贝叶斯统计复习

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贝叶斯统计复习

贝叶斯统计习题1. 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为（1）U 0,1θ:（）（2）21-0<<1=0,θθπθ⎧⎨⎩（），（）其它求θ的后验分布。

解：()()()()()111335368362(|)(1)*2(1)112(1)15(|)840(1),01m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-===-<<⎰⎰⎰2．设12,,,n x x x L 是来自均匀分布U 0,θ（）的一个样本，又设θ的先验分布为Pareto 分布，其密度函数为+1000/>=0,αααθθθθπθθθ⎧⎨≤⎩，（）其中参数0>0,>0θα，证明：θ的后验分布仍为Pareto 分布。

解：样本联合分布为：1(),0np x x θθθ=<<1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x αααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>=L因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。

3．设12,,,n x x x L 是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为-(|)=,>0xp x e x λλλ，（1）证明：伽玛分布(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。

（2）若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数,αβ。

解：()()()111()1()()()()(),.nii x nn n x n n x p x ee ex p x e Ga n nx λλααβλαβλλλλβπλλαλπλλπλλαβ=----+--+∑===Γ∝∝++样本的似然函数：参数的后验分布服从伽马分布220.0002(2)4,20000.0.0001αβαβαβ⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩4. 设一批产品的不合格品率为θ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X 为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X 服从几何分布，其分布列为 ()-1(=|)=1-,=1,2,x P X x x θθθL假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值=3x ，求θ的最大后验估计ˆMDθ。

贝叶斯统计-习题答案)

第一章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<-（实质是新解当n=1的情形）】（2）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

(完整版)贝叶斯统计-习题答案)

第一章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计原理及方法优秀-2022年学习资料

伽玛分布-如果随机变量X具有概率密度函数-e-D-Fa-x-1-x≥0-0,-x<0-则称X服从伽玛分布，作X~Gaa,入.-其中a>0为形状参数，入>0为尺度参数，-6
EX=于-」e=iara,-Ta+11o-To2-aa+1-EX2=-22-C-VrX=EX2-[EX]2 -7
贝塔函数-Ba,b=[x"1-x-dx-称为贝塔函数，其中参数a>0,b>0-贝塔函数的性质：1Ba,b= b,a-TaTb-2Ba,b=-Ta+b-10
Bayesian Statistics-贝叶斯统计-1
贝叶斯统计-预修要求：已修过概率论与数理统计-基本教材：-茆诗松编，贝叶斯统计-中国统计出版社，2005年
[1]贝叶斯统计与决策.Berger J O.中国统计出版-社.1998-[2]现代贝叶斯统计.Kotz ,吴喜之.中国统计出版-社.1999-[3]贝叶斯统计推断.张尧庭、陈汉峰.科学出版-社.1991
经典统计学：基于以上两种信息进行的统计推断被-称为经典统计学。-•说明：它的基本观点是把数据（样本）看成是自-具有一定概率分布的总体，所研究对象是这个总体而-不局限于数据本身。-据现有资料看，这方面最早的工作是高和勒让德-德误差分析、正态分布和最小二乘法。从十九世纪末-期到二十世纪中叶，经皮尔逊、费歇和奈曼等人杰出工作创立了经典统计学。-²随着经典统计学的持续发展与广泛应用，它本身的-缺陷也逐渐暴露出来了。-23
贝叶斯方法Bayesian approach-贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系-统地阐述和解决统问题的方法Samuel Kotz和-吴喜之，2000。-贝叶斯推断的基本方法是将关于未知参数的先-验信息与本信息综合，再根据贝叶斯定理，得-出后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数-茆诗松和王静龙等，1998年 -“贝叶斯提出了一种归纳推理的理论（贝叶斯定-理，以后被一些统计学者发展为一种系统的统计-推断方法，称为贝斯方法.”一摘自《中国大百-科全书》（数学卷）-16

