高中数学必修5 第一章11
高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修五知识点汇总第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:1.正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明:在锐角△ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c 。
作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理,在△ABC 中, bbc c sin sin =步骤2.证明:2sin sin sin a b cR A B C===如图,任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式:()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =;()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===;(4)R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题:(1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 4.在ABC ∆中,已知a,b 及A 时,解得情况: 解法一:利用正弦定理计算解法二:分析三角形解的情况,可用余弦定理做,已知a,b 和角A ,则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程:0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:1.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论: 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若222a b c +=,则90C =; ②若222a b c +>,则90C <; ③若222a b c +<,则90C >.3.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角.(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++(其中r 为三角形内切圆半径)2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例:已知三角形的三边为,、、c b a 设)(21c b a p ++=,求证:(1)三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=; (2)r 为三角形的内切圆半径,则pc p b p a p r ))()((---=(3)把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为,、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明:(1)根据余弦定理的推论:222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系,sin C ==代入1sin 2S ab C =,得12S ====记1()2p a b c =++,则可得到1()2b c a p a +-=-,1()2c a b p b +-=-,1()2a b c p c +-=-代入可证得公式(2)三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++,所以S r p == 注:连接圆心和三角形三个顶点,构成三个小三角形,则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和 故得:pr cr br ar S =++=212121(3)根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以,2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】(1)π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, (3)若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> (大边对大角,小边对小角)(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5)三角形中最大角大于等于 60,最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 (7)ABC ∆中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列,且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.(2)在ABC ∆中,由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆(注意:是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆) (3) 若B A 2sin 2sin =,则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中,A b c cos 2=,且ab c b a c b a 3))((=-+++,试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中,1=a ,3=b ,030=∠A ,求的值例3.在ABC ∆中,内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,,已知2=c ,3π=C .(Ⅰ)若ABC ∆的面积等于3,求a ,b(Ⅱ)若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+,求ABC ∆的面积.题型3:证明等式成立证明等式成立的方法:(1)左⇒右,(2)右⇒左,(3)左右互相推.例4.已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,求证:B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察:(仰角、俯角、方向角、方位角、视角)例5.如图所示,货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?三、解三角形的应用 1.坡角和坡度:坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示,根据定义可知:坡度是坡角的正切,即tan i α=.lhα2.俯角和仰角:如图所示,在同一铅垂面内,在目标视线与水平线所成的夹角中,目标视线在水平视线的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为 .注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。
高中数学必修5复习题及答案(A组)免费范文
篇一:高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习(P4) 1、(1)a?14,b?19,B?105?;(2)a?18cm,b?15cm,C?75?. 2、(1)A?65?,C?85?,c?22;或A?115?,C?35?,c?13;(2)B?41?,A?24?,a?24. 练习(P8) 1、(1)A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm;(2)B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、(1)A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?;(2)A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组(P10) 1、(1)a?38cm,b?39cm,B?80?;(2)a?38cm,b?56cm,C?90? 2、(1)A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm(2)B?35?,C?85?,c?17cm;(3)A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm; 3、(1)A?49?,B?24?,c?62cm;(2)A?59?,C?55?,b?62cm;(3)B?36?,C?38?,a?62cm;4、(1)A?36?,B?40?,C?104?;(2)A?48?,B?93?,C?39?;习题1.1 A组(P10)1、证明:如图1,设?ABC的外接圆的半径是R,①当?ABC时直角三角形时,?C?90?时,?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中,?sinA,?sinBABABab即?sinA,?sinB 2R2R所以a?2RsinA,b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC (第1题图1)所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时,它的外接圆的圆心O在三角形内(图2),作过O、B的直径A1B,连接AC, 1?90?,?BACBAC则?A1BC直角三角形,?ACB. 11在Rt?A1BC中,即BC?sin?BAC1, A1Ba?sin?BAC?sinA, 12R所以a?2RsinA,同理:b?2RsinB,c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时,不妨假设?A为钝角,它的外接圆的圆心O 在?ABC外(图3)(第1题图2)作过O、B的直径A1B,连接AC.1则?A1BC直角三角形,且?ACB?90?,?BAC?180?11在Rt?A1BC中,BC?2Rsin?BAC, 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理:b?2RsinB,c?2RsinC综上,对任意三角形?ABC,如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB,所以sinAcosA?sinBcosB,即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?,(第1题图3)所以2A?2B,或2A?2B,或2A?22B. 即A?B或A?B?所以,三角形是等腰三角形,或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后,也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2,或A?B?0即A?B??2,或A?B,得到问题的结论.1.2应用举例练习(P13)1、在?ABS中,AB?32.2?0.5?16.1 n mile,?ABS?115?,根据正弦定理,得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06(cm). ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习(P15)1、在?ABP中,?ABP?180?,?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中,根据正弦定理,APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以,山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中,AC?65.3m,?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习(P16) 1、约63.77?. 练习(P18) 1、(1)约168.52 cm2;(2)约121.75 cm2;(3)约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组(P19)1、在?ABC中,BC?35?0.5?17.5 n mile,?ABC?14812622?根据正弦定理,14?8)?,1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中,?BCD?301040?,?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理, ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理,10?sin?40sin1?5在?ABD中,?ADB?451055?,?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理,,即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常,此船从C开始到B所需要的时间为:AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中,AB?700 km,?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理,sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?,BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m,飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m,飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理,sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是:x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中,?ATB?21.418.62.8?,?ABT?9018.6?,AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理,,即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中,根据余弦定理:AB?AC??101.235 根据正弦定理,(第9题)?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中,根据余弦定理:AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中,根据余弦定理:CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以,飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行,飞行距离约90.75 km.10、如图,在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448,2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以,仰角为43.82?1111、(1)S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36(2)根据正弦定理:,c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2(3)约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理:cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222(第13题)篇二:人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.由a1?1,d?3确定的等差数列?an?,当an?298时,序号n等于()A.99B.100C.96D.1012.?ABC中,若a?1,c?2,B?60?,则?ABC的面积为() A.12B.2 C.1 D.3.在数列{an}中,a1=1,an?1?an?2,则a51的值为()A.99 B.49 C.102 D. 101 4.已知x?0,函数y?4x?x的最小值是() A.5 B.4C.8 D.6 5.在等比数列中,a11?2,q?12,a1n?32,则项数n为() A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R,那么()A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为()y2A. 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是()A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC?2:3:4,那么cosC等于()A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48,前2n项和为60,则前3n项和为( A、63B、108 C、75 D、83)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 11.在?ABC中,B?450,c?b?A=_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3,则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题,共80分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中,a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集:?x(2)求函数的定义域:y?17 (14分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2?0的两个根,且2cos(A?B)?1。
