【免费哦】浙江大学版的概率论与数理统计

)
关于二维随机变量
的边缘分布. ( X , Y )的边缘分布.
边缘分布也称为边沿分布或边际分布. 边缘分布也称为边沿分布或边际分布.
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第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
2)已知联合分布函数求边缘分布函数 设二维随机变量 ( X, Y )的分布函数为 F ( x, y ),
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pi
1 4 1 4 1 4 1 4
p j
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第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
掷一枚骰子,直到出现小于5点为止 点为止. 例3 掷一枚骰子,直到出现小于 点为止. X 表示最后一次掷出的点数,Y 为掷骰子的次数. 表示最后一次掷出的点数, 为掷骰子的次数. 求:随机变量(X,Y ) 的联合分布率及 X,Y 的边缘分 随机变量( , 布率. 布率. 解: X 的可能取值为 ,2,3,4, 的可能取值为1, , , , Y 的可能取值为1,2,3, 的可能取值为 , , ,
1 x
1
6 f (x, y ) = 0
(x, y )∈ D (x, y ) D
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y y=x
D
y=x2 o
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x 1
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例 4(续)
第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
⑵ 随机变量 X 的边缘密度函数为 当 0 < x < 1 时, f X (x ) =
+∞
= ∫ 6dy = 6(x x 2 )
⑵ X 的边缘分布函数为 F X (x ) = F (x , ∞ )
1 π x π y = lim 2 + arctan ÷ + arctan ÷ → +∞ π y 2 2 3 2
1 π x = + arctan ÷ π2 2
( x ∈ ( ∞, + ∞ ) )
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则分量X的边缘分布为
FX (x ) = P { ≤ x} X
= P { ≤ x, Y < +∞ } X = F (x, + ∞ )
同理, 同理,分量 Y 的分布函数为
X FY (y) = P{ ≤ y}= P{ < +∞, Y ≤ y} Y = F (+ ∞, y)
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第三章 随机变量及其分布
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第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
X 以及 Y 的边缘分布律也可以由 下表表示
Y X x1
x2
y1
p11 p21
y2
p12 p22
… … … … …
yj
p1 j p2 j
… … … … …
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pi p1 p 2
M
xi
M
pi1
M
pi 2
M
pij
M
pi
M
p j
M
p1
M
p2
M
p j
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M
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y
+∞
得
fY ( y) =
+∞
∞
∫ f ( x, y )dx
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第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
例 4
上的均匀分布. 随机变量 ( X , Y ) 服从区域 D 上的均匀分布. 试求随机变量 区域 D 是由抛物线 y = x 2 及直线 y = x 所围, 所围,
( X , Y )的联合密度函数及
由分布函数的性质, 解:⑴ 由分布函数的性质,得
π x 0 = F (x, ∞ ) = A B + arctan ÷C ÷ 2 2 π = F ( ∞, y ) = A B C + arctan y ÷ ÷ 0 2 3
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π π 1 = F (+ ∞, + ∞) = A B + C + 2 2
X 当 i < j 时,pij = P { = i, Y = j}
由乘法公式, 当 i ≥ j 时,由乘法公式,得 pij = P { = i, Y = j} X 1 1 1 = P{X = i } { = j X = i }= = P Y 4 i 4i
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第三章 随机变量及其分布
第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
⑶ 当 y > 0 时, f Y (y ) =
+∞
例 5(续)
xe y f (x, y )= 0
y y
0 < x < y < +∞ 其它
∞
∫ f (x, y )dx = ∫
0
1 2 y ex. dx = y e 2
y
y=x
所以, 所以, Y 的边缘密度函数为 1 2 y y e f Y (y ) = 2 0 y>0 y≤0
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第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
二,已知联合分布律求边缘分布律
随机变量 ( X , Y )的联合分布律为
的分布律: 现求随机变量 X 的分布律:
pij = P{ X = xi,Y = yj } (i,j = 1, 2, L) ,
pi. = P{ = xi }= P { X = x i , U(Y = y j )} X
§2 边缘分布
例1 设二维随机变量 ( X, Y )的联合分布函数为
x y F ( x, y ) = A B + arctan C + arctan 2 3 ( ∞ < x < +∞, ∞ < y < +∞ ) 试求: 的边缘分布函数. 试求:⑴ 常数 A, B, C; ⑵ X 及 Y 的边缘分布函数.
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4
j = 1,2, L
第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
三,已知联合密度函数求边缘密度函数
二维连续型随机变量
( X, Y )的联合密度函数为
f ( x , y ),
的边缘密度函数: 求随机变量 X 的边缘密度函数: f X (x )
由
FX (x) = P{ ≤ x} = F (x, + ∞) X
xe y (2) 当 x > 0 时, f (x, y )= 0
f X (x ) = ∫ f (x, y )dy = ∫
∞
+∞
+∞
xe
y
dy = xe x
y=x
所以, 所以, X 的边缘密度函数为
x y
xe x f X (x ) = 0
x>0 x≤0
x
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例 2(续)
p i ×=
§2 边缘分布
∑p
j
ij
及 p× = j
∑
i
p ij
可得 (X , Y )与 X 及 Y 的边缘分布律为
Y X 1 2 3 4 1
1 4 1 8 1 12 1 16 25 48
2 0
1 8 1 12 1 16 13 48
3 0 0
1 12 1 16 7 48
4 0 0 0
1 16 3 48
L
(X,Y)的联合分布率为 的联合分布率为
pij = P { X = i , Y = j } = 1 ( 2 ) j 1 , 6 6
i = 1,2,3,4. j = 1,2, L
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第三章 随机变量及其分布 例3(续) (
X 的边缘分布率为
2 j1 1 pij = ( ) , i = 1,L,4; j = 1,2,L 6 6
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第三章 随机变量及其分布
由以上三式可得, 由以上三式可得, A =
1
1 π x π y 则 F ( x , y ) = 2 + arctan ÷ + arctan ÷ π 2 2 2 3
π
2
,B=
π
2
,C =
π
§2 边缘分布
2
.
( ∞ < x < +∞, ∞ < y < +∞ )
x
∞
∫ f (x, y )dy
6 f (x, y ) = 0
(x, y )∈ D (x, y ) D
y y=x y=x2 o
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所以, 所以,
x2
6 x x 2 f X (x ) = 0
(
)
0 < x < 1, 其它.
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1 x
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例 4(续)
第三章 随机变量及其分布
§2 边缘分布
y y=x
D
X , Y 各自的边缘密度函数. 各自的边缘密度函数.
y=x2 o
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1
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第三章 随机变量及其分布 例 4(续)
§2 边缘分布
⑴ 区域 D 的面积为
所以,二维随机变量 (X, Y )的联合密度函数为 所以,
1 2 1 3 = ∫ dx ∫ dy = x x ÷ = 1 1 = 1 A 3 0 2 3 6 2 0 x2
同理, 同理,随机变量 Y 的边缘密度函数为
当 0 < y < 1 时,
f Y (y ) =
+∞
∫ f (x, y )dx
y
∫ 6dx = 6( y y ) 所以, 所以, 6( y y ) 0 < y < 1, f (y ) =