贝叶斯统计

贝叶斯统计：原理、方法和应用贝叶斯统计是一种基于贝叶斯概率的统计学理论，它使用概率的方法来解决统计学问题，如参数估计、假设检验、预测和决策等。

贝叶斯统计的核心思想是利用贝叶斯定理，根据已有的数据和先验知识，更新对未知参数或模型的信念，得到后验分布。

贝叶斯统计与传统的频率统计有很大的不同，主要体现在对概率的理解、对参数的处理和对推断的方法上。

本文将介绍贝叶斯统计的基本原理、主要方法和应用领域，以及它与频率统计的比较和联系。

一、贝叶斯统计的基本原理1.1 贝叶斯概率贝叶斯统计是建立在贝叶斯概率的基础上的。

贝叶斯概率是一种主观概率，它反映了人们对某个事件或命题发生的信心程度。

贝叶斯概率不依赖于事件的重复性或客观性，而是依赖于人们的知识和经验。

因此，不同的人可以有不同的贝叶斯概率，而且同一个人在不同的情境下也可以有不同的贝叶斯概率。

例如，如果我们想要估计明天下雨的概率，我们可以根据天气预报、季节、地理位置等信息来给出一个贝叶斯概率。

这个概率并不是说明天下雨是一个随机事件，而是说我们对明天下雨有多大的信心。

如果我们有更多或更准确的信息，我们可以更新我们的贝叶斯概率。

如果我们和别人有不同的信息或判断标准，我们可以有不同的贝叶斯概率。

1.2 贝叶斯定理贝叶斯定理是贝叶斯统计中最重要的工具，它描述了在给定新数据或证据后，如何更新对某个事件或命题发生的信心程度。

贝叶斯定理可以用数学公式表示为：P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)其中，A和B是两个事件或命题，P(A)是A发生的先验概率，即在没有B信息之前对A发生的信心程度；P(B)是B 发生的边缘概率，即在没有考虑A之前B发生的信心程度；P(B|A)是在已知A发生后B发生的条件概率，即在考虑了A信息之后对B发生的信心程度；P(A|B)是在已知B发生后A发生的条件概率，即在考虑了B信息之后对A发生的信心程度。

这个条件概率也被称为后验概率，它是贝叶斯推断的目标。

贝叶斯统计-习题答案)

第一章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ== 设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(53531161453153531533853381<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XN θ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此(174.64,1.26)x N1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