集合第一课时教案数学必修第一章集合与函数概念11人教A版
第一章集合与函数的概念1.1 集合第一课时 1.1.1 集合的含义与表示1 教学目标[1]通过实例,使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法[2]使学生体会元素与集合的“属于”关系[3]能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;2 教学重点/难点教学重点:集合的基本概念与表示方法理解元素与集合之间的从属关系教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合掌握集合中元素的特性的应用3 专家建议这是高中数学的第一节课。
虽说在小学、初中都已渗透了这方面的内容,但集合这个概念还是很抽象。
在本节中,新的符号会比较多,对学生而言是一个难点,应让学生知道在某种意义上数学是一门研究符号的科学,在第一堂课就对数学符号有一个正确的认识。
要适当穿插学习数学的方法,让学生知道数学要自己摸索自己的学习方法。
在教学中尽可能创设一些情境,让学生自然、快乐、自觉地学习数学。
本节课要记的东西多,可让学生自己阅读,然后在老师的引导下思考问题,进一步解决问题。
在本节课的学习过程中,教师一方面让学生体会到知识网络化的必要性,另一方面希望学生养成知识梳理的习惯.在本节课中不断提出问题,采取问题驱动,引导学生积极思考,让学生全面参与,整个教学过程尊重学生的思维方式,引导学生发现问题、解决问题.通过自主分析、交流合作,从而进行有机建构,解决问题,改变学生模仿式的学习方式.在教学过程中,渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想.在教学过程中通过恰当的应用信息技术,从而突破难点4 教学方法启发式讲授法5 教学过程5.1 复习引入【师】我们初中学过的实数自然数都还记得吗?它们之间有什么关系呢?【板演/PPT】5.2 实例引入【师】我们来看下下面这些实例【板演/PPT】⑴ 1~20以内的所有整数;⑵我国从1991~2015的25年内所发射的所有人造卫星;⑶某汽车厂2015年生产的所有汽车;⑷所有的正方形;⑸某中学2015年9月入学的高一学生全体.5.3 新知介绍[1]元素与集合的相关概念【师】我们试着总结下这些事例它们有什么共同点?【生】思考交流【师】我们生活中的很多东西都能构成集合,你能举出一些例子吗?通过以上分析,能给出集合的含义吗【板书\PPT】一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d…表示[2]元素与集合的关系【师】如果用A表示我们学校全体高一学生组成的集合,用a表示高一学生中的一位同学,b 是高二年级的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此可见元素与集合之间有什么关系?我们怎样才能简单明了地表示它们的关系呢?【生】讨论交流【板书\PPT】如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A如果b不是集合A的元素,就说b属于集合A,记作b?A[3]集合的表示方法【师】我们用什么方法来表示我们的集合呢【生】讨论与理解【师】归纳总结【板书/PPT】列举法:把集合中的元素一个一个地写在一对大括号内表示集合的方法描述法:把集合中元素共有的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,已确定集合的方法【师】同学们请看题【板书\PPT】用适当的方法表示下列集合(1)方程 -4=0的解组成的集合{-2,2}或{x| -4=0}(2)大于3小于9的实数组成的集合{x|3<x<9,x∈R}(3)所有奇数组成的集合{y|y=2n-1,n∈Z}[4]集合元素的性质【师】我们观察一下实例中的数据它们能不能构成组合它们都有什么特征呢?【生】理解与交流【师】总结【板书/PPT】(1)确定性:集合中的元素必须是确定的,任何一个元素都能明确它是或不是某个集合的元素(2)互异性:集合中的元素必须是互不相同的(3)无序性:集合中的元素是无先后顺序的。
高中数学 第一章 解三角形课时训练 苏教版必修5
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)课时目标1.熟记正弦定理的内容;2.能够初步运用正弦定理解斜三角形.1.在△ABC 中,A +B +C =π,A 2+B 2+C 2=π2.2.在Rt △ABC 中,C =π2,则a c =sin_A ,bc=sin_B .3.一般地,把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.4.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =bsin B =csin C,这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若A ∶B ∶C =1∶2∶3,则 a ∶b ∶c 等于( )A .1∶2∶3B .2∶3∶4C .3∶4∶5D .1∶3∶2 答案 D2.若△ABC 中,a =4,A =45°,B =60°,则边b 的值为( ) A.3+1 B .23+1 C .2 6 D .2+2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A =bsin B, 得4sin 45°=bsin 60°,∴b =2 6.3.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为( ) A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形D .等腰三角形 答案 A解析 sin 2A =sin 2B +sin 2C ⇔(2R )2sin 2A =(2R )2sin 2B +(2R )2sin 2C ,即a 2=b 2+c 2,由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形.4.在△ABC 中,若sin A >sin B ,则角A 与角B 的大小关系为( ) A .A >B B .A <BC .A ≥BD .A ,B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5.在△ABC 中,A =60°,a =3,b =2,则B 等于( ) A .45°或135° B .60° C .45° D .135°答案 C 解析 由a sin A =bsin B得sin B =b sin Aa=2sin 60°3=22. ∵a >b ,∴A >B ,B <60° ∴B =45°.6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,如果c =3a ,B =30°,那么角C 等于( )A .120°B .105°C .90°D .75° 答案 A解析 ∵c =3a ,∴sin C =3sin A =3sin(180°-30°-C )=3sin(30°+C )=3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C +12cos C ,即sin C =-3cos C .∴tan C =- 3.又C ∈(0°,180°),∴C =120°. 二、填空题7.在△ABC 中,AC =6,BC =2,B =60°,则C =_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A =6sin 60°,∴sin A =22.∵BC =2<AC =6,∴A 为锐角.∴A =45°.∴C =75°.8.在△ABC 中,若tan A =13,C =150°,BC =1,则AB =________.答案102解析 ∵tan A =13,A ∈(0°,180°),∴sin A =1010.由正弦定理知BC sin A =ABsin C , ∴AB =BC sin C sin A =1³sin 150°1010=102. 9.在△ABC 中,b =1,c =3,C =2π3,则a =________.答案 1解析 由正弦定理,得3sin2π3=1sin B , ∴sin B =12.∵C 为钝角,∴B 必为锐角,∴B =π6,∴A =π6.∴a =b =1.10.在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若b =2a ,B =A +60°,则A =______.答案 30°解析 ∵b =2a ∴sin B =2sin A ,又∵B =A +60°, ∴sin(A +60°)=2sin A即sin A cos 60°+cos A sin 60°=2sin A ,化简得:sin A =33cos A ,∴tan A =33,∴A =30°.三、解答题11.在△ABC 中,已知a =22,A =30°,B =45°,解三角形.解 ∵a sin A =b sin B =csin C, ∴b =a sin B sin A =22sin 45°sin 30°=22³2212=4.∵C =180°-(A +B )=180°-(30°+45°)=105°,∴c =a sin C sin A =22sin 105°sin 30°=22sin 75°12=2+2 3.12.在△ABC 中,已知a =23,b =6,A =30°,解三角形. 解 a =23,b =6,a <b ,A =30°<90°. 又因为b sin A =6sin 30°=3,a >b sin A , 所以本题有两解,由正弦定理得:sin B =b sin A a =6sin 30°23=32,故B =60°或120°.当B =60°时,C =90°,c =a 2+b 2=43;当B =120°时,C =30°,c =a =2 3.所以B =60°,C =90°,c =43或B =120°,C =30°,c =2 3. 能力提升13.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则角A 的大小为________.答案 π6解析 ∵sin B +cos B =2sin(π4+B )= 2.∴sin(π4+B )=1.又0<B <π,∴B =π4.由正弦定理,得sin A =a sin Bb=2³222=12.又a <b ,∴A <B ,∴A =π6.14.在锐角三角形ABC 中,A =2B ,a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,求ab的取值范围. 解 在锐角三角形ABC 中,A ,B ,C <90°,即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°,2B <90°,180°-3B <90°,∴30°<B <45°.由正弦定理知:a b =sin A sin B =sin 2B sin B=2cos B ∈(2,3),故a b的取值范围是(2,3).1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题:1.1.1 正弦定理(二)课时目标1.熟记正弦定理的有关变形公式;2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明.1.正弦定理:a sin A =b sin B =csin C=2R 的常见变形:(1)sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c ;(2)a sin A =b sin B =c sin C =a +b +c sin A +sin B +sin C =2R ; (3)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(4)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R.2.三角形面积公式:S =12ab sin C =12bc sin A =12ca sin B .一、选择题1.在△ABC 中,sin A =sin B ,则△ABC 是( )A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形 答案 D2.在△ABC 中,若a cos A =b cos B =ccos C,则△ABC 是( )A .直角三角形B .等边三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知:sin A cos A =sin B cos B =sin Ccos C,∴tan A =tan B =tan C ,∴A =B =C .3.在△ABC 中,sin A =34,a =10,则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152,+∞ B .(10,+∞) C .(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0,403答案 D解析 ∵c sin C =a sin A =403,∴c =403sin C .∴0<c ≤403.4.在△ABC 中,a =2b cos C ,则这个三角形一定是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形 答案 A解析 由a =2b cos C 得,sin A =2sin B cos C , ∴sin(B +C )=2sin B cos C ,∴sin B cos C +cos B sin C =2sin B cos C , ∴sin(B -C )=0,∴B =C .5.在△ABC 中,已知(b +c )∶(c +a )∶(a +b )=4∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .6∶5∶4B .7∶5∶3C .3∶5∶7D .4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b +c )∶(c +a )∶(a +b )=4∶5∶6, ∴b +c 4=c +a 5=a +b 6.令b +c 4=c +a 5=a +b 6=k (k >0),则⎩⎪⎨⎪⎧b +c =4kc +a =5k a +b =6k,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =72kb =52kc =32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =7∶5∶3.6.已知三角形面积为14,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为( )A .1B .2 C.12D .4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ,则由πR 2=π,得R =1,由S △=12ab sin C =abc 4R =abc 4=14,∴abc =1.二、填空题7.在△ABC 中,已知a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.答案 2 3解析 ∵cos C =13,∴sin C =223,∴12ab sin C =43,∴b =2 3. 8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知A =60°,a =3,b =1,则c =________.答案 2解析 由正弦定理a sin A =b sin B ,得3sin 60°=1sin B,∴sin B =12,故B =30°或150°.由a >b ,得A >B ,∴B =30°,故C =90°, 由勾股定理得c =2.9.在单位圆上有三点A ,B ,C ,设△ABC 三边长分别为a ,b ,c ,则a sin A +b 2sin B +2csin C=________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R =2,∴a sin A =b sin B =csin C =2R =2, ∴a sin A +b 2sin B +2c sin C =2+1+4=7. 10.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +csin A +sin B +sin C=________,c =________.答案 12 6解析 a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =6332=12.∵S △ABC =12ab sin C =12³63³12sin C =183,∴sin C =12,∴c sin C =asin A=12,∴c =6.