高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列课时规范练文39

4． (2017·湖南三湘名校联明三模 )在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》
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中，有一道数学名题叫“宝塔装灯” ，内容为“远望巍巍塔七层 ，红灯点点倍加增；共灯三
百八十一，请问顶层几盏灯？” (“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层 按公比为 2 的等
2
＝ 2 ＝9a5＝ 27，得 a5＝ 3，
a10－ a5 又 a10＝ 8，因此公差 d＝ 10－ 5 ＝ 1，所以 a100＝ a10＋ 90d＝ 98.
答案： C 2． (2017·淮北二模 )5 个数依次组成等比数列，且公比为－
2，则其中奇数项和与偶数
项和的比值为 ( )
21 A．－ 20
B．－ 2
则 log2a2 017＝ ________．
解析：因为 f′ (x)＝ x2－ 8x＋ 6，
依题意， a1， a4 033 是方程 f′(x)＝ x2－ 8x＋ 6＝ 0的两根．
所以 a1＋ a4 033＝ 8，则 a2 017＝ 4.
所以 log2a2 017＝ log24＝ 2.
答案： 2
7
63
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第 1 讲 等差数列与等比数列
一、选择题
1． (2016·全国卷Ⅰ )已知等差数列 { an} 前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝ ( )
A． 100
B． 99
C． 98
D ．97
9（ a1＋ a9） 9×2a5
解析：由 S9＝
学号 55410113)
(1)证明：等差数列 { an} 是“ P(3)数列”；
(2)若数列 { an} 既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，证明： { an} 是等差数列． 证明： (1)因为 { an} 是等差数列，设其公差为 d，则
an＝ a1＋ (n－ 1)d， 从而，当 n≥ 4 时，
A．－ 1 B ． 0 C．－ 2 D ． 4
解析：设等差数列 { an} 的公差为 d，因为 S4＝－ 4， S6＝ 6，
4× 3 所以 4a1＋ 2 d＝－ 4，
6× 5
且 6a1＋
d＝ 6， 2
解得 a1＝－ 4， d＝ 2. 5× 4
则 S5＝ 5× (－ 4)＋ 2 × 2＝ 0.
答案： B
比数列递增 )根据此诗，可以得出塔的顶层与底层共有 ( )
A． 3 盏灯
B． 192 盏灯
C． 195 盏灯
D ． 200 盏灯
解析：由题意设顶层的灯盏数为 a1，从顶层到底层的灯 的盏数构成以 a1 为首项，以 2
为公比的等比数列． a1（ 1－27）
则有 S7＝ 1－ 2 ＝ 381，解得 a1＝ 3，
解得 a1q2－ a1q＝－ 2，
a1＝
8，
q＝
. 2
1 n－ 1
所以 an＝ a1qn－ 1＝8× 2
＝ 24－n.
bn＋1 a2n ＋2 1
(2)证明：因为
＝ ＝，
bn
a2n 4
1 所以数列 { bn} 是以 b1＝ a2＝ 4 为首项， 4为公比的等比数列．
1n
4 1－ 4
16
1 n 16
所以 Sn＝
1 令 n＝ 1，得 a2＝ 2，
令 n＝ 2，得 a22－ (2a3－ 1)a2－ 2a3＝ 0，
1 则 a3＝4.
(2)由 a2n－ (2an＋ 1－ 1)an－ 2an＋ 1＝ 0，得 2an＋1(an＋ 1)＝an(an＋ 1)，
an＋ 1 1
因为 { an} 的各项都为正数，所以
＝. an 2
S6＝ 1－ q ＝ 4 ，
q＝ 2，
1 所以 a8＝ a1q7＝ ×27＝ 32.
4
答案： 32
8． (2016·浙江卷 )设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn.若 S2＝ 4， an ＋1＝ 2Sn＋ 1，n∈ N *，则 a1＝
________，S5＝ ________．
解：因为 an＋1＝ 2Sn＋ 1，所以 Sn＋ 1－Sn＝ 2Sn＋ 1，
1 ＝ 3 · 1－ 4 ＜ 3 .
1－ 4
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9． (2016·全国卷Ⅲ )已知各项都为正数的数列 { an} 满足 a1＝ 1， a2n－ (2an＋ 1－ 1)an－ 2an＋1 ＝0.
(1)求 a2， a3； (2)求 { an} 的通项公式． 解： (1)由 a1＝ 1， a2n－ (2an＋ 1－1)an－ 2an＋ 1＝0，
()
(导学号 55410112)
A． 3 C． 4
B．3 或 4 D．5
解析：由题意知
（ a1＋ 2d）（ a1＋ 14d）＝ 25， a1＋ 4d＝5，
由 d≠ 0，解得 a1＝－ 3， d＝ 2，
n（ n－1）
Sn na1＋

2
d
所以 n ＝
n
＝－ 3＋ n－ 1＝ n－ 4.