统计学中的贝叶斯统计

统计学中的贝叶斯统计贝叶斯统计是统计学中一种重要的统计推理方法，它基于贝叶斯定理，通过将先验知识和观测数据相结合，来进行参数估计和决策推断。

本文将介绍贝叶斯统计的基本原理、应用领域以及与频率主义统计学的对比。

一、贝叶斯统计的基本原理贝叶斯统计的核心理念是通过主观先验知识和观测数据的结合，不断修正对未知参数的估计。

贝叶斯定理是贝叶斯统计方法的基础，它描述了在给定观测数据的情况下，参数的后验概率与先验概率以及数据产生的概率之间的关系。

根据贝叶斯定理，可以得到后验概率密度函数，从而进行参数估计或预测。

二、贝叶斯统计的应用领域1.机器学习与人工智能贝叶斯统计被广泛应用于机器学习和人工智能领域。

在模式识别、分类与回归分析中，贝叶斯统计可以用于构建概率模型，从而进行模式的识别和预测。

此外，贝叶斯网络也是一种常用的概率图模型，能够描述变量之间的依赖关系，用于推理和决策。

2.医学研究与临床实践在医学研究和临床实践中，贝叶斯统计可以帮助研究人员进行疾病的风险评估和效果评价。

例如，在药物研发中，贝叶斯统计方法可以用于药物的剂量选择和剂量个性化，从而提高疗效和减少不良反应。

3.市场营销与商业决策贝叶斯统计方法在市场营销和商业决策领域也有广泛的应用。

通过分析市场研究数据和消费者行为数据，贝叶斯统计可以帮助企业了解用户需求，制定有效的营销策略。

同时，贝叶斯决策理论也可以在面对不确定性的商业决策中提供决策框架。

三、贝叶斯统计与频率主义统计学的对比贝叶斯统计与频率主义统计学是统计学领域中两种不同的推理思路和方法。

频率主义统计学将概率解释为长期重复试验的频率，其核心是基于样本数据进行推断。

而贝叶斯统计则将概率解释为表示不确定性的一种度量，其基于主观先验知识和观测数据进行推断。

与频率主义统计学相比，贝叶斯统计具有以下优势：1.能够充分利用先验知识。

贝叶斯统计允许研究者将先验知识引入统计模型中，从而提供更准确和可靠的推断结果。

2.能够处理小样本问题。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案（精编新修订）

习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为x.()()22682268(0.1)*0.1*0.90.1488(0.2)*0.2*0.80.29360.1488*0.70.10.54180.1488*0.70.2936*0.30.2936*0.30.20.45820.1488*0.70.2936*0.3p x C p x C x x θθπθπθ==≈==≈==≈+==≈+后验分布：()()()()()1113353680362(|)(1)*2(1)112(1)15(|)840(1),01m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-===-<<⎰⎰⎰1.61.11 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ1,0()0,x p x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为123(,,)X x x x =12331,0,,()0,x x x p X θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它又因为4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩所以，利用样本信息得1233471192192(,)()() (8,0,,)h X p X x x x θθπθθθθθθ==⋅=≥<<于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰的后验分布为θ76778(,)192/68()192()h X X m X d θθπθθθθ+∞⨯===⎰6768,8()0,8X θπθθθ⎧⨯≥⎪=⎨⎪<⎩1.12样本联合分布为：1(),0np x x θθθ=<< 1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x αααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>= 因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto 分布密度函数的核θ11/n αθ++即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。

【贝叶斯统计答案】第二章+第三章

二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解：由题意，变量t 服从指数分布：()t p t e λλλ-=样本联合分布()itn p Te λλλ-∑=且1~(,),0()Ga e ααβλβλαβλλα--=>Γ ，()0.2E λ= ()1Var λ= 由伽玛分布性质知：20.20.04,0.21αβαβαβ⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩ 又已知 n=20, 3.8t =120 3.876nii t==⨯=∑，所以120.04,76.2ni i n t αβ=+=+=∑由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布()11()()()t t n n i i t p T e e eλλββλααπλλπλλλλ--+∑∑--+-∝∝= 即后验分布为(,)(20.04,76.2)iGa n t Ga αβ++=∑|20.04()0.26376.2T i n E t λαλβ+===+∑1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑||1()() 4.0021iT T t E E n λλβθλα-+===+-∑2.3可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的后验方差为1116. 2.5只有个别人算错了，答案是36n ≥. 2.6大家差不多都做对了.2.7θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩则θ的后验期望估计为：1()()1n E x n αθθα+=+-，后验方差为：212()()(1)(2)n Var x n n αθθαα+=+-+-.2.8由1~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ可以得出211221()2(),0()2nn xp x x e x n θθθ--=>Γ(1)(),0()e βααθβπθθθα--+=>Γ （1）θ的后验分布为：2(1)22()()()x nx p x eβαθπθθπθθ+--++∝∝即为倒伽玛分布(,)22nxIGa αβ++的核。

贝叶斯统计复习

贝叶斯统计习题1. 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为（1）U0,1θ（）（2）21-0<<1=0,θθπθ⎧⎨⎩（），（）其它求θ的后验分布。

解：…()()()()()111335368000362 (|)(1)*2(1)112(1)15 (|)840(1),01m x p x d C d dp xxm xθπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-===-<<⎰⎰⎰2．设12,,,nx x x是来自均匀分布U0,θ（）的一个样本，又设θ的先验分布为Pareto分布，其密度函数为+100/>=0,αααθθθθπθθθ⎧⎨≤⎩，（）其中参数>0,>0θα，证明：θ的后验分布仍为Pareto分布。

解：样本联合分布为：1(),0np x xθθθ=<<100/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max,,,n nn x p x x xαααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>=|因此θ的后验分布的核为11/nαθ++，仍表现为Pareto分布密度函数的核即1111()/,()0,n nnxαααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。

3．设12,,,nx x x是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为-(|)=,>0xp x e xλλλ，（1）证明：伽玛分布(,)Gaαβ是参数λ的共轭先验分布。

