平行四边形的概念

平行四边形的概念
平行四边形（parallelogram），是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭
合图形。

平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

注：在用字母表示四边形时，
一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。

平
行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

相比之下，只有一对平行边的四边形就是梯形。

平行四边形的三维对应就是平行六面体。

定义
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

1、平行四边形属于平面图形。

2、平行四边形属四边形。

3、平行四边形属于中心对称图形。

性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

）
矩形
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（详述为“平行四边形的两组对边分别成正比”[1] ）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（详述为“平行四边形的两组对角分别成正比”[1] ）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

（详述为“平行四边形的邻角优势互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。

（简述为“平行线间的高距离处处相等”）
（5）如果一个四边形就是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”[1] ）
（6）相连接任一四边形各边的中点税金图形就是平行四边形。

（推断）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。

（可视为矩形。

）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分为全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形就是中心对称图形。

矩形和菱形就是轴对称图形。

备注：正方形，矩形以及菱形也就是一种特定的平行四边形，三者具备平行四边形的性质。

（11）平行四边形abcd中e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。

（12）平行四边形abcd中，ac、bd就是平行四边形abcd的对角线，则各四边的平方和等同于对角线的平方和。

（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

（14）平行四边形中，两条在相同对边上的高所共同组成的夹角，较小的角等同于平行四边形中较小的角，很大的角等同于平行四边形中很大的角。

（15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积[2]
其他性质
平行四边形的对边是平行的（根据定义），因此永远不会相交。

平行四边形的面积就是由其对角线之一建立的三角形的面积的两倍。

平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。

任何通过平行四边形中点的线将该区域平分。

任何非简并仿射变换都采用平行四边形的平行四边形。

平行四边形具备2阶（至°）的转动对称性（如果就是正方形则为4阶）。

如果它也具备两行散射对称性，那么它必须就是菱形或长方形（非矩形矩形）。

如果它存有四行散射等距，它就是一个正方形。

平行四边形的周长为2（a + b），其中a和b为相邻边的长度。

与任何其他凸多边形相同，平行四边形无法镌刻在任何大于其面积的两倍的三角形。

在平行四边形的内侧或外部构造的四个正方形的中心是正方形的顶点。

如果与平行四边形平行的两条线与对角线循序形成，则在该对角线的相对侧上构成的平行四边形面积成正比[7]
平行四边形的对角线将其分成四个相等面积的三角形。

认定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且成正比的四边形就是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别成正比的四边形就是平行四边形（两组对边平行认定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补足：条件3仅在平面四边形时设立，如果不是平面四边形，即使就是两组对边分别
成正比的四边形，也不是平行四边形。

辅助线
一、相连接对角线或位移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、相连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点并作一边的平行线，形成线段平
行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点并作对角线的垂线，形成线段平行或三角形全系列等。

相关计算
1、（1）平行四边形的面积公式：底×低（可以运用割去补法，推论方法例如图1）；例如用“h”则表示低，“a”则表示底，“s”则表示平行四边形面积，则s平行四边形
=a*h。

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示
两组邻边长，α表示两边的夹角，“s”表示平行四边形的面积，则s平行四边形
=ab*sinα。

图1 平行四边形
2、平行四边形周长：四边之和。

可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。

[3]
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

认定：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2、对角线成正比的平行四边形就是矩形；
3、有三个角是直角的四边形是矩形；
4、对角线成正比且互相平分的四边形就是矩形。

性质：
1、矩形具备平行四边形的一切性质；
2、矩形的对角线相等；
3、矩形的四个角都就是90度；
4、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。