S4 由 n－ 4≥ 0，得 n≥ 4.且 ＝ 0.
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将③④代入②，得 an－1＋ an＋1＝ 2an，其中 n≥ 4， 所以 a3， a4， a5，…是等差数列，设其公差为 d′. 在①中，取 n＝ 4，则 a2＋ a3＋ a5＋ a6＝4a4， 所以 a2＝ a3－ d′， 在①中，取 n＝ 3，则 a1＋ a2＋ a4＋ a5＝4a3， 所以 a1＝ a3－ 2d′，所以数列 { an} 是等差数列． 11．(2017·贵阳质检 )已知数列 { an} 是等比数列，并用 a1，a2＋ 1，a3 是公差为－ 3 的等差 数列 ． (1)求数列 { an} 的通项公式；
an－k＋ an＋ k＝ a1＋ (n－ k－1)d＋ a1＋(n＋ k－ 1)d＝ 2a1＋ 2(n－ 1)d＝ 2an， k＝ 1， 2，3， 所以 an－ 3＋ an－ 2＋ an－ 1＋ an＋ 1＋ an＋ 2＋ an＋ 3＝ 6an， 因此等差数列 { an} 是“ P(3)数列”．
(2)数列 { an} 既是“ P( 2)数列”，又是“ P(3)数列”，因此， 当 n≥ 3 时， an－2＋ an－1＋an＋1＋ an＋2＝ 4an，① 当 n≥ 4 时， an－3＋ an－2＋an－1＋ an＋1＋ an＋2＋ an＋ 3＝ 6an.② 由①知， an－3＋ an－ 2＝ 4an－1－ (an＋ an＋ 1)，③ an＋2＋ an＋ 3＝ 4an＋ 1－ (an－ 1＋ an)．④
所以 a7＝ a1× 26＝ 3× 26＝ 192，所以 a1＋ a7＝195.
答案： C
5． (2017·衡阳八中、长郡中学等十三校二模 )等差数列 { an} 的公差 d≠ 0，且 a3， a5， a15
Sn 成等比数列，若 a5＝ 5，Sn 为数列 { an} 的前 n 项和，则数列 n 的前 n 项和取最小值时的 n 为
7． (2017·江苏卷 )等比数列 { an} 的各项均为实数，其前
n 项和为
Sn.已知
S3＝
， 4
S6＝
， 4
则 a8 ＝ ________．
解：设数列 { an} 首项为 a1，公比为 q(q≠ 1)，
a1（ 1－ q3） 7
S3＝ 则
1－ q
＝ 4， 解得
1 a1＝ 4，
a1（ 1－ q6） 63
1
1
故 { an} 是首项为 1，公比为 2的等 比数列，因此 an＝2n－1.
10． (2017·江苏卷 )对于给定的正整数 k，若数列 { an} 满足： an－k＋ an－ k＋ 1＋…＋ an－1＋ an ＋1＋…＋ an＋k－1＋ an＋k＝ 2kan，对任意正整数 n(n> k)总成立，则称数列 { an} 是“ P(k)数列”．(导
21 C．－ 10
21 D ．－ 5
解析：由题意，设这 5 个数分别为 a，－ 2a， 4a，－ 8a， 16a(a≠ 0)．
S奇 a＋ 4a＋ 16a 21
则 S偶 ＝
－2a－ 8a
＝－
. 10
答案： C
3．(2017·唐山模拟 )设等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 S4＝－ 4，S6＝ 6，则 S5＝ ( )
16 (2)设 bn＝ a2n，记 Sn 为数列 { bn} 的前 n 项和，证明： Sn＜ 3 .
(1)解：设等比数列 { an} 的公比为 q，
因为 a1， a2＋ 1， a3 是公 差为－ 3 的等差数列，
a2＋ 1＝a1－ 3， 所以
a3＝（ a2＋ 1）－ 3，
a1q－ a1＝－ 4，
1
即
4
Sn 所以数列 n 的前 n 项和取最小值时的 n 的值为 3 或 4.
答案： B 二、填空题
1 6． (2017·河源调研 )等差数列 { an} 中的 a1，a4 033 是函数 f(x)＝ 3x3－ 4x2＋ 6x－ 1 的极值点，
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1
1
所以 Sn＋ 1＝ 3Sn＋ 1，所以 Sn＋ 1＋ 2＝ 3 Sn＋ 2 ，
1 所以数列 Sn＋ 2 是公比为 3 的等比数列，
1
S2 ＋ 2
所以
1＝ 3.又 S2＝ 4，所以 S1＝ 1，所以 a1＝ 1，