（2）若从先验信息得知，先验均值为，先验标准差为，确定其超参数,αβ。

解：()()()111()1()()()()(),.niixn n n xn n xp x e eex p x eGa n nxλλααβλαβλλλλβπλλαλπλλπλλαβ=----+--+∑===Γ∝∝++样本的似然函数：参数的后验分布服从伽马分布、220.0002(2)4,20000.0.0001αβαβαβ⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩4.设一批产品的不合格品率为θ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布列为()-1(=|)=1-,=1,2,xP X x xθθθ假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值=3x，求θ的最大后验估计ˆMDθ。

贝叶斯统计学3

对以上用定分度法和变分度法取得的主观概率，编制成累计频率（概率）分布表，绘制成累计频率（概率）分布图和相应的直方图。
确定图形的曲线形式，并确定相应的超参数和进行检验。
2020/7/20
14
3.3利用边缘分布m(x)确定先验分布
1.边缘分布m(x)特征 2.混合分布 3.先验分布选择的ML-Ⅱ方法 4 先验分布选择的矩法
)
2
2020/7/20
29
所以 m(x
,
2
)
2
(
2
2
)
n 2
exp
1 2
n i 1
( xi
xx
2
2
)2
2
(
2
2
)
n 2
exp
1 2
n
(xi x)2
i 1
2
2
n(x )2
2
2
2
(
2
2
)
n 2
exp
1 2
n
(xi x)2
i 1
2

2
exp
的合理程度。这里，把m(x)记为 m (x)，表
示m(x)依赖于先验分布及其超参数，当观测值
x对二个不同的先验分布1和 2 有
m1 (x) m2 (x) 时的，支人持们。自这然样会人认们为也数自据然x对就会1比想对到利2 用提m供(更x)多这
一特征来确定先验分布（假定先验分布形式已定时，实际上是先验分布的超参数）。
20
所以 m(x)
1
2
exp
1 2
C
B2 A
1
2 1
exp
1 21

贝叶斯统计1.3

2 1
5
二、后验分布的计算
参数的后验分布为 ( | x ) p( x | ) ( ) / m( x ) 由于m(x)不依赖于，在计算的后验分布中仅起到一个正则化因子的作用。假如把m(x)省略，把贝叶斯公式改写为如下等价形式
( | x ) p( x | ) ( )
设X服从伽玛分布Ga(,)，其中>0为形状参数, >0为尺度参数，其密度函数为 1 x p( x , ) x e ,x0 ( ) Y=1/X的密度函数为 1
1 p( y , ) ( ) y
e ,y0
故 ( x) ~ (a xi , n )
i 1 n
.
17

若后验分布( x)与( )属于同一个分布族，则称该分布族是的共轭先验分布(族)。二项分布b(n, )中的成功概率的共轭先验分布是贝塔分布Be(α,β)；泊松分布P( )中的均值的共轭先验分布是伽玛分布Ga(,)；指数分布中均值的倒数的共轭先验分布是伽玛分布Ga(,)；在方差已知时，正态均值的共轭先验分布是正态分布N(, 2); 在均值已知时，正态方差 2的共轭先验分布是倒伽玛分布IGa(,)。 18
n1
2 样本x的边际密度函数为 m( x ) h( x , )d k2 A2 1/ 2 ( B / A) 2 exp , 参数的后验分布为 ( x ) 2/ A A

12
2的正态分布这是参数为μ1, 和 τ 1
8
三、共轭先验分布的优缺点
共轭先验分布的有两个优点 1.计算方便。 2.共轭先验分布的一些参数可以得到很好的解释。例1.3.3 “正态均值（方差已知）的共轭先验分布是正态分布”的例子中，其后验均值为 2