三、解答题11.在△ABC 中,求证:a -c cos B b -c cos A =sin Bsin A.证明 因为在△ABC 中,a sin A =b sin B =csin C=2R ,所以左边=2R sin A -2R sin C cos B2R sin B -2R sin C cos A=sin B +C -sin C cos B sin A +C -sin C cos A =sin B cos C sin A cos C =sin B sin A=右边. 所以等式成立,即a -c cos B b -c cos A =sin Bsin A.12.在△ABC 中,已知a 2tan B =b 2tan A ,试判断△ABC 的形状.解 设三角形外接圆半径为R ,则a 2tan B =b 2tan A ⇔a 2sin B cos B =b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B =4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A =sin B cos B ⇔sin 2A =sin 2B⇔2A =2B 或2A +2B =π⇔A =B 或A +B =π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 能力提升13.在△ABC 中,B =60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为( ) A .45° B .60° C .75° D .90° 答案 C解析 设C 为最大角,则A 为最小角,则A +C =120°, ∴sin C sin A =sin ()120°-A sin A=sin 120° cos A -cos 120°sin A sin A=32tan A +12=3+12=32+12, ∴tan A =1,A =45°,C =75°. 14.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A ,B ,C 的对边,若a =2,C =π4,cos B 2=255,求△ABC 的面积S .解 cos B =2cos 2 B 2-1=35, 故B 为锐角,sin B =45.所以sin A =sin(π-B -C )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4-B =7210.由正弦定理得c =a sin C sin A =107, 所以S △ABC =12ac sin B =12³2³107³45=87.1.在△ABC 中,有以下结论:(1)A +B +C =π;1.1.2 余弦定理(一)课时目标1.熟记余弦定理及其推论;2.能够初步运用余弦定理解斜三角形.1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=c 2+a 2-2ca cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .2.余弦定理的推论cos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =c 2+a 2-b 22ca ;cos C =a 2+b 2-c 22ab.3.在△ABC 中:(1)若a 2+b 2-c 2=0,则C =90°;(2)若c 2=a 2+b 2-ab ,则C =60°;(3)若c 2=a 2+b 2+2ab ,则C =135°.一、选择题1.在△ABC 中,已知a =1,b =2,C =60°,则c 等于( ) A. 3 B .3 C. 5 D .5 答案 A2.在△ABC 中,a =7,b =43,c =13,则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ,∴C 为最小角,由余弦定理cos C =a 2+b 2-c 22ab=72+432-1322³7³43=32.∴C =π6. 3.在△ABC 中,已知a =2,则b cos C +c cos B 等于( )A .1 B. 2 C .2 D .4 答案 C解析 b cos C +c cos B =b ²a 2+b 2-c 22ab +c ²c 2+a 2-b 22ac =2a 22a=a =2.4.在△ABC 中,已知b 2=ac 且c =2a ,则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2=ac ,c =2a ,∴b 2=2a 2,b =2a ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 22a ²2a =34.5.在△ABC 中,sin 2A 2=c -b 2c(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对应边),则△ABC 的形状为( )A .正三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2=1-cos A 2=c -b 2c , ∴cos A =b c =b 2+c 2-a 22bc⇒a 2+b 2=c 2,符合勾股定理.故△ABC 为直角三角形.6.在△ABC 中,已知面积S =14(a 2+b 2-c 2),则角C 的度数为( )A .135°B .45°C .60°D .120° 答案 B解析 ∵S =14(a 2+b 2-c 2)=12ab sin C ,∴a 2+b 2-c 2=2ab sin C ,∴c 2=a 2+b 2-2ab sin C .由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab cos C , ∴sin C =cos C , ∴C =45° . 二、填空题7.在△ABC 中,若a 2-b 2-c 2=bc ,则A =________. 答案 120°8.△ABC 中,已知a =2,b =4,C =60°,则A =________. 答案 30°解析 c 2=a 2+b 2-2ab cos C =22+42-2³2³4³cos 60° =12∴c =2 3.由正弦定理:a sin A =c sin C 得sin A =12.∵a <c ,∴A <60°,A =30°.9.三角形三边长为a ,b ,a 2+ab +b 2(a >0,b >0),则最大角为________. 答案 120°解析 易知:a 2+ab +b 2>a ,a 2+ab +b 2>b ,设最大角为θ,则cos θ=a 2+b 2-a 2+ab +b 222ab =-12,∴θ=120°.10.在△ABC 中,BC =1,B =π3,当△ABC 的面积等于3时,tan C =________.答案 -2 3解析 S △ABC =12ac sin B =3,∴c =4.由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =13,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =-113,sin C =1213,∴tan C =-12=-2 3.三、解答题11.在△ABC 中,已知CB =7,AC =8,AB =9,试求AC 边上的中线长.解 由条件知:cos A =AB 2+AC 2-BC 22²AB ²AC =92+82-722³9³8=23,设中线长为x ,由余弦定理知:x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22+AB 2-2²AC 2²AB cos A =42+92-2³4³9³23=49 ⇒x =7.所以,所求中线长为7.12.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,且a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,2cos(A +B )=1.(1)求角C 的度数; (2)求AB 的长;(3)求△ABC 的面积.解 (1)cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-12,又∵C ∈(0°,180°),∴C =120°.(2)∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,∴⎩⎨⎧a +b =23,ab =2.∴AB 2=b 2+a 2-2ab cos 120°=(a +b )2-ab =10, ∴AB =10.(3)S △ABC =12ab sin C =32.能力提升13.(2010²潍坊一模)在△ABC 中,AB =2,AC =6,BC =1+3,AD 为边BC 上的高,则AD 的长是________.答案 3解析 ∵cos C =BC 2+AC 2-AB 22³BC ³AC =22,∴sin C =22. ∴AD =AC ²sin C = 3.14.在△ABC 中,a cos A +b cos B =c cos C ,试判断三角形的形状. 解 由余弦定理知cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac,cos C =a 2+b 2-c 22ab,代入已知条件得 a ²b 2+c 2-a 22bc +b ²a 2+c 2-b 22ac +c ²c 2-a 2-b 22ab =0,通分得a 2(b 2+c 2-a 2)+b 2(a 2+c 2-b 2)+c 2(c 2-a 2-b 2)=0,展开整理得(a 2-b 2)2=c 4. ∴a 2-b 2=±c 2,即a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.1.1.2 余弦定理(二)课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理;2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题.1.正弦定理及其变形(1)a sin A =b sin B =csin C=2R . (2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C .(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c . 2.余弦定理及其推论(1)a 2=b 2+c 2-2bc cos_A .(2)cos A =b 2+c 2-a 22bc .(3)在△ABC 中,c 2=a 2+b 2⇔C 为直角;c 2>a 2+b 2⇔C 为钝角;c 2<a 2+b 2⇔C 为锐角. 3.在△ABC 中,边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ,则有:(1)A +B +C =π,A +B 2=π2-C2.(2)sin(A +B )=sin_C ,cos(A +B )=-cos_C ,tan(A +B )=-tan_C .(3)sin A +B 2=cos C 2,cos A +B 2=sin C2.一、选择题1.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长,若满足(a +b -c )(a +b +c )=ab ,则∠C 的大小为( )A .60°B .90°C .120°D .150° 答案 C解析 ∵(a +b -c )(a +b +c )=ab , ∴a 2+b 2-c 2=-ab , 即a 2+b 2-c 22ab =-12,∴cos C =-12,∴∠C =120°.2.在△ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是 ( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A =sin C =sin(A +B ), ∴sin A cos B -cos A sin B =0, 即sin(A -B )=0,∴A =B .3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,则这个三角形的最小外角为 ( )A .30°B .60°C .90°D .120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7, 不妨设a =3,b =5,c =7,C 为最大内角,则cos C =32+52-722³3³5=-12.∴C =120°.∴最小外角为60°.4.△ABC 的三边分别为a ,b ,c 且满足b 2=ac,2b =a +c ,则此三角形是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 答案 D解析 ∵2b =a +c ,∴4b 2=(a +c )2,即(a -c )2=0. ∴a =c .∴2b =a +c =2a .∴b =a ,即a =b =c .5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若C =120°, c =2a ,则( )A .a >bB .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中,由余弦定理得, c 2=a 2+b 2-2ab cos 120° =a 2+b 2+ab .∵c =2a ,∴2a 2=a 2+b 2+ab . ∴a 2-b 2=ab >0,∴a 2>b 2,∴a >b .6.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ,b ,c ,且a 2+b 2=c 2,则(a +x )2+(b +x )2-(c +x )2=a 2+b 2+2x 2+2(a +b )x -c 2-2cx -x 2=2(a +b -c )x +x 2>0,∴c +x 所对的最大角变为锐角. 二、填空题 7.在△ABC 中,边a ,b 的长是方程x 2-5x +2=0的两个根,C =60°,则边c =________. 答案 19解析 由题意:a +b =5,ab =2.由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab cos C =a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab =52-3³2=19, ∴c =19.8.设2a +1,a,2a -1为钝角三角形的三边,那么a 的取值范围是________. 答案 2<a <8解析 ∵2a -1>0,∴a >12,最大边为2a +1.∵三角形为钝角三角形,∴a 2+(2a -1)2<(2a +1)2, 化简得:0<a <8.又∵a +2a -1>2a +1, ∴a >2,∴2<a <8.9.已知△ABC 的面积为23,BC =5,A =60°,则△ABC 的周长是________. 答案 12解析 S △ABC =12AB ²AC ²sin A=12AB ²AC ²sin 60°=23, ∴AB ²AC =8,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ²AC ²cos A=AB 2+AC 2-AB ²AC =(AB +AC )2-3AB ²AC ,∴(AB +AC )2=BC 2+3AB ²AC =49, ∴AB +AC =7,∴△ABC 的周长为12.10.在△ABC 中,A =60°,b =1,S △ABC =3,则△ABC 外接圆的面积是________.答案 13π3解析 S △ABC =12bc sin A =34c =3,∴c =4,由余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos A =12+42-2³1³4cos 60°=13, ∴a =13.∴2R =a sin A =1332=2393,∴R =393.∴S 外接圆=πR 2=13π3. 三、解答题11.在△ABC 中,求证:a 2-b 2c 2=sin A -B sin C.证明 右边=sin A cos B -cos A sin B sin C =sin A sin C ²cos B -sin Bsin C²cos A=a c ²a 2+c 2-b 22ac -b c ²b 2+c 2-a 22bc =a 2+c 2-b 22c 2-b 2+c 2-a 22c 2=a 2-b 2c 2=左边. 所以a 2-b 2c 2=sin A -B sin C .12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边的长,cosB =53, 且²=-21. (1)求△ABC 的面积; (2)若a =7,求角C .解 (1)∵ ²=-21,∴ ²=21. ∴² = ||²||²cosB = accosB = 21.∴ac=35,∵cosB =53,∴ sinB = 54. ∴S △ABC = 21acsinB = 21³35³54= 14.(2)ac =35,a =7,∴c =5.由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =32, ∴b =4 2.由正弦定理:c sin C =bsin B.∴sin C =c b sin B =542³45=22.∵c <b 且B 为锐角,∴C 一定是锐角. ∴C =45°. 能力提升13.已知△ABC 中,AB =1,BC =2,则角C 的取值范围是( )A .0<C ≤π6B .0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C =BC sin A ,∴1sin C =2sin A∴sin C =12sin A ,∵0<sin A ≤1,∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ,∴C <A ,∴C 为锐角,∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示,以B 为圆心,以1为半径画圆, 则圆上除了直线BC 上的点外,都可作为A 点.