的误差为)0()1arctan1sin(11)()()(222≥-+--=-=-t t et c t r t e n tn ζζζωζζω当t →∞时，稳态误差e (∞)＝０。

ζ=０，无阻尼情况系统的特征根为一对共轭虚根s 1,2= ±j ωn 单位阶跃响应tt c n ωcos 1)(-=等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率ωn 。

当系统有一定阻尼时，ωd 总是小于ωn②ζ =１，临界阻尼情况两个相等的实数特征根：s 1=s 2= -ωnn n n n ns s s s s s C ωωωωω+-+-=+=1)(1)()(222)1(1)(t e t c n tnωω+-=-(a)根分布(b)单位阶跃响应临界阻尼情况(ζ ＝1)系统输出的拉氏变换无超调，无振荡，单调响应过程③ζ ＞１，过阻尼情况两个不相等的实数根：nsωζζ)1(22,1-±-=nnssssCωζζζζζωζζζζζ)1()]1(1[)1()]1(1[1)(21222122-++-+-+--+----=--22)11(111)(2)1(2)1(222-+-----=-+----ζζζζζωζζωζζtt nn eet c2(a)根分布(b)单位阶跃响应无超调，过程拖得比ζ=１时长不同ζ值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族在一定ζ 值下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，过阻尼系统反应迟钝，动作很缓慢，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统二阶系统的脉冲响应特性输入单位脉冲信号d (t )，即R (s )=１二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为2222)()()(nn nB s s s R s G sC ωζωω++==系统的单位脉冲响应]2[)]([)(22211nn nB s s L s G t c ωζωω++==--L 欠阻尼情况(0<ζ <1)te t c n t nn 221sin 1)(ζωζωζω--=-临界阻尼情况(ζ ＝１)tn n tet c ωω-=2)(过阻尼情况(ζ >1)][1)()1()1(222ttnn n eet c ωζζωζζζω-+------=2不同 值时的单位脉冲响应曲线四、二阶系统的瞬态响应性能指标工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，主要的性能指标：上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间上升时间t r (rise time))11sin(111)(222ζζζωζζω-+---=-arctant et c n tn ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==-+ζζωωζζω221sin 1cos r d r d r d t t t tan 0dd r t ωφp ζζω-=--=)1arctan(12ζζφ21arctan-=c (t r )为1峰值时间t p (peak time))11sin(111)(222ζζζωζζω-+---=-arctant et c n tn ),3,2,1( ==m m t d pω求导0)sin(1)cos(11)(22=+-++--=--ϕωζωζωϕωζζωζωt e t e dt t dc d n td d t n n ⎪⎩⎪⎨⎧=-==+=+-+ϕζζζωωϕωϕωζωϕωωtan 1)tan()sin()cos(2n dd d n d d t t t 0整理到达第一个峰值时m =121ζωpωp -==n dp t 峰值时间：峰值时间t p 与振荡频率ωd 成反比。

当ωn 一定，ζ 越小，t p 也越小最大超调量σp(percent overshot)代入t=tp)11sin(111)(222ζζζωζζω-+---=-arctant et c n tn ∵Aeeeet et c d d p n t p n npn =+=-+=+--=+--=-+---=---------222212121212221sin 11)sin(11)sin(11)11sin(111)(ζζpζζpζζpζωpζωζωϕζϕp ζϕωp ωζζζζωζarctan最大超调量σp 求法(续)%)()()(%100⨯∞∞-=c c t c p p σσp 与ζ 的关系%%21100⨯=--ζζpσep ∴%10011121⨯-+=--ζζpe调节时间t s)1%ln(12ζd ζω--=ns t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==±==）4）32%%(5%%(d ζωd ζωn s n s t t )(%)()(∞≤∞-c c t c d 由t s 定义21%ζd ζω-≤∴-tne%1,1)sin(%)sin(122d ζϕωd ϕωζζωζω≤-∴≤+≤+---td d tn n et t e近似算法%1)sin(112d ϕωζζω≤-+---t ed tn 两边取对数小结当ωn 一定，要减小t r 和t p ，必须减少ζ 值，要减少t s 则应增大ζωn 值，而且ζ 值有一定范围，不能过大增大ωn ，能使t r ，t p 和t s 都减少最大超调量σp 只由ζ 决定，ζ 越小，σp 越大。