第六章贝叶斯统计初步

3
4i i 2 (1 ) 5 4
它的概率分布为

P( i / 4 X 2)
1/4
9/20
2/4
8/20
3/4
3/20
根据定理4知，在0-1损失函数下，的贝叶斯 ˆ 1 ，因为这是后验分布的众数。估计应是
4
贝叶斯学派与经典学派的区别：
（1）贝叶斯学派的出发点与经典学派不同，后者的出发点是样本分布的频率函数 p ( x; ) 。（2）在给定样本等于x时，对 ( x) 或 f ( x; ) 的含义的解释上也不同，前者在贝叶斯学派眼中是关于的（条件）频率函数；而后者在经典学派眼中（作为的函数）并没有概率的含义在里面，因而称为似然函数。
结论：对于随机变量X，（1）若 EX 2 ，则
E( X EX )2 mina E( X a)2
（2）若 E X ，M(X)为X的中位数，则
E X M ( X ) mina E X a
2 ˆ ˆ 定理2 在平方损失函数 L( , ) ( ) 下，的贝叶斯估计为后验分布 ( x) 的条件期望，
h( x, ) ( x)m( x) ~ ~ ~ 其中 m ( x )是 x 的边缘密度函数，公式为 ~
~
~
m( x) h( x, )d p ( x ) ( )d
~
它与无关，或者说 m ( x )中不含任何信息。 ~ 因此能用来对作出推断的仅是条件分布，它的计算公式为
这就是参数为x+1和n-x+1的分布B(x+1,n-x+1)。
第二节贝叶斯估计
一、损失函数（lost function）
STAT

贝叶斯统计知识整理

只能据先验分布对作出推断。在有样本观察值 x=( x1 ,…, xn )之后，我们依据 h(x, ) 对作出推断。为此我们需把 h(x, ) 作如下分解：
h(x, ) ( x)m(x)
其中 m(x)是 x 的边缘密度函数。
m(x) h(x, )d p(x ) ( )
它与无关，或者说，m(x)中不含的任何信息。因此能用来对作出推断
中有关的一切信息，而又是排除一切与无关的信息之后所得到的的结果。
（三）贝叶斯公式的离散形式
是离散随机变量时，先验分布可用先验分布列 (i ) ,i=1,2,…,表示。这
时后验分布也是离散形式。
( i | x )
p ( x | i ) ( i ) ，i 1,2, p ( x | j ) ( j )
( ) 0
( )
Var ( X ) 2
4.伽马分布的特性
（1）当α=1，伽玛分布就是指数分布（2）当α=1/2 1/ 2 时，伽马分布称为自由度为 n 的卡方分布。（二）贝塔分布
1.贝塔函数
B(a,b) 1 xa1(1 x)b1dx 0
称为贝塔函数，其中参数 a>0,b>0 贝塔函数的性质 2.
2.二项分布中的成功概率的共轭先验分布是贝塔分布。设总体 X ~ b(n, ) ，其密度函数中与有关的部分为 x (1 )nx 。又设的先验分布为贝塔分布 Be( , ) ，其核为 1(1 ) 1 ，其中，已知，从而可写出的后验分布
，
立即可以看出，这是贝塔分布
的核，故此后验密度为
（1）B(a,b) B(b, a) (2)B(a,b) (a)(b) (a b)
3.贝塔分布
若随机变量 X 具有概率密度函数：

【样本】贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案

【关键字】样本习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为x.1.61.11 由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为又因为所以，利用样本信息得于是的后验分布为1.12样本联合分布为：因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核即即得证。

1.152、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解：由题意，变量t服从指数分布：样本联合分布且，由伽玛分布性质知：又已知n=20,，所以由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布即后验分布为服从倒伽玛分布2.3可以算出的后验分布为，的后验期望估计的后验方差为.2.5 .2.7的先验分布为：令可得后验分布为：则的后验期望估计为：，后验方差为：.2.8由可以得出（1）的后验分布为：即为倒伽玛分布的核。