从点C 向圆B 作切线,设切点为A 1和A 2,当A 与A 1、A 2重合时,角C 最大,易知此时:BC =2,AB =1,AC ⊥AB ,∴C =π6,∴0<C ≤π6.14.△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知b 2=ac 且cos B =34.(1)求1tan A +1tan C 的值;(2)设² =23,求a+c 的值. 解 (1)由cos B =34,得sin B =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫342=74.由b 2=ac 及正弦定理得sin 2B =sin A sinC .于是1tan A +1tan C =cos A sin A +cos C sin C=sin C cos A +cos C sin A sin A sin C =sin A +C sin 2B =sin B sin 2B =1sin B =477. (2)由BA ² =23得ca ²cosB = 23由cos B =34,可得ca =2,即b 2=2.由余弦定理:b 2=a 2+c 2-2ac ²cos B ,得a 2+c 2=b 2+2ac ²cos B =5,∴(a +c )2=a 2+c 2+2ac=5+4=9,∴a +c =3.§1.2 应用举例(一)课时目标1.了解数学建模的思想;2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题.1.基线的定义:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.2.方位角:指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角.如图中的A 点的方位角为α.3.计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一.一、选择题1.若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上,则点Q 在点P 的( ) A .南偏西45°10′ B .南偏西44°50′ C .南偏东45°10′ D .南偏东44°50′ 答案 C2.已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上,灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A .a km B.3a km C.2a km D .2a km 答案 B解析 ∠ACB =120°,AC =BC =a , ∴由余弦定理得AB =3a .3.海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角,则B 、C 间的距离是( )A .10 3 n mile B.1063n mileC .5 2 n mileD .5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中,∠C =180°-60°-75°=45°. 由正弦定理得:BC sin A =ABsin B∴BC sin 60°=10sin 45°解得BC =5 6.4.如图所示,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧,在A 所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°后,就可以计算A 、B 两点的距离为( )A .50 2 mB .50 3 mC .25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC =30°,由正弦定理AC sin ∠ABC =ABsin ∠ACB,∴AB =AC ²sin∠ACBsin ∠ABC =50³2212=50 2 (m).5.如图,一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )A .20(6+2) 海里/小时B .20(6-2) 海里/小时C .20(6+3) 海里/小时D .20(6-3) 海里/小时 答案 B解析 由题意,∠SMN =45°,∠SNM =105°,∠NSM =30°. 由正弦定理得MN sin 30°=MSsin 105°.∴MN =MS sin 30°sin 105°=106+24=10(6-2).则v 货=20(6-2) 海里/小时.6.甲船在岛B 的正南A 处,AB =10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时,乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C .21.5 分钟 D .2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ,乙到点D ,两船相距y km , 则∠DBC =180°-60°=120°. ∴y 2=(10-4x )2+(6x )2-2(10-4x )²6x cos 120°=28x 2-20x +100=28(x 2-57x )+100=28⎝ ⎛⎭⎪⎫x -5142-257+100∴当x =514(小时)=1507(分钟)时,y 2有最小值.∴y 最小. 二、填空题7.如图,A 、B 两点间的距离为________.答案 32- 28.如图,A 、N 两点之间的距离为________.答案 40 39.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A 、B ,望对岸标记物C ,测得 ∠CAB =30°,∠CBA =75°,AB =120 m ,则河的宽度为______.答案 60 m解析 在△ABC 中,∠CAB =30°,∠CBA =75°, ∴∠ACB =75°.∠ACB =∠ABC .∴AC =AB =120 m. 作CD ⊥AB ,垂足为D ,则CD 即为河的宽度.由正弦定理得AC sin ∠ADC =CDsin ∠CAD,∴120sin 90°=CD sin 30°, ∴CD =60(m)∴河的宽度为60 m.10.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km 后,又测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图,∠CAB =15°,∠CBA =180°-75°=105°, ∠ACB =180°-105°-15°=60°,AB =1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB=ABsin ∠ACB∴BC =1sin 60°²sin 15°=6-223 (km).设C 到直线AB 的距离为d ,则d =BC ²sin 75°=6-223²6+24=36 (km).三、解答题11.如图,某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°,距离为12 6 n mile,在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°,距离为8 3 n mile ,货轮由A 处向正北航行到D 处时,再看灯塔B 在北偏东120°方向上,求:(1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处的距离.解 (1)在△ABD 中,∠ADB =60°,∠B =45°,由正弦定理得AD =AB sin Bsin ∠ADB=126³2232=24(n mile). (2)在△ADC 中,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ²AC ²cos 30°, 解得CD =83≈14(n mile).即A 处与D 处的距离为24 n mile , 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12.如图,为测量河对岸A 、B 两点的距离,在河的这边测出CD的长为32km ,∠ADB =∠CDB =30°,∠ACD =60°,∠ACB =45°,求A 、B 两点间的距离.解 在△BDC 中,∠CBD =180°-30°-105°=45°, 由正弦定理得BC sin 30°=CDsin 45°,则BC =CD sin 30°sin 45°=64(km).在△ACD 中,∠CAD =180°-60°-60°=60°,∴△ACD 为正三角形.∴AC =CD =32(km).在△ABC 中,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ²BC ²cos 45°=34+616-2³32³64³22=38, ∴AB =64(km). 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升 13.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为( )A .0.5小时B .1小时C .1.5小时D .2小时 答案 B解析 设t 小时时,B 市恰好处于危险区,则由余弦定理得:(20t )2+402-2³20t ³40²cos 45°=302.化简得:4t 2-82t +7=0,∴t 1+t 2=22,t 1²t 2=74.从而|t 1-t 2|=t 1+t 22-4t 1t 2=1.14.如图所示,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处,此时两船相距102海里.问乙船每小时航行多少海里?解 如图所示,连结A 1B 2, 由已知A 2B 2=102,A 1A 2=302³2060=102,∴A 1A 2=A 2B 2,又∠A 1A 2B 2=180°-120°=60°, ∴△A 1A 2B 2是等边三角形, ∴A 1B 2=A 1A 2=10 2.由已知,A 1B 1=20,∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°,在△A 1B 2B 1中,由余弦定理,B 1B 22=A 1B 21+A 1B 22-2A 1B 1²A 1B 2²cos 45°=202+(102)2-2³20³102³22=200.∴B 1B 2=10 2.因此,乙船速度的大小为 10220³60=302(海里/小时). 答 乙船每小时航行302海里.1.解三角形应用问题的基本思路是:实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解. 2.测量距离问题:这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.§1.2 应用举例(二)课时目标1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题.2.利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题.1.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方时叫仰角,目标视线在水平线下方时叫俯角.(如图所示)2.已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ,则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α与β的关系为( ) A .α>β B .α=βC .α<βD .α+β=90° 答案 B2.设甲、乙两楼相距20 m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是( )A .20 3 m ,4033 mB .10 3 m,20 3 mC .10(3-2) m,20 3 m D.152 3 m ,2033 m解析 h 甲=20tan 60°=203(m).h 乙=20tan 60°-20tan 30°=4033(m).3.如图,为测一树的高度,在地面上选取A 、B 两点,从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°,45°,且A 、B 两点之间的距离为60 m ,则树的高度为( )A .30+30 3 mB .30+153mC .15+303mD .15+33m 答案 A解析 在△PAB 中,由正弦定理可得60sin 45°-30°=PBsin 30°,PB =60³12sin 15°=30sin 15°,h =PB sin 45°=(30+303)m.4.从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°,看正南方向一只船俯角为45°,则此时两船间的距离为( )A .2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D .22h 米答案 A解析 如图所示, BC =3h ,AC =h ,∴AB =3h 2+h 2=2h .5.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍,继续在平行地面上前进200 3 m 后,测得山峰的仰角为原来的4倍,则该山峰的高度是( )A .200 mB .300 mC .400 mD .100 3 m 答案 B解析 如图所示,600²sin 2θ=2003²sin 4θ,∴cos 2θ=32,∴θ=15°, ∴h =2003²sin 4θ=300 (m).6.平行四边形中,AC =65,BD =17,周长为18,则平行四边形面积是( ) A .16 B .17.5 C .18 D .18.53解析 设两邻边AD =b ,AB =a ,∠BAD =α,则a +b =9,a 2+b 2-2ab cos α=17, a 2+b 2-2ab cos(180°-α)=65.解得:a =5,b =4,cos α=35或a =4,b =5,cos α=35,∴S ▱ABCD =ab sin α=16. 二、填空题7.甲船在A 处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a 海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3倍,则甲船应取方向__________才能追上乙船;追上时甲船行驶了________海里.答案 北偏东30° 3a 解析如图所示,设到C 点甲船追上乙船, 乙到C 地用的时间为t ,乙船速度为v , 则BC =tv ,AC =3tv ,B =120°, 由正弦定理知BC sin ∠CAB =ACsin B,∴1sin ∠CAB =3sin 120°,∴sin ∠CAB =12,∴∠CAB =30°,∴∠ACB =30°,∴BC =AB =a ,∴AC 2=AB 2+BC 2-2AB ²BC cos 120°=a 2+a 2-2a 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=3a 2,∴AC =3a .8.△ABC 中,已知A =60°,AB ∶AC =8∶5,面积为103,则其周长为________. 答案 20解析 设AB =8k ,AC =5k ,k >0,则 S =12AB ²AC ²sin A =103k 2=10 3. ∴k =1,AB =8,AC =5,由余弦定理: BC 2=AB 2+AC 2-2AB ²AC ²cos A=82+52-2³8³5³12=49.∴BC =7,∴周长为:AB +BC +CA =20.9.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为________.答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ,b ,c 且a =6,b =c =12, 由余弦定理得:cos A =b 2+c 2-a 22bc =122+122-622³12³12=78,∴sin A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫782=158.由12(a +b +c )²r =12bc sin A 得r =3155. ∴S 内切圆=πr 2=27π5.10.某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°,距离为10 n mile 的C 处,此时得知,该渔船沿北偏东105°方向,以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近,舰艇时速21 n mile ,则舰艇到达渔船的最短时间是______小时.答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇,则在△ABC 中,由已知可得:∠ACB =120°,设舰艇到达渔船的最短时间为t ,则AB =21t ,BC =9t ,AC =10,则(21t )2=(9t )2+100-2³10³9t cos 120°,解得t =23或t =-512(舍).三、解答题11.如图所示,在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α,在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ,求山高CD .解 在△ABC 中,∠BCA =90°+β, ∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠CAD =β.根据正弦定理得:AC sin ∠ABC =BCsin ∠BAC,即AC sin 90°-α=BCsin α-β,∴AC =BC cos αsin α-β=h cos αsin α-β. 在Rt △ACD 中,CD =AC sin ∠CAD =AC sin β =h cos αsin βsin α-β. 即山高CD 为h cos αsin βsin α-β.12.已知圆内接四边形ABCD 的边长AB =2,BC =6,CD =DA =4,求圆内接四边形ABCD 的面积.解连接BD ,则四边形面积S =S △ABD +S △CBD =12AB ²AD ²sin A +12BC ²CD ²sin C .∵A +C =180°,∴sin A =sin C .∴S =12(AB ²AD +BC ²CD )²sin A =16sin A .由余弦定理:在△ABD 中,BD 2=22+42-2³2³4cos A =20-16cos A ,在△CDB 中,BD 2=42+62-2³4³6cos C =52-48cos C , ∴20-16cos A =52-48cos C .又cos C =-cos A ,∴cos A =-12.∴A =120°.∴四边形ABCD 的面积S =16sin A =8 3. 能力提升13.如图所示,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量.已知AB =50 m ,BC =120 m ,于A 处测得水深AD =80 m ,于B 处测得水深BE =200 m ,于C 处测得水深CF =110 m ,求∠DEF 的余弦值.解 作DM ∥AC 交BE 于N ,交CF 于M .DF =MF 2+DM 2=302+1702=10298(m), DE =DN 2+EN 2=502+1202=130(m),EF =BE -FC 2+BC 2=902+1202=150(m). 在△DEF 中,由余弦定理的变形公式,得cos ∠DEF =DE 2+EF 2-DF 22DE ²EF=1302+1502-102³2982³130³150=1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14.江岸边有一炮台高30 m ,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连成30°角,求两条船之间的距离.解 如图所示:∠CBD =30°,∠ADB =30°,∠ACB =45° ∵AB =30, ∴BC =30,BD =30tan 30°=30 3. 在△BCD 中,CD 2=BC 2+BD 2-2BC ²BD ²cos 30°=900, ∴CD =30,即两船相距30 m.1.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.2.测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角.第一章 解三角形 复习课课时目标1.掌握正弦定理、余弦定理的内容,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、选择题1.在△ABC 中,A =60°,a =43,b =42,则B 等于( ) A .45°或135° B .135°C .45°D .以上答案都不对 答案 C解析 sin B =b ²sin A a =22,且b <a ,∴B =45°.2.在△ABC 中,已知cos A cos B >sin A sin B ,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A +B )>0, ∴A +B <90°,∴C >90°,C 为钝角.3.已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =k ∶(k +1)∶2k ,则k 的取值范围是( ) A .(2,+∞) B .(-∞,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ 答案 D解析 由正弦定理得:a =mk ,b =m (k +1), c =2mk (m >0), ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a +b >c a +c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2k +1>2mk 3mk >m k +1,∴k >12.4.如图所示,D 、C 、B 三点在地面同一直线上,DC =a ,从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α).则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin α-β B.a sin αsin βcos α-β C.a sin αcos βsin α-β D.a cos αcos βcos α-β 答案 A解析 设AB =h ,则AD =hsin α,在△ACD 中,∵∠CAD =α-β,∴CD sin α-β=ADsin β.∴a sin α-β=h sin αsin β,∴h =a sin αsin βsin α-β. 5.在△ABC 中,A =60°,AC =16,面积为2203,那么BC 的长度为( ) A .25 B .51 C .49 3 D .49 答案 D解析 S △ABC =12AC ²AB ²sin 60°=12³16³AB ³32=2203,∴AB =55.∴BC 2=AB 2+AC 2-2AB ²AC cos 60°=552+162-2³16³55³12=2 401.∴BC =49.6.(2010²天津)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若a 2-b 2=3bc ,sin C =23sin B ,则A 等于( )A .30°B .60°C .120°D .150° 答案 A解析 由sin C =23sin B ,根据正弦定理,得 c =23b ,把它代入a 2-b 2=3bc 得 a 2-b =6b 2,即a 2=7b 2.由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+12b 2-7b 22b ²23b=6b243b2=32. 又∵0°<A <180°,∴A =30°. 二、填空题7.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ,其夹角的余弦值是方程5x 2-7x -6=0的根,则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2-7x -6=0,解得x 1=-35,x 2=2.∵x 2=2>1,不合题意.∴设夹角为θ,则cos θ=-35,得sin θ=45,∴S =12³3³5³45=6 (cm 2).8.在△ABC 中,A =60°,b =1,S △ABC =3,则asin A =____________.答案2393 解析 由S =12bc sin A =12³1³c ³32=3,∴c =4.∴a =b 2+c 2-2bc cos A =12+42-2³1³4cos 60°=13.∴a sin A =13sin 60°=2393. 9.在△ABC 中,a =x ,b =2,B =45°,若三角形有两解,则x 的取值范围是 ______________. 答案 2<x <2 2解析 因为三角形有两解,所以a sin B <b <a ,即22x <2<x ,∴2<x <2 2. 10.一艘船以20 km/h 的速度向正北航行,船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向,1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上,这时船与灯塔的距离BC 等于________km.答案 20 2。
高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5
(新课标)高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业.正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理.利用正弦定理、余弦定理,可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化,许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究.本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.教学难点定理及有关性质的综合运用.教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形确良;2.三角形各种类型的判定方法;3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析,解答典型例题,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.三、情感态度与价值观通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系.教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容?生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗?生 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即R CcB b A a 2sin sin sin ===; 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=a 2+c 2-2acco s B , c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好!哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题? 生 正弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形;(2)已知两边及其夹角解三角形.生 老师,我来补充.利用正弦定理的解题的类型(1)在有解时只有一解,类型(2)可有解、一解和无解;利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good !除了以上这些,我们还学习了什么? 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式:C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ,利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善,你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 (2)已知两边及其夹角类型(1)(2)有解时只有一解正弦定理(3)已知两角和一边类型(3)在有解时只有一解,类型(4)可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === (4)已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S =21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师,我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题.师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错.下面,我们来看一下例题与练习. [例题剖析]【例1】在△ABC 中,若sin A >sin B ,则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的,A 与B 的大小关系不定. 师 对吗?生 我认为不对.我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件. (其他学生一致认可) 师 那本题应该怎么做呢?生 我觉得答案应该是A >B ,但是理由我说不上来. 生 我来说.因为在△ABC 中,由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A >sin B ,所以A >B . 又因为在三角形中,大边对大角,所以A >B . 师 好,你解得非常正确.【例2】在△ABC 中,若△ABC 的面积为S ,且2S=(a +b )2-C 2,求t a n C 的值. 师 拿到题目你怎么考虑,从哪里下手?生 利用三角形的面积公式,代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中,再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢? 生 用哪一个都可以吧. 生 不对,应该先化简等式右边,得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2,出现了A 与B 的乘积:AB ,而2abco s C =a 2+b 2-c 2,因此面积公式应该用S=21ab sin C ,代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2.从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC.师思路非常清晰,请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点?生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式.生还有余切的二倍角公式.师你能总结这类题目的解题思路吗?生拿到题目不能盲目下手,应该先找到解题切入口.师对,你讲得很好.生正弦定理、余弦定理都要试试.【例3】将一块圆心角为120°,半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)、(2)的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径OA上,或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.师本题是应用题,怎么处理?生由实际问题抽象出数学模型,找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题,从图形的特点来看,涉及到线段的长度和角度,将这些量放置在三角形中,通过解三角形求出矩形的边长,再计算出两种方案所得矩形的最大面积,加以比较,就可以得出问题的结论.解:按图(1)的裁法:矩形的一边O P在OA上,顶点M在圆弧上,设∠M OA=θ,则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ,即当4πθ=时,S m a x=200.按图(2)的裁法:矩形的一边PQ与弦AB平行,设∠M O Q=θ,在△M O Q中,∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理,得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ),=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600{-21[co s60°-co s(2θ-60°)]}=33800[cos(2θ-60°)-co s60°]. 所以当θ=30°时,S m a x =33400. 由于33400>200,所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形,最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量(角度、距离)、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看,关键是要找出或设出角度,实质是解斜三角形,将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中,灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数,求所有这些三角形中的最大角的度数.(精确到°) 师 已知什么,要求什么?生(齐答)已知三角形的三边,要求三角形中的角. 师 怎么处理呢?生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化,可是三条边的值不知道啊. 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数,那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1,n ,n+1,最大的角为θ,则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢?生 因为co sθ是[0°,180°]内的减函数,所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值. 