所以的后验分布为（2）后验均值为后验方差为（3）样本分布函数为：所以的后验分布为：即为的核。

令即：可得而由公式得因此，倒伽玛分布的这两个估计是不一样的，原因是它不对称。

2.10解：已知设的后验分布为可得：由已知得：，所以的95％的可信区间为：即为. 2.11已知可得2σ的后验分布为211,22n i i n IGa x αλ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑后验均值为：2112ˆ12n ii Ex n λθα=+=+-∑ 后验方差为：()22122121222n i i x Var x n n λσαα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ 变换：令：()220.1211220.9ni i P x n λχασ=⎡⎤⎛⎫+≥+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑可得2σ的0.9可信上限为()2120.122ni i x n λχα=++∑.2.12θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩设θ的1α-可信上限为U θ 则()11Ux d θθπθθα=-⎰带入有：三、10,11,12,13四、1,4,8,9,10,11,12,15,16 4.44.8 购买8件. 4.9对于行动1a ，其收益函数为对于行动2a ，其收益函数为从而可得在1a 和2a 处的损失函数：θ服从()2,14Be故采用第一种收费方法对工厂有利.##附R 软件计算定积分程序： int<-function(x){210*x*(1-x)^13};integrate(int,0.1,0.2)$value*10+integrate(int,0.2,1)$value*90; [1] 18.86049integrate(int,0,0.1)$value*60; [1] 27.05742 4.10五、2,3,7,11,18,21,22 5.2(2)(4)()()()22~,12x x N p x θθθπ--=由可得附：用R 软件作图程序：y<-function(x){exp(0.1*x)-0.1*x-1}; plot(y,xlim=c(-20,20),type="l",lty=1);lines(x,exp(0.5*x)-0.5*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=2); lines(x,exp(1.2*x)-1.2*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=3); s<-c("c=0.1","c=0.5","c=1.2");legend(locator(1),s,lty=c(1,2,3));5.3()23,.23ln B xx c e cθδ=<-可以求得的贝叶斯估计为 5.7 5.11 5.18(1)1a 与2a 下的先验期望损失为()()12,17.5,,15E L a E L a θθθθ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故2a 是最优行动，先验()15EVPI =元.(2){}{}()120,1,2,a a x δ从到上的任一个映射都是该问题的决策函数.()()()()()()(),13.89*0.8747513.7975*0.12059.21*0.0047513.8566,1513.8566 1.14342 1.14340.20.9434xx xx EVPI E EL x EVSI EVPI E E L x ENGS EVSI C θθθδθδ⎡⎤'==++=⎣⎦⎡⎤'=-=-=⎣⎦=-=-=后验先验元元5.21 (1)210216b b m m θ-==-(2)(3)由上先验EVPI 中有相当一部分是由于先验分布估计得不够精确引起的，随着标准差τ的减小，用来描述状态θ的先验分布愈精确，增加了先验信息，从而减少了先验完全信息及其期望值。

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案之欧阳家百创编

习题讲解欧阳家百(2021.03.07)一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为X.1.11由题意设X 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布〃（°&）因为抽取3个样本，即X=（X"2，®）,所以样本联合分布为又因为所以，利用样本信息得。

的后验分布为1.12样本联合分布为：因此&的后验分布的核为1/严"：仍表现为Pnreto 分布密度函数的核（0+町年+"/严吧6>0{0, 0<0}即得证O1.15二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2解：由题意，变量t 服从指数分布：〃（4刃=加" 样本联合分布〃们刃="『》192/伊, 6>>40,于是兀（&卜）= 即且八 G/(a.0) = w/ e 0 ,A >0 E (N )= o 2 = i由伽玛分布性质知: 又已知0=20/=3.8工-=20x3.8 = 76 n + a = 20.04,工人+“ = 76.2 I ,所以 j由于伽玛分布是指数分布参数的共轮先验分布，而且后验分布即后验分布为E© +心+D )= S(20.04,76.2)0 = 2-1 服从倒伽玛分布 /G“(a + n,0+D )= ©(20.04,76.2)2.3可以算出&的后验分布为SZ4),&的后验期望估计的后验方11差为16.2.5 心 36.兀(&)= <2.7 &的先验分布为：仝 =max{G )，i ，…,耳}0. 0<0.\a + n )e^lx !0a ^\ 0,则&的后验期望估计为：I n+Qj, 畑砂)=—竺泌— 后验方差为： (“ + ― 1)" + — 2).x ~ Gu(—,—),0 〜IGa(a, B) 2.8由 2 2& 可以得出7T (0\x) = <可得后验分布为：0>0}0<0}(1) &的后验分布为:1] x心(_ + 7_ + 0) 即为倒伽玛分布 2 2 P 的核。