师cosθ的最小值怎么求呢? 生 因为cosθ>-1,从而有)1(2321--n >-1)1(23-⇒n <23n-1>1⇒n >2. 又因为n 为自然数,所以当n=3时,(cosθ)min =-41,所以θ的最大值为°. (教师用多媒体投影)解:设这三个连续的自然数为n-1,n ,n+1,最大的角为θ,则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是[0°,180°]内的减函数,所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值,且cosθ>-1,从而有)1(2321--n >-1)1(23-⇒n <⇒23n-1>1⇒n >2. 因此,当n=3时,(cosθ)min =-41,所以θ的最大值为°. 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中,若A =30°,B =45°,C =6,则A 等于( ) A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中,若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为(精确到0.1)( ) A .7B .C .D . 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为( ) >d 2=d 2 <d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中,若A ·co t A =bco t B ,则△ABC 是_______三角形.5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ,EF 是直线A ,B 的公垂线段,若EM =5,EF =3,FN =4,MN =6,则异面直线A ,B 所成的角为___________.(精确到1°) 练习题答案:4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么?生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候,都可以用余弦定理;当关系式中有边的平方项时,可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程,更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系,然后假设有关的边和角,利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.其基本步骤是: (1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解这些三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是__________.2.在△ABC 中,已知t a n A =21,t a n B =31,试求最长边与最短边的比. 3.某人坐在火车上看风景,他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上,1分钟后,他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上,设火车的速度是100 km/h ,求宝塔离开铁路线的垂直距离. 答案:1.(5,13)2.解:因为t a n A =21,t a n B =31,所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A . 因为0°<A <45°,0°<B <45°,所以A +B = 45°. 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ,所以最长边与最短边的比为35. 3.解:如图,设宝塔在C 点,先看时的位置为A ,再看时的位置为B ,由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=(km ),AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)(km ).板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素.已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形. 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角,例如△ABC 中,C =90°,角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C .那么利用以下关系式:(1)A +B =90°;(2)A 2+B 2=C 2;(3)A =c sin A =cco s B =B ·t a n A ;(4)B =cco s A =c sin B =acxtana . 可分四种情况来解直角三角形. (1)已知斜边和一锐角; (2)已知一条直角边和一锐角; (3)已知一斜边和一直角边; (4)已知两条直角边. 2.斜三角形的解法在一个三角形中,如果没有一个角是直角,那么这个三角形叫做斜三角形.斜三角形的解法可分以下四种情况:(1)已知两角和一边;(2)已知两边和其中一边的对角;(3)已知两边和它们的夹角;(4)已知三边.解斜三角形常常利用以下基本关系式: 1.三角形内角和为180°,即A +B +C =180°; 2.正弦定理,即R CcB b A a 2sin sin sin ===3.余弦定理,即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说,在已知两边和其中一边的对角的情况下,解三角形时,问题不一定有解,如果有解也不一定有唯一解.对这类问题进行讨论,可得如下结论.90°≤A <180°0°<A <90°a >b 一解 一解 a =b 无解 一解a <b无解A >B sin A A =B sin A A <B sin A两解 一解 无解。
高中数学必修5全册知识点总结(理科)
高中数学必修5知识点第一章解三角形(一)解三角形:1、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,,则有2sin sin sin a b c RC ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=;③::sin :sin :sin a b c C =A B ;3、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B .4、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,推论:222cos 2b c abc+-A =第二章数列1、数列中n a 与n S 之间的关系:11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。
2、等差数列:⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n≥2,n∈N +),那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式:1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数).⑷前n 项和公式:()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质:①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,,则q p n m a a a a +=+;②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++,仍组成等差数列;③数列{}b a n +λ(b ,λ为常数)仍为等差数列;④若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb +(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、,…也成等差数列。
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人教版初中数学章节目录七年级上册(61)第1章有理数(19)第2章整式的加减(8)第3章一元一次方程(18)第4章图形认识初步(16)_______________________________________________________________________________ 七年级下册(62)第5章相交线与平行线(14)第6章平面直角坐标系(7)第7章三角形(8)第8章二元一次方程组(12)第9章不等式与不等式组(12)第10章数据的收集整理与描述(9)_______________________________________________________________________________ 八年级上册(62)第11章全等三角形(11)第12章轴对称(13)第13章实数(8)第14章一次函数(17)第15章整式的乘除与因式分解(13)_______________________________________________________________________________ 八年级下册(61)第16章分式(14)第17章反比例函数(8)第18章勾股定理(8)第19章四边形(16)第20章数据的分析(15)_______________________________________________________________________________ 九年级上册(62)第21章二次根式(9)第22章一元二次方程(13)第23章旋转(8)第24章圆(17)第25章概率初步(15)_______________________________________________________________________________ 九年级下册(48)第26章二次函数(12)第27章相似(13)第28章锐角三角函数(12)第29章投影与视图(11)_______________________________________________________________________________%%%% 各章详细内容%%%%_______________________________________________________________________________ ~~~~七~~~年~~~级~~~上~~~册~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第一章有理数1.1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1.2有理数1.3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1.4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1.5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2.1整式阅读与思考数字1与字母X的对话2.2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3.1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3.2解一元一次方程(一)——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3.3解一元一次方程(二)——去括号与去分母3.4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4.1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4.2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4.3角4.4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~七年级下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.2平行线5.3平行线的性质5.4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6.1平面直角坐标系6.2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7.1与三角形有关的线段7.2与三角形有关的角7.3多边形及其内角和7.4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8.1二元一次方程组8.2消元8.3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9.1不等式9.2实际问题与一元一次不等式9.3一元一次不等式组9.4课题学习利用不等关系分析比赛(1)数学活动小结复习题9第十章数据的收集整理与描述10.1几种常见的统计图表10.2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁10.3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题10~~八~~~年~~~级~~~上~~~册~~~~~~~~第十一章全等三角形11.1全等三角形11.2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明11.3角的平分线的性质数学活动小结复习题11第十二章轴对称12.1轴对称12.2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质12.3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题12第十三章实数13.1平方根13.2立方根13.3实数数学活动小结复习题13第十四章一次函数14.1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象14.2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄14.3用函数观点看方程(组)与不等式数学活动小结复习题14第十五章整式的乘除与因式分解15.1整式的乘法15.2乘法公式阅读与思考杨辉三角15.3整式的除法15.4因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~八年级下册第十六章分式16.1分式16.1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16.1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17.1反比例函数17.1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18.1勾股定理18.2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19.1平行四边形19.2特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19.3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习:重心数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20.1数据的代表20.2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20.3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20~~~九~~~年~~~级~~~上~~~册~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第二十一章二次根式21.1二次根式21.2二次根式乘除21、3二次根式的加减阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程22.2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22.3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23.1图形的旋转23.2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23.3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24.1圆24.2与圆有关的位置关系24.3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24.4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25.1概率25.2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25.3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25.4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~九年级下册第二十六章二次函数26.1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26.2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26.3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27.1图形的相似27.2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27.3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28.2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29.1投影29.2三视图阅读与思考视图的产生与应用29.3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念(乘方、幂、底数、指数)15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数(有效数字)第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念(单项式、系数、次数)2.多项式及其相关概念(多项式、项、常数项、次数)3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法(步骤)6.一元一次方程的应用问题(和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题)第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念(直线、相交线、交点)8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角(补角)的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念(邻补角、对顶角)2.对顶角的性质3.垂线的相关概念(垂直、垂线、垂足)4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念(命题、真命题、假命题)13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念(平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限)3.特殊点坐标(象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征)4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”(高线、中线、角平分线)5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念(多边形、对角线、正多边形)10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程(组)的解3.解二元一次方程(代入消元法、加减消元法)4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据(问卷)2.整理数据(表格)3.描述数据(条形统计图、扇形统计图)4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念(直方图、组距、频数)8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念(全等三角形、对应顶点、对应边、对应角)3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法(提取公因式法、公式法)八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法(直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法)4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用(面积问题、连续增长问题)第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念(旋转、旋转中心、旋转角)2.旋转的性质3.中心对称的相关概念(中心对称、对称中心、对称点)4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念(圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧)2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念(正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆)16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像(选学)2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用(1)2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数(1)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用(2)必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式(选学)3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数(2)1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式(选学)2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非(否定)1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离(选学)选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点(a,∏/2)处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢(先别急着纠正我的错误,你确实可以在评判过去中学到许多)。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢?为何不及时行乐呢?如果你的回答是“不”,那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们:不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说:“靠,我真失败,我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做,他们都会反反复复,一次一次地尝试。如果一条路走不通,那就走走其他途径,不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质,没有人生来害怕失败,记住这一点。宁愿做事而犯错,也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难,但是随着时间的流逝,你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机,所以当你觉得做某事还不是时候,先做起来再说吧。喜欢追梦的人,切记不要被 梦想主宰;善于谋划的人,切记空想达不到目标;拥有实干精神的人,切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意,明天不再升起;月亮不会因为你的抱怨,今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛,不等于世界就漆黑一团;蒙住别人的眼睛,不等于光明就属于自己!鱼搅不浑大海,雾压不倒高山,雷声叫不倒山岗,扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长,总高不过它的脑袋。人的脚指头再长,也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想!以前认为水不可能倒流,那是还没有找到发明抽水机的方法;现在认 为太阳不可能从西边出来,这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的,没有做不到的!不是井里没有水,而是挖的不够深;不是成功来的慢,而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧,放弃一样东西则需要勇气!终而复始,日月是也。死而复生,四时是也。奇正相生,循环无端,涨跌相生,循环无端,涨跌相生,循环 无穷。机遇孕育着挑战,挑战中孕育着机遇,这是千古验证了的定律!种子放在水泥地板上会被晒死,种子放在水里会被淹死,种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1.1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中,sin 2A=sin 2B.则A,B一定相等吗?
答案
∵A,B∈(0,π),∴2A,2B∈(0,2π), ∴2A=2B或2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B=2π.
梳理
判断三角形形状,首先看最大角是钝角、直角还是锐角;其次看是否 有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时,如图,以点C为圆心,以a为半径作圆,
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系: ①当a<CD时,无解; ②当a=CD时,一解; ③当CD<a<b时,则圆与射线AB有两个交点,此时B为锐角或钝角,此 时B的值有两个. ④当a≥b时,一解. (4)如果a>b,则有A>B,所以B为锐角,此时B的值唯一.
引申探究 将本例中的条件(a+b+c)(b+c-a)=3bc改为(b2+c2-a2)2=b3c+c3b- a2bc,其余条件不变,试判断△ABC的形状. 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状,往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化, 经过化简变形,充分暴露边、角关系,继而作出判断. (2)在余弦定理中,注意整体思想的运用,如:b2+c2-a2 =2bccos A,b2+ c2=(b+c)2-2bc等等.
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B=bcos A,当时是把边化 成了角;现在我们学了余弦定理,你能不能用余弦定理把角 化成边?
人教版高中数学必修5余弦定理
余弦定理一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》(第2版)第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理,正确理解其结构特征和表现形式,解决“边、角、边”和“边、边、边”问题,初步体会余弦定理解决“边、边、角”,体会方程思想,激发学生探究数学,应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。
三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践,自主探索,合作交流,深刻地理解基本结论的本质,体验数学发现和创造的历程,力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考,作出判断;同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化,从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。
本课尽力追求新课程要求,利用师生的互动合作,提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,深刻地体会数学思想方法及数学的应用,激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式,体会向量方法推导余弦定理的思想;通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题;深化与细化方程思想,理解余弦定理的本质。
通过相关教学知识的联系性,理解事物间的普遍联系性。
五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用;教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
高中数学必修5目录
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第一章:函数(40课时)
1.1 函数概念与性质
1.2 初等函数及其图像
1.3 函数的运算
1.4 反函数及其应用
第二章:数列与数学归纳法(18课时)2.1 数列的概念与表示方法
2.2 数列的通项公式
2.3 特殊数列
2.4 数学归纳法及其应用
第三章:三角函数(32课时)
3.1 弧度制及其应用
3.2 三角函数的定义及其性质
3.3 常见角的三角函数值和图像
3.4 三角函数的运算
3.5 三角方程与三角不等式
第四章:解析几何初步(26课时)
4.1 坐标系及其应用
4.2 平面直角坐标系中的图形
4.3 二次函数及其图像
4.4 圆的方程及其性质
第五章:概率与统计(22课时)
5.1 概率的概念与基本性质
5.2 事件与概率的运算
5.3 条件概率与独立性
5.4 随机变量及其分布
5.5 统计的基本概念和方法
以上是高中数学必修5的全部内容,通过这门课程的学习,学生可以初步掌握函数、数列、三角函数、解析几何以及概率与统计等数学基础知识和方法,为高中数学的学习打下坚实的基础。
高中数学知识点公式大全
高中数学知识点必修1-5必修1数学知识点第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。
3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合:Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是集合B 的子集。
记作B A ⊆. 2、 如果集合B A ⊆,但存在元素B x ∈,且A x ∉,则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:∅.并规定:空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A . 3、全集、补集?{|,}UC A x x U x U =∈∉且 §1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值1、 注意函数单调性证明的一般格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则:()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地,如果a x n=,那么x 叫做a 的n 次方根。
高中数学必修五 第一章余弦定理
【例】在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,
求证:a2 b2
c2
sin A B
. sin C
【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB,
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.
整理得:a2 b2
c2
a cos B bcos A, c
【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0,
∴[c2-(a2+b2)]2-a2b2=0,∴c2-(a2+b2)=±ab,
cos C a2 b2 ∴cC2=1210°或60°.
2ab
2
角形中最大内角,
由余弦定理
∴C=120°. cos C a2 b2 c2 1,
2ab
2
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解 三角形,必须已知三角形的一边的长,对于两个定理,根据实 际情况可以选择性地运用,也可以综合运用,要注意以下关系 式的运用:
【例3】在△ABC中,若sinA-2sinBcosC=0,试判断△ABC的 形状.
【规范解答】方法一:∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定
理知a=2bcosC,再由余弦定理得 a a2 b2 c2 ,
2b
2ab
∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.
方法二:由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(CB)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.