贝叶斯统计2.1-2.2

那么称服从贝塔分布 ,记作 Ө~Be(α,β ),其中参数 α>0,β >0.
Var ( X ) 2 ( ) ( 1)
11
E( X )
例2.2.2 为了估计不合格品率，今从一批产品中随机抽取n件，其中不合格品数X b(n, )，的先验分布取 Be(α,β),它的后验分布为Be(α+x,β+n-x). 所以
后验分布( x)对是非减的，又因为的取值 ˆ x. 不能超过x，故的最大后验估计为 MD
15
二、贝叶斯估计的误差
ˆ 是一个设 ˆ 是的一个贝叶斯估计，在样本给定后，
数，在综合各种信息后，是按 ( x ) 取值，所以评价一个贝叶斯估计的误差的最好而又简单的方式是用对 ˆ的后验均方差或平方根来度量，定义如下：
2
3. 条件方法与频率方法的区别：(以对估计的无偏性认识为例)例如经典统计学认为参数的无偏估计应满足：
ˆ( x ) E

x
ˆ( x) p ( x | )dx
其中平均是对样本空间中所有可能出现的样本而求的，可实际中样本空间中绝大多数样本尚为出现过，而多数从未出现的样本也要参与平均是实际工作者难以理解的。故在贝叶斯推断中不用无偏性，而条件方法是容易被实际工作者理解和接受的。
4
例2.6.2
Pratt(1962)一位工程师在对电子管的一个随机样本测量板极电压时，所用测量仪器极其精密，以致误差可忽略不计。一位统计学家检查了测量值，看上去为正态分布，变化范围为75到99伏特，均值为87，标准差为4。他进行了统计分析，给出正态均值的置信区间。后来他到实验室发现，电压计读数至多为100伏特。于是认为总体是“截尾的”，应重新处理数据。但工程师说，他有另一台电压计，同样精度，能测到 1000伏特。如果电压超过100伏特，就会用这一台测量。这使频率派统计学家感到放心，因为这表明总体毕竟是完整的，无须重新处理数据。第二天工程师打电话说：“我刚刚发现那台高量程的电压计坏了。”统计学家查明，那台高量程的电压计修复之前，试验没有停止，故通知工程师，数据需要重新分析。 5

贝叶斯统计学

贝叶斯统计学贝叶斯统计学是一种基于贝叶斯定理的统计学方法，它能够对未知量进行推断，通过引入先验知识和数据更新，产生后验分布，使推断结果更加准确和可靠。

贝叶斯统计学在各个领域中都有广泛应用，如医疗、金融、天文学等。

贝叶斯定理：P(θ|D)=P(D|θ)P(θ)/P(D)其中，θ表示未知参数，D表示观测数据。

P(θ)是先验分布，即在观测数据之前对θ的概率分布。

P(D|θ)是似然函数，表示在知道参数θ的条件下，观测数据D的概率分布。

从式子可以看出，后验分布是由先验分布与似然函数进行更新得到的。

这也符合我们日常推断的过程，即利用自己先前的经验并根据新的事实进行修正和更新，得出更加准确和可靠的结论。

举个例子，假设一个硬币正反面的概率是θ，我们进行了n次抛硬币的实验，其中有x次正面朝上。

那么我们可以通过贝叶斯定理来推断θ的后验分布。

先验分布可以选择为均匀分布（0,1），即θ在[0,1]之间的概率密度函数是f(θ)=1。

似然函数可以选择二项分布B(x|n,θ)，即正面朝上x次，反面朝上n-x次，θ的概率为θ^x(1-θ)^(n-x)。

那么根据贝叶斯定理，我们可以得到后验分布：其中P(D)是边缘分布，可以通过积分得到。

由于先验分布是均匀分布，所以P(θ|D)可以简化为：P(θ|D)=θ^x(1-θ)^(n-x)这就是θ的后验分布，我们可以通过对其进行积分或采样来得到θ的概率分布。

通过后验分布，我们可以得到θ的点估计、区间估计、预测等信息，更全面地理解数据和模型，进而作出更加准确和可靠的决策。

除了在推断参数方面，贝叶斯统计学还有其他应用，如模型选择、超参数估计等。

模型选择主要涉及模型的复杂度和拟合程度，贝叶斯方法可以通过引入先验分布来平衡这两方面的因素，并选择最佳的模型和参数。

超参数估计主要涉及模型的超参数（即模型中不由数据决定的参数），贝叶斯方法可以通过引入超参数的先验分布来对其进行估计和优化。

在实际应用中，贝叶斯统计学需要根据具体问题来选择合适的先验分布和似然函数。

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