人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结
人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理:A a sin =B b sin =C csin =2R ,其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理:(1)形式一:A cos bc 2c b a 222⋅-+=,B cos ac 2c a b 222⋅-+=,C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二:bc 2a c b A cos 222-+=,ac 2b c a B cos 222-+=,ab2c b a C cos 222-+=,(角到边的转换)3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角,反之亦然.5.射影定理:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°;(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ,可求出角C ,再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ,由a 2=b 2+c 2-2bccosA ,求出a ,再由余弦定理,求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ,由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ,由正弦定理A a sin =B bsin ,求出另一边b 的对角B ,由C=π-(A+B),求出c ,再由A a sin =C c sin 求出C ,而通过A a sin =Bbsin 求B 时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表:A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b无解 无解 一解a<ba>bsinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解a<bsinA无解9.三角形的分类或形状判断的思路,主要从边或角两方面入手.专题一:正、余弦定理的应用1.正弦定理主要有两个方面的应用:(1)已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的第三个角,由正弦定理可以计算出三角形的另两边;(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角,应用正弦定理,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边和角. 2.余弦定理有两方面的应用:(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边,进而求出其他两角;(2)已知三角形的三边,利用余弦定理求出一个角,进而求出其他两角.例1..(2011江西卷17).(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,23a =,tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =,求,A B 及,b c例2..(2009北京理) 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=,4cos ,35A b ==。
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一 正弦定理思考1 如图,在Rt △ABC 中,a sin A ,b sin B ,csin C分别等于什么?答案a sin A =b sin B =c sin C=c . 思考2 在一般的△ABC 中,a sin A =b sin B =csin C 还成立吗?答案 在一般的△ABC 中,a sin A =b sin B =csin C 仍然成立.梳理 在任意△ABC 中,都有a sin A =b sin B =c sin C,这就是正弦定理. 特别提醒:正弦定理的特点(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.(3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化.知识点二 解三角形一般地,把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.对任意△ABC ,都有a sin A =b sin B =csin C.(√)2.任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素.(×) 3.在△ABC 中,已知a ,b ,A ,则三角形有唯一解.(×)类型一 正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中,证明正弦定理. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 如图,过C 作CD ⊥AB ,垂足为D ,D 是BA 延长线上一点,根据正弦函数的定义知,CD b =sin ∠CAD =sin(180°-A )=sin A ,CD a =sin B . ∴CD =b sin A =a sin B . ∴a sin A =bsin B. 同理,b sin B =csin C .故a sin A =b sin B =c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系,充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻,记忆更牢固.(2)要证a sin A =bsin B ,只需证a sin B =b sin A ,而a sin B ,b sin A 都对应CD .初看是神来之笔,仔细体会还是有迹可循的,通过体会思维的轨迹,可以提高我们的分析解题能力.跟踪训练1 如图,锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,证明:asin A=2R .考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 连接BO 并延长,交外接圆于点A ′,连接A ′C , 则圆周角A ′=A .∵A ′B 为直径,长度为2R , ∴∠A ′CB =90°, ∴sin A ′=BC A ′B =a 2R ,∴sin A =a 2R ,即asin A =2R .类型二 已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中,已知A =30°,B =60°,a =10,解三角形. 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理,得b =a sin B sin A =10sin 60°sin 30°=10 3. 又C =180°-(30°+60°)=90°. ∴c =a sin C sin A =10sin 90°sin 30°=20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式:a sin A =b sin B ,b sin B =c sin C ,a sin A =csin C ,每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)因为三角形内角和为180°,所以已知两角一定可以求出第三个角. 跟踪训练2 在△ABC 中,已知a =18,B =60°,C =75°,求b 的值. 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理,得A =180°-(B +C )=180°-(60°+75°)=45°. 根据正弦定理,得b =a sin B sin A =18sin 60°sin 45°=9 6.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中,已知c =6,A =45°,a =2,解三角形. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A =c sin C ,∴sin C =c sin A a =6sin 45°2=32,∵C ∈(0°,180°),∴C =60°或C =120°. 当C =60°时,B =75°,b =c sin B sin C =6sin 75°sin 60°=3+1; 当C =120°时,B =15°,b =c sin B sin C =6sin 15°sin 120°=3-1. ∴b =3+1,B =75°,C =60°或b =3-1,B =15°,C =120°. 引申探究若把本例中的条件“A =45°”改为“C =45°”,则角A 有几个值? 解 ∵a sin A =c sin C ,∴sin A =a sin C c =2·226=33.∵c =6>2=a ,∴C >A .∴A 为小于45°的锐角,且正弦值为33,这样的角A 只有一个. 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法:首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,当已知的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,则不能判断,此时就有两组解,再分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理求出第三条边. 跟踪训练3 在△ABC 中,若a =2,b =2,A =30°,则C =________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°解析 由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin B =b sin A a =2sin 30°2=22.∵B ∈(0°,180°),∴B =45°或135°,∴C =180°-45°-30°=105°或C =180°-135°-30°=15°.1. 在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A .a sin A =b sin B B .a cos A =b cos B C .a sin B =b sin AD .a cos B =b cos A考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由正弦定理a sin A =bsin B ,得a sin B =b sin A ,故选C.2.在△ABC 中,sin A =sin C ,则△ABC 是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .锐角三角形D .钝角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 B解析 由sin A =sin C 及正弦定理,知a =c , ∴△ABC 为等腰三角形.3.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6D .4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 C解析 易知A =45°,由a sin A =b sin B 得b =a sin B sin A=8×3222=4 6. 4.在△ABC 中,a =3,b =2,B =π4,则A =________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 π3或2π3解析 由正弦定理,得sin A =a sin Bb=3×222=32, 又A ∈(0,π),a >b ,∴A >B ,∴A =π3或2π3.5.在△ABC 中,已知a =5,sin C =2sin A ,则c =________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 2 5解析 由正弦定理,得c =a sin Csin A=2a =2 5.1. 正弦定理的表示形式:a sin A =b sin B =csin C =2R ,或a =k sin A ,b =k sin B ,c =k sin C (k >0). 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角.3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.一、选择题1.在△ABC 中,a =5,b =3,则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 A解析 根据正弦定理,得sin A sin B =a b =53.2.在△ABC 中,a =b sin A ,则△ABC 一定是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由题意有a sin A =b =bsin B,则sin B =1,又B ∈(0,π),故角B 为直角,故△ABC 是直角三角形. 3.在△ABC 中,若sin A a =cos Cc ,则C 的值为( )A .30°B .45°C .60°D .90° 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理知sin A a =sin Cc ,∴sin C c =cos Cc,∴cos C =sin C ,∴tan C =1, 又∵C ∈(0°,180°),∴C =45°,故选B.4.在△ABC 中,若A =105°,B =45°,b =22,则c 等于( ) A .1 B .2 C. 2 D. 3 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 ∵A =105°,B =45°,∴C =30°. 由正弦定理,得c =b sin C sin B =22sin 30°sin 45°=2.5.在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B 等于( ) A .-223 B.223 C .-63 D.63考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 D解析 由正弦定理,得15sin 60°=10sin B ,∴sin B =10sin 60°15=10×3215=33. ∵a >b ,∴A >B ,又∵A =60°,∴B 为锐角. ∴cos B =1-sin 2B =1-⎝⎛⎭⎫332=63. 6.在△ABC 中,已知A =π3,a =3,b =1,则c 的值为( )A .1B .2 C.3-1 D. 3 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 B解析 由正弦定理a sin A =bsin B,可得3sinπ3=1sin B ,∴sin B =12,由a >b ,得A >B ,∴B ∈⎝⎛⎭⎫0,π3,∴B =π6. 故C =π2,由勾股定理得c =2.7.在△ABC 中,B =π4,BC 边上的高等于13BC ,则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点 用正弦定理解三角形 题点 正弦定理解三角形综合 答案 D解析 如图,设BC 边上的高为AD ,不妨令AD =1.由B =π4,知BD =1.又AD =13BC =BD ,∴DC =2,AC =12+22= 5.由正弦定理知,sin ∠BAC =sin B ·BC AC =225·3=31010.8.在△ABC 中,若A =60°,B =45°,BC =32,则AC 等于( ) A .4 3 B .2 3 C. 3 D.32考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 由正弦定理得,BC sin A =AC sin B ,即32sin 60°=AC sin 45°,所以AC =3232×22=23,故选B.二、填空题9.在△ABC 中,若C =2B ,则cb的取值范围为________.考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 (1,2)解析 因为A +B +C =π,C =2B ,所以A =π-3B >0,所以0<B <π3,所以12<cos B <1.因为c b =sin C sin B =sin 2Bsin B =2cos B ,所以1<2cos B <2,故1<cb<2.10.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b =_____.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案2113解析 在△ABC 中,由cos A =45,cos C =513,可得sin A =35,sin C =1213,sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A ·sin C =6365,又a =1,由正弦定理得b =a sin B sin A =2113.11.锐角三角形的内角分别是A ,B ,C ,并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______. ①sin A >sin B ; ②cos A <cos B ;③sin A +sin B >cos A +cos B . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ,故①成立. 函数y =cos x 在区间[0,π]上是减函数, ∵A >B ,∴cos A <cos B ,故②成立. 在锐角三角形中,∵A +B >π2,∴0<π2-B <A <π2,函数y =sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数, 则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2-B ,即sin A >cos B , 同理sin B >cos A ,故③成立.三、解答题12.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,c =10,A =45°,C =30°,求a ,b 和B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A =c sin C, ∴a =c sin A sin C =10sin 45°sin 30°=10 2. B =180°-(A +C )=180°-(45°+30°)=105°.又∵b sin B =c sin C, ∴b =c sin B sin C =10sin 105°sin 30°=20sin 75° =20×6+24=5(6+2). 13.在△ABC 中,A =60°,a =43,b =42,求B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin B =22, ∵a >b ,∴A >B .∴B 只有一解,∴B =45°.四、探究与拓展14.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a =x ,b =2,B =45°.若△ABC 有两解,则x 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(0,2)C .(2,22)D .(2,2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析 因为△ABC 有两解,所以a sin B <b <a ,即x sin 45°<2<x ,所以2<x <22,故选C.15.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a =10,b =20,A =80°;(2)a =23,b =6,A =30°.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a =10,b =20,a <b ,A =80°<90°,讨论如下:∵b sin A =20sin 80°>20sin 60°=103,∴a <b sin A ,∴本题无解.(2)a =23,b =6,a <b ,A =30°<90°,∵b sin A =6sin 30°=3,a >b sin A ,∴b sin A <a <b ,∴本题有两解.由正弦定理得sin B =b sin A a =6sin 30°23=32, 又∵B ∈(0°,180°),∴B =60°或B =120°.当B =60°时,C =90°,c =a sin C sin A =23sin 90°sin 30°=43; 当B =120°时,C =30°,c =a sin C sin A =23sin 30°sin 30°=2 3. ∴当B =60°时,C =90°,c =43;当B =120°时,C =30°,c =2 3.。